（运筹学与控制论专业论文）约束全局最优化增广lagrangian方法及凸化方法研究.pdf

2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 约束全局最优化研究求解如下同题一给定紧集s r “和连续函敷 f ：s r ，寻找矿s 使得，( 矿) 茎，( z ) ，z s ，这里s 或，可能是非凸 的由于问题的非凸性，往往存在多个局部最优解，传统的非线性规划方法 不能保证找到全局最优解约束全局最优化问题广泛应用于工程、经济、 金融、国防和管理科学等许多重要领域，是现代最优化理论和方法研究中 重要而富有挑战性的课题 本文研究约束全局最优化问题的增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法我 们给出了若干基于增广l a g r a n g i a n 函数的新的原始一对偶方法，发展和统 一了文献中的增广l a g r a n g i a n 对偶和收敛性理论结果，给出了新的非光滑 凸化定理这些结果为增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法应用于约束全局最 优化算法计算提供了理论基础以下是本文的主要工作t ( 1 ) 我们研究了几类增广l a g r a n g i a n 函数的鞍点性质首先，我们在强 二阶充分性条件下，不需假设严格互补性条件，证明了五类增广l a g r a n g i a n 函数的局部鞍点存在性其次，在x 为紧集及全局解唯一的条件下，证明 了五类增广l a g r a n g i a n 函数的局部鞍点也是全局鞍点，进而在没有假设原 问题全局解为唯一的条件下，证明了全局鞍点的存在性最后，我们将这些 结果进一步推广到一个更为一般的增广l a g r a n g i a n 函数，它包含五种已被 广泛应用的增广l a g r a n g i a n 函数 ( 2 ) 我们重点研究了基于十类增广l a g r a u g i a n 函数的原始一对偶方法及 其收敛到全局解的性质我们证明了在标准的条件下，增广l 8 9 r a n g i a n 方 法产生的序列的任一极限点是原同题的全局解为克服乘子序列有界的限 制条件，我们通过修改原始一对偶方法迭代过程或修改增广l a g r a n g i a n 函 数，在较弱的假设下证明了收敛到全局解的结果 ( 3 ) 我们进步研究了基于五类增广l a g r a n g i a n 函数的原始对偶方法 的收敛到k k t 点的性质我们在增广l a g r a a g i a n 松弛问题满足一定的近似 条件下，没有乘子序列有界性假设条件。证明了增广l a g z a n g i a n 方法的全 局收敛性，即对任取初始乘子，增广l a g r a n g i a n 方法产生的序列的任一极 限点是原问题的k k t 点 ( 4 ) 我们给出了d ip f l l o - g r i p p o 的三类增广l a g r a n g i a n 函数的全局精确 罚性质证明了在二阶充分性条件下，假设原问题最优解为唯一，则原问题 i i 约柬全局最优化增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法研究 的全局最优解也是精确增广l a g r a a g i a n 函数的全局最优解其次，给出了 一个精确增广l a g r a n g i a n 方法，证明了在一般的条件下，该方法产生的序 列的任一极限点是原问题的全局解进而利用这些收敛性结果，在不假设 原问题最优解为唯一的条件下证明了这三类增广l a g r a n g i a n 函数的全局精 确罚性质 ( 5 ) 我们研究了一类特殊的约束全局优化问题一一非光滑单调优化问题 的凸化方法证明了经过适当的变量变换，半光滑单调函数可变换为凸函 数这个结果本质上推广了可微函数的凸化理论，为非光滑单调优化的凸 化方法提供了理论依据我们还利用这个凸化结果，用摄动分析方法研究 了约束全局最优化问题的全局鞍点理论 关键词t 约束全局最优化，增广l a g r a n g i a n 函数，精确罚函数，原始一对 偶算法，收敛性质，非光滑单调优化，凸化方法 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 i i l a b b t r a c t c o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： g i v e noc o m p a c ts e t s r ”，a n dc o n t i n u o u s n n e t i o n ，：s _ r ，a n do z s s u c ht h a t ，( z ) ，( z ) ，s ，w h e r eso r ，m a yb e ，l o 付c 口r w e 嚣d u et ot h ep r e s - e n o fn o n c o n v e x i t yi nt h ep r o b l e m m u l t i p l el o c a lo p t i m a ls o l u t i o n sm a ye x i s t a n dt h u st h et r a d i t i o n a ls o l u t i o nm e t h o d si nn o n l i n e a rp r o g r a m m i n gd on o tg l l 目r - a n t e e t o f i n da