（光学专业论文）多个原子与光场相互作用系统的量子纠缠.pdf

摘要 量子信息科学是量子力学和信息科学相结合的产物，在量子信息学中，信息 的存储、传输、提取都是离不开量子态。而量子纠缠态无疑是各种各样的量子态 中最为重要的一类了，它不仅对了解量子力学的基本概念有着重要的意义，而且 它更是一种非常有用的信息“资源”。它在量子隐行传态、量子密集编码、量子 密钥分配以及在量子计算的加速、量子纠错、防错等方面都起着关键作用。 本文把标准的t a v i s c u m m i n g s ( t c ) 模型扩展到多个原子或考虑原子运动和双 光子跃迁的状况，分别对多个二能级原子与光场的纠缠特性进行了研究，对原子 间偶极相互作用对双光子t c 模型中纠缠度的影响做了研究，并且对运动耦合型 全同二能级原子经过单模光场后三体纠缠的演化做了研究，在计算多体纠缠度 时，根据h o r o d e c k i 等人提出的定义纠缠度的三个假定前提，自定义了n 体纠缠 态中的一部分纠缠度的计算公式，从而对所得到的3 ( 4 ，n ) 体w 纠缠态进行了 纠缠度的计算。本论文主要包括以下七个章节： 第一章主要介绍了量子纠缠的概念、发展史及其在量子信息中的应用价值， 并阐述了本文的选题背景、意义和主要工作。 第二章介绍了一些相关的基础知识，纠缠理论，并介绍了将场与原子间相互 作用的理论模型一标准t a v i s - c u m m i n g s ( t - c ) 推广到考虑原子运动和原子间偶 极相互作用的状况。 第三章在考虑了原子间偶极相互作用的情况下，研究了双光子t - c 模型中的 纠缠演化。并且对所得到的w 纠缠态利用c o f f m a n 等人提出的分布纠缠的概念及 算法对得到的纠缠态做了研究。 第四章计算了异模双光子与原子相互作后的纠缠演化，并对结果做了比较详 细的分析 第五章在同时考虑原子的运动和原子间的偶极一偶极相互作用的情况下，根据 初始状态的不同分情况讨论了两个全同二能级原子与单模光场相互作用后各纠 缠度的演化。 第六章研究了多个全同二能级原子与单模光场相互作用后多体纠缠度的化， 而后根据定义纠缠度时的三个前提自定义了用来计算多体纠缠态中的部分纠缠 度的公式。最后对所得到的三体，四体，n 体w 纠缠态的纠缠度进行了计算和分 析。 第七章，即最后一章是对前期工作的总结和对未来的展望。 关键词：量子信息；量子纠缠态；多体纠缠度；运动二能级原子；量子光学 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o no r i g i n a t e sf r o mq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o n s c i e n c e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，t h ei n f o r m a t i o ns t o r a g e ，s a i da n de x t r a c t i o na l l d e p e n do nq u a n t u ms t a t ea n di t se v o l u t i o n q u a n t u me n t a n g l e m e n ti sn od o u b to n eo f t h em o s ti m p o r t a n ts u b j e c t s a n di tn o to n l yh a sa l li m p o r t a n tm e a n i n gt ok n o wt h e b a s i cc o n e 印t so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，b u ti ti su s e f u li n f o r m a t i o n ”r e s o u r c e s ”i tp l a y s ac r i t i c a lr o l ei nt h el i n eo fq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u md e n s ec o d i n g ，q u a n t u m k e yd i s t r i b u t i o n ，a sw e l la st h ea c c e l e r a t i o no fq u a n t u mc o m p u t i n g ，q u a n t u me r r o r c o r r e c t i o na n da n t i - m i s t a k e i nt h i sp a p e r ，w ee x t e n d e dt h et a v i s - c u m m i n g s ( t c ) m o d e lt oc o n s i d e rm u l t i a t o m so ra t o m i cm o v e m e n to ft h ea t o m sa n dt h es i t u a t i o no f