（概率论与数理统计专业论文）相关性对几种盈余模型的保费和破产概率的影响.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：叁尘盈 f i = 1 期： 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存沦文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：三蛆导师签名：虹日期 摘要 在建立风险模型时，必须考虑各类保单之间的相互关系，确定保单之间的相 关性本文主要研究，在各类风险模型中，保单之间的不同的相关性，对单个时期 的保费和单个时期的理赔总量的l u n d b e r g 指数的影响，比较了它们的大小关系， 进而可以估计破产概率的大小 在第一章中介绍了多个盈余模型，主要有理赔次数服从泊松分布和理赔次 数服从负二项分布两大类在每一类中，根据保单之间的相关性的不同，建立模 型，并计算了一些与模型相关的量 在第二章中，利用第一章中已计算的量，首先比较了理赔次数服从泊松分布 时，盈余模型的保费和l u n d b e r g 指数的大小关系，其次比较了理赔次数服从负二 项分布时，盈余模型的保费的大小关系 关键词：保费破产概率l u n d b e r g 指数复合泊松分布复合负二项 分布 中图分类号：0 2 2 1 6 2 a b s t r a c t w h e n e s t a b l i s h i n gr i s km o d e l s ，w em u s tc o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f - f e r e n tp o l i c i e si no r d e rt od e t e r m i n et h ed e p e n d e n c yo fp o l i c i e s i nt h i sp a p e r ，w e s t u d yt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nm o d e l sa n dt h ei n f l u e n c ef r o md e p e n d e n c et oa g g r e - g a t ec l a i m sa n dl u n d b e r ge x p o n e n t s t h e nw ec o m p a r et h e mi no r d e rt oe s t i m a t e t h er u i np r o b a b i h t y i nf i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es e v e r a lr i s km o d e l sm a i u l yi n c l u d i n gt h ep o i s s o n d i s t r i b u t i o nc a s ea n dt h en e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o ne a s e i ne a c hc a ，w ee s - t a b h s ht h er i s km o d e l sd e p e n d i n go nt h ed i f f e r e n td e p e n d e n c y ，t h e nc a l c u l a t es o m e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s i ns e c o n dc h a p t e r ，w eu s et h es t a t i s t i c a ip r o p e r t i e sc a l c u l a t e di nf i r s tc h a p t e r t oc o m p a r et h ep r e m i u m sa n dl u n d b e r ge x p o n e n t so fe a c hm o d e li nt h ep o i s s o n d i s t r i b u t i o nc a s