（计算数学专业论文）多元分次插值问题的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 座逝煎 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：蕉隧丝指导教师签名 签名日期： 山o 年石月够日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 内容摘要：多元插值问题是计算数学中一个非常重要的研究领域，是一个既基本又经典 的数学问题，在计算数学中占据着核心地位插值问题发展到今天也取得了许多研究成果 由于多元插值在许多领域有广泛的应用，因此多元插值问题的研究也越来越受到人们的 重视本文对多元插值和多元分次插值做了深入的研究，给出了构造二元分次插值适定结 点组的新方法 本文共分为三章，第一章主要介绍了多元多项式插值的一些基本理论及构造方法，并 给出了代数簇中的多元插值，对前人的研究成果进行了总结第二章重点讨论了平面代数 曲线上的l a g r a n g e 插值及代数曲线和空间代数曲面上的l a g r a n g e 插值问题，将多元插值 问题具体化，并给出了有关l a g r a n g e 插值的诸多研究成果第三章在二元全次数多项式插 值的理论基础上，给出了构造二元分次插值适定结点组的新的构造方法：添加代数曲线 法 定理3 2 1 q ) 二是r 2 上关于插值空间p 。，。的插值适定结点组，若它的每个点都不落 在曲线y = x 2 上，则在该曲线上任取的朋+ 2 n + 5 个互异的点与 q ) ：一起必定构成 己+ ：| “的插值适定结点组 在该定理基础上。得到了主要结果： 定理3 2 2 q f 也是r 2 上关于插值空间p ，一的插值适定结点组，若它的每个点都不 在曲线y = a o + 口l 工+ a ，( q o ) 上，则在该曲线上任取的m + t n + 2 t + 1 个互不相同的 点与娩一起必定构成己呦h 的插值适定结点组 关键词：适定结点组；多元插值；多元分次插值；代数曲线；代数曲面 多元分次插值问题的研究 t h er e a s e r c ho fm u l t i v a r i a t eg r a d e d i n t e r p o l a t i o n a b s tr a c t c o n t e n t ：m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o ni sav e r yi m p o r t a n tr e a s e r c hf i e l di n c o m p u l a t i o n a l m a t h e m a t i c t h i si sab o t hb a s i ca n dc l a s s i cm a t h e m a t i c a lp r o b l e m i ti sa ni m p o r t a n tp a r ti n c o m p u l a f i o n a lm a t h e m a t i c s of a rp e o p l eg e tm a n yr e s e a r c hr e s u l t sa b o u tm u l t i v a r i a t e i n t e r p o l a t i o n b e c a u s em u l t i v a r i a t eg r a d e di n t e r p o l a t i o nh a sa w i d e s p r e a da p p l i c a t i o ni nm a n y f i e l d , p e o p l eh a v ec o m et of o c u so nm u l t i v a r i a t eg r a d e di n t e r p o l a t i o n w er e s e a c hf u l t h e l m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o na n dm u l t i v a r i a t eg r a d e di n t e r p o l a t i o ni nt h i sp a p e r a n dt h i sp a p e r g i v e sn e wc o n s t r u c t i v em e t h o d s o fp r o p e r l yp o s e ds e t o fn o d e si n b i v a r i a t eg r a d e d i n t e r p o l a