（理论物理专业论文）约束哈密顿系统和超对称中若干问题的研究.pdf

摘要 摘要 本文回顾了约束哈密顿系统的研究历史，介绍了约束哈密顿系统规范对称性 的研究进展。介绍了约束系统量子化的几种方法，主要是正则量子化方法和 f a d d e e v s e n i a n o v i c 路径积分量子化方法，并综述了其它量子化程序和约束 h a m i l t o n 系统的对称性。我们详细讨论了d i r a c ，b e 唱m a n n 约束计算方法，将约 束的矩阵求法与狄拉克求法作比较，讨论了二者等价时的约束计算方法。 我们分别运用f a d d e e v s e n i a n o v i c 和b e c c h i r o u e t s t o r a - t y u t i n 路径积分量子 化方法对超对称电动力学系统进行了量子化。我们构造了体系的规范生成元和 b r s t 生成元，分别得到了场量的规范变换和b r s t 变换，发现超对称不同场的 b r s t 变换与规范变换存在一定的关系。基于正则系统的n o e t h e r 定理，我们给 出了规范变换的w a r d 1 从a h a s h i 恒等式；并且讨论了正规顶角和传播子的关系。 根据约束系统的f a d d e e v s e n i a n o v i c 路径积分量子化方法，我们对超对称任意子 系统进行了量子化；根据经典n o e t h e f 定理，得到了系统的守恒角动量；用量子 正则n o c 廿i e r 定理讨论了量子守恒角动量，我们发现了系统具有分数自旋性质。 在超对称系统的量子化研究基础上，我们继续探讨超对称在宇宙学和粒子物 理中的应用，我们介绍了超对称和宾字称，阐明了超对称在高能标和低能标下是 如何破缺的，还综述了中性伴随予( n e u t r a l i n o ) 宇宙学和引力微子( 2 r a v i t i n o ) 宇宙学；最后我们得到了暗物质的密度比值的表达式，给出了对所有暗物质粒子 的1 r e m a i n e g u n n 限制。 关键词：约束系统 超对称任意子宇宙学。 a b s t r a c t t h i st h e s i sr e v i e w st h eh i s t o r j cr c s e a r c hi nc o n s t r a i n e dh a m i j t o ns y s t e ma n d p r o g r e s s e so fg a u g es y m m e t r yi nc o n s 仃a i n e dh 锄i l t o ns y s t e m w em a j n i yd i s c u s st h e c a n o n i c a lq u a n t i z a t i o np r o c e d u r ea n df a d d e e v s e n j a n o v i cp a t hi n t e g r a lq u a n t i z a t j o n p r o c e d u r e w ea l s oi n t r o d u c et h es y m m e t r i cp r 叩e r t i e so ft h ec a n o n i c a ls y s t e m ，a n e r c h e c k i n gt h ed i r a g b e 唱m a n np r o c e d u r e j nd e t a i l ，w ei n v e s t i 9 8 t et h ee q u i v a l e n c e b e t 、v e e nt h ed i r a cm e m o da n dt h em a t r i cm e m o du s e db ym a n yr c f c r e n c e s w e q u a n t i z e t h e s u p e r s y m m e t r i ce l e c t r o d y n a m j c ss y s 馏m b a s e do nb o t h f a d d e e v s e l l j a n o v i ca n db e c c h i - r o u e t - s t o m 一i y u t i np a t h i n t e g r a l q u a n t j z a t i o n p r o c e d u 托。w ec o n s t f u c tt h eg e n e r a t o ro fg a u g et r 8 n 5 f o m l a t i o na n dt h eg e 鹋r a t o fo f b r s tt r a l l s f b r m a t i o n ，t h e nw co b t a i ng a u g et r a n s f b r m a t i o na n db r s tt r a n s f b 肌a t j o n o fc o m p 口n e n tf i e l d s ，w ef i n dc e r t a i n e 【a t 沁n sb e t w 。