（应用数学专业论文）复双曲离散群中的极限点.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究复空间上离散群的极限集，首先我们得到了复双曲群是初等群 的充要条件，这是作用在实双曲空间上的等距变换群的相应结论的推广然后，我 们研究了非初等复双曲离散群的几类极限点，刻画了非初等复双曲离散群的线可 迁点，点可迁点，逼近点的特征证明了一个斜驶元素的不动点一定是一个逼近点， 并且讨论了d i r i c h l e t 点与逼近点之间的关系，证明了逼近点不是d i r i c h l e t 点 关键词：复双曲空间；离散性；m 6 b i u s 群；初等群；极限集 硕士学位论文 a b s t r a c t t h em a i l lp u r p o s eo ft h i st h e s i ss t u d i e st h e1 洫i ts e t so f d i s c r e t es u b g r o u p si i l c o m p l e xh y p e r b 0 1 i cs p a c e ，缸s t l yw eo b t 如t h en e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n s t h a tt h ec o m p l e xh y p e r b 0 1 i c 口o u p sa r et h ee l e m e n t a r yg r o u p s ，t h e s e 缸eg e n e r “ i z e dc o n c h i o n so fi s o m e t r yt r a n s f o m a t i o ng r o u p sw h i c ha c to nr e a lh y p e r b 0 1 i c s p 髓e t h e n r es t u d ys e v e r a lr e s u l t so ft h ec l a s s i f i c a t i o no ft h el i h l i tp o i n t sa b o u t n o n e l e m e i l t 缸yd i s c r e t es u b g r o u p si i lc o i i 】【p l e xh y p e r b o l i cs p a c e ，a n dp o r t r a yt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h eh n et r a n s i t i v ep o i 工1 t s ，t h ep o i i l tt r a n s i t i 、r ep o i n t s ，t h ep o i n t so f a p p r o x i i n a t i o no fn o n e l e m e n t 缸yd i s c r e t es u b 口o u p si i lc o m p l e xh y p e r b o l i c 印a c e t h a taf b 【e dp o 砒o fa1 0 x o d r o m i ce l e m e n ti n u 乱b eap o 毗o fa p p r o x i i n a t i o ni s p r o v e ni nt h i sc h 印泐t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed i r i c h l e tp o 砒sa n dt h ep o 砒s o fa p p r o x i i l l a t i o na f ed i j s c u s s e d a l s ow h i c ht h ep o 毗so fa p p r o x 血a t i o na r en o t t h ed i r i c h l e cp o i l n sa r ep r o 、r e l li nt h i s 砒i c a l k e yw b r d s ：c o m p k xh y p e r b o l i cs p a u c e ；d i s c r e t e