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模量沿深度线性变化g i b s o n 地基的计算 摘要 本文深入研究了剪切模量沿深度线性变化g i b s o n 地基在荷载作 用下的位移及应力计算。首先将g i b s o n 地基离散为成层地基，利用 积分变换及传递矩阵方法计算多层地基的静力问题，其次根据一个引 理和一个假设，根据集中力作用于泊松比为常数和剪切模量沿深度线 性变化的半空间基本解，采用积分方法详细计算了条形荷载及圆形荷 载作用下g i b s o n 地基位移和应力的解答。在本文中，作者侧重用解 析解和半解析解来计算g i b s o n 地基在荷载作用下的位移和应力，对 涉及到的数值计算问题做了大量的研究。 关键词：g i b s o n 地基成层地基h a n k e l 变换传递矩阵法数值积分 t h es t u d yo fg i b s o n ss o i l w h o s es h e a r m o d u l u sl i n e a r l y v a r i e dw i t hd e p t h ， a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ed i s p l a c e m e n ta n ds t r a i no fg i b s o n ss o i lw h o s e s h e a rm o d u l u sl i n e a r l yv a r i e dw i t l ld e p t hu n d e rs u r f a c el o a dw a ss t u d i e d a tf i r s t , t h ea u t h o rt a k e st h eg i b s o ns o i la sm u l t i l a y e rs o i l sa n do b t a i n s t h es o l u t i o nf o rt h es t a t i c p r o b l e mo ft h i sm u l t i l a y e rs o i l sb yi n t e g r a l t r a n s f o r m t e c h n i q u e a n dt h er e c u r r e n c el a w so f m a t r i c e s t h e n , a c c o r d i n gt oa l e m m aa n da na s s u m p t i o na n dt h ef o r m u l a eo ff o r c ea ta p o i n ti nt h e s u r f a c eo fah a l f - s p a c e w i t l lp o i s s o n sr a t i o nv - - - - c o n s ta n d s h e a rm o d u l u sg l i n e a r l yv a r i e dw i t hd e p t h ，u s i n gi n t e g r a lt e c h n i q u e ，t h e p a p e rg i v e ss o l u t i o n sa b o u tg i b s o n s s o i lu n d e rs t r i pf o r c ea n dc i r c u l a r f o r c ei nd e t a i l s t h ea u t h o rl a y s p a r t i c u l a re m p h a s i s o n a n a l y t i c a ls o l u t i o n a n ds e m i a n a l y t i c a ls o l u t i o nt os o l v et h e d i s p l a c e m e n ta n ds t r a i n o f g i b s o n ss o i l ，s o m ec o r r e l a t i v en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n p r o b l e m s a r e s t u d i e dd e t a i l e di nt h i sp a p e r k e yw o r d sg i b s o n ss o i l ；m u l t i l a y e rs o i l s ；h a n k e lt r a n s f o r m ； r e c u r r e n c el a w so fm a t r i c e s ；n u m e r i c a li n t e g r a l 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 土体的弹性模量往往随着深度的变化而变化，g i b s o n 地基( o ( z ) = g 0 + m z ) 较好的描述了土体的这一性质，认为土体的剪切模量为深度的线性函数。