（计算数学专业论文）关于l网格剖分上样条函数空间维数的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 一直以来，张量积形式的b 样条函数在自由曲面设计中是一种非常重要的工具，它 可以看成是定义在无t 相交和l 相交的特殊l 网格上的样条函数。但是由于采用了张量 积形式，给曲面的设计带来一些困难。例如不能对剖分区域进行局部细分。在进行曲面 设计时，若构造的曲面只有在一个小区域变化突兀，而在其他区域是十分平坦的，那么 为了保持张量积网格结构，就要增加许多冗余的控制点，这给曲面设计带来了很大的负 担。这样，我们需要能够支持局部细化的网格来克服这一不足。这样l 网格上样条函数 空间的维数问题的研究是十分必要的。 在一般的矩形网格中如果允许t 相交就形成t 网格( 记为，) ，如果还允许l 相 交就形成了l 网格( 记为a ，) 。邓建松等“”用b 网的方法计算出t 网格上样条函数空 间j a ，卢，a ，) 的维数，维数公式成立的条件是次数与光滑度需要满足 加2 0 r + l ，行2 卢+ 1 。李祟君，王仁宏，张峰“7 1 利用光滑余因子的方法计算出t 网格上 样条函数空间s ( m ，t 1 ，口，) 的维数，使得维数公式可以适用于更宽泛的限制条件，邓 建松等的结果是它的特例。通过类似的方法，本文讨论了定义在l 网格上样条函数空间 的维数，并对维数公式的适用条件进行了讨论，给出几种特定l 网格上样条函数空间维 数公式的适用条件，扩展了维数公式的适用范围。 关键字：多元样条；l 网格；维数；光滑余因子方法 关于l 喇格剖分上样条函数空间维数的研究 s t u d yo n t h ed i m e n s i o n so f s p l i n es p a c e so v e rl - m e s h e s a b s t r a c t t r a d i t i o n a lt e n s o r - p r o d u c tb s o l i n ef u n c t i o n sw h i c ha r eab a s i ct o e li nt h ed e s i g no f f r e e f o n ns u d 氲：e s ，a 肥d e 丘n e do v e rs p e c i a ll - m e s h e s ，w h e r en ot - j u n c t i o n sa n dl - j u n c t i o n s a p p e a r b s p l i n es u r f a c e sh a v et h ed r a w b a c kt h a ta r i s e sf r o mt h em a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e so f t h et e n s o r - p r o d u c tb s p l i n eb a s i sf u n c t i o n s ，f o re x a m p l e ，i td on o ta l l o w1 0 e a lm e d i f i e a t i o no f t h ed o m a i np a r t i t i o n i fw ew a n tt oc o n s t r u c tas u r f a c ew h i c hi sf l a ti n 也em o s tp a r to ft h c d o m a i n , b u ts h a r pi n8s m a l lr e g i o n t om a l n t a i nt h et e n s o r - p r o d u c tm e s hs t r u c 噼，w e h a v et o a d dm a n ys u p e r f l u o u sc o n t r o lp o i n t sw h i c ha r eab i gb u r d e nt om o d e l i n gs y s t e m s s ot o o v e r c o m et h i s1 i m i t a t i o nw en e e dm e s h e sw h i c ha l l o w1 0 4 ；a lr e f i n e m e n t s ot h es t u d yo nt h e d i m e n s i o n s o f 印1 i n e 印a c e so v e r l - m e s h e s i s v e r y n e c e s s m y a l - m e s h ( i a ) i sb a s i e a u yar e c t a n g u l a rg r i dt h a ta l l o w st - j u n c t i o n sa n dl - j u n o t i o n s - at - m e s h ( i e ，a ，) i sb a s i c a l l ya c t a n g u l a rg r i dt h a ta l l o w st - j u n c t i o n s d e n ge t a l 1 0 1 p r o p o s e d8 m e t h o d b a s e do n b n e t s t oe a l c l l l a t e 血e d i m e n s i o n so f s p l i n es g l a l ：e s o v e r t - m e s h 。 