（概率论与数理统计专业论文）flemingviot过程的mckeanvlasov方程与小时间渐近行为.pdf

f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 方程与小时间渐近行为 摘要 f l e m i n g - v i o t 过程是来自于人口学的概率值马尔可夫过程作为一种 最基本的测度值过程之一，它被大量的文献所研究 本文在第二节用概率方法证明了一类概率测度值m c k e a n - v l a s o v 方程 解的存在唯一性，该类方程对f l e m i n g - v i o t 过程是有意义的而在第三节 证明了带选择的f l e m i n g - v i o t 过程的小时间渐近样本大偏差，此大偏差的 速度函数为f l e m i n g - v i o t 过程内在度量的能量泛函 关键词。f l e m i n g - v i o t 过程m c k e a n - v l a s o v 方程小时间渐近行为 能量泛函 兰! ：竺1 2 ! 坐! 苎堡盟坚! ! 竺竺= ! 竺! ：玄堡兰! ：盟旦塑鎏堑垄 a b s t r a c t f l e m i n g - v i o tp r o c e s s e sa r i s i n gf r o mp o p u l 8 _ t i o ng e n e t i c sa l ep r o b a b i l i t y - v a l u e d m a k o vp r o c e s s e s a sac l a s so ff u n d a m e n t a lm e a s u r e - v a l u e dp r o c e s s e s ，i th a sb e e a s t u d i e db ym a n yr e f e r e n c e s i ns e c t i o n2 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rac l a s so f m c k e a n - v l a s o ve q u a t i n s i nt h es p a c eo fp r o b a b i l i t i e so nac o m p a c ts p a c ei so b t a i n e db ya p r o b a b i l i s t i ca p - p r o a c h ；t h em e n t i o n e de q u a t i o n sa r eo fi n t e r e s t sf o rf l e m i n g - v i o tp r o c e s s e s hs e c t i o n3 ，s m a l lt i m ea s y m p t o t i c ss a m p l ep a t hl a r g ed e v i a t i o nf o rf l e m i n g - v i o tp r o c e s s e sw i t hs e l e c t i o n si so b t a i n e d ；a n dt h er a t ef u n c t i o ni st h ee n e r g yf u n c - t i o n a lo fp a t h sw i t hr e s p e c tt ot h ei n t r i n s i cm e t r i co ff l e m i n g - v i o tp r o c e s s e s - k e y w o r d s ：f l e m i n g - v i o tp r o c e s s m e k e a n - v l a s o ve q u a t i o n 鼬a nt i m e a s y m p t o t i c se n e r g yf u n c t i o n a l m 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：蕾1 零店2 吩午，月2 广日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 ： 乱1 琴彦 局象印 日期：渤许，月才日 