e nt h eb r s tg e n e r a t o ra n dt h e g a u g eg e n e r a t o lf i n a l i y ，w eo b t a i nt h ew a r d - t h k a h a s h ji d e n t i t i e sa c c o r d i n gt ot h e c a n 沁a ln o e ( h e rt h e o 托m ，a n dd i s c u st h er e l a t i o nb e 帆e e nr e g u i a rv e r t e xa n d p r o p a g a t o li nt h ef o l j o w i n 岛w eq u a n t i z et h es u p e r s y m m e 埘ca n y o ns y s t e ma c c o r d i n g t ot h em l eo fp a t h i n t e g r a lq u 8 m j z a t j o nf o r c o n s t r a i n e dh a m i l t o n i a ns y s t e mj n f a d d e e v - s e n j a n o v i cs c h e m e ，w ec a l c u l a t ct h eq u 8 n t a lc o n s e r v e da n g u l a rm o m 锄t u m b a s e d 彻t h eq u a n t a lc a n o n i c a jn o e t h e rt i e o r e m ，a j l dp r e s e n tt l l ef h c t i o n a ls p j n p r o p e r t ya tt h eq u a n t l l ml e v e l b a s e do na b o v er c s e a r c h e sj ns u p e r s y m m e n y ，w ep r o c e e dt oi n v e s t j g a t em a n y a p p i i c a t i o n s o fs u p e r s y m m e t r yi nc o s m o i o 斟a n dp a r t j c i ep h y s i c s 、w 宅i n t r o d u c e s u p e r s y m m e t 叫a n d 月p a r j 吼a n dd j s c u s sh o ws u p e r s y m m e t 口i sb r o k e nr e s p e c t j v e i y i nh i g ha n dl o we n e 唱ys c a l e ，b e s i d e st h a t ，w er c v i e wt h en e u t r a l i n o s m o l o g ya n dt h e g r a v i t i l l oc o s m o i o g y ，a n dg i v et h e1 l e m a i n e g u n ni j m j tt ot h em a s so fd a r km a t t e r p a c l e s k e yw o r d ： c o n s t r a j n e dh 锄i i t o n i a n s y s t e m ，s u p e r s y m m e t 睇a n y o n ， c o s m o l o g y ， u 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书丽使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 躲妻室圄慨血钏 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：耋客固导师签名：期：伽6 、6 第l 章绪言 1 1 约束哈密顿系统的研究历史和进展 约束啥密顿系统的研究已经有5 0 多年的历史了。二十世纪4 0 年代末， b e r g m a n n 及其合作者如a n d e r s o n 、b n m i n g s 等开始系统的研究正则哈密顿系统 的动力学】。与此同时，d i r a c 也独立的进入这一研究领域。耶】。在研究初期。 b e r 2 m a n n 研究约束哈密顿系统是为了将引力量子化，而d i r a c 则是将约束哈密顿 方法作一般性的推广，同时研究相对论动力学的量子化问题【5j ，接下来，d i r a c 研究了弯曲时空的量子化问题，并将其应用到广义相对论的量子化中”，j 。j 9 6 4 年d i 豫c 在纽约耶塞瓦大学就量子力学和量子场论中的基本问题，作了一系列演 讲，并出版了约束体系量子化的经典著作l e c i u r so n q u a n t u m m e c h a n l c s 。 