w h e nt h es m o o t h n e s si sl e s st h a nh a l fo ft h ed e g r e eo ft h e s p l l n e f u n c t i o n s ( m 2 a + l ，1 1 2 口+ 1 ) c h o n g - j u nl i ，r e n - h o n gw a n g ，f e n gz l l a n g ”o b t a i n e dt h e d i m e n s i o n so fs p l m es p a c e so v 盱t - m e s h e ss 协。月，瑾，卢，r ) b yu s i n gt h es m o o t l 血g c o f a e t o r - c o n f o r m a l i 啦m e t h o d t h er e s u l to f d e n ge t a li sas p e c i a lc a s eo f t h e i rr e s u l t i nt h i s p a p e r ，w es t u d yo n t h ed i m e n s i o n so f s p l i n es p a c e ss ( m 口，卢，a l ) o v e r l - m e s h e s b y u s 吨 t h es i m i l a rm e t h o d w ea 1 s os t u d yo nt h ea p p l i c a b l ec o n d i t i o n so f t h ed i m e n s i o nf o r m u l ao f s 白 口，厉) e v e rs o m es p e c i a ll m e s h e s ，a n de x p a n dt h ea r i nw h i c ht h ed i m e n s i o n f o r l n u l aw o r k s k e y w o r d s ：m u l t i v a d a t es p l l n e ；l - m e s h ；d i m e n s i o n ；s m o o t h i n gc o f a e t o r - c o n f o r m o l i t y m e t h o d i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：垫 日期：盆z 。厶2 2 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：童掣垒 导师签名：塑l 主茎丛丝塞 呈塑五年 月! 韭日 大连理工大学硕士学位论文 引言 在一般的矩形网格中如果允许t 相交就形成t 网格( 记为，) ，如果还允许l 相 交就形成了l 网格( 记为，) 。一直以来，张量积形式的b 样条函数在自由曲面设计 中是一种非常重要的工具，它可以看成是定义在无t 相交和l 相交的特殊l 网格上的样 条函数。但是由于采用了张量积形式，给曲面的设计带来一些困难。例如不能对剖分区 域进行局部细分。在进行曲面设计时，若构造的曲面只有在一个小区域变化突兀，而在 其他区域是十分平坦的，为了保持张量积网格结构，我们不仅要在变化突兀的区域增加 控制点，还要在相应的平坦区域的竖直和水平方向上增加许多冗余的控制点，这给曲面 设计带来了很大的负担。这样，我们需要能够支持局部细化的网格来克服这一不足。这 样t 网格和l 网格上样条函数空间的维数问题的研究是必不可少的。2 0 0 3 年， s e d e r b e r g 。”等提出了t 样条。t 网格可以看成无l 相交的特殊的l 网格，文献 1 6 用b 网的方法计算出t 网格上样条函数空间s ，月，口，卢，) 的维数，维数公式成立的条件是 次数与光滑度需要满足m 2 a + 1 ，珂2 p + 1 。文献 1 7 利用光滑余因子协调方法。罔给出 该样条函数空间的维数公式，但限制条件不但与次数和光滑度有关，还与剖分的结构有 关，这就使得可以通过调整剖分的结构来拓展维数公式的适用范围。