w 事圹 第一章预备知识 1 1马尔可夫半群与无穷小生成算子 设e 为任一p o l i s h 空间，为其上的b o r e l 一代数，p 为其上的度量 设f = 像) t ，0 是e 上的马尔可夫过程( 简记为马氏过程) ，具有如下的转 移概率族： p 0 ，句卫，a ) = f ( 1 a ( 6 ) i 矗= 功，v s t ，卫e ，a g 若马氏过程是时齐的，则e ( s ，幺霸a ) 可写为p ( t s ，毛a ) 令尾( 司( 功) 为e 上所有有界可测( 连续) 函数的集合，赋予其一 致范数m l = s u pi f c x ) i 对时齐马氏过程，定义b b ( e ) 上的算子族 韪 。 o ： z e e s d ( z ) = p ( t ，z ，d y ) f ( g ) = e ( ，( 劬i 如= z ) 则 & ) i o 是岛( 司上的压缩正算子半群令 岛( 目一 ，岛怛) ；l i s , l 一州一0 ( t o ) 则称岛( 日为 s d 伽的强连续中心 命题1 1 1 时齐马氏过程f 对应的算子半群儡) t o 具有如下的性质 ( 1 ) b o ( e ) 是鼠( e ) 的闭子空间； 一l 一 硕士学位论文 ( 2 ) v t 0 ，& ( 岛( e ) ) c 风( e ) ； ( 3 ) v ，b o ( e ) ，s d 关于t 是b o ( e ) 一值的连续映射； ( 4 ) ( & k o 是b o ( e ) 上的强连续收缩正算子半群 当l n o i r a 学按范数i i l l 存在时，记4 ，= l f l o i m 学， 。( 肌= ，风( 趴船必t 存在) f l o i 则称d ( 4 ) 为4 的定义域，d ) ) 为f & k o 的无穷小生成算子。显然 d ( a ) s o ( e ) 命题1 1 2 ( 1 ) d ( 棚在b o ( e ) 中稠，且v f d ( a ) ，州s o ( e ) ； ( 2 ) & d ( ) c d ( a ) ； ( 3 ) 对v ，d 似) ，& ，对t 可微，且 警= s t a y = 4 s d ， 命题1 1 3 设c b ( e ) c s o ( 研，则c ；( 印n d 似) 在g ( e ) 中稠 s f o 的预解算子族 取 由下式给出： ，十o 。 r 、l = l e 一s t | d i 。v b o ( e ) ，x 0 j 0 2 命题1 1 4 风有以下性质； ( 1 ) i i r i l ，a o ； ( 2 ) v ，b o ( e ) ，r ，d ) ，且 d ，一棚风f = ， t 3 0 ( e ) = ( a 一4 ) d ) ( 3 ) 若，d ( 4 ) ，则如( a f 一内，= ，a b o ( e ) = d ( 挪 1 2弱收敛拓扑 回忆e 为一p o l i s h 空间，p 为其上的度量，c b ( e ) 为其上的有界连续 函数全体 定义1 2 1 设p ，肛l ，比，为e 上有限测度若对一切，c b ( e ) ， 淞l e d = l e l 咄，、| c 文翰 则称 p 。) n l 弱收敛于p ，记h 二p 显然弱收敛的极限唯一注意q ( e ) 只与e 的拓扑有关，因此测度的弱收敛拓扑并不依赖度量的选取 引理1 2 2 设以m ，_ “2 ，为e 上有限测度令 跗) = 髂，刚) = 描，m - 3 硬士学位论文 则下列二断言等价 ( 1 ) 二p ； ( 2 ) r 二只鳓( e ) 一u ( e ) 定义1 2 3 设p 为e 上一测度，j 4 若肛( 舰) = 0 ( o a 为朋g 边界) ， 则称4 为弘连续集 命题1 2 4 以珥( e ) 表示( e ，p ) 上一致连续有界函数全体，显然( e ) c 西( e ) ，令“u 。，蚀，为e 上的有限测度，则下列结论等价 ( 1 ) 二p ； ( 2 ) v ，e u a e ) ，熙f i d a , , = r ，如； ( 3 ) v 闭集el i r a s u p # 。( f ) sp ( f ) 且h i n 脚( e ) = 肛( e ) ； n_仃-+ ( 4 ) v 开集o ，1 钽群( o ) p ( d ) 且熙p n ( e ) = 肛( e ) ； ( 5 ) 对任何p 连续集a ，：魄p n ( a ) 。