（理论物理专业论文）三体作用下bec的混沌研究.pdf

y 1 5 2 4 8 8 9 分类号：q 41 5 u d c ：量l 密级 编号 三体作用下b e c 的混沌研究 r e s e a r c ho nc h a o so fb e cwit ht h r e e b o d y in t e r a c t io r 学位授予单位及代码：拯蚕堡王态堂 f ! q18 ! 学科专业名称及代码：堡迨物堡! q 2 q 2 q ! ! 研究方向：韭缝熊堑堡 指导教师：蛩蚕茎塾熊 论文起止时恻：2 q q 2 ：! ! = 2 q 鲣：1 2 申请学位级别：亟 研究生：s q 鲤! q q ! z1 3 5 q 鲣81 1 1 2 摘要 玻色一爱因斯坦凝聚是近几十年来被广泛关注的课题。它是一种新的物质形态， 一个宏观量子系统。本文在平均场理论和双模近似的框架下，以g r o s s - p i t a e v s k ii 方 程为研究玻色一爱因斯坦凝聚体动力学行为及其性质的数学模型，讨论了三体作用下 玻色一爱因斯坦凝聚的混沌动力学行为。 全文共分四章。第一章为绪论，主要列出了我们对该课题的调研情况。第二章中， 我们对双势阱中三体作用下玻色一爱因斯坦凝聚体的定态解做了稳定性分析第三章 从分分图、吸引子、李指数、时间序列和功率谱、初始条件影响等方面对系统的混沌 动力学进行了数值模拟，发现在临界值处直接由周期态进入混沌态，而且状态随初始 条件的变化而变化。最后，对变参量情况下状态做了对比，体现出研究变参量的情况 更具一般意义。第四章，对全文做了简单的总结，并对该领域可能的前景和发展做了 一点展望。文中作者的研究内容集中在第二、三章里。 关键词：三体作用玻色一爱因斯坦凝聚稳定性分析混沌 a b s t r a c t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e sh a v eb e e na l la t t r a c t i v es u b j e c ti nr e c e n td e c a d e s i tl san e w s t a t eo fm a t t e r , a n dam a c r o s c o p i c a iq u a n t u ms y s t e m i nt h ef r a m e w o r ko fm e a n f i e l da n d t w o m o d ea p p r o x i m a t i o n ，w es t u d i e dt h ed y n a m i c sa n dk i n d so fp r o p e r t i e so fb e c ，b a s e do n t h em a t h e m a t i c a lm o d eo fg r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o n t h ea r t i c l ei sf i l l e dw i t ht h ec h a o s d y n a m i c so ft h eb e c w i t ht h r e e b o d yi n t e r a c t i o n m yp a p e ri so r g a n i z e da st h ef o l l o w i n gf o u rp i e c e s i nt h ef i r s tp a r a g r a p h ，ig i v ey o ua s i m p l ei n t r o d u c t i o na b o u to u ri n v e s t i g a t i o na b o u tt h i st o p i c t h e nt h es e c o n do n e ，im a d ea n e n t i r es t a b i l i t ya n a l y s i sw i t ht h es t a t i o n a r ys t a t eo fb e cw i t ht h r e e b o d yi n t e r a c t i o ni nt h e d o u b l ew e l l t h et h i r dp a r a g r a p h ，w es t u d i e di tb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o no nb i f u r c a t i o n ， a t t r a c t o r , l y a p u n o ve x p o n e n t ，c h r o n o l o g i c a ls e r i e s ，p o w e rs p e c t r u ma n di n i t i a lc o n d i t i o n s i n f l u e n c eo nt h ec h a o sd y n a m i c sa b o u tt h eb e c s 。