通过与文献n 7 3 类似 的方法，本文也将利用光滑余因子协调方法讨论定义在l 网格上样条函数空间 s b ，月，口，肪。) 的维数，并对维数公式的适用条件进行了讨论，给出几种特定l 网格上 样条函数空间维数公式的适用条件，扩展了维数公式的适用范围。 关于l 暇格剖分e 样条函数空间维数的研究 1 多元祥条函数简介 所谓样条函数( s p l i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片多项式函数。 1 9 4 6 年。数学家i j s c h o e n b e r g 较为系统的建立了一元样条函数的理论基础“1 ，但是 s c h o e n b e r g 的工作剐开始时并宋受到重视。从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞 速发展，样条函数也得到了迅速的发展和广泛的应用。鉴于客观事物的多样性和复杂性， 开展有关多元样条函数的研究，无论在理论上还是在应用上都有着十分重要的意义。现 在，它在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元及小波分析领域中均有较 为重要的应用。一般而言，多元样条研究的主要方法有：光滑余因子协调法、b 网方法 及多元b 样条方法。下面我们分别对他们做简要的介绍。 1 1 光滑余因子协调法 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f , h l g a r a b e d i a n 和c a r ld eb o o r 等研 究并建立了一系列关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论。c a r t e s i a n 乘积型多元样条 虽然有一定的应用价值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简 单推广。 1 9 7 5 年，王仁宏在文 2 中采用函数论与代数几何的方法，建立了任意割分下多元 样条函数的基本理论框架，并提出了光滑余因子协调法( s m o o t h i n g c o f a c t o r c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) 。从这种基本观点出发，多元样条函数的任何问题均 可以转化为与之等价的代数问题来研究。 设d 为二维e u c l i d 空间r 2 中的给定区域。以只记二元k 次实系数多项式集合： rt ， 最- p = c c xs y 牛，五 l f 柚神 j 一个二元多项式p 忍称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外没有其它多 项式可以整除它( 在复域中) 。代数曲线 f ：l ( x ，y j = o ，l ( x y ) e 只， 称为不可约代数曲线，如果，g 。1 y ) 是不可约多项式。显然直线是不可约代数曲线。 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，于是d 被分为有限 个子区域d ，d ：，d 。，他们被称为d 的胞腔。形成每个胞腔边界的线段称为网线，两 线的交点称为网点或顶点。若两个网点为同一网线的两端点，则称该两网点是相邻网点。 我们将位于区域d 内部的网点称为内网点，否则称为边界网点，如果一条网线的内部属 于区域d 内，则称此网线为内网线，否则称为边界网线。 2 大连理工大学硕士学位论文 对区域d 施行剖分以后，所有以某一网点v 为顶点的胞腔的并集称为网点v 的关 联区域或星形区域，记为缈) 。多元样条函数空间定义为 甜( ) 高c 4 ( d 荆d j 只，i = i 2 一， 事实上，j 础( ) 为一个在d 上具有接连续偏导数的分片k 次多项式函数a 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏在文 2 中指出了多元样条函数的光滑连续的 内在本质。表现为如下定理： 定理1 1 。1 设z = s ( x ，y ) 在两相邻胞腔d j 和d ，上的表达式分别为z = p 。b ，y ) 和 z = p ，g ，y ) ，其中p l g ，_ y x p ，( x ，j ，) b 。为使5 g ，y ) c 一( 丽) ，必须且只需存在多 项式吼e 最i ，。碡，使得 p t g ，j ，) 一p g ，y ) = b g ，) ，) p “- 砚g ，y ) ， ( 1 1 ) 其中一d i 与一d j 的公共髓线为 l ：“b ，y ) = 0 ， ( 1 - 2 ) 且不可约代数多项式b k y ) 岛a 由定理1 1 中( 1 1 ) 式所定义的多项式因子的g ，y ) 称为内网线l ：勺g ，j ，) = o 上 ( 从n 到d j ) 的光滑余因子( s m o o t h i n gc o f a c t o r ) 嘲。