t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a r p t e r s i nt h ef i r s tc h a r p t e r , w ei n t r o d u c et h et h e o r y a n dc o n s t r u c t i v em e t h o d eo fm u l t i v a r i a t e p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n a n dm u l t i v a r i a t e i n t e r p o l a t i o no na l g e b r a i cv a r e i e t i e s w ec o n c u l tk n o w nr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a r p t e r , w e t a l ka b o u tb i v a r i a t el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n a l o n g a l l a l g e b r a i c c u l v ea n dm u l t i v a r i a t e l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na l o n ga na l g e b r a i cs u l f a c ea n da l la l g e b r a i cc a lv ei nr3 w ec r s t a l l i z e t h i sp r o b l e mi nt h i sc h a r p t e ra n dg i v es o m er e s u l to nm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n i nt h et h i r d c h a r p t e r ，o nt h eb a s i co ft h et h e o r i e so fb i v a r i a t ep o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o no ft o t a ld e g r e e ，w e g i v en e wc o n s t r u c t i v em e t h o d so fp r o p e r l yp o s e ds e to f n o d e si nb i v a r i a t eg r a d e di n t e r p o l a t i o n ： e v e r yd e g r e ea l g e b r a i cc u r v ep r o c e s s t h e o r e m 3 2 1 q 岂i sai n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e sa b o u ti n t e r p o l a t i o n ，l ，l 霉- 一 s p a c e 只j i i nr 2 i fe v e r yp o i n ti n 娩匕i sn o to nc u r v e y = x 2 ，m + 2 n + 5d i f f e r e n t p o i n t si nt h i sc u r v ea n d 娩匕i s ai n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e ds e to f n o d e sa b o u t 己+ 撕1 o nt h eb a s i co f t h i st h e o r e m , w eg e tf o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m 3 2 2 娩i sai n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e sa b o u ti n t e r p o l a t i o n s p a c e 只一i nr 2 i fe v e r yp o i n ti n l 幺恐i sn o to nc u r v e y = 口o + 口l x + 口f x t , ( 口f o ) ， m + t n + 2 t + ld i f f e r e n tp o i n t si nt h i sc u r v ea n d 娩i sai n t e r p o l a t i o np r o