e ，t h e nc o m p a r et h e p r e m i u m si nt h en e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n c a g e k e y w o r d s ：p r e m i u mr u i np r o b a b i l i t yl u n d b e r ge x p o n e n t c o m p o u n d p o i s s o nd i s t r i b u t i o n c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：0 2 2 1 6 2 2 引言 对于保险机构，其某种风险的随机损失( 理赔) 记为s ，随机变量s 的概率 分布是需要知道的已有文献中对s 的分布有两种类型的假设一种是个别风险 模型( i n d i v i d u a lr i s km o d e l ) ，它是基于对个别保单和个别保单理赔分布考虑的， 且总理赔为所有保单理赔的总和，即 s = x 1 + x 2 + + x 。 其中，五是保单l 的损失，几是保单总数通常假设置是相互独立的随机变量， 这也是出于数学上较容易且不需要相关性的数据的考虑如果保单总数佗在所考 虑的周期一开始就已知并且固定，那么就得到封闭模型( c l o s e dm o d e l ) ；如果对 保单增减做出假设，那么就得到开放模型( o p e nm o d e l ) 另一种模型称为聚合风 险模型( c o l l e c t i v er i s km o d e l ) ，聚合风险模型视个别保单理赔的产生是随机过 程数学描述如下：记是给定时期中保单的理赔次数，x 1 是第一次理赔的理 赔量，x 2 是第二次理赔的理赔量等等，则 s = x 1 + x 2 + + x n 为一随机和，表示这一时期的总理赔量理赔次数是一个随机变量，取值为正 整数个别理赔量x 1 ，恐也是随机变量，取值为正数 为模型讨论方便起见，我们有两个基本假设： ( 1 ) x l ，x 2 是同分布随机变量； ( 2 ) 随机变量，x 1 ，x 2 相互独立 假设( 1 ) ，( 2 ) 是随机和的常见假设 模型研究的第一步是用的分布和x i 所服从的共同分布来表示s 的分布 s 的期望值、方差和矩母函数可用上述基本分布的相应数量来表示，同时，s 的 分布函数也可由的分布和五的共同分布通过卷积得到 模型研究的第二步，是和五的分布选择n 通常选为p o i s s o n 或负二项分 布随机变量，理赔量置的共同分布通常选为正态、伽玛等分布当服从p o i s s o n 分布时，s 的分布称为复合p o i s s o n 分布( c o m p o u n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ) ；当 服从负二项分布时，s 的分布称为复合负二项分布( c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a l d i s t r i b u t i o n ) 这两大类分布是构成总理赔量s 分布的主要形式 所谓盈余是指某个初始基金加上收取保费超过理赔那一部分这种盈余的定 义并非财务意义上的，只是为了数学上处理而已 3 对t 0 ，记u ( t ) 为保险人在时刻t 的盈余假设保费以常数率c 0 连续收 取，s ( t ) 为直到时刻t 的总理赔量如果v ( o ) = 让为时刻0 时初始盈余，则有 u ( t ) = 札+ c t s c t ) ，t 20 在这里，我们不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响盈余的因素，例如， 附加费和保单持有人的分红等等所以在实际工作中，它还需要其他分析相补充 这样，通常的盈余过程( s u r p l u sp r o c e s s ) u ( t ) ，t2o ) 如图1 所示 u ( t ) ，工 、 诎 妙 ，。 