（应用数学专业论文）两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 微分方程理论在生物学中的应用，已经形成生物数学中一个重要的边沿分支学科一 生物动力系统本文在已有的传染病模型基础上，对原有模型作了改进，使得模型更接 近实际情况，建立了非自治情形下的传染病s i s 模型与s e i 模型。同时对已有的微生物 培养模型进行了研究，在具有正比增长率，消耗率分别为一次函数、二次函数的条件下， 建立了能在一定程度上反映实际的微生物连续培养模型。对这些有实际问题背景的微分 方程模型进行了稳定性分析取得的结果概括如下： 1 建立了所有系数都是连续、有界的0 9 周期函数的非自治传染病s i s 模型，得到 了模型正周期解存在、唯一的一个充分条件 2 建立了非自治传染病s e i 模型通过对模型的转化，构造合适的l i a p u n o v 函数， 得到了无病平衡点全局稳定的一个充分条件同时对所有系数都是周期函数时的系统 进行了研究，利用b r o w e r 不动点定理，得到了系统正周期解存在的充分条件，及存在 唯一全局渐近稳定的正周期解的充分条件 3 在原有微生物培养的数学模型基础上，提出了新的假设条件，建立了具有变消 耗率的微生物连续培养模型本文先对消耗率为线性函数时的模型进行研究，通过构造 b e n d i x s o n 环域与d u l a c 函数，由b e n d i x s o n d u l a c 判别法得，系统在指定区域内不存在 极限环，从而进一步得到正平衡点全局渐近稳定的充要条件；再对消耗率为二次函数时 的模型进行研究，通过模型转化，给出系统存在稳定极限环的充分条件，利用分支理论 得到系统存在h o p f 分支的条件同时论述了所得结论的生物学意义 关键词：生物数学与生物动力系统；非自治模型；周期解；稳定性；极限环 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fe p i d e m i ct w o m o d e l sa n dm i c r o b i a lc u l t u r e m o d e l s a b s tr a c t b i o l o g i cd y n a m i cs y s t e mh a sb e e na l li m p o r t a n tb o r d e rb r a n c ho fb i o m a t h e m a t i c sf o r t h e a p p l i c a t i o no ft h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt ob i o l o g y i nt h i st h e s i sf o rm s c ，t w o k n o w ne p i d e m i cm o d e l s ，s i sm o d e la n ds e im o d e l ，a r ei m p r o v e du n d e rt h ec o n d i t i o no f n o n a u t o n o m o u s ，s u c ht h mt h ei m p r o v e dm o d e l sa r er e f l e c t i n gr e a l i t yb e t t e rt h a nk n o w no n e s a n db a s e do nk n o w ng e n e r a lm a t h e m a t i c a lm o d e l so fm i c r o b i a lc u l t u r e ，n e wm o d e l s ， r e f l e c t i n gr e a l i t yb e t t e r , w i t ht h ei n c r e a s i n gr a t i ob e i n gp o s i t i v ea n dt h ey i e l db e i n gal i n e a r f u n c t i o no raq u a d r a t i cf u n c t i o na r ep r e s e n t e d s t a b i l i t ya n a l y s e sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a s s o c i a t e dw i t he p i d e m i ca n dm i c r o b i a lc o n t i n u o u sc u l t u r em o d e l s 羽km a