这本书总结了当时的研究成果，简洁的介绍了约束哈密顿系统，并给出了约束系 统正则量子化的一般方法，适用于各种情况。本书还提出了一些基本概念，如初 级约束、次级约束、正则哈密顿量、总哈密顿量、扩展哈密顿量、规范变换和 d 1 r a c 括号等等，还提出了著名的d i m c 猜想：所有的一类约束都是规范变换的 生成元，它们生成的交换不改变物理态p 。可以说，这是量子力学自二十年代创 立以来的又一重大发展。六十年代末，应用这一方法解决了y a n 2 m i l l s 规范场的 量子化这一著名难题，此后于是动力学问题就日益受到普遍重视并用来研究各 种场论问题，实际上，描述自然界基本相互作用的电磁场、y a n g - m i i l s 场、引力 场、超对称、超引力和超弦理论都是奇异系统，也就是所有的规范理论都必须涉 及约束问题。 关于约束推导的d i r a c ，b e 唱m a 叫程序，许多作者详细的研究了约束的结构， 并提出了其它不同的方法来完善这个程序。s t e f a n o 修改了d i r a c b e r g m a 肌约束 哈密顿的分析方法，证实了d i m c 猜想反例中的次级第一类约束也是对称性产生 哈密顿的分析方法，证实了d i m c 猜想反例中的次级第一类约束也是对称性产生 北京工业大学理学硕士学位论文 算子【1 3 】：a nm i nw a n g 和阮图南根据d i r a c b e 唱m a n n 程序，提出了狄拉克猜想 的扩展，将狄拉克求约束的自洽性条件延伸，得到了物理可观测量的正确表示， 并指出c a w l e y 给出的狄拉克猜想的反例并不是真正的反例； c a b o 和 l o u i s m a r t i n e z 证明对很多系统而言，用总哈密顿量产生的运动方程中，所有一 类约束的正则变换对应的态在物理上是等效的。在推导约束的自洽性条件中，循 环区分一类和二类约束【 ”，但是文中提到的第一类第二类约束的定义显然与狄拉 克意义下的约束分类并不相同；b a t a l i n 和t y u t i n 提出了统一的约束动力学，不 需要将约束分类，用代数算子得到了系统约束，并用该代数得到了相空间变量的 对易关系：g i t m a n 和t y u t i n 按照狄拉克程序求约束，但是在中间过程中对约 束重新组合，在求导过程中就区分了第一类和第二类约束，但组合程序过于繁琐， 并且也没有证明第一类和第二类约束概念是否与狄拉克的等价 3 7 】；p o n s 分析了 d i r a c 求约束的不足之处，提出了修改方法，并证明在d i r a c 猜想成立时并不必 用扩展哈密顿量来代替总哈密顿量【1 2 】；b o u z a s 、e p e l e 证明了将第一类约束和 固定规范条件作为第二类约束在量子化过程中是行不通的。在第二章中，本文 会详细讨论狄拉克约束推导过程中的细节，并澄清第一类和第二类约束是在所有 约束求出之后才定义的。 狄拉克提出的规范变换一直是约束理论研究的热点，对于狄拉克猜想的讨论 许多作者从不同角度进行了深入研究。c o s t a 、g i r o 出和s j m o e s 严格证明了，在 系统只有一类约束情况下，所有的次级一类约束都是规范变换的生成元，总哈密 顿量和扩展哈密顿量产生的运动方程是相同的，这是对狄拉克猜想证明迈出的重 要一步口”；g r a c i a 和p o n s 严格区分了运动方程的规范变换与相空间点的规范变 换，给出了动力学对称变换的充要条件；讨论了固定规范程序，对d i r a c 猜想给 出了重新区分；给出了动力学规范变换与点的规范变换的关系，指出d i r a c 猜想 的规范变换为相空间点的规范变换 1 1 】；c h i t a i a 、g o g i l i d e 和s l l r o v t s e v 根据狄拉 克提出的一般哈密顿形式的动力学，研究了具有第一类和第二类约束的动力学系 统的局域对称性，构造了局域对称变换的产生算子，证明了第二类约束对局域对 称变换没有贡献而第一类约束生成了局域变换，阐明了n o e t h e r 第二定理中高 阶坐标和群参数在对称变换定理中出现的机制【1 9 】；p o n s 讨论了d i r a c 意义的规范 对称性，指出在d i r a c 猜想成立时并不必用扩展哈密顿量来代替总哈密顿量叫； 拉格朗曰体制约束以及规范对称性的研究，对理解哈密顿体制下的约束和规 范变换有十分重要的作用。许多文献在找出拉格朗日量的最一般的局域对称性方 面做了大量工作，运用拉格朗曰方法- 15 ，1 7 ，2 0 3 5 】或者哈密顿方法队2 7 ，3 9 ，4 0 1 。s h ij z a d 提出如何系统推导奇异拉格朗舀量的运动方程以及拉格朗日约柬，得到了拉格朗 日体制下的动力学自由度和约束的关系，运用运动方程的恒等式给出了奇异系统 的拉格朗日规范变换 1 7 1 ；r o t h e 用拉格朗日方式讨论拉格朗日量的规范对称性， 导出了相空间变量的规范变换例。 