（概率论与数理统计专业论文）几个超额赔款再保险风险模型的研究.pdf

摘要 风险模型是关于保险公司收入与索赔的随机模型，是保险产品设 计及公司经营管理的理论基础。鞅是个重要的随机过程，它有许多 优良性质，并已成为许多科学领域进行理论研究的一个重要工具。自 从g e r b e r 把“鞅方法”引入风险理论以来，人们利用它研究了许多 其它工具难以解决的问题，得到了许多著名的结果。为此，本文的主 要目标是：用“鞅方法”研究在不同条件下的超额赔款再保险风险模 型，得到其破产概率的上界和最终破产概率。 本文首先简要介绍了与论文有关的风险理论、再保险以及随机过 程等方面的知识，然后依次具体地研究了四个不同条件下的超额赔款 再保险风险模型。第一个模型将经典风险模型中的保费收入与时间的 线性关系推广为保费收入是随机收取的，研究了保费随机收取的单险 种超额赔款再保险的风险问题，第二个模型把单险种推广为双险种， 并考虑了保险公司的不确定收益或付款，研究了保费随机收取的带干 扰的双险种超额赔款再保险风险问题，第三个模型把理赔发生次数为 强度恒定不变的齐次泊松过程推广为强度是随机测度的重随机泊松 点过程c o x 过程，研究了理赔发生为c o x 过程的超额赔款再保险风 险问题，第四个模型则把保费收取也放宽为c o x 过程，研究了保费 收取与理赔发生都为c o x 过程的超额赔款再保险风险问题。前三个 模型分别得到了它们的破产概率的一个上界和最终破产概率，第四个 i 模型则得到了它的破产概率的一个上界以及当两累积强度成比例时 的最终破产概率。 本文的基本研究方法仍然是经典风险模型里用到的“鞅方法 ， 但是本文根据具体情况进行讨论，紧密联系实际，在本文中讨论的模 型及相关结果能够帮助保险公司决策是否购买某些险种的再保险。 关键词风险模型，超额赔款再保险，破产概率，c o x 过程 a b s t r a c t r i s km o d e li sak i n do fs t o c h a s t i cm o d e lf 1 0 ri n c o m ea n dc l a i m s e q u e n c eo fi n s u r a n c ec o m p a n i e s i ti sb a s i so fi n s u r a n c ep r o d u c t i o n d e s i g na n d 山e o 巧o fi n s u r a n c em a n a g e m e n t m a i r t i n g a l ei sa ni m p o i r t a n t s t o c h a s t i cp r o c e s s i th a sm a n ye x c e l l e n tp r o p e r t i e sa n dh a sb e c o m eb a s i s t o o l f o rt h e o r e t i c a lr e s e a r c ho fm 锄，f i e l d s si n c eg e r b e ri n t r o d u c e d “m a r t i n g a l em e t h o d ”t or i s kt l l e o r y ，r e s e a r c h e r sh a v eo b t a i n e dm a n y g o o dr e s u l t sb yi t s ot h em a i no b j e c to ft h i sp a p e ri st om a k eu s eo f “m a n i n g a l em e t h o d t os t u d yu p - b o u n d so fr u i np r o b a b i l i t ) ra n dt h ef i n a l m i np r o b a b i l i t yf o rf o u rr i s km o d e l sa b o u te x c e s so f1 0 s sr e i n s u r a n c ei n d i 仃e r e n tc o n d i t i o n s f i r s t l v ，s o m ek n o w l e d g ea b o u tr i s kt l l e o r i e s ， r e i n s u r a n c ea n d s t o c h a s t i