n e s s ；m 6 b 沁蓼o u p ； e 1 e m e n t a r y 口o u p s ；l h n i ts e t s 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含饪何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文麴研究做出重要贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 懒名：式和镣吼加8 年岁月舳 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子敝，允许论文被查阅和借阅。 本人授权滏南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 王、保密口，在年解誊后适用本授权书。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：刘f 南锋尽期：劲娼年上月理吕 翩签细唧聃神州协日 i 硕士学位论文 l 。羔研究背景 第1 章绪论 双曲几何与离散群是现代复分析的几何理论中的一个重要的研究方向其研 究成果和方法在r 三e 礅躲n 曲面，低维拓扑，复动力系统，隧出m 浊嚣空间，三维流 形等方面有着很重要的应用例如：a h l f o r sl v 【1 j 在上个世纪七十年代仔细研究了 有限生成的k l e i n 群( 二维的离散m 硒i u s 群) ，使离散群理论与髓i c h m i e r 空间联系 起来：t h 凇s 毛强w 。f 2 】剩用双曲几何与离散群的结论研究了三维流形的拓扑性质； 利用高维拟共形映照，m o s t o ，【3 在上世纪八十年代证明了刚性定理，m o s t o w 刚性 定理表明作用予高维双曲空间且具有有限上体积的k l e i n 群的t e i c h m 甜e r 空间是 平凡的：薹9 8 5 年，乳廷ap 1 4 ，5 】讨论了高维m 6 赣璐群在极限点的微分与冈l 性等闯题； 而j 彩r 熙n s e nt 。【6 ，7 ，8 】证明了二维m i 5 b i u s 群的离散准则，并讨论了二维m 拍i u s 群的 代数收敛性与几何收敛性另外，p a t t e r s o ns j i 9 ，1 0 1 和s u l l i v 觚d 阻1 2 】等人研究了 离散群的极限集，讨论离敏群的遍历理论，得到了许多深刻的定理 由单值化定理，我们知道任意个双曲型r i e l n a n n 曲面解析同构于g ，其 中是单位圆盘，g 是保持不变且不含椭圆元素的离散群复双曲流形正是双 曲型融e m a n 珏醴蔼的高维推广，上个世纪八十年代，g o l d m 能w 。磁。，m o s t o wg 。 d 。等人开始研究复双曲几何，g o l d m 雅w m 【1 3 1 在1 9 9 0 年出舨了第一本复双曲几 何方面的专著，从此以后，越来越多的人关注于复双曲几何及复双曲离敞群的研 究，k a m i y as 潍1 5 ，1 6 l 研究了复双曲群的离散性条件，g o l d m 粕w m 。穰p a r k 汀j 。 r 。1 1 7 】等人讨论了复双曲三角群的形变阍题，证明了复双曲三角臻的局部剐性，并提 出了关于复双曲三角群的形变的猜想，2 0 0 2 年，s c h w a r t zr e 【1 8 】证明了g o l d m a n 和 p a r k e r 的猜想，并在证明过程中发展了一系列研究复双益几何的新方法f a l b e l e 【1 9 2 0 】讨论了复双曲三角群的刚性与弹性，并与p 黻k e rj 。r ，一起研究了复双担空 间中模群的模空间 初等群是离散群几何理论中的一个比较简单而又很重要的概念，b e a r d o na f 酬讨论了二维初等m 弱i 糙群的性震及其分类，营春矧将二维初等m 荟坟璐群l ；冬 结果推广到了高维m 油i 璐群上，周青【2 3 1 在1 9 9 3 年研究了高维初等m 6 b i u s 群的性质 和扩张，此外，戴滨林f 2 4 】还讨论了作用于h a d 锄a r d 流形上的初等群，本文在第二 章将讨论复双赫_ 视等群，将二维初等m 确i 糙群的一些结果推广到疑维的复双鼗群 上 极限集是离散群几何中的另一个重要概念，1 9 7 6 年，p a t t e r s o ns s 讨论了c h 群的极限集及其测度，b e a 砸o na f 幂l m 蘸k i tb 2 嗣还讨论了k k i n 群的极限集。 