t w o p h o t o nt r a n s i t i o n ，t h e nw eh a v es t u d i e dt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e na n u m b e ro ft w o l e v e la t o ma n dal i g h tf i e l d t h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e nt w o a t o m sw i t hd i p o l ei n t e r a c t i o na n dal i g h tf i e l dw i t ht w o p h o t o nt r a n s i t i o na n dt h e e n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e nt w oi d e n t i c a lt w o l e v e la t o m so ng r o u n ds t a t ea n da s i n g l em o d el i g h tf i e l dw i t ha t o m i cm o t i o na n dt h ed i p o l e d i p o l ei n t e r a c t i o n i no r d e r t oc a l c u l a t em u l t i e n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e s ，w eh a v ee r e a t e ds o m ef o r m u l a sa c c o r d i n g t ot h et h r e ea s s u m p t i o n sd e f i n i t ef r o mh o r o d e c k ie t c a tl a s t ，w eh a v ec a l c u l a t e dt h e e n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e si nt h r e e ( f o u r , m u l t i ) 一b o d yw - e n t a n g l e ds t a t e t h i sp a p e r i n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e v e nc h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h ec o n e e p to fq u a n t u me n t a n g l e m e n t ，t h e h i s t o r yo ft h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mi n f o r m a t i o na tt h ea p p l i c a t i o n ，a n dd e s c r i b e t h ep a p e r ss u b j e c t s e l e c t i n gb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c ea n dm a i nw o r k i nt h es e c o n d c h a p t e r , w ei n t r o d u c e s s o m er e l e v a n tb a s i c k n o w l e d g e ， e n t a n g l e m e n tt h e o r yt h e ne x p a n ds t a n d a r dt a v i s c u m m i n g sm o d e lt ot h ec o n d i t i o no f a t o m i cm o t i o na n dt h ed i p o l ei n t e r a c t i o n i nt h et h i r dc h a p t e r , w eh a v es t u d i e dt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e si nt h et - c m o d e lw h i c ht a k i n gi n t oa c c o u n tt h e d i p o l e i n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m sa n d t w o p h o t o nt r a n s i t i o n t h e nw eh a v es t u d i e dt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e si nt h e 、肌e n t