（理论物理专业论文）具有随机相移的josephson结阵列的动力学研究.pdf

| | i l ll li iii ii i i ii ii ii il y 18 0 4 3 6 7 at h e s i ss u b m i t t e di n p a r t i a lf u l f i l l m e n to f r e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e d y n a m i c a ls i m u l a t i o no nt h ej o s e p h s o n - j u n c t i o na r r a yw i t h r a n d o m p h a s e s h i f t c a n d i d a t e ：g u oy a f e n g m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s s u p e r v i s o r ：c h e nq i n g h u z h e ji a n gn o r m a lu n i v e r s i t y , j i n h u a , 3 2 1 0 0 4 ，p r c h i n a a p r i l 2 0 1 0 具有随机相移的j o s e p h s o n 结阵列的动力学研究 摘要 本论文主要通过数值模拟，利用标度理论研究了具有随机相移的 j osep hs o n 结阵列的动力学相变。首先介绍了直流j os ep hso n 效应 和交流j os ep hs o n 效应，以及j os ep hso n 效应与磁场的关系；其次 以电阻分流结( r s j ) 的动力学模型为基础，采用二维的x y 模型，首先 研究了均匀分布无序的j o se p hso n 结阵列在不同无序强度时的相 变，并且和以前的实验及数值模拟做了对比；接着我们做了具有随机 相移j o se p h s o n 结阵列的动力学研究。具有随机相移的无序系统 中，在扭转涨落边界条件下，运用动力学标度理论讨论了在不同的无 序强度时，系统的动力学相变；最后我们利用脱钉相变和蠕动标度理 论，分析和总结了系统在零温时的脱钉相变和有限温度时的蠕动规 律，并给出了临界动力和临界动力学指数。 + 主要结果如下： ( 1 ) 对于均匀分布无序的二维j ose p hso r 结阵列，当系统处于 弱无序时，从高温线性电阻态到低温的超导态将经历k t b 相变；当 系统处于强无序区域的时，系统的超导相变就转变成连续的n o n - k t b 型。我们对系统的电压电流用标度理论分析，此n o n - k t b 相变 可能是玻璃相变。而且，动力学临界指数可与实验上和m o n te c a r10 平衡态数值模拟结果相一致，说明我们的方法和模型是正确 的。然后，我们做了高斯分布无序j ose p hs o n 结的动力学模拟。无 序强度仍然从弱到强，最终结果和均匀分布无序相似，在弱无序系统 时从高温到低温将经历k t b 相变，在强无序区域系统将经历n o n - k t b 相变，通过标度理论可以得到，随着无序的增强系统的临界温度 线性的递减，说明无序会影响涡旋的运动。 ( 2 ) 对于随机相移的j o se p hso n 结阵列系统，我们做了零温时 的脱钉相变和有限温度时磁通蠕动。通过动力学标度理论我们得到了 动力学临界指数和临界电流无论系统的无序强度怎么变化，系统 都表现出连续性的脱钉相变而且临界电流随无序的增强而减小，这 说明无序会影响涡旋的运动。在中等强度无序系统的蠕动规律表现出 n o n a r r h e n i u s 的形式，在强无序区域表现出a r r b e n i u s 的蠕动规 律。且都满足e 指数的蠕动方程，这也与以前的结果相一致。 关键词：j o se p hso n 结阵列；x y 模型；相变：动力学标度理论 d y n a m i c a l s i m u l a t i o no nt h ej o s e p h s o n - j u n c t i o na r r a yw i t h r a n d o mp h a s e s h i f t a b s t r a c t i n t h i s t h e s i s ，u s i n gd y n a m i c s c a l i n g t h e o r y ， w e n u m e r i c a l l yi n v e s t i g a t e t h et w o d i m e n s i o n a lx ym o d e lw i t h r a n d o mp h a s e s h i f t f i r s t ，w eh a v ea n a l y z e dt h ed i r e c t - c u r r e n t j o s e p h s o na f f e c