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曲阜师范大学硕士学位论文 一类非线性离散不等式及其应用的研究 摘要 本文的目的是建立一类新的带有两个独立变量的离散不等式,该类不等式 可给出未知函数一个明确的界,可用来研究特定的有限差分方程的定性理论 同时在本文中,对一类新的非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m 类型的不等式的解我们 也给出了明确的界这在研究特定的和的差分方程时可作为强有力的工具另 外,本文给出了一些应用性的例子 根据内容本文分为以下三章: 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中,我们主要研究以下形式的非线性离散不等式及其应 用 和 u ( m ,n ) 】p 。( m ,佗) + 6 ( m ,n ) c ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) 9 + d ( 8 ,t ) ( s ,) ) 。5 2 0 括叶1 ( 2 2 1 ) a 、 + e ( s ,) 9 ( 叩) ( u ( 盯,丁) ) a 】, 【u ( m ,n ) 1 p o ( m ,n ) + 6 ( 邮) 沁( 肿) 】,+ i t ( s ,t ) ( u ( 5 ,t ) ) 9 s = o 。2 0 。2 ”+ 1 ( 2 2 2 2 ) a o 。 、 + d ( 8 ,t ) ( u ( s ,t ) ) + e ( s ,t ) 9 ( 叩) ( u ( 仃,丁) ) 口】 主要通过增加求和项,将孟凡伟和纪德红【1 中的结论推广和改进,得到 一些新的结果 第三章在这一章中,我们主要研究一类非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的离 曲阜师范大学硕士学位论文 散不等式及其应用形式如下: m - - 1。m 一1。o u ( m ,礼) 七+ a ( s ,) 伽( u ( s ,t ) ) + o ( s ,t ) 似( u ( s ,t ) ) ,( 3 2 2 ) s = m ot = n + 1s = r n o = n + 1 及 m 一1 矽( u ( 仇,n ) ) 七+ o ( s ,t ) 砂7 ( 让( s ,t ) ) 叫( u ( s ,t ) ) m s = m 0 。? 1(3218)1m o o 、 + o ( s ,t ) 矽7 ( u ( s ,) ) 叫( 乱( s ,t ) ) 8 = t o ot = + l 受孟凡伟,纪德红 1 】和孟凡伟,李伟年【1 5 】的启发,本文对无穷区间上 v o l t e r r a - f r e d h o l m 类型的不等式进行研究,并给出它们的应用 关键词:离散不等式;非线性;两独立变量;差分方程;明确的界 曲阜师范大学硕士学位论文 s t u d i e so ns o m en o n l i n e a rd i s c r e t e i n e q u a l i t i e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s a b s tr a c t t h ep u r p o s eo f t h i sp a p e ri st oe s t a b l i s hs o m en e wn o n l i n e a rd i s c r e t e i n e q u a l i t i e s i nt w oi n d e p e n d e n tv a r i a b l e sw h i c hp r o v i d ee x p l i c i tb o u n d so n u n k n o w nf u n c t i o n s t h ei n e q u a l i t i e sg i v e nh e r ec a nb eu s e dt oi n v e s t i g a t et h e q u a l i t a t i v et h e o r yo fc e r t a i nf i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h i sp a p e rw ea l s o e s t a b l i s h e ds o m en e we x p l i c i tb o u n d so ns o l u t i o nt oac l a s so fn e wn o n l i n e a r v o l t e r r a - f r e d h o l