i nr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 an o n a m o n o m o u se p i d e m i cs i sm o d e lw i t ha l le o e f f i c i e n t sb e i n gc o n t i n u o u s ， b o u n d e dc o p e r i o d i cf u n c t i o n si se s t a b l i s h e da n dan e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no f t h i sm o d e li sp r e s e n t e d 2 an o n a u t o n o m o u ss e i i n f e c t i o i l sm o d e li se s t a b l i s h e d 。as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ed i s e a s e - f r e ee q u i l i b r i u mi so b t a i n e df r o mt r a n s f o r m i n gt h e m o d e la n dc o n s t r u c t i n ga na p p r o p r i a t el i a p u n o vf u n c t i o n f o rt h e s y s t e m s 、析t l l a l l c o e f f i c i e n t sb e i n g p e r i o d i cf u n c t i o n s ，i tf o l l o w sf r o me m p l o y i n gt h eb r o w e rt h e o r e mo f 曩x e dp o 妇t h a tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c ea n dt h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s 3 am i c r o b i a lc o n t i n u o u sc u l t u r em o d e lw i t hv a r i a b l ey i e l di se s t a b l i s h e du n d e rn e w c o n d i t i o n sp r o p o s e di nt h i st h e s i s b a s e do nak n o w nm a t h e m a t i c a lm o d e lo fm i c r o b i a l c o n t i n u o u sc u l t u r e f i r s t , f o rt h ey i e l dm o d e lb e i n gal i n e a rf u n c t i o n ，t h es y s t e md o e sn o te x i s t al i m i tc y c l ei nt h er e g i o n 壤a ti sa s s e r t e df r o mc o n s t r u c t i n gt h eb e n d i x s o na n n u l a rr e g i o na n d ad u l a cf u n c t i o na n db yb e n d i x s o n d u l a c sd i s t i n g u i s h i n gm e t h o d ，a n df u r t h e r m o r e ，t h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fap o s i t i v ee q u i l i b r i u m 弦妇li sp r e s e n t e d 。