t i o n ，a l t e r n a t i n g c u r r e n t j o s e p h s o n a f f e c t i o n a n dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nj o s e p h s o na f f e c t i o na n dm a g n e t i c f i e l d a n dt h e nw eh a v ea n a l y z e dt h et r a n s i t i o ni nj j am o d e l w i t hu n i f o r md i s o r d e r w h a t sm o r e ，w eh a v ec o m p a r e dt h o s e r e s u l t sw i t he a r l i e rw o r k s f i n a l l y ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h e t r a n s i t i o nj j am o d e lw i t hr a n d o mp h a s e s h if t i nt h er a n d o m p h a s e s h i f ts y s t e m ，w eh a v es i m p l i f i e d i ti n t o t h er e s i s t i v e l y s h u n t e d ju n c t i o n ( r s j ) f o r m u n d e rt h e f l u c t u a t i o nt w i s t b o u n d a r y c o n d i t i o n ， w eh a v e i n v e s t i g a t e d t h e d y n a m i c t r a n s i t i o nw i t hd i f f e r e n td i s o r d e rs t r e n g t h sb y t h e d y n a m i c s c a li n gt h e o r ya n da l s ow et u r nt ot h ed e p i n n i n gt r a n s i t i o na t z e r o t e m p e r a t u r e a n d c r e e p m o t i o no f 、v a r i o u sa t l o w t e m p e r a t u r e f o r d i f f e r e n td i s o r d e rs t r e n g t h s b yt h es c a l i n g a n a l y s i s 。w e c a no b t a i nm o r ea c c u r a t ec r i t i c a lf o r o ea n d d y n a m i cc r i t i c a le x p o n e n t t h em a i nr e s u i t so fe a c hp a r ta r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) f o rt h et w o - d i m e n s i o n a lj o s e p h s o na r r a y se x p o s e d t o t h eu n i f o r md i s o r d e r i nt h ew e a kd i s o r d e rr e g i o n ，t h es y s t e m u n d e r g o e sak t bp h a s et r a n s i t i o nt y p e i nt h es t r o n g e rd i s o r d e r r e g i o n ，i t f o l l o w st h en o n - k t bp h a s et r a n s i t i o nt y p e w eu s e d t h es c a l i n gt h e o r y ，p r o v i d i n gf u r t h e re v i d e n c ef o re x i s t e n c eo f n o n k t bp h a s e ，p o s s i b l yg l a s sp h a s e w h a t sm o r e ，t h ed y n a m i c e x p o n e n t sa r ec l o s et op r e v i o u sr e s u l t sf o rs i m u l a t i o no fm o n t e c a r l o ，v e