（概率论与数理统计专业论文）与汇率相关的交换期权的若干研究成果.pdf

摘要 与汇率相关的交换期权是金融市场上的一种新型期权，它赋予持有者用一种 货币( 国内货币) 度量的风险资产交换另一种货币( 国外货币) 度量的风险资产 的权利却并不负有义务。在到期f _ i ，其按国内货币计量的价值依赖于当时的内币 外币汇率( 即用国内货币计量的一单位国外货币的价格) 及当时分别以不同货 币计量的两种风险资产的价格。由于汇率风险的存在，使得风险中性下衍生证券 价格所满足的偏微分方程与传统的多维b l a c ks c h o l e s 偏微分方程有所不同。本 文目标之一是在b l a c k s c h o l e s 市场模型下，介绍金融衍生证券定价的一般方法、 衍生品所满足的一般微分方程及相关概念，并证明在与汇率相关的交换期权定价 中鞅方法与传统风险中性估值结果的一致性，进而运用等价鞅测度变换方法推导 出用某一资产作计价单位时期权的价格公式。本文目标之二是运用风险中性定价 方法，研究了与汇率相关的几何平均亚式交换期权的定价问题及公司价值型信用 风险交换期权的定价问题。最后，对本文的结果进行了讨论。 关键词：汇率；交换期权：鞅方法 a b s t r a c t e x c h a n g eo p t i o nr e l a t e dw i t he x c h a n g er a t ei s ak i n do fe x o t i co p t i o ni nt h e f i n a n c i a lm a r k e t ，i tg i v e st h eh o l d e rt h er i 曲tt oe x c h a n g eo n eu n d e r l y i n ga s s e ti no i l e c u r r e n c y ( d o m e s t i cc u r r e n c y ) f o rt h eo t h e ru n d e r l y i n ga s s e ti no t h e rc u r r e n c y ( f o r e i g n c u r r e n c y ) a n dt h eh o l d e rh a sn o tt h eo b l i g a t i o nt od os o i t sv a l u ei nd o m e s t i cc u r r e n c y o nt h ee x p i r a t i o nd a t ed e p e n d so nt h ec u r r e n te x c h a n g er a t eo fd o m e s t i cc u r r e n c y | f o r e i g nc u r r e n c y ( u n i t so fd o m e s t i cc u r r e n c yp e ru n i to ff o r e i g nc u r r e n c y ) a n dt h e p r i c eo ft w or i s ka s s e t si nd i f f e r e n tc u r r e n c i e sa tt h a tt i m e b e c a u s eo f t h ee x i s t e n c eo f e x c h a n g er a t er i s k ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o ns a t i s f i e db yd e r i v a t i v e si n t h e r i s k n e u t r a lw o r l di sd i f i e r e n tf r o mm u l t i d i m e n s i o n a lb sp d ei nt h et r a d i t i o n a l r i s k n e u t r mw o r l d o n ea i mo ft h i sp a p e ri st oi n t r o d u c et h eg e n e r a lm e t h o df o r p n c i n gf i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，t h eg e n e r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss a t i s f i e db y d e r i v a t i v e sa n dr e l a t e dc o n c e