g l o b a s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m t h e c o n s t r a i n e d g l o b a l o p t i m i z a t i o n h a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nm a n yi m p o r t a n tf i e l d s ，i n d u d i n ge n g i n e e r i n g , e c o n c n n i e s f i n a n c e m i l i t a r ya n dn m n a g e m e n ts c i e n c e i ti s i m p o r t a n ta n d c h a l l e n g i n gr e s e a r c ht o p i ci nm o d e r no p t i m i z a t i o nt h e o r ya n dm e t h o d s t h i st h e s i si n v e s t i g a r e sa u g m e n t e dl a 口a n g l a nm e t h o d sa n dc o n v e x i f l c a - t i o nm e t h o d sf o rc o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s w ep r o p o s es e v e r a l n e wp r i m a l - d u a im e t h o db a s e do i la u g m e n t e dl a g r a n g r i a nf u n c t i o n s d e v e l o pa n d u n i f yt h ec o n v e r g e n c et h e o r yf o ra u g m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o d si nt h el i t e r s - t u r e a n de s t a b l i s hn e wc o n v e x i f i c e t i o nr e s u l t sf o rac l a s so fn o n s m o o t hm o n o t o n e o p t i m i z a t i o np r o b l e m s t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sp r o v i d et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rt h eu 8 eo fa u g m e n t e dl a g r a a g i a nm e t h o d sa n dc o n v e x i f i c a t i o n m e t h o d si nc o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o n t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h et h e - s i 8a r en sf o l l o w s ： ( 1 ) w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fs a d d l ep o i n t so fs e v e r a lt y p e so fa u g m e n t e d l a g r a n g i a nf u a c t i o n sf o rc o n s t r a i n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o n f i r s t w ep r o v et h a t u n d e rs e c o n d - o r d e rs u f f i c i e n c yc o n d i t i o n s ，f i v et y p e so fa u g m e n t e dl a 目a n l 乒矗 f u n c t i o n s a d m i t a l o c a l s a d d l e p o i n t ，w i t h o u t r e q u i r i n g t h e s t r i c t l y c o m p l e m e n t a r y c o n d i t i o n s s e c o n d w es h o wt h a tu n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h es e txi sc o m p a c t a n dt h eg l o b a ls o l u t i o no fp r o b l e m ( p ) i su n i q u e ，t h el o c a ls a d d l ep o i n to ff i v e a u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n si 8a l s oag l o b a ls a d d l