（应用数学专业论文）不定耦合半线性椭圆方程组解的存在性.pdf

摘要 本文主要研究了变号势的弱耦合半线r 椭圆方程组的解的存在性本文共分i 帮 稗：第一章中，我们介绍了弱耦合半线性椭圆方程组的研究背景和研究结果，及在 变号耦合和次临界、临界遇到的团难以及克服困难的方江： 红第一二章中，我们研究了如下弱耦合半线性椭圆方程组解的存在性： 其中q 是r 中的有界光滑区域，q ( z ) 变号当p ，q 是次临界的，即l p ，g 1 ，斋+ 岳 1 ，0 p 。p a 1 ，其中a l 是( 一，瑞( q ) ) 的第一特征值利用环绕 定理我们证明了方程组( 1 ) 至少存在三个非甲凡解 在第三章中，我们研究了在p = q = 2 。一1 的临界情形时，闯题( 1 ) 的解的存在性存 在知( 0 ，a 。) ，若0 p ，y 知，由环绕定理，我们证明了问题( 1 ) 至少存在三个非平凡 解本文已在d i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n s3 - 4 ( 2 0 0 9 ) ，2 3 9 - 2 5 0 发表 关键词：环绕和环绕定理；半线性椭圆方程组；变号势；解的存在性；n e h a r i 流形； 临界指数 u _ 降 1 妒印州 h 札 圳田姒 扣 叩 n n m m + + u 肛 w 躯 = = f 可 以 以 叩 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fw e a k l yc o u p h 、ds e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t s h u y u a nc h e n ( m a j o r e di na p p l i e dm a th ( ，m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f j i a n f uy a n g i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fs e n i i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m sw i t hs i g n c h a n g i n gw e i g h t s t h i sp a p e ri sc o n s t i t u t e dw i t ht h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c e t h eb a c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t si nw e a k l yc o u p l e ds e m i l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s w ei l l u s t r a t ed i f f i c u l t i e sa b o u tt h ew e a k l yc o u p l e ds e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m s ，a n d i d e a st os o l v et h e m i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt i l ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n so fw e a k l yc o u p l e ds e m i l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m s ： f a u = p t l + l u | p - 1 ”+ a q ( x ) l u l 一2 川p t l ， l 一a v = 鲫+ i t ，p 一1 t ，+ f ，q ( x ) l u l 。