p e r l yp o s e ds e t o f n o d e sa b o u t 己枷+ 1 k e yw o r d s ：p r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e s ；m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n ；m u l t i v a r i a t eg r a d e d i n t e r p o l a t i o n ；a l g e b r a i cc u r v e ；a l g e b r a i cs u r f a c e i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要。i a b s t r a c t j 弓l言1 1 多元多项式插值理论与方法简介2 1 1 多元多项式插值2 1 2 二元多项式插值3 1 3 代数簇中的多元插值。5 2 多元l a g r a n g e 插值1 0 2 1 平面代数曲线上的l a g - r a n g e 插值。1 0 2 2 代数曲面和空间代数曲线上的l a g r a n g e 插值1 3 3 多元分次l a g r a n g e 插值。1 8 3 1 预备知识1 8 3 2 主要结果及证明2 l 结论2 4 参考文献2 5 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 6 致谢2 7 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 多元插值问题是计算数学研究的经典问题，可以说在计算数学中占据着核心地位 随着学科内容的不断细化，多元分次插值问题的研究越来越受到重视，在现实生活中也 有着广泛的应用 公元5 5 4 - 6 1 0 年，我国数学家刘焯最早提出了插值概念，开始了插值问题的研究研 究插值问题主要是研究插值问题的适定性( 又称正则性) 1 9 6 5 年，梁学章在 2 中将二元 l a g r a n g e 插值的适定性问题转化为一个几何问题来研究用代数几何的方法更直观的研 究二元多项式插值空间的适定结点组问题，并给出了添加直线法和添加圆锥曲线法两种 构造插值适定结点组的方法1 9 7 7 年，c h u n g 和y a o 在 3 中给出了刀次g c 条件，对插值 问题的研究作出了重要贡献1 9 9 8 年，吕春梅 1 在此理论基础上，进一步研究，构造出了 平面上沿无重复分量代数曲线进行l a g r a n g e 插值的适定结点组及代数超曲面和代数集 上的插值适定结点组，在此研究领域取得了突破性进展，将二元l a g r a n g e 插值推广到 了多元l a g r a n g e 插值，得到了一系列的相关定理，这些定理我们将在文中一一列举2 0 0 3 年，崔利宏 6 通过引入弱g r o b n e r 基这一数学概念，对梁学章和吕春梅等人创立的关于 构造沿平面代数曲线上二元l a g r a n g e 插值适定结点组的理论和方法做了进一步地深入 研究和讨论，推广了沿平面代数曲线上的二元l a g r a n g e 插值适定结点组的理论从平面 代数曲线上的l a g r a n g e 插值与代数曲面和空间代数曲线上的l a g r a n g e 插值问题两个方 面着手，分别取得了一系列研究成果，上述研究成果也将在文中一一提及 对多元分次插值问题研究最早的也是梁学章教授在1 9 6 5 年，他就给出了二元分次 多项式插值适定结点组的构造方法，构造出了竖线型( 横线型) ，十字型等各种适定结点 组，后来又给出了迭加插值法，朱平与傅凯新在此基础上在文献 1 2 1 3 中向高维情况 做了推广，姜志敏也将构造沿平面代数曲线的插值适定结点组的方法进一步推广，有了 新的发现 本文介绍了多元多项式插值的一些理论及构造方法，讨论了平面代数曲线上的 l a g r a n g e 插值及代数曲线和空间代数曲面上的l a g r a n g e 插值问题，在二元全次数多项 式插值的理论基础上给出了构造二元分次插值适定结点组的新的构造方法：添加代数曲 线法，主要贡献为： 定理3 2 2 q ) 二是r 2 上关于插值空间p 。一的插值适定结点组，若它的每个点都 不在曲线y = a o + q 工+ + a t x t , ( a t 0 ) 上，则在该曲线上任取的皿+ 甜2 t + 1 个互不相同的 点与 q ) 二一起必定构成p 。咖+ 。