ep o i n t w ef u r t h e rp r o v e t h ee x i s t e n o fg l o b a ls a d d l ep o i n t sw i t h o u ta s s u m i n gt h eu n i q u e n e s so ft h e g l o b a ls o l u t i o no ft h ep r i m a lp r o b l e m t h e s er e s u l t sa r et h e ne x t e n d e dt oam o r e g e n e r a la u g m e n t e dl a g r s n g i a nf u n c t i o n ，w h i c hi n c l u d e sf i v ei m p o r t a n tc l 脚o f a u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n s 髓s p e c i a lc a s e s ( 2 ) w ep r e s e n tn e wc o n v e r g e n c er e s u l t so fp r i m a l - d u a lm e t h o d sb a s e do n i v约束全局最优化增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法研究 t e nt y p e so fa u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n si nt h ec o n t e x to fc o n s t r a i n e dg l o b a l o p t i m i z a t i o n w es h o wt h a tu n d e rs t a n d a r da s s u m p t i o n s ，e v e r yl i m i tp o i n to ft h e s e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea u g m e n t e dl a g r a n g i n nm c t h e d si sag l o b a ls o l u t i o n o ft h ep r i m a lp r o b l e m w ef u r t h e rs h o wt h a tu n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s ，t h ec o n - v e r g e n c et o8g l o b a ls o l u t i o nc a l lb es t i l la c h i e v e db ym o d i f y i n ge i t h e rt h eb a s i c p r i m a l - d u a ls c h e m eo rt h ea u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n s ( 3 ) w ef u r t h e ri n v e s t i g a t et h eg l o b a lc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so fp r i m a l - d u a l m e t h o d sb a s e do nf i v ed a s s e so fa u g m e n t e dl a g r a n g i n n sf o ri n e q u a l i t yo d d - s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m s o u rm a i nr e s u l ti st h a tu n d e rc e r t a i na p p r 口- i m a t ec o n d i t i o n sf o rt h eu n c o n s t r a i n e da u g m e n t e dl a f a n g i n nr e l a x a t i o np r o b - l e m s t h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo ft h ea u g m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o d sc 8 nb eo b - r a i n e dw i t h o u tr e q u i r i n gt h eb o u n d e d n e s so ft h em u l t i p l i e rs e q u e n c e ，n a m e l y , e v e r yl i m i tp o i n to ft h e8 e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea u g m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o e d si sak k tp o i n to ft h ep r i m a lp r o b l e mf o ra n yi n i t i