p t si nb l a c k s c h o l e sm a r k e tm o d e l i na d d i t i o n ，t h e c o n s i s t e n c eo ft h em a r t i n g a l em e t h o da n dt h et r a d i t i o n a lr i s k - n e u t r a lv a l u a t i o nr e s u l t i np r i c i n ge x c h a n g eo p t i o nr e l a t e dw i t he x c h a n g er a t ei sa l s op r o v e d ，b ya p p l y i n g e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r et r a n s f o r m a t i o n ，w ef u r t h e rg i v et h ep r i c i n gf o r m u l a w i t hs o m ea s s e ta st h en u m e r a i r e t h eo t h e ra i mo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h e p r i c i n gp r o b l e mo ft h eg e o m e t r i ca s i a ne x c h a n g eo p t i o nr e l a t e dw i t he x c h a n g er a t e a n dw h i c ho ft h ev u l n e r a b l ee x c h a n g eo p t i o nb a s e do nt h ef i r mv a l u ep r i c i n gm o d e l b ya p p l y i n gt h er i s k - n e u t r a lp r i c i n gm e t h o d i nt h ee n d ，t h er e s u r si nt h i sp a p e ra r e d i s c u s s e d k e y w o r d s ：e x c h a n g er a t e ；e x c h a n g eo p t i o n ；m a r t i n g a l em e t h o d 与汇率相关的交换期权的若干研究成果 第一章期权定价的基本理论 第一节b i a c k - - s c h o i e s 模型 一、衍生产品简介 衍生产品( d e r i v a t i v es e c u r i t y 也称衍生证券、衍生工具) 是种新型的金融 工具( f i n a n c i a li n s t r u m e n t ) ，其价值依赖于其他更基本的标的证券( u n d e r l y i n g s e c u r i t y ) 的价值，即金融衍生产品的价值是由标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) 价值 衍生而成作为标的资产的标的变量既可以是能进行交易的股票、债券、货币、 股票指数等基础金融工具，也可以是大多数实物商品、利率、通货膨胀率等一些 非交易证券，还可以是金融衍生工具本身近年来，衍生产品在世界各地金融市 场发展迅猛，许多交易所正在进行大量的期权( o p t i o n ) 和期货( f u t u r e s ) 交易， 银行和其他金融机构问时也进行大量期权合约的场外交易金融衍生品市场已成 为投资领域不可或缺的重要组成部分 金融衍生产品主要形式有远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t ) 、期货合约( f u t u r e s c o n t r a c t ) 和期权合约( o p t i o nc o n t r a c t ) 远期合约是一种特别简单的金融衍生证 券，它是一个在将来确定的时问按预先确定的价格购买或出售某项资产的协议， 一般是金融机构之间或金融机构与它们的客户之间所签署的协议，不在规范的交 易所内进行交易，交易双方无需成本就可以处于合约的多头方( 1 0 n gp o s i t i o n ) 或合约的空头方( s h o r tp o s i t i o n ) 期货合约是两个对手之间签订的在将来某确定 的时间按预先约定的价格购买或出售某项资产的协议它与远期合约不同的是， 