的插值适定结点组 多元分次插值问题的研究 1 多元多项式插值理论与方法简介 插值问题是计算数学的一个基本问题，同时它又是一个相当经典的数学问题可以 说，插值问题的研究在计算数学中占据着核心地位也因为如此，早在公元5 5 4 - 6 1 0 年间 我国数学家刘焯就率先提出了插值这一概念，开始了插值这一问题的研究插值问题发 展到今天取得了许多重大成果一元插值的研究理论已近乎完善，而多元插值问题的研 究因受计算工具等限制才刚有几十年的发展历史尽管研究时间不长，却也取得了众多 成果在这一章中，我们将总结多元插值的研究成果并加以评述 1 1 多元多项式插值 插值问题最常用的提法是：对于一个给定的赋范线性空间】，矿是l r 的一个有限线 性子空间，f = ) 。q 耐= m 和c = q ) ：了分别是有界泛函的一个有限集和一个实数集，寻找 一个y 中的元素p y ，使之满足条件： = c q ，q = 1 ，m ( 1 1 ) 如果对于任意一个给定的实数集c = q ) 墨，方程( 1 1 ) 总有唯一解，则称该插值问题是 正则的( r e g u l a r ) 反之，称该插值问题是奇异的( s i n g u l a r ) 很明显，要使一个插值问题 正则，必须满足： d i m v = m ( 1 2 ) 一般情况下，实数值q 是由泛函作用于y 中的一个元素厂得到的，即 q = f ，q = 1 ，m ( 1 3 ) 吕春梅在其论文【l 】中有对多元插值问题给出了如下新的提法： 设d 是万维欧氏空间c “的有界闭域，而，是d 中小个互异的 点，p 。o k ，p 册( x ) 是定义在d 上的1 7 1 个线性无关的万元代数多项式，设厂( 工) 是定义 于d 上的刀元连续函数，v x , ，i = 1 ，m ，均存在一个多项式空间q f ，所谓多项式插值问题， 就是要找出线性组合式 p ( 石) = c i p ，o ) ( 1 4 ) i = 1 使之满足插值条件 辽宁师范大学硕士学位论文 g ( d ) 0 一力( 毛) = 0 ，v q q ，i = 1 ，历 ( 1 5 ) 其中q ( d ) 表示相应的常数系数的微分算子这样求得的p ( x ) 称为函数f ( x ) 的插值多项 式，f ( x ) 称为被插函数，而 ，( x ) = 厂( 功- p ( x ) 称为插值余项 以后，我们称插值条件( 1 5 ) 中所用的点组“) 刍为插值结点组，而把 a ( x ) ，i = 1 ，m 支成的空间p 称为插值空间若对任意的连续函数f ( x ) ，上述插值问题 总有唯一解，就说该问题为适定插值问题，并称瓴) 刍为空间尸的适定结点组 特别地，若对任意而，i = l ，研，相应的q 为常数空间，则称该插值为l a g r a n g e 插值， 这时插值条件( 1 5 ) 应改为 p 瓴) = f ) ， f = 1 ，小( 1 6 ) 基于上面的讨论，我们知道多元多项式插值的正则性问题与适定性问题其实是同一 问题的两种不同表述，研究多元多项式插值的适合定性问题有着重要的意义 1 2 二元多项式插值 通过对上一节的分析，我们了解到：研究多元多项式插值必须首先要解决的问题是 插值的正则性问题，即适定性问题那么，具备哪些性质的结点组才可以成为给定的插值 多项式空间的适定结点组呢? 针对这一问题，梁学章教授作了深入的研究早在1 9 6 5 年， 他就在 2 中将二元l a g r a n g e 插值的适定性问题转化为一个几何问题来研究用代数几 何的方法来构造二元多项式插值空间的适定结点组问题也变得简单直观了下面我们简 要介绍一下 2 中的结果 我们用群2 来表示次数不超过力的二元多项式构成的空间，p ( x ，) ，) 表示2 中的万 次代数曲线 定义1 2 1 1 2 设i = q ) 乌是碍2 中七个互异点的集合，其中k = ( n + 2 ) ( n + 1 ) 2 ，对 于任意给定的实数组u ) 鲁，寻找一个群2 中的多项式p ( x ，少) ，使之满足如下插值条件： p ( q ) = z ， i = 1 ，后 ( 1 7 ) 多元分次插值问题的研究 如果对每一个任意给定的实数组 z ) 岛，方程组( 1 7 ) 总存在唯一解，则我们称该插值问 题是适定的( 或称该插值i 口- j 题是适定插值问题) ，并且称相应的插值结点组i = q 岛为关 于多项式空间群2 ) 的一个插值适定结点组 定理1 2 1 ( b e z o u t 定理) 【2 】 若代数曲线p 。