0丑t 2 t 暑 u ( t 我们注意到除了那些发生理赔的时刻，盈余以斜率c 线性增加在发生理赔 时刻，盈余以理赔量大小下降如果初始盈余u 增加或减少数量h ，则u ( t ) 的图 像将上升或下降h 个单位，其它并无改变正如图1 所示，盈余完全可能在某一时 刻为负当首次出现这种情况，我们称祸因( r u i n ) 发生这个词并不等价于保险 人无力偿付债务或破产实际上，祸因发生并不像字面上那样可怕，因为我们忽 略了其它许多影响盈余的因素如果所有因素都在考虑之列的话，盈余仍然可能 是正的或者可能回复为正的当然，祸因发生的概率毕竟是衡量一个保险机构金 融风险的极其重要的尺度 定义 t = m i n t ：t 0 ，f l u ( t ) o ) 为祸因发生时刻( 当t = 0 0 时，可认为对任何t 0 均有u ( t ) 0 ，即祸因不发 生) 迸一步记 妒( 乱) = p ( t o o ) 为初始盈余为缸情况下祸因发生概率我们也通常对u ( t ) ，即祸因发生时的负 盈余量感兴趣 在实际工作中，大多数保险人关心的并不是无限时间内祸因是否发生，而是 在一个有限时间，譬如2 0 年内的情况如何确切地说，关心的是 妒( 扎，t ) = p ( t ) ， 4 即时间t 以内祸因发生概率然而，为了数学上处理方便，我们仅仅讨论无限时 间上祸因发生概率妒( ) 当然，妒( u ) 是妒( t ，t ) 的一个上界 对应于连续时间模型，下面介绍离散时间模型，文中以离散时间模型为研究 对象 记为保险人在时刻= 0 ，1 ，) 的盈余，假设 = 乱+ n c 一& 这里g o = 为初始盈余，c 为单位时期收取的保费，鼠为前竹个单位时期的理赔 总量我们还假设 & = x i + 恐+ + x 。， 这里咒是时期t 的理赔总量，而且x l ，x 2 ，x 。是相互独立服从同一x 分布的随机变量，并有e ( x ) 0 ， o ) ， 为祸因发生时期数( 若对所有的n 均有“20 ，则再次理解为t = o o ) ，记 妒( 牡) = p ( t 0 ， 0 ，n = 0 ，1 ，2 一p o i s s o n ( a j ) 0 = 1 ，m ) 呐刮= 筹e 一 8 在盈余模型中，若n j u = 1 ，m ) 独立，且服从负二项分布，则称为n b i 模 型即 一n b ( 哟，岛) 0 = 1 ，m ) 鼢袖p ( n j 刊：( 驯而1 ) q ( 南) ”，p 刊= ( 二i1 ) ( 而) q ( 南) ”， 其中嘶，岛 0 ，n = 0 ，1 在p i 模型和n b i 模型中，假设各类保单的理赔次数独立，忽略了保单之间的 相互关系，有利于计算，但有可能存在潜在的风险 1 2p c s 模型 这里考虑只有- - ( m = 3 ) 类保单的盈余模型假设三类保单有一个共同的祸 因，并且任意两类保单之间有一个共同的祸因，定义如下： 1 = n 1 1 + i 2 + n x s + 1 2 3 ， 2 = 五十1 2 + 2 3 + n m ， 3 = b + 1 3 + 2 3 + 1 2 3 其中 心一p o i s s o n ( a o ) ( ，= l ，2 ，3 ) ，1 一p o i s s o n ( a 1 2 3 ) 且m ( i = 1 ，2 ，3 ) 中的四个组合相互独立所以 肌一p o i s s o n ( 九) a = 1 ，2 ，3 ) ， 其中 a l = a 儿+ a 1 2 + a 1 3 + a 1 2 3 ，a 2 = a 2 2 + a 1 2 + a 2 3 + a l 嚣，a s = a s s + a i s + a 2 s + a 1 2 s 且， c o y ( ，) = v a x n o + v 缸1 ( i j ) ( 1 ，2 ，3 ) 的复合概率函数为 b n ，2 ，3 ( t 1 ，2 ，t 3 ) = e ( t l t 磬) = ( 垂畔) ) 嗽蚴1 2 ) 啪妒3 ) e ( ( t 2 t s ) n ”) e ( ( t i t 2 t s ) ) 一( 妻c b ，) 一( 驴铲- ，) + 唧：s c g t ：t s - 1 ) ， ( x ( ”，x ( 2 ) ，x ( 3 ) 的复合特征函数为： 其中 咖_ ，( ( x ( x ( 3 ) ( t 1 ，t 2 ，t 3 ) = 尸如，盹，( 妒玩0 1 ) ，z 。( t 2 ) ，妒z 。