（运筹学与控制论专业论文）具有固定消费流的最优投资的cev模型.pdf

2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 摘要 最优投资消费模型最早出现在1 9 7 1 年的m e l t o n 的文献 1 中最优投资消费 指投资者的资产在消费和投资之间进行分配，期望在时间区间【0 ，t 】或 o ，。】的 消费效用或终值财富效用最大化。m e r t o n 在他的文献中，对投资环境加了许多限 制，和实际情形不太相吻合，以后的学者通过对投资条件的改变，得出了不少成 果，使得投资消费理论更进一步深化。 本文工作主要涉及三个部分： 在第一，二章我们主要简单介绍了金融数学的发展史及对最优投资模型 2 】 的基本介绍。人们利用随机控制理论不断深入探讨和建构各中类型的最优投资模 型，使得投资更有针对性，更加符合实际情况。 在第三章我们主要对具有固定消费流的最优投资消费模型在不同效用函数之 下，投资者是如何分配他的资产进行了比较研究。因为不同的效用函数之下，投 资者的偏好决定了他的资产分配，也决定了他的获利大小。 第四章我们利用常方差弹性模型解决具有固定消费流的最优投资消费模型问 题，虽然没有得到一个完全的解析解，但提供了一个简洁的微分方程形式，这有 助于我们继续深入研究 在第五章我们想借助第四章提供的一些理论模型来解决实际的一些问题。如 养老基金管理投资公司在未来时期内如有一笔固定的消费，该如何进行现时的投 资等 关键词固定消费流；效用函数；常方差弹性( c e v ) ；实际应用 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h em o d e lo fo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nh a sb e e nb r o u g h tu pb ym e r t o n i nh i sp a p e ri n1 9 7 1 t h ep r o b l e mi sa b o u th o wt og e tt h em a x i u n lc o n s u m p t i o nu t i l i t yo r h o wt om a x i m i z et h ew e a l t hu t i l i t y i nh i sp a p e r ，m e r t o nh a sc o n s t r a i n e dt h ei n v e s t m e n t e n v i r o m e n t ，b u tt h el a t e rr e s e a r c h e r sh a v eg o tm a n yr e s u l t sb yc h a n 舀n gt h ei n v e s t n l e n t c o n d i t i o n sa n dd e e p e n e dt h ei n v e s t m e n tt h e o r y t h i st h e s i si sm a i n l ya b o u tt h r e ep a r t s ： i ：i nt h ef i s ta n ds e c o n dc h a p t e r s ，w eo n l yi n t r o d u c et h eh i s t o r yo ff i n i c i a lm a t ha n d t h eb a s i cm o d e lo fo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n i i ：i nt h et h i r dc h a p t e r w et a l ka b o u th o wt h ei n v e s t o ra s s i g n sh i sa s s e sb e t w e e n t h ei n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nu n d e rt h cd i f f e r e n tu t i l i t yf u n c t i o n sw i t hf i x e de o n s u m p t i o n b e c a u s eo fd i f f e r e n tu t i l i t yf u n c t i o n ，t h ei n v e s t o r s f a v o r i t ed e c i d e sh i sa s s i g n m e n ta n d t h ep r o f i t si n v e s t m e n ta n dc o n s t m l p t i o n i n v e s t m a n ta n dc o n s u m p t i o n i i i ：i nt h ef o r t hc h a p t e r ，v c es e t t l ed o w nt h ep r o b l e mo ft h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o nw i t hf i x e dc o n s u m p t i o nb yt h ec e v m o d e la l t h o u g hw eh a v en o tg o t ac o m 。 