毕业设计（论文）-定积分的应用.doc

陕西理工学院毕业论文题 目 定积分的应用 学生姓名 学号 所在学院 数学与计算机科学学院 专业班级 数应1102班 指导教师 _ _ _完成地点 陕西理工学院 2015年5月25日定积分的应用(陕西理工学院数学与计算科学学院数学与应用数学专业2011级02班,陕西 汉中 723000)指导教师:摘要定积分是积分学中的两大基本问题之一，也是数学理论研究的一个不可忽略的重要领域。本文主要通过介绍定积分在数学中的数值计算、物理学和工程学中的模型建立及相关运算处理，经济学现象的解释和理论证明等领域的应用，通过定积分帮助解决这些学科中所遇到的实际问题，并进行总结和推广。关键词定积分；牛顿-莱布尼茨公式；物理学；边际成本；模型；计算方法The Application Of Definite IntegralZhouYangyang（Grade 2011,Class 02,Major Mathematic and Applied Mathematic，Shaanxi University of Technology，HanZhong 723000，Shaanxi）Tutor: ChengXiaojingAbstract：Definite integral is one of the two basic problems of the integral calculus, it is also an important area that cannot be ignored in the research of mathematical theory. In this paper, by introducing the application of definite integral in numerical calculation of mathematics, the application of the model establishment in physics and engineering, the application of the explanation to economics theories and proof etc in the field of application. Using the definite integral to solve the practical problems encountered in these disciplines, and summarized the promotions. Key words：Definite integral; NewtonLeibniz formula; Physics; Marginal cost; Model; Calculate method引言定积分和不定积分统称为积分学的两大基本问题，是积分学研究的核心内容，它产生于实际生活的应用中，因此，定积分的应用的研究可以将抽象事物转变为具体的问题，从而通过数学的方法来解决。从17世纪创立以来，国外数学家一直是定积分研究领域的先驱和领导者，在此其中数学家欧拉对于微积分的贡献可以说是巨大的，他的三部著作无穷小分析引论、微分学、积分学对微积分的发展起了十分重要的推动作用。之后，洛毕达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、傅立叶等数学家也对微积分的发展和壮大作出了较大的贡献，通过这些先驱们的努力,微分方程、级数论得以最终产生，微积分也逐渐成为数学研究的一个重要分支，因此利用定积分在实际生活和理论研究之间的桥梁作用对于推动数学、物理学、工程学、经济学等自然科学的发展具有重要的现实意义。对于本课题的研究，我从比较宽泛的领域中使用举列说明的方法，从取材方面来看主要使用因果分析法、文献研究法（即主要在网上和图书馆查阅资料）和定量分析法。本文我主要参考数学分析上下册和高等代数上下册这两本教材，通过探索利用定积分微元法来解决一些几何问题，例如不规则图形的面积等，利用数形结合的思想贯穿其中。在论证定积分在经济学领域的应用时，我主要建立相应的经济模型，同时用对应的经济理论来加以解释和支撑，希望以这种方式来深刻理解和领会定积分的广泛应用。1.定积分的概述及其应用的理论基础1.1定积分的定义定义1 设闭区间上有个点，依次为1 ,它们把分成个小区间，.这些分点或这些闭子区间构成了对的一个分割，记为 或.小区间的长度为，并记 称为分割的模。定义2 设是定义在上的一个函数，对于的一个分割=，任取点，并记和式称此和式为函数在上的一个积分和，也称黎曼和。