m - t y p ed i s c r e t ei n e q u a l i t i e s ,w h i c hc a nb eu s e d8 , 8e f f e c t i v e t o o l si nt h es t u d yo fc e r t a i ns u m d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a p p l i c a t i o ne x a m p l e s a r ea l s oi n d i c a t e d t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ,p r e f a c e ,w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ,w es t u d yt h ef o l l o w i n gd i s c r e t en o n l i n e a ri n e q u a l i t i e sa n d t h e i ra p p l i c a t i o n s a n d t n 一1 。o 阻( m ,佗) 】p 口( m ,n ) + 6 ( m ,佗) c ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) a + d ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) s = 0t = n + 1 + e ( s ,t ) 5o o 9 ( 叩) ( “( 叩) ) q 】, a = 0r = t + l ( 2 2 1 ) m - 1m ,一1o o u ( m ,n ) p 。( m ,扎) + b ( 8 ,礼) ,死) p + f c ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) g s = 0 8 = 0t = n + 1 s 1 ( 2 2 2 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 w em a i n l yi m p r o v es o m er e s u l t so fm e n g 1 a n do b t a i n e dm a n yg o o dd e v e l o p - m e r i t s i nc h a p t e r3 ,w es t u d ys o m en e wn o n l i n e a rv o l t e r r a - f r e d h o l m - t y p ed i s - c r e t ei n e q u a l i t i e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s t h ef o r m sa r ea 8f o l l o w s : m - - 1o o m 一10 0 u ( m ,几) 后+ 。( s ,t ) 伽( u ( s ,t ) ) + 。( s ,t ) 叫( 珏( s ,) ) ,( 3 2 2 ) 3 - - = f f t 0t = n + ls = m ot = n + l a n d + 8 = r n 0t = n + 1 ( 3 2 1 8 ) s = m 0t = n + i e n l i g h t e n e db ym e n g 1 a n dm e n g 【15 ,w es t u d i e dt h ev o l t e r r a - f r e d h o l m - t y p ed i s c r e t ei n e q u a l i t i e so ni n f i n i t ei n t e r v a l s k e yw o r d s :d i s c r e t ei n e q u a l i t y ;n o n l i n e a r ;t w oi n d e p e n d e n tv a r i a b l e s ; d i f f e r e n c ee q u a t i o n ;s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;e x p l i c i tb o u n d s u s珏伽 幻 s仳 缈 s口 一 +尼 0 ,a 0 ,则对任意的k 0 , 口; 0 ,p r 0 , p a 0 ,p ,q ,r ,口是常数如果对m ,n n o , 心( m ,礼) p 。