p ( a ) 设h 为( e ，力到距离空问( f ，彤，) 中的映射以d ( h ) 表示h 的 不连续点全体，则d ( h ) 定义1 2 5 设p 为e 上的概率测度，h 为( e ，p ) 到( ，) 的 映射若p ( d ( 九) ) ；0 ，则称h 为p 连续的 命题1 2 6 设只尸l ，恳，为e 上的概率测度，h 为e 到的b o r e l 可测映射若r 二p 且h 为p 连续的，则r h 一1 二p 这里p _ l 。为 一4 一 f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 方程与小时简渐近行为 p 在h 下的像测度 命题1 2 7 设p b ，岛，为e 上的概率测度若r 与p ，则对一切 尸连续的有界b o r e l 可测函数，舰f d p , , = f a l p 1 3 大偏差 设 肚 。2 0 为e 上的一族概率称 雎) ， 0 满足速度函数为 i ：e 一【o 酬 的大偏差原则( l d p ) ，若 ( 1 ) v e 中闭集f ， 唑p e l o g ( f ) 一磐j 扛) ，f + u ( 2 ) v e 中开集0 ， y u 。n i o n f f l o g ，k ( o ) 一窆5 ，( 茁) ( 3 ) v a f o ，o o ) ，缸：，扛) a ) 为e 中的紧集 命题1 3 1 ( 收缩原理) 设e ，是两个p o l i s h 空间，h 为( e ，s ，力到 ( ，7 ，) 的连续映射其中= bc fh - 1 ( 研毋令 ：= 他0 h 一1 若饥) 哪在e 上满足速度函数为j 的大偏差原则( l d p ) ，则 k 0 在 5 硬士学位论文 上满足速度函数为 ，“( 口) = i n f ，p ) z e ：h ( x ) = p ) ，v y 的大偏差原则( l d p ) 命题1 3 2 ( l a p l a c e 原理) 设 ) 创在e 上满足速度函数为j 的大偏 差原则( l d p ) ，：e 一卜0 0 ，+ o o ) 为连续可测函数若 成立，则 热t 鼍尹s l o g ： m e y e 讥= m l 。i 加r a e l o g e e f 。妣= s u p ( f ( z ) 一，。) l xee ) 命题1 3 3 ( g i b b s 原理) 设 比 创在e 上满足速度函数为，的大偏差 原则( l d p ) ，：e 一【一0 0 ，+ o 。) 为连续函数，且s u p e ( ，一f ) 一o 。，若 成立，则 撬，t 翟”e l o g z m e h e d p e = - o o ( a ) ：= 厩f a e f d z e 6 一 在e 上满足速率函数为 的大偏差原则( l d p ) i ( x ) = i ( x ) 一f ( x ) + p ( f ) l 4f l e m i n g - v i o t 过程 为引进f l e m i n g - v i o t 过程，以m ( 司表e 上的概率测度全体并赋予 m , c e ) 弱收敛拓扑；以 “，) = p ( ，) = 上，舡( 若积分存在) 表e 上的函数，关于测度p 的积分作为人口基因理论的一种模型， f l e m i n g - v i o t 过程由f l e m i n g ( 美国科学院院士、1 9 8 2 年国际数学家大会1 小时报告者) 与v i o t 于1 9 7 9 年引入( 【2 2 】) 此后，它被大量的文献广泛 地、深刻地研究按d 州i d n ( 美国科学院院士、国际数学家大会1 小时报 告者) 1 9 8 9 年c 2 0 】的分类：f l e m i n g - v i o t 过程是3 种基本的超过程之一 ( 另2 种为d a w s o n - w a t a n a b e 型、o u 型超过程) 众知，f l e m i n g - v i o t 过 程与d a w s o n - w a t a n a b e 超过程有着深刻的联系( 见f 2 1 】1 2 3 l 、f 2 4 】) 从 理论上发掘f l e m i n g - v i o t 过程的有趣性质是一项有意义的研究课题 回忆具有m u t a t i o n 算子4 的f l e m i n g - v i o t 过程x = ( 托) f 0 是一m ( 研一 值马氏过程，其无穷小生成算子由下式决定： 硬士学位论文 其中 l f ( = ；上上p ( 出) ( 如( 衄) 一p ( 句) ) i i ；篆b + 上 锱以蚴，( 巩 口 口= fip ( = 妒( ( 矿，) ) ，妒c 譬( r 1 ) ，d ( a c ) ，k 2 1 ； v e 上有限测度肛) ， 锱= 掣l 。