p l e t e l yf i x e ds o l u t i o n ，w ep r o v i d eas i m p l ef o r mo ft h eb e l l m a ne q u a t i o n ，t h i sc a nh e l pu s t od om o r ed e e pr e s e a r c h i v ：i nt h ef i f t h c h a p t e r ，w ew a n tt os e t t l es o l n ea c t u a la p p l i e dp r o b l e m sb yt h et h e o r y m o d e lo ft h ef o r t hc h a p t e rf o re x m p l e i ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yh a s 丘x e dc o n s u m p t i o ni n t h en l t u r ef i x e dt i m e h o wc a ni ti n v e s t ? ， k e yw o r d s ：f i x e dc o n s u m p t i o n ，u t i l i t yf u n c t i o n ，c o n s t a n te l a s t i c i t y o fv a r i - a n c e ( c e v ) ，l e g e n d r et r a n s f o r m ，a c t u a la p p l y e dp r o b l e m s 原创性声明 本人声明- 所呈交的论文是本人在导师指导下进行的工作。除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或者撰写过的研究成 果参与同一工作的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 签名：别谚每 日期：7 “fr ，。7 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全 部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名锄协孙舰日期砌6 - 6 , 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 第一章引论 1 1 金融数学简介 金融数学是和金融与数学紧密相关的。金融理论涉及所有资金融通的内容， 包括对融资主体，融资市场的研究，一般分为三个部分：1 ，金融市场理论，如 证券( 包括期权) 定价，利率结构，汇率等2 ，投资学，专门研究投资者如何投 资以取得最佳收益，如最优投资决策理论，风险管理理论等3 ，公司财务管理， 专门研究企业如何筹集和使用资金等。由于所研究问题的复杂性，现代金融学已 从单纯的描述型学科向分析型学科转化，从宏观的描述到微观的定性建模，并向 金融工程化转化。所谓的金融工程是研究新型衍生证券设计的一门新学科，它主 要研制，开发和实旌新型的金融产品。而金融数学是指运用数学理论和方法，研 究金融经济运动规律的一门新兴学科它主要利用数学工具研究金融，进行数学 建模，理论分析，数值计算等定量分析，以求找到金融活动内在的规律并用以指 导实践。金融数学是金融工程的理论基础，金融工程是金融创新实现的手段，两 者的结合使得金融工具和产品不断创新金融数学的研究对象是证券资产组合选 择和资产定价，所用工具主要是近现代的数学理论和方法，如随机控制、随机微 分方程、鞅论和随机积分，统计分析，数学规划，非线性分析等。其核心问题是不 确定环境下的最优投资策略的投资决策分析理论、资产价格的定价理论。当然我 们也要研究金融市场的运行规律，以帮助我们在不同的金融市场环境下，更好地 研究金融资产投资和定价问题 下面我们简单地回顾一下金融数学的发展历史 1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r 发表了他的博士论文投机理论( t h e o r yo f s p e c u l a t i o n ) 3 他认为在资本市场中有买有卖，买者看涨、卖者看跌，其价格的 波动是布朗运动( b r o w nm o t i o n ) 其统计分布是正态分布，并第一次给了b r o w n 运 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 2 动以严格的数学描述。这篇论文虽然没有引起金融学界的重视，但以后的研究工 作表明，它实际上标志着现代金融学的开始。 