期货合约通常在规范的交易所内进行交易，要交保证金，可以在到期日之前通过 反向的交易平仓 而期权( 合同) 则给予合同的持有者( 俗称多头) 在将来一定的时间，以事 先确定的价格，从对方那里( 俗称空头) 买进或卖出某种确定资产的权利( 但可 以放弃此权利或者说不负有义务) 期权可以分为两种基本类型：买入期权和卖 出期权买入期权( c a l lo p t i o n ) 的多头有权买入某种确定资产，卖出期权( p u t o p t i o n ) 的多头有权卖出某种资产资产价格上涨时，超过事先确定的价格，买 入期权的多头以事先确定的价格买入资产就会有收益，故有时又把买入划权称为 与汇率相芙的交换期权的若干研究成果 看涨期权资产价格f 跌时，低于事先确定的价格，卖出期权的多头以事先确定 的价格卖出资产就会有收益，故有时义把卖出期权称为看跌期权欧式期权的持 有耆只能在合同规定的某一确定的到期日( e x p i r yd a t e ) 以确定的价格( 称为执 行价，e x e r c i s e p r i c e ) 或敲定价( s t r i k e p r i c e ) 买卖某种确定资产，而美式期权的 持有者则可以自行决定在未来某一段时间范围内某一时问以确定的价格买卖标 的资产期权合同的出售方( 空头) 承担着执行合约的义务，当合同的持有者( 多 头) 选择买入或卖出资产时，出售方必须卖出或买入资产因此参与期权交易的 投资者分为四种类型或称为四种头寸：1 、买入期权的多头：2 、卖出期权的多头； 3 、买入期权的空头：4 、卖出期权的空头 期权交易是一种交易双方的零和游戏，期权多头有买入( 卖出) 标的资产的 权利而不承担义务，而空头则只有义务没有权利因此多头必须向空头支付一笔 费用才能使空头进入期权游戏从而自然产生这么一一个问题：公平的期权费用( 期 权价格) 应该是多少? 2 0 世纪7 0 年代初，b l a c k 与s c h o l e s 利用t h o r p 和k a s s o u f ( 1 9 6 7 年) 关于对认股权证定价的一个公式找到了期权定价模型的关键突破口，推 导出了描述期权价格变化的偏微分方程，并依此导出了b l a c k - - s c h o l e s 期权定价 公式 二、b l a c k - - s c h o l e s 模型分析 推导b l a c k - - s c h o l e s 偏微分方程采用以下市场假设： ( 1 ) 标的资产价格遵循几何布朗运动； ( 2 ) 允许买空标的资产； ( 3 ) 在买卖资产和期权的交易中没有交易费用和税收，所有资产都是完全可分的； ( 4 ) 在期权有效期内资产没有红利支付； ( 5 ) 不存在无风险套利机会： ( 6 ) 交易可连续进行； ( 7 ) 在期权有效期内，无风险利率，是常数 由假设标的资产s 遵循几何布朗运动 d sr = s ! 蛐t + 商w i l 其中常数，o - 分别为瞬时漂移率和瞬时波动率，彬为带自然盯代数流的 2 与汇率相关的交换期权的若干研究成聚 概率空间心，f ，( f ) 。：，p ) 上的标准布朗运动( 也称w i e n e r 过程) ， f = 仃帆，0 s r ) 构造一个包含一单位欧式买入期权的空头和单位标的资产多头的组合厅： 死= 一c t - i - a - s 由于期权价格c = c 幅，f ) 是标的资产价格s , f l l f 对i n f 的函数，由i t ol e m m a 可得在出时间内 d e ：旦笠出+ 旦笠a s , + 一0 - 2 s z 堡晕西 ( 1 1 1 ) o t8 s2 7 8 s j d a = 一d c , + a d s = 一爷篆 出+ ( _ 器 蝇 若令= 熹，则组合万成为无风险组合，因此必然获取无风险回报 d = r 础 从而有 里a t + 抄1 2 砑c 3 2 c + r s , a 吣c ，叫c f = 。 ( 1 1 2 ) 此即b l a c k s c h o l e s 偏微分方程( p d e ) 该方程不包含任何受投资者风险偏 好影响的变量故在对期权进行定价时，可以使用任何一种风险偏好，为简单起 见，假设所有投资者都是风险中性的，在风险中性世界里，期权和资产的期望收 益率皆为无风险利率，获得的方程解对于所有世界都有效，而不仅仅是风险中 性世界当我们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时会发生两件事情：股票价 格的期望增长率改变了；在衍生证券任何损益中所用的贴现率改变了然而这两 件事的效果总是正好相互抵消 对于资产以常数比例支付连续红利时的欧式买入期权价格公式，只需对公式 做简单的修j f 即可用q 表示连续的红利率，即持有者在区间d