（应用数学专业论文）广义不变凸函数与多目标规划的理论研究.pdf

福建师范大学陈武星硕士学位论文 记号与约定 r n ：实数域上的n 维欧氏空间 r + + ：全体正实数 i l ：欧氏范数 ( - ，) ：欧氏内积 o ：空集 i n t s ：集合s 的内部 x t ：向量z 的转置 a 丁：矩阵a 的转置 v x y r “： ( z ，y ) = x i y i o = y = 饥，i = l ，2 ，。，讫 o 墨y 咎孔玑，i = l ，2 ，n o y zsy ，且z y 茁 b 指a - b r + + ， r + + = i n t r + 在实数范围内只有 ，两种序关系 在”内，有三种序关系：令z = ( z 1 ，z 2 ，z 。) r ，y = ( y 1 ，y 2 ，鲰) t 础 则z y 指孔 y i ，i = 1 ，n ；z y 指筑至y i ，但至少有一i o 1 ，n ) ，使 z 如 y i o ；z 至y 指a 兰玑三种序关系问有“ ”辛“”辛“兰”的关系 p a r e t o 有效性：设c r n ，：t o c ，如果对一切z c 有。兰z o ，则称z o 为 c 的绝对有效点，记为：z oee a ( g ) ；如果不存在z c 使o z o ，则称z o 为c 的有效点，记为：。o e ( c ) ；如果不存在z c 使z o ) ，则z 兰y 指茁一y 旱，茁 y 指 z y 华+ e ( g ) = x o c ：对一切o c ，z x 0 华) ，z ( c ) = x o c ： ( c x 0 ) n ( 一晦) = o ) ) ，e w ( c ) = x o c ：( c 一2 ：0 ) n ( 一t 礼t 酞罩) = 0 ) 锥有效性：设y 为b a n a c h 空间，s y ，i n t s 0 ，s n ( - s ) = o ) ，则 e ( g ，s ) = x o c ：对一切o c ，o x 0 s ，e ( c ，s ) = x 0 c ：( c 一 福建师范大学陈武星硕士学位论文 z o ) f l ( 一s ) = o ) ) ，e w ( e ，s ) = x o c ： 一x o ) n ( - i n t s ) = 0 ) 且有关系 e ( g ，s ) ce ( e ，s ) ce w ( c ，s ) 不论有限维多目标规划问题的p a r e t o 有效解或无限维多目标规划问题的锥有 效解，它们都是关于某种偏序( 自然序或锥偏序) 为非劣意义下的解在实际应用 中，绝对有效点几乎是不存在的。而有效点，弱有效点比较多但有效性范围太大 1 - 4 】难以做出最后选择，因而出现了真有效性理论1 9 5 1 年，h w k u h n 和a w t u c k e r 首先引进了一种特殊的有效解，称为k t - 真有效解m1 9 6 8 年，a g g e o f f r i o n 对有效解进一步加以限制，界定一种新的解，称为g 一真有效解吼1 9 7 7 年，j b o r w e i n 借助于切锥概念引进一种真有效解，称为b - 真有效解n1 9 7 9 年，h p b e n s o n 借助投影锥也引进一种真有效解，称为p 一真有效解( b e n s o n 真 有效解) 1 9 8 2 年，m t h e n i g 利用闭凸锥定义了h 一真有效解m 比真有效性更 精细的是超有效性但超有效点要求较强的存在条件，为了克服这一点而定义了 严有效点【1 0 1 1 1 i 此外，1 9 8 1 年，冯英俊给出多目标最优化问题的f u z z y 解概念； 1 9 8 2 年，梅家骝，辜介石引进一种强有效解；1 9 8 4 年，胡毓达提出一种较多有效 解概念；1 9 8 5 年，董加礼将弱有效怨分层，给出一种k 级弱有效解概念等等到 目前为止，关于解的概念，有影响的已不下2 0 种 1 2 广义不变凸函数、最优性条件、对偶 带约束的单目标规划数学模型z m l n l m l z e s t ，0 ( z ) g ( x ) 耋0 z x ( p ) 其中o ：x r 是可微函数。