五十年代初，p a u l a s a m u e l s o n 通4 1 过统计学家ij s a v a g e 重新发现了b a c h e l i e r 的工作，这使得金融学和数学的结合研究工作在五十年代末六十年代初掀起了一 个高潮许多的经济学家在此基础上做了不少的研究工作，逐步形成了以后的资 本市场理论5 1 。 1 9 5 2 年h m a r k o w i t z 提出的投资组合选择理论爆发了第一次“华尔街革命”。 h m a r k o w i t z 第一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发，从数量经济学的 角度揭示了在不确定的经济环境中如何通过投资组合的有效边界来选择最优组合 和如何通过分散投资来降低风险 6 】，获得了著名的基金分离定理，为资产定价理 论奠定了扎实的基础开创了现代金融理论定量分析的先河1 9 6 4 年，ws h a r p e 提出资本资产定价模型( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ) 7 ，认为风险资产的收益是其 系统风险的线性函数。如今，c a p m 模型已成了现代投资领域中证券风险和收益 关系的基本模型，该定价模型表明证券市场中所有证券的收益和风险取决于相关 系数贝嗒，hm a r k o w i t z 和w s h a r p e 因此获得1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖 1 9 7 3 年f b l a c k 和m s c h o l e s 发表了著名的b l n c k - s c h o l e s 公式f 8 1 ，第一次给出 了欧式期权定价模型，为众多领域的经济评估奠定了基础。这项重大的突破激发起 无数有关证券定价的新研究，它使人们能通过数学分析来抓住投资时机与不确定 性之间错综复杂的关系，给金融市场带来了直接而深刻的变化由此，引发了金融 界的第二次“华尔街革命”，后来，m e r t o n 又进一步完善发展了b l a c k - s c h o l e s 理论 ，提出了定常无风险利率和定常波动率下的欧式看涨期权与看跌期权的定价公式 阱在1 9 9 7 年m e r t o n 和b l a c k - s c h o l e s 获得1 9 9 7 年度诺贝尔经济学奖。随着“华尔 街革命”在金融领域的爆发，在以后的几十年中，i k a r a t z a s 、jc q x 、cf h u a n g 等学者对最优消费投资问题进行了研究，提出了具有代表性的套期定价理论和二 项模型。因而金融数学发展的很快，并由此使得金融学和数学更加紧密的结合在 一起，为金融工程学的诞生吹响了号角。 金融学家把金融工程学界定为：“金融工程包括创新型金融工具与金融手段 的设计、开发和实施以及对金融问题给予创造性的解决”【1 0 金融工程学是偏 向应用化、产品化的技术，而金融数学是作为金融工程必备的理论基础 1 1 1 。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 3 源于对金融问题研究的需要，随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧 密相连，而且现代金融学的发展也推动了数学的某些分支，同时，数学理论和方法 为金融学的发展提供了有力的工具，由此，金融数学( f i n a n m mm a t h e m a t i c s ) 应用 而生并逐步得以发展 1 2 证券投资组合的现实问题 证券投资是把资金用于买卖股票或债券等有价证券，为获得年终红利或者利 息以及市场价差收入的一种投资行为。由于投资证券常会得到高于银行存款利率 的高额回报，所以证券投资对广大投资者具有较大吸引力但是由于整个国家或 社会宏观经济状况的波动，企业经营业绩的起伏，利率的变化，税率的调整以及战 争爆发，自然环境的恶化等因素，证券的收益相对于其他种类的投资来说，具有 更大的不确定性，这种不确定性就产生了证券投资的风险。所以，采用恰当的投 资策略，尽量降低风险并保证较高收益，就是投资者进行证券投资是否能取得成 功的关键。多种证券组合投资是防范证券投资风险、保障一定收益的有效方法。 如何确定投入各种证券的资金比例，使得风险与收益这两个目标同时达到最优或 者最满意的状况，这便是投资决策的核心内容 任何一个投资者都想寻求最大收益回报，但又必须面对各种各样的可能风险 损失，这就是证券投资组合的现实问题。市场到底存在哪些风险，如何确定风险的 大小，如何才能实现收益最大化和风险最小化，历来都是人们关注的焦点和难点。 人们发现，投资者手中持有各种不同风险的证券即投资组合，可以减轻各种风险 带来的损失自从1 9 5 2 年美国学者马克维茨运用概率论和规划论的方法创立证券 组合理论以来，市场风险的神秘色彩逐渐淡化，不再变得那么可怕和不可驾驭。马 克维茨组合理论的立足点是全面考虑期望收益最大和不确定性( 即风险) 最小。它 通过总结投资损失的概率分布和可能收益的偏差程度( 即统计学上的方差) ，发现 投资者应该同时按适当比例购买各种证券而不是一种证券，进行分散化投资，其 收益才尽可能是确定的。通过数量分析得出的这种结论，迎合了投资者规避风险 的需要随着量化研究的不断深入，组合理论及其实际运用方法越来越完善，成 为现代投资学中的交流工具但马克维茨组合理论中的许多假设条件无法满足， 使其在现实中失效。