a n g l e ds t a t er e c e i v e db yt h et h e o r yd i s c o v e r e db yc o f f m a n e t e i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w eh a v es t u d i e dt h ei n t e r a c t i o no fat w o l e v e la t o m so n a r b i t r a r ys t a t ea n dt w od i f f e r e n t m o d ep h o t o n so ne n t a n g l e ds t a t e ，t h e nh a sm a k e d e t a i l e da n a l y s i so ft h er e s u l t s i nt h ef i f t hc h a p t e lw eh a v es t u d i e de n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e nt w o t w o 1 e v e la t o m sa n dt h es i n g l e m o d el i g h tf i e l di nd i f f e r e n ti n i t i a ls t a t ew h e nw e c o n s i d e ra t o m i cm o t i o na n da t o m i cd i p o l e d i p o l ei n t e r a c t i o na tt h es a m et i m e i nt h es i x t hc h a p t e r , w eh a v es t u d i e dt h em u l t i p a r t i t eq u a n t u me n t a n g l e m e n ti n i n t e r a c t i o no fm u l t i p l et w o l e v e la t o m sw i t has i n g l em o d el i g h tf i e l d ，t h e nw eh a v e d e f i n e ds o m ec a l c u l a t i o nf o r m u l aa c c o r d i n gt ot h r e ep r e m i s e st oc o m p u t et h e e n t a n g l e m e n tm e a s u r ei nm u l t i p a r t i t eq u a n t u ms t a t e s i nt h ee n d ，w eh a v ea n a l y z e d t h ee n t a n g l e m e n tm e a s u r ei nt h et h r e e ( f o u r , n ) 一b o d yw - e n t a n g l e ds t a t ew - e n t a n g l e d s t a t e i nt h es e v e n t hc h a p t e rw h i c hi st h ef i n a lc h a p t e r , w eh a v em a k eas u m m a r yo f p r e l i m i n a r yw o r ka n dm a k eav i s i o nf o r t h ef u t u r e k e y w o r d s ： q u a n t u m i n f o r m a t i o n ； e n t a n g l e m e n tm e a s u r e ； o p t i c s i q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；m u l t i p a r t i t e m o v i n g t w o - l e v e la t o m ； q u a n t u m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人巴经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者张参1 燕旁 签字日期：力7 年石月二：日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子稿，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生 院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文o ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：i l 蕊旁 签字日期：如7 年5 月如日 导师签名： 签字日期： 日 多个原子与光场相互作用系统的量了纠缠 1 引言 量子纠缠是一种量子力学现象，其定义上描述复合系统( 具有两个以上 的成员系统) 之一类特殊的量子态，此量子态无法分解为成员系统各自量 子态之张量积。