，上有限测度“v x e e , 。； 喏( r 1 ) 是r l 上的具有一阶和二阶有界连续导数的有界连续函数族；对任 意的k 1 ，4 ( 】是k 个独立的4 过程所决定的过程之无穷小生成算子 注意当4 过程为f e l l e r 过程时，相应的f l e m i n g - v i o t 过程为扩散过程 ( 即连续强马氏过程) 参看【3 】 8 第二章f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 方程 2 1引言与主要结果 许多著作( 如：【1 】f 2 】， 4 】，【1o 】，【12 】) 细致地研究了大量的( 决定的或非 决定的) m c k e a n - v l a s o v 方程本文研究与著名的概率值f l e m i n g - v i o t 过程 有深刻联系的m c k e a n - v l a s o v 方程 令e 为紧的p o l i s h 空间，b b ( e ) ( 瓯( e ) ) 为e 上有界可测( 连续) 函数全 体，赋予b b ( e ) 一致范数i s u pl ，0 ) l ，记m ( e ) ( m i ( e ) ) 为e 上所有有限 x e e 符号测度( 概率测度) ，赋予m l ( e ) 弱收敛拓扑若厶，( z ) p ( 如) 存在，贝i j 记 似，) = 础) = 上删p ( 如) 为函数，关于符号测度p 在e 上的积分给定p 尬( 功，令吼为从 【o ，l 】到尬( 司的所有连续轨道，赋予其紧一开拓扑 设m k o 是一c a d h ge 一值f e l l e r 过程的半群，即强，t o 为c b ( e ) 上 的半群且满足 ，q ( e ) ，o 1 m i r a0 s r ，一f l l = o ；v f 仍( e ) 令a 为半群( & t o 在v b ( e ) 上的强生成算子，则其定义域d ) cc 6 ( e ) 对测度p 帆( 目，通过 一9 一 硕士学位论文 来定义符号测度a + p ， ( a “f ) = 缸，4 ，) ，v f d ( 一4 ) 本文研究吼上如下的m c k e a n - v l a s o v 方程： 也( 如) = 成( z 地( 如) 一似，破) “j t ( d z ) + 4 咄( 如) ，t 【o ，1 ，蛳= 肛( 2 1 ) 其中也( z ) 在【0 ，1 】e 上可测；对关于时间t 绝对连续的轨道u 吼，符 号测度血是虮关于t 的导数注意( 2 1 ) 等价于对任意的f s b ( e ) ， 姚，) = 缸，s t f ) + z ( ，以& 一。，) 一似，& 一。，) 似，也) 1 d s ，f ( o ，1 ( 2 2 ) 对于无界的母，( 2 2 ) 可能无解或者无唯一解因此只考虑有界情形， 此时( 2 2 ) 有唯一解，见如下的定理 定理2 1 对【o ，1 1xe 上任意的有界可测函数妒，( 2 2 ) 在q ，中有唯 一解 下面描述定理2 1 的意义 令 0 为所有满足以下条件的u 吼：对【o ，1 j e 上某可测函数妒( 未 必有界) ，u 是( 2 2 ) 的解，且 z 1c 魄，一他，也，| 2 ) 出= z 1 ( 眦，p 掣1 2 ) 出 0 为常数，且 口= f l f 似) = 妒( 亿，) ) ，妒c 2 ( r 1 ) ，d ( 4 耐) ，pe m ( e ) ；七1 ) 锱= 竽拦0 圳吼比皑v f 诺( 讲) 是讲上具有一阶和二阶有界连续导数的有界连续函数全体；一4 。 