1 9 8 9 年，n i e h o 弧p j 。在他的专著”t h ee r g o d i et 圭l e o 秽d i s c r e 惋g r o u p s ”【2 6 】中 详细总结了高维离散m 6 b i u s 群的各类极限点及其性质，并讨论了这些极限点之间 一l 一 复双曲离散群中的极限点 的联系 对于复双曲离散群，早在1 9 7 4 年，c h e ns s 和g r e e n b e r gl 【2 7 】就仿照m 6 b i u s 群的极限点提出了复双曲群的极限点的概念，在1 9 7 8 年，k u l k a r l l ir s 【2 8 】给出了另 外一种极限集的定义2 0 0 6 年，n a v a r r e t ej p 1 2 9 】比较c h e n g r e e n b e r g 与k u l k a m i 的 这两种不同的定义，讨论了这两种不同定义下的极限集之间的联系 本文的第三章将讨论高维复双曲群的几类极限点，包括线可迁极限点和点可 迁极限点，并研究了这些极限点的一些性质 1 2主要研究结果 在第二章中，我们主要研究复双曲初等群，离散初等群是一类最简单的离散群， 在f 2 1 】中给出了一个m 6 b i u s 群是初等群的条件，并证明若g 是二元生成的m 6 b i u s 群， 其中一个生成元是斜驶元素，且两个生成元有且只有一个公共不定点时，g 是初等 的非离散群 我们在第二章将在复双曲空间建立类似于上面的定理，得到： 定理2 3 4 设复双曲子群gcp 【厂( n ，1 ) ，a ( ，) 是g 中元素，且非椭圆元 素，定义映射p ：p u ( n ，1 ) 一p u ( 佗，1 ) 为日( b ) = b a b ，如果对某一个仇1 ， 有伊( b ) = a ，则( a ，b ) 是初等群 定理2 3 5 设a ，b p u ( 死，1 ) ，a 是斜驶元素，且a 和b 有且仅有一个公共不 动点，那么( a ，b ) 是不离散的 在第三章中，我们将研究复双曲群的线可迁极限点、点可迁极限点等，并刻画 这几类极限点的特征主要得到了如下结论： 命题3 3 1 设与叩是s 2 n 一1 上的两个点和z 是b n 中的任意一点，y 是以和7 7 为端 点的测地线，那么z 到7 的双曲距离为 c o 甜( 掣) = 帮， 其中 比) = 盥羊铲 在给出了c 竹中的单位圆盘b n 中给出了锥的定义后，我们得到了b ”中一个点落 在锥中的充要条件，并给出了妒中的点列在锥中逼近妒边界的条件 引理3 3 2 设z 舻，铲n 一1 和7 7 满足o 叩 0 ，使得对于充分大的n ，落在以为顶点开口为6 的锥体内 ( 2 ) 存在入 1 ，使得对于充分大的佗， 0 锄一钏 o ，使得对于充分大的仃， 善e ( ：盯，1 ) 命题3 3 5 设铲n ， ) 是b n 中的一点列，当凡_ o 。时，i l 0 _ 1 ，若存 在叩 0 ，使得对于充分大的佗，落在以为顶点，开口为7 7 的锥体内那么对任意 以为一端的测地线7 ，存在z 0 对于充分大的扎，有 d ( ，7 ) f 成立 下面给出了几种极限点的定义，并讨论了每种极限点的性质 定义3 3 6 若对于任意一个z b n ，存在一个序列 鲰) cg 使得 熙岛制一 成立，那么我们称点l ( g ) 为g 的一个点可迁点 根据命题3 3 5 与点可迁点的定义，我们可以得到下述点可迁点的必要条件 定理3 3 7 若点 l ( g ) 是一个点可迁点，那么存在一条测地线仃使得盯的g - 象在舻中是稠密的 定义3 3 8 若对于任意一对点口，6 矽，存在一个序列 鲰) cg 使得 熙与粼= 1 和熙将粼= 1 成立，那么我们称点l ( g ) 为g 的一个线可迁点 类似于离散m 6 b i u s 群的情形，我们得到了如下结果： 定理3 3 9 若点l ( g ) 是一个线可迁点，那么存在一条测地线仃使得盯的g 象在所有测地线构成的集合中是稠密的 我们在复双曲空间中定义了极限球面与极限球，并给出了一个判断b n 中的点 落在极限球面与极限球的充要条件，进而给出狄立克莱点的定义与性质 引理3 3 1 2 若s 2 n ，z b n 和0 r 孚 定义3 3 1 3 对于离散子群gcp u ( 几，1 ) ，若对于任意一点z 妒，集合 i - 1 一i i 夕( z ) 0 叫。