具有量子纠缠现象的成员系统们，不管它们相距多远都仍 保有特别的关联性；亦即当其中一颗被操作( 例如量子测量) 而状态发生 变化，另一颗也会即刻发生相应的状态变化。如此现象导致了“鬼魅似的 远距作用”之猜疑，仿佛两个电子拥有超光速的秘密通信一般，似与狭义 相对论中所谓的局域性相违背。这也是当初阿尔伯特爱因斯坦与同僚玻理 斯波多斯基、纳森罗森于1 9 3 5 年提出以其姓氏字首为名的e p r 佯谬 来质疑量子力学完备性之缘由。同时针对这一令人惊异的现象，薛定谔指 出，描述e p r 粒子对的态是一种“纠缠态其中存在纠缠现象，即薛定谔 “猫态 陋1 。七十多年来，对这两个佯谬的理论和实验1 的研究取得了长足 的进展，人们对量子纠缠态的理解也愈加深刻，量子力学的基础不断得到 稳固。但是，这罩也存在许多根本问题，如纠缠和非定域性的物理本质等 等，仍然没有得到最终的解决，而这些问题的最终解决在一定程度上将预 示着物理学更深层次的革命。 量子纠缠涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基 本问题，并在量子计算和量子通信的研究中起着重要的作用。多体系的量 子态的最普遍形式是纠缠态，而能表示成直积形式的非纠缠态只是一种很 特殊的量子态。量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇特现象，即对一 个子系统的测量结果无法独立于对其它子系统的测量参数。它描述了子系统间不 可分离的特性。对量子纠缠程度的定量描述是用纠缠度h 1 来定义的。纠缠度是量 子纠缠研究中的一个基本量。对于二体纯态的纠缠念，相继提出了精确描述其纠 缠程度的物理量一形成纠缠度畸】、可提纯纠缠度呻】、部分熵纠缠度盯，、相对熵纠 缠度呻1 等。由于多子系复合系统的纠缠态具有很多为两子系复合系统纠缠态所不 具备的性质，如多体复合系统纠缠态不可s c h m i d t 分解，多体复合系统的纠缠度 不能由一个数，而应由一组数来描述，所以定量化多子系复合系统的纠缠度非常 困难。虽然在这方面人们进行了很多有益的探索阻h ，但仍未形成一个广泛而统 一的理论框架。在对其探索的过程中，t o n g 等人口胡提出了用于表示三体的纠缠 程度的物理量一一纠缠量。z u o 等人n 6 1 根据该纠缠量的定义，讨论了 t a v i s c u m m i n g s 模型中三体纠缠态纠缠量的演化特性，c o f f m a n 等人u 7 1 提出的分 布纠缠度的概念及算法亦可用来计算三粒子纠缠态中的各种纠缠度的演化。 量子纠缠在量子密码、量子隐形传态、量子通信和量子计算机等这些应用的 实现过程中，纠缠态的制备起着基础性作用。c i r a c 等人u 列提出利用先后注入同 一腔的不同原子与腔场发生共振相互作用制备了如下的两原子纠缠态： i ) = 万1 ( 川g ) ：+ i g ) m ) ， 江两师范人学硕卜毕业论文 这里和i g ) 分别表示二能级原子的上能态和下能态，而脚标1 和2 分别表示原 子1 和原子2 。此外，p h o n e i x 等人n 们以及k u d r y a v t s e v 等人咖1 等也提出方案制 备了二原子纠缠态。对于三体纠缠中的w 纠缠态是d u r 等人提出的口，与三体最 大纠缠g h z 态相比，w 纠缠态是一种最强壮的纠缠，因为即使丢失了其中一个粒 子，剩下的两个粒子仍处于纠缠态，这对于w 纠缠态的应用有重要的实际意义。 近年来很多人提出方案位2 。2 刀制备三体之间的纠缠g h z 态： 以及纠缠w 态： 妙) = 击( 川p ) ：i p ) ，+ i g ) ，i g ) ：i g ) ，) l ) 2 击( | 0 0 1 ) + l o l o ) + 1 1 0 0 ) ) 量子纠缠有着非常重要的应用。要想让量子通信变成实用，比如量子加密和 远程输送，实现远距离的量子通信，就有必要在遥远的两地之间分配纠缠态，提 高量子纠缠态的品质和数量，减少消纠缠现象。考虑到量子纠缠态作为信息的载 体，在实际中可能与各种环境相互作用，导致退相干现象。 综上可知，研究纠缠态与环境相互作用的纠缠性质很有必要。鉴于此，本文 分别对多个二能级原子与光场的纠缠特性进行了研究，对原子间偶极相互作用对 双光子t c 模型中纠缠度的影响做了研究，并且对运动耦合型全同二能级原子经 过单模光场后三体纠缠的演化做了研究，在计算多体纠缠度时，根据h o r o d e c k i 等人提出的定义纠缠度的三个假定前提，自定义了n 体纠缠态中的一部分纠缠度 的计算公式，从而对所得到的3 ( 4 ，1 3 ) 体w 纠缠态进行了纠缠度的计算，得出 了一些有意义的结果，以期在量子纠缠的本质问题研究上能有所启发作用，在量 子信息论中具有一定的理论意义。 2 多个原于与光场相互作用系统的量了纠缠 2 1 辐射场的量子化 程： 2 基础理论 经典物理中，自由空间电磁场的运动规律由下列麦克斯韦方程组决定： v 疗：丝 a t v 后：一一o b 西 v b = 0 v d = 0 云与疗、西与雷的关系由下列方程决定： b = o h d = e o e 其中。