s e c o n d ，f o rt h ey i e l dm o d e lb e i n gaq u a d r a t i cf u n c t i o n , f r o mt r a n s f o r m i n g t h em o d e l ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t i n gas t a b l el i m i tc y c l ei sg i v e n , a n dt h ec o n d i t i o n so f e x i s t e n c eo ft h eh o p fb i f u r c a t i o ni nt h es y s t e m a n dt h es e n s e so fr e s u l t si nb i o l o g yg i v e ni n t h i sc h a p t e ra r ee x p o u n d s 大连理工大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：b i o m a t h e m a t i e sa n db i o l o g i cd y n a m i cs y s t e m ；n o n - a u t o n o m o u sm o d e l s ； p e r i o d i cs o l u t i o n ；s t a b i l i t y ；l i m i tc y c l e 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：西娄笾染痘搓型曼微生物揸苤搓型鲍定性金盘 作者签名： 纽踅么 日期：全! 塑午上生月型巴日 大连理工人学硕十研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：匾娄笾鎏痘搓型量微生物壁差搓型鲍定性金堑 作者签名：鲤丝幺日期：趁丝年丝月：日 导师签名： 重萎益 日期：五年f 兰月止日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 微分方程理论在生物学串的应用，已经形成生物数学中一个重要的边沿分支学科 生物动力系统动力系统理论以确定的随时间演变的系统的大范围动力学性态为其 研究内容，在生物学中得到广泛的应用，受到人们的普遍重视本文所研究的传染病模 型与微生物培养模型就是用动力学的方法来建立的微分方程模型 1 | l 有关传染病动力学模型的研究 随着科学的发展，医学水平的提高，以及人类文明的不断进步，过去一些全球性的 传染性疾病如霍乱、天花等已经得到有效的控制，但一些新的、不断变异着的传染病毒 却在流行，如开始于2 0 世纪8 0 年代的爱滋病病毒至今仍在蔓延，不久前s a r s 病毒与 禽流感病毒的肆虐，给人们的生命财产带来了极大的危害长期以来，建立传染病数学 模型来描述传染病的传播过程，探索其传播规律，寻找制止传染病蔓延的方法等，一直 是我们人类关注的重要课题 现在，对传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究与 理论性研究传染病动力学是对传染病进行理论性研究的一种重要方法它是根据种群 生长的特性，疾病的发生以及在种群内的传播、发展规律，建立能反映传染病动力学特 性的确定性数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾 病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析传染病流行的原因和关键 因素，寻求对传染病预防和控制的最优策略，为人们决策提供理论基础和数量依据与 传统的统计方法相比，动力学方法熊更妊地放疾病的传播机理方霞来反映流行规律，能 使人们了解流行过程中的一些全局性态 2 0 世纪初人们才开始研究确定性的传染病模型1 9 0 6 年，h a n n e r 为了解释麻疹的 反复流行，构造了一个离散时间模型1 1 】，并进行了分析。1 9 11 年，医生r o s s 博士利用 微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之闫传播的动态行为进行了研究，此项研究结果使他 获得了n o b e l 医学奖1 9 2 6 年，k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 为了研究1 6 6 5 1 6 6 6 年黑死病在 伦敦的流行规律以及1 9 0 6 年瘟疫在盂买的流行规律，构造了著名的s i r 仓室模型【2 】他 们在1 9 3 2 年又提出了s i s 仓室模型狰】，并在分析所建立模型的基础上，提浅了区分疾病 流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础作为传染病动力学的建 模与研究的标志性著作是b m l e y 于1 9 5 7 年出版、1 9 7 5 年第二版的专著【4 1 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 早在1 9 2 7 