j 可以达到最小值，那么我们称f 是狄立克莱点 引理3 3 1 5 设徇妒和s 2 n ，盯是连接询与的一条测地射线那么极限 球可以表示为 玩= u z ：p ( z ，叫) o 我们定义一个在c n ，1 中+ 1 0 的点上的投影映射，如下： 施 磊 + 1 z n z 叶l c n 复双曲空间h 琶是复投影空间陀( 1 ) 的子空间，它是由负向量空间v 一投影生成 的，即： h 琶= 【刁腿：( z ，z ) 0 ) 其边界a h 琶是由零向量v 0 投影生成的，a h 甚= 纠陀n ，1 ：( z ，z ) = o ) ，并且同胚 于s 2 铲1 为了看清楚这一点，我们定义如下c n 到飙：n ，1 【z 】：+ l = o ) 的嵌入映 射： 艄n 一”一 并且在c n 中定义标准正定h e r m i t a n 形式： ( ( 名，伽) ) = 名1 面1 + 勿面2 + + 面n ， 其中z = ( z 1 ，勿，) 。和硼= ( 叫1 ，伽2 ，加。) 2 这样我可以认为h 跫是c 叫7 的单位球，且a h 是= a b 已= 铲n 一1cc n 我们 称a h 跫是h g 在无穷远处的球面 一5 一 复双曲离散群中的极限点 投影模型在h 3 上的度量称为眈巧唧口n 度量，其截面曲率为一l 到一4 b e 田m 口他 度量的距离函数公式d ( 奉，丰) 定义如下： c o s h 2 ( 掣) = 锹器， 其中z ，伽c n ，1 对应m ，【叫h 已的提升 我们介绍另一种复双曲空间模型，其h e m i t a j l 形式： ( z ，叫) 2 = z 1 砜+ 1 + z 2 乏2 + 幻3 + + 瓦+ + 1 面1 ， 其中z = ( z 1 ，勿，磊+ 1 ) 2 ，叫= ( 加1 ，她，+ 1 ) 。c n + 1 若z = ( z 1 ，钇，+ 1 ) 。，则定义z 的标准提升为a ( z ) = ( z 1 ，勿，1 ) 对于a ( z ) h 甚，则有 ( 名，叫) 2 = z 1 + 勿乏2 + 幻乏3 + + 乏n + 乏1 0 ， 即 因此可以定义： 6 n = 名= ( z 1 ，勿， 为叼e f 域 叼e f 的边界为： a 6 n = z = ( 翠，勿，磊) c n ：蛇( z 1 ) = 一吉l j 2 ) u o 。) n _ i 一 e 夕e 2 域上的一个点z 到c n ，1 的标准提升为向量 a ( z ) = ( z l ，勿，一，1 ) 。c 1 ， 我们通常可以通过加点o 。来使叼e z 域是紧的，而点o 。的提升为向量 = ( 1 ，0 ，o ，o ) 2 c n ， 类似于实双曲空间的上半空间模型，利用下述关系，我们得到复双曲空间 的叼e f 域模型的极球坐标表示： c 俨1 r f 0 ，。o ) _ 虿_ ) ， ( 专， ，u ) h i ( 1 一j j fj j 2 一u + i 秒) ( 1 + l i 0 2 + 缸一面) 一6 0 乃 n 弹 +乱 跄2 、l ， 0 = 耳+ 1 ( 匈) ，研+ 1 ( 叫o ) ) 分两种情况： ( 1 ) 耳+ 1 ( 纫) = 询，研+ l ( 撕) = 撕； ( 2 ) 耳+ 1 ( 劲) = ，研+ 1 ( 咖) = 知 如果( 2 ) 成立，那么动，妣都是( 目+ 1 ) 2 的不动点，并且由于屏+ 1 在a h 冬上另有两 个不动点故由a 与研+ l 共轭可知，a 2 在a h 墨上至少有四个不动点因为a 是斜驶 元素，故a 2 仍为斜驶元素，于是a 2 在a h 琶中只有二个不动点，这就产生矛盾，所以 情况( 2 ) 不成立于是可得耳+ 1 ( r 1 ) 固定劲和叫o 即 b r + 1 ( 询) = 徇，研+ 1 ( 蛐) = 咖 因此，绚和咖也是b 1 ，岛，耳的不动点由于b m ( = a ) 固定集合 绚，伽o ) ，所 以a 和b 都保持集合 劲，加o ) 不变事实上，有 b 1 ( 询) = b a b _ 1 ( 细) = 动， 得b 。