定义3 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一个正数，使得对的任何分割T,以及在其任意选取的点集，只要，就有,则称函数在区间上可积或黎曼可积；实数称为在区间上的定积分或黎曼积分，记作 其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限。1.2定积分广泛应用的理论基础定积分从诞生之时到如今，通过不断发展、补充，成为当代高等数学中必不可少的一个知识板块，并延伸到其他学科领域，这里一定是有它的理论基础作为支撑。定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题。此时我们就可以先抛开实际问题的具体意义和片面性，从而抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的角度加以研究，这就是定积分能够广泛应用的理论基础，下面通过对一个不规则曲面图形面积的求解来对这种“分割-近似-求和-取极限”的思想加以说明：(1)分割将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间内任意插入个分点：，把区间分成个小区间：，第个小区间的长度为，过每个分点作垂直于轴的直线段，它们把曲边梯形分成个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为. o xy图1.1(2)近似用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间上任取一点，作以为底，为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则 (3)求和求个小矩形面积之和个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和，即(4)取极限令，当分点无限增多且时，和式的极限便是曲边梯形的面积，即 2定积分在数学中的应用2.1利用定积分进行近似计算利用牛顿莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅仅适用于被积函数的原函数用初等函数能够表达出来的情况，如果原函数不能用初等函数能够表达出来，我们就要考虑近似计算的方法，在定积分的很多应用问题中，被积函数连具体的解析表达式都没有，有时可能只是一组离散的样本数据，这时我们就只能采用近似方法去计算它们的定积分值了。假设在分割的每个小区间上，能够采用多项式（可以是一次也可以是二次的）来近似替代被积函数时，那么我们就可以近似的计算相应的定积分了，如下介绍具体的方法：矩形法和梯形法2.1.1矩形法根据定积分的定义可知，每一个积分和我们都可以看作是定积分的一个近似值，即有显然，在几何意义上，这表示用一系列小矩形面积近似组成的小曲边梯形的面积大小，只有当积分区间被分割到极细的程度时，矩形法才能达到一定的精确度。不同的取法，计算结果一定也不同，这里我们以为例（我们取），对于等分区间，在区间上我们选取左端点，即取，于是有 而理论值，此时计算的相对误差2.1.2梯形法对于等分区间 ，得到相应函数值为（）对应在曲线上的点为（）我们将用过点，的弦来替代曲线的每一段弧，显然，这样就使得每个上的曲边梯形真正的成为了一个梯形，它们的面积为，此时各个小梯形面积之和等价于整个曲边梯形面积的近似值，即有，我们称该式为梯形公式。和上面一样，我们仍用的近似计算举例，同样取， 显然有理论值，此时计算的相对误差2.2利用定积分求平面图形的面积对于比如矩形、圆等相对规则的平面图形的面积求解时，我们往往可以直接对照公式，而对于很多不规则图形，我们没有对应的面积求解公式，那么此时我们同样可以利用定积分。例如我们要求圆锥包含在圆柱体的那部分平面的面积，分析如下 =，其中是的积分区域，那么可得， ， 进而可得=于是我们有=2.3利用定积分求立体的体积由数学分析的相关知识我们知道：如果直线以及一个曲边梯形围绕着轴旋转一周后形成了一个旋转体，那么所得旋转体的体积就是例如我们要求椭圆绕轴及轴旋转而形成的椭球体的体积，如图2.1所示5，我们分析如下,对于这个绕着轴旋转而成的的椭球体,我们可以等价的将它看作是右半椭圆与轴围成的平面图形围绕轴旋转而成, 此时取为积分变量, 那么显然积分变量,由公式可知我们所求椭球体体积为 o xy 图2.12.4利用定积分证明等式和不等式定积分也经常被用在数学里与定积分命题的证明之中，利用积分中值定理、求导定理及微分中值定理应用到证明不等式，等式和一些数列的极限等方面，同样我们举例详细说明。数学中非常著名的CauchySchwarz不等式就充分利用了定积分的很多性质设和在区间上连续，证明。要证原不等式成立，需要证成立，于是我们设则我们只要证 成立，由在上连续，在区间内可导，且 ，知在区间上递增，又由，可知，即不等式成立，又因为这其中每一步都是可逆的，故原不等式成立，证毕。