t 内收到的红利 为q s f l t ，其中s t 是资产价格因为资产价格下降与红利相等的量，故在几何布 朗运动基础上的资产价格动态方程可以写为 3 与汇率相关的交换期权的若干研究成果 争缸一g 净+ 耐形 此时得到修正的b s 方程 鲁+ o - 2 s 2纂啦挑篆以= o ( 1 ) a ta s ?ij 0 s ? j 可以把连续分红模型应用到外币期权上，即把外币的利率_ 看成相应的红利 率( g a r m a n 和k o h l h a g e n ，1 9 8 3 ) ，从而对外币买入期权定价时，只需在方程( 1 ，1 3 ) 中取q = 一 为完成期权定价公式的推导，还要给出欧式买入期权满足的边界条件( 即衍 生品的到期收益) 欧式买入期权的到期收益为q = m a x ，一k ，o ) ，而欧式卖出 期权的到期权收益则是耳= m a x ( x 一品，0 ) ，这里品表示丁时标的资产价格，k 是期权执行价格通过解p d e ( 1 1 2 ) ，最后可得b s 期权定价公式 g = s j “) 一k e ) ) ( 1 1 4 ) 其中d ，：! 竺照塑蝗丝趁二尘 o - 4 t f d ：= 吐一盯打i ) 为标准正态分布的累积分布函数 求解偏微分方程的过程很繁琐且很困难，在很多情况下甚至无法得到封闭 解幸好c o x 及r o s s l l l ( 1 9 7 6 ) 与h a r r i s o n 及k r e p s t ”1 ( 1 9 7 9 ) 介绍另一种求解 衍生产品定价的鞅方法在此定价方法下，一种证券( 或衍生产品) 的价格可经 由折现该证券未来期望到期收益，且期望值折现可在风险中立下进行鞅定价方 法比偏微分方程简单，许多偏微分方程很难求解的问题，经由鞅定价方法都可迎 刃而解下面将介绍m a r t i n g a l e 定价方法，并证明两种方法的等价性 设常数，为市场无风险利率， ) ；。为货币市场账户的价格过程，满足 峨= 慨斫，( 0 f t ) ，易= e e 7 1 ，玩= 1 定义个与p 等价的鞅测度q ，满足 4 兰型2 墨塑童型堕墅型塑墼旦尘堑塑塞些墨 器2 e x p ( 一，崂一三川2 ，) = 爵，：等 ( ，称为资产风险的市场价格) 川表示，的模，i ) t q e p ( ，】= l ， e ， 岛l v , = 皇， o r 丁，e ，【 ，耳眇鼻】分 别为p - 测度下的期望和条件期望 由g i r s a n o v 定理。3 1 得到鞅测度下的s ，它满足 鹕= 母( 础+ 耐痧， c 。， 其中矾2 形+ y f 是某概率空i u jg 2 ，f ，q ) 上的标准的布朗运动， q ，( r ) 0 。，q ) 是相应的带自然盯代数流的概率空问， ，r = 盯f 彦，。s r = ，f ， 则( 1 1 5 ) 式的d o l e a n s d a d e 解为 悯e x p n 净叫+ 。卜痧，) 且蹦e - r t s r l z = e - s ，叩鼻】为风险中性测度q 下的条件期望 根据风险中性定价原理m ，在b 1 a c k s c h 。1 e s 环境下，丁时到期，执行价格为 k 的欧式看涨期权在f 时的价格e 为 e = b , e e b 1 1 m a xs t x , o ) l z j = c - r ( t - t ) e o m a x 坼一k ，o ) l e 对上式右边求值是+ 一种积分过程，结果为 c = 一( z ) 一k e l t ，( z ) 与式( 1 1 4 ) 相同 事实上，在推导期权的价格公式中偏微分方程法和鞅方法二：者是一致的， 以欧式买入期权为例，殴e = c 晦，f ) ，则 d g “c ) ：e 一“崛+ c d 仁一一) d , q d s , = s 蛐+ o d 彬) 及( 1 1 1 ) 式代入上式， 5 1 j 汇率相关的交换期权的若干研究成果 舡“k 鲁+ 手印象+ 膨，面c 3 c , 川，) 斫+ 嚣嚆d 彬 运用测度变换，取d 谚，：d 形+ r a t ，：坚，町得 口 啦“c 乒e “i ( 鲁+ 邓等郴，瓦3 c , 一，e 弘+ 嚣嚆藏l 故e - r t c ( 置，f ) 为鞅的充要条件是上式的漂移项为零，即 箜o t + 1 2 盯2 s 2 等悄坠a s 咱= 。, 2 甜 2 此即b s 方程( 1 1 2 ) 因此，c = g 一“毛 q l e 成立的充要条件是b s 方程成立 口 第二节基于单一标的变量的衍生品 所满足的一般微分方程 一、可交易证券 町交易证券( t r a d e ds e c u r i t y ) 在这里用来描述一种被大量投资者仅仅用于投 资的交易资产股票、债券、黄金和白银都是可交易证券，但是利率、通货膨胀 率和大多数商品并不是可交易证券在衍生证券定价中衍生证券的标的变量是不 是可交易证券的价格是一个重要的问题 二、风险的市场价格 设( q ，f ，p ) 为某一概率空间，( q ，f ，( f ) o 。