( 询) = 纫或叫o 即b 保持集合 2 j d ，如) 不变，因此似，j e 7 ) 在c 2 ，1 中存在一个有 限轨道，从而( a ，b ) 是初等的 定理2 3 5 的证明 证明我们选择第二种h e 咖i t i o n 形式进行考虑 因为a 是斜驶元素，故我们可以把a 共轭成下面的形式： 入00 0u0 0 0a l 一1 1 一 ， 1 复双曲离散群中的极限点 俐朋阿忪酽舢 = ( a ( a 口 0 0 筝m m 三 吾墨 翟m 翠+ 洲赫 0u m u + m pll 0u m 00a m d il 0o 吊c a 割 ( u ) m j u m( a m ) u + m p1 0d l 我们容易知道， i i ( 天) 一m 7 + u m 0 l 天l m l l 7 0 i l u l l m = i 天| _ ”i i ，y 0 _ o 一 - 2 m 6 _ om o o ， i l ( a 一仇) u m p 0 i a i m i i u + i i 仇i i 卢0 = l 入i _ i | p i i _ o 一 蚕吊c 入刊 _ 俐， m 0 0 m 一 m 0 0 一 、1j o俨o o o p 。l。ll 硕士学位论文 当七一o 。 显然对于任意的自然数m ，b m 互不相同，即b m 。互不相同因此似，b ) 中有一 个互不相同的收敛子列风。，推知似，b ) 是不离散的 一1 3 复双曲离散群中的极限点 3 1 引言 第3 章复双曲群的极限集 本章主要讨论了复双曲空间中极限集的分类，并给出每种极限集的一些性质 c n 是具有标准正定h e r 血t a j l 形式的礼维复向量空间，其中标准正定h e 1 1 i t a l n 形 式定义如下： ( ( z ，) ) = z 1 面1 + 勿- 2 + + 面n ， 其中z = ( z l ，钇，) 2 和t u = ( 叫l ，她，) 。，记恻i = ( i 乞1 2 ) 进一步，我 们还可以定义两个非零向量z 和伽所成角么叫) 如下： c 础删，= 臀制 于是c 叫p 的单位球矽和单位球面s 2 俨1 定义如下： b n = z c n ：| 1 名j i 1 ) ，s 2 n 一1 = z c n ：j j zj j = 1 ) 我们考虑保持单位球舻不变的离散复双曲子群gcp u ( n ，1 ) ，舻中双曲度量 的微分形式为 群= 喜鬻+ 毫篙熹， 其中z = ( 名1 ，勿，) 妒我们记d ( z ，叫) 是对于上述微分形式的z 到叫的双曲 距离 我们定义g 的极限集如下： l ( g ) = g ( z ) n a h 暑 1 9 7 4 年，c h e ns s 和g r e e n b e r gl 【2 7 】证明了极限集l ( g ) 不依赖于z 的选择 早在1 9 7 4 年，p a t t e r s o ns j 【9 ，1 0 】和b e 盯d o na f m a s l 【i tb 【2 5 】等都对离 散m 6 b i u s 群的极限点进行了分类并讨论了性质，而r 1 1 u l ( i ap 【3 1 】、s u l l i v a i ld 【3 2 3 3 1 、 w b i s s e n b o r ng 和r u d o l p hd j 【3 5 】等把遍历理论应用到离散m 曲i u s 群的极限集 上并讨论了其h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r 雠数2 0 0 4 年，s i e n r ag 讨论了c 俨上 的极限集2 0 0 6 年，n a 、，a r r e t ej p 【2 9 】讨论了由c h e n - g r e n n b e r g 与k 讪c 。