说明内网线上的光滑余因子 存在，且公式( 1 1 ) 成立。 设a 为任一给定的内网点，今按下列顺序将过a 的所有内网线n j 所涉及的i 和j 进行调整：使当一动点沿以a 为心的逆时针方向越过时，恰好是从d ，跨入d 。 设a 为任一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 为4 1 b g ，y 卅“窖f g ，y ) s o ， ( 1 3 ) 一 其中表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而劬b ，y ) 为l 上的光滑余因子。 a 设的所有内网点为 ，- 4 u ，则“整体协调条件”( g l o b a l c o n f o r m a l i t y 其中相应于内网点a 。的协调条件之g f ( x ，y ) 满足( 1 3 ) 所作的规定。 下述定理建立了多元样条的基本理论框架： 定理1 2 嘲对给定剖分，多元样条函数s g ，) ，) 雕( ) 存在，必须且只须j g ，y ) 在 )月，l(村 l = po 兰 力g 幻 + 卅 yg l 为n o髓越n 关于l 网格剖分上样条函数空间维数的研究 每条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足由( 1 4 ) 所示的整体协调条件。 王仁宏还在文 3 中建立了多元样条函数的一般表达形式。 设区域d 被剖分分割为如下有限个胞腔d 1 ，d m ，任意选定一个胞腔，例如d 1 作 为“源胞腔”，从d l 出发，画一流向图c ，使之满足： 1 c 流遍所有的胞腔d l 一，d n 各一次； 2 c 穿过每条内网线的次数不多于一次； 3 c 不允许穿过网点。 流线c 所经过的内网线稔为楣应于c 本性内网线，其它的内网线则为相应于c 的可 去内网线。显然所谓本性内网线与可去内网线都只是一个相对概念。 设l ：i v g ，) ，) = o 为c 的任意一条本性内网线，将从源胞腔出发，沿c 前进时，只 有越过后才能进入的所有闭胞腔的并集记作u 时) ，将从原胞腔出发沿c 前进时，在 越过l 之前所经过的各闭胞腔的并集记为【，b ) 。称u ( 力) 、u 峙) 为网线l 的“前方”， 记作工畋j 。 定义1 1 咧设l ：屯g ，y ) = 0 为相应于流向c 的本性内网线。多元广义截断多项式 定义为 跏堙= f k 铲烈涨) “s ， 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理1 3 嘲任一s g ，y ) 群( ) 均可唯一地表示为： 5 g ，y ) - - 鼋( x ，) + 虬( x ，y ) p “g ，) ，o ，y ) d ， ( 1 6 ) 其中p g ，y ) 最为j 0 ，y ) 在源胞腔上的表达式，表示对所有本性内网线求和，而且 沿c 越过的光滑余因子为钆0 ，y ) e p 脚_ l a 在文献 4 中，王仁宏给出了n 维样条函数的基本理论框架。这些结果与上面关于 二元样条的结果相似。在专著 5 和 6 中，详细介绍了光滑余因子协调法在多元样条中 的理论及应用。 4 大连理工大学硕士学位论文 1 2b 网方法 所谓b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系 数之间的关系，给出光滑拼接的条件，最早将一元b e r n s t e i n 多项式推广到二元情形的 是五十年代d ec a s t e l j a u 的工作，但并未发表。将b e r n s t e i n 多项式用于多元样条理 论的研究，当首推g f a r i n 在1 9 8 0 年完成的博士论文中的工作。g f a r i n 在博士论文中 考虑了多元样条的b 6 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样 条的重要方法之一。d eb o o r ，h s l l i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用。此外， 中国学者苏步青、刘鼎元、郭竹瑞、假荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也做了许多有意义的 工作。 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下样条空间。但由于剖 分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性。迄今为止， 单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角剖分上二元样条函数空间的 维数问题，多是由b 网方法的到的。