，j p ) 为相应的带自然仃一代数 流的概率空问假定对随机变量的所用叙述几乎处处( a w ) 成立或几乎必然成 立( a s ) 考虑依赖某个遵循以下对数正态扩散过程的标的变量的衍车证券的特征 d o , = 鼠目d t + g e d w ，) ( 1 2 1 ) 其中鳓，分别为q 的期望收益率和波动率，假设它们只取决于q 和f ，彬是 6 与汇宰相关的交换期权的若下研究成果 p 一测度下的标准w i e n e r 过程醴0 i 必是可交易资产在f 时的价格 设g 和c 2 是仅决定于0 和时间的两种衍生证券的价格，在将来的某一时刻 这些衍生证券的收益为0 的某一函数g 、c z 遵循的过程可以由i t o 定理决定设 它们t 时价格动态为 等= h 出硎彬 ( 1 2 2 ) 和 磐确d t + r r 2 d 彤坐= 2 +彤 l 2 f ( 1 2 _ 3 ) 其中“，：，q 和0 - 2 是e 和t 的函数，彬是与方程( 1 2 1 ) 中相同的维纳过程 将c r 2 c 2 ：单位的第一种衍生证券和一o - , c , ，单位的第二种衍生证券组合起来 消去d 形，构造一个瞬间无风险证券组合。若兀为该证券组合的价值 r i = h c 2 ，) g 。一h g ，) c ：。 则d u = p ：c 2 。) d c 。，一b g ) a c ：， 得到 即 将方程( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 代入，得到 d f l = 如l 盯2 一2 盯1 ) q ，c 2 ，d t 由于n 是瞬时无风险的，它的盈利率一定为无风险利率因此，d i e = r h d t h o - 2 2 q = r 吼一r 盯 l 一， o - 肫一r 矾 令盟! ：丝二：z 0 10 2 如果e 为一种依赖于q 和t 的某个证券的价格，去掉以上公式中的下标，可得 于是 d c t = “c t d t 十o c d w l 7 ( 1 2 4 ) j 汇率相关的变换划权的若干研究成果 竖：( 1 2 5 ) 被称为0 的风险的市场价格( m a r k e tp r i c eo fr i s k ) 变量z 和盯分别是c 的预期收益和波动率一般来说，参数五取决于目和f ，而4 i 依赖于衍生证券c 的性质目的风险的市场价格衡量了风险与收益的权衡关系，这种关系是对取决 于目的证券而言的方程( 1 2 5 ) 可以写为 “一r = z o -( 1 2 6 ) 方程的右边，可以看作是用口风险的价格乘以口风险的数量方程的左边是要求 得到风险补偿的超过无风险利率的预期收益如果变量目是可交易资产的价格， 则必有 丝二! ：a( 1 2 7 ) 如果口是用于消费的资产，一般来说上式未必成直 i 、偏微分方程 利用i t o l e m m a ，方程( 12 4 ) 的参数“和0 - 为 价百0 c , 堋筹+ 圭2 配2 等 和 嵋= q 嘉 将其代入方程( 1 2 6 ) 中，得到如下c t 必须满足的一般p d e 百o c , oo c 矿t ( , , 也) + 圭2 配2 雾嵋 ( 1 z - 8 ) 方程( 1 2 8 ) 在结构上与b s p d e ( 1 1 2 ) 很相似，若将配替换成一， n o , 为可交易资产的价格，由( 1 27 ) 式知方程( 1 28 ) 与( 1 12 ) 相同，若用 q 替换s 且g = r 一心+ 旯，该方程就与提供已知连续红利收益率q 的衍生证券 所满足的p d e ( 1 1 3 ) 相同因此，这一方程可看作是对传统风险中性定价结 果的推f 一，当衍生证券的标的变量不是可交易证券时，该方程也可以使用 在用风险中性定价解方程( 112 ) 时我们是通过设定j ，的漂移等于i 一，并以 与汇率相关的交换蝴权的若干研究成果 无风险利率贴现期望到期收益来获得期权定价公式的，同样方法，解方程( 11 3 ) 时，我们设定s 的漂移等于，一g ，并以无风险利率贴现期望到j i j 收益因此 我们也叫以通过令醴的漂移为 r p 一鳓+ 名) = 鳓一五 来求解方程( 1 2 8 ) ，然后以无风险利率贴现期望到期收益来得出衍生证券的正 确价值 第三节基于几个标的变量的衍生品 所满足的一般微分方程 一、基于几个标的变量的衍生品 现考虑价格取决于几个标的变量的衍生证券c f = c ( q 。，岛f ，皖。