( m ,佗) + 6 ( m ,佗) f c ( s ,t ) ( 仳( s ,t ) ) 9 + d ( s ,t ) ( 乱( s ,t ) ) 7 a = 0t = n + 1 so 。 + e ( s ,t ) 9 ( 叩) ( 乱( 叩) ) 。】, 口= 0r = t + 1 f 2 2 1 ) 那么对任意的k 0 ,m ,佗n o , u ( m ,n ) 曼 a ( m ,n ) + 6 ( m ,n ) f l ( m ,n ) n 【1 + ( 三七甲c ( s ,t ) 6 ( s , 8 :0t = n + 1 r1 - 卫, 十一尤p a l s , p t ) 6 ( s ,t ) + e ( s ,t ) 4 争宁夕( 圳( 例舱 ( 2 2 2 ) 卅 。删 曲阜师范大学硕士学位论文 其中对m ,几n o ,k 0 , ( 叩) - - z 。, c ( s ,t ) ( p - pq k ;+ 螂) 争孚) s = 0 = n + l ,7 + d ( s , t ) ( pp - - r 七;州s 甲) + 啪) 9 ( 叩p+ 口( 叩) ;尼学) 】 = t - 4 - 1 ) ( p - oa k 詈a - = 0 r - - - - t1 o 证明定义函数z ( m ,扎) 为 m - - 1 o o z ( m ,仡) = c ( s ,) ( 乱( s ,t ) ) g + 酏t ) ( u ( s ,t ) ) s - - - - ot = n + 1 则( 2 2 1 ) 可写为 由( 2 2 5 ) ,我们有 + e ( s , 【让( m ,n ) 】p 口( 仇,佗) + b ( m ,n ) z ( m ,n ) u ( m ,死) ( 口( m ,佗) + 6 ( m ,亿) z ( m ,n ) ) ; 从而,由( 2 2 4 ) 和( 2 2 6 ) ,我们得到 m 一1 c o z ( 仇,扎) c ( s ,t ) ( o ( s ,) + 6 ( s , s = ot = n + 1 亡) z ( s ,亡) ) ; + d ( s ,t ) ( o ( s ,t ) + b ( s ,t ) z ( s ,t ) ) ; 8 + e ( s ,t ) a = 0 9 ( 叩) ( 。( 叩) + 丁) z ( 叩) ) 詈】 r - - - - - t + l 5 ( 2 2 3 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 422 口 丁口u丁伊 9 斟 r。删 t 第二章 非线性离散不等式及其应用 由引理2 2 2 ,我们有 如,n ) ) 争孚( 口( 印) + w ) 椰) ) + 学七卸 s = 0t = n 1 1 7o + d ( 8 , t ) 妒rr - p ( a ( s ,t ) + w ) 煳) ) + 孚而铂 + e ( s ,t ) 夕( 叩) 争甲( 口o r , t ) + 6 ( o , - r ) z ( 叩) ) + 等南铂 盯= 0 下= t + l , = ( 叩) + ,哆警c ( s 州s ,t ) + - ;i c , pa ( 叫) 6 ( 刚) ) 撕) 8 = 0t = n + l + e ( 叫) ( 詈尼宇夕( 叩) 6 ( 叩) ) z ( 叩) 】, ( 2 2 8 ) 其中 ( m ,佗) 由( 2 2 3 ) 定义 很容易证明当m ,佗0 时, ( m ,佗) 是非负的,对m 是非减的,对佗 是非增的 首先,我们假设对m ,礼n o , ( 仇,n ) 0 由( 2 2 8 ) 容易知道 令 则 z ( m ,n ) ( m ,n ) 0 , v i ( m ,佗+ 1 ) v i ( m ,佗) ,v i ( c r ,7 ) v i ( m ,仃+ 1 ) 得 v i ( m + 1 ,礼) 一v i ( m ,n )v 1 ( r n + 1 ,n + 1 ) 一u 1 ( m ,扎+ 1 ) v i ( r n ,n )v i ( m ,n + 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 争乎c ( 叩+ 1 ) b ( m 卅1 ) + 丢- t 口z pa ”( , f n 卅1 ) b ( m 肘1 ) 】 + e ( 叩+ 1 ) 妻o o ( 筘加丁) ) 2 2 1 3 a = or = n + 2 在( 2 2 1 3 ) 中固定m 不变,令佗= t ,对t = n ,佗+ 1 ,7 一1 求和,其中 r n + 1 是0 中的任意数,则 v i ( m 十1 ,佗) 一v i ( m , v i ( m ,扎) n )u 1 ( m + 1 ,7 ) 一u 1 ( m ,7 ) v i ( m ,7 ) ) 6 ( m ,t ) + ;后甲d ( m 州m ,t ) + e ( m ,t ) 罢七甲9 ( 叩) 6 ( 叩) 卜 矿= or = e + 1o 7 ( 2 2 1 4 ) 蔓三童! e 堡丝塞墼至簦塞壅基痊旦 注意 l i mv l ( m ,r ) = l i mv x ( m + 1 ,r ) = 1 , r _ o or - - * o o 在( 2 2 1 4 ) 中令r 一。