i t ，i 口一2 t j ， ( 2 ) i l l n ，v 月吾( q ) ， w h e r eqi sa s m o o t hb o u n d e dd o n m i ni nr ，q ( z ) c h a n g e ss i g n s s u p p o s el p ，q 1 ，着【- + 舟 1 ，0 p ，王， a i ，w h e r ea li st h ef i r s te i g e n v a l u eo f ( 一，础( q ) ) ，w eo b t a i na tl e a s t t h r e en o n t r i v i a ls o l u t i o n so fp r o b l e m ( 2 ) b yal i n k i n gt h e o r e m i l lc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt i l ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fp r o b l e m ( 2 ) i nt h ec r i t i c a lc a 跎p 。q2 2 一1 w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sx o ( 0 ，a 1 ) s u c ht h a tf o r0 p ，v o ； 俐存在e e b p ，满足球) s0 那么 豫i n f 。m 口( a i o 1 j x ) i ( g e r n ) u 口( 1 0 1j ) 是，的临界值，其中 r = 9 c ( 【0 ，1 1 ，e ) ：y ( o ) = o ，a ( 1 ) = e 我们称( 1 ) ( 2 ) 和，( o ) = 0 为山路引理的几何结构条件 对于极小化问题有以下推论： 推论：1 1 1 ( f 1 】) 设e 是一个b o n 口如空间，j r c 1 ( e r ) 满足( 尸) 条件，如果泛函，有 下界，则 “ 时e ， 三 c 值界 临的，是 江西师范大学硕上学位论文 设 0 a l a 2 a s - + + ； 为( 一，h 。：( q ) ) 的特征值，对应的特征函数分别为 妒1 ，妒2 ，妒，r 当p a t 0 时，泛函，的二次项；f n ( i v - 1 2 一p u 2 ) d x 是j f 定的这时满足山路引理 几何结构条件当1 p 天1 时，泛喃，的二次项 ，( v 甜f 2 一p “2 ) 如是 不定的，因此问题( 1 1 ) 对应能量泛函，不满足山路引理的几何结构，不能应用山路引 理证明问题( 1 1 ) 解的存在性设k o i 俐存在常数e o b lnx 和r p ，使得当q 兰( 瓦ny ) o r e 0 r 兄 时， 有，f a 口0 那么 c 兰i n fm 妪，( 九( t ) ) ，l e ru e d 是，的一个临界值且c 口，其中 r = c ( 国，e ) ：h l o q = i d 我们称( i ) 和i i ) 为鞍点定理的几何结构，称y 为负定空间 当1 s u p o q ，( “) = n o 0 则 c 兰j o fs u pj ( ( t i ) ) h c lv 0 是，的一个临界值，且c 之o ，其中 r = _ i c w ；v ) ：h a q = i d 我们称( 1 ) ，( 2 ) 为环绕定理的几何结构条件 环绕定理为证明强不定的椭圆方程组和哈密尔顿方程组解的存在性提供了重要 方法，见f 1 4 ，1 3 7 由环绕定理获得的泛函j 的临界值满足c2a ，因此，如果泛函，存存 小于o l 的临界值，那么我们可以获得泛函，多个临界值构造环绕s 和a q 满足环绕定 理几何结构条件( 2 ) 是得到泛函多个临界值的关键所在 z h a op e i h a o 在2 6 j 中研究了方程组： f - a u = i ( x ，t ) + a l ( z ，乜，钉) ， 一t ，= 9 ( 工，t ，) 4 - a 2 ( z ，u ，口) ， ( 1 3 ) l 姐，t ，h j ( q ) ， 其中q 是眨 ，中的有界光滑区域，9 有类似的性质，满足： ( 1 ) ，c ( f i 兄) ，存在2 0 ，使得对于任意的 r ，z q 有 0 a f ( x ，札) 兰d ，( z ，z ) 斑s “，( 。，让) ，让 ，o ( 3 ) l i l 2 f l ； 一u ( 4 ) f ( z ，u ) l u i 在r 0 关于“是单调增的； ( 5 ) h i , h 2 c ( h r r ) ，且有 矗l ( z ，豇，o ) = h i 扛，o ，封) h 2 ( x ，2 l ，o ) = h 2 ( 皇，o ，芏7 ) = o ； ( 6 ) ( z ，程，口2 。，。) 