cp r o c e s si si n t r o d u c e di nt l l i st h e s i s s e c o n d l y f o u re x c e s so f l o s sr e i n s u r a n c er i s km o d e l si l ld i 行i e r e n tc o n d i t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d 洫 d e t a i l i nt h ef i r s tm o d e l ，p r e m i u m si n c o m et h a th a st h el i n e a rr e l a t i o n w i t l lt i m ei n c l a s s i c r i s km o d e li sg e n e r a l i z e d ao n et y p e i n s u r a n c e e x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c er i s k p r o b l e m w i t hp r e m i u m sr a n d o m l y o b t a i n e di se x p l o r e d i nm es e c o n dm o d e l ，o n et y p e i n s u r a n c ei se x t e n d e d t o咖 p e i n s u r a n c ea n dt h eu n e x p e c t e di n c o m e sa n dc l a i m sa r e c o n s i d e r e d at w ot y p e i n s u r a n c ee x c e s so fi o s sr e i n s u r a n c er i s kp r o b l e m w i t hs t o c h a s t i cd i f m s i o na n dp r e m i u m sr a n d o m l yo b t a i n e di sd i s c u s s e d t h eo c c u r r e n c eo fc l a i m s l e s c r i b e db yt h ep o i s s o np r o c e s si sg e n e r a l i z e d t ot h ec o xp i o c e s sa i l do n et y p e i n s u r a n c ee x c e s so fl o s sr e i n s l l r a m c er i s k p r o b l e mo nm eo c c u r r e n c eo fc l a i m sd e s c r i b e db ym ec o xp r o c e s si s s t u d i e di nt h et h i r dm o d e l i nt h ef o u r t hm o d e l ，m er e c e i v i n go fp r e m i u m s i se x t e n d e dt 0m ec o xp r o c e s s ，a l s o t h eo n e 卯e i n s u 啪c ee x c e s so f l o s sr e i n s u r a n c er i s kp r o b l e mt h a tb o t ht h eo c c u r r e n c eo fc l a i m sa n d r e c e i v i n go fp r e m i u m sa r ed e s c r i b e db y t h ec o x p r o c e s si sd i s c u s s e d 1 1 1 e f o r e g o i n gt h r e em o d e l sa t t e s ta i l 吼- b o 吼do f m e i rm i np r o b a b i l i t ya n d t h e i rf i n a lm i n p r o b a b i l i 吼t h ef o u r t hm o d e lg e