研究 g i b s o n 地基在荷载作用下的应力、变形是土木工程界较为关心的课题之一，而 弹性力学理论在这一课题的研究中有着广泛的应用。目前极大部分理论分析都把 g i b s o n 地基离散为成层地基，用弹性力学理论计算其应力和位移，本文第一章 采用数学变换及传递矩阵方法，详细介绍了成层地基在静力作用下的求解方法， 并使用该方法计算了g i b s o n 地基及其他一些典型非均质地基的应力和位移，将 这些计算结果跟均质地基作比较，得出了g i b s o n 地基在荷载作用下应力和变形 的基本规律。从基本方程出发，研究g i b s o n 地基在荷载作用下的解析解，无论 在理论和工程实践中，都具有重要的意义，本文在这方面也做了一定的工作，利 用已有的基本解答，采用积分技术求解了g i b s o n 地基在条形荷载、圆形荷载作 用下的应力和位移解答。 1 一l静力问题研究现状 成层土的研究方法，是由弹性半空间理论在土木工程中的应用逐步形成发展 的。对弹性半空间的静力研究，最早应归功于法国科学家b o u s s i n e s q 。b o l l s s m e s q 于1 8 8 5 年得到了半空间表面作用竖向力后产生的应力场和位移场。 在b o u s s i n e s q 后，一些国外的学者先后获得了切线力作用半空间表面、集中 力作用半空间内部时的应力和位移的解析解。将土体看作弹性半空间，这些解可 直接应用于地基基础的设计应用，但土体作为天然地质历史的产物，具有明显的 成层性，其弹性模量是随着深度变化而变化的。因此本世纪二十年代后，一些土 木工程师开始寻求成层地基的计算方法。美国哥伦比亚大学土木工程系 b u r m i s t e r 教授在对层状地基深入研究的基础上采用积分变换技术来求解层状地 基，其实质是把偏微分方程转化为常微分方程，使问题容易求解。在b u r r n i s t e r 的基础上，许多学者对此方法作了改进与发展。同济大学公路工程研究所应用 s o u t h w e u 与a l l e n 给出的轴对称问题的基本方程式，对s o u t h w e l l 应力函数实施 h a n k e l 变换，求出了双层及三层地基的应力及位移【2 j 。孙国楹用二维f o u r i e r 变 换求解了双层地基及厚板等问题【3 】。但由于计算工具的限制，大量研究只限于三 层以内地基。直到电子计算机的广泛应用，才使得任意n 层地基的计算成为了 可能，但随之而来的是如何有效的进行计算。8 0 年代西安公路研究所的王凯提 出了计算多层地基的新方法递推回代法【4 】。1 9 5 0 年由美国科学家t h o m s o n 提出经h a s k e l l 补充和修改的传递矩阵法，是解决多层地基较好的方法1 5 j 。国内 许多学者利用这一方法解决层状地基的静力问题。施祖元、曾国熙讨论了轴对称 时多层各向异性弹性地基的表面位移【6 】，钟阳等人用矩阵方法求解弹性力学方程 7 1 ，得出单层地基的表达式，然后用传递矩阵法求解表面位移。针对上述荷载作 用在土体表面上的情况，一些学者也研究了荷载作用在土体内部的计算。c h a n 等人于1 9 7 4 年得到了双层弹性体内部作用集中力后产生的应力和位移 8 j 。d a v i s 和b a n e r j e e 求解了双层介质分界面上作用集中力后产生的应力和位移咿j 。金波在 其博士论文中详细论述了n 层地基作用内部荷载的情况。 g i b s o n 地基模型由于采用简单的表达式有效的描述了土体弹性模量随深度 变化这一特性，在工程实践中具有重要的实用价值。但纯粹对g i b s o n 地基进行 研究的相关报道并不多见。清华大学黄文熙教授给出了计算g i b s o n 地基静力作 浙江大学硕士学位论文 用下应力计算的一个经验公式 1 1 1 9r e g i b s o n ，d s e ( e n g ) ，m i c e 采用解析的方 法求解了g i b s o n 地基静力解答，但其应用有很大的局限性“”，云天铨根据一个 引理和一个假设，给出集中力作用于泊松比为常数和剪切模量沿深度线性变化的 半空间公式，获得了g i b s o n 地基位移、应力的近似解l l ”。采用云天铨提出的方 法，干钢在其硕士论文中推导了点力作用下g i 曲s o n 地基的平面应变问题【h 】。 r a j a p a k s e 研究了g i b s o n 土内部作用静荷载时的解。“” 1 2本文主要工作 1 采用传递矩阵法，计算了g i b s o n 地基在条形荷载及轴对称荷载作用下的位 移及应力解答，编制了相应的程序。应用该程序，计算了上软下硬、上硬下 软两种典型的双层地基。通过算例，得出一些有用的结论。 2 根据集中力作用于g i b s o n 地基的基本解，采用积分的方法，推导了g i b s o n 地基在条形荷载及轴对称荷载作用下位移及应力计算公式，编制了相应的程 序。通过算例，对计算g i b s o n 地基两种方法的适用性作出了评价。 