a r n i 分别定 义的复双曲群的极限集之间的关系 3 2离散m 6 b i u s 群的极限集 在本节中，我们记b n 是舻的单位球，铲- 1 是单位球面若z = ( z 1 ，z 2 ，z n ) ， n 则= ( z ；) 1 2 那么我们有 l = 1 b n = z ：i z l 1 ) 和s n 一1 = z ：i z i = 1 ) 一1 4 硕士学位论文 ，i 给定一点z = ( z ，z 2 ，z n ) ，设7 2 = z ；，对于1 歹 竹，定义岛为第歹个 i = 1 坐标轴与向量( o ，巧，+ 1 ，z n ) 我们定义极坐标如下： 如= 盯c c o s 【巧( z ；+ + z ：) 1 2 】 岛【o ，7 r 】 当1 歹 佗一1 ， = 赛：黜兰瑟羚饲喜髦吨2 丌， 利用归纳，我们可以得到 z 1 27 c o sp 1 ， 巧 =，s i n 口1s i n 口2 s i n 如一lc o s 易当1 j n ， z n = r s i n 口1s i n 口2 s i n 口n 一1 于是，变换( r ，p 1 ，如，p n 一1 ) _ 0 1 ，现，z n ) 的j a c o b i 为 r 驴1 ( s i np 1 ) 铲2 ( s i n 如) 加3 ( s i n6 l l 一2 ) 因此，在b 叫，的体积元可以表示为： d y = r n 一1 ( s i n 口1 ) n 一2 ( s i n 口2 ) n 一3 ( s i n 如一2 ) 瑚1 d p 2 d 九一1 d r ， 在铲- 1 上的曲面面积元为 d 曲= r n 一1 ( s i np 1 ) n 一2 ( s i np 2 ) n 一3 ( s i np n 一2 ) d 臼1 d p 2 d 口。一1 于是我们可以测量伊- 1 中的某个子集a ，且我们称) 为a 的一测度 现在我们考虑r 是一个保持舻中的单位球b n 不变的离散m 6 b i u s 群，并且双曲 度量p 由下面的微分形式给出： 却= 搿 若rcm ( 君) ，则定义r 的极限集为： a ( r ) = ( z s n 一1 ：存在 m 讥) cr ，y h n ，y m ( 秒) _ z ) 由【9 】，a ( r ) 是闭集，且若a ( r ) 至少含三个点，则人( r ) 是不可数的完全集若z a ( r ) ，则称z 为极限点a ( r ) 的补集驴- 1 a ( r ) = q ( r ) 称为普通集( 或不连续集) ， 这是因为r 作用在q ( r ) 上是不连续的 定义3 2 1 若离散m 曲i l l s 群的q ( r ) = d ，则我们称r 是第一类型的；否则，我 们称r 是第二类型的 1 9 8 9 年，n i c h o u sp j 在文献【2 6 】中给出了以下几种极限点的定义 一1 5 复双曲离散群中的极限点 定义3 2 2 1 2 6 】设f a ( r ) ，若对于任何一对点n ，6 b 礼存在一个序列 r n ) c r 使得 熙酶捌= 1 和鱼酶捌乩 那么我们称是线可迁点 定义3 2 3 【2 6 】人( r ) ，若对于任何一点o b n ，存在一个序列 cr ，使 得 熙禹揣- 1 那么我们称是点可迁点 定义3 2 4 1 2 6 】人( r ) ，若对于任何一点口b n ，存在一个序列 ) cr ，使 得序列 i 一( n ) i 1 一l ( n ) i 一致有界，那么我们称是锥极限点 1 9 2 4 年，a r t i n 【3 7 】描述了作用在上半复平面上的模群的线可迁集，并且证明了 它是由只有有限整数序列代表的连分式所组成的1 9 3 1 年，m e r b e r g l 3 8 】证明了对 于第一类型的有限生成n c h s i a n 群，圆周上的点几乎处处是线可迁的更早地， l o b e u 【3 9 1 ，k o e b e ，s h i m a d a 【4 1 】等人做了许多关于线可迁点的成果其中l o b e l l 和 k o e b e 证明了当r 是第一类型的，那么线可迁集是空集 一般情况下点可迁集与线可迁集是不相同的1 9 8 0 年，s h e i n g o m 【4 2 】证明了 当r 是作用上半复平面上的模群，那么线可迁集与点可迁集不相同对于第一类型 的离散m 曲i u s 群，线可迁集是非空的，而对于第二类型的群而言，点可迁集是空集 n i c h o l l sp j 【4 3 】，s h e i n g o r n ，l e h n e r 【4 5 】等把点可迁集与数论、自守函数、自 守形式的边界行为广泛地联系在一起 对于锥极限点，文 2 6 】中证明了若是r 中的一个驶斜元素的不动点，那么是 锥极限点，并且证明了对于任意离散m 6 b i l l s 群的锥极限集与点可迁集的叫测度是 相等的 一个凸多面体p 是b n ( 或h 竹) 