，f ) 假设1 1 - 个标的变量岛，岛，最在f 时的动态遵循如下随机过程 d o , , = f a t + q d 彬 ( 1 川 i = 1 ，2 ，n ，其中彬是p 一测度下标准维纳过程参数“和o i 是岛的预期增 长率和波动率，可以是瞑和时间f 的函数m 表示彬与彬。的相关系数，( 1 i 七”) 依赖于谚的证券的价格g 的过程形式为 等2 心出+ 磐删 ( 1 3 2 ) 其中, u c 为证券的预期收益，d 彬5 是因岛的作用造成这个收益的风险组成部分 在后续推导e 所满足的p d e 过程中，自 以一，= 丑q 。 ( 1 3 3 ) 其中丑是。风险的市场价格这个方程将投资者对该证券所要求的预期超额 9 ：垄型! 茎盟窒塑塑坚塑茎! ：= 塑窒盛墨 净收0 i 与 和口。联系起来丑口。琐衡量了投资者要求的证券收益受证券对8 的 依赖的影响的程度如果丑吒：= o ，没有任何影响；如果丑吒。 o ，投资者将要求 更高的收益补偿由6 ：引起的风险；如果五叹。 山仍一孚 f 训f 一警 1 i z ) = 0 2 2 n 【d 2 ) # 望二墼二- = d t - o r 厉1 t d ，= ；= = 一 一 g 4 t t 其中 2 = 2 + c r 2 2 2 昂2 c r 2 = q 2 + 咋2 + c r 2 2 + 2 n ，o i g f 一2 2 0 1 0 2 2 p 2 ，咋c r 2 ( 2 1 5 ) 这里( 9 - i ，0 2 ，咋分别表示s ，f 的波动率常数日，岛，一：分别表 示s ，是，f 之间的相关系数从而 c = s ，f 瓯) 一是。旺) ( 2 1 6 ) 第二节在与汇率相关的交换期权定价中 鞅方法与偏微分方程法的等价性 一、衍生证券定价方法简介 对金融衍生证券定价主要存在两种方法，1 翻，是构造出一个叮交易资产的自 融资投资组合( s e l f - f i n a n c i n gp o r t f o l i o ) 进行复制余融衍生征券的到期支付 1 6 孝 h 一喾 与汇率相荚的交换驯权的若干研究成粜 ( t e r m i n a lp a y o f f ) ，若金融衍生证券的价格是时1 1 ；i j 和标的资产价格的充分光滑函 数，通过对标的资产的价格建模( 譬如，用几何b r o w n 运动描述标的资产价格 的动态变动) ，利用l t o 引理得出一个偏微分方程，结合该方程满足的初始条件 和边界值条件，通过解微分方程得出金融衍生证券的价格公式，这种方法称为微 分方程定价方法( d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na p p r o a c h ) 另一种称为等价鞅测度 ( e q u i v a l e n t m a r t i n g a l em e a s u r e ) 或风险中性( r i s kn e u t r a l ) 定价方法当或有债 权的到期支付可以被一组可交易资产的投资组合进行复制，则称该或有债权市场 是完全的h a r r i s o n 和p l i s k a ( 1 9 8 1 ) 及d e l b e a n 和s c h w c h m e n n a g e r ( 1 9 9 4 ) 证明，在完全市场环境下有惟一的等价鞅测度存在，市场不存在套利机会 ( a r b i t r a g e o p p o r t u n i t y ) 6 1 通过选择一个合适的与主观概率( s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y ) 测度等价的鞅测度( 称为风险中性测度) 和一个作为计价标准的资 产( n u m e r a i r ea s s e t ) ，金融衍生证券所依赖的标的资产的价格过程用该资产折现 后在风险中性测度下是一个鞅，从而衍生证券的现时价格可解释为其到期支付函 数经计价标准资产折现后在风险中性测度下的条件期望值 二、p d e 方法与鞅方法的一致性 设股价及汇率的随机过程为几何布朗运动 蜗，= s ，c “d t + 仃i d 彬1 ) ( 2 2 1 ) 码，= 最，2 d t + o 2 d w , 2 ) ( 2 2 2 ) a f , = f k d t + c r f d 彬) ( 2 2 3 ) 其中彬1 ，彬2 ，彬为p 下标准w i e n e r 过程，为国外无风险利率常数，其余 参数如前所述，记c r = c p 。