g ：x r ”是向量值可微函数，x 是非空 开集，c = o x l g ( x ) 耋o ) 带约束的多目标规划数学模型t v - m i n i m i z e f ( x ) = ( f l ( x ) ，2 ( 。) ，厶( z ) ) t s t g ( x ) = ( 9 1 0 ) ，9 2 ( z ) ，9 。( z ) ) r 冬0( y m p ) z x 其中，：x 一舯，g ：x r ”是向量值可微函数，x r n 是非空开集 x o = 。x l g ( x ) 三o ) 2 第1 章绪论 设向量函数f ：x y i g ：x z ，其中y z 为b a n a c h 空间 间设kcz 为凸的点锥，考虑向量优化问题t v m i n i m i z e f ( x ) z e 其中e = x x ：g ( x ) ( 一k ) ) ( 1 ) 广义不变凸函数、带导数的最优性条件 x 为线性空 ( y o p ) 带导数的最优化条件为多目标优化理论中最为优美的内容之一，这一理论是 数学分析中有关函数极值的一阶及二阶条件的推广最初的工作是由f r i t z j o h n 、 k u h nh w 及t u c k e ra w 建立的，称为f r i t zj o h n 及k u h n t u c k e r 条件 在一定约束条件下，若z o 是( p ) 极小点，则存在v 0 r ”，使得 v a ( x o ) + x t v ：g ( x o ) = 0 ，( 1 - 1 ) 1 9 ( x o ) = 0 ，( 1 - 2 ) v 0 兰0 ( 1 - 3 ) 反之，若，0 ( z ) ，夕i ( 茁) 0 = 1 ，2 ，m ) 是c 上凸函数，则( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 是z o 为( p ) 最优点的充分条件在数学规划中，为了减弱凸性，m a n g a s a r i a n l l 卿指出当，0 ( z ) 是伪凸函数且g ( x ) 是拟凸函数时，以上这种最优充分条件亦成立凸函数的一个 重要性质是局部最优点就是全局最优点另一个受到广泛应用的性质是以任意点的 切平面为界( 线性界) ，即( z 1 ) 一( z 2 ) 兰( 0 1 2 7 2 ) 丁v ( z 2 ) ，比1 ，z 2 x 为了描 述非线性界，文定义一种函数，即存在某向量值函数叩( z l ，z 2 ) ：x x r “， 对任意x l ，x 2 x ，有咖( z 1 ) 一( z 2 ) 兰q ( 。1 ，茁2 ) t v ( z 2 ) ，c r a v e n ( ”l 称此咖( 茁) 为 不变凸函数( i n v e x ) ，显然可微的凸函数是不变凸函数而且，不变凸函数等价于 一类稳定点是全局最优点的函数文【1 6 l 将此定义命名为竹一凸函数，同时，类似 于伪凸，拟凸，严格拟凸函数定义了叩一伪凸， ，7 一拟凸， 目一严格拟凸函数， 在，0 ，g i 均为町一凸函数或，0 为q 一伪凸函数，g e 为町一拟凸函数条件下，上 述最优充分条件仍成立对( v m p ) 弱有效解的一阶及二阶k u h n t u c k e r 条件，在 【1 7 1 8 l 等文献中有所讨论i ( h e l s t e r ，r n e h s e 考虑似凸( c o v e x l i k e ) 函数，得出 似凸多目标规划的鞍点最优条件文【1 9 l 进一步探究了似凸函数g o r d a n 型择一定 理和似凸规划的拉格朗日对偶p r e i n v e x 函数【2 q 是一种特殊的似凸函数，可微 的p r e i n v e x 函数是不变凸函数，p r e i n v e x 函数的比是不变凸函数在c 条件 3 福建师范大学陈武星硕士学位论文 下不变凸集( i n v e xs e t ) 上的不变凸函数是p r e i n v e x 函数，同样地，不变凸集上的 拟不变凸函数是p r e q u a s i i n v e x 函数p r e i n v e x 