e 。= c ，c 为真空中的光速。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 从麦克斯韦方程组和雪与疗、西与豆的关系式，可得到电场满足的波动方 v 2 雷丢鬈a t = 。 c 。 ( 2 1 7 ) 考虑腔场沿z 方向传播，电场沿z 方向极化，得到电场的简正模展开式： e z ( z ，f ) = a q - ，( t ) s i n ( k z ) ( 2 1 8 ) j 其中q j 表示振幅，k ，= j 万l ( j = 1 , 2 ，3 ，) ，为腔长 a i ：( 竺2 堕) m 一叫? 2 ( 2 1 9 ) 江西师范人学硕 = 毕业论义 y ，= j z v c l 为腔的本征频率，v 为腔的体积，m j 的引入是为j 与诣搌于作荚比， 相当于谐振子质量的常数。 利用麦克斯韦方程组和( 2 1 8 ) 式，得到磁场的表达式： 垆“鲁舟啪力 亿。， 考虑计算电磁场能量的表达式： 日= 专f d f ( e z 2 + 。h y 2 ) ( 2 1 1 1 ) 将( 2 1 8 ) ，( 2 1 1 0 ) 代入( 2 1 1 1 ) 式，得到电磁场的经典哈密顿量： h = - - 爿m j v j q j 爿 仁2 ， 引入正则坐标g 和正则动量p ，它们满足如下对易关系： 【g ，p j = 历 ( 2 1 1 3 ) b ，g ，1 - - b ，p _ ，j _ o ( 2 1 1 4 ) 引入正则坐标g j 和正则动量乃来表示场的产生算符口_ ，+ 和湮灭算符口j ，得到： 一叩= 兰伽j y j g + 咖j )(2115)aje 4 22 m i l i v j 【7 竹j y j g + 妒j ) 【2 。 口，+ p f 叶t2 ：雨1 ( m j v j q j - 彩，) ( 2 1 1 6 ) 将( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 1 6 ) 代入( 2 1 1 2 ) ，得到量子化的自由电磁场的哈密顿算符： 日= 办拟a j + a j + 习( 2 1 1 7 ， 其中a j , 口，+ 满足如下对易关系： a y , a i + j = 屯 ( 2 1 1 8 ) d j , a j j = k ，+ ，口，+ j = 0 ( 2 1 1 9 ) 将( 2 1 8 ) 式和( 2 1 1 0 ) 式用场的产生算符口，+ 和湮灭算符口表示后，电磁场便量 4 多个原了与光场相互作用系统的量了纠缠 t ( z ，) = f 加_ ，p 一。+ 口，+ p ) s i n ( k ：z ) j h y ( z ，f ) = - i e o c zs ，( 口j p 一。一口+ e 。) c o s ( k ，z ) j 辄，= 酬坨 2 2 光场与原子相互作用系统的哈密顿量 ( 2 1 2 0 ) ( 2 1 2 1 ) 自由电磁场量子化后，电场分量可表示成为： 雷( 尹，f ) = 邑口i p 一”m 7 + h c ( 2 2 1 ) k 石表示波矢，玩表示电场的单位极化矢，以。表示光场的湮灭算符，咋表示光场 的频率，日c 表示厄米共振，s i = ( hv 2 e o v ) 2 。 自由电磁场量子化后，它的哈密顿算符可写为： ，= h v t ( 以i + 口i + i 1 ) ( 2 2 2 ) k 厶 辐射场与一个单电子原子相互作用的哈密顿量，在偶极近似下可写为： h = h 彳+ h ，一e p e( 2 2 3 ) 其中h 表示原子的哈密顿量，日，表示辐射场的哈密顿量，一矿- 雷表示相互作 用部分的哈密顿量。 考虑原子算符： = i 以i ( 2 2 4 ) 可用原子算符将原子的哈密顿量表示成为： h 一= e ii ) ( i i = e i o i i ( 2 2 5 ) l f 其中e i 为对应于原子的本征态l f ) 的本征能量，f ) ) 构成原子的一组正交完备基。 方= 4 i ) ( i l p i j ) ( j i = 岛 ( 2 2 6 ) 盯扩 其中| 9 ：f = e ( i l p l j ) 。 在偶极近似下，令( 2 2 1 ) 式中的尹：0 和t ：0 得： 5 江西师范人学硕卜毕业论文 雷= 瓦& ( 口。+ 口。+ ) k 将( 2 2 2 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 代入( 2 2 3 ) 得： 日= 壳屹口t + 口i + e f o r 打+ h e g i 扩仃f ( 口i + 口t + ) k i i , j k 其中： g i 妒= 一1 9 ：f f 瓦s i h 式中忽略了零点能，为了简化，假定岛恒为实数。 对于二能级原子，有咒。= t ，因而： ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) g i = g t 曲= g t 知(2210)gg 21 i 。t 2 t【z 得到二能级原子与多模光场相互作用的哈密顿算符为： h = h v i 口i + 口i + ( e o o r 。