a lm u l t i p l i e rv e c t o r “) w ep r e s e n tn e w r e s u l t so ng l o b a le x a c tp e n a l i z a t i o no fd ip i l l o - g r i p p o s t h r e et y p e so fa u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c t i o n sf o rc o n s t r a i n e dn o n c o n v 8 xo p - t i m i z a t i o n f i r s t 骶s h o wt h a tu n d e rs e c o n d - o r d e rs u f f i c i e n c yc o n d i t i o n sa n d u n i q u e n e s s o f t h e g l o b a ls o l u t i o n ，t h e g l o b a l o p t i m a ls o l u t i o n o f t h e o r i g i n a l p r o b - l e mi sa l s oag l o b a lo p t i m a ls o l u t i o no ft h et h r e ee x a c ta u g m e n t e dl a g r a n g i n u f u n c t i o n s w et h e ne s t 龇hn e wc o n v e r g e n c er e s u l t so ft h ee x a c ta u g m e n t e dl a - g r a n g i a nm e t h o d sb a s e do nt h et h r e et y p e so fa u g m e n t e dl a g 睫哪 乒8 f u n c t i o n s w es h o wt h a tu n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s ，e v e r yl i m i tp o i n to ft h es e q u e n c e sg e n - e r a t e db yt h ee x a c ta u g m e n t e dl a g r u n g i n nm e t h o d si sag l o b a lo p t i m a _ ls o l u t i o n o ft h eo r i g m a jp r o b l e m f u r t h e r m o r e ，w ep r o v et h ee x a c tp e n a l i z a t i o no ft h e t h r e ea u g m e n t e dl a g r a n g i n nf u n c t i o n sw i t h o u ta p p e a l i n gt ot h eu n i q n s n e s so f t h eg l o b a ls o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e m ( 5 ) w es t u d yt h ec o n v e x i f i c a t i o nm e t h o df o ras p e d a ld a s so fc o n s t r a i n e d g l o b a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ：n o n s m o o t hm o n o t o n eo p t i m i z a t i o np m b l e m 8 w e p r o v et h a tas e m i s m o o t hm o n o t o n ef u n c t i o nc a nb e c o n v e r t e di n t oac o n v e xf u n c - t i o nv i ac e r t a i nc o n v e x i f i c a t i o nt r a n s f o r m a t i o n s t h i sr e s u l te s s e n t i a l l yg e n e r a l - i z e st h ec o n v e x i f l c a t i o ns c h e m e sf o rs m o o t hf u n c t i o n st on o n s m o o t hf u n c t i o n s ， a n dc x t e n d st h er e a _ c ho fc o n v e x i f i c a t i o nm e t h o d st on o n s m o o t hs i t u a t i o n s f i - n a l l y , a sa na p p l i c a t i o no ft h eg e n e r a l i z e dc o n v e x i f i c a t i o nr e s u l t ，w ei n v e s t i g a t et h e 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 