函数具备一些类似于凸函数的性 质，而似凸函数不一定具备比如：p r e i n v e x 函数的局部极小点是全局极小点， p r e i n v e x 函数的非负线性组合仍是p r e i n v e x 函数在半连续条件下【2 2 | ，可以通过 一中间点的p r e i n v e x i t y 性来判定p r e i n v e x 函数；当存在一中间点具有p r e i n v e x i t y 性且满足c 条件时，p r e i n v e x 函数与p r e q u a s i i n v e x 函数等价【2 3 | 文指出在 p r e q u a s i i n v e x 函数条件下，也可通过一中间点的半严格p r e q u a s i i n v e x i t y 性来判定 半严格p r e q u a s i i n v e x ( s e m i s t r i c t l yp r e q u a s i i n v e x ) 函数文【2 5 l 用上境图e ( f ) 来刻画 p r e i n v e x 函数，探究了p r e i n v e x 函数与半严格p r e i n v e x ( s e m i s t r i c t l yp r e i n v e x ) 函数 之间的密切关系，同时给出了一个半严格p r e i n v e x 函数的梯度性质之后，文 2 6 , 2 7 提出了类更广泛的非凸函数。它包括了p r e i n v e x 函数和弧连通函数( a r c - c o n n e c t e d c o n v e xf u n c t i o n ) ，即s e m i p r e i n v e x 函数，s e m i p r e i n v e x 函数的比仍是s e m i p r e i n v e x 函数，研究了s e m i p r e i n v e x 函数条件下多目标分式规划的鞍点最优准则在实赋范 空间，通过闭凸锥定义了k 一似凸函数【2 8 | ，k 一不变凸函数，k - p r e i n v e x 函数 2 9 , 3 0 l ， 应用目标函数与约束函数的方向导数给出了f r i t z j o h n 及k t 条件【3 0 1 ( 2 ) 不带导数的最优性条件 对于向量值问题，自然要引进向量值拉格朗日函数，它是数值拉格朗日函数的 推广，文 3 1 - 3 3 1 分别通过向量值拉格朗日函数讨论了有限维中凸多目标规划p a r e t o 最优解、无限维中凸多目标规划弱有效解，文阻- 3 6 1 通过矩阵拉格朗日乘子分别 研究了有限维、无限维凸多目标规划的p a r e t o 最优解将带约束的向量优化问题 转化为无约束拉格朗日函数的优化问题是向量优化问题讨论的常用方法【3 7 j ，关于 ( v o p ) 结果已很多，其一方面是转化成无约束标量拉格朗日乘子的极值问题【鹅】，另 一方面，( v o p ) 问题向抽象拉格朗日乘子无约束优化问题转化，由于涉及到有效 性，因而更为复杂，见1 3 9 4 2 | ( 3 ) 对偶问题 在有不等式约束的极小化问题中，拉格朗日函数的鞍点是这一问题的全局极小 点。而且在凸假设和某些约束条件下，两者是等价的另一个重要的结果是对偶定 理；原始问题的下确界值不小于相应对偶极大问题的上确界值，而且，原始和对偶 问题的最优值相等目前，对偶问题主要有两个方面，即l a g r a n g e 对偶及共轭对 偶 4 3 , 4 4 1 对偶结论通常可以通过传统的k t 条件、凸假设证得，在证强对偶定理 4 第l 章绪论 时，某种约束规格是充分条件，这种情形通过两个方式得以改善，其一是适当修改 k t 条件，回避约束条件；另一是用f r i t z j o h n 条件，广义p r i t z j o h n 条件| 4 5 j 代 替l ( - t 条件对偶理论对不可微的凸问题 4 6 】、可微的非凸问题【4 7 l 仍然成立，进 一步地，文【48 j 引进一类既是局部利普希兹函数又满足某种不变凸型条件的函数t p 一不变凸函数，指出在这类非光滑且非凸函数下的数学规划w