( z ，少) ，p ：( x ，y ) 的次数分别为m 次和刀次， 它们的交点个数多于l n 个，则一定有次数既不超过聊也不超过以的非零多项式q ( x ，y ) 存在，使得 p 1 ( x ，y ) = q ( x ，y ) 吒o ，力 p 2 ( x ，y ) = q ( x ，) ，) 吃o ，y ) 式中， ( x ，) ，) ，吃o ，y ) 分别为次数小于聊和万的二元实系数多项式 辽宁师范大学硕士学位论文 引理1 2 1 i l 】 缸) 乞是沿m 次无重复分量的代数曲线g ( 工，力= 0 的行次插值适定结 点组的充要条件是：若p ( x ，y ) 巧孙r p ( q ，) = 0 ，i = l ，k ，则肯定存在着r ( x ，y ) 础， 使得p ，y ) = q ( x ，y ) r ( x ，) ，) 定理1 2 3 l l j 设q ( x ，力= 0 是复平面上m ( m 1 ) 次无重复分量的代数曲线 q ( x ，) ，) = q l o ，y ) 吼 ，y ) 其中g ，瓴y ) ( f = 1 ，s ) 是互异的次数分别是m ，的不可约代数多项式，并且有 m = + + m ，则在q ( x ，力= 0 的每个分量g ，o ，y ) = o 上任取n m ，+ 1 个互异的点后，再 1 适当去掉这些点中的，- = i 1 ( 所2 - 3 m ) + s 个，剩余的点则构成了沿代数曲线q ( x ，y ) = 0 的疗 么 次插值适定结点组 当代数曲线q ( x ，y ) = 0 是不可约代数曲线时，也就是j = 1 时，就得到了下面的推论： 推论1 2 1 【1 j 设q ( x ，力= 0 是复平面上m ( m 1 ) 次不可约的代数曲线，则先在 1 q ( x ，y ) = 0 上去掉n m + 1 个互异的点以后，再适当地从这些点中去掉，= i i ( m 1 ) ( m 一2 ) 个， z 剩余的点则构成了沿代数曲线g 阮y ) = 0 的，1 次插值适定结点组 通过对复二维平面上插值适定结点组几何结构的研究，吕春梅又得到了一些结论： 定理1 2 4 ( 递归构造性定理) 【l 】设a 是碍2 的适定结点组，i 刽表示a 中所含的点 ”m - 数，i 刽= 去o + 1 ) + 2 ) 做一条m 次无重复分量的代数曲线q ( x ，y ) = o ，使其不经过a 中 二 任意一点，任取沿代数曲线q ( x ，y ) = o 的以+ m 次插值适定结点组b ，则a u b 一定是礁 插值适定结点组 由推论1 2 1 和定理1 2 4 可以直接得到下面的结论： 定理1 2 5 【l 】若乜) 笔是群2 的插值适定结点组，它的每个点都不在m ( m 1 ) 次不可 约的代数曲线q ( x ，y ) = 0 上，则在q ( x ，y ) = 0 上任取( n + m ) m + 1 个互异的点后，再适当去 1 掉这些点中的，= 去( m 一1 ) ( 聊一2 ) 个，剩余的点与 q i ) 毛一起则构成了一p 。a ( + m 的一个插值适 二 定结点组 下面的定理可以看作是递归构造性定理1 2 4 的逆定理，这个定理最终给出了曩2 的适定结点组的几何结构 多元分次插值问题的研究 定理1 2 6 ( 适定结点组结构定理) 1 1 设a 是群2 的适定结点组，则a 必能由递归 构造性定理1 2 4 得到 1 3 代数簇中的多元插值 近年来随着g r o b n e r 基的兴起，从代数角度来研究多元插值问题变得日益流行人们 也取得了一些研究成果我们首先给出从代数角度来如何描述插值问题，并说明代数插 值问题的存在唯一性在这之前，我们先给出下面的定义： 定义1 3 1 1 5 1 多项式集合j k 而，】( k 而，毛】为刀元多项式环) 称为理想， 如果： ( 1 ) 0 i ： ( 2 ) v 厂，g j ，厂+ g i ： ( 3 ) 勺歹，h k x a ，x n ，h f i 定义1 3 2 【5 】所有在给定的插值结点组乜) 乌上取值为零即满足齐次插值条件的 多项式组成的集合( 容易验证其为k 硼= k x 妒。i x 。】中的理想) ，称为该插值结点组上的 消逝理想，我们记为厶任红菊在 4 中代数插值问题可以叙述成下列形式： 设k 是一个数域( 通常用来指实数域r 或复数域c ) ，在k “上给定m 个互异的点： a l ，a 。，称为插值结点，插值结点处相应的函数值记为五，厶，构造一个多项式p ( x ) ， 使他满足如下插值条件： p ( a f ) = z ，扛1 ，m ( 1 8 ) 显然，若p 。o ) ，p ：( x ) 均满足如下插值条件： 见( 口f ) = z ，k = 1 , 2 ；i = 1 ，m ， 则 p l ( 口f ) 一p 2 ( 口i ) = o ，i = 1 ，m 也就是说夕。 ) ，p ：( x ) 以a i 为其零点 我们用l 表示所有以q ，江l ，研为根的多项式构成的集合代数上，它会生成一个 理想，也就是前面提到的消逝理想，记为a = “，a 。) 从前面的叙述可知，任意两个满 足同一插值条件的多项式的差属于该插值结点集的消逝理想 用k 朋l 表示l 的商环，若p ( x ) k x l ，则 一6 一 辽宁师范大学硕士学位论文 p + 1 a k x il 于是求插值多项式p o ) 就转化为求p ( x ) k x 】l ，只需使其满足插值条件( 1 8 ) 即可 由交换代数的知识我们知道，由于l 的零点集中含有m 个互异的点，因此k x 】l 是m 维的线性空间，并且其基底能由m 个形如石7 = 矸的单项式构成因此，构造出 k x l 的基底 一= 砷i 廿，f = 1 ，m 令 p o ) = a k k = l 根据插值条件( 1 8 ) ，有 a 。