2 浙江大学硕士学位论文 第二章传递矩阵法求解g i b s o n 地基静力问题 2 一l 均质地基静力问题 一、点力作用下计算公式 在弹性半空间作用一个竖向集中力时，半空间内任意点处引起的应力和位移 的弹性力学解答是有法国力学家b o u s s i n e s q ( 1 8 8 5 ) 作出的。如图2 1 所示， 在半空间( 相当于地基表面任意点处) 作用一个竖向集中力p 时，关于竖向应力 及竖向位移的解答如下： w ：v 神 圉2 1一个集中力作用下所引起的应力 o ：兰c o s 3 口 z2 丽r 口 w - 业2 r , e 降2 ”叫r i r 、 l 式中： 盯平行于z 座标轴的正应力； w m 点沿座标轴z 方向的位移； p 作用于座标原点o 的竖向集中力； r m 点至座标原点d 的距离，r = x 2 + y 2 + z 2 = z c o s a 秒r 线与z 座标轴的夹角； e 弹性模量( 地基变形模量) ： ( 2 1 ) “泊松比。 建筑物作用于地基上的荷载，总是分布在一定面积上的局部荷载，因此理论 上的集中力实际上是没有的。但是，根据弹性力学的叠加原理，利用b o u s s i n e s q 解答，可以通过积分求得各种局部荷载下地基中的应力和位移。下面给出条形荷 载及圆形荷载作用下应力位移计算的公式。 二、条形荷载作用下计算公式 设一个竖向条形荷载p o 沿宽度方向均匀分布，取条形荷载的中点为座标原 浙江大学硕士学位论文 点，水平方向x 轴，竖向为z 轴，则任意点m ( x ，z ) 的竖向应力分量为： 酽譬l 一等t a n 等一高案篆等| 协z ， 式中m = z b ，疗= x b ，b 为条形荷载的宽度。 条形荷载作用下相对于原点的位移公式为： w 幢矿删，= 等t 扣h 出鲁丝，+ 扣争 、 l i l 苣氅二生】+ 导t a i l 一( 鱼竺) + 詈t a n 一，0 兰) ) 三、轴对称荷载作用下计算公式 弹性半空间表面作用半径为i 0 ，大小为p o 的圆形荷载，其应力与位移的表 达式如下( 以力作用圆心为座标原点，水平方向r 轴，竖向为z 轴) ： ( 1 ) 在荷载中心处( r = o ，z = 0 ) 的表面最大垂直位移为： w 。- o - 掣 ( 2 ) 在z 轴上( r = 0 ) 任意一点的位移与应力分量为： w 。= 鼍笋似，堋，+ 一秘， 盯z r - o = 一p 。 1 一而1 ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 3 ) 离z 轴r 距离处的表面垂直位移分量为： w z = o = 芈口 c ：吲 式中： 口垂直位移系数，其值随r l r o 而变，见表2 - 1 。 表2 - 1垂直位移系数口 2 0 l2 5i3 0l4 0 口 i1 0 0 010 6 3 8l0 4 6 8 | 0 3 8 6i o 3 5 6 l0 3 3 610 2 9 010 2 5 91 0 2 0 4 l0 1 6 9 0 1 2 6 盯：= p o 4 + b 】i u = 丛产 - o a + ( 1 - , u ) h 】f 出了一整套弹性 ( 2 7 ) 4 浙江大学硕士学位论文 式中： a ，b ，h _ 一相对深度( z r o ) 和相对支距( r r 0 ) 的函数，有文献【i 7 j 可以查取。 以上介绍了均质地基在条形荷载及圆形荷载作用下地基任意点的位移、应力 的计算。应用这些公式，可对本文所研究的求解g i b s o n 地基的传递矩阵法及解 析法作对比，验证这些方法是否正确，同时可以反映在很多计算中将地基处理成 均质地基后所带来的误差，也可以通过对比找出g i b s o n 地基、成层地基异于均 质地基的一些规律，从而指导工程实践。 2 2 地表轴对称荷载作用下传递矩阵法计算g i b s o n 地基 一、理论推导 当不计体力时，空间轴对称问题的平衡方程为： 一a 0 - , + 堡+ ! ! 二鱼：o却 a z ， a 0 - z t - 旦生+ 垒：0 出却 ， 应力与位移之间的关系为： q = ( 旯+ 2 g ) 罢+ 兰”+ 2 娑 o rrc ) z 0 8 = 五罢竺+ ( a + 2 g ) 兰+ a 娑竺 u 厂r 吒= 五娑+ 丑兰+ ( 五+ 2 g ) 娑 u rr。z = g 擘+ 掣) 式中： 旯： 生 ( 1 + ) ( 1 2 0 ( 2 8 ) g ： 墨 。 2 ( 1 + ) 上式中四个应力分量是两个位移分量的函数，设法消去两个应力分量，为了 方便起见，消去盯，和，将( 2 - 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 代入( 2 8 ) 式得： 誓+ c 旯+ 2 g ，窘+ 7 2 i 8 u 一号“十五丽a 2 w + 等( 参一目= 。 