j l f e 型对偶定理也 成立2 0 0 1 年，h a n s o n ，p i n i 在i 型、i i 型目标函数、约束函数【4 9 5 ，向量i 型 不变凸函数、向量广义i 型不变凸函数概念 5 1 , s 2 l 的基础上，研究m o n d w e i r 背景 1 4 7 l 下的一些对偶定理1 5 3 1 在b e n s o n 真有效性意义下的拉格朗日对偶，见【1 】 1 3 多目标规划的计算方法 多目标规划问题，如果根据决策者提供的偏好信息构造一个实函数，使得求决 策者的满意解等价于求以该实函数为新目标函数的单目标规划问题的最优解，则原 多目标规划问题变为一个线性或非线性规划问题，可用已有算法求解多属性效用 理论是专门研究这样的实函数( 效用函数) 存在条件和如何构造的问题酬，但有两 个主要原因限制了它的实际应用：( 1 ) 决策者提供的偏好信息经常不足以确定效用 函数；( 2 ) 即使满足效用函数存在条件，去估计或构造一个实际问题的效用函数相 当困难从而。提出了用评价函数来整体或局部逼近效用函数线性加权法是求解 方法之一其构造评价函数u ( ，( z ) ) = 蚍五( z ) = u t ，( 。) ，权系数u 的具体方法 i = l 见【5 4 ，5 5 ( 兄) ：m 弛，( z ) ，变化u ，求解相应的( 兄) 可以得到相应的( v m p ) 的( 弱) 有效解集的一个子集极大极小点法，范数理想点法【5 5 】也是评价函数法 以下定理提供了构造评价函数的依据： 定理：设u ( ，( z ) ) 是定义在向量集，( ) 上的函数，如果u ( ，( z ) ) 是f ( x ) 的 严格单增( 或单增) 函数，则m 协u ( ，( z ) ) 问题的最优解矿必是( y m p ) 的有效解 ( 或弱有效解) 逐步宽容约束法( s t e m ：s t e pm e t h o d ) 是第一个用来处理多目标规划的交互式 算法 5 6 1 分析者用范数理想点法求解( v m p ) ，把得到的解及对应的目标值和理想目 标值提供给决策者参考，决策者对已满意的目标给出某目标值作出让步的宽容量， 以换取不满意目标值的改善，再把信息提供给分析者继续求解，如此反复，最后求 得决策者的满意解用s t e m 法处理线性多目标规划，见 5 7 i s h i m i z u 将s t e m 法扩展到处理一般的非线性多目标规划问题，更进一步的发展，参见【5 8 6 0 】由 于每一迭代至少将一个不满意的目标改善成满意的，故总迭代次数不超过p 在许 5 福建师范大学陈武星硕士学位论文 多实际问题中，决策者需要回答对已满意目标值愿意牺牲多少以换取其它不满意目 标值的改善，从这一角度出发，w i e r z b i c k i ，l e w a n d o w s k i ，g r a u e r 提出了满意权衡 法【6 1 | 由g e o f f r i o n ，d y e r ，f e i n b e r y 提出的权衡比替代法( g e o f f r i o n 法) ，通过求解 啦掣仳( ( ) ，f 2 ( x ) ，p ( z ) ) 的最优解得到( v m p ) 的满意解，需作假设t ( 1 ) x o 是紧致凸集，u ( ) 为) 乇上的凹函数，但其具体结构并不知道( 2 ) ( z ) 可微， t = 1 ，p 基本思想是将( v m p ) 看成一个凸规划问题，用f r a n k - w o l f e 算法进行 迭代，由于不知u ( ) 表达式，在迭代过程需与决策者进行多次对话，让其决定在当 前迭代点上的改善方向和移动步长但此法不能保证所求得的解一定是有效解或弱 有效解 作为求解多目标规划另一类有效的方法一目的规划法【6 2 】，此法应用广泛，但 最大缺陷在于：决策者很难提出切合实际而又理想的目的解决这一问题。目前常 见方法有( 1 ) 根据决策者的偏好信息和决策者对目的的要求选择多个点进行数值模 拟后，让决策者确定一个合适的目的和对应的解( 2 ) 交互式方法近年，遗传算 法( g e n e t i ca l o g r i t h m g a ) 不断发展，这种算法的基本结构比较简单，对搜索空间 不加任何限制，可以是不连续的，不要求可微性。