矗】( z ，以s ) d + ? ( z r 以s ) d s 三南， r ( 1 l ，v ) 其中知是个非正的常数； 3 江西师范大学顺i j 学能论文 ( 7 ) 存在1 m 0 ，使得当+ r 时，满足 u h i + v h 2 i l r l a x c g ，。) 所以问题( 1 3 ) 至少存在= 三个非零解 我们主要研究如下力程组解的存在性： 其q 了q ( z ) 变号设q 士( z ) 三m a x o ，士q ( 茁) q + 兰 z q ：q ( z o ，q 一兰 z 1 1 ： q ( 石) - n a xc p ，勺) 以及问题( 1 3 ) 对应的能量泛函的( p s ) 序列的有界性起了关键的作用但 是对于n ( x 材) = q ( z ) t “f n m 反当q 扛) 变号时，是不存在非正常数奄使得条件( 6 ) 成立 的，本文研究了n ( z ， ，v ) = q ( z ) l u l 。川p ，q ( z ) 变弓时，问题( 1 4 ) 多解的存在性 问题( 1 4 ) 的解表示两个物种在同一区域q 进化达到的稳定密度肛和扩分别表 示两个物种的增长率“和可代表的物种在阻区域中竞争。在q 区域中合作，丽 在l b 区域中互刁i 影响：此种模型的描述见【16 】当p = q = 2 时，在文献f 】6 1 中给出了 问题( 1 4 ) 的解的各种性质，包括天于参数p 和p 的分歧理论得到的分歧解当系数函 数q 之0 和q = r n ，问题( 1 4 ) 是一个b o s e - e i n s t e i n 模型f 3 l 】对此种模型进行了详细描 述，当q o ，q 为有界区域对，问题( 1 4 ) 存在非甲凡解j 见文献l l6 】，1 2 6 】和 2 7 】 近些年，人们对非线性项带不定势的椭圆问题做了大量的研究m l 研究了爿 线 性项带变号q ( z ) 的椭圆问题： 一a u = a u + q ( z ) ，( “) ，“月0 ( q ) ，( 1 | 5 ) 4 钠，阳沁1 尸 一 u 蜊 礤然 k v r 州 m 坩 ， + u 肘肼 叫 一埘 a 一 一 眦 4 i 定耦? ? # 线陀椭圆方程组解的存垂性 其中，q 是r 中有界光滑开区域，吞i 零点和无穷远点是超线件和次临界的设q + = z q ：q ( z ) o 毋，q 一= z q ：q ( z ) o ) 毋，q b = z q ：q ( x ) = o 在? t h i c k n e s $ ”条件：死n 瓦= o 或lf ( u ) 一p f ( t t ) i a ，闷题( 1 5 ) 没有正解q ( z ) 是 变号的会给证明解的存在性带来两个困难，第- - e ( z ) 的负部会抬高相应泛函的能量 值这样使得难以验证极小极人儿何结构；第二，q ( z ) 的负部存在使得( p s ) 序列的有 界性难以验证，f 3 0 中的”t h i c k n e s s 条 t 主要是用来证明s ) 序列的有界性的 在”t h i c k n e s s ”条件下，当q = r n 时，文献【7 】证明了次临界问题( 1 5 ) 存在j e 解；文献【l l ， 1 翻证明了临界问题( 1 5 ) 存在非平凡解当没有”t h i c k n e s s ”条件时，在【1 9 】中，m r a m o s 等 假设非退化条件：( v q ，l ，) s0 ，z 触和v q ( x ) 0 ，v z q o 当a 七 a a 女+ l 时，得到了 问题( 1 5 ) 的非平凡解；当q ( z ) 为二次齐次多项式时，( 3 1 证明了问题( 1 5 ) 存在非平凡解 j a c q u e sg i a c o m o n i 在【1 1 】中处理变号势问题( 1 5 ) 时对各个区域q o ，q 士，上做先验估 计，在估汁中综合使用到爆破方法，移动平面方法，和h a r n a c k 不等式，环绕定理等工 具当a 1 ( 一，础( q ) ) p a l ( 一础( s 2 + ) ) ，f ( u ) = 川2 - - 2 u ，v q ( z ) 0 ，妇n o 时，得到 得到问题( 1 5 ) 的分歧解 对于带变号势问题( 1 4 ) 来说本义没有假设”t h i c k n e s s ，条件和非退化条件，也没有 设定条件：( v q ，) 0 ，z a q 和v q ( z ) 0 ，比q o 我们设法通过高次项来控制祸合 项的有界性，从而得到问题( 1 4 ) 对应泛函的( p s ) 序列的有界性我们需要对q 士添 加条件限制，由环绕定理，问题( 1 ，4 ) 存在非平凡解我们再通过环绕定理的几何结构 使得解的能量在( ，o ) 和( o ，y ) 的能量之上 在第一章中，我们研究了临界情彤问题( 1 4 ) 的解存在性当非线性项指数为次临 界时，由嵌入定理知道这时的嵌入是紧的，我们可以证明到全局的( p s ) 条件但是 对于临界情形? 