( 如) ) = e + 占+ e 3 a = b ( 咖乃( 岛) 一1 ) ， j = 1 b = ( 吻( 易) 慨( “) 一1 ) ， 3 k c = a 1 2 3 ( 而0 1 ) 妒忍( 如) 妒历( 如) 一1 ) 所以 c x ( t ) = x ( t ，j ( 2 ) ，x 3 ) ( ，t ，t ) = 批一， 其中a = a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 + a 1 2 + a 1 3 + a 2 3 + a 1 2 3 ，且 似t ) = 等慨+ 等坛+ 等坛+ 等慨+ 挪) + 等蛛勰) + 等锄加) + 等螈历矧) 其中曲磊+ 乃( t ) = 磊( t ) 句( t ) 由特征函数x ( t ) 可以看出随机变量x = x 1 + x ( 2 ) + x ( 3 ) 是复合泊松分布，其参数是a ，相应的理赔量的特征函数是龙( ) ，理 赔量的分布函数是： 兄= 等吃( t ) + 等吃+f z a ) + 等吃+ 历 + 半如+ 历( t ) + 挈f z 2 + 历( t ) + 半屹+ 历+ 历( t ) 1 3p i c s 模型 这里考虑只有两( m = 2 ) 类保单的p i c s 模型，p i c s 模型考虑每类保单中的三 种祸因，即主祸因，次祸因和共同祸因每类保单中的主祸因发生都以一定的概 率引起其它类保单中的次祸因发生，并且任意两类保单之间存在共同祸因，定义 如下： n l = n u + n 乎+ n 毛， 2 = 2 2 + 1 + ， 这里v 鼬( = 1 ，2 ) 表示第类保单的主祸因发生次数，嘭o ，k = l ，2 且 k j ) 表示由于第k 类保单的主祸因发生引起第j 类保单的次祸因发生次数 1 0 五表示共同祸因发生次数，其中】l ，j 】v f ”，l ，2 相互独立，n z 2 ，叫”，厶相互 独立，且肌1 与n z z 独立 设n 1 l p o i s s o n ( a 1 1 ) ，n z 2 一p o i s s o n ( a 2 2 ) ，1 ，2 一p o i s s o n ( a ：2 ) 且 f 2 l ，2 2 = 扎b ( 佗，啦1 ) ，艇1 l 1 l = n b ( n ，q 1 2 ) 其中0 口2 l ，q 1 2 1 所以 f 2 ) 一p o i s s o n ( a 2 2q 2 1 ) ，1 ) 一p o i s s o n ( a 1 1q 1 2 ) 1 4i r 模型 i r 模型考虑每类保单中的两种祸因，即主祸因和次祸因。每个类中的主祸因 发生都以一定的概率引起其它类中的次祸因发生，定义如下： 1 = f 1 + 2 + + f ， n 2 = 1 + 艇2 + 十硝”) ， a r m = n 霉+ n 兽+ + n 攀 这里艇伪= 1 ，2 ，m ) 表示第七类保单的主祸因发生次数，v ： d ，七= 1 ，2 ， ，m 且j ) 表示由于第类保单的主祸因发生引起第j 类保单的次祸因发生 次数假设 ( 1 ) ( k = 1 ，2 ，m ) 相互独立； ( 2 ) 固定k ，对所有的j k ，已知艇时，j 相互独立； ( 3 ) 固定1 c ，对所有的j k ，埘j q ) = 竹一b ( n ，) ，其中o 0 是一个参数 2 ) 方差原理c = e x + a v a r x ，其中n 0 是一个参数 3 ) 指数原理e ”= e e “，其中a 0 是一个参数 对于随机损失x 和相应于x 的保费c ，方程m x ( r ) = e c 7 的唯一正解记 为r ，称之为x 的l u n d b e r g 指数由文献f l l 】知， 6 一r ” 妒( “) 5 可毒靖贰丽 由于在t o o 的条件下u t 0 ，故有 妒 ) e 一凰 因此破产概率妒似) 可由e - m 控制，显然l u n d b e r g 指数r 越小，相应的风险过程 就越危险 2 1泊松分布时的比较 当保单的理赔次数服从泊松分布时，比较p i 模型，p c s 模型，p i c s 模型 a 藕l p i r 模型的保费和l u n d b e r g 指数的大小四类模型的保费和l u n d b e r g 指数分 别记为c p i ，c p c s ，c p i c s ，c p i r 和r p i ，r p f s ，r p j o s ，r p 豫四个模型在一个时 期内的理赔总量分别记为x ，x p ，x m ，x p 佃为便于计算和比较，考虑 只有两( m = 2 ) 