( a ；严= z ，i = l ，m ( 1 9 ) 解( 1 9 ) ，即可得至1 j a ，从而求出p ( 工) 不难验证，当a i 互异时，( 1 9 ) 的系数行列式非零， 从而我们得到它的解存在且唯一 接下来我们给出用代数观点来研究多元插值问题得到的一些结论在此之前，首先 给出代数几何中的相关知识： 定义1 3 3 【5 】对于j c k 毛，毛】，y u ) = z k “：厂( x ) = 0 ，可e 1 ) 我们称为理想 川向代数集，反过来对于代数集v ，我们定义i ( v ) = u ：厂( x ) = 0 ，乃 定义1 3 4 【5 l 设，是理想，其根理想定义为集合7 = ：厂”d 命题1 3 11 5 j 设，是理想，k ，巧是代数集，则 kc 匕j ，( 巧) 3 ，( 匕) 定理1 3 1 ( h i l b e r t 零点定理) 【5 】设k 为代数闭域，石，e k x ，毛】且 f ，( y ( ) ) ，则存在着m 1 使得 f ”( 石，z ) 一 定理1 3 2 ( 强零点定理) 【5 】设k 为代数闭域，1 是k k ，】的一个理想，则 j ( y ( ，) ) = 仃3 i 命题1 3 2 【5 】设厂k 五，毛】，= ( 厂) 是厂生成的主理想厂= 石”p 是厂的不 可约表示。则 ， 多元分次插值问题的研究 拓= 历= ( “无) 特别地，当厂为无重复分量代数多项式时，j = ， 吕春梅 1 中用代数观点将插值问题推广到了超曲面上，主要研究成果如下： 基本假设【l 】设g ，j i l ，c 。，其中g 是一个m 次不可约多项式，它决定了c 上的 一个m 次不可约超曲面，j l l ，h d 是一次多项式，它们决定了c 中d 个超曲面，而且 s ，h d ) 是一个s - d - 1 维的代数集，它同构于s d 维空间的一个m 次不可约超曲 面 引理1 3 1 【l 】 在上述基本假设下，对任意的尸q ”，若s ( p ) 3s ( g ，j j l l ，h d ) ，则 存在多项式，a d 使得 p = a o g + 口l | j l l + + a d h d 其中 m a x d e g ( a o g ) ，d e g ( a f 啊) ，f = 1 ，d 刀 定义1 3 5 【l 】 设q ( x ) = o r ：c 。( s 2 ) 上所次无重复分量的代数超曲面，乜 乌是 超曲面上的k = 一c 个互异的点，若由 p ( x ) q ”，p ( q ，) = o , i = 1 ，七 可以推出在代数超曲面q ( 四= 0 上有 尸( x ) 耋0 就称慨) ：。是m 次无重复分量代数超曲面q ( z ) = o 上的y 次插值适定结点组 引理1 3 2 【1 l 设七= ，一g 一， 口f ) 冬。是聊次无重复分量代数超曲面q ( 朋= o 上 的刀次插值适定结点组的充要条件是对所有满足盹，) = o ，i = l ，j 的尸( z ) ”，均能 分解成如下形式： p ( 的= q ( x ) r ( x ) 其中 g ( x ) q 三 一般地，我们考虑a d 中代数集上的插值适定性问题 定义1 3 6 【l l 设f = g ，啊，) ，且s ( f ) 满足基本假设，i = 乜) ：，是代数集 s ( f ) 上后= c 。a 。- d 一一q 岛- _ 个互异的点，那么对任意的p ( x ) q “，若 s ( 力3 i = 争s ( p ) 3 s ( ，) 辽宁师范大学硕士学位论文 则称，是代数集s ( f ) 的刀次插值适定结点组 很明显，当f = 缈，q 为c 5 中无重复分量的代数超曲面时，定义1 3 6 与定义1 3 5 是相同的情况 关于代数集上的插值适定结点组，我们有一个类似于添加直线法的重要结论，下面 的定理就说明了这一点： 定理1 3 3 【l 】在基本假设下，设代数集s ( g ，j j l l ，h d ) 上的刀次插值适定结点组为 口，取不通过口中的任意点的超平面，使s ( g ，j j l l9 0o * 9 h a ，f ) 是一个j d 一2 维的代数集， 它与一个s d 一1 维的聊次不可约超曲面同构，任取s ( g ，岛，h a ，f ) 中的n + 1 次插值适 定结点组卢，则口u , 8 一定是s ( g ，j j l l9 0 * 9 h a ，f ) 的n + 1 次插值适定结点组 由于超陆面上的任意一点都是它的0 次插值适定结点组，所以由该点出发，反复应用 上述定理，就可以得到c 中的任意一个不可约代数超曲面上的以次插值适定结点组 