情况复杂得多对于单个方程( 1 1 ) ，当p = 糙时，由s o b o l e v 嵌入定理 有嵌入础( q ) 一l 2 ( q ) 是不紧的，这给旺明对应能量泛函的( p s ) 条件带米了困难对 临界问题( 1 ，1 ) 解的存在性进行了大量的研究p o h 0 2 a e v 得出了一个不存在非平凡解的 结论： 定理：1 1 3 ( p o h o 丢a e v 2 9 ) 设区域q r 】v ( n 之3 ) 为光滑的严格的星形区域，当p 0 时，问题 一“= p 牡+ l u l 2 一2 t ，“月0 ( q )( 1 7 ) 只有零解 当区域为环形q = z r n ：r 。 川 1 ， h o 刑( q ) q 驴( q ) 5 江西师范大学颂上学位论文 是紧的，泛函满足( p s ) 条件，由山路引理或鞍点定理得出问题( 1 7 ) 存j i 川平凡径向 解c o r o n 在【1 5 l l | j 证明了在扰动环形区域，即 q ) z r n ：n 1 z j ( 7 2 磊 zer n ：i z i 0 ，满足，( ) ( 专s 譬，斋s ) a b a h r i ， j m c o r o n 在 2 | 中进一步研究了当q 为非平凡拓扑，即 协( q ，如) 0 ， 且在弘：o 时，问题( 1 7 ) 高能罱解的存在性 b r e z i s 和n i r e n b e r g 存【9 ) 中研究了，当0 0 上 泛函( 1 8 ) 的最大值在( o 专s 譬) 内，由山路引理立即可以得到平凡解b r e z i s 和n i r e n b e r g 的 主受结论可归结为： 定理：1 1 4 ( 临界存在性定理【9 】) 设q 是r 中的有界光滑区域当 3 时o p 入l ， 当n = 3 时， a t p 3 ) 中的有界区域， 钍。 是泛函在中的( p s ) 序列，那么必存在自然数后，序列 磷， ) ，1sjsk 和方程r j 刀的解u ，以及极限方 程 一a u = l u l 2 一2 让，t l d 12 ( r )( 1 9 ) 的非平凡解牡- d 1 2 ( r ) ，使得当，7 l 0 0 时，破一。o ，或q 且 k i i t l m u 一芝二口毛i | d - 。( r ) 一0 ， j = l 其中婊= ( 弼。) 学娥碥扛一墙) ) ，l j k 此外还有 k m ) 一，( u ) + ，”( 7 ) ， j = 1 其中严是极限方程r j 鲫在d - 2 ( r ) 中对应的能量泛函 6 不定耦合一线r j 椭酬方程组解的存侄性 对无界区域上的紧性的研究，p i1 i o n s 在【2 3 1 ，【2 4 】中做了伞蛹的深刻的研究本文 是对有界域问题的研究，因此，这舅! 个傲进一步说明 p e i l t a oz h a o ，x i y i n gw a n g 在【2 7 】r f f l j f 究了临界方程组非平凡解的存在性： 其中q 是有界光滑区域，h 1 兰甍，h 2 兰番h ：q xr + r + 一r + 假设h l ，1 2 c ( q r 兄) 日有h l ( z ，u ，o ) = h a 扛，0 ，”) = h 2 ( x ，u o ) = h 2 ( x ，0 ，u ) = o ；存存1 o 2 + ，1 o ，使得当i t t i + i v l 月时，满足h ( x t ，t ，) c ( 1 u l 。+ i v l 口) c h e n gx i y o u 在【3 5 】中研究了 临界带权方程组非平凡解的存在性： f - a u = # l u + k l ( z ) l “1 2 - - 2 t l + a 菸h ( z ，t i ，t ，) 一秽= 勉t ，+ k 2 ( x ) t , - , t 2 j - - 2 移+ 入嘉日扛，珏，t ，) ( 1 1 1 ) i i u ，t ，h o ( q ) 其中q 是有界光滑区域设h l 兰爰，h 2 兰甍：q r + x r + 一r + ，l l ，h 2 c ( q r 兄) 且 有h 1 ( z ，t ，o ) = h i ( z ，0 ，t ，) = h 2 ( z ，t ，o ) = h 2 ( z ，0 ，u ) = o ；存：在1 q 2 ，1 o ，使得当川+ h r 时，满足h ( x ，t t ，口) c ( 1 u t n + i v l 口) 对于临界问题( 1 1 0 ) ，( 1 1 1 ) 解的存在性，首先证明对应能量泛函满足局部的( p s ，) 。 