类保单的盈余模型，一般情景可以同样考虑 对这四类模型作如下假设： ( 1 ) p i 模型，设n 1 一p o i s s o n ( ) u ) ，2 一p o i s s o n ( ) , 2 ) ( 2 ) p c s 模型，设 v 12 n n + n , 2 ，n 2 = 2 2 + 1 2 ， 其中n n p o i s s o n ( x n ) ，n 1 2 一p o i s s o n ( x l a ) ， k 2 一p o i s s o n ( a 2 2 ) ，且a l = a 1 1 + a 1 2 ，a 2 = a 2 2 + a 1 2 ( 3 ) p i c s 模型，设 l = 1 1 + 2 + 厶，2 = 2 2 + 硝1 + 五， 1 8 其中n 1 1 。p o i s s o n ( a 1 1 ) ，2 2 一p o i s s o n ( a 2 2 ) ，1 ，2 一p o i s s o n ( 1 2 ) 且 f i 。2 = 礼一b ( n ，啦! ) ，趣1 i n u = n s ( n ，q 1 2 ) 其中0 q 2 l ，q 1 2 1 ，a 1 = a n + a 2 2q 2 1 + a j 2 ，a 2 = a 2 2 + a l l q l 2 + 入：2 ( 4 ) p i r 模型，设 1 = 1 1 + 川，2 = 2 2 + ， 其中n 1 1 一p o i s s o n ( a n ) ，如一p o i s s o n ( a m ) 且 砷l 2 2 = 咒一b ( n ，忱1 ) ，川”i n i l = n b ( n ，p 1 2 ) ， 其中0 p 2 1 ，p 1 2 1 ，a l = a l l + a 2 2 p 2 1 ，a 2 = a 2 2 + 入1 1 p 1 2 从以上假设中可看出，参数间满足如下关系 a 1 2 = a 2 2 啦l + a i 2 = a l lq 1 2 + a j 2 = a 2 2 p 2 1 = a 1 1 p 1 2 这四类模型的主要区别在于1 与 r 2 之间的相关性不同 对于p i 模型，c o v ( n x ， k ) - - 0 对于p c s 模型，c o v ( h ，2 ) = a 1 2 ， 对于p i c s 模型，c o y ( n 1 ，n 2 ) = 2 a 1 2 一1 2 对于p i r 模型，c o v ( n 1 ，n 2 ) = 2 a 1 2 因为 0 a i 2 2 a 1 2 一a k 2 a 1 2 ， 所以这四个风险模型的l 与2 之间的相关性是逐渐增大的 定理3 1 1 ) 在期望值原理下，c p l = c p c 8 = c p i c 8 = 铆凡 2 ) 在方差原理下，c p i c p c 8 c p i c $ c p i r ； 3 ) 在指数原理下，c p i c p c s c p l c 8 c p l r 证1 ) 根据独立性，易知结论1 ) 成立 2 ) 因e x 相等，则保费c 的大小取决于v a r x 的大小 由计算可知， 、? 啦x p i 、? 毗x p c s 、吐x p | c s v a r x p l r = a 1 e z + a 2 e 刃， = a 1 e z + a 2 e z ；+ 2 入1 2 e z l e z ， = 入1 e z + a 2 e 刃+ 2 ( 2 a 1 2 一a ：2 ) e z l e z 2 = a 1 e 研+ a 2 e z ；+ 4 a 1 z e z l e 历 1 9 因为 所以 0 a 1 2 2 a 1 2 一a ：2 2 a 1 2 ， 、j 缸x p l 0 ， l n m x ，, ( a ) 一1 n 奴p i 。s ( o ) = a i 2 ( f l ( o ) 一1 ) ( 幻( o ) 一1 ) ) 0 ， 所以 m x p z ( a ) m x 0 4 a ) 奴p ，。