t s 锄u n - b o u n do fi t sm i n p r o b a b i l i 锣a n di t s f i n a lm i np r o b a b i l i t ) ，w h e ni n t e n s i t i e so ft 、v 0c o x p r o c e s s e sh a v et h el i n e a rr e l a t i o n t h eb a s i cs t u d y 印p r o a c hi nt h et 1 1 e s i si s “m a n i n g a l em e d u s e di nt i l ec l a s s i c a lr i s km o d e l b e c a u s em ea u t h o ra n a l y z e da c c o r d i n gt o t h ec o n c r e t es i t u a t i o na n d 甜a c h e dt i 曲t l yt 0t h er e a l i 劬t h o s em o d e l s d i s c u s s e di nt h em e s i sc a ng i v em s u r a n c ec o m p a n i e ss o m ea d v i c e so n w h e m e ro rn o tp u r c h a s i n gr e i n s u r a n c e k e yw o r d s ：i u s km o d e l ，e x c e s so fl o s sr e i n s u r a n c e ，i 沁i n p r o b a b i l i t y ，c o xp r o c e s s 硕十学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 风险理论的产生与发展 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产论是风险理论的核心内容。 现己公认，破产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博 士论文，至今已有近百年的历史，他的工作奠定了非寿险随机模型的基本结构形 式，也奠定了保险风险理论的基础。事实上，破产论中一类最重要的随机过程， 即p o i s s o n 过程，j 下是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的 工作不符合现代数学的严格标准。它的严格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典学 派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上，同时， c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。l u n d b e r g 和c r a m e r 的工作给出了经典破 产论的基本定理。 经典的风险理论在近百年来一直是概率统计学家和其他数学家的研究热点， 例如：b e e k m a n 给出了著名的b e e k m a n 卷积公式，这是后人做破产概率估计的基 础：而f e l l e r 证明了与破产概率对应的生存概率满足亏损更新方程：g u r e e v 则计 算了破产概率的双边界，考虑了很多情况下破产概率的双边界。 经典风险模型已在很多方面被推广，首先风险到达的点过程不再是p o i s s o n 过程，例如推广为更新过程或混合p o i s s o n 过程等。有关复合更新过程的风险模 型，即( ，) 被推广为更新过程的模型，讨论了理赔分别为轻尾和重尾分布时破 产概率的情况。g r a n d e l 详细讨论了在普通和平稳更新过程时的破产概率， k l t l p e l b e r g 和m i k o s c h 给出了当点过程是更新过程而理赔额为重尾分布时的破 产概率大偏差表达形式。关于混合p o i s s o n 过程，也就是当( ，) 是混合p o i s s o n 过程时，这种推广的模型是有非常深刻的应用背景。利用该模型，可以考虑到由 于季节或政治因素等所引起的理赔到达过程中其强度在现实中不是常数的性质。 