c 2 舶， 再把( 2 1 2 ) 式对r 求偏导得： 誓：a 祟+ 鲁要一要州“2 g ) 8 2 w ( 2 - 1 5 ) 彳以矿+ 了百一7 ( n 丽 5 ) ) ) ) ) 9 o 1 2 3 二 o 0 0 o ( 2 2 2 2 ( ( ( ( 浙江大学硕士学位论文 联立( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 两式消去昙兰项得： 0 2 凹 誓= 毒1 ( 罢o r + 吾旦o r 一卦一告1 堡o r 协- 6 ， 瑟 一2l 2 ，2 j ”一卢 。 将( 2 - 9 ) 、( 2 - 1 2 ) 、( 2 - 1 3 ) 、( 2 - 1 4 ) 写成矩阵的形式： a 。 瑟 二旦 。 毋 0 ( 1 + a ) ( 1 - 2 a ) e ( 1 一u ) 00 毒1 睁o r 吾旦o r 一爿。老a 旦o r p 2 l r r 2j 。i 一 为求解( 2 1 7 ) ，对座标，进行h a n k e l 变换，令： ；皓，z ) = p ( r ，z ) 叫( 争) 卉 0 其反演公式为 0 皓，z ) = j 以w ) r j o ( g r ) d r 0 。皓，z ) = 勺( r , z ) r j 。( 争) 咖 0 ( ，z ) = f ( 孝，z ) 弘( 纠嘶 0 一 嘶，z ) = p g ，z ) 钒( 争) 嘶 0 盯：( ，z ) = p ：( 毒，z ) 。( 争) 嘶 o 一 f ：，( r ，z ) = f r 。( 善，z ) 。( 争) d 孝 0 对( 2 1 7 ) 式进行h a n k e l 变换，得到： 融2 ( 1 + a ) 卜 el o jj “ 一( 矧附2 。 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 6 l r + a 一务尚 o o 、lr，w 吒，、，l 办 )争 力p rb。 = 曲皓巳 浙江大学硕士学位论文 0 二丝芒 1 一u 7 o 高孝2主零鼍 。皇型2 1 1 二型o l l o e ( 1 一p ) oo 一l l 盯。 o 为亭。肛 令状态向量；( 景z ) = ；：j 麦 ，则上式可以写成： 4 9 ) = 掣：爿( 善) 谢，：) 韶 0 孝0 二丝f0 坠丛! 二兰生 1 一7e ( 1 一) 000 毒孝2。若善 ( 2 - 2 0 ) f 2 - 2 d 求解矩阵微分方程( 2 2 1 ) 式，解为： x ( 古，z ) = e x p z a ( 孝) 】x ( 善，0 )( 2 - 2 2 ) 式中的指数矩阵就是所求的传递矩阵。传递矩阵把初始状态向量即在= = 0 处的 状态向量与任意深度z 处的状态向量建立了关系式。 矩阵爿( 善) 的特征方程为： 忙一善2 ) 2 = 0( 2 2 3 ) 根据c a y l e y - - h a m i l t o n 定理 1 8 p 方程矩阵彳( 9 满足其特征方程必须有： a 一2 4 ：2 a 2 + 善4 ，= 0( 2 2 4 ) 其中，为4 阶单位矩阵，其级数展开式的最高次幂不能高于3 次，即 e x p z a ( 孝) = a o i + a i a + a 2 a2 + a 3 a 3( 2 - 2 5 ) 式中矩阵4 ff ，和系数a o ，a l ，a 2 ，a 3 都是变换参数f 的函数。( 2 2 5 ) 式中的矩阵 爿r 纠用其特征值代替，该式也成立，即： e x p , , l z 】= 口o + a 1 2 + 口2 分+ 口3 岔 当特征根为重根时，应满足( 2 2 6 ) 式对 的导数： z e x p a z = a l + 2 a 2 五+ 3 a ，矛 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 7 “w 吒勺 ，c1l j 一出 一 ： 生e o o 珂一 浙江大学硕士学位论文 以a = f ，代入上面两式，可得： e x p 孝z = 口。+ 口l 舌+ 口2 孝2 + 口3 孝3 e x p - 毒z = a o 一口l 告+ 口2 善2 一口3 善3 z e x p ( ；z = 口l + 2 口2 孝+ 3 a 3 孝2 z e x p - z = a 1 2 a 2 孝+ 3 a 3 善2 求解方程组( 2 2 8 ) 得： = 如乒一譬如乒 比：! 生垒二垒丝鱼 鸳 a：=2 z s h ( ；z 2 f z 苣c h 一s h 肇 码2 2 毳产 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 把( 2 2 9 ) 式代入( 2 2 5 ) 式就可以得到传递矩阵，再由( 2 2 1 ) 式可写出任意 层的应力和位移分量经h a n k e l 变换的表达式： ”( 孝，z ) w ( 善，z ) 盯：( 善，z ) f ( 善，z ) g ，g ，。 f z ! ( 扣) g ：。g ：。l l 议善，o ) g g 3 。3 。到眇， l f ( 善，o ) ( 2 3 0 ) 将兵写厩卿p 彤瓦： 三( 孝，z ) = 中( 善，z ) 云( 善，o ) ( 2 3 1 ) 其中： 三( 古，z ) = ：( 舌，：) 品( 孝，三)；：( 善，z ) ；：，( 孝，z ) b ( 古，z ) = i “( 舌，：) w ( 孝，三) c r ：( 善，z ) f ：r ( 孝，z ) i m ( 善，z ) = 【g f ( 毒，z ) j 4 。 