v g l o b ms a d d l ep o i n t 8o fe o n s t r a l n e dg l o b a lo p t i m i z a t i o nb ym e a n so fp e r t u r b a t i o n a n a l y s i s k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e d 咖o p t i m i z a t i o n ，a u g m e n t e dl a g r a n g i a nf u n c - t i o n s ，e x a c tp e n a l t yf u n c t i o n ，p r i m a l - d u a lm e t h o d s ，c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e s ，n o n - s m o o t hm o n o t o n eo p t i m i z a t i o n ，e o n v e x i t l c a t i o nm e t h o d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 鼢。琴知泡日期l 0 2 唧么 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇该胎铷签名务，托魄删7 厂 第一章前言 全局最优化问题广泛应用于工程、经济、金融、国防和管理科学等许多重要领 域，成为当今国际最优化领域的个研究热点，特别是近三十年来全局最优化的理论 和算法取得了很多新的研究成果，有关专著和综述见文献【1 1 1 1 3 0 1 1 3 3 4 1 4 2 1 4 4 4 5 4 7 1 8 2 8 3 1 2 6 1 1 2 7 1 1 问题提出及应用背景 本论文考虑如下不等式约束全局最优化问题t ( p )m i l l ，( z ) s t 取( 功0 ，i = 1 ，m ， x 其中，：舻一r 和肼：r n r ，i = 1 ，m 为连续函数，且x 是r n 的非空闭凸 集，除第七章外，我们还需要假设，和鲰的可微性注意问题( p ) 中，和吼不一 定是凸函数 下面是问题( p ) 的几类具有特殊结构的约束全局优化问题 问题1 ：线性约束凹极小化问题t ( a )v a i n ，( z ) 8 t a x b ， z x = z r ”：l z 墨缸 ， 其中，是凹函数，a r m 一，b r m ，l 0 ，z x 和a 0 后来，b e r t s e k a s 【1 4 1 5 6 】推广了r o c k a f e u a r 的增广 l a g r a n g i a n 函数，提出了一类更一般的基本二次增广l a g r a n g i a n 函数设妒：r r 是一个二阶连续可微严格凸函数，且( o ) = 0 ，( o ) = 0 定义+ ( s , t ) ：p 椰o ) 纵 0 ， ( 2 1 6 ) lm i n ，r 【打+ ( r ) 】，t + ( s ) 0 ，2 x 和 = ( a l ，k ) 7 0 注意到，在( 2 1 6 ) 中令( 8 ) = ( 1 2 ) 8 2 ， 即得到r o c k a f e u a r 的二次增广l a 廖a n g i a n 函数“ 由于基本二次增广l a g r a n g i a n 函数关于原问题的变量z 是连续可微的，但不是 二阶可微的，因此就不能用n e w t o n 法来求解对应的无约束增广l a g t a n g i a n 松弛问 题为此，学者们相继提出了许多二阶可微增广l a g r a n g i a n 函数m a n g a s a r i a n 【7 3 l 对( p ) 提出了一类与l l 不同的但更为一般的无约束增广l a g r a u g i a n s 函数，它包含 m=i 三印m + + 他 m 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 9 了r o c k 出e l l a r 的二次增广l a g r a n g i a n 函数设妒：r r 是个二阶连续可微函数 且满足矿( 5 ) 0 , v 8 0 ，：r r 是映上的，( 0 ) = 0 且妒( o ) = 0 定义 妒( 3 ) + = 妒o ) 5 0 ( 2 1 8 ) 【0 ， 5 0 ，z x ，a r ”容易看到，在( 2 1 9 ) 中取妒( s ) = s 2 ，就得到了r o c k a f e l l a r 的二次增广l a g r a n g i a n 函数注意到，函数l 2 ( x ，a ，p ) 的特点t ( i ) 对乘子a 没有非 负性限制；( i i ) l 2 关于乘子a 是非凹的，但对原问题的个固定的可行点，如关 于a 是凹的( 见【7 3 ，r e m a r k2 1 3 ) ；( i i i ) 当矿( o ) = 0 时，岛关于z 是二阶可微的 指数型增广l a g r a n g i a n 函数( 【5 5 】) ，罚指数型增广l a g r a n g i a n 函数( 【1 4 】) ，修正 障碍函数( 【9 5 1 ) ，p 次幂l a g r a n g i a n 函数( 6 0 1 3 2 ) 以及l o g - s i 鲫n o i dl a g a n g i a n 函数 ( 【删f 9 7 】) 是五类重要的二阶可微增广l a g r a n d a n 函数我们把经典l 赠g 劬函数 应用到( p ) 的等价变换问题即可得到指数型增广l a g r a n g i a n 函数设妒：r r 是 一个二阶连续可微严格递增函数且满足妒( o ) = 0 问题( p ) 改写为 r a i n ，( z )( 2 1 1 0 ) s t ( 1 力妒( 鳓( z ) ) s0 ，i = 1 ，m ， x ， 其中p 0 为参数由于妒是从r 到r 的一一映射，问题( 2 1 z o ) 等价于( p ) 问题 ( 2 1 1 0 ) 的l a g r a n g i a n 函数为 m 如( 毛a ，p ) = ，( z ) + ：乏：凡妒( 蛳( z ) ) ， z x ， 20 ( 2 1 1 1 ) 。