年，k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 就利用动力学的方法建立了传染病的数学模 型“仓室模型长期以来，在对传染病动力学的研究中，人们主要使用的数学模 型其基本思想来自“仓室模型 1 1 1k e r m a c k m c k e n d r i c k 的s i r 仓室模型 s i r 仓室模型是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类( 即三个仓室) ： 易感者类( s ) ：其数量记为s ( 0 ，表示，时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数， 染病者类( i ) ：其数量记为，( o ，表示，时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数； 消除者类( r ) ：其数量记为r ( 0 ，表示f 时刻已从染病者类移出的人数 设总人口为n ( 0 ，则有( ，) = 双力坝力+ r ( o k - m 的s i r 模型是一个很简单的模型， 它的建立基于以下三个基本假设： 1 ) 假定所研究地区的人口总数量( f ) 不变，始终保持为一个常数k ，不因时间变 化而改变；l 2 ) 假设一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，易感者人数随时间 而变化的变化率与当时易感者的人数和当时染病者的人数之积成正比即若假设f 时刻 单位时间内，一个病人能传染的易感者人数与此环境内易感者总数s ( o 成正比，比例系 数为卢，则在f 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为卢s ( t ) i ( o ； 3 ) 在f 时刻，单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为， 从而单位时间内消除者的数量为，足力 在上述三个基本假设下，再假设在所研究的时间区间内没有人口的自然出生率与死 亡率，可得到以下的传染病s i r 数学模型1 5 】： 警= 一# s i 五d l = 9 s i 一7 i 警叫 1 1 2k e r m a c k m c k e n d r i c k 的s i s 仓室模型 一般来说，对通过病毒传播的疾病，如流感、麻疹、水痘等，康复后对原病毒具有 免疫力，或得病后极少能治愈的疾病，如狂犬病、艾滋病等，适合用上述传染病s i r 模 型；对通过细菌传播的疾病，如脑炎、淋病等康复后不具有免疫力，即对于一些传染病， 得病后可以治愈且治愈后还可能重新受传染再次得病1 9 3 2 年k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 针对这类传染病提出了康复者不具有免疫力的s i s 模型。若假设患病者康复后将重新成 为易感者，其它假设与s i r 模型相同，则得到传染病s i s 模型为 i d s ：一b s ￥l i 一塾i 专| l i 五d i = 骼s i 一了i 1 。2 关于微生物种群连续培养模型的研究情况 我们假定在一个培养室内，培养种或多种微生物，在培养室内有较好的搅拌设备， 使得微生物在培养室内的浓度是均匀的为了研究培养室内微生物增长的过程，利用数 学模型的方法来描述微生物在培养室志浓度的变化过程。壶予浓度均匀，微生物的浓度 应是培养时间的函数微生物的一次性培养或成批培养，是指把一定数量的微生物，放 在一个具有一定浓度营养基的培养室中，进行培养，给以一定的微生物生长的条件，例 如供氧、适宜温度等，经过一段时阈后打开培养室，微生物即培养成功。微生物的连续 培养就是淘培养室内连续不断地注入营养基，且连续不断缝从培养室内取戡已培养的微 生物的方法微生物连续培养设备湘三部分组成： 1 ) 有一个固定容积矿的培养室，其中装营养液、微生物，并有搅拌和供氧装置； 2 ) 鸯供液系统，单位时间以流量为坌钵积供应浓度为勋的营养液； 3 ) 有溢流装置，使培养室体积不变 设微生物的增长率是j l l ( s ) ，则微生物的浓度n ( o 应满足方程： i d n = l z ( s 渺妙。 