条件，再构造环绕，使得能量泛函的临界值在大于满足( p s ) 条件的区问的下界由环 绕定义，寻找到某个曲面使得能量泛函在此曲面上的最大值小于满足( p s ) 条件的区 问的上界从而由极小极大刻画可得能量泛函的临界值在满足( 尸s ) 条件的区问内 在上述的两篇文献中，证明问题对应的泛函在( m a x c 。，c 2 ，c l + c 2 ) 上，满足( p s ) 。条 件是错误的方程组( 1 1 0 ) 对应的能量泛函为： 以“，移) = 五如) + 磊( ”) 一z 胃( z ，牡，z ，) ，t ，n j ( n ) 0 1 2 ) 其中， j l ( 札) = 狮v “1 2 _ # u 2 ) d x 一去d x n j ( n ) 和 尼( t ，) = ；( i v t ，i - v v 2 ) d z 一害j - t ，2 d z ，u h 0 1 ( f i ) 设c 。，c 2 分别为泛函，如的最小临界值，由定理1 1 4m a x c 1 ，c 2 ) 1 ，( ) = 1 ，0 r o t ，q 一= f z q ：q ( x ) 0 和q o = z q ：q ( 。) = 0 t 设0 p ，暑， a l ，其中a l 是( 一a ，础( q ) ) 的第一特征值。 对于次临界的情况，即l 时，除条件( 1 ，1 4 ) 外，还需要对q 一增加限制条件 ( z 州妒妇) 号 1 ，问题( 1 1 3 ) 有非零解( u ，o ) 和( o ，y ) ，其中u 和y 分别是方程 一a u = p “+ l j p - - 1 让，一口= 上，t ，+ j y q - - i ，t 上，”月吾( q ) 的正基态解 对于次临界情形，主要结论如下： 定理：1 2 1 在条件( 风) 和( 现) 下，问题r j j 副至少存在三个非零解，其中包括( 职o ) ，( 0 ，y ) 对于次临界情况，我们可以证明问题( 1 1 3 ) 对应的能量泛函满足( v s ) 条件，在证 明第三个非零解的存住性时，只需要将其b ( ，o ) ，( 0 ，v ) 区分丌来一与次临界情况不同， 对。j ：临界情况，问题( 1 1 3 ) 对应的能量泛函满足局部( p 9 ) 条件，这就需要住满足( p 曼) 条件的区间段卜寻找m 题( 1 1 3 ) x , 应的能革泛函的临界值 对于临界情形：p ；窖= 2 一1 假设： 8 小定耦合半线性椭圆方程组解的存在 ( 风) a + p 0 使得 ( l i q ( z ) 1 1 如) 正 ( 1 1 6 ) 其i p = 1 一学 对j ：临界情形，我们的主要结论是： 定理：1 2 2 假设方程组满足条件( 风) ，则存在a o ，0 o ，q 一= z q ：q ( z ) 0 ) j f 口= z q ：q ( z ) = o 1 1 ，我们知道方程组( 2 1 ) 有非零解( 以o ) 和( o ，y ) ，其中u 和y 分别是问 题 - - a u = p t i + i 牡l p 一1 口， - - a v = 砌+ i t ，l g 一1 t ，“，t ，月j ( q )( 2 2 ) 由山路引理得到的解问题( 2 2 ) 对应的能量泛函分别是 毛( 珏) 三上睦( v 钍1 2 一p 材2 ) 一寡j 一1 】出，。( 杉) 三z 哇( i 乳1 2 一) 一矗j 驯q + 1 d x 令 肌兰 珏嘲( q ) 1 0 ：( 丘( 豇) ，”) = o ，肌三 秒硪( q ) o ) ：( ( t ，) ，t ，) = o ) ， 分别为能量泛函毛和l 的n e h a r i 流形设问题( 2 2 ) 山路引理解的能量分别为 兰赙厶( 让) = 丘( u ) ，勺兰簪l 扣) = l ( y ) 设e 。= t u 和= ，其中t 是足够大的常数定义 q = ( s e p ，t e ，) ：0ss 1 ，0stsl ce ，s = 乞 我们将证明a q 与s 环绕由环绕定理得到方程组( 2 1 ) 对应泛函： ，( 牡，t ，) = ，p ( n ) + l ( t ，) 一q ( z ) i t l o l t ，i 卢d x 有临界值q 通过的能量估计得出c m a x c # ，c ，l ，于是得到一个非平凡解为了压住 能量值c ，我们需要假定条件： ( 劈1 ) q ，p 1 ，南+ 鲁 1 设o p ，p 0 使得 ( q + ( z ) 1 如) 寺 m i n v + l ，口+ 1 时，除条什( 2 3 ) 外，还需假设q 一满足 ( zq ( 妒耐 0 ，于是| | “。