i = 1 显然，l a ( x ，a ，p ) 关于z 是二阶可微的注意到，设妒( t ) = e 1 ，函数工3 即为指数 罚函数( 见1 1 4 h 3 8 1 2 5 ) ，故它是指数罚函数的一个推广 在问题( 2 1 1 0 ) 的目标函数中引入一个惩罚项，就可得到一类重要的二阶可微 的罚指数型增广l a g r a n g i a n 函数设f ：r r 是个二阶可微函数，满足( t ) = 0 ， v t 0 且 ( t ) 0 ， 0 考虑如下问题： r a i n m ) + ( 1 p ) ( z ) ) ( 2 1 1 2 ) t = l 8 t ( 1 力妒( p 鲰( z ) ) 0 ，i = 1 ，一，m ， z x 1 0 约束全局最优化增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法研究 问题( 2 1 1 2 ) 与( p ) 是等价的，这是因为这两个问题有相同的可行域而且问题( 2 1 1 2 ) 的目标函数在可行域内与i ( x ) 有相同的值问题( 2 1 1 2 ) 的l a g r a n g i a n 函数是 l 4 ( x ，a ，p ) = ，( 石) + ；陋 妒( p 虫扛) ) + f ( p 鳜扛) ) l ， z x ，a2 0 ( 2 1 1 3 ) 工4 中引入惩罚项的主要目的是克服指数型增广l a g r a n g i a n 方法的收敛性分析中遇 到的困难( 1 4 7 9 1 2 5 1 ) 为克服指数型增广l a g r a n g i a n 方法的。病态。数值行为，p o l y a k 相继提出了修正 障碍函数法( 见【9 5 j ) 和l o g - s i g m o i d 乘子法( 见f 9 6 】1 9 7 】) ，证明了修正障碍l a g m n g l a n 方法有良好的数值性态( 见f l o h 9 8 】) s u n 等人f 1 2 2 1 定义了一类更为一般的修正障 碍函数设( 一o o ，1 ) 一r 是个二次可微严格递增函数且妒( o ) = o i 类似于冈题 ( 2 1 1 0 ) ，用妒变换问题( 尸) 设= t z x ip g j i ( x ) 0 ，a 0 注意到，在( 2 1 1 4 ) 中令l p ( t ) = - h ( 1 一t ) 或p ( t ) = 1 1 ( 1 一t ) ， 可分别得到修正f h s h 函数或修正c a r r o l l 函数( 见【9 5 】) p o l y a k 在文献c 9 6 】中利用l o g - s i g m o i d 变换妒：r 一( 一2 1 n 2 ，) ： 妒( t ) = - 2 h 2 s ( - t ，1 ) = - 2 h 2 ( 1 + e t ) 一1 提出了求解问题( p ) 的l o g - s i g m o i d 乘子法由于l o g - s i g m o i d 函数妒自身的性质 ( 如1 0 ，z x 和a r m ，在( 2 1 1 9 ) 中令卢= 2 或口= 3 ，就分别得到r o c k a f e l l a r 的二次增广l a g r a a g i a n 函数( 见f 1 0 3 ，1 0 4 ) 或k i w i e l 的三次方增广l a g r a n g i a a 函数 ( 见【5 3 】) 注意到，经变量替换 凡= 8 蜘( 酬计n ，扛t ，m ， l s ( z ， ，p ) 改写为 三8 ( 硝 p ) = m ) + 刍蔷 阵+ 鼢( 别；一风尸) ( 2 1 2 。) 再取妒( 。) = p ，8 恰是由( 2 1 9 ) 定义的m a a g a s m i a n 的增广l a g r a n g i a n 函数岛， 另外，n a k s y a m a 等人【7 8 】给出了( p ) 的个二阶可微的增广l a g r a n g i a n 函数 加m ，+ 薹 a 龋i g i ( z ) + ，出p ”2 ：嚣： 偿地， 其中p 0 ，z x ， r 7 可以证明，对任意 0 ，函( z ，a ，p ) 关于z 是二阶可 微的( 见1 7 s ，l e m n m4 1 ) 文【1 1 3 】中的一些数值实验结果表明了基于岛的增广 1 2 约束全局最优化增广l a g r a n g i a n 方法及凸化方法研究 l a g r a n g i a n 方法明显优于罚函数法p i e r r e 和l o w e 在1 9 7 5 年也提出了如下的增广 l a g r a n g i a n 函数( 见f 7 4 1 ) ： 枷m + 她i = - ip g 篙i 鬻】，拦a i 仁也 l l 叫j “1 才一i ， 2u 其中p 0 ，z x ，a r 7 最近，y a n g 和h u a n g 4 8 1 1 3 4 对问题( p ) 提出下列一类增广l a g r a n g i a n 函数 l n ( z ， ，p ) = m ) + + 口i n 。