是k 个独立的a 过程所决定的过程的生成算子，其定义域d ( 且( 的) 在 ( g ( e 。) ，i i ) 中稠密令只为x ( x o = 在瓯上的分布 取e = 【0 ，1 1 ，固定0 0 及1 - o ( 【0 ，1 】) ，对如下的m u t a t i o n 算子 ( z ) = ：z ，u ( ，( ) 一，( 圳蛐( 匆) ，v ，g ( f 0 1 】) ， 一1 1 硕士学位论文 【5 ，6 ，8 】证明当e l0 时，关于 艺) 咖的大偏差定理( l d p ) 成立，且相 应的速度函数为口因此定理2 1 对速度函数口是有意义的 另一方面，当a ；0 时，记砖= 琊和瞄= 理对紧空间e ，【1 3 】引入 一不依赖于( a d ( 4 ) ) 的m ( e ) 的子集只且证明了当l0 时，对任意的 卢p 和c b ( e ) 上的f e l l e r 半群 & t o ， p 三【( 墨t ) 0 2 d s ，t 【o ，1 】 ，0 众所周知 纡( ) 可以扩展成一个舻一鞅测度m c 如) ，使 一1 2 f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 方程与小时间渐近行为 豫肛 j 互f t ( x ) m ( d t d v ) 其中j ：；l ，t ( 功m ( d 如) 是，关于p 鞅测度m 的积分；另外对l o ，”e 上满足 巧) 吨艄如 0 ，；l 为任意常数， = 卧哪l 墨m h 删叫 1 4 f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a v 方程与小时同渐近行为 = 丽1 ，地施) = 掣+ 掣掣+ 2 ( 磊n a ) | | i 川 往证对充分小的e 0 ，关于n 一致地成立 e 。十p 掣k ，。】2 c n e x p 其中g = s u p 8 e x p 一警( 0 ，o o ) 此结果可推出 z e i l ，) 唑严e 蚝鬈一叠矧n 甲e 崦 薹p 碍k 。，) 唑尹e 1 0 9 2 q 耋唧【_ 勇卜j i m 山s u p e1 f 2 ，g 一唧e x p l - - 习爱 ) - a 2 由。是任意的，知 磁) 刚是指数胎紧的 事实上 巧， 。曼芝，f ( 吣，厶) 一( 岫，厶) | k t m ， t s ! b 仇 耐一1t s k f f i o k a m s 等， 注意对固定的s ，在如q 。is u p ( 似，厶) 一“，厶) ) k ，。2 上， o ! 冀一，量0 4 协 - 1 5 硕士学位论文 s u p i 蟛4 ( 厶) 一孵) i = 0 曼一j 2 4 ml o 现设o f 1 ，则对任意的a 0 ， o 6 h ，仇2 。0 t - - a 气。 。少s u 。! p ( z , + ，( ( 氓) ) 。刃_ a 厶) 2 唧 a 【! 等一2 n ，i 似刖一4 n ，1 1 1 咖1 1 1 1 1 1 1 - ( c a 。恨怖a 2 ) ) k 。2 o s t j s 唧卜坚掣器产) 茸4 o 。蠼2 。( ( 妣，n ) 一，厶) ) 一6 n m 2 ) 唧 - 坚掣练铲必) 于是对充分小的e ( o ，1 】，关于n 一致地有， 巧一 u g k ， 薹未哪 一坚掣端产) 塞未唧卜孚， 。三( 8 m 4 ) 唧 一罢，e x p 一- ”5 了c q 薹卅瓦 d , m a ，= 鬻 2 c o e x p 一 引理2 2 给定咖岛( 1 0 ，1 】e ) 则( 2 2 ) 在q 。上至多有一个解 1 7 口 硕士学位论文 由 证明若击= ( 现) * i o ，- 1 和u = ) 卸川是( 2 2 ) 在q 。上的两个解，则 现峨，) = z 。【( 玩，机一。，) 一( 矾，九) ( 玩，一，) 】如 一纛、和s ，争s s t 一。n 一铀s ；孛。如| ，s - ，跳d s i f ( 玩，九& 一。f ) 一五，也) ( 玩，s 一，) 】一f 地，也& 一f ) 一地，幽) 如，s 一，) 】i j ( 矾一u 。，以& 一。，) l + j ( 玩一，九) ( ，一，) | + l 面，钆) ( 瓦一屿，& 一，) s30 五一u 。l | l l 砂l l ，l l ， 其中对两个测度蚱 ，一酬表示”一”的全变差范数，知 ，t i i 面。一“0s31 1 妒1 1 l i 瓦一u 。0 d s ，v t 【0 ，1 1 o 由g r o n w a l 不等式，得f 协一峨* 三o ，即毒= ， 口 引理2 3 设c 6 ( 1 0 ，l 】功则当l0 时，0 ，弱收敛于匕，= 其中也为在蛳吼处的d i r a c 测度，蛳是( 2 2 ) 的唯一解 证明回忆当el0 时， ，。) 