r i f y i n go u rm e t h o d sa n dm o d e la r ec o r r e c t a n dt h e n ， i i i w cs t u d i e dt h et w o - d i m e n s i o n a l j o s e p h s o na r r a y sd y n a m i c s i m u l a t i o n w i t hg a u s sd i s o r d e rt y p e t h er e s u l t sa r es i m i l a r w i t ht h eu n i f o r mt y p e i nw e a kd i s o r d e rr e g i o n ，t h e s y s t e m e x p o s e dt ot h ek t bt r a n s i t i o nt y p ea n dan o n - k t bt r a n s i t i o ni s a l s oo b s e r v e di nt h e s t r o n g e rd i s o r d e rr e g i o n b yt h es e a l i n g t h e o r y ，t h ec r i t i c a lc u r r e n td e c r e a s ea st h ed i s o r d e rs t r e n g t hb y d y n a m i cs e a l i n gt h e o r y 。 ( 2 ) f o rt h et w o - d i m e n s i o n a lj o s e p h s o na r r a y sw i t hr a n d o m p h a s e - s h i f t ，w e t u r nt ot h e d e p i n n i n g t r a n s i t i o n a t z e r o t e m p e r a t u r e a n dt h e c r e e p m o t i o no fv o r t i c e sa tl o w t e m p e r a t u r e s b yt h ed y n a m i cs c a l i n g ，w e c a n g e t t ot h e d y n a m i ce x p o n e n t sa n dc r i t i c a lc u r r e n t s w h e t h e rt h ed i s o r d e r i sw e a lo rs t r o n g ，ac o n t i n u o u sd e p i n n i n gt r a n s i t i o ni sf o u n da t z e r o t e m p e r a t u r e a n d c r e e p i n g l a wi so b s e r v e da tl o w t e m p e r a t u r e s w h a t sm o r e ，t h ec r i t i c a lc u r r e n t sd e c r e a s ea st h e d i s o r d e r s t r e n g t h ，i l l u s t r a t i n g t h ed i s o r d e ra f f e c t i o nt h e v o r t i c e s m o t i o n i nt h em e d i u m s t r o n g d i s o r d e r r e g i o n ，t h e s e a l i n gt y p e m e e tt h en o n a r r h e n i u s c r e e p i n g l a wa tl o w t e m p e r a t u r e ，b u ti ns t r o n gd i s o r d e rr e g i o na r r h e n i u sc r e e p i n g l a w h o w e v e r ，a l lo ft h o s ec r e e p i n ge q u a t i o ns a t i s f i e dw i t ht h e e x p o n e n tt y p e ，w h i c ha r ec l o s et ot h ep r e v i o u sr e s u l t k e yw o r d s ：j o s e p h s o nj u n c t i o na r r a y s ；x ym o d e l ；d i s o r d e r ；p h a s e t r a n s i t i o n ；d y n a m i cs c a l i n gt h e o r