不限于单峰等文【6 3 l 在单目标 遗传算法程序的基础上，拓宽为多目标遗传算法 上述方法一般只能求得一部分最优解，而不能求出整个最优解集而直接求整 个最优解集的算法目前比较少，求解多目标线性规划不再详述，参见【5 5 ，6 4 】_ 优序 法是一种可行域为有限集的多目标规划解法该方法是将可行域加以排序，使得多 数的有效解都排在前面，决策者可以选择那些排在前面的解来使用【5 5 1 当可行域是 无限集时，若能用其他方法来求出有限多个有效解，而决策者又不需要这么多解， 仍可用优序法合适等约束法( p e c 法) ，通过在) 岛上添加p - 1 个等式约束，逐步 去掉不可能成为有效解的解，最后留下有效解的全体r m b e n s o n ，w s m e i s e l 给 出一种求有效解的逼近算法1 6 5 1 1 4 变分不等式问题 数学规划问题与互补问题相关，互补问题又与变分不等式问题紧密相联，由 于变分不等式问题在经济、交通、空间价格平衡中不断出现，因而有许多研究成果 1 6 6 _ 7 1 ，随着许多广义凸函数的出现，有关非单调变分不等式问题也被相应探讨 广义互补问题： z c ，f ( z ) c + ，z t f ( x ) = 0 ，( g c p ) 6 第1 章绪论 其中c 是r “中凸锥，c = t r “旧t z o ) 是c 的对偶锥 s t a m p a c c h i a 提出变分不等式问题： z c ，s t ( y z ) 1 f ( x ) 0 ，v y c ，( y ，) c r “，e 通常假设为闭凸集，f ：c r n 每一( g c p ) 是( v i ) ，但( v i ) 定义在r “的一个子集上，( g c p ) 却仅定义在锥 上，因此，( v i ) 比( g c p ) 更具一般性( v i ) 可以理解为c = r n 时，f ( z ) = 0 等式系统的推广，而且，当f ( x ) = v f o ( z ) 时，( v i ) 则是( p ) 的最优必要条件， 且f 单调等价于，0 是凸函数对于( v i ) ，假设c 为凸集，f 是单调映射对单 调的( v i ) ，不管f 是否是梯度映射，都具备性质：( 1 ) 解集是凸集( 有可能空集) ； ( 2 ) 若存在解，且f 是严格单调，则解唯一；( 3 ) 若f 是强单调，则解存在且唯 一；( 4 ) 当f 单调，有许多算法收敛于一个解而对非单调的( v i ) ，是否同样具备 上述性质?k a r a m a d i a n 7 2 l 证明了伪单调( g c p ) 的存在性定理，指出f = v o 是伪单调当且仅当，0 是伪凸函数9 0 年代，k a r a m a r d i a n 和s c h a i b l e i t 3 , 7 4 l 相继 指出严伪凸、拟凸、严拟凸、半严拟凸、强凸、强伪凸函数分别与它们的梯度广义 单调性存在类似关系。这给出了各类广义凸函数的一阶刻画同时。分析了广义单 调映射一维投射的几何特性及仿射映射的充要条件，将广义二次凸函数的二阶刻画 推广到仿射映射非对称情形【7 5 | 之后，文讨论了双函数的广义单调性，通过不 同类广义导数的广义单调性来刻画相应的下半连续广义凸函数文f 7 1 给出了开凸 集上可微映射的伪单调性与拟单调性的一阶判断准则，进而探究不可微映射( 局部 利普希兹) 映射的广义单调性的判断标准1 7 引s s c h a i b l e 等人用近似雅可比矩阵代 替c l a r k e 广义雅可比矩阵得出广义连续不可微映射的广义单调判断准则 广义单调在变分不等式与平衡问题有广泛应用 7 9s o l ，文 8 1 , 8 2 l 研究了实拓扑 h a u s d o r f f 向量空间中非单调双函数平衡问题( e p ) 的对偶理论，建立了不同非单调 ( e p ) 的解的存在性与唯一性定理在h a n s o n 提出不变凸函数概念后，b m o n d 等 