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 4 投资组合理论( p o r t f o h oi n v e s t m e n tt h e o r y ) 1 2 作为现代金融数学的重要内容， 主要贡献在于分析了投资者在不确定的条件下，如何进行资本投资的基本决策问 题，即在投资过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的系统性风险和非系 统性风险，实现投资效用的最大化。资产组合管理的主要内容就是研究风险与收 益的关系：在风险一定的情况下，使收益率达到最大，或在收益一定的情况下使 得风险最小，满足这种要求的组合才是有效的投资组合，而其有效性往往是通过 效用函数( u t i l i t yt q m c t i o n ) 1 3 】来衡量。因而本人给出了在具有固定消费流最有投 资在不同效用函数下的比较研究。 虽然如此，资产组合投资理论有起深刻性的一面，可以对现实的经济环境进 行一定抽象，但往往和实际脱节，造成大多数投资者并不理会学者的理论，而是 跟着感觉走，随意性比较大虽然人们都已经具备分散投资的理念，但大多只知 其然却不知所以然，更谈不上如何确定投资的比例。投资要从一种感性的认识转 变到技术型的定量分析，必须遵从现代资产组合的理论，在正确的投资理论指导 之下，更好的和实际相结合，以取得最好的投资收益。另一方面，由于理论必须 经过实践的检验，而且理论自身的局限性也迫使着众多专家学者在实际操作过程 中不断完善和发展自己的理论，以更好的指导投资者进行投资。 1 3 具有固定消费流的机构资金的管理 一机构投资的基本管理 投资机构一般包括证券公司，银行，保险公司，基金等，目前我国在大力发展 机构投资者重点在发展基金，对于保险和银行的投资也逐步在开放。管理部门 希望借助于被认为是理性的信息相对充分的投资者来改善我国证券的高风险低效 率的状况有人认为，股票市场的机构操纵现象严重，足由于机构和散户之间的 信息不对称造成的所以，通过发展机构投资者来占有市场的分额，降低股票市 场的风险，提高市场效率继1 9 9 7 年东南亚发生金融危机之后，1 9 9 8 年美国又发 生长期资本管理公司基金事件。两者均由突发事件引起，造成了震撼全球的金融 危机突发事件在金融领域有不可忽视的影响基于传统的平稳随机过程预测理 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 5 论完全不适用，传统理论或许会解释9 5 的市场情况，然而，如果我们承认突发事 件落在5 的情形里，那么传统的甲稳随机过程预测理论1 4 1 就没有完全描叙实际 的情况。现在许多研究人员用分形和混沌理论来解释股票价格的暴涨暴跌，金融 系统由于其多因素性，非线性和不确定性显得尤为重要。信息化和投机工具的现 代化使投机资本大量存在，这些投机资本加剧了国际资本市场的不稳定性。随着 信息化和网络化的出现，他们利用现代的信息网络技术，使全球资本市场成为一 个高投机、高收益和高风险的市场。信息和通信技术的发展还使金融衍生工具更 发达，常常会造成金融市场的扭曲，使其风险加大，成为诱发危机的一个重要因 素正因为如此，机构的投资管理变得非常复杂和重要。 知识经济的到来，将伴随着产业结构和社会结构的重大调整和重组，传统产 业信息化、智能化改造，最终将达到适应高新技术发展的需要高科技产业将成 为这个时代经济中的主体和支柱，在整个经济中的比重大幅度提高，甚至占较大 比重，成为带动经济发展的先导和支撑整个经济的支柱产业，使金融业服务对象 发生了结构性的变化。 1 产业结构的变化，必将使传统经济逐步向知识经济升级加速。传统产 业的技术改造包括传统产业高新技术项目的新建和对传统产业的工艺流程自动化 和网络化的改造，以及传统产业的技术创新。通过对传统产业技术改造来促进产 业结构的调整和升级换代，增加产品的科技含量和市场的竞争力而要想实现这 一转变，需要大量的投入作保障金融业作为投资的主体，将承担高投入及未来 市场不确定性的风险，这就要求现代金融业不断创新，以增强抗风险能力 2 高新技术产业的不断发展，要求有高度发达的现代金融业与其相适 应，促进金融创新，寻找新的增长点金融业在对高新技术产业提高包括融资在 内的各种服务过程中，就不得不充分考虑其特点，这要求员工对当今科技发展要 有充分的了解和认识，增强创新意识，加快发展同时要求金融业应从长远发展 的角度，利用自身信息灵敏的优势，促成企业与科研部门的合作，加快科研成果 转化为现实生产力的速度，以期达到企业与金融共同发展的目的 投资组合理论( p o r t f o l i oi n v e s t m e n tt h e o r y ) 作为现代金融数学的重要内容， 主要贡献在于分析了投资者在不确定的条件下，如何进行资本投资的基本决策问 题，即在投资过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的系统性风险和非系 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 6 统性风险，实现投资效用的最大化。