+ e b o r 拍) + 壳g t ( o r 。6 + 仃k ) ( 口i + 口i + ) ( 2 2 11 ) kk 引入符号： o r ：= i d ) ( d | _ 1 6 ) ( 6 i 叽= 愀6 l o r 一= | 6 ) ( 口i ( 2 2 1 1 ) 式可以重新写为： ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 日= 军壳能+ ”圭h ( o o r z + t i z 。引o r + + o r _ ) ( a k + a t , + ) ( 2 2 1 5 ) 其中国为二能级原子的跃迁频率， 仃一= ( ? ：) ，盯+ = ( 三三 ，盯一= ( 三二) c 2 2 6 ， 在旋波近似下，( 2 2 1 5 ) 式可化为： h = 力口i + 口i + 9 h c o o - ：+ 壳z g i ( o r + 口i + 仃一口1 4 - ) ( 2 2 1 7 ) k _ k 对于单模光场与二能级原子相互作用的j - c 模型，由( 2 2 1 7 ) 式得到它的哈密顿 算符为： h = h m + 口+ 丢h o ) 6 r z4 - 堙( q 口竹一们 ( 2 2 - 1 8 ) 将( 2 2 1 8 ) 式写为： 6 多个原了与光场卡h 互作用系统的量了纠缠 h = h o + h l 其中：h 。v a + a + 1 2 h 缈仃： h l = h g ( 仃+ 口+ 盯一a + ) 在相互作用绘景中，j - c 模型的哈密顿算符由下式给出： h j 2 e i h 。t h h i e i h d 利用恒等式： p 州曰p = b + 口阻，曰】+ 鲁【彳，阻，曰卫+ 容易得到： e f 阳+ a f 以e f ”+ “= 口口一f “ e i m a = t 2 盯e i a 。”= 6 。e t 倒 综合( 2 2 19 ) 一( 2 2 21 ) ，( 2 2 2 2 ) ，( 2 2 2 4 ) 和( 2 2 2 5 ) 有： 日，= 姆( 仃+ a e 心+ 口+ o r e 一池) 其中，a ：c o y 2 3t a vis c u m i nin g s ( t c ) 模型 2 3 1 标准的t a vis - c u m m in g s ( t - c ) 模型 ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 21 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) 在j a y n e s c u m m i n g s 模型2 8 3 基础上发展而来的t a v i s - c u m m i n g s ( t c ) 模型捌 处理的是两个二能级原子与单模光场相互作用的模型，在s c h r d i n g e r 绘景 中，t c 模型中两个全同定态的二能级原子与单模场相互作用体系总的哈密顿量 为： h = 4 0 + 巧 ( 2 3 1 ) 2 h o = 国口+ 口+ s ：o f = i ( 2 3 2 ) 2 y ，= s ( 口+ s ! + 口s ：) + g ( s ：1 s 1 2 + s 1 1 s ：2 ) ( 2 3 - 3 ) f = l ( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 式中a + 和a 分别为光场的产生和湮灭算符，s 和s ! 为第 7 江西师范火学硕l ：毕业论文 i ( i = 1 ，2 ) 个原子的赝自旋算符，缈为光场频率，c o o 为原子的本征跃迁频率为简 便起见，只考虑共振情形，即彩= ，e 为原子一光场间的耦合常量，g 为原子问 偶极一偶极相互作用强度。 2 3 2 具有原子运动的t - c 模型 具有原子运动的t - c 模型是t c 模型的一种重要推广，其考虑了原子运动和 场模结构对其动力学特性的重要影响 在现代腔量子电动力学实验中，采用让一原子束沿轴向通过矩形或者圆柱形 腔而与不同场模耦合的方法，来考察模场与原子耦合而产生的各种量子效应。我 们考虑两个原子以相同的速度1 ，同时出发沿腔轴z 方向运动，且在腔内一直保持 匀速不变。则在旋波近似下，s c h r o d i n g e r 绘景中此模型的系统的哈密顿量为： h = i - t o + 巧 2 h o - - - - ( 0 a + 以+ 妒 i = 1 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 2 矿，= 占厂( s ) ( 口+ s ! + 口s ：) + g ( s ：1 s 1 2 + s ! s ：2 ) ( 2 3 6 ) f = l ( s ) 为场模的形式函数啪1 ，现将原子的运动具体化为厂( j ) 一f ( v t ) 。这里用，表 示原子的运动速度，为具体讨论方便，我们定义式中p 表示长为l 的腔中模的半 波数，假定在t = o 时原子进入腔内经过p 个半波长后离开腔，有( s ) = s i n ( 丁p l c v t ) 。 