2.5 积分区域为多维空间时的应用上面我主要介绍了定义在二维空间上的的定积分应用，下面我举出一个积分区域为多维空间的实际应用:例如我们要求=，其中为由与所围区域12。分析如下，我们可以对积分区域作广义球坐标变换，可得：， = 因此有 =定积分在数学中的应用是它最突出体现其魅力的地方，作为众多领域研究的理论基础，它的存在极大的丰富了数学世界，下面我介绍一下它在物理工程学中的相关应用3定积分在物理学中的应用3.1物理学中的应用的理论基础a x x+dx b xF(x)图3.1变力这种类似定积分的这种“分割-近似-求和-取极限”的微元思想同样展现在物理学中，下面我将列举实例来进一步说明定积分在这方面的应用。 如图4.1所示，由于所求的功是一个整体量,并且对于它的位移区间具有可加性,所以我们可以用微元法来求这个量5。设该物体在变力的作用下,沿着轴由点移动到点,这个过程中变力的方向始终与轴方向一致，我们取为积分变量,显然，在区间上任取一小区间,因此该区间上各点处的力可以用点处所受的力近似代替，因此功的微元就为，因此,从点到点这一段位移上变力所作的功为3.2定积分应用于物理学模型建立和数据处理实际例证我们假设球体的密度和与球心的距离成正比，现在求它对于切平面的转动惯量6。分析如下：我们用公式来表示该球体，密度函数为则它对切平面的转动惯量就为=我们再举一例，现在要从地面上发射一颗火箭，那么当火箭的初速度至少为多少，才能保证火箭脱离太空，飞向太空？分析如下：我们可以设地球的半径是R,地球与火箭的质量分别是和,那么当火箭与地面的距离为时，由万有引力公式我们得火箭受地球引力是我们已知当距离为时，（g为重力加速度)，代入公式得到,从而有 则当火箭再上升距离后，它的位能就将增加因此当火箭自地面（）达到距离地面高度时，由定积分的原理可知势能为 而当火箭离开地球，飞向太空时，即当此时火箭应获得势能为这部分能量来自于火箭的动能，假如火箭离开发射面的初速度为，那么它就应具有动能是，为使火箭离开地球，飞向太空，必须满足，即有，又已知地球半径为厘米，那么代入上式可得：（米/秒）=11.2（公里/秒）因此火箭上升的初速度至少需要11.2公里/秒，才能使火箭飞向太空。4定积分在经济学中的应用4.1 定积分在边际函数中的应用在实际经济问题中，往往对给定的经济函数进行边际分析和弹性成本分析，这些都需要涉及到已知边际函数或弹性函数，从而求原函数的问题，这时候需要利用定积分或不定积分来完成，由经济学的相关知识我们知道导数与积分的关系：积分是微分的逆运算，因此我们用积分的方法可以由边际函数求出总函数。(1)当已知边际成本为时，求总成本。即有，其中是固定成本，一般它是不为零的。(2)当已知边际收益时，求总成本。即有.其中我们称为自然条件，即时指当销售量为0时，自然收益也为为0。假设总量函数P(x)在区间I上可导，它的边际函数为，则总存在函数当从变化到时,的改变量为此时将 改为产量，且时，同时将代之以总成本、总收入和总利润 ，可得其中即为固定成本，称为可变成本。 （ 因为）下面我来通过具体实例说明进一步定积分在经济学边际函数中的应用，比如我们已知某产品边际成本函数为且它的固定成本为1000元，需要求出该产品的总成本函数。我们分析,由上面给出的边际成本与总成本函数的计算关系，可得再例如 ，一个工厂生产某产品（单位：百台）的边际成本为（单位：万元/百台），它的固定成本为，边际收益为(单位：万元/百台)，这时我们要求（1）该产品生产量为多少时，总利润L达到最大？此时最大总利润是多少？（2）在该产品利润最大的生产量的基础上又生产了50台，利润减少多少？我们分析,由上面给出的边际成本与总成本函数的计算关系，我们可得（1）因为我们已知，并且有所以可得利润函数为：它的一阶导数，我们令，得到唯一驻点，并且有，因此，即当该产品的产量为2.5百台时，工厂有最大利润，最大利润为万元（2）在生产力2.5百台的基础上又生产了50台，即生产了3百台，那么此时该产品的利润就为万元万元即该产品的利润减少了0.25万元。4.2总结与推广对企业经营者来说，对其企业所处的经济环节进行定量分析也是非常必要的。学会将数学作为分析工具，不但可以给企业经营决策者提供精确的数值，而且在此过程中，还可以给企业经营者创造出新的思路和视角，这也是定积分广泛应用性的具体体现。因此，要想成为一个优秀的的企业经营决策者，就必须要掌握相应的数学分析方法，从而为企业科学的经营决策提供可靠的依据。5.参考文献1数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，2011.5.2高等数学（上册）M.北京：同济大学数学教研室，2001.7.3费定晖、周学胜. 数学分析习题集题解（三） M.济南：山东