资产组合管理的主要内容就是研究风险与收 益的关系：在风险一定的情况下，使收益率达到最大，或在收益一定的情况下使 得风险最小，满足这种要求的组合才是有效的投资组合，而其有效性往往是通过 效用函数( u t i l i t yf u n c t i o n ) 来衡量。 投资运营首要的策略是投资组合的多元化将它投资于股票、债券和货币市 场的其它金融工具的多元化组合，这样，就大大减少了资金积累期间收益的不稳 定性。 作为机构投资者，不管是保险公司还足基金，他们在进行投资时，必须综合 考虑各种因素，以达到风险最小，收益最大的目标。比如机构在未来确定时间内， 有一比固定的消费，那么，现时段机构如何进行资产分配，才能达到他们的目标 呢? 本问试着通过对在不同效用函数之下的投资消费比较研究，得出一个简单的 结论，同时在c e v 模型之下，找到在固定消费流之下的投资消费的微分方程形 式，为机构投资作出理论上的参考。 1 4 本文结构和主要工作 本文工作主要涉及三个部分； 在第一，二章我们主要简单介绍了金融数学的发展史及对最优投资模型的基 本介绍人们利用随机控制理论不断深入探讨和建构各中类型的最优投资模型， 使得投资更有针对性，更加符合实际情况。 在第三章我们主要对具有固定消费流的最优投资消费模型在不同效用函数之 下，投资者是如何分配他的资产进行了比较研究。因为不同的效用函数之下，投 资者的偏好决定了他的资产分配，也决定了他的获利大小。 第四章我们利用常方差弹性描写解决具有固定消费流的最优投资消费描写问 题，虽然没有得到一个完全的解析解，但提供了一个简洁的微分方程形式，这有 助于我们继续深入研究。 在第五章我们想借助第四章提供的一些理论模型来解决实际的一些问题如 保险公司在未来时期内如有一笔固定的消费，该如何进行现时的投资等。 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 7 第二章基本理论 2 1 最优投资消费和随机控制问题 随机最优控制已广泛用于管理，金融等领域，其中主要依托于贝尔蔓动态规 划原理r e b e l l m a n 在他的著作里把动态规划原理表述如下：一个最优策略具有 这样的性质：不管初始状态或策略如何，相对于初始策略产生的状态来说，其后的 策略必须构成最优策略 17 】也就是说：每个最优策略只能由最优子策略组成。， 由此我们经常得到b e l l m a n 动态规划方程，而这个方程在很多情绪形下很难解。 2 1 1 效用函数 函数u 一称为u ：( 0 ，o o ) 一皿效用函数，若u ( x ) 严格递增，严格凹，连续可 微且满足 “( o ) 21 i m o u ( x ) “( o ) 2 县写u ( z ) “( 。o ) = 躲“( z ) = 溉( z ) = 0 因为u ( 。) 严格递减，所以可定义“( 。) 为伪逆函数j j ( ) = ( u ) ，01y u ( o ) ，o ，u 7 ( o ) o ) 适应的标准的布郎运动。假定投资者可选择的投资 对象为一个无风险证券，价格p o ( t ) 满足如下方程， d p o ( t ) = p o ( t ) r ( t ) d t ，t 3 0 ，t 】 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 8 n 个风险证券，价格p 1 ( t ) ，p 2 ( t ) ，p n ( f ) 分别满足下面方程 n 觑( t ) = p i ( t ) b t ( t ) d t + g i j o q ( 吼i = l ，2 m t 【o ，明 j = l r ( t ) ，峨( t ) ( r ( t ) ) ，以t = ( 4 i 1 ( t ) ，啦，2 ( 0 g i ，。( t ) ) 分别表示无风险证券的利率，第i 个风险证券的平均收益及其扩散率，令 盯( t ) = ( 吼，j ( t ) ) n x n b ( t ) = ( 6 1 ( t ) ，b 2 ( t ) ，b 3 ( t ) ，k ( t ) ) k ( t ) o i ，j ( ) ，i ，j = 1 ，2 n 是【0 ，t 】上的可测r 一适应的一致有界的过程，且对某个常数5 0 以及每个 t 【0 ，t 】 有 其中i 为1 2 级单位矩阵设 为i = 1 ，2 ，n 投资者时分别在无奉贤证券及第i 个风险证券上的投资量，把 称为一个投资组合，消费率c ( t ) 是 0 ，t 上有界的确定性函数若z ( ) 表示t 时投资者的财富量，x 为其初始财富，则 z ( t ) = u ，( t ) z ( ) 应该满足方程 d x ( t ) = 【n 茁( ) + ( b t r t i ) t u ( 亡) 一c ( t ) d t + u ( ) t 盯 ) d 叫( t ) x ( o ) = z 0 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 9 其中i 表示分量全为i 的n 维列向量 n 茹( t ) + ( b t r t l ) r u ( t ) 一c ( t ) d t + u ( t ) t 盯( ) d 柚( f ) c ( t ) d t 分别表示投资者在 o , t 】时段增加的证券收益和因为消费减少的财富量 定义1 ，称u ( t ) 是允许的，若”( t ) 可测，关于毋适应，( u ( t ) ，z ( ) ) 满足式( 1 ) n ，t 蚤e j c 撕。) 