2 4 纠缠理论 2 4 1e p r 佯谬 e i n s t e i n 就量子力学的基本概念与b o h r 多年争论之后，于1 9 3 5 年和 p o d o l s k y 和r o s e n 等共同发表了一篇蘑要文章，文章认为，利用理想实验的逻 辑论证方法，可以表明量子力学不能给出对于微观系统的完备的描述。通常称他 们的论证为e p r 佯谬。 他们的论证建立在两个主张的基础上： ( 1 ) 定域因果性观点。即：如果两次测量( 或一般地说，两个事件) 之间的 四维时空间隔是类空的，两次测量( 两个事件) 之间就相互无关，彼此不存在因 多个熔_ 了j 光场相且作用系统的量了：纠缠 果关系。 ( 2 ) 物理实在元素的观点。即作为一个物理实在的元素，任可观测的物理 量，必定在客观上以确定的方式存在着。也就是说，如果不去扰动一个系统，这 个系统的任何町以观测的物理量在客观上应当具有确定的数值。 由这两个主张便立即得出，以类空间隔分开的两个系统具有彼此相互独立的 物理实在性，这便是e p r 佯谬的核心思想定域实在论。 遵循e p r 佯谬的思路，1 9 5 1 年b o h m 提议口，考虑由1 2 自旋的两个相同原 子a 和b 组成的一个双原子分子，处于总自旋为零的状态上，分子因受某种影响 而分解，两个原子反向飞出，但它们的自旋仍处于关联态l 沙) 。上： ) 仰= 去( j ) 口+ 个) 一 ( 2 4 1 ) 反向飞行使它们彼此问的距离拉开得越来越大，于是，只要对它们作分别测量的 两次测量时刻足够靠近，这两次测量所构成的两个事件将是类空l 日j 隔。因此，对 原子a 的测量应当不会对原子b 造成任何影响。 首先，考虑可观测量盯夕= + l ，则可以肯定地推断b 处于仃夕= 一1 。反之， 如果测得o z 一= 一1 ，则知盯夕= + l 。总之，一旦对a 作了仃：的测量，则b 的盯：值 在客观上就是确定了的。并且，因为测量时间与距离所构成的间隔是类空的，从 狭义相对论的定域因果律得知，对a 的测量不会影响到b 的状态。这样，按定域 实在论的观点，仃夕应当是一个物理实在的元素。也就是说，不论人们是否对b 作测量，盯多在客观上是确定存在着。 其次，考虑可观测量吒，若对a 测得彩= + l ，应可推知= - 1 ，i n n n 时： 一( 吒- + 1 i ) 仰= 击( 一( 个上m 一曰 = 击l q = 一1 ) 口 ，( 2 4 2 ) 同样，若测得盯? = - 1 ，则知仃? = + l 。总之，对a 作了，的测量，便肯定地知 道b 的盯? 数值，而又不会扰动b 粒子的状态。也就是说，仃? 也是一个物理实在 的元素，客观上也有确定值。 第三，仃y 的情况也类似，即仃多也是一个物理实在的元素，客观上也有确定 值。 概括起来说，盯? ，仃多，盯岁都是物理实在元素。也就是说，它们在( 对b 江两师范人学硕- l 毕业论义 粒子作) 测量之前，客观上就是同时确定地存在着。然而，按照量子力学的观点， 由于相应算符彼此不对易，它们在客观上就是不能同时具有确定值的，甚至每个 粒子自旋指向本身也并不确定，这就是e p r 佯谬的内容。 e i n s t e i n 说，这个佯谬表明：要么，量子力学中利用波函数的描述方式是 不完备的：要么，即便类空间的两个子系统之问的实际状态也可以是不独立的。 根据定域实在论观点，e i n s t e i n 否定了第二条的怀疑，于是他认为，量子力学 的波函数描述方法是不完备的。这导致后来许多人猜测量子力学之外有隐变数存 在。 量子力学的回答是：量子力学之外的所谓隐变数是不存在的，量子力学的波 函数描述方式是完备的。与此同时，e i n s t e i n 的定域因果性原理作为对测量影 响的原则度量也是正确的，e p r 佯谬中错误的只是物理实在论观点：虽然测量事 件是类空间隔，但作为子系统的b 粒子本身已不独立，它的自旋盯? 值和a 的 自旋盯? 值紧密关联，形成统一系统的一个统一状态。因此，对a 的测量将影 响( 而不是“不会影响 如e i n s t e i n 所认为的) b 的取值，对a 的三组测 量将分别对b 的自旋取值造成不同的影响。量子力学主张，可能的结果依赖于所 进行的测量，不同的测量将带给量子态不同的塌缩，就会得到不同的测量结果。 这里，所谓b 的盯! 三者同时具有物理实在性的观点是和量子力学原理相违背 的，是客观上不成立的主观主义推断。其决定性的分歧在于e i n s t e i n 等人不能 理解：第一，量子力学中自旋态的构造及其( 因测量造成的) 塌缩均是非定域的 ( 这种非定域性将两个子系统a 和b 联结成为一个不可分割的量子系统) ；第二， 对同一个念所作的不同测量将会造成不同的塌缩，得到不同的结果。 迄今为此，实验一直支持以下观点： ( 1 ) 量子力学的描述是完备的，不存在隐变数( 塌缩的不确定性是本质的， 并非量子力学描述不完备的体现) 。 ( 2 ) 自旋态的构造以及自旋态的塌缩都是非定域的，而不是定域的。 ( 3 ) 物理实在论的观点是不对的。它的错误不仅在于要求微观粒子在任何状 态下，它的可观测量都必须客观上是确定的，而且还在于它对测量的看法：对测 量的影响塌缩持定域的观念，并且不理解不同的测量会造成不同的塌缩。 