许多文献讨论了拉格朗日体制与哈密顿体制的等价性问题。g r a c i a 和p o n s 证明了初级二类约束的拉氏乘予是拉格朗日约束】；s t e f n o 修改了 d i r a c b e 艰m a n n 约束哈密顿的分析方法，证明了d i r a c 猜想反例中的次级一类约 束也是对称性产生算子，并且区分了拉格朗日量的对称性与e - l 运动方程对称性 ：b a t l l e 、g o m i s 和p o n s 研究了拉格朗曰体制与哈密顿体制的等价性，给出 了哈密顿体制中的约束与拉格朗日体制的约束的对应关系【l4 j ；r o t h e 、r o t h e 指 出，既可以通过哈密顿体制，又可以通过拉格朗日体制得到系统的规范变换，哈 密顿体制的规范变换都是由第一类约束产生( 狄拉克猜想) ，拉格朗曰体制下， 规范变换通过规范恒等式产生。如果拉格朗日量是一阶拉格朗日量的话，二者的 联系非常明显。 1 2 约束系统量子化的发展概况 约束理论的许多研究主要运用于物理系统的量子化问题。约束哈密顿系统实 际上有两种量子化框架【4 1 】：第一种先分离出物理自由度( 约化相空间) ，再对物 理自由度量子化，即r p s 量子化方法【4 2 4 3 j ；第二种是先量子化全部力学变量， 再利用约束条件消除非物理自由度对量子系统产生的影响。 约化相空间正则变量的量子化方法，一般来说，首先分离物理自由度和非物 理自由度，然后通过规范固定条件去掉纯规范自由度，只量子化物理自由度。许 多作者在这方面的做了大量工作，现在仍没完全解决。约化相空间的正则变量 1 北京工业大学理学硕士学位论文 有两种途径：有规范固定情况下的约化相空间方法和无规范固定情况下的约化相 空间方法。通过规范固定，去掉非物理自由度，这种方法适用于a b e l 规范理论： u ( 1 ) 规范场为电磁场，有四个独立变量，但是光子只有两个有物理意义的变量， 可以通过求解约束方程和规范条件来去除这两个自由度。对非a b e l 和引力理论通 过规范固定除掉非物理自由度则有困难【4 3 】，原因在于非a b ej 力学系统存在非线性 约束，p o i s s o n 括号不能直接过渡到量子括号。例如量子色动力学，很难解出约束 方程，进而约化相空间分离出真正的独立的正则变量。况且规范固定条件有可能 破坏某些经典对称性“4 4 】。因此约化相空间量子化只适用于极少数奇异系统。 建立在d i r a c 约束理论上的主要量子化方法都属于第二种情况。狄拉克等人 采用第二种量子化框架，把标准正则量子化法推广到含有约束的系统。用 d i r a c - b e 唱m a n n 算法，首先算出约束哈密顿系统的第一类约束和第二类约束；然 后算出场变量之间d i f a c 括号，d i r a c 括号直接对应量子正则对易关系；最后利 用约束条件挑选物理态。 1 9 4 8 年，与约束理论开始发展的同一时期，f e y n m a n 发展了路径积分量子 化方法。1 9 6 7 年f a d d e e v 和p o p o v 把f e y n m a n 提出的路径积分方法推广到量 子场论，成功地实现了非a b e l 规范场( 如杨m i l i s 理论) 的量子化( 简称为f p 量子化) 闱，而后杨4 m l l s 场论可重整性得到证明。f p 方法是非a b e i 规范场量 子化的最简单的方法，用f _ p 方法量子化电磁场以及杨m i j l s 场和严格方法量子 化得到的结果相同，但对于一般动量不可积的约束系统，f p 量子化方法得到的 结果是否和其他方法致需分别研究，f - p 量子化方法是比较直观的处理规范理 论的量子化方法。 1 9 7 0 年f a d d e e v 在d h c 约束理论基础上，考虑系统在相空间存在固有约束， 给出了含第一类约束系统的路径积分量子化 4 ，1 9 7 6 年s e n a n o v i c 解决了同时 含第一类约束和第二类约束的路径积分量子化 4 8 1 ，称为f s 路径积分量子化。f s 路径积分量子化是规范固定的量子化方法，比f p 量子化方法严格。用f p 和 f s 方法量子化非a b e l 规范场能够得到相同的结果。非a b e i 规范场量子化后的 有效拉氏量中增添了规范固定项和规范补偿项( 鬼场) 。鬼场用来补偿规范固定 项带来的纯规范自由度的效应，可以保证幺正性。但破坏了原始拉氏量的规范不 第l 章绪言 变性，含鬼场的有效拉氏量不能令人满意【4 9 。 1 9 7 4 年，b e c c h i 、r d u e t 和s t o r a 发现虽然原始拉氏量不再有规范不变性， 但有效拉氏量有一种新的规范不变性，既b r s ( 目前逐渐为与其性质相近的 b r s t 规范不变性所代替) 规范不变性【5 0 1 。b r s 变换就是将对易量与反对易量互 相联系起来的某种超对称变换，是变换参数为反对易数的特殊的规范变换，是非 线性变换。 19 7 7 年，b a t a l i n 、f r a d l ( i n 和v j l k o v s k y 在b r s 对称变换基础上，建立了一 种解决规范理论中非闭合规范代数的量子化方法，既b f v 量子化方案。