上述结论同样适用于厂是c 中的无重复分量的代数曲面的情况 上面讲的是多元空间插值与一个无重复分量的代数曲线或曲面的情况，接下来我们 给出的定理是多元空间插值与无重复分量的代数超曲面的情况 定理1 3 4 ( 递归构造性定理) l l j 设口是c 0 2 ) 的插值适定结点组，i a l = ， 做一个m 次无重复分量的代数超曲面q ( z ) = 0 ，使该超曲面不经过口中任意一点，任取 超曲面q ( 彳) = 0 上的n + m 次插值适定结点组卢，则口u d 一定是a 毫的插值适定结点 组 下面的定理可以看作是递归构造性定理的逆定理，他给出了a d 0 2 ) 的插值适定 结点组的几何结构 定理1 3 5 ( 适定结点组结构定理) i l j设a 是c l d 0 2 ) 的适定结点组，则口必能由递 归构造性定理构造 多元分次插值问题的研究 2 多元l a g r a n g e 插值 多元l a g r a n g e 插值是多元多项式插值的最常见的插值形式因而一直以来，人们都 热衷于对多元l a g r a n g e 插值的研究本章主要从平面代数曲线上的l a g - r a n g e 插值与代 数曲面和空间代数曲线上的l a g r a n g e 插值问题等方面着手，给出人们( 尤其是崔利宏老 师) 的主要研究成果 辽宁师范大学硕士学位论文 定理2 1 1 2 1 i = q ) 毛是毕的插值适定结点组的充要条件是i = q ) 毛不在 曩2 中的任何一条代数曲线上( 我们用p ( x ，y ) = o 表示2 中的以次代数曲线，如果满足 条件p ( x ，y ) 碍2 且p ( x ，y ) 不恒为零) 定理2 1 - 2 【2 】若i = q ) 毛是碍2 的插值适定结点组，它的所有点均不在某条m 次 ( m = 1 ，2 ) 不可约代数曲线上，则从这条曲线上任意选取伽+ 3 ) m 一1 个互异的点，这些点 与i = q ) 毛一起就一定能构成碱的一个插值适定结点组 上述定理给出了添加直线法( m = 1 ) 和添加圆锥曲线法( m = 2 ) 构造插值适定结点组 的理论依据 吕春梅在上述理论的基础上提出了沿平面代数曲线进行l a g r a n g e 插值的概念，讨论 了m = 3 的情形 定义2 1 2 i l j 设q ( x ，y ) = 0 是复平面上m 次无重复分量的代数曲线( 我们称代数曲 线q ( x ，y ) = 0 为无重复分量代数曲线，如果多项式q ( x ，y ) 的分解式中没有重因子) ， g i 笔 1 是代数曲线上七个互异的点，其中k = 疗聊一i 1 ( 研2 3 m ) ( n m ) ，对v p ( x ，y ) 并，如果 二 p ( q ；) = 0 ， i = 1 ，七 则在代数曲线q ( x ，力= 0 上有 p ( x ，y ) 兰0 就称缸 三是沿m 次无重复分量的代数曲线q ( x ，y ) = 0 的n 次插值适定结点组 注记：“对砌( x ，y ) 碍，如果p ( q ；) = 0 ，i = 1 ，七，则在代数曲线q ( x ，y ) = 0 上有 p o ，y ) - - 0 可由“如果对于每一个任意给定的实数组m ) 笔，能找到一个多项式 g ( x ，y ) 碍2 1 ，满足插值条件g ( 吼) = z ，i = 1 ，k ，且对于每一个任意给定的实数组 m ) 乌，g ( q ，) = z ，i = l ，k 总有唯一解”取代 定理2 1 3 1 1 j 设一个m 次无重复分量代数曲线g ( 工，y ) = 0 和一直线l ( x ，y ) = o 恰好 有m 个互异的交点，记为i = q 刍，如果e = q ) 岛ei ：2 ) ( g ) ( 0 2 ( g ) 表示所有沿平面代 数曲线q ( x ，y ) = 0 的n 次插值适定结点组的集合) 并且i n e 是空集则有 i u e e 2 ) ( g ) 这个定理可以理解为构造沿平面代数曲线插值适定结点组的添加直线法，接下来的 定理可以理解构造二元多项式空间插值适定结点组的添加平面代数曲线法，定理2 1 2 多元分次插值问题的研究 所给出的构造插值适定结点组的添加直线法和添加圆锥曲线法就是下面定理当m = 1 和 m = 2 的特殊情形 定理2 1 4 【l 】设i = q ) 乌是碍2 的插值适定结点组，它的所有点均不在辨次无重 复分量代数曲线g ( 工，力= o 上并_ r e ，黩( g ) ，则e u j 构成了礁( g ) 插值适定结点组 定理2 1 5 1 1 1 设七= ，一c ：+ ，嘣， g f ) 毛是册次无重复分量代数超曲面q ( 司= o 上的刀次插值适定结点组的充要条件是对所有满足p ( q ，) = o , i = 1 ，五的p ( x ) c ：，均能 分解成如下形式： 尸( x ) = q ( x ) r ( x ) 其中 r ( 固 为了引出后面的定理，我们先给出弱g r o b n e r 基这一数学概念，先给出一些备用知 识： 定义2 1 3 【5 l 多项式集合，_ k x l ，x 。】