下面简单介绍二元b 网方法的基本思想，详细内容 参考 7 和 8 。 设v 1 ，1 ：，v ，是三角形j 按逆时针方向排列的三个顶点，则任意x r 2 可唯一表示 为石= f l v l + f 2 v 2 + 3 v 3 ，其中，l + f 2 + f 3 = 1 ，并不难得到： r ，= 丽d c t 瓦( v 2 i - x 再, v a - x j ) ，r ：= 面d e 再t ( v l i - x i , v 3 习- x ) ，吒= 面d e 万t ( v t 百- x , 而v 2 - x j ) 。 称 ，f ：，吒为x 关于三角形占的面积坐标，面积坐标变换具有仿射不变性。 令y = x 2 一工1 ，x 的面积坐标为f ( ) = ，f f ) ，j f l f = 1 , 2 ，并记 2 = ，口：，) = r ( 2 ) 一r ( 1 ) 。函数g ) 的自变量x 用面积坐标r 替换后的到的函数仍用 厂( f ) 表示，替换前后函数的偏导数与方向导数有如下的关系： q 几) = d a f ( r ) = q 掣峋掣蝎掣， 以，( ) = 彤0 ) d 4 ，( f ) 。 其中，明( r ) = 曩r 42 i 瓣n l r 产f r ：；l ， + 如+ 如= z + 。称硝( f ) 为n 次 b e r n s t e i n 基函数。其具有如下性质： 1 磁( r ) o ，f e 占= v l ，v 2 ，v 3 】； 关于l 网格剖分上样条函数空间维数的研究 2 彤( f ) ；l ； 3 磁( f l h = 甩 是多项式空间只的一组基底； 4 磁( f ) 在点f = 兰处取唯一极大值。 由性质3 可知，任一n 次多项式p 可唯一表示成 ，( f ) = 6 。聊( f ) ， 双牡l = 栉) 称为p ( f ) 关于占的b 6 z i e r 坐标，插值于 ( 鲁，以 ：i a l = 士得分片线性函数称 为p ( f ) 关于艿的b 6 z i e r 网，简称b 网。下述定理显示了b e r n s t e i n 形式的升阶公式。 定理1 4 令9 1 = ( 1 ，o ，0 ) ，p 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，矿= ( 0 ，o ，1 ) a 弘斋酗朴川， 则 以弼( 彳) = 6 2 ) 丑( f ) 。 定理1 5 ( d ec a s t e l j a u 算法) 假设n 次多项式尸( ) = 虬脚( f ) 。若令 6 i 0 ) g ) = 钆，6 i ，g ) = r ，6 ，( ) 陋l = 以一，则 ，( f ) = 6 i ，彤”( ) ，o r 万， 特别地，取r = n ，则得p ( r ) = 6 p ( f ) 。 下述定理给出了n 次多项式p ( f ) 的方向导数。 定理1 6 珥尸g ) 。南i 驴”( f 废白) 。 设t 为以v i ，v ：，v ，为顶点的三角形，于为以吼，v ：，v ，为顶点的三角形，于与t 有公共边吃v 3 。两个相邻三角形上的n 次多项式之间的c 光滑连接条件为： 定理1 7 设p ( f ) 与j 占( f ) 分别是定义在相邻三角形r = h ，v ：，v ，】和于= 溉，v ：，v ，】 上的n 次多项式，双，例= n 和段，h = 珂j 分别是p g ) 和声( f ) 关于t 与于的b e z i e r 坐标， 则p ) 与声( r ) 之间c 光滑拼接的充耍条件是 大连理工大学硕士学位论文 6 彳= 6 2 j = 0 , 1 ，r ( 1 7 ) 其中，是。关于t 的面积坐标，刀= 0 ，如，乃) ，牙= ( 0 ， ，也) ，如+ 如= 一一s 1 3 多元b 样条 b 样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样条的 几何直观方法。这种方法的本质是研究高维空间中多面体在较低维空间投影的测度函 数。4 一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的。1 9 7 6 年d eb o o r 将其推到 多元样条。但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式推广 的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来。多元b 样条的泛函形式的推广有多种形式， 如单纯形样条，b o x 样条，锥样条等。分别由m i c c c h e l l i ，d eb o o r d ey o r e ，d a h m e n 等人给出。与上面方法相比，b 样条方法对剖分的要求更为严格，通常为均匀的剖分。 下面我们做一些简单介绍。 