2 歇o 。m s 所有允许的投资组合的集合记为a ( z ) 2 1 3 随机控制的有关定义 定义1 ；给定舻中子集u ，取值于u 的渐进可测过程( p r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l e p r o c e s s e s ) 称之为控制，记作( t ) 。 定义2 ：在满足一定初值条件下，考察随机微分方程， d x ( t ) = 肛( x ( t ) ，u ( t ) ) d t + a ( x ( t ) ，u ( t ) ) d w ( t ) 0 t t( 2 2 1 ) 若方程存在唯一解，则随机过程x ( t ) 称为受控过程( 取值于酽) ，其中，为漂移函 数，o - 为扩散函数 定义3 ；对时间限度t 0 ，若控制u ( t ) 另外满足； e ，1 “p ( x ( t ) ，( t ) ) i + l a ( x ( t ) , u ( t ) ) 1 2 ) d t o 。 j 0 则称“( t ) 为容许控制，该条件保证了控制的存在性 定义4 ；设 f ：【0 ，卅r “u 一冗 g ：舻_ 兄 若存在常数e 使其满足二次增长条件， i f ( t ，z ，u ) l + l g ( x ) l c ( 1 + l 。1 2 ) 在 0 ，司酽u 定义目标函数j ： 门r 即，删) ：= 日，z 幔盹5 ) m ，墨，”s ) 。5 + f l ( t , t ) g ( x t ) 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 i 0 其中 卢( ，s ) ：e f ( r ，* ，t r 马。表示初值条件墨= z 下的条件期望。 2 1 4 随机控制最优问题( s t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m ) ： 定义随机控制问题就是寻求控制u ( t ) 使得目标函数最大： v ( t ，) ：= s u p j ( t ，z ，“) ，( t ，z ) 0 ，t 】xr “， 函数v ( t ，z ) 称作值函数( v a l u ef u n c t i o n ) ，如果v ( t ，z ) = j ( t ，z ，u + ) ，则称u + 为该问 题的最优控制。 2 1 5 h j b 方程 1 ) 动态规划原理； 定理1 ；设( t ，z ) o ，t 】酽，对任何停时r i t ，t i ，有： v ( ，z ) ：= 8 u p 最一7 e ( t , s ) ，( s ，x s , u s ) d s + b ( t , r ) 日( r ，墨) l 2 ) h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n ( h j b ) 方程： 定义函数； h ( t ，”，p ，a ) ：= 8 u p 一k ( t ，训) r + 盯( t ，叩) t p + i t r a e y t ( t ，叩) a + f ( t ，删) ) 二阶线性算子l ”记作： l “妒0 ，z ) ：= 一k ( t ，z ，“) 妒( ，z ) + p ( t ，z ，“) t d 妒( 亡，嚣) + t r a a t ( t lx lu ) d 2 妒o ，z ) 】， 其中，d ，d 2 分别表示梯度( g r a d i e n t ) 算子和赫赛( h e s s i a n ) 1 8 】算子应用动态规 划原理和i t 6 公式可以得到著名的h j b 方程： 罾( t ，卅即，z ，v ( t , x ) ，d v ( t , x 渺dv ( t , 5 ) ) _ 。， 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 1 2 1 6 检验定理 定理2 ( 检验定理) ：设”为c 1 , 2 ( i o ，t ) ，舻) n c ( 【0 ，卅r 4 ) 函数，假设i i k 一o 。， 且函数v 和，满足二次增长条件，即对所有的( t ，z ，”) f 0 ，t ) r “u 存在常数c 使得： i f ( t ，茁，让) 1 + i v ( t ，z ) i c ( 1 + l z l 2 ) ( 1 ) 在【0 ，t ) r “上，如果v ( t ，) g ，并且 窑卅即，z ，v ( t , z ) ，d v ( d 2 v ( t , x ) ) 独 则 e ( 2 ) 进一步假设”亿) = 9 ，且存在一个u 中最小的t ( t ，z ) 一l “v ( t ，z ) + ，( t ，z ，u ) 使得； 0 = 豢( t ，。) + h ( t ，毛v ( t ，z ) ，d v ( t ，z ) ，d 2 v ( t ，$ ) ) = 罾( t ，z ) + p v ( t ，。) + f ( t ，z ，u ) ， 则随机微分方程 d 墨= p ( s ，恐，砬( s ，) ) d 亡+ 盯( s ，也( s ，x 8 ) ) d 加。 