s ( 口) 奴， ( n ) 由此可知结论( 3 ) 成立 定理3 2 在期望值原理下，r p l r v c s r p l c s r p m 证因为 奴，f ( r ) 奴”s ( r ) m x p z c s ( r ) 奴p f r ( r ) 2 0 由文献【8 】知， r p r e c s r e l c s f l r o ，则冗p ， r p c s r p l c s r v m r v l c s r m n r o 证通过变换可得，l u n d b e r g 指数r p j ，r p c s ，r p i c 8 ，r m r 分别对应为以 下四个式子的解 l n j p l ( r ) = r 反 l n m p c s ( r ) 一2 a r a l 2 e 五e 易= r p ， l n m p l c s ( r ) 一2 a r ( 2 a 1 2 一a i 2 ) e z l e z 2 = r ， l n m v m ( r ) 一4 a r a l 2 e z l e z 2 = r 口 为便于表示式子，记 l m ( r )= l n m v z ( r ) ， l v c s ( r )= l n m v c s ( r ) 一2 a r a l 2 e z l e z 2 ， l p j 口s ( r ) = l n f o 口s ( r ) 一2 a r ( 2 a 1 2 一a i 2 ) e z i e z 2 ， l v m ( r )= l n m p l n ( r ) 一4 a r a l 2 e z l e z 2 记 ，p ，( r )= 舰( r ) + 如( r ) 一2 ， z e c s ( r ) = m 1 ( r ) 尥( r ) 一2 a r e 互e z 2 1 ， p 1 0 s ( r ) = f v l r ( r ) 一笼，( r ) ， f m n ( r )= 2 舰( r ) 尬p ) 一m 1 ( r ) 一 如p ) 一4 a r e z l e z j 则 l p i ( r )= g ( r ) + a 1 2 ，( r ) ， l e c s ( r ) = g ( r ) + a 1 2f v c s ( r ) ， l m c s ( r ) = g ( r ) + a 1 2 ，w 。s ( r ) ， l p i r ( r ) = g ( r ) + a 1 2 ，p 佃( r ) 2 1 因为 f p c $ ( r ) 一加( r ) = ，( r ) ， i p i c s ( r ) 一f p c s ( r ) = 警，( r ) ， f p l r ( r ) 一f p , c s ( r ) = 老，( r ) 又因为 r ( 0 ，凰) ，( r ) 0 所以l p l ( r ) ，l p c s ( r ) ，l v l c s ( r ) ，l m n ( r ) 相交于除0 点外唯一点r o ，且 r ( 0 ，r o ) ，l p z ( r ) l p c s ( r ) l p z c s ( r ) l p i r ( r ) ； r ( r o ，0 0 ) ，l v l ( r ) l p c s ( r ) l m c s ( r ) r p w s r p l a 风 2 2 负二项分布时的比较 当保单的理赔次数服从负二项分布时，比较n b i 模型，n b i r 模型和n b c c 模 型的保费的大小三类模型的保费分别记为c n b ，c n b 膪和c n b g e 三个模型在一 个时期内的理赔总量分别记为x 引，x b 佃，x 。b c 。为便于计算和比较，考虑 只有两( m = 2 ) 类保单的盈余模型，一般情景可以同样考虑 对这三类模型作如下假设： ( 1 ) n b i 模型，设n in n b ( r l ，) ，n 2 一n b ( r 2 ，p ) ( 2 ) n b i r 模型，设 1 = f 1 + f ， n 2 = n 2 ( 2 ) + ”， 其中 f 1 ) 一n b ( a l ，卢) 2 ) 一n b ( a 2 ，p ) ， f 2 ) i 2 ) = n b ( n ，p 2 。) 硝1 l f 1 = 竹一b ( n ，p 1 2 ) ， 啦，反 0 ，o c n b c c ； 若“+ 2 e 易e 汤 c n b i ； 若口+ 4 e 蜀e 汤 0 ，则c n b i r 1 ，则c n b i r c n b c c 证1 1 根据参数间的假设可知，e x n b i = e x b 肺= e x 口所以结论 成立 2 1因为均值相等，所以保费的大小取决于方差的大小方差计算如下： v s x x b 。