y a b s t r a c t i i i 目录v 1 约瑟夫森效应一1 一 1 1 弓i 言一1 1 2 约瑟夫森效应一3 一 1 2 1 直流约瑟夫森效应：一4 1 2 2 交流约瑟夫森效应_ 7 一6 1 2 3 约瑟夫森效应与磁场的关系一8 1 3 本章总结一9 2 动力学模型及数值模拟一1 0 一 2 1 约瑟夫森效应的等效电路，一1 0 一 2 2x y 模型和动力学方程一1 2 2 3r s j 动力学模型一1 3 2 3 1 周期性边界条件( p b c ) 一1 5 2 3 2 扭转涨落边界条件( f t b c ) 一1 6 2 3 3 标度理论一1 7 一 2 4 模拟的方法和结果一1 8 2 4 1 均匀无序分布结果一1 9 2 4 2 高斯无序分布结果一2 1 2 5d 、结一2 5 3 涡旋脱钉和涡旋蠕动一2 6 3 1 弓l 言一2 6 3 2 脱钉相变标度理论和蠕动规律的标度理论一2 8 3 3 模拟结果与数据分析一3 0 一 v 3 4 本章小结一3 6 4 总结与展望一3 7 4 1 论文工作的总结一3 7 4 2 研究展望一3 8 一 参考文献一3 9 一 致谢一4 5 一 硕士期间发表的论文一4 6 一 浙江师范大学学位论文独创性声明一4 7 一 学位论文使用授权说明一4 7 一 浙江师范大学学位论文诚信承诺书一4 8 一 v l 1 1 引言 1 约瑟夫森效应 1 9 1 1 年荷兰物理学家o n n e s 首次发现金属汞温度降到4 2 k 时电阻突然消 失，人们把导体失去电阻的这种状态称作超导态，从此拉开了超导体研究的 序幕。1 9 3 3 年m e i s s n e r 和o c h s e n f e l d 发现了超导体的另一种特有的性质， 即超导体具有完全的抗磁性，称这种现象叫做m e i s s n e r 效应。1 9 5 7 年 a b r i k o s o v 通过金兹堡一朗道唯象理论预言了另一种超导体，第二类超导体， 此类超导体的特性是界面能为负，并且还有部分磁通可以穿透超导体，以磁 通量子的形式留在其内，我们称之为a b r i k o s o v 涡旋线。后来的几十年中超 导体的临界温度一直保持在3 0 k 左右。 1 9 8 6 年超导体经历了一场历史性的革命，b e d n o r z 等发现铜氧化物超导 体，将超导临界温度提高到3 5 k ，使得超导研究进入一个新的巅峰时期，也开 辟凝聚态物理的新篇章。第二年，美国的物理学家朱经武和我国物理学家赵 忠贤都同时做出了陶瓷铜氧化物超导体，将超体临界温度提高到9 0 k ，后来经 过不懈的努力已经将铜氧化物超导体的温度提高到1 3 3 k ，在高压下可以达到 1 6 0 k ，由于这种超导体和常规超导体相比有很高的临界温度，所以我们称其 为高温超导体。 2 0 0 8 年日本的物理学家k a m i h a r a 等人发现了铁基超导体，临界温度为 2 6 k 。打破了传统的观念铁氧化不能成为超导体的观念。超导体的研究又掀起 了另一个高潮。高温超导体作为第二类超导体，具有很强的各项异性的性 质，而且其相变温度也是比较高的，所以高温超导体具有很强的实用价值。 但是遗憾的是到现在为止人们对高温超导体的微观机理还不是很清楚，即还 没有统一的观点。 1 9 6 0 年g i a e v e r ( 贾埃弗) 发现了超导结单电子隧道效应。人们利用此试 验技术，可以方便而且准确的测量超导体的能隙和超导态电子谱，由此获得 超导强耦合的理论基础，此实验也可以用来研究超导体中的非平衡态现象。 超导结单电子隧道效应在超导电性及超导运输方面发挥了非常重要的作用， 约瑟夫森效应 为超导体约瑟夫森效应的发现与研究起到了实践和理论推动作用。 目前由于在实验上约瑟夫森结是容易实现和控制的，所以用约瑟夫森结 来研究第二类超导体涡旋动力学是很广泛的，在实验n 3 ，理论分析n 5 1 和数值 模拟乜刮上都有了很多有意义的结果。这些研究当中涡旋系统的动力学相变是 其中最热门之一。 本论文主要研究二维的约瑟夫森结阵列的动力学相变问题，将为实验工 作者提供更有意义的理论指导，由于本论文是在以约瑟夫森结阵列作为研究 对象，所以首先介绍一下约瑟夫森效应的背景知识。 约瑟夫森效应的发现不仅显示出了量子力学的宏观效应，而且推动超导 技术在实际应用方面的进展。他的发现为超导电子学的发展奠定了坚实的实 验基础和理论指导，同时也开拓了超导技术在弱磁场领域的应用。 本章节我们主要介绍约瑟夫森结的基本原理。介绍约瑟夫森效应的机 制，着重推导直流约瑟夫森效应和交流约瑟夫森效应，以及约瑟夫森效应与 外场的关系。 1 9 6 2 年，英国牛津大学研究生约瑟夫森( b d j o s e p h s o n ) 研究了两块 超导体被一层薄绝缘层分开的s - i - s 结，从理论上预言了将可能发生奇特的 物理现象n ： ( 1 ) 当结两端电压为零时，可以存在一个超导电流，其临界电流密度有 一个最大值l ，这个值就是超导电子的隧道电流。 ( 2 ) 超导隧道电流对外场有很强的依赖作用，就算是很小的地磁场也会 对l 产生很强的影响。 ( 3 ) 当结两端的电压圪0 时，会有超导电子隧道电流流过，只不过 此超导电流是交变的超导隧道电流，他的频率c o 与其两端的电压虼成正比， 而且满足= 2 e f o h 。当我们在垂直于其表面再外加上一个频率为q 的外磁 场时，由于磁场会对约瑟夫森结内的电流起到调制作用，表现在宏观上会产 生直流超导电流分量，所以在i v 特性曲线上会出现一些直立的台阶形式。 此直立的台阶对应的电压满足2 e f o h = 嘲，n 为整数。 约瑟夫森效应 约瑟夫森首先从理论上对超导电子对的隧道效应作了预言，1 9 6 3 年安德 森和罗厄耳的实验验证了s - i - s 超导结隧道中在y = 0 时约瑟夫森理论的预言 n 筋，说明了超导电流的存在，而且超导电流很容易受到外界磁场的影响。他 们在自己的实验中使用的是s n s n o - p b 制作的隧道结，采用电磁屏蔽技术， 使地磁场的影响减少到6 x 1 0 一g s ，当实验室温度为1 5 k 时，= 0 6 5m a ，电 流超过临界值时，超导体两端电压不为零，如图1 - 1 所示。 以后十多年来，约瑟夫森效应已在超导电性的研究领域内逐渐发展成为 一个新的重要分支约瑟夫森效应和超导结电子学。罗厄耳的实验验证了 磁场与t 的关烈1 3 】，得到了如图1 2 所示的l b 的实验曲线。 电压c m v ) 图1 1s n s n o - p bi v 曲线图1 习 叠 - 嚣 删 图1 2 厶- b 关系曲线图“钉 约瑟夫森的预言被证实以后，全世界的研究关于约瑟夫森效应做了很多 有意义的工作，当然也有很多超导元器件被应用到我们实际的生活与生产当 中，其中包括超导量子干涉仪，他可以测到1 0 。1 s g b 大小的磁场，1 9 8 6 年 b e d n o r z 和m u l l e r 关于高温超导体发现之后，超导体器件的研究也达到了另 一个新的高峰。 1 2 约瑟夫森效应 本章运用费曼( f e y n m a n ) 理论来解释约瑟夫森效应。对于弱连接超导体 s - i - s 结而言：依结两端是否有电压可以将瑟夫森效应分为直流约瑟夫森效应 和交流约瑟夫森效应。 约瑟夫森效应 1 2 1 直流约瑟夫森效应 当直流电流通过超导隧道结时，只要电流值低于某一临界电流l ，这个 结与一块超导体类似，其结上不存在任何电压，即流过结的是超导电流。但 是，一旦超过临界电流值，结上即出现一个有限电压，结的状态过渡到正常 电子的隧道特性上。这种超导隧道结能够承载直流超导电流的现象，称为直 流约瑟夫森效应。对于典型的超导隧道结，其临界电流一般在几十微安到几 十毫安之间。 超导隧道结的临界电流对于外加磁场十分敏感。l 不是外加磁场的单调 函数，而是随着外磁场的增高而变化，这类似于光学中的夫琅和费衍射的图 样。相邻两最小值之间的磁场间隔风与结面积的乘积正好等于一个磁通量 子，九= 2 0 7 x 1 0 1 5 韦伯。 由b c s 理论我们可以知道，超导电流的形成实际上是以库珀对的形式存 在的，也就是说是由于库珀对的定向运动所形成超导电流。由此，费曼提出 了一种推导约瑟夫森方程的方法，此方法简明易懂，对于我们初步的了解约瑟 夫森效应有很大的益处。此方法假设两块超导体以某种方式来实现弱耦合的 链接，从而实现库珀对在两块超导体之间可以相互的转移，这就是解决约瑟 夫森效应的基本前提条件。费曼认为两块超导体之间是相互独立的：所以我 们根据微观粒子的波动假设，可以用一个共同的波函数y 来描写粒子运动的 波动方程，此函数被称为微观波函数y = p 。 式中p ( r , t ) 是超导电子对密度，妒( r , t ) 是相位因子。同时此超导电子的有 效波函数满足量子力学的薛定谔方程： i h o g ：月v ( 1 1 ) 研 。 若超导体中间的势垒很高，两侧的超导体就没有耦合作用，两侧超导电 子波函数i f ，。和y ：满足各自的波动方程： 访誓：h g i ( 1 2 ) 西 1 约瑟夫森效应 f 矗誓= 却2 ( 1 3 ) 式中：i f ，l = j d l p 蚺，l f ，2 = p 2 p 娩。 如果隧道两侧的势垒层非常薄如图1 - 3 所示，则两侧的超导体电子波函 数之间将会有一定的弱耦合作用，每一侧的波函数不仅受到自己一侧超导电 子的制约，而且还受到另一侧超导电子的约束，所以他们之间的相位不再是 孤立的，而是相关联的了。此时，配对的超导电子就可以遂穿势垒层形成隧 道电流，这种隧道效应就是我们所说的约瑟夫森效应。y 。和l f ，2 应该满足下列 方程组： 访誓= 啪+ 脚2 ( i - 4 ) 西 ” 一 i h a j l f j 。 2 = 材2 i f ，2 + 脚l ( 1 5 ) 西 “” k 是弱耦合系数，是表征两侧的超导体弱耦合的强度。 将y 。= 雨确，l f ，：= i 娩代入( 卜4 ) 和( 卜5 ) ，并化简，分别对应两 式的实部和虚部相等，就可以得到： 鲁= 等瓜s i n ( 晚圳 ( 1 6 ) 鲁= 一等瓜s i n ( , , 2 圳 ( 1 7 ) ， 。 