人将不变凸函数概念应用到连续函数，推广了一类变分问题的对偶结论1 8 引( v i ) 问 题也相应发展： 设r “，f ：k _ r “，叩：k k _ 舻，：k k _ r z k ，s t f ( z ) 1 叩( ，z ) ( x ) 一，( ) ，vy k ( p v i ) z k ，s t f ( z ) 1 叼( ，z ) o ，vy k ( p y ，) 设k r n ，f ：k r p “，叩：k k 一时，c 是r p 中凸锥 z k ，s t 一f ( z ) 叩( ，z ) 隹c ( o ) ，vy k ( v p v i ) 7 福建师范大学陈武星硕士学位论文 设 ：r n r ，i 是凸函数，a 0 ( z ) 指 在点z 的次梯度集，i = l ，p 戮k 讲, s t v 儡x e k ( 删, v 腓i e o 娟。f i ( x ) , 。p m ( 删) ( f f ( 。一) ，g ( z 一掣) ) 隹一r ； o ) 、7 y k ，s t vz k ，j 6 伊 ( 可) ，i = 1 ，p ， ，t t r a t ，r 、 ( ( z 一) ，g ( 。一f ) ) 隹一t n t 畔 、。 通过k k m 定理得到了( p v i ) 问题在7 ( 可，z ) 分别满足预强制( p r e - c o e r c i v e ) 、 正规( n o r m a l i t y ) 、正则( r e g u l a r i t y ) 条件下的解存在定理，而且无约束数学规划中 i 型函数与( p v i ) 等价类似地，广义不变凸函数与其梯度的广义不变单调性也有 对应关系，进而广义不变凸函数、广义不变单调与求解( p v i ) 。、( v p v i ) 存在 密切联系【8 5 1 ( m v i ) 的解集与不可微凸向量优化问题有效解集等价，( w s v i ) 的解 集与不可微凸向量优化问题的弱有效解集等价【8 6 1 1 9 9 7 年，v e r m a 8 7 l 研究在自反 巴拿赫空间，p 一单调和p 一利普希兹映射下一类非线性变分不等式的解存在性定 理1 9 9 9 年，c h e n 【8 8 l 介绍了一类半单调单值映射下变分不等式2 0 0 1 年，f a n g 和h u a n g s 9 l 考虑了广义单调单值映射和广义半单调单值映射下变分不等式问题解 的存在性2 0 0 3 年，在文的基础上，用k k m 定理获得了自反巴拿赫空间中松 弛”一，一a 一伪单调集值映射下似变分不等式( r e l a x e d 叩一，一o t p s e u d o m o n o t o n e s e t v a l u e dv a r i a t i o n a l l i k e ) 问题的解存在性定理，同时通过k t 不动点定理解决了 在巴拿赫空间里松弛叩一，一。一半伪单调( r e l a x e d7 7 一，一。一s e l n i p s e u d o m o n o t o n e ) 集值映射下似变分不等式问题l ”】 8 第2 章关于p r e i n v e x 函数和伪不变凸函数 第2 章关于p r e i n v e x 函数和伪不变凸函数 文作者已经在条件a 和c 下建立了可微p r e i n v e x 函数与该函数的梯度的不 变单调的对应关系，以及一些广义不变凸函数与该函数的梯度的广义不变单调的对 应关系，但对于强不变凸( s t r o n g l yi n v e x ) ，强伪不变凸( s t r o n g l yp s e u d o i n v e x ) 函数 分别与其梯度的强不变单调( s t r o n g l yi n v a r i a n tm o n o t o n e ) ，强伪不变单调( s t r o n g l y i n v a r i a n tp s e u d o m o n o t o n e ) 是否也有对应关系? 