= p ( n e z ；+ r 2 e z ；) + 卢2 ( r l ( e z , ) 2 + r 2 ( e 历) 2 ) ， v a r x n 口c c ；p ( r l e z + r 2 e 雹) + 芦2 ( r 1 ( e z l ) 2 + r 2 ( e z 2 ) 2 + 2 k o e z , e z 2 ) v a r x 丑1 丑= p 1 e z + r 2 e 砺+ 4 岛e z l e z j ) + 俨( ( a 1 + 口啦秀1 ) ( e z l ) 2 + ( a 1 元+ a 2 ) ( e 忍) 2 + 4 e 互e z j ) 因为 v a r x b c c v a r x 彤= 2 p 2 e z l e 忍 0 ， 所以c n b i 0 ，所以结论成立 3 )保费的大小由m x ( a ) 决定，计算各个模型的m x ( a ) 如下； m x n b i ( n ) = ( 1 3 ( m l ( a ) 一1 ) ) 一h ( 1 一卢( 埘j ( 口) 一1 ) ) 一2 x ( ( 1 一卢( 朋1 ( n ) 一1 ) ) ( 1 一口( 肘j ( d ) 一1 ) ) ) 一向， m x u s ，r ( a ) = ( 1 一( 尬( n ) 一1 ) 一p n m l ( a ) 口( m 2 ( a ) 一1 ) ) 一h x ( 1 一( m 2 ( o ) 一1 ) 一p 2 1 如( o ) p ( n ( 口) 一1 ) ) 一“， m x n b o c ( a ) = ( 1 一妙( 尬( 口) 一1 ) ) 一乜( 1 一p ( 尬( o ) 一1 ) ) 一缸 ( 1 一( 帆( n ) 一1 ) 一卢( 如( n ) 一1 ) ) 一“ 因为 1 一( m ( o ) 一1 ) 一口( 尬( o ) 一1 ) m x s 1 ( a ) ，所以c n b i 1 且p 2 1 朋j ( 口) 1 ，则 1 一, 6 ( m l ( a ) 一1 ) 一p 1 2 m l ( a ) p ( m 2 ( a ) 一1 ) ，所以 m x s r r 缸) ( 1 一( 以( 口) 一1 ) 一( 朋j ( 口) 一1 ) ) 一( 七1 + 如) = ( 1 一卢( 尬( o ) 一1 ) 一p ( 朋j ( 一1 ) ) 一( k a + b 一。) x ( 1 一( m ( 1 ) 一p ( m j ( 一1 ) ) 一 ( 1 一p ( 尬( 口) 一1 ) ) 一( k l + b 一硒( 1 一z ( m 2 ( a ) 一1 ) ) 一( k l + k ：- k o ) ( 1 一声( 朋。1 ( 口) 一1 ) 一p ( 肘j ( n ) 一1 ) ) 一b ( 1 一( 以( 口) 一1 ) ) 一- ( 1 一卢( m 2 ( 。) 一1 ) ) 一b x ( i p ( 以( o ) 1 ) 一( 肘j ( 口) 一1 ) ) 一b = m x n s , r ( a ) ， 所以c n b i r c n b c c 参考文献 1a m b a g a s p i t i y ars o nt h ed i s t r i b u t i o no fag u mo fc o r r e l a t e da g g r e g a t e d c l a i m s j i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，1 9 9 8 ，2 3 ：1 5 1 9 f 2 】2 c u m m i n sjd ，w i l t b a n klj e s t i m a t i n gt h et o t a lc l a i m sd i s t r i b u t i o nu s - i n gm u l t i v a r i a t ef r e q u e n c ya n ds e v e r i t yd i s t r i b u t i o n s j j o u r n a lo f 瞰s ka n d i n s u r a n c e ，1 9 8 3 ，3 7 7 4 0 3 1 3 】花春荣，王过京两类风险过程破产概率的比较【j 1 应用概率统 计，2 0 0 5 ，2 1 ( 1 ) 【4 1w a