令矿= v f ，1 i sn c r ，其中h 可重复，使得s p a n v = r 。多元b 样条m 。b 矿) 定 义为： 肛g i 矿矿g ) 由= p o ) ， 毒 v ， d r , v ，c o 伍5 ) 其中d t = d t 。d r ，q 为r ”的凸区域。 若取国o ) = h ! ，q = s ”，则由此定义的b 样条就是m i c c c h e l l i 引入的单纯形样条， 记为u ( x l v ) 。 若取由e ) = 1 ，q = 【- ， 且。蓝v ，则由此定义的b 样条就是d eb o o r d e v o r e 引入的8 0 x 样条，记为曰( z i 矿) 。 若取( f ) = 1 ，q = 彤且。硅v ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样条，又 成为多元截断幂，记为丁b l 矿) 。 下面以b o x 样条嘲为例，介绍多元b 样条的基本性质。 定理1 8 b o x 样条丑h y ) 具有如下性质： - s u p p b ( ：4 v ) ； 喜。v ，l 一丢吉 ； 2 占( 圳y ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于o ； 3 占( 蚓叫是次数不大于n - s 的分片多项式； 7 关于l 网格剖分上样条函数空间维数的研究 4 令= m i i l 如缈】学鲫( x 矿) 丑。 一2 ，则曰g p ) 是阶光滑的； 5 b 0 l y ) + 曰q 矿) = b ( 卅v u w ) 。 8 大连理工大学硕士学位论文 2 几种特殊剖分上多元样条函数空间的维数 2 1 贯穿剖分上样条函数空间的维数 若区域d 的剖分是这样形成的；其所有网线为一些贯穿区域d 的直线切割而成， 则称这样的剖分为贯穿割分。贯穿整个区域d 的直线称为贯穿线。记区域d 的一个贯 穿剖分为。，设。在d 内有l 条贯穿线，v 个内网点4 ，4 ，且恰有n ，条贯穿线相 交于4 点，f = l ，v 。设 。，属) ，缸，p ，) 是两两线性独立的数偶，即 ，口，岛( f _ ，) ，f ，= 1 ，n 。设一点处的协调条件解空间为 = 白l ，一，g ，1 鼋；( x ，y ) q ；工+ 芦。_ y r ”= - 0 ，q p - , q ，最，一， 。 ( 2 1 ) l l s c h u m a k e r n 。1 讨论和给出了d i n l 的公式。王仁宏、崔锦泰在文献 1 1 中也给出了 d h n k 的公式 引理2 1 ，它不同于l l s c h u m a k e r 的原始形式“屺，且便于应用。 一“池叫陆弘芦一 矧 【( - 0 k 一( “k + ( - 3 ) + ( 。) 专暑 ) ( 2 z ) ll “十j j 在解完了所有内网点处的协调条件( 即整体协调条件) 后，每条贯穿线中都有一段 内网线，相应与其上的光滑余因子是自由的。综上所述，对于剖分。来说，所有内网 线上光滑余因子的真正自由的参数个数为工f k - ：“1 + 兰o ，) 其中l 为贯穿线的条 数，d f o ，) 由公式( 2 2 ) 给出，而一为相交于第i 个内网线处的贯穿线数，v 为内网 点数。再加上源胞腔上k 次多项式的自由度f 后：2 1 ，就可以得到整个样条函数空间的维 二 数，如定理2 1 所示： 9 ( 2 3 ) 、-，oi d ，m + n + 2 一七 ，、 c+ ， 2 + 2 ，l = 、l ， cqf i s ， m i d l2 理 定 关于l 网格剖分上样条函数空间维数的研究 2 2 拟贯穿割分上样条函数空间的维数 始于内网点，终止与d 的边界a d 的线段称为d 内的射线。如果剖分中的每一网线或 者是贯穿线的一部分、或者是d 内某射线的一部分，那么我们称这个割分为拟贯穿削分 c i i ，记为a 。拟贯穿剖分上样条函数空间的维数公式如下： 定理2 2 “设。为单连通域d 的拟贯穿剖分，它由工l 条贯穿线及如条射线所构成。 设a 。的v 个内网点为4 ，a ，且过内网点4 的贯穿线及射线的总条数为f ， i = 1 ，v 。则有如下的维数公式 m m 魄) = ( 七斗厶( “2 a + 1 垮甜( i ) 汜t ， 其中，d f ( ，) 由公式( 2 2 ) 给出。 2 3 矩形剖分上样条函数空间的维数 不失一般性，设矩形域o 是一个开正方形戤，y 】o 而y 1 j ，取0 x 1 茸。 1 ， 0 y l y ， n o。 m g 。 ( 0 = 旦芝) ( 1 j 为竖直t 网线) 。那么有： i 2 一p d i m s ( m ，n ，口，a r ) = ( r a + 1 ) ( n + 1 ) + v ( m 一( 胛一) + ( c 一t h ) ( m + 1 ) ( 疗一) + ( c 。一r ) ( 摊+ d ( m 一口) ( 2 1 2 ) o。i；嚣 。