0 和| l l l 是有界的 现在我们证明 牡。，u 。 有收敛二f ：列由于空间硎( q ) 嘲( q ) 是自反的b a n a c h 空间， 任何有界子列都有弱收敛了列，那么我们取其中一个弱收敛- 了列，将此子列仍记为 “。， 于是有 j t ，l t ，在捌( q ) ，一t ，在磁( q ) ； t l 。一t l ，在扩+ 1 ( q ) ，一譬，在铲+ 1 位) ； 缸。一u ，在f l 上几乎处处收敛，一v ，在q 上几乎处处收敛； 当q + 口m i n p + 1 ，q + l 和南+ 击 在p + 1 ( q ) 中强收敛于乱，由 ，在 l q + l ( n 0 中强收敛于u ，我们有 | t 。一t r 1 如一。和f 一t ，i 外1d x 一0 用h s l d e r 不等式和y o u n g 不等式， fi q ( z ) l u 。l 。k t l 疗一q ( x ) t u l 8 i v 一v rd x i q ( x ) l l u 。i 。i v 。t ，i pd x + i q ( x ) l l u 。一u i 。i v 1 口d x c 和9 ( ) d 构造 s f 2 = x 2 n s ；，q x = h + t a e 。；u x lo o b , 。( x ) ，t l f 0 ，l 】 ， 和 s = 圪n 彰， q y = t ，十t 2 e v ；t ，mnd j 6 f r 。( y ) ，t z 【o ，l 】 设 q 兰q x ，s 兰s f z s ， 则s 与a q 环绕 证踢：不失一般性，我们设c = d = 1 ，y o ) 1 或9 ( 口) 1 ( 2 ) 设妒：q x y 是连续的，并且o l o q = i d o q ，现在证明s n i p ( q ) 0 令妒：妒1 。妒2 ) 妒l c ( q ，x ) ，妒2 c ( q ，y ) ，定义投影算子戤：x x l ，肆：y y 1 我们 只需证明：存在w o = ( z 。，珈) 满足 i j j 蜘刚蛳s = 硝确 = j i 蛳岫 啪 妒 刃伽 彳i j 耦合半线性椭圆方程组解的存征性 设同伦映射h = ( h 1 ，。) e ( q 【o ，1 】，q ) 其中 h 1 ( u + s e z 1 + r e ，t ) =( 1 一t ) u + f 矗c p l ( u + 3 e z ，t ，+ r e v ) + 【( 1 一t ) l ( e 。) 5 + f ( ，( 妒l ( 札+ s e 。，t ，+ 他v ) ) 一1 ) 1 “ 飓( + s e z ，哲+ 7 - e ，t ) = ( 1 一t ) v + t 彤0 2 ( u + s e 。，t 7 + r e v ) + 【( 1 一t ) g ( e 暂) r + ( 妒2 ( t l + 8 e z ，t ，+ r e ，) ) 一1 ) l e ， 则 ( u + s c 。，t ，+ 7 - e f ，o ) = ( 钍+ ( ，( e z ) s 1 ) e 。，t ，+ ( f ( e 掣) r a ) e 冒) 因此d e 9 ( 日( ，o ) ，q ，( o o ) ) = 1 当( t + 8 e 。，t ，+ 下e 掣) o q ，t 【0 ，l 】时， 日( u + 8 e 。，u + r e y ，t ) = ( t t + 【( 1 一t ) i ( e 。) 8 + t ( i ( v + t e 掣) 一1 ) 】e 。，t ，+ 【( 1 一t ) 9 ( e v ) r + t ( g ( u + f e ) 一1 ) 】e ) 若存在( t 1 7 + 5 e 。，t ，+ , 7 - t e v ) o q ，t 【o ，1 】满足 ( 0 ，0 ) = - ( u + 3 7 e 。，t ，+ 7 - r e 可，t ) = ( i d , 7 + 【( 1 一z ) ，( e 。) s 7 + t ( ，( t | 7 + s e 。) 一1 ) l e 。! t ，+ 【( 1 一t 7 ) 9 ( 勺) 7 + t 7 ( 夕( t ，+ , t t e v ) 一1 ) 】勺) ， 于是就有 , u p = o ，( 1 一) ，( e z ) s 7 + 2 ( ，( t + 5 e 。) 