一在吼上是指数胎紧的，因此 名4 。，o 是胎紧的若只，。是 磁) 。，o 的任一极限点；不妨设当女一o 。时， 路。 在q ，上弱收敛到，t 记住上的自然矿代数流是用浸) o ( t l 来表示 的则对任意的0 ss t s l ，任意的吼上的有界连续，可测函数h ，任 意的，d 似) ， 1 8 - f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 宣堕! ! 堕塑塑堑堡塑 驯删。( ) h i = 规【( 删= 规v 2 , t m , * “i f ) h i = 墨黑，巧知 旁“( 厂) 】2 尝鼍，j 荪【 2 0 ( ，) 脚 = 气【j l 窖9 ( ，) 啊 其中我们用到了这样的事实：在p 盘下， p “( ，) 是一个鞅于是m 卵( ，) 是b ，t - 轶 注意【 妒，“( ，) j 2 一( p “( ，) ) 是巧知一鞅； l m ? “( 埘t l # l l ，“2 0 辑一o 。) 经相同的计算，可得【 ，o ( 州2 是昂，t 一鞅因此对任意的，d ( a ) 即对f d ( 4 ) ， o ( ，) 兰0 ，v t 【o ，1 1 ；尸如一口e h , v 吼 ( 此，) = 扯，) + z 。( ，_ 1 ) d s + z ( 似，以，) 一“，以) “1 如，v t 【o ，l 】，气十一n e u 瓯 等价地，对f d ( 4 ) 一1 9 硕士学位论文 ，l 她，) = 岛，) + 【( ，( 最一。，) 九) 一似，s 一。，) 她，蚴 【o ，】 u o v t 1d 昂一一o e u 吼 由( d ( 4 ) ，i ) 是可分的，知 ( 咄，) = ( ，& ，) + f ( ，( & 一。，) 也) 一蚺，& 一。，) ( ，妒圳如 w o , 1 1 ，w d ) ，弓，一o 巳u 吼 注意d ( a ) 分离m ( e ) 中的点，得 t t ( 她，) = 缸，s ，) + 【( ，( 岛一，) 机) 一( 山，s t 一。，) ( ，九) 】d 8 j 0 v t f o ，1 】，y ，b d e ) ，只，十一a e ，u 吼 此表明( 2 2 ) 至少有一个解再由引理2 , 2 即得引理2 3 口 定理2 1 的证明第一步令瓯为从时间区间【o l 】到m ( e ) 且从p 尬( 露) 出发的所有连续轨道，其中肘( 目被赋予全变差范数则( 2 2 ) 在 矾上有唯一解 利用p i c a r d 迭代法取 一2 0 i ( o ) 税，u ( 0 = p ，v t 【o ，1 】； 对每个k 0 ，定义u ( + 1 ) 屯： ，f ( 矗”，) = ( “& ，) + ( o ) ，( & 一。) 6 ) 一和，& 一。，) 以耐，也) 】幽 j 0 v t 【o ，1 】，v ，b b ( e ) 记c = l ，则对任意的f 玩( e ) 和任意的七1 ， i ( 0 一，川 e u pj | 沙+ 1 ) 一 = 协( 鹕( 小卜，) ( 识删如 ，i 一【( 毋4 ) ，( s t 一，) 以) 一( 钟一1 ) ，岛一，) ( 毋- 1 ) ，机) ) 出 j 0 i z ( u 一u “) ，( 最一。，) 以) d s | + l z 2 一滞叫忍，如) 幽l + 眙一毋叫毋- 1 ) 矗d s c 3 6 o u ) 一u 驴一1 od 8l i ，弘 ，0 ，z 3 c s u p i i 毋) 一一1 o 出，f f 0 ，l 】_ jnf a 于是由标准的p i e m x l 迭代法即得第一步的断言 第二步第一步中的唯一解u 在n 。中 事实上，取 1 器。