建立在 b r s 对称原理上的b f v 量子化法方法提供了一个吸引人的描述约束h a m i l t o n 系 统的方法，它不直接约化相空间，而是通过增添g r a s s m a 肌数扩展相空间，扩展 相空间中的b f v 泛函积分相应于一个没有约束的系统。b f v 方法是利用约束哈 密顿系统的经典结构，既存在结构函数，建立的规范理论的协变量子化理论眦53 1 。 文献【5 3 】中研究了约束哈密顿系统的结构，定义了结构函数，说明了结构函数的 不确定性。结构函数遵从的等式暗示不管规范代数是闭合的，还是不闭合的， b r s 变换生成元都存在。文献【i o ，5 4 ，5 5 】中证明了对任意经典可观测量存在合适 的包含鬼场的b r s 变换展开函数，这就保证了b r s 变换不变哈密顿量的存在。 而此等价的哈密顿函数就是原来哈密顿量在扩展相空间中按鬼展开，结构函数为 其展开系数。所以b f v 量子化方法是比上面介绍的f p 和f s 路径积分量子化方 法更普遍、更基本的量子化方法。f p 和f s 路径积分量子化方法只是b f v 方法 中规范选取不同得到的结果。 1 3 任意子研究进展 在量子水平下，统计在物理理论中是基本的概念之一。量子力学中可分辨粒 子系统的动力学不仅被经典作用力所影响，粒子的统计性对系统的动力学也有很 大关联，从某种意义上，可以统计的作用可以被看作是一种额外的相互作用。对 玻色子系统，这种额外的相互作用的是吸引相互作用，对费密子系统，这种额外 的相互作用的是排斥相互作用，即泡利不相容原理。泡利不相容原理在量子力学 5 中是基本原理之，因此，从这种意义上量子统计是基本理论之。 在1 + 3 维时空中，只有玻色子和费密子两种统计方式，微观粒子的自旋和它 的统计性质密切相关，自旋为整数和自旋为半奇数的粒子分别服从b o s e - e i n s t e i n 统计和f e r m i d i r a c 统计，并称它们为玻色子和费米子。人们一直认为自然界只存 在这两类粒子，但在l + 2 维时空中，粒子会出现新的情况：粒子自旋可以是任意 实数，b o s e e i n s t e i n 统计和f e r m i d i r a c 统计之间连续变化，即在二维空间中可有 带任意统计性质的粒子，称为任意子( a n y o n ) 。1 9 8 2 年，fw j l c z e c k 的工作对 “a n v o n ”给出了定义：具有任意自旋和奇异统计的粒子，l 十2 时空中的粒子系 统遵循的是任意子统计1 5 6 5 ”。分数自旋和统计只存在于l + 2 维时空中，这是由l + 2 维时空的拓扑结构与l + 3 不同所至【5 8 】。任意子最诱人之处在于它在凝聚态理论中 的应用。 在分数量子霍尔效应发现以后，吸引了许多物理学家研究分数自旋和统计 防6 0 。嘲。物理学家现在接受了用任意子统计解释分数量子霍尔效应1 6 3 _ 6 6 ， 叫；高 温超导体的各项异性强烈暗示超导机制与量子霍尔效应有关，都是l + 2 维物理， 任意子超导理论是一种解释一些材料高温超导性质的有效的理论，目前也是最令 人满意的超导机制。l a u 出l i n 证明了遵循分数统计的粒子系统自身变为超导体 f ”，其它许多文献也讨论了任意子在高温超导物理中的应用f 6 8 。) 。 任意子研究的另一个重要的领域是c h e m s i m o n s 场理论，用含c h e m s i m o n s ( c s ) 项的l a g r a n g e 量可以实现对任意子分数统计性的描述闭。带电粒子场与 c s 项耦合后，显示出粒子的电荷和磁通自动地柬缚在一起。交换两个粒子，由 于a h a r o n o v - b o h m ( a b ) 效应，就体现出粒子具有分数统计性质。最早建议用 c s 场实现分数自旋统计来描述任意子的是w i l c z e k 5 7 1 。其后许多作者都证明了 其中的观点。1 9 8 3 年w i l c z e k 和z e e 在相对论理论形式下构造了任意子模型1 5 8 1 ，他 们考虑了2 + l 维的o ( 3 沙模型，并且指出由于h o p 踟i 的存在，这个模型具有分数 自旋的性质。这在相对论量子场论形式下对自旋统计理论的严格处理上是一个重 要的发展。 对c s 场的研究在量子水平上已有很多工作。文献【5 9 】中考虑了用非相对论带 电粒子与c s 项耦合，结果发现，c s 项起到把粒子的电荷和磁通束缚在起的作 第l 章绪言 用，并且耦合后的角动量取任意值，它取决于c s 项前面的系数。文献 7 4 】研究了 场论水平的a b e lc h e m s i m o n s ( c s ) 项与物质场的最小耦合性质，发现c s 项有分数 自旋的性质。c s 规范场是一种拓扑场，没有自己的动力学，只能与其它标量场 或旋量场耦合，才表现出动力学性质，可用能动张量对称性【75 j 或者经典的n o e t h e r 定理【_ 阳1 来计算任意子的角动量。对c s 规范场与标量或旋量电动力学耦合的模型 已经做了研究7 t 矧，得到了场论水平下的分数自旋或分数统计性质。