其中传递矩阵中( e ，z ) 的各元素为： g = c 盼志曲乒 g 。：= 夏兰丽【( 1 2 ) 曲乒+ 乒幽乒 浙江大学硕士学位论文 g 萨采铅砌乒 g 。= i 器专【( 3 4 膨乒+ 乒拍翻 g 2 1 志【( 1 - 2 a ) s h 孝z 一鲫纠 g ：z 硝乒一南如乒 g ”= 蒜专【( 3 - 4 u ) s 乒一乒c h 乒】 g ：一揣劢乒u 2 4 一i i 而嚣峥 g 3 1 一焘厕乒一而黜峥 g 。：熹乒一( z c h ( z ) z c u “2 互百二万百u ”争一 g 3 3 = g 2 2 g ，。= 夏丽卜( 1 2 ) 幽乒+ 豇 乒 g 4 1 _ 志( 砌乒+ 毒z c h r ；z ) g “= g “ 现考虑图2 - 2 所示的多层弹性体系。令h i 勘f _ h ，( f = ，疗) 为各层的厚度。h f 为各层面到地表的距离。 把( 2 3 1 ) 应用于多层地基中每一层，则多层地基中每一层均有： 浙江大学硕士学位论文 b ( 掌，坷) = m ( 孝，啊) 口( 善，0 ) b ( 善， ；) = 中( 舌，a k ) b ( 孝，w ) ( 2 3 2 ) 占g ， ) = 中( 善，舳，) b ( 善，硭。) 占( 善，k ) = 偌，) b ( 善，昧。) 隧巍 洲洲。 在地表面处，即z - - - - - o 处，a ，、r 。是已知的。在底面处，即g - - - o o 处，“= 酽 。= 0 。 以上边界条件进行h a a k e l 变换后得到： 1 0 浙江大学硕士学位论文 础) = 陋o ) 。 。) ；脚) 皤。) 口( 孝，w ) = 占( 善，坷) 曰( 孝， ；) = 占( 善，西) 曰( 舌，w ) = b ( 善，酊) 口( 善，) = b ( 善，虹，) 云( 善，k ) = 。c i ( 孝，吃) ；”( 孝，) ( 2 - 3 3 ) 因此，由式( 2 3 2 ) ，式( 2 3 3 ) 可以得到如下递推关系式： b ( 善，h 。) = o ( 善，人) 中( 善，人一。) m ( 善，啊) b ( 善，0 ) ( 2 - 3 4 ) 由( 2 - - 3 4 ) 可以得到( 善，0 ) ，w ( 孝，0 ) 的解答。再通过h a n k e l 逆变换，即可求出 层地基表面的位移解。求得了位移解答后，再根据( 2 3 4 ) 式可求得任意深度 的应力解答。 二、算例 算例1 ： 验证程序的正确性。设一厚度为h = 1 0 0 m 的均质弹性土层地表面上作用一 轴对称荷载，大小p o = 1 0 0 0 k p a ，作用半径r o = 1 0 m ，弹性土层的泊松比u = 0 3 5 ， 剪切模量g = 2 0 m p a 。采用两种方法计算该土层在此荷载作用下的位移和应力。 方法一，采用公式2 7 计算，方法二，采用本文推导的传递矩阵法计算，将土 层等分为1 0 层，令o l = g 2 = = g l o = g = 2 0 m p a ，h 。= h ：= = h 。 = 1 o i n ，泊松比u = o 3 5 为常数。计算结果如下： 表2 2 表面位移计算 ， 0 oo 1o 2o 40 6o 81 01 2 算法 方法一 3 2 5 0 03 2 3 3 63 2 1 7 33 1 1 6 02 9 3 4 32 6 4 1 52 0 6 8 91 5 2 2 2 方法二 3 2 5 6 73 2 3 3 93 2 1 8 63 2 1 6 42 9 3 6 42 6 4 5 12 0 7 0 01 5 3 2 1 浙江大学硕士学位论文 表2 3 中心点下任意深度处位移计算 z o o0 51 01 52 02 53 04 0 算法 方法一 3 2 5 0 02 6 9 9 62 0 7 8 41 6 1 3 81 2 9 5 11 0 7 2 99 1 2 36 9 8 7 方法二 3 2 5 6 72 7 0 0 22 0 7 8 41 6 1 4 l1 2 9 9 61 0 7 7 8 9 1 3 26 9 9 7 表2 4z = 0 5 m 水平面上应力计算 r o 00 10 20 40 60 81 01 2 算法 方法一 9 1 0 5 69 0 6 0 69 0 1 5 58 6 9 4 57 9 5 5 46 4 6 2 64 1 7 4 72 0 7 2 1 方法二 9 0 0 3 29 0 6 0 09 0 1 2 38 5 6 8 47 8 3 6 56 3 2 4 74 1 0 0 22 0 3 6 8 表2 5 中心点下任意深度处应力计算 r 0 oo 51 01 52 0 2 53 o4 0 算法 方法一1 0 0 0 0 09 1 0 5 66 4 6 4 44 2 3 9 72 8 4 4 61 9 9 5 91 4 6 1 98 6 9 3 l 方法二 1 0 0 0 0 09 0 0 3 26 3 9 6 44 1 2 3 92 8 0 1 21 9 2 1 41 4 6 0 17 9 6 8 以上各表的数字表明，方法一跟方法二计算结果吻合较好，从而证明采用传 递矩阵法计算g i b s o n 地基程序的正确性。 