cc b ( o ，l 】e ) ，使其有界逐点极限是九即 2 l 一 硕士学位论文 d ，= ( s u p j j 毋( ”0 ) v ( 1 1 砂1 1 ) 0 是一个 脑( e ) 值的扩散过程，其生成算子为 - 2 5 硬士学位论文 驴f ( = ；上z p ( 如) ( 以( a 计一p ( 句) ) i 蒹j 等b + 叮上a 笨辫p ( ，m ( 觇v f e l ) 其中盯 0 ，e 0 为常数， 口= flf 缸) = l ，口( ( 旷，) ) ，妒c ( r 1 ) ，f d ( 4 忙) ，p m ( e ) ；七21 ) 锱= 华拶，比洲既坛咽v f e ) ； ) 是由k 个独立的a 过程所决定的过程之生成算子，其定义域d ( 且( ) 在鼢( 驴) ，”0 ) 中稠密注意p - 扩散是唯一的( 参见( 3 】) 记n ，为从区 间0 ，1 】到舰( e ) 起始于p 的所有连续轨道，赋予n ，紧一开拓扑以f 表示x ( x o = 弘) 在吼上的分布 令矿b b ( e e ) 是对称的，则带选择的f l e m i n g - v i o t 过程由如下的生 成算子决定： h p ) = 脚) + 盯厶锱m 训) 一m 川m 蚴州咖( 跏) v 缸 以( e ) ，v f 口； 其中v 叫作选择函数令瞄是始于肛m ( e ) 的工歹扩散在吼上的分 布则在吼上( 参见【3 1 ) ， 2 6 f l e m i n g - v i o t 过程的m c k e a n - v l a s o v 方程与小时间渐近行为 鬻( u ) = 毗1 嘲埘， g 譬) = 。z 1 厶y ( 9 ，：) ( d z ) m ”( d s 曲) 一 譬z 1 厶( ，y ( ”) ) ( ，y ( ”) ) “( 出) 慨( 匆) 一曲( 匆) ) 这里m ”( d s d z ) 是l ”一扩散所决定的胪一鞅测度 令以为所有的关于时间t 绝对连续的满足如下条件的“，吼：对几 乎所有的时间t ( 关于l e b e a g u e 测度) ，其导数d , t 关于w t 绝对连续，且 1 ( 咄槲) 狄o 。 注意对几乎所有的t ， 定义 ( 蛐，差) 娟m = 。 抛，= q - o 即o , 般：三瓶 回忆( u ) 是u 关于f l e m i n g - v i o t 过程的内在度量的能量泛函( 参见【1 3 】) 本文研究当e10 时， 鬈歹 c 0 甚至 罗 跏的大偏差原则( l d p ) 其中当e l0 时，以10 注意这里的l d p 对应于过程的小时间渐近行为 f 1 3 】研究了 f 一 f o 的l d p 2 7 硬士学位论文 令- p 为满足如下条件的v 帆( e ) 全体：存在e 上某具有全支撑的 测度m ，及一列正的满足下述条件的e e 上的b o r e l 函数 k ( ，) ) 器1 ； 上k ( z ，口) m ( 出) = 1 ，熙上k ( z ，g ) ，( z ) m ( d 功= ，( n e ，v ，q ( e ) 使得v 关于m 具有正的密度函数 ，且 ：骢z 。 厶e ( 岛，) 一( 咖) 一丘( 寥) l m ( 如) = 。 设m 为e 上具有全支撑的测度，及 k o 为e 上胁对称的f e n e r 过程之 半群；且该半群具有对称的b o r e l 可测热核n ( ，) ：e x e 一( o ，o o ) ，v 0 ，即 k ，( z ) = p t ( x ，y ) f ( y ) m ( d y ) ，v f c b ( v ) ，、恤e j e 以h t 表满足如下条件的可测函数f c l ( e ，m ) 的全体： 记 则 船z 。el 厶e 仇( 础) 触) m ( 由) 一雕) 卜( 纠= 。，m ( ，) = 1 r = f ( x ) m ( d x ) l f h i ，= ，( 功m ( 如) 10 0 为光滑的布朗热核于是有 伤c rc p c 矾( e ) 若e 是紧分形度量空间，则e 具有有限的h a u s d o r f f 测度m 令p t ( x ，秒) = p t ( y ，z ) 0 ，t 0 ，z ，y e ，是e 上胁对称的分形扩散的* 对称热核则 以( ，) 在e e 上是连续的，且有 殇c a c p c 胍( e ) 现在描述我们的结果如下， 定理3 1 。对任意的p 尹， 尸9 跏满足具有好的速度函数的 l d p ，其中当ej0 时，以j0 即对任意的闭子集c c 吼， 鼍挚p f l o g 只矽( c ) 9 触i r d 丘( u ) c l o 。 “ 对任意的开子集0 c q 。， 啤。i n f e l o g c 矿( o ) 2 一籀p )c l o 一。w o 对v a 【0 ，o o ) ，p l 厶p ) n 为q ，中的紧集 2 9 顼士学位论文 3 2 定理的证明 定理3 1 的证明由f 1 3 】定理1 1 ，是一个好的速度函数，即对讹 【o ，o o ) ，扣l 丘) n ) 为q ，中的紧集；且对任意的巧q ， 船嗡1 0 9 节1 4 ( 。