中的开子集，定义为可数个半空间q i 的交其中 每个半空间q 以超平面& 为边界，超平面& 与p 在b n 中的闭包的交称为p 的边 一个多面体p 是离散m 6 b i u s 群r 的基本多面体，若满足： ( a ) p 中没有两个不同的点在r 是等价的； ( b ) b 叫 ，的任意一个点与中的某个点关于r 等价； ( c ) p 的边在r 作用下是配对的； ( d ) 对于任意一个点z b n ，存在z 的一个领域使得只与有限个p 的r 像相交 众所周知，对于任意一个离散m 6 b i l l s 群，在h n 中至少存在一个凸的基本多面 体特别地，我们有狄立克莱多面体定义如下：给定一点z h n 满足z 的稳定子 一1 6 硕士学位论文 群l = 7 r ：7 z = z ) 是平凡的对于7 r ，我们可以构造半空间 q 1 = y b n ：p ( 可，z ) p ( 暑，7 ( z ) ) ) 因此我们可知只= n ，q 1 是一个基本多面体 1 9 7 4 年，b e 盯d o na f 和m a u s k i tb 【2 5 】定义了两类极限点，分别称为逼近点和 尖端点 对于7 r 作用在君，假设不是7 的不动点，且7 ( b n ) = b n ，那么存在两 个n 一1 球面s 和最分别称为7 与丫的等距球，且满足& 和墨有相同的欧式半径日和 都与伊一1 正交 定义3 2 5 【2 5 】设z a ( 7 ) ，若存在一个点z 人( r ) ，正数七和一列不同的 r 使得 i z 一( z ) i 0 我们 定义如下： 、 e ( ：克，q ) = z ：卜赢i l 后( 1 一口) 卜 下面我们定义一个以铲n 一1 上一点为顶点的锥体设z 妒，专铲加1 和叼满 足o 叩 吾，若向量和一z 形成的夹角最多为叩，并且忙一钏 2c o s 叩，那么 我们说z 落在以为项点开口7 7 的锥体中 根据上述定义，我们可以得到下述引理： 引理3 3 2 设z b n ，s 2 n 一1 和叩满足o ，7 0 ，使得对于充分大的n ，落在以为顶点开口为6 的锥体内 ( 2 ) 存在a 1 ，使得对于充分大的n ， | | 一钏 0 ，使得对于充分大的他， e ( ：盯，1 ) 证明假设( 1 ) 成立，那么由引理3 3 2 ，对于充分大的n ，我们就有 。，蛀措 c o s 正 2 怯一i i 。一 令n = 怯一磊i l ，那么我们有：一2 c o s 6 n + 1 一i i 0 2 o 结合怯一0 2 c o s 6 ， 我们可以推导出 k 0 ，对于充分大的n ，我们有 怯叫i 裂 因此由( 1 ) 可推出( 2 ) 成立 现在假设( 2 ) 成立，则 l l 一钏 a ( 1 一i l | i ) 我们注意到 于是 一南1 1 2 = 竖争巡 忙一御 生铲， 一1 9 复双曲离散群中的极限点 我们可以取盯= ( a 2 1 ) 主+ e ，那么( 3 ) 成立 假设( 3 ) 成立，从上述讨论可知，。 忙一南酽= 鲢芋哑 o 使得 ) 落在l 的7 领域( 厶r ) 中趋近于f 是 等价的 证明设兄是一条以为一端的测地线，若存在一个常数r 0 使得落在r 的r 领域( r ，7 ) 中趋近于，则对于任意一条以为一端的测地线s ，可以找到d 0 使 得( l ，r ) c ( s ，d ) 于是，磊落在s 的d - 领域( s ，d ) 中趋近于 证毕 命题3 3 5 设s 2 俨1 ， 磊) 是妒中的一点列，当佗_ 。时，0 i l 一1 ，若存 在叩 0 ，使得对于充分大的n ，落在以f 为顶点，开口为叩的锥体内那么对任意 以为一端的测地线7 ，存在f 0 对于充分大的n ，有 d ( ，7 ) 1 使得 涮 0 ，对于充分大的n ，我们有 融2 ( 掣) 枷 也就是 d ( 磊，7 ) o 和一个序列 肌) cg 满足 捌 i1 一i l 鼽( z ) 0 丫“ 于是根据定理3 3 3 和命题3 3 5 ，我们可以得到对于任意一条以为一端的测地 线仃，存在一个正数2 使得对于充分大的礼，有 d ( 夕n ( z ) ，盯) f 由夕g 对双曲度量的不变性， d ( z ，蝣1 ( 盯) ) 1 即有无限个仃的g 一象落在一个以z 为球心半径为f 的双曲球内 证毕 狄立克莱集 下面我们介绍b n 的极限球面，类似于实双曲空间设妒n 1 ，则在处