一1 ) = o ， ( 2 8 ) = 0 ( 1 一t 7 ( e ) r + t 7 ( g ( t ，7 + 丁e 口) 一1 ) = 0 当s r a m 0 ，由等式( 2 8 ) 第一个式子有t ，( o ) 一1 0 类似地，当，= 0 ，或1 等式( 2 8 ) 第j ：个式子 不为零，因此 h ( o q ，t ) ( 0 ，0 ) 因此h 是一个同伦映射由b r o u w e l 度的同伦不变性，我们有 a e , j ( - i ( ，1 ) ，q ，( o ，o ) ) = d e g ( - l ( ，o ) ，口，( 0 ，o ) ) = 1 ， 于是存在蛳= ( 钍o + 8 0 e 。，v o + r o e f ) q 满足 ( 0 ，o ) = h ( u o + s o e 。v o + t o e 掣，1 ) = ( 砍妒l ( t l o + 8 0 e 。珈+ e v ) + 【( 1 一t ) i ( e 。) s + ( ，( 妒l ( 乱o + $ 0 e z ，v o + r o e v ) 一1 ) l e ， 肆妒2 ( t o + s o e z ， o + 丁b e ，) + 【( 1 一t ) g ( e p ) 7 - + t ( 9 ( 妒2 ( t t o + $ o e 。，v o + t o e f ) ) 一1 ) 】e y ) ， 从而 砝妒1 ( i l o + s 0 e ，v o + e y ) = 0 ，( 妒1 ( t o + 8 0 e z ，伽+ t o e v ) 一1 ) = 1 ， 砖妒2 ( 啦+ 妁e 。，坳+ r o e f ) = 0 ，g ( 妒2 ( n o + s o ，v o + o e ) ) 一1 ) = 1 所以| sn 妒( q ) d 口 令： ( 。，。姚i n fx 肌讹t ) ( u ，口) r “肌 1 5 江西师范大学硕上学位论文 引理：2 3 2 在条件( 1 ) 和( 飓) 下，csl ( + 勺+ 导) 成立 证明：由j ：u 矿分别是泛函厶，l 的山路引理解，对应的能量值分别为q = 厶( 矿) ，c 。= l ( y ) 苷- t t | 5 1 d e r 不等式， 1 - ! ( u v ) = 以( u ) + l ( y ) 一f n q ( 七) c ，。y 芦d z s + 勺+ ( 上q 一( z 广d z ) 4 茹与上u v + 1 如+ 舟zv l 如+ 孑1 】 ( c 弘+ c 王，+ 毛) 口 引理：2 3 3 在条件( i ) 和( 凰) 下，集合m = ( “，可) 虬儿：j ( u ，r ) 5c 在e 中有 界i 且对于任意的( ，t ，) 朋有 ? o t t i l 2 ，i i 1 1 2 肘l ( c p + c ，+ 专) ( 2 9 ) 证明：对于( 1 l ，t ，) m ，有 z f ( | v 钍1 2 - - i u u 2 ) 叫= z 川舛1 如，上f ( f v 印一扩秽2 ) 叫= z m 什1 出j nj nj nj n 由此可以得 b ( 三一矿1 玎) z ( i v 札1 2 一p u 2 ) 如 + ( 葛1 一再1 了) 上( i 跏1 2 一t ，2 ) 如) c + q + ( z ) f “j 。i 可j pd x 一q 一( z ) f f 。f 可f pd x j nj n sc + q + ( z ) l u r i v l 口d x ，l sd + ( 上q + ( z ) 1 如) 【南上( i v 让i _ u u 2 ) 血+ 南上( i v 砰一肿2 ) 如+ 专j ， 即 【；一i i 万一矿o 万t ( zq + ( z ) 如) 1 上( i v 1 2 - 。u 2 ) 咖+ 上( i v 印一t ，2 ) 如) s c ( 2 1 。) 由条件( i - 1 2 ) ，取6 0 满足6 6 0 ，则 朋( 三一南) 上( 1 9 u 1 2 - u u z ) d x + 朋( ；再1 1 ) 上( i v t ，i 2 一加2 ) 出 sc + 亏1 口 引理：2 3 4 ( e k e i a n d 变分原理【1 0 1 ) 设e 是一个完备的度量空间，度量为d ，：e r u 是下半连续，有下界且不恒为0 0 ，则对任意的，6 0 以及任意的趾。e 满足 j 0 e ) si 西，+ e ， 都存在魄e 使得 ，( ) i ( u 。) ，d ( u 。，啦) s1 ， ，( 秽) ，( ”e ) 一e d ( u 。，t ，) ，v e ，t ，t 冶 1 6 1 i 定耦