，_ ) 0 ，g 0 ，；1 + ；= 1 ，由h 6 1 d e r 不等式和鞅性，知 上，e x p f l p 1 啪d 带) i 节p ( 功司) ； = 上，e x p c ，c - ，+ 段，a 蹬) ； 譬u ，面，司) ； 唧p 柙酽嫩唧刚m 卜 尸譬一【d ( u ，巧) s 川 ； ：e x p f ；。一p 一1 ) 砖妙o 。 带一粒p ，功棚 ；， 具甲 m “) = e 。以p f 厶y ( 9 ，z ) 屿( d z ) m “( d s d y ) 一 ；e - 1 蠢矿z 厶( 屿，y ( z ，) ) 似，y ( 玑) ) 地( 缸) ( 瓦( d ) 一u 。( 妇) ) ， j ，= 互ie 。白( p 一1 ) z 1 厶屿，y ( 毛) ) ( 坼，y ( 玑) ) ( 缸) ( 以( 妇) 一( 句) ) ； 且( c 一( ) ) 蛙t ( 1 为户 ”一鞅于是对任意的苟，由( 3 1 ) ， 令晕i l ，得 1 6 i r a i 。l i m d o s u p 搿m ，口) 司 s n 守 ；硭( p 一，) 1 1 矿i t 2 卜；厶( ) 一扣 船n 絮p i o g 搿【4 p ，劢司墨一知( 孑) 第二步对上面所取的p ，玑易知 其中 只肛，- ) 司= f ，。e x p 唏( u ) 噼“ j h 和# 升 毋 “，唧 - c z p - z q 4 m 譬一) 5 ( ，瞄( 功 刃) 9 ( 由h s l d e r 不等式) ：= ( 厶醐删埔。掣) ： 唧 一- 1 1 扩1 e + ，硼呼 ( 上，嘞t t 。姐黟) 。 = 唧 一 1 扩z q + 1 ) 硎2 ) ( 牙唧，功 田) 9 ， - 3 l 一 硕士学位论文 正。以) = - e - l c r p - l qf o 厶矿( 玑z 沁。( 如) 肘“( 幽西) 一 ；e - 1 。- l q ) 2z 厶( ，矿( 。，) ) ( 峨，矿( ”) ) “( 如) ( 如( 旬) 一u 。( 西) ) v o t 1 ； 如。= 4 v - 1 q 旷q + 1 ) z 1 厶( ，y ( 置) ) ( 屿，y ( ，) ) ( 如) ( 瓦( d p ) 一屿( d p ) ) ； 且( 厶。( ) ) 嗖s l 是一个嘭c ，t 鞅因此由( 3 1 ) 令p i l ，得 船n i n fc l o g 彬f d ( u ，- ) 司 一紫 j i 咖2 - l q + 1 ) 1 1 2 ) + p l i r a l i m i n f f l o g 节 d ( u ，_ ) 川 a j dj 0 一 、。 2 p l i m l i m i n f l o g p f f 【d ，功 研 2 - v i ( v ) g 器1 嗡。i n fe k g 只拶【d ( “，功 0 ，q 0 ，；1 + i 1 = 1 成立从而 l i m 咖s u pe 1 0 9 搿【配】；1h m t j o s u pe l o g 带【列 一；1 。i 。n 。f 。l ，( w ) 一口g 这可以推出 f 彤 洲在上是指数胎紧的 第四步注意( 3 2 ) 和 磁矿) c ，o 在上是指数胎紧的由p u k h a l a k i i 定 理，我们立即得到定理3 1 口 一3 3 墅竖丝! 望堡盟坚业业主堡皇尘堕塑翌鎏堑垄 参考文献 【1 】c h a n ，t d y n a m i c so ft h em c k e a n - v l a s o ve q u a t i o n j a n n p r o b a b ，1 9 0 4 ， 2 2 ( 1 ) a 3 1 4 4 1 【2 】d a ip r a ，p ，d e nh o l l a n d e r ，f m c k e a u - v l a s wl i m i tf o ri n t e r a c t i n gr a n d o m p r o c e s a i nr g n d o mm e d j a ( j 1 s t a t p h y s ，1 9 9 6 ，8 4 ( 3 - 4 ) 7 3 5 - 7 7 2 【3 1d a w s