兽一鲁一鲁厝p lc o s c ， m 8 ， ，a壳 壳、 ”7 警= 一番压酬， 9 ， ，、lr 1 一。 豸 ，_ - - 一 y ：= 届鸣 y 。= 羼确 ， 一 图1 - 3 隧道结两端的超导体的宏观量子波函数示意图 由( 1 - 6 ) 和( 1 - 7 ) ，可以得到 约瑟夫森效应 a p , ：o p 2 一一 a t a p , ( 1 1 0 ) 假如n 和仍为常数，则( 1 - 1 0 ) 式就等于零。但是实际情况并非如此， 因为没有将外部电流考虑其中。我们用一个外部的直流电源把回路链接起来， ( 1 1 0 ) 式就表示左侧库珀对密度的增加正好是右侧库珀对密度的减少，这样 我们就可以得到通过势垒有一不为零的电流密度： j f = 2 p 誓= 4 p k 厮s i n ( 赴一破) ( 1 1 1 ) 我们引入为相差妒= 屯一魂，假设正= 4 e kp x - 赢l p 所以就可以得到： = 丘s i n 妒 ( 1 - 1 2 ) 此方程就是约瑟夫森结超导电流方程。 如果结两侧的超导体的材料相同，那么p l = p 2 ，则可以由( 1 8 ) 和 ( 1 9 ) 得到： 望丝二垒! ：垫二丝 ( 1 1 3 ) 拂壳 一 式中 嵋一u 2 2 2 e v 2 p 是超导电子对的电荷，由此得到： 丝：一2 e v ( 1 1 4 ) 一= 一 i _ - _ 4j 厉壳 此方程就是约瑟夫森效应的电压与相位关系方程。由这些方程我们可以得 到，当结两端的电压为零时，可以存在超导电流穿过势垒，且有一个临界值 工，其大小由两侧的电子对波函数的相位决定。当结两端的直流电压v 0 时，仍然存在有超导电子对的隧道遂穿，但这时会产生一个交变的超导电 流，其频率为：c o = 2 v e 壳。 1 2 2 交流约瑟夫森效应 如果在约瑟夫森结的两端加上一直流电压y ( 当然，这时电流小于临界 约瑟夫森效应 电流) ，在结区域就会出现高频的超导正弦波电流，其频率与所施加的直流电 压成比，有如下关系。 1 ：当v 0 时，首先我们假设y 为某一常数时，会有： 9 i ：华，+ 九 ( 1 1 5 ) 7 壳 ” 将此式代入( 1 1 2 ) 可得： m s i n 洋) ( 1 1 6 ) 忍 此式表明，当结两端的电压矿0 时，结区域会存在交流超导电流，频率为： ：2 e v o( 1 7 ) ii 吐) = 一 l 一 庇 2 、当v = v ( t ) 0 时， 妒( ，) = j 矿( f ) 西+ 九 。( 1 - 1 8 ) 我们假设 v ( t ) = v o + v c o s o q t ( 1 - 1 9 ) 我们假设用频率为q 的电磁波辐照两端直流电压为v o 的约瑟夫森结。将 ( 1 1 9 ) 代入( 1 1 8 ) 得到： + 警h 等咖q r m 2 。， 将其带入( 1 1 2 ) 得到： = 丘( 九+ 2 e 壳v oh 力2 e q vs i n o h t ) ( 1 - 2 1 ) 由此式我们可以看出约瑟夫森电流不仅和= 2 e 壳v o 有关，而且和外界所 加的谐波有关系，所加的交流电压对约瑟夫森电流起到调制作用，我们将 ( 1 2 1 ) 做傅里叶展开，就会得到： 2 e v o ：n o b ( 1 2 2 ) 忍 这里刀为整数，由，一v 关系曲线，当( 1 2 2 ) 式满足时就会出现电流的台 阶。夏皮罗( s s h a p i r o ) 首先在a i a 1 2 0 3 - s n 结中用微波辐射观察到此现象 1 1 4 1 ，如图( 1 - 4 ) 所示 约瑟夫森效应 j l t 5 v 麓 0 电医p y 图卜4 外加交流电压的i y 特性曲线图n 5 1 这就是交流约瑟夫森效应。 1 2 3 约瑟夫森效应与磁场的关系 由( 卜1 1 ) 我们司以得到，通过约瑟夫森结的电流与结两端超导电子对 波函数的相位有关系。由全磁通守恒和磁通量子化现象我们可以知道，当我 们在垂直于约瑟夫森结面方向加入磁场时，会有部分磁通流入超导体中，并 且磁通量是九= i h = 2 0 7 1 0 w b 的整数倍存在。利用金兹堡朗道方程得到 z p 工= 兰车( 壳v 妒一p 。彳) ( 1 2 3 ) 其中咖是超导电子波函数的相位，p = 2 e ，朋+ = 2 m ，可得到驴 v = 宰+ 啬五( 1 - 2 4 ) 为了满足规范不变性的要求，我们可以得到电子对波函数相位新的表达式 驴和咖+ 等弘讲 2 5 ， 由此式我们可以得到约瑟夫森电流与磁场的关系。 约瑟夫森效应 1 3 本章总结 本章我们主要介绍了约瑟夫森效应的基本知识，以及约瑟夫森效应在发 展过程中的实验介绍与理论推导。主要包括直流约瑟夫森效应，交流约瑟夫 森效应，以及约瑟夫森效应与磁场的关系。约瑟夫森效应是超导电子性质的 本质反映，下章将在此基础上我们将进行涡旋动力学模拟和理论分析。 