g e r b e r 介绍了复合的混合p o i s s o n 过程，g r a n d e l 则较为细致的研究了复合的混 合p o i s s o n 过程及破产概率在理焙额分布分别是轻尾分布、重尾分布和s 角分布 族时的渐进情形。 对经典风险模型的另一种推广是考虑通货膨胀和利息的影响，利用鞅方法得 到了破产概率的描述。k a l a s h n i k o v 和k o n s t a n t i n i d e s 利用s u n d t 和t e u g e l s 硕十学位论文 第一章绪论 的结果获得了理赔额分布为重尾分布时的破产概率：p a n k e r 研究了随机利率在 寿险中的应用：s u n d t 和t e u g e l s 利用更新方程研究了当理赔额分布为轻尾分布 时的破产概率。对经典风险模型的其他推广还有就是当经典风险模型中的总理赔 量过程受到维纳过程或其他过程的干扰，而干扰可以被视为保险公司管理或经营 的偏差对其财务的影响。这种推广是由g e r b e r 首先提出的，直到1 9 9 0 年以后才 被重视。d u f r e s n e 和g e r b e r 发现该模型中生存概率满足瑕疵更新方 程：v e r a v e r b e k e 研究了该模型在理赔额分布为重尾分布时的破产概 率：s c h l e g e l 讨论了经典风险过程在有不同干扰时的破产概率的上下界问题。 风险理论作为保险精算数学的一个重要部分，主要处理保险事物中的随机 风险模型，讨论模型在有限时问内的生存概率以及最终破产概率等问题一般 可以把风险模型分为连续模型和离散模型两种讨论最多的连续时间经典风险模 型是复合泊松模型( c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ) ：讨论最多的离散风险模型是复合 二项模型( c o m p o u n di n o m i a lm o d e l ) 两类经典风险模型描述的都是单一险种的 风险过程，随着保险公司业务规模的不断扩大，经营单一险种对于保险公司来 说是不符合实际的，讨论多险种风险模型更能与保险公司实际运作相结合于是 有人研究了连续时间的多险种风险模型 1 2 再保险的简要介绍 1 2 1 再保险的定义 我们把直接承保业务并与投保人签订保险合同，对于被保险人因保险事故所 造成的损失承担直接的原始赔偿责任的保险，称为原保险，也称直接保险。再保 险也称分保，通常地说，也就是对保险人的保险。即保险人接受承保业务后，根 据风险的大小和自身的承受能力，通过签订分保合同，将其承担风险责任的一部 分转嫁给另一家或若干家保险公司或再保险公司，以分散责任，保证其业务经营 的稳定性。这种风险转移方式实际上是对保险人承担危险的保险。故被称为再保 险。 再保险交易在本国范围内进行，称为国内再保险；再保险交易超越国晃，在 世界范围内进行，称为国际再保险。 1 2 2 再保险的作用 分散风险是再保险最基本的职能。随着社会经济的发展和现代科学技术的广 泛应用，、一次事故可能造成的物质损毁和人身伤亡的损失程度不断扩大，例如象 空难、大的恐怖袭击、地震等这样大的事故，如果由单个保险人来履行赔偿责任， 很可能导致保险人的财务困难，甚至因此而破产。为了保持保险业务j 下常经营和 2 硕+ 学位论文第一章绪论 保险人的财务稳定，原保险人通过再保险，在同业之间相互分散风险，这样可以 把许多保险公司的承保力量集合到一起，实际上起到了联合积聚资金，扩大承受 能力的作用。 其次，再保险可以使原保险人通过提取各种准备会和分摊保险经营费用而聚 集大量资金并加以适当运用，从而增加原保险人的收益；另外，在再保险业务中， 原保险人所分出业务的各种准备金，可以扣除经营费用，这样就减少了准备金的 提取数额，即减少了原保险人的负债。原保险人的偿付能力是用资产减负债后的 净资产来衡量的，再保险一方面增加原保险人资产，另一方面降低原保险人负债， 从而提高其偿付能力。 1 2 3 再保险的分类 再保险可以按多种标准进行分类，主要有： ( 1 ) 按照承保的险种可分为财产险再保险、责任险再保险、人寿险再保险、意 外险再保险等； ( 2 ) 按照是否签订合约可分为临时再保险、合约再保险和预约再保险； ( 3 ) 按照再保费和总保费之比是否等于再保险人分担的赔款和总赔款之比可 分为比例再保险和非比例再保险。 在再保险的数理模型中，一般是把再保险分为比例再保险和非比例再保险。 基本的比例再保险形式有两种，分别称为成数再保险和溢额再保险。