这里u ( s ) 与营养基浓度s 有关当q 肛( s ) 时，即溢流量太大，培养室稀释太快，微生 物群体将逐渐衰减；当q p ( s ) 时，培养室中微生物浓度将不断上升 对培养室中营养基浓度魏交化情况，作如下假设： 1 ) 供液源流中营养基的浓度为黝； 2 ) 溢流中营养基的的浓度以及微生物的浓度均与培养室中相同，分别为s ( 力与( d ； 3 ) 微生物的增长对营养基的消耗具有一个鬻数的消耗率艿 另设弘( s ) = ! l ，则可得数学模型f 5 】 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 冬：罟一9 一= 一一，rmk + s 面d s = 烈一s ) 一而a s xi ， 这里z ( f ) 表示在时刻，时微生物的浓度 1 3 论文的基本结构及主要工作 1 ) 第2 章介绍了本论文所用的基本知识，包括自治系统的平衡点、不变集，微分 方程稳定性的基本概念，平面系统的奇点类型，平面系统的极限环及分支 2 ) 第3 章建立了非自治传染病的s i s 模型，通过三个预备引理，对系数都是6 0 周 期函数时，给出了模型正周期解存在唯一的一个充分条件 3 ) 第4 章建立了另一类非自治传染病的s e i 模型，通过研究其转化的等价模型的 方法，得到了无病平衡点全局渐近稳定的一个充分条件；同时研究了模型其系数均为6 0 周期函数时周期解的存在性与稳定性，得到了正周期解存在与全局渐近稳定的一个充分 条件 4 1 第5 章研究微分方程在微生物培养中的应用，建立了具有变消耗率的微生物连 续培养模型，当消耗率是线性函数时得到了正平衡点全局渐近稳定的充要条件，当消耗 率是二次函数时得到了系统存在极限环的一个充分条件，同时利用分支理论研究系统存 在h o p f 分支的条件，判定了极限环的稳定性 5 ) 最后总结了本论文所得到的主要研究成果 4 - 大连理工大学硕十学位论文 2 预备知识 2 1 自治系统与非自治系统 微分方程冬：厂( z ) 叫做自治系统，其中x d r ”，厂在区域d 内连续：微分方程 珊 譬：厂( f ，x ) n q 做非自治系统，其 t elg r ，x d r 一，在区域g ：i d r xr 一内 口l 连续；它们的解x = x ( t ) 在相空间r ”的图形，即r r ”内的解曲线在相空间r ”的投影， 叫做方程的轨线自治系统也称为动力系统 2 1 1 自治系统的平衡点 设有自治系统 譬：( 工) ( 2 1 ) 口王 其中x d r ”，f 在区域d 内连续 定义2 1 1 若x o d ，使( ) 0 ，则称j c o 为自治系统( 2 1 ) 的常点；若x o d ，使 f ( x o ) = 0 ，则而称为自治系统( 2 1 ) 的奇点，也称为其平衡点 定义2 1 2 两个自治系统称为是等价的，若它们的轨线( 包括奇点) 完全相同( 走向可 以不同) 2 1 2 自治系统的不变集 定义2 1 3v t o r ，称轨线9 ( p ，f ) ( f o f 佃) 为自治系统( 2 1 ) 的正半轨，记作辟或 9 ( p ，+ ) ；称轨线9 ( 尸，) ( 哪 ，0 ) 为自治系统( 2 1 ) 的负半轨，记作耳或妒( p ，厂) ：自治 系统( 2 1 ) 的轨线缈( p ，f ) ( 硼 t 0 ，j 6 = 6 ( s ，t o ) ，使得当j ix ol l t o + r 时，| | 石( f ，f o ，x o ) i i 0 ，v s 0 ，弓艿 0 ，当lx o | | o ( 或矽) o ，p 2 4 q o 当p o ，即 o 时，奇点0 2 ) 当q o ，p 2 - 4 q = o 3 ) 当q o ，p 2 - 4 q 0 ，尸0 ( 特征根为共轭纯虚根) 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 定义2 3 1 设( 2 5 ) 所对应的线性系统( 2 4 ) 不具有零实部特征根( 即a + d ：o ，a d - b c = ： o ) ，则称o ( o ，o ) 为系统( 2 5 ) 或( 2 4 ) 的双曲奇点，否则称为非双曲奇点 定理2 。5 囝设0 是( 2 5 ) 的双趣奇点，豆当p m x 2 夕2 o 时，烈为朔= 和) ， 吵( 五y ) = d ( p ) ，则有 若d 是( 2 4 ) 的鞍点、结点或焦点，则它也分别对应为系统( 2 5 ) 的鞍点、结点或焦 点，且在缝点与焦点的情况，奇点a 的稳定性与线性系统( 2 ，4 ) 对应相同； 当p = 如2 + y 2 o 时，若存在g 0 ，使妒( x ，力= d ( p m ) ，v ( x , 力= o ( 户k ) ，则 当0 是( 2 4 ) 的退化或临界结点时，它也相应为( 2 5 ) 的退化或临界结点，且稳定性与线性 系统时相周 2 4 平面系统的极限环 设平面自治系统 满足解的存在唯一性条件。 