如；智；材 尊 关于l 网格剖分上样条函数空问维数的研究 3l 网格剖分上样条函数空间的维数 3 1 l 网格剖分上样条函数空间定义 给定的l 网格。我们用f 表示，中的所有胞腔，用q 表示在，中所有胞腔所包 含的区域。令s 如 a ，屈屯) b ，) e c m 4 0 】j 仁y 】，只。，v e f ， 其中只。表示如下的二元多项式的全体，p g ，y ) = x y 7 ，c 4 j ) 表示所有在区 i = o = 0 域。上沿x 方向口阶连续，沿y 方向，阶连续的二元函数空间。我们称s ，h ，肛。) 为定义在给定l 网格，上的样条函数空间。 贯穿线，拟贯穿线“，t 网线上协调条件的解空间的维数已经有详细的讨论。 本文考虑l 网线上的协调条件解空间的维数。首先讨论两条l 网线l 相交，交点处的协 调条件。 3 2l 相交点处的协调条件 对于给定的l 网格剖分，设萌f ，疵f e 是剖分a j 的竖直内网线，所在直 线的方程为x - a = o ；e 是剖分，的水平内网线，所在直线的方程为y - b = o ：他们相交于网 点0 - 若。o ，y ) es 如，一，口，卢，l ) ，且j i 。= s o ，y ) ，s ! ，= j ：g ，y ) ，存在 g g ，y ) 只一，p g ，y ) 己+ ，满足 如g ，) 一 b 。y ) = g g ，) ，x x a 广+ s ：g ，y ) 一s 。g ，y ) = p g ，) ，) ( y 一6 y + ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中，q ( x ，y ) ，g ，) ，) 分别称为内网线e ，f 上的光滑余因子。 由公式( 1 ) 、( 2 ) 我们有： g g ，y 量一a r “；p g ，j ，) o 一6 y ”，由于g 一口广”与( y 一6 y “互素，则有 9 0 ，y ) = d g ，y x 一6 y + 1 ； ( 3 3 ) p g ，) ，) = c ( x ，y x x 一口y + 1 ； ( 3 4 ) 其中c g ，y l d ( x ，) t 巴一。，。因此可以得到 其中c g ，y l d g ，) 己一一口，。因此可以得到 c 0 ，y ) = 一d g ，y ) ； 1 6 ( 3 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 3 3l 网线上的整体协调条件 先考虑水平l 网线上的协调方程，若水平l 网线上有n 个网点，分别记为 x ix ：，h ，其中而，h 为端点，那么我们可以得到各个网点处的协调方程： 只( x ，y ) = ( x - - x i ) 。“c i ( x ，y ) ； p a x ，力一p d x ，y ) = ( x - - x 2 ) 。+ 1 c 2 0 ，y ) ； 晶一l ( z ，力一日一2 0 ，y ) = 一x n - 1 ) ”1 c ，y ) ； 一目一1 ( 工，y ) = ( 工一z ) 4 “c ( x ，y ) ； 其中q ( x ，y ) 只一i 。一州， ( f = 1 , 2 ，n ) 称为网点的协调因子， 加可得水平l 网线上的协调方程 c ，g ，) ，一x ，y ”s0 ； f l 同理，竖直l 网线上的协调方程为 将以上方程相 ( 3 6 ) d j 0 ，y ) ( y y ，y “；0 ： ( 3 7 ) t l 其中d ，( 膏，力焉。吐唧_ l ，( _ ，= 1 , 2 ，n ) 。方程( 3 6 ) ( 3 7 ) 与文献 1 7 中t 网线上的协调方程一致，由引理2 2 可知其解空间的维数分别为 ( n f 1 ) ( n ( m c r ) 一( m + 1 ) ) + 和( 聊一a ) c n ( n - p ) 一( 胛+ 1 ) ) + e 3 4 复点连通分支的维数公式 定理3 h 给定一个l 网格，及其上的一个样条空间s ( m ，拧，a ，a l ) 其中用a + 1 ， 一+ 1 ，a ，的一个复点连通分支f 由n 条有界网线组成( n o ) ，其中水平有界网线的 个数为巧，竖直有界网线的个数为e ，网点数为矿，把连通分支中的有界网线排个顺 序记为l ，_ ，：斗斗f ，记前i 个有界网线，1 2 ，组成的集合记为r ，上的网点 个数为h ，l 重网点数为研，2 重网点数为砰，显然有v ，= 群+ 砰，与前i 一1 个有界网 线，z ：，i i 一。的公共网点个数记为。如果v ，2 m 。+ ( = 盟) ( f 。为水平有界网 线) ；v f o 十( 0 = 旦芸) ( 1 i 为竖直有界网线) 。那么这个连通分支上全局协调 以一1 1 条件的维数为 关于l 网格剖分上样条函数空间维数的研究 d i m ( r ) = v ( m c e ) ( n 一仂一e ( 州+ d ( n 一) 一e ( m - a ) c n + 1 ) ( 3 8 ) 证明；对于每条水平的有界网线，由协调条件得 艺或( 工，y ) ( x - x # ) ”1 = o ， ( 3 9 ) j - i 我们称西( x ，力为上点上的协调因子。