成数再保险 是指原保险人按约定的比例，将每一风险单位的保险金额向再保险人分保的方 式。溢额再保险是指原保险人规定一个最大的保险金额( 称为1 线) 作为自留额， 当任何一个风险单位的保险金额小于这一金额时，原保险人自留全部责任；当保 险金额超过这一金额时，原保险人和再保险人按照自留额和分出保额对总保额的 比例来分摊赔款。非比例再保险主要有三种：超额赔款再保险、停止损失再保险 和最大赔款再保险。超额赔款再保险又称超赔分保，是对原保险人因同一原因发 生的任何一次损失或因同一原因所导致的各次赔款的总和，超过约定的自负额 时，其超出部分由接受公司负责至一定的额度。停止损失再保险和超额赔款再保 险非常类似，区别只在于超额赔款再保险以单个风险单位或一次事故为赔款基 础，而停止损失再保险是以原保险人一段时间( 一般为一年) 的总损失额为理赔 基础。最大赔款再保险是指再保险人承担一年内金额最高的若干次( 如3 次) 索 赔额，其余事故再保险人不承担赔偿责任。在实务中这种再保险形式可能会和超 额赔款再保险和停止损失再保险结合起来使用。 1 2 4 再保险在我国的发展与研究现状 中国的再保险业在短短二十多年的时间罩从无到有，从法定分保到商业分 保，取得了长足发展。1 9 8 5 年以后根据保险企业管理暂行条例的规定，国 硕士学位论文 第一章绪论 内开始办理分保业务，由人保再保部代行国家再保险公司的职能。1 9 9 5 年颁布 的保险法赋予了经营直接保险业务的保险公司的再保险办理权，国内各家保 险公司都开始设立再保部，办理再保险业务。1 9 9 6 年人保组建集团公司，成立 了中保再保险有限公司，国内第一家专业再保险公司成立。1 9 9 9 年3 月，中国 再保险公司在中保再保险有限公司的基础上组建成立。2 0 0 0 年保监会颁布的保 险公司管理规定第八十六条规定，非寿险公司必须将其承保业务的2 0 向中国 保监会指定的再保险公司办理法定分保。2 0 0 3 年开始，国家法定的2 0 的分保 比例逐年降低5 ，至2 0 0 6 年完全取消，国内再保险市场主体单一的局面被打破， 先后有德国慕尼黑再保险公司、瑞士再保险公司、德国科隆再保险公司、英国劳 合社和法国再保险公司等外资再保险公司进入中国市场。再保险供给主体呈现出 多元化的格局，中国再保险市场开始进入全面竞争的时代。 现阶段对再保险风险理论的研究主要是对原保险公司和再保险公司的破产 概率和破产赤字以及再保险的调节系数、免赔额等的讨论。例如熊福生在他的风 险理论一书中讨论了再保险的调节系数、停止损失再保险中的免赔额等，龙国 军在他的硕士学位论文里研究了三种再保险风险模型的破产概率和破产赤字，江 涛在具扩散项的停止一损失再保问题的破产概率中在具有扩散项的假定下，研 究了原保险公司、再保险公司的破产问题等。 1 3 本文主要结构 本文主要讨论了四个超额赔款再保险的随机风险模型。 第一章简要介绍了风险理论的产生与发展、再保险的定义、作用和分类以及 再保险的研究现状。 第二章简单介绍了论文相关的一些概念和所用到的一些基本数学工具。 第三章引入了保费随机收取的单险种超额赔款再保险风险模型，得到了有限 时间的破产概率的上界和最终破产概率。 第四章引入了保费随机收取的带干扰的双险种超额赔款再保险风险模型，得 到了带干扰的双险种超额赔款再保险风险模型的最终破产概率。 第五章引入了理赔发生为c o x 过程的超额赔款再保险风险模型，得到了理赔 发生为c o x 过程的超额赔款再保险风险模型破产概率的一个上界和最终破产概 率。 第六章引入了保费收取与理赔发生都为c o x 过程的超额赔款再保险风险模 型，得到了保费收取与理赔发生都为c o x 过程的超额赔款再保险风险模型破产 概率的一个上界和当两累积强度成比例时的最终破产概率。 4 硕十学位论文第二二章预备知识 第二章预备知识 2 1 随机变量与随机过程 定义2 1 1设( q ，厂，尸) 是一概率空问，x ( 彩) 是定义在q 上，取值于实数 集r 的函数，如果对任意实数x 尺， 彩：x ( 仞) x ) 厂，则称x ( 缈) 是厂上的随机 变量，简称随机变量函数 f ( x ) = p ：x ( 功) 工 ， 一o o x + 称为随机变量x 的分布函数如果有函数厂( x ) 满足 一 f ( x ) = i 厂( f ) 出 j o 则称( x ) 为随机变量x 或其分布函数f ( x ) 的分布密度如果x 具有分布密度，则 称x 为连续型随机变量；如果x 最多以正概率取可数多个值，则称x 为离散型 随机变量 定义2 1 2设( q ，厂，尸) 是一概率空间，设对每一个参数f r ，x ( ，国) 是一 个随机变量，称随机变量族易= x ( ，功) ，丁 为一随机过程或称随机函数。