这是本章讨论的问题之一其次， p r e i n v e x 函数具备一些与凸函数相似的性质文1 9 2 】在研究凸函数不可微时引入了 次梯度，类似地，对满足局部l i p s c h i t z 条件的p r e i n v e x 函数引入广义次梯度，证 明了一些有趣的结论 设0 r 舯，0 x ”，q ：x x r “和f ：r r ”都是向量值函 数。f ：f r 是一个函数 2 1 广义不变凸函数与广义不变单调 为了引用方便，我们引述如下概念 定义2 1 对于0 r r ”，若存在7 7 ：xxx r n 使得对于任意 茁，y r ，a 【0 ，1 】，有y + 蛔( z ，y ) r ，则称集合r 是关于r j 的不变凸集( i n v e x s e t ) 定义2 2 设r 是关于叩的不变凸集，：r r 是一个函数，其中 7 7 ：x x x r n 是向量值函数若对于任意茁，y r ，a 【0 ，1 】，有， + 蛔( 。，) ) a f ( x ) + ( 1 一a ) ，( ) ，则称，关于q 是p r e i n v e x 函数 定义2 3 1 2 3 l 若对于任意z ，y r ，存在叩：x x 一时和b ( x ，y ) 0 使得 f ( x ) 0 ，使得忱，y f ，茁y ，有 叩( z ，! ，) t f ) + 叼b ，。) 丁f ( 。) 一p ( 0 町扛，可) 1 1 2 + | i7 7 ，x ) 1 1 2 ) ， 则称f 在r 上关于7 7 是强不变单调的( s t r o n g l yi n v a r i a n tm o n o t o n e ) ，简称s g i m 定义2 8 若存在口 0 ，使得比，y f ，z y ，有 f ( y ) 一，( z ) v f ( x ) r ，7 ( 可，z ) 十0 0 叼( ! ，茁) 0 2 则称，在r 上关于叩是强不变凸函数( s t r o n g l yi n v e xf u n c t i o n ) ，简称s g i 注释2 9 s g i m 辛s i m ( s t r i c t l yi n v a r i a n tm o n o t o n e 叫) ； s g i 号s i ( s t r i c t l yi n v e x 9 3 1 ) ，反之未必成立 例2 1 0 设f ( z ) = z ，z f = rlz o ) ，叩 ，y ) = e 2 一e 。由于f ) 满足v x ，y f ，。y ，有叩( z ，! ，) t f ( y ) + ，7 ( ”，z ) t f ( z ) 叩( z ，) 丁v f ( z ) ，从而，( 。) 是关于叩的s i 函数，但，( z ) 不满足存在与x , y 无关的o 0 ，使得，( z ) 一f ( u ) v f ( y ) r 7 ( x ，可) + q j j 7 ( 。，y ) 忆 因此，( z ) 关于叩不是s g i 函数 i 定义2 1 2 若存在卢 0 ，使得坛，y f ，。y ，有 叩( 可，z ) 丁f ( 。) 0 = = 叩( 可，z ) 丁f ( y ) p 0 叩( 可，z ) 0 2 ， 1 0 第2 章关于p r e i n v e x 函数和伪不变凸函数 则称f 在r 上关于叼是强伪不变单调的( s t r o n g l yi n v a r i a n tp s e u d o m o n o t o n e ) ，简 称s g i p m 定义2 1 3 若存在o 0 ，使得v 。，y r ，z y ，有 n ( y ，z ) 丁v f ( x ) 0 考f ( v ) f ( x ) + q 0 叩( f ，z ) 1 1 2 ， 则称，在r 上关于7 7 是强伪不变凸函数( s t r o n g l yp s e u d o i n v e xf u n c t i o n ) ，简称 s g p i 注释2 1 4 s g i mjs g i p m 辛s i p m ( s t r i c t l yi n v a r i a n tp s e u d o m o n o t o n e l s 4 1 ) ， s g i 辛s g p i ，反之未必成立 例2 1 5 设f