在场论水平 上的研究取得的结果比起量子力学水平上的研究还欠充分。第一个带c s 项的任 意子的场论模型是由p a u i 和k j l a r e 提出的，他们在2 + 1 维空间考虑了一个带有 c s 项的a b e i i a nh i g g s 模型，并且提出这个模型具有有限能量的荷涡旋性质，还发 现了这些涡旋具有可取任意值的非零角动量。后来f f o h i i c h 和m a r c h e l t i 严格证明 了这个观点【7 0 ，在场论研究中任意子的分数自旋和分数统计性质时，a b e lc s 场 和物质场的耦合看作是这方面的基础理论【6 1 ，舡8 ”。对含c s 项c p l 模型 8 3 8 5 】、o ( 3 ) o 模型【8 6 。8 9 1 、c h e m s i m o n s h i g g s 模型【8 9 9 。1 和c s 项与旋量场耦合的模型阢9 “，都已 有过研究。近几年来，又有文献对非a b e lc s 项和物质场耦合模型的分数自旋和 分数统计的性质进行了研究f 4 4 ，9 3 。9 6 】。但只是以经典水平的研究为主。描述任意子 的c s 理论，过渡到相空间，存在固有约束，因此用约束h a m i l t o n 系统的量子对称 性质研究任意子的a b e lc s 和非a b e lc s 理论就十分必要了。 研究超对称任意子系统很有意义的，因为根据超对称思想，超场中自然含有 规范场和旋量场，用超对称模型来研究分数自旋性质对于研究超对称理论和任意 予理论更有意义l ，本文第四章将研究这方面的内容。 1 4 约束系统的正则对称陛 对称性的研究在物理学中占有重要的地位，对于物理学的发展起着根本的推 动作用。对称性对物理学的根本推动作用在近代物理学中尤为突出。现代物理学 研究表明，自然界中的守恒定律总是与相应的对称性密切相关的，物理学家们长 期倾心关注守恒量与守恒定律。因此，认识现代物理学中对称性的深刻内涵，明确 对称性与守恒律之间的密切联系，对于探究自然规律和揭示宇宙奥秘是十分重要 7 - 的。本文讨论的对称性，是指动力学规律在某种变换下的不变性。对称性一般分 为；时空对称性和内部对称性。 时空对称性是在时间、空间位置( 或坐标) 变换下的不变性。描述时空变换 的一般群为彭加勒( p o i n c 6 f c ) 群，共有l o 个生成元；角动量算子厶、推动( b o o s t ) 算子k 和动量算子p ，分别产生时空的旋转、推动和平移对称变换，其中的工，和 尼生成了洛仑兹群。超对称是对已知时空对称性的一种扩展，是一种新的对称 性。超对称是由彭加勒群的十个生成元再加上费密子算子构成的一种更大的对称 性群，h a g g l o p u s z a n s k i s o h n i u s 定理【1 0 9 】i 正明了超对称是彭加勒群的一种最大扩 展群。 内部空间的变换是规范变换，规范变换分为：整体规范变换( 变换参数不依 赖时空点的变换) 和定域规范变换( 变换参数依赖于时空点的变换) 。相应的对 称性分别是整体规范对称性和定域规范对称性。在将整体规范对称性扩充为定域 规范对称性时，可以证明，把规范变换由整体的扩大到定域的并不带来新的 n o c t h e r 守恒量i 懈j 。这点有特殊的物理意义：与整体对称群相应的n o e t h e r 守 恒荷标志系统的不同状态，它们的数值代表系统在内部空间的趋向。虽然内部空 间中绝对的方向是没有物理意义的，但是系统相对于测量仪器所确定的方向的相 对取向是可以测量的，因为系统不是孤立时，它们通过n o e t h e r 荷与外界相互作 用。例如由空间转动群相联系的两个状态有不同的角动量分量s ，如果系统加上 外磁场耳，则可以有倒霄i 形式的作用能，这时角动量分量有不同数值的状态 得到不同的能量，由此知道不同的n o e t h e r 荷的值的状态是不同的物理状态。但 是，与限于局部区域的定域变换相应的守恒荷为零。因此由定域变换相联系的两 个状态不能由它们与外界的相互作用加以区别或证明其存在，所以在物理上它们 应该为同一状态，就是说规范自由度为非物理的自由度。规范场可以有不同于 n o e t h e r 荷的拓扑荷，但它们与规范场在全空间的大范围性质有关，并不与定域 规范自由度相联系。 对称性和守恒律的联系，在经典理论中通常由n o e t h e r 定理给出。早在1 8 4 2 年j a c o b i 指出：对于可用l a g r a n g e 量描述的经典系统，空间平移变换下的不变性 将导致动量守恒，时间平移变换下的不变性将导致能量守恒，空间转动变换下的 第l 章绪言 不变性将导致角动量守恒。1 9 1 8 年，n o e t h e r 证明了：相应于每一个使h a m i l t o n 作用量不变的连续整体变换，都必存在动力学系统的守恒量。关于n o e t h e r 定理 的研究，近来有了很大的进展【”3 。卅】：在经典水平下，建立了相空间整体对称下 的正则形式的n o e t h e f 第一定理，给出了相空间中对称性和守恒量的联系；建立 了相空间中定域变换下的正则形式的n o e t h e r 第二定理。