算例二： g i b s o n 地基的计算。g i b s o n 地基其剪切模量随深度的变化关系为 g ( z ) - 2 0 + 0 5 z ( m p a ) ，泊松比p = o 3 5 为常数，在该地基表面作用一轴对称荷载p o ， 荷载大小等于1 0 0 0 k p a ，作用半径r = 1 0 m 。取计算深度1 0 0 m ，将其离散成1 0 层弹性地基，每层均为1 0 m ，每层的剪切模量取其上下面的平均值。 在工程实践中，往往将g i b s o n 地基简化为均质地基进行计算。在位移计算 中其剪切模量一般取地表的剪切模量或者上下地面模量的平均值，为了反映由此 而带来的误差，本例采用传递矩阵法计算了剪切模量等于2 0 m p a ( 地表模量) 及4 5 m p a ( 2 0 m 处与1 0 0 m 处剪切模量的算术平均值) 两种均质地基的位移跟 g i b s o n 地基的位移进行了对比，计算结果如以下各图所示( 计算时，以荷载作 用中心点为座标原点，半径方向为r 轴，深度方向为z 轴) 。 塑坚查兰堕主堂篁堡塞 ! 竺1 0 5 1 0 j1 5 静 灌2 0 样 2 5 3 0 3 5 0 0 5 1 3 1 5 嫠 z 羹2 5 3 3 5 4 o 计算半径( m ) 123 图2 3 表面位移与计算半径关系曲线 0 中心点位移( m m ) 2 03 0 图2 4 中心点位移与计算深度关系曲线 1 3 塑垩盔堂塑主堂堡丝塞 ! 竺 0 ，、4 0 & 卫 v r 6 0 刨 足 酬8 0 1 0 0 1 2 0 0 计算半径( m ) 0 51 1 52 图2 5z = o 5 冰平面上竖向应力与计算半径关系曲线 0 o 5 1 名1 5 v 嫠 z 羹2 5 3 3 5 4 0 竖向应力( k p a ) 2 04 06 08 01 0 0 图2 6 中心点竖向应力与计算深度关系曲线 1 4 浙江大学硕士学位论文 图2 - - 5 、图2 - - 6 可以看出，当剪切模量随着深度增加时，将发生应力集中 现象，而以弹性理论为基础的设计中，土体的应力分布十分重要，因此有必要进 一步研究不同性质的土层在地表荷载作用下的应力分布情况。运用传递矩阵法， 可以分析任意变化的弹性模量的地基。因此本文还计算了以下两种典型地基。 算例3 ： 上软下硬地基。地基模型如图2 7 所示，地表作用轴对称荷载，大小p o = 1 0 0 0 k p a ，作用半径r ；1 0 m 。计算结果见图：2 - - 8 ，图2 - - 9 。 图2 7 l l l l jl l l l j1 1 1l l h 一 一吒d啼 b - - 4 o 帅a 巾 昕 t a 3 5 i 轴a h d 4 嘶7 日“ 卸：嚣 0 2 0 0 z 围2 7 一 计算半径( m ) 2 图2 8z = 0 5 r n * 平面上竖向应力与计算半径关系曲线 芭甾v r 翅翟瑚 浙江大学硕士学位论文 图2 9 中心点竖向应力与计算深度关系曲线 算例4 ： 上硬下软地基。地基模型如图2 一1 0 所示，地表作用轴对称荷载，大小p o = 1 0 0 o k p a ，作用半径r = 1 o r e 。计算结果见图2 1 l ，图2 一1 2 。 j i l l i i l j i l j i l l il l j u 一咕0n b 嵋口h 口4 睁，丑一 “0 0 5 辱t 4 且h 呻 a 峰7 呐 坤t n 5 z 1 6 0 5 l 5 2 5 3 5 4 o l 2 3 3毯聪辣rf 浙江大学硕士学位论文 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 o 计算半径( m ) o 511 52 图2 1 1z = 0 5 m 水平面上竖向应力与计算半径关系曲线 0 0 5 l 1 5 2 2 5 3 3 5 4 0 竖向应力( k p a ) 2 04 06 08 01 0 0 图2 1 2 中心点竖向应力与计算深度关系曲线 1 7 _ei)r翅厘崩 0 越骺球盘 浙江大学硕士学位论文 三、结论 l 、从表2 2 表2 5 可以看出，用传递矩阵法计算g i b s o n 地基位移、应力所 采用的程序其精度是符合要求的。 2 、从图2 3 可以看出，将g i b s o n 地基简化成均质地基将导致较大的误差，由 此可见研究计算模量随深度线性变化的g i b s o n 地基有着重要的意义。 3 、从图2 4 可以看出，g i b s o n 地基在轴对称荷载作用下，其沉降主要发生在 剪切模量较小的上层土层，与均质地基相比( 模量为上下层面的平均值) ，0 7 m 以上g i b s o n 地基的竖向位移明显大于均质地基，而后减小，至4 0 m 以下深 度处，位移基本为零，因此，本文取1 0 0 m 的弹性体进行计算，完全符合底 层位移为零的边界条件。 