对每一个给定的初值条件五= 。定义了一个唯一解x ，o 。：= 矗( s ，墨) 称作一个 w e u - d e f i n e d 控制且 = v ，0 是最优控制 从而，检验定理就保证了h j b 方程的解就是原问题的解。 2 2 最优消费投资问题的一般模型和求解 本节我们介绍一个具有确定性连续时间动态的最优消费模型 ( 1 ) 最优消费问题 设为y 财富过程，a 为消费率，。o 为0 时刻的初始财富，r 为常数，假设财富过 程满足动态方程 老= 旷刚( 0 ) 铷 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 定义效用函数 u ( 。) ：7 。一。，( s ) d s j 0 其中0 0 所以 1 9 ( t ) z 1 1 ： y e p 。口 一1 ( t ) = f e m 9 ( ) ；与。 把a m 代入方程 啦+ u z ( r x a ) + e 肛a 1 = g ( t ) z 1 + 7 9 ( t ) 矿一1 ( r x 一【e 一讲9 ( t ) 】i 与z ) 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 5 + e p e p 9 ( f ) i 与矿) = 0 9 ( t ) + 7 瑚( t ) 一 e 吓占，9 1 + 吉) + - 1 + 卉9 击= 0 97 ( t ) + 7 7 9 ( t ) 一【e 一9 ( t ) 】i 与( 1 1 岫= 0 令a ( t ) = e p 9 【t ) ，或者改写g ( t ) = e - p a ( t ) ，代入方程可得 一p e p t g ( t ) + e - 肼g ( t ) + r 7 e m g 0 ) 一g ( t ) 可= 1 1 ( 1 7 ) e 一肿g ( 亡) = 0 h ( t ) = g ( ) 可 或者 a ( t ) = u ( t f 一1 代入方程后我们得到 g ( t ) + ( r 1 一p ) g ( t ) + ( 1 一吖) g 击= o 也就是 ( 1 一吖) h ( t ) 一1 h ( t ) + ( t 7 一p ) 日( t ) 1 1 + ( 1 一 g h 一1 = 0 这样我们得到一个一阶微分方程 ( t ) + 筹口( t ) + 1 = o 下面我们得初上述方程的终端条件，因为u ( z ，t ) = 0 ，所以9 ( t ) 矿= o ，h ( t ) = o ，g ( t ) ：e g ( t ) ：。，日( t ) ：g ( t ) 六= 0 最后得到日( t ) = 0 令肛= 幽1 - y ，可以 求得方程的解 所以我们有 h 一p 日+ 1 = 0 ，日( ) = 0 ( e - p e h ( t ) ) = 一e m ，日( t ) = 三+ g e m 肛 刖= i 1 + g e - p t = o , g = 一面1 e m g = e 叫【：( 1 - - e - p ( t - - t ) ) 1 。7 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 6 如) e - - p $ 【导( 1 一e 啤掣) 】h 由h j b 方程可以知道，h j b 方程的解“( z ，t ) 是原问题的最优值函数，而且最优 消费策略为 q ( t ) ：p 。9 ( f ) 】i 与z 2 3 常方差弹性( c e v ) 模型 倍增( m u l t i p l i c a t i v e ) 扩散过程f 1 9 1 是当今最为盛行的用来描述资产价格变 化的金融模型，与b l a c k - s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 的常波动率相比 6 ，带有随机波动率的扩散 过程更能描述价格随机变化的现实状况所以很多关于股票价格的控制模型逐渐 从常波动率向随机波动率发展，概括起来，一般可以分为下面三类【2 3 】： ( a ) 波动率是关于时间和资产价格的函数【2 4 27 】； ( b ) 波动率的动态过程是一个时间序列，如g a r c h ，e - g a r c h 等【2 8 ，2 9 】； ( c ) 用关于连续时间的随机微分方程描述波动率f 3 0 - 3 3 c e v 模型就是其中的( a ) 类情形，下面作简单介绍t c e v 是t h ec o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c e 的缩写，意思为波动率弹性为常数， 【3 4 】中称其为不变方差弹性，本文中记作常方差弹性c e v 模型是几何布朗运动 的一个自然扩充，最早由c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 提出 3 5 】。