w ef o u n dt h a tt h ea t t r a c t o rt u r n st oc h a o s f r o mp e r i o d i c i t ya tt h ec r i t i c a lv a l u e i td i d n tp a s st h r o u g ht h eq u a s i p e r i o d i c i t ya n dc h a n g e d w i t ht h ei n i t i a lv a l u e a tl a s t ，w ec o m p a r et h es t a t ew i t h i nc h a n g i n gp a r a m e t e ra n dt h e n o r m a lo n e ，i ts h o w e dw es h o u l dr e s e a r c ha tt h es t a t ew i t ht h ec h a n g i n gp a r a m e t e rb e t t e r , f o r i ti sm o r eg e n e r a l i nt h ef o u r t hp a r a g r a p h ，w eb r i e f l ys u m m a r i z eo u rc o n t r i b u t i o n sa n d d i s c u s st h ef u t u r ew o r ki nt h i st o p i c h e r e ，m ym a i nw o r k sa l ei n v o l v e di nc h a p t e rt w oa n d t h r e e k e yw o r d s ：t h r e e - b o d yi n t e r a c t i o n b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n s t a b i l i t ya n a l y s i s c h a o s 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，三体作用下b e c 的混沌研究是 本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：避里z 年三月丝同 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕 士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：趄蔓垒理z 年立月堑同 舯新躲奎岫年月五同 1 1 引言 第一章绪论 从1 9 2 5 年玻色一爱因斯坦凝聚提出7 0 年后，终于在美国的j i l a 小组和m i t 小 组分别用碱金属原子8 7 r b 和孙n a 通过激光冷却、静磁阱与蒸发冷却等技术实现了玻色 一爱因斯坦凝聚引。这是玻色一爱因斯坦凝聚研究史上的重要进展，自此掀起了玻色 一爱因斯坦凝聚研究的热潮。后来相继实现了氢原子的玻色一爱因斯坦凝聚、费米原 子组成的分子和费米原子对的玻色一爱因斯坦凝聚。这种新的物态特性的研究在近几 年有广泛和迅猛的发展，当酊在玻色一爱因斯坦凝聚领域罩关于强作用费米子体系、 以及费米子与玻色子混合系统的费什巴赫共振的实验研究进展迅速，竞争激烈。 1 2 玻色一爱因斯坦凝聚研究的意义 玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ) 是一类涉及物理学很多领域的普 遍物理现象。其基态是一种高度有序的状态，所体现的物理是一种宏观量子现象。 玻色一爱因斯坦凝聚本身有许多独特的性质，如玻色一爱因斯坦凝聚本身就是一 个有质量粒子的相干态，还可以把它制备到压缩态、宏观量子叠加态、纠缠态( “猫念”) ， 可以制备旋量玻色一爱因斯坦凝聚，而在玻色一爱因斯坦凝聚中观察到了超流、量子 涡旋、涡旋晶格、量子混沌、暗孤子和亮孤子、宏观量子隧穿、m o t t 相变、费什巴赫 共振、量子坍缩和爆炸等丰富有趣的现象。因为玻色一爱因斯坦凝聚相变的基础性， 原则上这个现象在物理各个领域都存在，从微观的基本粒子、核物理，到“介观”的 原子分子物理，再到宏观的凝聚态、固体物理，甚至“宇观”的天体物理( 如超新星爆 炸) ，都可以找到玻色一爱因斯坦凝聚的身影。因此，通过对势阱中的气态玻色一爱因 斯坦凝聚研究，可以推动许多学科方向的发展。实际上，在势阱中实现玻色一爱因斯 坦凝聚，既依赖于多学科知识的融合，如激光冷却和捕陷、原子分子物理、凝聚念等， 也依赖于许多专业技术的发展，如激光稳频、大电流回路的稳流和快速开断、超高真 空技术、微观尺度光学成像等都是实现相变的关键技术。 在应用方面，因为玻色一爱因斯坦凝聚超冷和非常干净，它是进行精密测量的理 想介质，如新一代院子钟、测量万有引力常数和其它基本物理量。在这方面，通过与 光学的类比，已经发展出了“原子光学”这一新的研究方向 4 - 6 o 利用玻色一爱因斯坦 凝聚超冷和高密度的特性，可以用来冷却一些用其它方法无法有效冷却的元素原子 ( s y m p a t h e t i cc o o l i n g ) ，甚至可以在统一个势阱中实现两种元素的玻色一爱因斯坦凝聚， 乃至f e r m i - - d i r a c 凝聚。此外，势阱中的气态玻色一爱因斯坦凝聚不仅纯净，而且相 互作用简单并且参数己知并能够调谐，非常适合利用它开展量子模拟，如量子计算、量 子信息1 7 8 】等。正是因为势阱中的气态玻色一爱因斯坦凝聚有如此重大的意义，一些刊物 如p h y s i c a lr e v i e w a 特辟“m a t t e rw a v e s ”专栏以促进这方面的研究。如今，玻色一 爱因斯坦凝聚研究正向深度和广度飞速发展。以实验工作为例，截至2 0 0 2 年1 0 月， 全球范围内有4 6 个小组实现了玻色一爱因斯坦凝聚。