2 4 2s c h mid t 分解 ( 1 ) 可以证明，总可以将a + b 系统的任一纯态i ) 加表示为如下标准的表达 式，称为s c h m i d t 分解式： i y ) 一口= 万hl i 九，( 刃= 1 ) ( 2 4 3 ) ff 这里，瓦可以取j 下值或负值； i i 爿 和 l f ) b 分别是矽彳和矽口中的某种两组 特殊的( 即和i 沙) 一矗有关的) 正交基， 1 0 多个原子与光场栩且f l - f l 】系统的量了纠缠 一( f i ) 一= 岛 和 月( f 7 l 7 ) 爿= 岛 证明：此系统一般纯态可以表示为 i y ) 月口= 口州1 1 ) i ) 童院h ， ( 2 4 4 4 ) l , u i 这里， l i ) _ 和 i ) 口) 分别是h 一和h 口中的正交归一基，而且 h 兰口咖i ) 口 注意， i f 7 ) 口 不一定是正交归的。 原则上，对于子系统a 任意状态n ，总可以选到这样一组a 正交基 i 讥 ， 使得n 在这组基中是对角的。假定上面的 l 讥) 就是这组基，于是有 乃= 只h 爿( 卟 ( 2 4 5 ) f 另一方面，用态i ) 一占对子系统b 的部分求迹也可以表示这个成，即 成2 ( 1 ) 爿口月占缈i ) 2 i 等l 讥1 7 ) 删( i 占( 歹吁 r1 = 悟t ) 朋( 巾阢( 歹| f j = 口( 歹h 州( 祁 最后一步等号是由于 ( ( 耻；口( 尼阢( 州b 2 莩b ( 州朋( 后1 7 ) b = b ( 观 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 这里， 降) 占) 是子系统b 的任一组正交归一基。将这两个n 表达式相比较， 即得 口( 歹h = b 岛， 可啡) 8 ) 是彼此正交的。将它们归一，即州口2 忑i m 于是就得到 i y ) 爿8 = i 讥b ( 2 4 8 ) 江西师范人学硕：l ：毕业论义 这就是两体量子系统任一纯态i y ) 一b 的s c h m i d t 分解。显然，所采用的基一般地 会依赖于i y ) 一口，也就是说，一般而言不能用这两组正交归一基 i f ) 爿 和 i ，) 8 同 时又去对另一纯态i ) 仰作s c h m i d t 分解。 ( 2 ) 这时约化密度矩阵为 成= 护8 ( 1 沙) 彳口口( i ) = bl f ) 一月( i l ( 2 4 9 ) 岛= 护椰( 1 y ) 爿口月b ( 少i ) = p ii f 7 ) b 口( f 7 i ( 2 4 1 0 ) j 可以看到，岛与如的非零本征值相同( 这里不要求h 一和h 口的维数相同，仍与 p s 的零本征的个数可能不同) 。于是只要将以和n 对角化，就可以找到这两组 基 i 讥 和 口) 以及本征值所，从而给出s c h m i d t 分解的表达式。其步骤是： 对任给的态i 少) 肋，算出它的并矢( 注意还须取复数共轭) ，对a 或b 分别作部分 求迹运算，相应得到成或以，将它们分别在h 一和u 口中对角化，得到两组正交 归一基 i 讥) 和 8 ) 和一组本征值 b ) ，按这里的表达式即可写出f ) 一口的 s c h m i d t 分解。 ( 3 ) 由s c h m i d t 分解可知，可以为a + b 系统的任一纯态i y ) b 指定一个正 整数s c h m i d t 数，它是n ( 或岛) 中非零n 的个数，也就是s c h m i d t 分解 式中的项数。若一个纯态的s c h m i d t 数2 ，它必定为纠缠态。 2 4 3 量子纠缠态 l 、量子纠缠态的定义 在量子力学中，对于物质系统的状态是用量子态j 甲) 表示的，而两子系统的 量子纠缠态的定义即为：对于由a 、b 两个子系统组成的量子体系，如果整个体 系的态矢量l 甲( a ，b ) ) 不可能写成子系统态矢量的直积形式i 甲( a ) ) i 甲( b ) ) 时， 称态i t ( a ，b ) ) 为纠缠态，a 、b 两子系统被称为是互相纠缠的。这个定义可以扩 展到多体子系统：若整个系统的量子态不能表示为各个子系统的直积形式，则称 为纠缠态。 不过以上所述只是对于描述系统的量子态为纯态的情况，若系统处于混合态 1 2 多个原了与光场相吒作用系统的量了纠缠 ( 用密度矩阵p 表示) 则纠缠的定义要复杂一些。以两子系统为例：若系统的态 密度矩阵町以表示成 p a b = p ，p 一，p 肼 ( 2 4 11 ) ， 则a 、b 系统f n j 不存在纠缠，反之则为纠缠态。 2 、纠缠态的判别与度量 给定一个多粒子量子态，如何判断其是否含有纠缠，在一般情况下，并非一 件容易的事。如果含有纠缠，如何进行定量的度量? 以上两个非常重要的问题， 目前都没有得到很好的解决。 ( 1 ) 纠缠的判别 对于纯态的情况很容易判断系统是否处于纠缠态，无论是两体系统还是多体 系统。一个不能写成如下形式的纯态就是纠缠的： 甲) = i y ) o l 妒) 口 ( 2 4 1 2 ) 在混合态情况下，这件工作就变得非常困难了，特别是对于多体系统的情况，确 定其可分性判据至今是一项很有挑战性的工作。a p e