o ,我们有 v l ( m + 1 ,扎) 一u 1 ( m ,n ) v l ( m ,凡) 即 u 1 ( m 十1 ,佗) 1 + + 三惫宁d ( m ,t ) b ( m ,t ) 曰 孚c ( m ,州m ,v ) + p r - k 孚d ( m 州m ,t ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 在( 2 2 1 6 ) 中固定佗不变,令m = 8 且分别令8 = 0 ,1 ,2 ,m 一1 ,由 u 1 ( 0 ,仃) = 1 ,我们有 u t ( 叩) n 1 + 孚c ( 叫) ) + - 丢k 。一,d ( 7 s , s = ot = n 1 1r 由( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 7 ) ,得 8 t ) b ( s ,t ) ( 2 2 1 7 ) c ( 榔( s ,t ) 十p r k 宁d ( s , t ) ) ( 2 2 1 8 ) 吩 n “幻 m “ 甲 屉 g p 。槲 0 , p r 0 ,p a 0 ,p ,g ,_ r ,o t 是常数。如果对m ,礼n o , 【u ( m ,n ) p n ( m ,n ) + 6 ( m ,n ) 8 = r n , + 1 。 + e ( s ,t ) g r - - - 2 s + 1 则对任意的k 0 ,仇,礼n o , i t ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) 9 + d ( s ,t ) ( u ( s ,) ) t = n + 1 7 ) ) q , ( 2 2 1 9 ) u ( 仇,n ) 。( m ,扎) + 6 ( m ,n ) ,2 ( m ,礼) i i 【1 十( 兰七甲c ( s ,z ) 6 ( s ,t ) 占= m + 1t = n + 1 1 其中对m ,n n o ,忌 0 , 石o 尼7 a ,- - p 9 l , 盯,丁) 6 ( 口,丁) ) 】) ;, ( 2 2 2 0 ) 兜( 叩) = ,【c ( s ,t ) ( p - pq k ;+ 州) 竽) 8 - - - - - 7 , r l + 1t = n + 1 o1 + d ( s , t ) ( p - pr 七;+ 凸( 州) 争宇) + e ( s ) t ) 三倒e + g ( 叩) ( p - pao:-811 店 + 下= + 。+ a ( 叩) ;南宇) ( 2 2 2 1 ) 定理2 2 2 的证明类似于定理2 2 1 的证明略 注2 2 1 若9 ( m ,n ) = 0 ,则定理2 2 1 和2 2 2 中得到的不等式可退化为 1 ,定理3 和4 】中的不等式 9 笙三童 斐垡丝塞墼丕箜壅垦基廛旦 注2 2 2 令p 。1 ,q = 1 ,d ( m ,n ) = 0 ,e 沏,n ) = 0 ( 或夕( m ,佗) :o ) ,或 r 。l ,p21 ,c ( m ,n ) = 0 ,e ( m ,t t ) = 0 ( 或g ( m ,佗) = o ) ,则定理2 2 1 和2 2 2 中得到的不等式可退化为 7 ,定理2 6 中的不等式 定理2 2 3 若当m ,佗时, u ( m ,礼) ,n ( 仇,n ) ,6 ( m ,n ) ,c ( t r t ,t t ) , d ( m ,n ) ,e ( m ,儿) ,夕( m ,死) 是非负函数,a ( m ,n ) 不恒等于0 假设对m o ( m ,佗) 是非减的,p q 0 ,p r 0 ,p o 0 ,p ,口,r ,口是常数如果 心( m ,n ) j p 。( m ,礼) + 6 ( s ,礼) 心( 邮) j p + f c ( s ,) ( “( s ,) ) a s = o s = ot = n + l + d ( s ,t ) ( 让( s ,) ) 7 + e ( s ,t ) 夕( 叩) ( 珏( 叩) ) 口】, 则对任意的k 0 ,m ,凡n o , u ( m ,扎) ( r z ( 仇,佗) ) ; 口( m ,佗) + f a ( m ,礼) + 三南宁d ( s 嘶1 ( s , p 、。 