其 中丁cr 是一实数集，称为指标集。 用映射来表示x ， x ( f ，) ：丁q r ， 即x ( ，) 是定义在丁q 上的二元单值函数，固定r 丁，x ( f ，) 是定义在样本空间 q 上的函数，即为一随机变量。 2 2 本文中涉及到的常用随机过程 硕+ 学位论文 第二章预备知识 2 2 1 独立增量过程 定义2 2 1 对，l f 2 厶，丁，l f 刀若增量 x ( ) ，彳( 乞) 一x ( f 1 ) x ( ，3 ) 一x ( 乞) ，z ( 乙) 一x ( 乙一1 ) 相互独立，则称 x ( ，) ，f 丁 为独立增量过程。若对一切o s ，增量x ( f ) 一x ( s ) 的分布只依赖于，一s ，则称坼有平稳增量。有平稳增量的独立增量过程称为独 立平稳增量过程。 2 2 2 鞅 定义2 2 2 若对v ，r ，研x ( f ) 】 ，且对f l f 2 乙 o 实际上不可能有跃度 超过l 的跳跃，亦即对应的点过程没有重点。这一事实的确切表达是 尸 = o 或1 ，对每一f ( o ，佃) ) = 1 。这里m 表示点过程 m ：f o 在时刻t 发 生的点数。 定理2 2 2 计数过程 f ：f o 是齐次泊松过程的充分必要条件是 瓦，以1 ) 是独立且参数同为五的指数分布。 2 2 5 布朗运动 定义2 2 7 若一个随机过程 x ( f ) ，f o 满足： ( 1 ) j ( ，) 是独立增量过程； ( 2 ) v s ， 0 ，x ( s + ，) 一x ( s ) 一( 0 ，c 2 ，) ，即x ( s + f ) 一x ( s ) 是期望为o ，方差为c 2 f 的j 下态分布； ( 3 ) 彳( f ) 关于f 是连续函数。 则称 x ( ，) ，f o ) 是布朗运动或维纳过程。 当c = l 时，称 x ( f ) ，f o 是标准仰朗运动或标准维纳过程。此时若 硕士学位论文 第二章预备知识 x ( 0 ) = o ，x ( ，) 一( 0 ，) ，它在，时刻的概率密度函数为 胁) = 击唧( 一争 2 2 6c o x 过程 定义2 2 8 给定概率空间( q ，厂，尸) ，随机过程 人( ，) ，f 0 以概率l 满 足： ( 1 ) 人( 0 ) = 0 ； ( 2 ) 对任意的f 佃，人( ，) 佃； ( 3 ) 其实现是时间t 的单调不减的( 连续) 函数。 则称它是一个( 扩散的) 随机测度。 在下列的讨论中所遇到的随机测度都假设是扩散的，且当， 佃时， a ( ，) 佃，p 一口忒表示几乎处处成立 定义2 2 9 假设人( f ) 是随机测度， 取f ) ，f o 是一标准的泊松过程，而且 人( ，) 与( ，) 是相互独立的，则点过程( f ) = 。人( f ) = ( 人( ，) ) 称为是重随机泊松 点过程，又称为c o x 过程，其中人( ，) 又称为累积强度过程。 引理2 2 1如果人( ，) 是随机测度， 且假设日人( ，) 】 o o ， 嚣= 仃( 人( f ) ；f o o ) ，则( ，) 是相对应的c 0 x 过程当且仅当满足下列条件： ( 1 ) ( f ) 对掣有条件独立增量； ( 2 ) ( f ) 一( s ) 对雩服从均值为人( ，) 一人( j ) 的条件泊松分布，即对任意的 0 s f 和非负的整数尼以概率有 删( ，) _ ( 加七一p - 【盼俐 学 2 3 条件期望 概率空间记为( q ，厂，p ) ，g 是厂的某一子仃代数，gc 厂，孝( 国) 是满足 8 硕十学位论文第二章预备知识 e 蚓 o o 的随机变量。 定义2 3 1 具有下列两性质的随机变量e ( 善l g ) 称为善( 国) 关于g 的条件数 学期望( 简称条件期望) 。 ( 1 ) e ( 手l g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意4 g 有：e ( 孝f g ) p ( d 缈) = j 1 孝尸( d 缈) 。 条件期望的重要性质： ( i ) 对任意q 尺，巳足，有e ( q 舌+ 乞参i g ) = c l e ( 毒i g ) + c ：e ( 岛i g ) ； ( 2 ) 如7 7 对g 可测，e l 孝，7 i o 是保险公司单位时间内的保费收入，z ，f = l ，2 ，表 示第f 次理赔额，( f ) 表示到，时刻所发生的索赔次数。