系统在定域和非定域变 换下的量子对称性质也已经研究过，并分别对有限自由度系统和场论中的正规 l a g r 肌g e 量和奇异l a g r a n g e 量系统作了讨论。从g r e e n 函数的相空间的生成泛函出 发，建立了定域( 正则变量) 变换下的量子水平的正则w a r d 恒等式，导出了g r e e n 函数间满足的一些关系式；建立了非定域变换的正则w a r d 恒等式，讨论了在一 些模型中的应用；建立了整体正则对称性和量子守恒律相联系的理论并给出了其 应用”。但约束h a m i i t o n 系统得量子对称性理论还不充分，还须更进一步的 研究，经典理论中对称性所联系的守恒量在量子理论中一般不再保持有效。本文 运用这些定理的结论研究了超对称电动力学的对称性，并得到了一些正则w a r d 恒等式等。 1 5 超对称对宇宙学研究的意义 近几年来，宇宙学研究进展迅速，尤其是对宇宙的观测，绘出了越来越精确 的结果。1 9 9 1 年，微波背景探测卫星( c o b e ) 观测到宇宙微波背景辐射的高度均 匀和各向同性，并且有温度差为五万分之一的度左右的静态涨落。2 0 0 3 年， w m a p ( w i l k i n s o n 微波背景各向异性探测器) 给出了宇宙中重子物质、物质和 暗能量在宇宙总能量中所占有的比例1 9 7 1 ，以临界密度为单位，它们的能量密度比 值分别为q b = o 0 4 4 0 0 0 4 ，q 。= o 2 7 0 0 4 ，n = o 7 3 士o 0 4 。我们得到暗物 质部分的能重密度比值为0 0 9 4 q 。m 2 0 1 2 9 其中 = o 7 i 为哈勃常数。倒退 几年，这样准确的观测数据还有这么小的误差是令人难以想象的，目前所知道的 物质是粒子物理标准模型所描述的夸克、轻子、规范玻色子和希格斯玻色子，只 占宇宙总能量密度的很小部分，其余的物质称为暗物质，还有更神秘的暗能量。 因此，这些确切的迹象表明存在新的物理。但是各种宇宙和天文观测不能指明暗 q 物质和暗能量的微观性质，这就迫切要求从理论上来构造新的粒子物理模型，提 供暗物质和暗能量的候选者，进而利用这些粒子物理实验和天文观测来证明或否 定这些理论推测。超对称预言了，对每个己知的费密子存在一个新的玻色子，对 每个已知的玻色子存在一个新的费米子，这样超对称给出了粒子物理标准模型之 外的粒子：超对称伴随粒子( s u p e r p 积n e r ) ，简称超伴子，宇宙中的总粒子种数 就增加了一倍。超对称伴随粒子会发生衰变，然而最轻的超对称伴随粒子( l s p ) 由于无法衰变而成为稳定粒子，它们是暗物质的很好的候选者。 微观粒子之间存在四种相互作用，它们是引力、强、电磁和弱相互作用。物 理学家一直努力探求将各种相互作用统一起来，2 0 世纪6 0 年代格拉肖、温伯格、 萨拉姆三位科学家提出弱电统一规范理论，把弱相互作用和电磁相互作用统一起 来；2 0 世纪7 0 年代中期，物理学家进一步提出了强、弱和电磁三种相互作用的 统一理论，称之为大统一理论( g u t ) ；还尝试建立包括引力在内的统一理论， 称之为超统一理论( s g u t ) 。标准模型是描述弱、电和强三种相互作用的理论， 对称性群是三个规范群s u c ( 3 ) s u ( 2 ) u ( i ) 的直积，有三个相互独立的耦合常 数，而大统一理论只有一个耦合常数，并且对称性群又包含子群s u c ( 3 ) s u ( 2 ) u ( 1 ) ，例如基于标准模型的s u ( 5 ) 大统一理论。不包含超对称的大统一理论存 在以下困难：( 1 ) 弱、电和强三种相互作用的耦合常数在高能标下不能严格统一： ( 2 ) 由低能标的实验数据推出的质子的寿命太短；( 3 ) 理论预言的大统一能标 太小。只有在结合了超对称以后，大统一理论才有更现实的意义，因为用超对称 标准模型计算弱、电、强三种相互作用的耦合常数，在距离小到普朗克尺度的 1 0 0 倍左右时，这些祸合常数变得完全一样【9 8 】。因此，超对称的大统一理论激励 人们寻找超对称粒子，而发现超对称，也必将为超对称的大统一理论增添吸引力。 宇宙学研究宇宙大尺度的行为，标准宇宙学模型从宇宙学基本原理( 在大尺 度上，宇宙是均匀且备向同性的) 出发，认为宇宙是一种由粒子气体组成的理想 流体；字宙中物质的质薰密度和压强只随时间变化而与空间位置无关；宇宙有 个创生时间，当时间趋于零时，宇宙的密度压强趋向无穷大。这种宇宙学图像被 称为“b i gb a n g ”，即大爆炸宇宙学【9 9 1 。标准宇宙学模型给出的许多重要预言已 被天文观测实验所证实，如哈勃定律、宇宙年龄观测、微波背景辐射和宇宙中轻 弟1 苹鳍百 元素丰度的测量等等。但是也存在很多自身难以解释的困难：奇点困难、视界困 难、平坦性问题、星系如何形成问题和重子不对称阃题等等。为了解决这些困难， 人们构造了暴涨宇宙学模型。在这些暴涨理论中，早期的宇宙能量密度是以单个 场，或者几个场的形式表现，这些场被称为暴涨子( i n f l 8 f ) 。