定义2 4 1 设有系统( 2 6 ) 的闭轨线f ，若存在艿 0 ，使系统( 2 6 ) 在f 的两侧邻域 s ( r ，6 ) 内的一切轨线均以r 为其q 或a 极限集，则称r 为系统( 2 6 ) 的一个极限环实际 上，系统( 2 6 ) 的极限环就是它的一条孤立闭轨线 若闭轨线f 仅有一侧( 内侧或外侧) 符合上述要求，翼| j 称f 菊单侧极限环 定义2 4 2 若存在6 0 ，使系统( 2 6 ) 的闭轨线r 的两侧邻域联r ，占) 内被( 2 6 ) 的闭轨 线所充满，则称r 为系统( 2 6 ) 的一个周期环 若闭轨线f 仅有一侧( 内侧或外侧) 符合上述要求，则称r 为单侧周期环。 定义2 4 3 若系统( 2 6 ) 在其极限环f 外侧( 内侧) 足够小邻域内的轨线均以r 为q 极 限集，则称r 为外( 内) 稳定极限环；若均以1 1 为a 极限集，则称r 为外( 内) 不稳定极限 环；若r 既外稳定又内稳定，则称r 为稳定极限环；若r 既外不稳定又内不稳定，则称r 为不稳定极限环；若r 的一侧稳定另一侧不稳定，则称f 为半稳定极限环。 定理2 6 【6 1 ( b e n d i x s o n d u l a c 判别法) 若在单连通区域g 内存在函数b ( x ，力c 1 ( g ) ， 使 _ a ( b p ) 十掣o ，缸，岁) g ， 6互，l 力 ” 而，j、 a 9 = = 办一斑砂一衍 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 且不在g 的任一子区域恒等于零，则系统( 2 6 ) 不存在全部位于g 内的闭轨线和具有有 限个奇点的奇异闭轨线函数召 ，y ) 常称为d u l a c 函数 极限环存在性的判定方法主要有两类：一类是根据环域定理或由它所推出的判定定 理；另一类是基于分支理论用极限环概念把环域定理可重述为： 定理2 7 吲( b e n d i x s o n 环域定理) 设由闭曲线l 与l 2 ( l l3l 2 ) 所构成的环域d 内及 其边界上不含奇点若平面自治系统凡与d 的边界a d 相交的正半轨线均穿入( 出) 环域 d ，则在d 内至少存在此系统的一个内稳定( 不稳定) 极限环和一个外稳定( 不稳定) 极限 环，可能二者重合为一 2 5 平面系统的分支 结构不稳定的系统称为分支系统，简称分支对平面系统来说，分支现象可以出现 在一个奇点邻近，则该奇点相应的一次近似系统的特征根或具有零实部，即出现一对纯 虚根，这是相应的奇点为中心或细焦点，系统经摄动以后其邻近的拓扑性态就会发生变 化，且在此奇点外围邻近可能会出现极限环，这就是h o p f 分支；或具有零特征根，这 时相应具有高阶奇点，系统经摄动之后，其性态会发生变化，奇点可能分裂为几个且伴 随着极限环的出现，这种分支现象中最基本的一个称为b o g d a n o v t a k e n s 分支分支系 统也可以具有鞍点之间的连接轨线，通常有同宿轨线和异宿轨线，相应的系统就出现同 宿和异宿分支 设有含参数的平面系统 其中 ，y ) r 2 ，a = ( ，疋，九) e r 若p ，q 关于其变元为c ( ，1 ) 类的或是解析的，则有如下的一阶h o p f 支定理： 定理2 8 【7 1 设a = 0 时，系统( 2 7 ) 以o ( o ，0 ) 为稳定( 或不稳定) 的一阶细焦点，则当 a 0 且lai 充分小而使o 变为( 2 7 ) 的不稳定( 或稳定) 焦点时，在o 外围邻近分支出唯一 的闭轨线，它是稳定( 或不稳定) 的极限环 7 ，2l 、，、， 九 a y y x 石 尸 9 = = 出一出砂一衍 大连理工大学硕士学位论文 3 非自治传染病s ls 模型的正周期解 3 。 模型的导出 利用动力学的方法来建立传染病的数学模型，再应用这样的模型来研究某种传染病 在某一地区是否会漫延持续下去而成为本地区的“地方病 ，域者这种传染病终将消除， 人们都将恢复健康用来研究传染病传染过程的数学模型一般可分为两大类，一类是确 定性模型，一类是随机模型这里只考虑利用动力学方法所建立的确定性数学模型用 传染病动力学的方法对传染病进行理论性的定量研究，能更好地从疾病的传播机理方面 反映流行规律，能使人们了解流行过程中的一些全局性态，对传染病的预防和控制提供 理论基础和数量依据 如果把所研究地区的人口分成三类滞】： s 类：易感者类，即在这一地区内所有未染病者的全体，这一类人若与染病者作有 效接触，就容易受传染丽得病 1 类：染病者类，郄在这一地区内己染上传染病且仍在发病期的入的全体，这一类 人若与易感者类的人作有效接触，就容易把疾病传染给易感者 r 类：消除者类，即在这一地区内因为染病而死亡或病愈有免疫能力的入的全体， 这一类入不再受染病者的传染磊重薪得病，也不会把疾病传染给易感者 k e r m a c k 与m c k e n d r i c k 首先利用动力学的方法建立了传染病的数学模型，人们称这 个模型为k m 模型这个模型的建立基于以下三个基本假设，称为k m 假设 假设a ：假设所研究地区的人翻的总数量是常数，不因时闻变化丽改变 假设b ：假设易感者由于受传染病的影响，其人数随时间而变化的变纯率与当时易 感者的人数和当时染病者的人数之积成正比 假设c ：假设从染病者类转到消除者类的速度与当时染病者类的人数成正比 如果黻s ( 0 、1 ( 0 、g ( o 分别表示在时刻 时s 类、l 类与r 类的入数，则k m 三假设 可表示为： 假设a ：坝0 + r ( 0 = n ( 常数) ，假设b ；s + i 山2 i ，假设c ：i 山r ，其中 多，y 为正常数。 