并作出如下假定 ( 1 ) x ，f - l ，2 ，) 为独立同分布的非负随机序列，共同分布函数为，( z ) 均值为。 ( 2 ) 点过程 ( f ) ，f o 是强度为五( 兄 o ) 的齐次泊松过程。 ( 3 ) ( ，) ，o ) 与 z ，j = 1 ，2 ，) 相互独立。 9 硕十学位论文 第二章预备知识 ( 4 ) c = ( 1 + ) 础，其中p 0 称为相对安全负载。 ( ，) 记r ( f ) = z ，它表示到t 时刻的总理赔量，由模型的假定可知 e 【r o ) 】= e 【o ) 】e 【y 】= 五， 保险公司为了运作上的安全，要求甜一研r ( ，) 】= p 一舡弘 0 定义p ：型幽3 ：坐 o 研r ( ，) 】础 定义丁= i n f p ：u ( f ) o ，n ，个名时，有乃( ，) 个。 硕士学位论文 第三章保费随机收取的单险种超额赔款再保险风险模挝 m f 1，( ，1 定理3 1 1 对于盈利过程x ( f ) = g 一( 乙一厶) 一所，存在一个函数 时) = 础( 卅+ 五( r e 肛媚( 卅p 耐删) 一1 ) m ，使得 研e x p ( 一( ，) ) 】_ e x p 垤( ，) 】。 证明：e c e x p c 一以y c ，= e x p 一广 警c 一茗c z ：一厶，一6 r ) = e e x p ( 一r 等e ) 鼢叩( 茗，c 乙一厶，) e e x p c ，一6 ， e e x p c r 警c ， = 砉e t - 。，= 七仁 e x p 喜c 一，c ， ) 。e ie x p ( 一r c ，) i = e 【l ( f ) = 七仁 e x p l ( 一，c ，) l i ，；l _ o ilf = ljj = 薹譬e x n 哪卅+ = e x p 口f 【办( 一，) + l 卜口f = e x p 陋乃( 一，) 】 e e x p 善，c 乏一厶， = 薹er z 。，= 疗p e x p 喜砌c z ：， = 薹等唧c 卅眇哪，+ p 啪，丁 = e x p 一加+ 办( r p “媚c x ) + e 州一p 耐，c d ，) 眯x p ( 邮) ) 】= e x p 咖 ，) 】e x p hp 媚( 卅e 耐刑) 一1 ) e x 附 一p 渺+ 五( p 媚c m 儿巾c 妒) + 而 ) = e x p 【留( ，) 】 g ( ，一) = 口办( 一，) + a ( r p ”织 ) + p 耐一e e ( d ) 一1 ) + 柏 证毕。 定理3 1 2当再保费比率b 连续支付且p 0 时，一定存在唯一的尺 0 ， 堡主堂堡笙塞 第三章保费随机收取的单险种超额赔款再保险风险模型 一：= ：= ： 使得g ( r ) = 0 成立，r 也称为此模型的调节系数。 证明： 时) = 础( 卅+ 五( r p “媚( 卅p 耐一p 耐e ( 矿1 ) 椭 办( ，) 2 点p “订( 力一1 鲫) = 口似o ) + 名凹织( z ) 叫( d ) ：o g ，( ，) = 一口j c o 抛“卵( x ) + 五( f 澎“媚( x ) + 沈耐一如耐e ( d ) ) + 6 9 7 ( o ) = 一口u + 五( f 甄蜗( x ) + d d 互( d ) ) + 6 e 】：e 竺e 一芝( 乙卅砌1 e 【x ( f ) 】= ej e 一( 乙一厶) 砌i = r 卜一五凹螂川堋纠一6 ) = 一g ( 0 ) ， o 。 9 7 ( o ) o g ( ，) 在 0 ，佃】为凸函数。 又 g ( 0 ) = 0 ，g ( 0 ) o ，当，个时，g o ) 个， 所以一定存在唯一的正数r 使得g ( 月) = o 。证毕 定义3 1 3 乙= i n f ，o p ( ，) o 为破产时刻，甲 ) = p 瓦 ，0 】尸 乙 f o ) = e 石【帆( 艺) i 瓦f o 】尸( 瓦，0 + 石【( f o ) i 瓦 岛】尸 瓦 ，0 e 白【帆( 无) i7 ：，o 】尸 瓦，o 咽钏而赫 州驴瓮鬻狐p _ 删e x p 辔【，) j e 石【帆( 乇) l 瓦】e 再 e x p 一喀( r ) i 瓦岛】 j n fe x p 【增( r ) 】 0 s ，s ，0 一一一 尸 瓦f o p 一“s u pe x p 【留( r ) 】 0 口s f o 因为任意常数，在此令专，则上式转化为 甲 ) e 一“s u p e x p 留( ，) 】= p g p ) 证毕。 ，2 0 为了使这个不等式更实用，一般要求s u p e x p 眙( ，) 】 ： 令f 0 专得 下证 e x p 一r 甜) = l i me 一只”l 乇，o 】p 瓦f o ) f 0 _ + l i me p r “+ j 岛i 瓦 】p 瓦 ，o f 0 - + o l i me k r “+ x b l 瓦 气】尸 瓦 ) = 0， 尸一口j 0 设l c 川= 三：茎三称为集合a 的示性函数，则 0 e 娟”x b i 乙 气】尸 7 ：f ) = 球一舟“+ j b ，f o = = e 【p 一8 “+ x 。”， 。+ x ( f o ) ：= 0 i 】l 又瓦 ，o ，由强大数定理可得 x ( f o ) 一瓴专) ， 尸一口矗 e r “+ j b 专0 ，( 岛专) p 一口j 因此由勒贝格控制收敛定理得 l i m 研p r ”肖 i 乙 】- 尸 乇 ，o = 0 ， 尸一口s ，0 _ o 所以( 3 8 ) 式就变为 e x p 一尺甜 = l i me 一月“+ t i 瓦】尸 乇f o 故 甲( ”) = f o _ + 。 p 一船 e p 坝x l l 毛 0 。 记p ：弋矿警卫一 研z _ ：1 ) + ( 乏舢一i 。) + 所】 筇一 l “+ 也【j ：脱幔( x ) + d ( 1 一e ( d ) ) 】+ 6 “+ 友 j ：溉崛( z ) + d ( 1 一易( d ) ) 】+ 6 ：丝l 一一1 = 一一 “+ 五 j ：甄崛( x ) + d ( 1 一最( d ) ) 】+ 6 称p 为相对安全系数。 记厅( 厂) = f p “招( x ) 一1 ，啊( ，) = f p “犯( x ) 一1 ，并假定存在厶 o ，s z 厂个名时 有向( ，) 个o o 及矗( ，) 个。 定理4 1 1 存在函数 g ( ，) = 口向( 一厂) + 扛妒) + 五【f e 盯幔( x ) + p 耐( 1 e ( ) ) 一l 】+ 吉口2 ，2 + 打， 使得 e x p ( 一崩。( f ) 】= e x p 留( ，_ ) 】。 1 9 硕士学位论文第四章保费随机收取的带干扰的双险种超额赔款雨保险风险楗型 证明： e 【e x p c 一v 。，】= e x p 等一，g + ，茗刁”+ ，等( 乏舶一- 。) 一阳形。，+ 砌，) 吲唧( 一俐= p 肛击一蔷出 = 去。p 一掣d c 警 = e x p ( 圭卉2 ，) 捌e x p ( - 邮) 】一p p ( 训m 竹) m p 鸩( 卅以一删) ) _ - 】+ ，2 砌) = e x p 垤( r ) 】 足埋得让。 定理4 1 2 方程g ( ，) = o 存在唯一正根r ，r 也称为调节系数。 证易知g ( o ) = 口庇( o ) + a 啊( o ) + 如【r 1 织( x ) + ( 1 一最( d ) ) 一1 】= o g p ) = 一口( 一，) + 五啊7 ( ，) + 如【r 湘“峨( x ) + d p 耐( 1 一e ( d ) ) 】+ 口2 ，+ 6 g ( o ) = 一口办( o ) + 丑向( o ) + 五 r 置峨( x ) + d ( 1 一互( d ) ) 】+ 6 ：一口+ 丑“+ 五【f 工d e ( x ) + d ( 1 一最( d ) ) 】+ 6= 一筇+ a “+ 五【就峨( x ) + d ( 1 一最( d ) ) 】+ 6 又因研x ( 纠= 筇一 朋一五 r 肼；( x ) + d ( 1 一五( d ) ) 】一6 ，= 一g ( o ) 。， o 所以g7 ( o ) o 于是在( o ，佃) ，g ( ，) 是一凸函数，又因为g ( 0 ) = o ，( 0 ) 0 ，使得g ( r ) = 0 定义4 1 3称瓦= i n f ，o i “+ x ( ，) o 为固定常量，秒表示分出保险的保险公司的相对安全系数，手表示 再保险公司接受再保险的相对安全系数；根据再保险合同可得 f 0 元d 办乙) 2i 乙d z d j i z ( 气) 表示再保险公司所承担的赔付额，d 表示分出保险的保险公司白留赔付额 的最大值，研办( z ) 】表示再保险公司所承担赔付额的均值，由( 3 3 ) 式可得 e 【办( z ) 】= 【办( 气) 】= 一