2 动力学模型及数值模拟 2 1 约瑟夫森效应的等效电路 在上一章我们主要研究了约瑟夫森效应，得到约瑟夫森方程，但在实际 的应用中约瑟夫森结并不是孤立存在的，而是放在一定的电路之中的，而且 流过结的电流不仅有约瑟夫森超流，而且还有正常电流。由于交流约瑟夫森 效应会产生交变的电压和电流，所以会在结两端有电荷的聚集，在有些情况 我们必须考虑电容和电感。 在约瑟夫森结的应用中，约瑟夫森结是放在一个导体作为衬底的底板上 如图2 1 所示，因为导体有电阻，所以会有正常电流流过。超导电流主要是 由结两端的超导体决定，只要i 乏是此函数成立，z 是动力学指数，考是超导电 子对的相关长度，考- i r - 乃l ，当t = t 。时，可以得到： y 一，川 ( 2 3 3 ) 对于二维的k t b 相变，在临界温度以下善是无限大，在临界温度以上考 是有限值。所以，定义： 芒e 卜瓦( 2 3 4 ) f ! 一、l ，2 c 常数，我们将此关联长度代入标度公式( 2 - 3 2 ) 得到当t 乃时的k t b 相变 标度公式： ( z r ) ( i v ) 2 = t p + ( i v ) e x p ( c i t 一i ) l ，2 ( 2 - 3 5 ) 对于二维连续超导相变的涡旋系统，考- i r - 瓦l ，乃是超导相变温度， 将连续相变的关联函数考代入( 2 - 3 2 ) 可得： ( z r ) lr 一卜p ( 1 l t 一| y t ) ( 2 3 6 ) 依标度函数，是指在高于和低于临界温度。本论文我们在强无序是用 ( 2 - 3 6 ) 公式做标度，在弱无序是用( 2 3 5 ) 做标度。此标度理论已经被许多 的实验和数值模拟所证樊4 1 5 1 石5 1 。 2 4 模拟的方法和结果 由于相位角在x 、y 方向都是周期性的，所以方程( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 可 以通过有效的拟谱算法啪】，选择时间间隔为f = 0 0 5 的二节r “，秽一k u t t a 算 法。此计算过程需要大量的计算机机时，所以必须有一个判断系统达到稳态 的方法，在本论文中我们判断每次运行( 2 ”一2 ”1 ) 步后的电压，如果电压满 足i ( ( y ) 。一( y ) 川) ( y ) i 2 0 ，就认为系统达到稳态。在模拟过程 1 1 动力学模型及数值模拟 中选取尺寸三= 1 2 8 x 1 2 8 ，这个尺寸达到稳态计算机时少，而且尺寸效应也最 小，在以前的文章中已经验证过【5 2 9 0 1 。 我们以r s j 动力学为前提，研究具有随机相移的j o s e p h s o n 结阵列动力学 行为。在模拟过程中选择的无序强度分别是o r = 0 1 ，o r = 0 4 5 ，o r = 0 7 和 c t = 0 9 ，当o r = 0 1 是弱无序，其他都是强无序，无序是满足高斯分布的形式， 在现实材料中的无序也满足这种分布。 2 4 1 均匀无序分布结果 为了验证此模拟方法的正确性，我们先研究了无序分布是均匀分布的。 因为均匀分布无序的动力学临界指数和相变温度的变化规律已经在实验和理 论上有相致的结果【1 ，8 2 2 】，此结果大家公认为是很可靠的，我们做了r - - - 0 2 ， 0 6 ，0 8 ，1 0 无序强度的，一y 曲线图，如图2 - 6 所示： 图2 - 6 为l o g i - l o g v 在不同的无序强度情况时的曲线，其中( a ) r - 0 2 ，( b ) r - 0 6 。 ( c ) r - 0 8 ，( d ) r - 1 0 首先我们研究可能的相变，由i - v 曲线图我们可以看出在不同的无序强度 和不同的温度每条线都有自己的特点，每根曲线我们尽可能取到最低的温 动力学模型及数值模拟 度。对于纯的约瑟夫森结阵列的涡旋系统l o g i l o g v 在临界电流处曲线的 斜率为3 ，当温度t = 0 8 9 3 时。人们一致公认为t = 0 8 9 3 是对于纯的j j a 系 统发生了k t b 相变勰一2 瑚1 。在图2 6 中r = 0 2 系统处于弱无序区域，如图 2 - 6 中a 可以看出r = 0 2 时，t 0 8 电流和电压曲线出现幂指数的特征，当 t 0 8 时，即在高温区时候，随电流的减小，电流与电压的关系表现出线性 特征。由此，暗示出当r = 0 2 的弱无序可能会发生k t b 相变。r - - o 6 ，r = 0 8 ， r = 1 0 的强无序区域，如图2 - 6 中b ，c ，d 所示，在低电流区域，当温度比较低 的时候，l o g l l o g v 曲线下弯，在高温区是l o g i - l o g v 上凹，这些现象可 能暗示出在强无序区域会发生另外一种相变形式。 图2 - 7 动力学标度的，一y 曲线图 ( a ) r - - 0 2 ：( b ) r = 0 6 ；( c ) r - - 0 8 ；( d ) r - - 1 0 为进一步得到超导相变的动力学临界指数和相变特性，我们利用f f h 的 相变标度理论的标度公式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 来分析。