鼻，足，t ) 构造一个包含一单位衍生证券，口单位标的资产f ( j = 1 ，2 ，3 ) 的组台兀 n = c + 口i 墨，+ 甜2 s 2 + 口j f 贝0 a t l = d c + a i d f ) 十c c 2 d s 2 + 吗d f + r y a t 3 f d t = ( 等+ p l2 0 1 0 2 s 是器+ p j f o l o s i f 器协嘲f 器 1 7 o 汇率， f _ 1 戈的交换j | _ j 权的若1 = 研究成果 令 + 1 2 。, ，, 砰a 2 c 十12 是2 西o c + 1 2 f 2 矿0 2 c 嵋咿硝f + 吗矿卜 + ( 筹蚂尸卜+ ( 嚣峨卜+ ( 篆蝎墨蝎d f 可消去随机项，得 i o c + 邙】f ：o 西棚】肚u 要蝎：o 面”2 “ 一o c q-o：1s+：oof i， 1a c 1 fa s 。 0 c 船 = 烈1 ( 西o c s - 一面o c f j铲烈西1 一面f j 由m = r z f l d t = 屹f + 口1 s f + d 2 是+ f ) d t ，可得 鲁慨嘲足丽3 2 c 协啊s f 器协嘲，嚣 十扫s2 篆+ 是2 篆+ 圭听铲筹 + n 一。驴而o c + b 一一，q 盯r h 署饥曼篆一白c = 。 c 2 2 。， ( 2 2 4 ) 式即与汇率相关的交换期权价格所满足的p d e 由第一章第三节( 1 3 1 2 ) 式结论，当f 的漂移率调整为r d - 9 ，s 的漂移 率调整为0 一岛，o t o ，是的漂移率调整为r d 时，总i q 以在风险中性世界里为该 期权定价现简要说明这与鞅定价方法是一致的 由无套利原则易知，在国内市场等价鞅测度q 下 犯= f 卜r f ) d t + o f d 订 j 汇率丰| i 关的交换列j 权的若1 一研究成果 垒一f 爵d t + o f d w ，1 一 砸：，：最r f 。出+ c r 2 d 彦，z 1 缈( 互矾+ 吒藏2 在国外市场等价鞅测度q + 下 且 媚，= s j ，r f d t + c r l d 旁，1 鼍卜珏抄刁 其中可= ( q ；, q 2 , q fy ，旁r = ( 旁r l ，方t 2 旁r ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) r 1 = 一p i ，o ：r ，i 代表变量s ， 品，f 由g i r s a n o v 定理知w ，= w ，+ r t 为测度q + 下标准的w i e n e r 过程 在测度q 下 在测度q 下 掣= c ：厂忡，抛刮订 = r f - r a + g r r 2 ) d t 一盯，( d 旁，+ 盯，出 = 07 dd t 盯f d w 。j f d 专+ 枷t2 _ o - f d 井 c 心，= 只， ( ，一p ，盯，盯，d r + q d 旁，1 垒s ，f 面出d 旁，1 一 ( 2 2 7 ) t6 | t - 率棚芰的变换期权的黄干研究成裂 ， 、 d ( s ，f ) = s i , f io 出+ 仃，dw r + d dw ，51 测度q 与p 的r a d o n n i k o d y m 导数为 面a q 一一( 节一新刁 其中尹= 怃，戎，办y ，= 限，2 ，崂”) ，只= 笠， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) i 1 ，2 ，f ) ，面为 资产i 在国内风险中性世界罩的预期收益率，从而w ，= 形+ 尹t 为测度q 下的标 准w i e n e r 过程此时方程( 2 2 1 ) ，( 22 2 ) ，( 2 2 3 ) 允z 。成为( 2 2 7 ) ，( 2 26 ) 和( 2 2 5 ) ，因此， d c ) = e 讯百o c 楣：叩：驴：面3 z 西c 十b 一叽即淼 协叩丽0 2 ct o - i 2 s 12 等+ 圭o - 22 s ：，2 篆+ r t f 2 f 2 矿3 2 c 尸万o c s 詈s ：詈一相出+ q s 詈驯蝇s ：面o c d 形2 + 卟f 而o c d 彬 ( 哨筹d 帝r 1 螂：轰d 痧r 2 + 咋f 而o c d 旁r ) 成立的充要条件是方程( 2 2 4 ) 成立，即c ，= 8 一。