其中当m ,礼n o ,忌 0 时, ( 2 2 2 2 ) i i 1 + ( 努宁c ( s ,t ) ( r ,( s ,t ) ) ; 8 = 0 t = n + l , 亡) ) ;+ e ( s ,t ) 矿= 0r = t + 1宇夕( 丁) ( 吨,- ) ) 詈) 舱 ( 2 2 2 3 ) 脚川= 骅( 刚m s 彬( pp-qs=0t = n后;地z ) p 兰七甲)+ l , 州印渺1 ( s ,f ) 俄孚“小一筘) 8o o + e ( 叫) 口= 0r = + l9 ( 叩) ( q ( 叩) ) ;( 字七罟十岔( 巴丁) 导后学) , p 、 7 竹 ,j7 1 0 + 6 ( s ,n ) 】 ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 证明定义z ( m ,佗) 为 m l z ( m ,n ) = o ( m ,佗) + s = o 则( 2 2 2 2 ) 可写为 t ) ( 让( s ,t ) ) 9 + d ( s ,t ) ( u ( s ,) ) 夕( 叩) ( u ( 叩) ) 。】, 丁= t + l m 一1 u ( m ,n ) p z ( m ,佗) + 6 ( s ) s = 0 ( 2 2 2 6 ) 扎) 仳( s ,佗) p ( 2 2 2 7 ) 显然,z ( m ,佗) 是非负的且对于m 是非减的函数,m n o 在( 2 2 2 7 ) 中固 定礼,n n o ,由引理2 2 1 及( 2 2 1 ) 到( 2 2 2 7 ) ,得 u ( m ,n ) 】p z ( m ,n ) r l ( 仇, 其中r l ( m ,n ) 由( 2 2 2 5 ) 定义 其中 佗) , 由( 2 2 2 8 ) 和( 2 2 2 6 ) 得 【u ( m ,礼) p r l ( m ,佗) o ( m ,佗) + u ( m ,礼) 】, u ( m ,n ) = + e ( 5 ,t ) 由( 2 2 2 9 ) ,知对m ,竹n o , + d ( s ,t ) ( 乱( s ,t ) ) j o o 9 ( 叩) ( u ( 叮= o 下= + l 丁) ) a 阻( m ,礼) 】7 。( m ,n ) i 1 0 ( m ,礼) + u ( m ,佗) 】;1 1 1 ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) ( 2 2 3 1 ) 。删 d e+ 箜三童韭堡:堕宣墼丕箜蒌垦基堕旦 对仇,t , n o ,k 0 ,由( 2 2 3 0 ) ,( 2 2 3 1 ) 和引理2 2 2 ,得 r n 一1o o ”( m ,礼) 【c ( s ,t ) s ,t ) ) ;( 。( s ,亡) + 钞( s ,亡) ) ; s = ot = n + 1 其中厶( m , + d ( s ,t ) ( r 1 ( s ,亡) ) ;( a ( s ,t ) + v ( s ,t ) ) 吾 + es ,t ) 夕( 叩) ( r 1 ( 叩) ) 詈( o ( 叩) + u ( 叩) ) 詈】 a = ov = t + 1 圣 c ( s ,撕( s ,蚋宁克;+ 三惫警( 埘) + 哪) ) 】 s = 0t = n l l rf + 脚) ( 毗响等惫;+ 守( 。( s ,t ) + 岫) ) 】 + e ( 8 ,t ) + e ( s ,t ) 9 ( 叩) ( r 。( 叩) ) 爹( 攀七营) a = or = t + l , 9 ( 叩) ( r - ( 叩) ) 暑争孚( 。( 叩) + u ( 叩) ) ) = 厂3 ( m ,佗) + ( c ( s ,t ) ( n ( s ,舌) ) 嘞警 + d ( s ,t ) ( r l ( s ,蛳, - :f 船r - ,pj , 可( s ,) + e ( s ,t ) b ( 叩) ( r - ( 叩) ) 詈等忌字】u ( 叩) ) , a = 0r = t + 1 , 礼) 如( 2 2 2 4 ) 定义 ( 2 2 2 3 ) 剩余的证明类似于定理2 2 1 的证明完成略 ( 2 2 3 2 ) 定理2 - 2 ,4 假设当m ,n n o 时, 也( m ,札) ,a ( m ,他) ,6 ( m ,礼) ,c ( m ,佗) , d ( m ,n ) ,e ( m ,佗) ,夕( m ,n ) 是非负函数,n ( m ,佗) 不恒等于0 若对m n o , 口( m ,他) 是非增的,p q 0 ,p r 0 ,p 口 0 ,p ,q ,7 ,a 是常数如果 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 对m ,t t n o , 心( m , n ) 】p 口( m ,凡) + b ( s ,几) 