物理学家用场的 观念对暴涨进行了大量的研究，但是对这些场的物理起源没有给以充分的重视。 超对称却能提供这些场，因为超对称中有许多无自旋的场，其特点恰好满足暴涨 所需要的真实物理场，而不是将暴涨子仅仅看作是一些假想场【1 0 “。 目前，弱能量标度下的超对称理论是最有希望被证实的一个理论，我们将着 重讨论弱能标下的最小超对称标准模型( m s s m ) 。因为弱能标下最小超对称标 准模型提供了比较恰当的暗物质候选者，例如预言了中性微予( n e u t r a l i n o ) 、引 力微子( g r a v “i n o ) ，这些暗物质的热遗迹密度与当前观测的暗物质能量密度大致 符合。超对称和宇宙学的交叉领域的研究内容十分丰富，并且可以通过实验数据 来验证理论预言是否正确，本文第五章将介绍超对称与宇宙学的相关内容。 i 6 各章提要 本文第l 章回顾了约束哈密顿系统的研究历史，介绍了约束哈密顿系统规范 对称性的研究进展，对任意子和超对称宇宙学的研究进展作了综述。第2 章我们 详细讨论了约束推导的d i r a c ，b e 唱m a i u l 方法，将约束的矩阵求法与狄拉克求法 作比较，我们得到了二者等价时的约束计算方法。此外，我们介绍了约束系统量 子化的几种方法，主要是正则量子化方法和f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化 方法，并综述了其它量子化方法和约束h a m i j t o n 系统的对称性。 第3 章我们分别运用f a d 出州- s e n j a n o v k 和b e c c h i r d u e t 。s t o r a - t y u t i n 路径 积分量子化方法对超对称电动力学作用量进行了量子化。我们构造了体系的规范 生成元，得到各场量的规范变换；还构造了该体系的b r s t 生成元，导出了不同 场的b r s t 交换，我们发现b r s t 变换与规范变换存在一定的关系。基于正则系 统的n o c t h e r 定理，我们给出了规范变换的w j r d t a k a h a s h i 恒等式，在此基础上 我们讨给出了正规顶角和传播子的一些关系式。 第4 章我们研究系统量子化后，系统的对称性会有怎样的变化。首先我们根 据约束系统的f a d d e e v s e n j a n o v i c 路径积分量子化方法，对超对称任意子系统进 行了量子化。根据经典n o e t h e r 定理，我们计算了系统的守恒角动量。我们用量 子正则n o e t h e r 定理计算了量子守恒角动量，与经典n o e m e r 定理比较，发现超 对称任意子系统的角动量包含了鬼场的贡献。此外我们发现系统量子化后具有分 数自旋性质。 第5 章讨论宇宙学对超对称的影响，以及超对称在宇宙学中的许多应用。讨 论了宇宙学和粒子物理为什么需要超对称，介绍了超对称和r 宇称，阐明了超对 称在高能标和低能标下是如何破缺的，介绍了超对称和宇宙学常数问题的关系， 综述了中性伴随子( n e u t r a l i n o ) 宇宙学和引力微子( g r a v i t i n o ) 宇宙学，最后我 们得到了暗物质的密度比值的表达式，并给出了对所有暗物质粒子的 t r e m a i n e g u n n 限制。 第2 章约束哈密顿系统 关于约束推导的d i r a c b e t 昏m a 肌程序，许多作者详细地研究了约束的结构， 并提出了其它不同的方法来完善这个程序。在这章中，本文将会详细讨论狄拉克 约束推导方法，将约束的矩阵求法与狄拉克求法作比较，并讨论二者等价时的约 束推导程序。 2 1 约束系统的d i r a c - b e 玛m a l l n 计算方法 对系统的描述有两种，一是用拉格朗日描述，系统的运动满足e u l a r i l a g r a n g e ( e l ) 运动方程；另一种是用h a m i j t o n 描述，系统的运动满足正则运动方程。 对正规l a g r a n g e 量系统，这两种描述是等价的，体系的l a g r a n g e 形式可以通过 l e g e n d r e 变换得到h a m i i t o n 形式。但是对于奇异系统，二者关系不能直接通过 l e g e n d r e 变换得到。下面对狄拉克量子力学演讲集中关于约束计算方法的经典理 论进行简单回顾。 设系统的动力学由l a g r a l l g e 函数= 工( g j ，口) 来描述，其中q ( f - l ，2 ，3 ，”) 为 广义坐标，口= d 口= 由出为广义速度，这里假设三不显含时间。则系统的作 用量为 = j d 圮( n j ) ，( 2 一1 ) 利用广义坐标口，可定义正则共轭动量 a 只2 万 ( 2 - 2 ) 和正则哈密顿量 以= 只口。一上，( 2 - 3 ) 在方程( 2 - 3 ) 中以及后面所有重复指标都表示求和，如不求和则特别说明。 定义h e s s 矩阵的矩阵元 ， a 2 工 ，2 面可 ( 2 - 4 ) 根据h e s s 矩阵可将拉氏量描述的系统分为两类：当h e s s 矩阵的行，0 式 d e t l