由引理2 2 可知，公式( 3 9 ) 解空间的维数 为一d ( v i ( m - a ) - ( m + 1 ) ) + 。任意给一个有界网线的顺序_ f 2 斗_ ，水平网线 与前面，1 2 ，1 的公共交点为，且有u - t ，m o ，即( h - t , ) ( m - a ) 小+ 1 。 根据引理2 2 的证明过程可知，方程( 3 9 ) 等价于m 一) 个方程组： 爿j c j = 0 s u = o ，l ，万一- 1 ) ： ( 3 1 0 ) 其中 a j = ( 以，4 之，一：。) ， c j = 0 j ，c 。i ，c j ) 7 ， a = 1 ，2 ，忉 u = o ，l ，。n - - - 1 ) ( 1 _ ，sv ，歹z + ) 的沏- a ) ( n - # ) 个未知数即为磊y ) 的待定 系数，且珥( ，= o ，1 ，即一卢一1 ) 为方程组中以( z = o ，1 ，万一卢一i ) 的系数。 若v 一1 m o ，m o = 兰! - 三；即( v f 一1 ) ( 聊一口) m + l ，那么定有v i ( m 一口) m + l 。 一u 则纠的秩为m + 1 ，a j 为行满秩，又因为( v ，一1 ) ( 用一口) m + 1 ，若去掉任意一个点的协 调因子巩( x ，力，那么 a ( 鬈，鸽，4 。，群。，_ 0 ) ： c 扛( c ：，c 乞，c ；+ c ；。，c 0 ) ： 其中( ，= o ，1 ，力- p 一1 ) ，( 1 s ，v 。，_ ，z + ) ，( 1 s i n ，i z + ) 。此时一j 的秩仍为埘+ 1 ， 那么方程组纠d = 0 u = o ，1 。，挖一一1 ) 的未知量 以u = o ，1 ，甩一卢一1 ) ( 1 ，s p j ，z + ) 可以当成自由未知量，也即 磊q 。y ) ( 1 ，s 畸，歹e 矿) 的待定系数为自由未知量。 同理可证，若( v ，一f j ) ( 川一口) m + l ，我们不妨设这 内网点为d # l ( x ，y ) ，吮( x ，y ) ， ，d “o ，力，其中( 1 u ，v 括z + ) 。那么可以把相应的气( x ，y ) ，九( 囊y ) ， ，吒( y ) 这个协调因子的系数共t i ( 埘- a ) ( n - ) 个未知量当成自由未知量。那么前 i 个有界网线的维数为： d i m ( r 。) = d l m ( z - “1 ) + ( 以- d ( v f ( 埘一o r ) 一( 肼+ 1 ) ) 一，。( 胛一d ( m 一口) ( 3 1 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 同理可证，当 为竖直的有界网线时，前i 个有界网线的维数为： d i m ( r ) = d i m ( r 卜1 ) + ( 州一口) ( q ( 船一) 一( 珂+ 1 ) ) 一t ( 珂一) ( m 一6 r ) 又因为 ( h 一) = 矿， k = l 这样我们很容易就可以得到整个连通分支f 上全局协调条件的维数： d i m ( o = 以州一口) ( n 一) 一只( 州+ 1 ) ( 一一卢) 一只( 万+ 1 ) ( 晰- a ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 3 5l 网格上样条函数空间维数公式 采用 1 7 中类似方法，一个l 网格分解为若干个互不相交的连通分支，则样条空 间维数可分解为如下定理。 定理3 2 ：给定一个l 网格及其上的一个样条空间s b ，玎，o r ，从l ) 其中m 口十1 ， n 卢+ 1 ，f 划分出w 个复点连通分支，分别记为r l ，f 2 ，o ，( w 0 ) 。那么样条 函数空间的维数可以分解成如下几个部分： d i m s ( m ，”，口，正) = ( 脚+ 1 ) ( 胛+ 1 ) + ( 州一位) ( n 一) + g ( m + 1 ) ( 九一) + c ，( 以+ 1 ) ( ，押一口) + d i m ( r ，) ( 3 1 5 ) 由定理3 1 和定理3 2 ，可以得到整个l 网格上样条空间s ，n ，吼肛。) 的维数公 式。 定理3 3 ： 给定一个l 网格，及其上的一个样条空闭s 咖，珂，口，a l ) 其中m 口+ 1 ， 一+ 1 ，划分出w 个复点连通分支，分别记为f l ，f 2 ，f 。，( w 0 ) 。第i 个复 点连通分支的上的有界网线数为m ( 1 i w ，f e z + ) ，网点数为n ，水平有界网线的个 数为爿，竖直有界网线的个数为爿，记第i 个连通分支上的有界网线的排序顺序为 z ? j