( k 五，x 。】为n 元多项式环) 称为理想， 如果： ( 1 ) 0 1 ：。 ( 2 ) v ，g ，厂+ g ，： ( 3 ) v f 1 , h k 【黾，x 。】，h f 1 定义2 1 4 【5 】设石，厶为k 毛，工。】中的m 个多项式，则定义 ( 石，厶) = 以z ，j j l l ，k k x 1 ，矗】) i = l 显然研，厶) 是一个理想，我们把瓴，厶) 称为由五，l 生成的理想 数域k 上关于变量墨，的多项式是一个形如厂= q 一，q k 的单项式x 的有 l 限k 线性组合，而厂的全次数定义为d e g u ) = m a x i l ；a ，0 ) 定义2 1 5 ( 弱g r o b n e r 基) 【5 】假设p ie k x l ，j c l 】，i = 1 ，m ，d e g p f = 并且 1 - - ( p 妒，p 。) ，如果对于每个多项式p ，n 群盯，我们总能找到多项式 a fek x l ，】( f = 1 ，m ) ，使得 p = q p ， 辽宁师范大学硕士学位论文 成立，而且满足d e g a ；n - l , ( i = l ，m ) 那么我们称多项式集合仞。，p 。) 是关于 i = ( p l ，p 。) 的弱g r o b n e r 基 根据上述理论基础，崔利宏老师又得到了以下构造沿平面代数曲线插值适定结点组的新 结论： 定理2 1 6 【6 l假设一个m 次无重复分量代数曲线q ( x ，y ) = 0 和一个z 次代数曲线 p ( x ，y ) = o 交与m 个不同的点，记为彳= q ) ：，而且记仞，q ) 是关于理想1 = ( p ，q ) 的弱 g r o b n e r 基，b e 2 ( g ) o m 一2 ) r a n b 是空集，那么我们有 彳u 召正2 ( g ) 定理2 1 7 【6 1 假设一个m 次代数曲线q ( x ，少) = 0 和一条圆锥曲线p o ，y ) = 0 交与 2 m 个不同的点，a = q f 驾，而b 正2 ( g ) ( 拧m - 2 ) g an b 是空集，那么我们有 a u b e 笔( g ) 由该定理我们知道假设一个m 次代数曲线q ( x ，y ) = 0 和一条圆锥曲线p ( x ，y ) = o 交 与2 历个不同的点( b e z o u t 数) ，那么p ，办肯定是关于理想1 = ( p ，q ) 的弱g r o b n e r 基 2 2 代数曲面和空间代数曲线上的l a g r a n g e 插值 在上一节中我们对二元l a g r a n g e 插值进行了深入的讨论研究，对二元l a g r a n g e 插 值适定结点组的几何结构和基本特征有了较深的认识然而，在许多现实应用中却有了 一些二元l a g r a n g e 插值解决不了的问题( 如曲面的拼接等) ，这常常要用到沿r 3 中代数 曲面及沿空间代数曲线的理论因此，对沿代数曲面插值以及沿空间代数曲线插值问题 的研究就显得更有理论意义和应用价值 在这一节中我们将首先给出代数曲面充分相交和沿空间代数曲线进行l a g - r a n g e 插 值的基本概念，然后又给出了沿空间代数曲线插值适定结点组的一些基本理论和构造方 法，并在此基础上将沿代数曲面插值适定结点组的构造方法推广到了最一般的情形，下 面我们主要介绍一下这方面的理论研究成果首先我们给出一些基本概念和理论： 我们用耳3 ) 表示所有全次数不超过以的三元实系数多项式构成的空间 定义2 2 1 【7 】假设i = q f 毛是巧3 中k ( k = 伽+ 3 ) ( 刀+ 2 ) 0 + 1 ) 6 ) 个互异的点，对 于任意给定的实数组u 毛，寻找一个并3 中的多项式p ( x ，y ，z ) ，使之满足如下插值条 件： 多元分次插值问题的研究 p ( q ) = z ， i = 1 ，j | 。 ( 2 2 ) 如果对每一个任意给定的实数组m ) 毛，方程组( 3 2 ) 总存在唯一解，则我么称该插值问 题是适定的( 或称该插值问题是适定插值问题) ，并且称相应的插值结点组i = q ) 岛为关 于多项式空间的牟3 ) 的一个插值适定结点组 定理2 2 1 1 8 】 i = q ) 毛是曩3 的插值适定结点组的充要条件是i = q 二中的每 个点均不在群3 中的任何一个代数曲面上( 我们用p ( x ，夕，力= 0 表示群3 中的代数曲面， 如果满足条件p ( x ，y ，z ) e n o ) r p ( x ，y ，z ) ) 不恒为零) 满足上述条件中的插值适定结点组一定不能在同一代数曲面上，否则会出现插值问 题不适定然