对于某些传染病，得病后一般可以治愈，而且治愈之后还可能重新受传染荐次得病， 这类传染病的传染过程我们可用s i s 模型来描述注意现在仅把本地区人豳分成两类： s 类和i 类，可得k m 三假设为 假设a ：s + i = n ，假设1 3 i ：蹦山荔，假设c ：z 三二_ 是 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 其中卢是传染率，f 是平均染病周期，卢与f 都是正常数若无出生率与死亡率，则得 到s i s 模型为 这里j l i 为人口的出生率与死亡率，是正常数 文献 5 】研究了当是常数时上述两个模型，给出了疾病消除与形成地方病的阈值， 文献 9 】研究了非自治传染病s i r s 模型，给出了一致持久性与稳定性的充分条件，文献 【1 0 】研究了具有阶段结构的s i s 传染病模型，文献【1l 】研究了具有后分支的s i s 传染病模 型，文献 1 2 】研究了具有l o g i s t i c 增长率的s i s 传染病模型，得到了持久性与概周期解 存在的充分条件本章研究传染率p ，平均染病周期f ，人口的出生率与死亡率都是 t o 周期函数时的模型 兵甲a ( o ，叹f ) ，l u ( t ) 是有界、连续、正的周别凼毅 3 2 模型的转化及预备引理 令z o ) = s o ) + 1 ( t ) ，贝0 由( 3 1 ) 得 d z _ ( t ) ：( ，) ( 1 一s o ) 一，o ) ) ， d t 高训西， 1 一z f f l 。 z ( f ) = l e x p f 刊咖 量) 所以，s ：c 一，“) 对模型f 3 1 1 的研究可转化为对如下的模型f 3 2 ) 的研究： d 汀 、=，、 川 o + ，r d 汀 们 + f 趴 卜 、， s 郴 埘 0 9 训 o 舔一衍刃一衍 大连理工大学硕士学位论文 瓦d i = b ( t ) i - a ( t ) 1 2 ( 3 2 ) 中b ( o = 痒) c 9 ) 一? ) 一s ( t ) 如采模型( 3 2 ) 存在c o 周期解且唯一，那么模型( 3 1 ) 也存在c o 周期解盈唯一。 引理3 1v 毒 0 ，初值问题 _ a l l ：b ( t ) i 一口9 ) 歹2 ，取o ) ：f ( 3 3 ) 存在唯一解妖f ) ，f 【o ，) 证明令f ( t ，) = b ( t ) ! - a ( t ) 1 2 ，则初值问题( 3 3 ) 等价于积分方程 歹一f ( o ) + 【歹瓴i ( s ) ) d s w 的求解问题 因为f ( t ，) 在足2 = o ，) i t 0 ，0 ) 上连续，所以( 3 3 ) 的解故f ) _ 一定存在 已知a ( o ，r ( o ，u ( o 在眩嘲上有界，则6 在溉) 上有界，壹后亟的零l 理3 2 知， 妁在【o ，o o ) 上也有界故j 蚴 o ，v t 【o ，。o ) ，有l a ( t ) l - - - m ，且l 砸) | 蟛，i i ( t ) l m 。 v ( t ，厶) ，( f ，2 ) ， | f ( t ，) 一f ( t ，易) | 羹b ( t ) | + | 8 ) | ( | 五| + | 厶| ) 】| 五一毛| ( m + 2 m 2 ) l 一厶| = ll 一厶l ， 即f ( t ，) 在砖上关于，满足局部l i p s c h i t z 条件 为了证明解豹唯一性，取h 使o h l - 1 ，取嚣为定义在区闻p ，蠢】上的一切连续蘧 数所构成的空间，d 为定义在区间【o ，栩上且图象在霹中的一切连续函数所构成的集合， 丁为定义在连续函数空间c o ，明上的一个映射： ( 掰m = 歹( o ) + j ：，( s ，歹( s ) 油，t 【o ，h i 因为 i i t i i ( o ) 1 1 | f i i ( 州( 咖i i 幽i m 2 f m 2 h + o o ， 所以映射把集合d 映射到它鸯身，这里表示欧氏范数，m 2 = m a x ，| | ，j ( ) 。 l f ，j t 氍。 要证明积分方程存在唯一解，只需证明映射r 存在唯一的不动点x ：t x = x 即可 l 。