4 、图2 5 及图2 6 均反映了土层剪切模量随深度增加后，将发生应力集中现 象。从图2 5 可以看到，在以力作用面为底面的圆柱体内，g i b s o n 地基的 应力大于同深度的均质地基的应力，图2 6 更直观的反映了中心点下任意深 度处g i b s o n 地基的应力均大于均质地基的应力，因此在剪切模量随深度增加 的土体上进行设计时，因充分考虑土体发生的应力集中程度。 5 、图2 8 、图2 9 计算了上软下硬双层地基的应力曲线，从图中可以看出， 上软下硬地基发生明显的应力集中现象，类似g i b s o n 地基的性质，图2 一1 1 、 图2 1 2 计算了上硬下软地基的应力曲线，从图中可以看出，上硬下软地基 发生应力扩散现象。 2 3 地表条形荷载作用下传递矩阵法计算g i b s o n 地基 一、理论推导 平面应变位移法基本方程为： v2 “+ 2 + g a e ：0 g 缸 v 2 w + 型旦鱼；o ga z ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 其中： 、仁- i 舢l e 常数； e ：罢+ 芸为体积应变。 对( 2 3 5 ) 式关于x 偏导，( 2 3 6 ) 式关于y 偏导，再相加可得： v 2 p ：0( 2 3 7 ) 作用对称荷载的情况下，作如下正弦及余弦变换： 出力= 昙f 二( 加) s m 倒考 w ( 琊) = 姜f 谁力c o s 乒d 掌 如力= 昙f ；( 如) c 。s 参嘶 其中： ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) 浙江大学硕士学位论文 如z ) = 吾f 甜( 郴) s i n ( ；x a 善 j ( 础) = 吾f 州郴) c 。s 乒蟛 如z ) = 三r p ( x ，z ) c o s 孝x d # 将式( 2 3 8 ) 、式( 2 - 3 9 ) 、式( 2 4 0 ) 代入式( 2 3 5 ) 、式( 2 - 3 6 ) 、式( 2 3 7 ) 可得到下列常微分方程： 窘：一等房。 ( 2 川 窘誓讧等警= 。 害一f ：；o 出2 。 。 解方程( 2 - 4 3 ) 得到： ；( 纠= 羔( 缈乒+ b ，s h ( z ) 再将( 2 4 4 ) 式代入( 2 - 4 2 ) 、( 2 - 4 1 ) 两式得到： f 以f ，z ) = a 2 曲盘+ 岛c h 乒一a 1 乒如乒一b l ( z s h 乒 ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) f “g ，z ) = a 3 c h 乒+ b 3 s h 乒+ a , ( z s h 盘+ b l ( z c h 乒 ( 2 4 6 a ) 从以上三式看出常微分方程组的解共有6 个任意常数。但实际上4 3 、占3 二 个常数并不是独立的，可用其它常数的线性组合来表示。把( 2 4 4 ) 、( 2 4 5 ) 、 ( 2 4 6a ) 代入以下的体积应变的变换式： e ：f “业 d z 可以得到： 彳，= _ 2 丽+ 3 g 彳l 一爿2 耻篙b l - 曰： 再将4 j 毋代回( 2 - 4 6 a ) 即有： f 砒) ；呜等如幺+ ( z s h ( z ) a 1 + ( 鲁署曲乒+ 如旦( 2 - 4 6 ) 一a 2 c h ( z b 2 曲乒 利用弹性方程的变换式： ；。：g 、- d ，u 一f 奶 1 9 浙江大学硕士学位论文 可得： 麦= m 华+ 巧：( m = 2 + 2 g ) 韶 鼍笋= ( 羔曲乒+ 缈勃a l + ( 羔如乒+ 黝乒) 且 ( 2 删 一a 2 妫乒一b 2 c 乒 ! ! j 篡粤= ( 茅等如乒一勿 乒) 4 + ( 茅品曲乒一乒幽乒) 蜀 ( 2 4 8 ) + 4 2 曲乒+ b 2 曲乒 令( 2 - 4 6 ) 、( 2 4 8 ) 式等号两边y - - 0 ，可求4 ，与a 2 。令( 2 - 4 5 ) 、( 2 - 4 7 ) 式等号两 边y = 0 ，可求曰与岛。求出4 ，、一2 、b 卜毋后，代回( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 8 ) 式， 即得到如下的单层地基初始函数表达式： b ( f ，z ) = 中( f ，z ) b ( f ，0 ) ( 2 - 4 9 ) 其中： 占( f ，z ) = 阻( f ，z ) w ( f ，z ) f 。( f ，z ) 盯：( f ，z ) 】7 m ( f ，z ) = 只( f ，z ) 】“ 矩阵 b ( f ，y ) 】。