“k g i e 成立的充要条件 旱p d e ( 224 ) 成赢 2 0 与扎：率捕芙的交换湖权的若中研究成聚 第三章与汇率相关的几何平均亚式交换期权 第一节亚式期权简介 亚式期权又称为平均价格期权或平均期权，与标准期权不同，亚式期权是一 种路径依赖的新型期权，其到期收益函数依赖于事先约定的某一特定时间段内标 的资产某种形式的平均亚式看涨期权( a s i a nc a l l ) 有两种主要类型，平均资产 价期权赋予持有者在约定的时刻以约定的价格来取得标的资产在某一特定时间 段内的平均值的权利其到期收益函数为m a x ( 一- k ，0 ) ，另一类是平均执行价期 权，它的执行价格不是常数而是标的资产的某种平均，其到期收益函数为 m a x ( s r - a ，o ) ，其中爿表示标的资产某种形式的平均如算术平均、几何平均等 普通的平均形式有： 离散算术平均 离散几何平均 连续算术平均 连续几何平均 爿= 壶祭以 g p ( 壶譬n 墨m ) 这里墨是在离散时刻t i ( 户1 ，2 ，) 的资产价格，阢，正】是取平均的区间 投资者的风险暴露有时并非是某一时刻资产的价格波动，而是一段时间内各 时点资产的价格波动，如某企业一年内每个月都会收到国外客户的货款( 外币) ， 那么其风险暴露便是一年内每个月汇率的波动对于与在一时f 郇段内一系列交易 有关的风险暴露，亚式期权是一种理想的套期保值工具正囡为如此，亚式期权 在o t c 市场广受交易者的青睐相对标准期权而吉，亚式期权在缓解市场价格 的操纵行为，一定程度地节约风险管理成本，特别是在外汇市场等方面有其明星 优势 2 1 百lj s 曩 扣。h。蒜堡l 爿 g 一一 兰篓垩塑墨塑窒塑型墼塑苎王塑塞垡墨 我们在b l a c k - s c h o l e s 的市场模型及假设下捕述弧式期权，似设标的资产不 支付红利，并且只研究离散的情况，因为在实际交易中，所有砸式期权的标的都 是采用离散的1 f 均方式，讨论连续的情况只是为了学术研究上的方便而已 第二节与汇率相关的几何平均 亚式交换期权定价公式 标的资产墨，f ，蔓，在国内等价鞅测度qf 的动态变化分别遵循第二章第 二节式( 2 2 7 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 所描述的对数正态扩散过程，下文的期望均在 测度q 下计算与汇率相关的几何平均亚式交换期权到期收益为 m a x ( g j ，q ，一g 2 ，0 ) ，其t 时价格为 c 6 = e - 。0 - 0 【m a x 如，g f ，一g 2 ，o ) 】( 3 2 1 ，) 其中g ，是疑产s 1 ，最，或f 在时间段 ，r 上的离散几何平均值，本节 仅考虑当前时刻t t o 的情况可作类似分析和推导f ，= t o + 弘f u = o ，1 ，2 ，月) 表示在乎均期内取的n 个等距观测点，出：墨， 咒 t 瓦= t o t l t o 的情况，可设r = t k + 胚f ，k 是某个整数，0 k ”一1 ，0 1 黾，品：，品。及s i , 或相应时刻处f 的值均已知，作如下处理 铷c 蚺一”圳”怪s i c 酣s i t t ”一 1 7 4 这里资产s 可换成f ，余下处理可仿照本节如上述，此处不再赘述 2 7 鳖研 r。l 汇率相荚的交换期权的若r 州究成果 第四章带有信用风险的与汇率相关的交换期权 第一节公司价值型信用风险 交换期权定价理论 一、违约风险建模方法简介 违约风险又称信用风险，是指合约另一方未履行合约订立的义务而导致债权 人发生经济损失的可能性市场参与者长期以来就知道信用风险对债券价格存在 影响，但是直到近些年来才发展出量化这一影响的分析模型b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 在他们关于期权定价的开创性论文中朝信用风险模型迈出了关键的第一 步m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 进步发展了b l a c k 和s c h o l e s 的直觉，并将其融入分析的 框架之后人们追随b l a c k 、s c h o l e s 和m e r t o n 对信用风险进行了大量的研究 信用风险在大多数金融交易中都是一个重要的考虑因素由于它是系统风 险，风险承担者对其所承担的信用风险要求获得补偿因此，如何度量和对冲信 ， 用风险以及对含有信用风险的公司债券、互换和各种金融衍生证券定价，就显得 极为迫切和重要 对违约风险建模有两种基本方法：一种是由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 开创，经b l a c k ， c o x ( 1 9 7 6 ) ，l o n g s t a f f 和s c h w a r t z ( 1 9 9 5 ) 等修正发展的结构方法( s t r u c t u r a l a p p r o a c h ) 该模型又可分为公司价值模型( f i r mv a l u em o d e l ) 和首达时模型( f i r s t p a s s a g em o d e l ) 公司价值模型限定，当合约空头方的资产总值低于其债务总额时空头方才会 违约合约来到期之前，公司不被清算，因而公司破产或重组不会发生，合约空 头方不