札( s ,住) p 8 = m + l 0 0o o + i t ( s ,t ) ( u ( s ,t ) ) 9 + d ( s ,t ) ( 珏( s ,) ) 7 s = m + 1t = n + l + e ( s ,) 9 ( 叩) ( 钆( 旷) ) a 】, 口= 5 + 1 r - - t + 1 则对任意的k 0 ,m ,n n o , u ( m ,礼) ( 2 2 3 3 ) ( r z ( m ,佗) ) ; 口( m ,n ) + ,4 ( m ,礼) i i 【1 + ( 昙而甲c ( s ,t ) ( 仡( s ,t ) ) ; 8 - - - - f ( t + 1t = n + 1 。 + 三七宁d ( 州) ( 您( s ,) ) ;+ e ( s ,) 詈后宇9 ( 叩) ( 您( 叩) ) 铷;, 1 o * 一- - - $ + 1 r - = t + 1 j ( - ( 2 2 3 4 ) 其中对仇,礼n o ,尼 0 , ( 哪) = 黼) ( 如溯宇七;+ m ) 甲) 5 = 仇+ 1t - - - n + 1 ,r + 啪) ( 毗帆等七;+ 州) 宇) + 枷) ,夕( 叩) ( 您( 印) ) 暑( 等七詈+ 。( 叩) ;七甲) , 矿= s + l 竺t - 。t 1 t = t1 。 ( 2 2 3 5 ) r 2 ( 仇,n ) = n 1 + 6 ( 肿) 】j ( 2 2 3 6 ) s = ,r i + 1 定理2 2 4 的证明可参照定理2 2 3 完成略 注2 2 3 若9 ( m ,n ) = 0 ,则定理2 2 3 和定理2 2 4 中的不等式可退化为 【1 ,定理7 和8 中的不等式 1 3 第二章非线性离散不等式及其应用 注2 2 4 若p = 1 ,q = 1 ,d ( m ,n ) = 0 ,e ( m ,仃) = 0 ( 或9 ( m ,n ) = 0 ) 或 p = 1 ,r = 1 ,c ( m ,仡) = 0 ,e ( 仇,n ) = 0 ( 或9 ( m ,礼) = 0 ) ,则定理2 2 3 和定理 2 2 4 中的不等式可退化为【7 ,定理2 7 】中的不等式 2 3 应用 例2 3 1 假设m ,礼n o ,p q 0 ,p q 0 ,p ,q ,a 是常数考虑 有限差分方程 【u ( m ,礼) 】p = o ( m ,佗) + 九( s ,t ,乱( s ,t ) ,( 叩,u ( 叩) ) ) , $ = - r r i + 1t = n + 1口= 5 + 1v = t + l ( 2 3 1 ) 其中h :增rxr _ r ,a :增_ 冗,:增r r 假设 且 其中 九( m ,礼,u ,口) c ( m ,他) l u l 4 + e ( s ,t ) l , i , ( m ,仃,u ) i g ( m ,佗) l u i q , 0 0。 u = 矽( 叩,u ( 叩) ) , o = - 8 + l1 - = t + 1 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) c ( m ,扎) ,夕( m ,n ) 是非负函数,如果u ( m ,佗) 是( 2 3 1 ) 的任意解,则对m ,仃 n o ,k 0 , + e ( s ,t ) 9 ( 叩) 罟尼甲) 舱 盯= 8 + 1r = t + 1 。 1 4 ( 2 3 5 ) 甲 尼 g p 幻 一 十 h 卜 一 佗m +nm口 0 , 其中 乱z ( m ,n ) 一u 2 ( m ,n ) l ( m ,佗) 【1 + ( c ( s ,t ) q k g 。 8 = m + 1t = n + 1 + e ( s ,t ) a k 沪1 9 ( o ,丁) ) o 。o ( 仇,扎) = 【c ( s ,) ( 1 一g ) 忌a + e ( s ,t ) 8 - = - r r l , + 1t - - - n + 1 ( 2 3 1 2 ) 9 ( 盯,丁) ( 1 一o ) 胪】 事实上,若u ( m ,礼) 是( 2 3 8 ) 一( 2 3 9 ) 的一个解,则它可写成 “( m ,n ) = 雪( m ) + 皿( 礼) 一d 0 00 00 0 + 阶,t ,u ( s ,t ) , j = m + lt = n + l盯= s + 1 ( 2 3 1 3 ) ( 叩,u ( 叩) ) ) + r 3 ( s ,) 】, v = t + l r 2 3 1 4 ) 、 令u l ( m ,n ) ,u 2 ( m ,佗) 是( 2 3 8 ) 一( 2 3 9 ) 的两个解,则对m ,礼0 , o o u - ( m ,礼) 一u 2 ( m ,礼) i 0 = m + 1 0 ,m ,n n o , 其中对任意的m ,凡n o ,七 0 , 2 0 0 3 年,m e n g 和l i 1 5 】及2 0 0 7 年m e n g 和j i 【1 j 对p a c h p a t t ef 7 】做 出了进一步的推广,并得到一些好的结果,其它相关结果参看 1 1 1 4 ,1 6 _ 1 8 】 他们对b e l l m a n 型的不等式做了大量研究,但对v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的离散 不等式的研究涉及很少受 1 和【1 5 】的启发,本文的主要目的是给出一类 v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的离散不等式,该类不等式可作为分析有限偏差分与差 分方程的强有力的工具应用v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的不等式研究了和差分方 程的有界性、唯一性及连续依赖性 1 7 幻 su 幻 sc 。一 枷 nm k +nm 0 0 时,伽( u ) 0 假设o ( m ,礼) ,6 ( m ,n ) ,c ( m ,n ) 和d ( m ,礼) 对m 非减且对n 非增令( “) c ( r + ,最) 且当乱 0 时矽( u ) 0 ,这里咖( 珏) 记为矽的导数若对m ,死n o , ( u ( m ,n ) ) a ( m ,礼) + 6 ( m ,n ) 1 :c ( s ,n ) ( u ( s ,礼) ) + d ( m ,凡) ( ( s ,t ) ) 【m ,) 训( 乱( s ,。) ) + e ( s ,t ) 】, 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 则对0 m ? t z l ,r l l 佗 。,r o 。, g h l 是g 的反函数,且 g 矽一1 ( m ,n ) a ( m ,佗) ) + p ( m ,n ) e 1 ( m ,n ) 】 m 一1 o o + p ( m ,n ) d ( m ,礼) ,( s ,t ) s = 0t = n + l d o m ( g 一1 1 定理3 2 1 设,a f + ( q ) ,k 0 是一常数,当r 0 时,w c ( r + ,r + ) 是非减的且w ( r ) 0 对t k 是严格递增的 g l ( o o ) =j :斋一 风( t ) = g 1 ( 2 t k ) 一g 1 ( t ) 如果对( m ,佗) q ,u ( m ,n ) 满足 m l0 0 札( m ,n ) 七+ 8 := l i f ot = n + 1 m 一1o o 口( s ,) 叫( 札( s ,t ) ) + s = r n ot = :- v + 1 1 9 ( 3 2 1 ) o ( s ,) 叫( u ( s ,亡) ) ,( 3 2 2 ) 第三章一类非线陛v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的离散不等式及其应用 贝4 对( 仇,n ) q m 一1 。o 乱( m ,佗) g f l 0 ,定义 则 和 m - - 1。 z ( m ,几) = 惫+ s = r n ot = n + 1 m 一1。o a ( s ,t ) 叫( u ( s ,t ) ) + 8 = m 0 = n + 1 乱( m ,n ) z ( m ,n ) ,( m ,佗) q , ( 3 2 3 ) a ( s ,t ) 叫( u ( s ,t ) ) , m 一1o z ( 咖,n ) = 七十o ( s ,t ) 伽( u ( s ,t ) ) , 5 = m 0t = n + 1 a l z ( m ,n ) = n ( 仇, = n + l t ) 叫( u ( m ,t ) ) a ( m ,t ) 山( z ( m ,t ) ) t = n + l u ,( z ( m ,n ) ) a ( m ,t ) ( 3 2 4 ) 因此,由积分中值定理,对任意( 饥,n ) s2 ,存在:z ( m ,佗) f z ( m 十1 ,n ) 使得 a l c l ( z ( m ,n ) ) = g l ( z ( m + 1 ,n ) ) 一g 1 ( z ( m ,礼) ) = 庶l 哪高 = 志1 z ( m ,礼) 叫( ) 叫 一叫 2 0 曲阜师范大学硕士学位论文 因为w 是非减的,叫( ) 叫( z ( 仇,n ) ) ,从而对所有的( m ,n ) q , 所以 a l c l ( z ( m ,礼) ) 叫( z ( m ,佗) ) m 一1 g - ( 名( s ,礼) ) s = m 0 另一方面,容易验证 所以 - z ( m ,佗) a ( m ,t ) , t = n + 1 m - - lo o 8 ( s ,t ) s = m ot = n 十1 m l a g ,( z ( 肿) ) = g t ( z ( m ,佗) ) 一g z ( z ( m o ,n ) ) , 8 = r g t 0 g 1 ( z ( m ,n ) ) g l ( z ( m o ,礼) ) + m 一1。