中的元素如下： 耻拍乒+ 等勿 乒 e 1 2m 詈曲乒+ 等鲫乒 耻去( 竽+ 可2 + g 乒蚓 p 1 4 面1 ( 百2 + g 缈乒) e 2 1 = 昙曲孕一等勿 乒 分c h ( z 一等鲫乒 浙江大学硕士学位论文 驴面1 ( t 2 + 3 g 砌盘一警豇 毛一去( 等鲫劲 p 3 1 = 2 g f 等乒+ ( z c h ( z ) 驴2 g f 等缈乒 p 3 3 = c h 垂+ 箐盘 匕一昙砌乒+ 警鲫乒 耻- 2 g f 警缈乒 p 4 2 = 2 g f 等( 妫乒一乒 耻一詈妇乒一警鲫乒 气= 如孕一警鳓乒 跟轴对称问题一样，把( 2 4 9 ) 应用于多层地基中每一层，则多层地基中每 一层均有： b ( 4 ，耳) = m 偕，啊) b 皤，0 ) b g ，厅；) = 中( f ，a h ：) 口( 孝，啊) 占( 善，酊) = 中g ，曩) b ( 孝，雏，) 曰( 善，薛) = o ( 善，) b ( 善，昧。) 在弹性模量不同的两层土的分界面上，边界接触条件为 u ( x ，w ) = u ( x ，坷) w ( x ，h 7 ) = w ( x ，h 7 ) k ，) = f x r ( x ，h 7 ) 盯：( x ，) = 吒( x ，町) ( 2 5 0 ) 在地表面处，即z = o 处，。、r 。是已知的。在底面处，即, g = e o 处， 浙江大学硕士学位论文 。= ，- 2 0 。 + 以上边界条件进行正弦及余弦变换后得到： 云( 舌 0 ) ：f ：( 孝，o ) 议善，o ) 麦( 善，o ) 之( 善，o ) lj b ( 参睇) = b ( f ，阿) 占( 善，剪) = b 僧，蛭) 曰( 舌，鲜) = 占( 善，酊) b ( 善，雏，) = b ( 善， 二，) 云( 善，k ) = 。c i ( 善， 。) ；“( 手，) ( 2 - 5 1 ) 因此，由式( 2 - 4 9 ) ，式( 2 5 1 ) 可以得到如下递推关系式： b ( 善，) = 中皓，人) o ( 善，人一1 ) ( 善，啊) b ( 孝，0 ) ( 2 - 5 2 ) 由( 2 - - 5 2 ) 可以得到”g ，0 ) ，以善，0 ) 的解答。再通过正弦及余弦逆变换， 即可求出层地基表面的位移解。求得了位移解答后，再根据( 2 5 2 ) 式可求得 平面应变情况下任意深度的应力解答。 二、算例 采用矩阵传递法计算平面应变问题所采用的程序与轴对称问题采用的程序 基本相同，只是在计算逆变换时，用变换核三塑笙皇；旦s 皇替代( 留) ，( 争) r ，实 万 芎 际上是求解问题变得更为简单，因为计算b e s s e l 函数要比计算正弦函数余弦函 数来得复杂。所以本节所采用的程序可通过计算轴对称问题的程序经过上述变化 而得到，因此在计算时，可保证程序的正确性。 算例一： g i b s o n 地基在条形荷载作用下的计算。g i b s o n 地基其剪切模量随深度的变 化关系为g ( z ) _ 2 o + 0 5 z ( m p a ) ，泊松比u = 0 3 5 为常数，在该地基表面作用一条形 荷载p o ，荷载大小等于1 0 0 0 k p a ，作用宽度2 b = 2 0 m 。取计算深度1 0 0 m ，将 其离散成1 0 层弹性地基，每层均为1 0 m ，每层的剪切模量取其上下面的平均值。 同轴对称荷载一样，本例采用矩阵传递法计算了剪切模量等于2 0 m p a ( 地表模 量) 及4 5 m p a ( 2 0 m 处与1 0 0 m 处剪切模量的算术平均值) 两种相应的均质地 基的位移跟g i b s o n 地基的位移进行了对比，计算结果如以下各图所示。 塑垩查兰堡主兰堡笙奎 一一一兰塑三 垂 v 潍 趟 嚏 僻 0 l o 3 0 5 0 6 0 o 计算半径( m ) 123 4 图2 1 3 表面位移与计算半径关系曲线 0 0 5 1 3 1 5 嫠 z 羹2 5 3 3 5 4 0 中心点位移( f m ) 1 02 03 04 05 0 图2 1 4 中心点位移与计算深度关系曲线 塑翌盔兰塑主兰堡垒奎一! ! 丝 o 8 0 1 0 0 1 2 0 0 计算半径( m ) 0 5l 1 52 图2 1 5z = o 5 r n 水平面上竖向应力与计算半径关系曲线 o 0 5 l 3 1 5 嫠2 羹2 5 3 3 5 4 0 竖向应力( k p a ) 5 01 0 0 图2 1 6 中心点竖向应力与计算深度关系曲线 & g v r 翅厘崩 浙江大学硕士学位论文 本节同样计算了上软下硬及上硬下软两种典型地基在条形荷载作用下的应 力分布情况。 算例二： 上软下硬地基。地基模型如图2 - - 1 7 所示，地表作用条形荷载，大小p o = 1 0 0 0 k p a ，作用宽度2 b - - 2 0 m a 计算结果见图2 - - 1 8 、图2 1 9 。 j 1 1 t 1 1 1 1 1 1 l t l ll j u 。 一b 0 b 矗q 日h 6 咛汕n 1 0 3 5 岛t b 日h 口。 a 喈加 咀：曙 0 2 0 40 畲 v 长6 0 翻 厘 崩8 0 1 0 0 1 2 0 o z 围2 1 7 一 计算半径( m ) 0 5l1 52 图2 一1 8z = o 5 m 水平面上竖向应力与计算半径关系曲线 浙江大学硕士学位论文 竖向应力( k p a 02 04 06 08 01 0 0 图2 一1 9 中心点竖向应力与计算深度关系曲线 算例三： 上硬下软地基。地基模型如图2 2 0 所示，地表作用条形荷载，大小p o = 1 0 0