其股票价格满足： d s t s t = # d tq - k s ? j d w t ，( 2 1 ) 其中s 表示股票价格，w 是标准b r o w n i a n 运动，p 是在期间，t + a t 】中的期 望回报弹性参数( 1 ) 一般为负值，但e m a n u e l 和m a c b e t h ( 1 9 8 2 ) 将其扩展到正值 f 3 6 】。随机波动率可以记作：( 一t ) 2 = ( s 7 ) 2 其经济含义是z 所有公司都存在与经营业绩无关的固定成本，当股票价格下 降时，可以设想公司经营业绩下降，且固定成本具有增加波动率的效果；当股票 价格上升时，相反的情况发生了，固定成本具有减少波动率的效果。特别地，当 7 = 一l 时股票价格的波动率与股票价格成反比，这是c e v 模型的简化情况，即所 谓的绝对扩散模型；当1 = 0 时，即几何布朗运动过程。 。t 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 7 c e v 的提出一般都应用于定价理论，例如：b e c k e r s ( 1 9 8 0 ) 、e m a n u e l 和m a c b e t h ( 1 9 8 2 ) 、c o x ( 1 9 9 6 ) 主要应用了c e v 模型研究分析期权定价问题【3 7 3 6 3 8 】； 近来，d a v y d o v 和l i n e t s k y ( 2 0 0 1 ) 对障碍期权和回顾期权建立c e v 模型，深入探 讨了估价及套期保值 3 9 】；谢赤( 2 0 0 1 ) 研究了c e v 过程下回顾期权和障碍期权的 定价问题 3 4 4 0 ；吴云与何建敏( 2 0 0 3 ) 研究了服从c e v 的几何亚式期权的定价 问题f 4 1 1 而对完备市场，c e v 模型能很好地描绘实际市场引申波幅的不对称性( a n i m p f i e dv o l a t i l i t y8 k e w ) ，与通常将市场波动率假设为常数不同的是；考虑了风险资 产市场价格，这样就更加具有实际意义，所以可以用来研究分析最优投资问题 在投资领域，d r i e sd a r i u s 和r o n n i es i r c a r 在近期的工作报告中针对经典投资问题 建立了c e v 模型并求得其解析解，但还没有广泛应用于该领域 2 4l e g e n d r e 变换 定义2 1 若f ：r r 是凸函数，对= 0 ，定义，的l e g e n d r e 变换 l ( z ) = m a x l ( z ) 一z z ) ， ( 2 2 ) 函数l ( z ) 叫做，( z ) 的l e g e n d r e 对偶函数 按照因为f ( x ) 是严格凸的，上述方程最大值只能在唯一极大值点达到，该点 记作z o ，那么它就是下方程的唯一解： 掣- - z ：o ， ( 2 3 ) d z “7 所以l ( z ) 即为： l ( z ) = y ( z o ) 一z x 0 ( 2 4 ) 例如：若，( z ) = l n x ，要使得l n x z z 达到最大，必有一；1 一= = 0 ，即tx o = i 1 ，所以，l ( z ) i n z 1 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 1 8 第三章不同效用函数下，具有固定消费流的最优投资比较研究 本章首先给出经典模型的简述，然后对具有固定消费流的最优投资问题在不 同效用下给出精确解，并对最后结果进行比较，得出的结论对我们投资有一定的 启发性和有一定的经济意义，通过对在不同效用函数下有固定消费流的最优投资 比较研究，并应用b e l l m a n 方程，求得最优控制。 3 1 1 主要假设 3 1 金融模型 在不考虑消费的情形之下，投资组合分成风险资产( p t 地) 和无风险资产( ( 1 一 m ) 巩) 。其中，总资产价值记作仇，m 表示风险资产所占总资产的比例，两者都 是关于时间t 的函数。剩余部分1 一m 投向无风险资产，其收益率设为常数r ，常 见的如银行储蓄利率，其市场价值8 0 可以用下面状态方程加以描述一 d s o s o = r d t ， 假定风险资产的平均收益率a + r 高于r ，即 0 ，称为风险溢价，否则管理 阶层宁可储蓄而不愿风险投资；另外，风险投资收益是不确定的我们应用随机 微分方程，将风险资产市场价值鼠的动态过程描叙成常方差弹性( c e v ) 模型： d 8 = n + r ) d t + k s 7 4 w t ， 其中w 是标准布朗运动，k 为常数，1 是弹性因子。特别地，若7 = 0 ，则是几 何布朗运动。 义 2 0 0 6 年上海大学硕士学位论文 3 2 模型和一些基本定义的描述 考虑金融市场有两种资产一种是利率固定的无风险资产( 如证券) ，它的价 格服从如下随机微分方程 d b ( t ) = r b ( t ) d t ，b ( o ) = 1 ，0 1 t t( 1 ) 另一种是风险资产( 如股票) ，它的价格服从如下随机微分方程 d p ( t ) = p ( t ) m d t 十a d w ) 】，p ( o ) = p 市场平均回报m t 波动率