o a ( s , 8 = v n ot = n + 1 亡) 由于g f l 是严格增函数,由上面的不等式得对所有( m ,n ) q 或 z ( m ,7 t ) 从上面的不等式知 ,n 一1 g - ;1 g ,( z ( 砜,扎) ) + 。( s ,) 】 8 - - - 一r i 0t = n + 1 m 一1 o 。 2 z ( m 。,n ) 一k = 七+ 2 。( s ,t ) 叫( u ( s ,) ) t = m ot = n + 1 = z ( m ,n ) g _ 1 g l ( 仇o ,) ) + m 1o o 厂厂 一i _ 一 8 = m ot = n + 1 m 一1。 = g 一1 【g ,( z ,n ) ) + 口( s ,吼 8 = m o = n + 1 g l ( 2 z ( m o ,礼) 一向) 一g l ( 。( 仃沁,n ) 2 1 f 一1 o o 。( s ,t ) s = m ot - - - - - n + l ( 3 2 5 ) o ( s ,亡) ( 3 2 6 ) 第三章一类非线性v o l t e r r a - f r e d h o l m 型的离散不等式及其应用 由于日1 ( ) = g l ( 2 t 一惫) 一g l ( t ) 对t 忌是严格增函数,h 1 ( t ) 有反函数 h f l ( t ) 再由上面不等式得 z ,仇) 毋1 ( a ( s ,) ) ( 3 2 7 ) s = r n ot = n + l 将( 3 2 7 ) 代入( 3 2 5 ) 与( 3 2 4 ) 比较可得( 3 2 3 ) 当k = 0 时,用 0 代换k ,再另_ 0 ,证法同上 定理3 2 17 设u ( 仇,扎) ,d ( m ,n ) ,叫( u ) ,g 1 ( 让) 和k 如定理3 2 1 定义若 当( m ,7 1 , ) q 时,u ( m ,竹) 满足( 3 2 2 ) ,对t k , m 一1。 豆( t ) = a 1 ( 2 t - 七卜g z ( t ) 一。( s ,亡) 是严格增函数且h f f t ) = 0 有一个解c 1 ,则对( m ,n ) q , 其中g l 和g _ 1 如定理3 2 1 中定义 证明同定理3 2 1 中( 3 2 4 ) 到( 3 2 7 ) 步骤,可知对( m ,扎) q , ( 3 2 8 ) 乜( m ,他) z ( m ,n ) , ( 3 2 9 ) p 一1 z ( m ,佗) g f l ( g ,( z ( 低,佗) ) 十。( s m ( 3 2 1 0 ) s = m ot = n + 1 且 m 一1 g 1 ( 2 z ( m 0 ,扎) 一后) 一g 1 ( z ( 7 n 0 ,n ) ) o ( s ,亡) ( 3 2 1 1 ) 5 = m ot = - n + 1 由定理3 2 1 的假设和( 3 2 1 1 ) ,知 h 1 ( z ( m o ,n ) ) 0 = 吼( c 1 ) 2 2 “吖p 0 。一 一 十 gg 一 仡mu 曲阜师范大学硕士学位论文 由于瓦是严格增函数,h 1 有反函数面,因此,从上面的不等式可得 z ( m o ,t t ) c 1 将上一不等式代入( 3 2 1 0 ) 并与( 3 2 9 ) 比较,可得( 3 2 8 ) 推论3 2 2 设u ( m ,佗) ,a ( m ,t , ) 和k 如定理3 2 1 中定义若对( m ,n ) q , 仳( m ,n ) 满足 且 则 m 一1 。 m 一1 o o 札( m ,n ) 七+ 口( s ,t ) 乱( s ,t ) 十a ( s ,t ) 也( s ,t ) , 8 - - - - m ot = n + l。8一-m0t = n + l 因此 ( m ,) u ( m ,n ) m lo = e x pe 。( s ,亡) 。, 毋( t ) = a 1 ( 2 t 一后) g 1 ( z ) = i n 2 t 一是 g 了1v ) = v 0e x p v , h i - 1 ( ) =2 e x p t ,t k , ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1

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