f ) 0 ，p r ”，g ( x ) = ( g l ( z ) ，( ) ) r ，且函数口：r 一r + 满足如下条件t ( i ) a x g m i l l , “口( 脚= o ) ，口( 0 ) = o ； ( i i ) 口是r ”上下半连续的且水平有界的，即对扎r ，缸r ”：口( p ) a ) 有界 注意到，工1 1 是r o c k a f e l l a r 和w e t s 【i 0 7 的广义增广l a g r a n g i a n s 的个推广 当d ( p ) = j 1 j 噱时，l l l ( x ，a ，p ) 就成为r o c k m e l l a x 的二次增广l a g r a u g i a n ( 【1 0 4 】) 当0 0 , ) = l i i , l f f = ( 2 lh 1 ) 1 ，p r m ，7 0 时，可得到如下增广l a g r 自a g i a n 函数， 己，p ，a ，力= ，c z ) + ，+ ，i 忙n f ，：。 一a r p + ，( 娄f 肌1 ) ) ，z x ，a g r m , p 。 从而得到l u o 等【7 1 】的罚函数；， ，l t ( x ，o ，力= ，( 甸+ p 矿( z ) ) ，# x ，p o 其中一= m a x o , a 当一( p ) = i 矗时，同样可得到p a n g 【8 0 】的罚函数， 上( z ，0 ，p ) = ，( z ) + p i m p 9 + ( z ) ，重去( 刁 ，霉j p n 2 1 2 增广l a g r a n g i a n 函数的鞍点存在性 用l a g r a n g i a n 对偶方法求解约束最优化问题( 尸) 的个基本要求是强对偶条件 成立，即原问题( 尸) 与对偶问题( d ) 之间无对偶间隙( 见【7 2 1 ) 众所周知，零对偶问 隙与l a g r a n g i a n 函数的鞍点存在性是等价的( 见【7 4 1 ) 因此，鞍点的存在性在应用 l a g r a n g i a n 对偶方法求解同题( p ) 中起着相当关键的作用对凸约束最优化同题， 在s l a t e r 约束品性下，证明了原问题( p ) 的最优解与l a g r a n g i a n 函数的鞍点是等价 的( 见【8 j ) 但是对非凸情形，就不能保证l a g r a n t o a n 函数的鞍点的存在 2 0 0 6 年上海大学博士学位论文 约束最优化同题的增广l a g r a n g i a n 函数的局部鞍点存在性已得到深入研究对 非凸不等式约束最优化问题，a r r o w ，g o u l d 和h o w e 【3 l 证明了包含r o c k a f e l t 8 r 的一 类增广l a 口a a g i a n 函数的局部鞍点的存在性；m a a g a s a r i a nf 7 3 和n a k a y a m a 等人( 7 8 1 分别给出了无约束增广l a g r a n g i a n 函数如和增广l a g r a n g i a n 函数岛的局部鞍点； p o l y a k 在 9 5 】【9 6 】分别研究了修正障碍增广l a g r a n g i a n 函数和l o g - s i g m o i dl a 掣a n g i a n 函数的局部鞍点的存在性；r o c k a f e l l a r 【1 0 4 1 0 6 j 证明了二次增广l a 盯a n g i a n 函数 工r 的全局鞍点和局部鞍点，推广了文献( 3 1 的结果在( 6 0 ) s 2 1 3 2 】中对非凸不等式 约束最优化问题，研究了p 次幂非线性l a g r a n g i a n 函数或部分p 次幂l a g r a n g i a n 函 数局部鞍点的存在性这里指出，在文献【3 】 e o l v 3 l z s f 9 5 】【9 6 】中，局部鞍点存在性的 共同条件是在局部最优解处满足二阶充分性条件和严格互补性条件，而在【e 2 1 1 3 2 中没有要求严格互补性条件文献f 6 1 1 1 6 3 1 6 4 1 在适当的条件下证明了p 次幂非线性 l a g r a n g i a n 函数或部分p 次幂l a g r a n g i a n 函数全局鞍点的存在性最近，s u n 等人 【1 2 2 1 系统地研究了上节提到的四类增广l a 廖a n g i a n 函数岛o = 1 ，3 ，4 ，5 ) 的局部鞍 点和全局鞍点他们首先给出了局部鞍点存在的强二阶充分性条件进步，在强 二阶充分性条件和原问题( p ) 全局解唯一及问题( p ) 中x 为紧集的假设下，证明 了三种增广l a g r a n g i a n 函数岛o = l ，4 ，5 ) 全局鞍点的存在性在增加个分离性条 件下，证明了指数型增广l a g r a n g i a n 函数如全局鞍点的存在性另外，其它类型 的增广l a g r a n g i a n 函数和非线性l a g r a n g i a n 函数的对偶性和精确罚性质有很多研 究结果。见 4 8 i 9 1 1 1 9 2 9 3 1 1 0 7 1 1 1 1 1 2 1 3 4 1 本论文将在第三章给出在没有严格互补性条件下增广l a g r a n g m n 函数功o = 2 ，8 ，9 ，