通过做标度后由图2 7 r旨人曾一 动力学模型及数值模拟 可以看出，当r = 0 2 弱无序时满足k t b 相变的标度，动力学临界指瓦= o 8 ， z = 2 0 ，c = o 6 ，纯的j j a 在k t b 相变时，瓦硒- - 0 8 9 3 ，z = 2 0 我们的临界温度比 纯j j a 的瓦刀小，这可能是无序引起的。r - - 0 2 时在实验上【1 1 和理论口9 】上都已 经被证实。当在强无序时，由图2 7 中b 、c 、d 可以看出表现出和a 图不一样 的标度曲线，此图形是双对数标度曲线，我们通过反复的改变动力学临界指 数得到最好标度图形和动力学指数。如表格所示： 表2 - 1 动力学指数 r 乃 z v 0 6o 62 1 21 2 5 0 8o 2 1 l2 0 61 2 6 1 o0 22 0 1 2 从表2 1 中可以得出随着无序的增强临界温度不断降低，动力学指数没有 太大的变化。我们分析可以得知此相变形式是属于同一普适类，此系统在低 温下的这种相变可能是涡旋玻璃相变，特别是r = 1 0 是最大无序强度被称为 g a u g eg l a s s 模型，已经被很多的实验和理论证明【5 2 】，与我们的结果是很一致 的，所以我们的模型和方法是正确的。 2 4 2 高斯无序分布结果 前一节，我们重复了均匀无序分布。得到的结果与实验和不同的模拟方 法得到的结果完全一致，证明我们的程序和处理方法是正确的。 本论文我们主要采用高斯分布无序，这种无序分布更接近现实材料中存 在的无序。我们取o r = 0 1 为弱无序，在二维的x y 模型，在低温时是准长程 有序的，看相变是否和纯的x y 模型一样将经历一个k t b 相变在临界温度 瓦。 。 取t r = 0 4 5 ，o r = 0 7 和o r = 0 9 为强无序【9 0 j 看相变是否是一个非k t b 的形 式。图2 - 8 画出不同无序强度的z , o g z l o g v 曲线图。图2 - 8a 当在温度较低 时i v 曲线呈现幂指数的形式，温度较高时i v 曲线呈现出一定的线性，和均 动力学模型及数值模拟 匀分布的无序具有相类似的结果，到底是否满足k t b 相变呢? 我们还需要用 f f h 的相变标度理论去验证。 因为在临界温度时候，v i 抖1 满足此公式，所以l o g i l o g v 曲线将是 一条直线的形式呈现在临界温度点，这样我们可以得到系统的临界温度。 图2 - 8l o g i - l o g v 在不同的无序强度 ( a ) 仃= 0 1 ( b ) 仃= 0 4 5 ( c ) 仃= 0 7 ( d ) 仃= 0 9 为了得到更加精确的临界温度，我们用最小二乘法的幂律关系 v ( i ) = c i p 来进行拟合。我们取t ( 0 8 ，0 8 5 ，0 9 ) 范围内的温度点的电流和电 压，并且计算了拟合的平房偏差印= 。【y ( f ) 一u ( 明2 ，当s d 达到最小时的 温度，即为临界温度，仃= o 1 时z = o 8 6 5 0 0 2 为了进一步了解高斯分布弱无序的相变问题，我们运用f f h 标度理论， 通过标度公式( 2 3 5 ) 可以得到仃= 0 1 时，从高温到低温是经历k t b 相变。 如图2 - 9 所示，从图我们可以看出满足k t b 相变的标度理论。动力学临界指 数瓦= o 8 6 5 ，z = 2 ，e = o 8 ，而且电流和电压满足大家一致公认y = ，3 。从动力学指 2 2 动力学模型及数值模拟 数我们可以看出临界温度比纯的j j a 系统低，这也满足重整化群研究的结果 1 7 7 8 2 1 o 图2 - 9 仃20 l 的i - v 标度 在强无序区域的时候，人们认为在有限温度时没有长程序相，但是非 k t b 相变是仍然存在珏7 0 1 ，在高斯无序分布这个结论是否正确以及无序强度 如何影响动力学指数，为了研究这一系列问题我们首先分析强无序区域的 l o g i - l o g v 曲线图。( 2 - 8 ) b ，c ，d ，三幅图都有类似变化趋势，即在低温低电流 区域向下翘，在高温低电流区域向上翘。所以和弱无序时相比，应该会有不 同的相变类型，我们用公式( 2 3 6 ) 标度，如图2 1 0 所示： 动力学临界温度和临界指数如表2 2 所示： 表2 2 动力学指数 仃 乃 z， 0 4 5 0 7 6 51 6 l1 4 5 0 7 0 6 0 21 91 4 5 0 90 4 0 53 o1 9 5 由表2 2 可以看出我们认为无序的分布形式不同可能会影响涡旋的运动， 所以两种不同的无序分布动力学指数会有差异。 动力学模型及数值模拟 、 c ) 卜 卜 之 o ，、 o h 一 之 0 d o r o 一 卜 之 o 1012 1023 图2 - 1 0 动力学标度i - v 关系曲线图由方程( 2 - 3 5 )