，i ，d ， 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 jj ”，一丌：c = m a x llj f 0 的解，则有l i m i ( t ) 一，( f ) 】_ 0 证明由引理3 2 ，存在常数m ，m ：o 0 ，；i m 。r 口( s ) e 口m d s = + ， l i m y ( 垆y ( o ) l ，+ i m e x p 1 ；- o ( 0 0咖以，) 西 - o ，i ， i l 所以，r u n i nj ( f ) 一l n i ( f ) 】= 0 ，l i m i ( t ) - i ( f ) 】_ 0 大连理工大学硕士学位论文 3 3 模型周期解的存在性与唯一性 定理3 4设系统( 3 2 ) 满足引理3 2 中的条件1 0 ) ，2 0 ) ，则有下述结论： i ) 存在一个周期为c o 的周期解，其初值九o ) o ； i i ) 任一具有初值及o ) 0 的解，( 力，当一时趋于某个周期解； i i i ) 周期解厂是唯一的 证明i ) 设，是系统( 3 2 ) 的具有初值及0 ) = o 的任一解，则 了m ， 么o m m ，使o 0 ( 至) 若厶( 0 ) ：似a | j ) “0 ) = 亭，贝0h ( 0 o ，3 n = ) o ，v n n ，v s 【o ；c o 】，有 i 厶( s ) - i ( s ) i = l ，( s + 船回) 一，( s + 撇，) i n 时，有 两类传染病模型与微生物培养模型的定性分析 l i ( t ) - i ( ，) j = i ，( s + 聊) 一，o + 彻) i o ， 贝0v t 【o ，o o ) ，( f ) ( 力，有 i n f ，( f ) 一( ，) 忙 o ，o o ) ) _ i i 血l ，( f ) 一1 ( t ) i t 0 ，c o ) o ， 这与引理3 3 矛盾，所以系统( 3 2 ) 的周期解，( 力是唯一的 当系统( 3 2 ) 存在唯一的正周期解i ( f ) 时，由s ( t ) = c ( t ) 一i ( t ) 知，系统( 3 1 ) 就存在 唯一的正c o 周期解( s ( r ) ，i ( 呦，其中s ( f ) = c ( ，) 一f ( t ) 3 4 本章小结 本章提出了传染率，平均染病周期，人口的出生率与死亡率都是c o 周期函数时的传 染病s i s 模型，对这个模型周期解的存在性与唯一性进行了研究，得到了正周期解存在 唯一的一个充分条件 大连理工大学硕士学位论文 4 非自治传染病s ei 模型正周期解的稳定性分析 4 1 模型的提出及其等价模型 用传染病动力学的方法对传染病进行定量研究，能更好地从疾病的传播机理方面反 映流行规律，能使人们了解流行过程中的一些全局性态，对传染病的预防和控制提供理 论基础和数量依据文献 5 】与【8 给出了传染病动力学模型建立的基本原理与基本方法。 近年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的 传染病问题【1 3 1 【2 0 1 ，这些数学模型大多适用于各种传染病的一般规律的研究本章主要 研究传染病s e i 模型 鲁叫咖圳侧s 警刮r ) s l 叫f ) e - i 比e ( 4 1 ) 警刊脚， 其中s + e + i = 1 ，s 表示易感者类，e 表示潜病者类，i 表示染病者类，口( f ) 是传染率， s ( f ) 是发病率，出生率与死亡率都是u ( t ) 将e = 1 - s - i 代入得( 4 1 ) 的等价模型 鲁= 口o ) 田+ j l i ( ，) 一o ) s ( 4 2 ) i d = s ( f ) 一( r ) s 一， 其中b ( t ) = e ( t ) + l a ( t ) 令x = l - s ，y 可，则 = - p ( t ) x + 口( f ) 少- a ( t ) x y ( 4 3 ) = 6 ( t ) x - b ( t ) y 对任一连续函数厂( f ) ，f o ，0 0 ) ，采用符号 f i n f 厂( f ) ，f m = s u pf ( t ) t 【”j t e o ) 假设系统( 4 1 ) 的系数口( 晚( ，) ，e ( t ) 在【0 ，o o ) 上是有界连续函数，对任意的t 0 ，o o ) ， s ( t ) 0 ，i ( t ) 0 ，s o = s ( o ) 0 ，o = i ( o ) 0 ，且满足条件 m i n a l ，卢l ，s l o ，n 瞰 ，p 肼，s m 0 ，s + i i 是系统( 4 2 ) 的不变集 证明因为 乳训 0 ，剖1 - 0 叫唢1 咽 0 ， 所以当s ( t o ) o 时，v f