我国上海光机所实验小组在王育 竹院士的领导下，在2 0 0 2 年3 月1 9 同观察到了玻色一爱因斯坦凝聚相变特征。目前， 实验工作正在扎实的向前推进。据报道最新消息，王育竹小组于2 0 0 8 年1 2 月9 同实 现原子芯片上的玻色一爱因斯坦凝聚。随着分子玻色一爱因斯坦凝聚和超流态的实现， 将有更多的新颖的实验体系被研究，将有更多的现象被发现，定会加深人们对基本凝 聚体的认识，相信这一物理现象的研究定会对将来的物理学产生重大而深远的影响。p j 1 3 三体相互作用玻色一爱因斯坦凝聚 大家都知道，在低的温度和密度下，原子间距离远大于原子与原子间的相互作用 距离尺度。这时两体相互作用处于一种简单形式，并且三体相互作用可以被忽略。在 这个情况下，只有两体s 波散射是很重要的。在足够低的温度下，散射长度a 的数量 级远小于对应的热德布罗意波长，并且两原子间相互作用的具体形式已不重要。 实验中实现了在磁场中囚禁弱相互作用原子的玻色一爱因斯坦凝聚，这为理论上 研究玻色凝聚体提供了大量支持。原子与原子间相互作用对凝聚态的稳定性有着决定 性作用，对于正的、一波散射长度，两体赝势是排斥势；而对于一个负的s 波散射长 度，赝势是吸引势。具有排斥相互作用的超冷原子经历了一个相变到一个稳定的玻色 凝聚态。 而对于一个负的s 波散射长度原子形成的凝聚态往往是不稳定的，除非原子的数 目n 足够小，以至于由在阱中的谐约束提供的稳定力超过吸引相互作用。而处于玻色 凝爱因斯坦聚态所允许的原子数存在一个最大值。这个最大值在6 5 0 1 3 0 0 之间。这与 平均场理论所预言的相一致。 因此，对于吸引的两体相互作用，人们广泛认为当凝聚原子数大于临界原子数， 时，凝聚体是不稳定的。由三体相互作用引起的排斥势的增加可以使原子数临界值r 增大。甚至对于个很弱的三体力，凝聚体的稳定区域也会大大增加。通过考虑可能 有效的相互作用，不管s 原子波散射长度的符号，一个足够稀薄和冷的玻色气体都表 现出相似的三体动力学。这暗示着对于大数量的玻色子，三体排斥超越两体吸引，并 在阱中将出现一个稳定的凝聚体。 1 4 玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌 作为上世纪一门新兴的科学，混沌已经吸引了人们广泛的兴趣。所有研究结果表明， 在经典力学中普遍存在着一种尚未为人们所认识的运动形式一确定性混沌。诸如在化 学，生命科学，通讯等。混沌的大量研究最初集中于经典动力学系统。在认识到混沌 在经典力学中的重要地位后，人们自然地会将确定性混沌的概念推广到量子力学中去。 按照玻尔的对应原理，将量子力学应用到宏观运动上所得的结果应该和经典力学一致， 故而力学系统的混沌特征也必然要在其量子力学性质上有所表现一2 1 。 如前所述，在经典哈密顿系统中的混沌已经被简单而广泛地理解为非线性系统的 相轨道对仞始条件的极度敏感依赖性，从而导致系统的运动状态在长时间后的不可预 测性。而一般的量子力学系统的动力学行为由线性的薛定谔方程来描述，由于测不准 关系的存在，在h i l b e r t 空间不再有等价于经典力学的对初始条件的敏感依赖性，因而 人们无法识别量子系统中的量子混沌运动。随着玻色一爱因斯坦凝聚的实验实现，为 我们提供了一种新的量子系统，在平均场理论中该系统的量子力学行为由非线性的薛 定谔方程g p 方程来描述。随之而来的问题就是：“在g p 方程中附加的非线性会对一 个量子混沌的薛定谔方程产生什么影响尼【1 3 】? ”。带着这些问题人们对玻色一爱因斯坦 凝聚中的混沌性质进行了广泛的研究。s a g a r d i n e r 等人引入了不同的经典量子对应 训，他们认为一般的量子力学在普朗克常数h 一0 时会返回经典对应模式，而对玻色 一爱因斯坦凝聚体这样的量子系统，它在h 专0 时的经典对应是经典的流体力学。他们 给出了如图的转换框架图。 - o 图1 1 经典量子转换框架图 几乎是同时，人们还研究了由于这一附加的非线性效应而给凝聚体系统带来的时间 混沌，空间混沌，甚至是时空混沌性质。其中对时间混沌性质的研究主要采用的方法 为两模【”l 或多模近似【l 酬，并且集中于凝聚原子的j o e s p h s o n 混沌隧穿等性质上。比如 a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 利用双模近似的方法研究了两弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚体凝聚 原子的分数布居数在隧穿幅度含时【1 7 】和s 一波散射长度随时问变化【1 8 】两种情形下的非 线性共振和混沌振荡。另外，l e e 1 9 i 和h a i 2 0 1 等人在相同的近似框架下还讨论了两弱耦 合凝聚体系统分数布居数随时间演化的m e l n i k o v 混沌、频率锁定、以及混沌几率密度 等。同时，考虑到热粒子对凝聚体的补充以及三体重组对凝聚体的耗散作用1 2 ，p c o u l l e t 【2 2 1 讨论了两耦合凝聚体中的l o r e n z 混沌和混沌自囚的性质。除了对两态或双阱 系统的研究外，人们还研究了三耦合凝聚体动力学中的混沌隧穿、混沌自囚、动力学 不稳定性等【2 3 2 4 l | 生质。此外，玻色一爱因斯坦凝聚体中的空间混沌特征也是人们所关注 的。f b a r r a 和他的合作者就考虑了在k r o n i g p e n n y 势u g ) = g 暑。万b 一肼) 作用下玻 色一爱因斯坦凝聚体中的空l b j 混沌特征1 2 引。尽管在【1 4 】中称g p 方程为量子混沌 s c h r o d i n g e r 方程，但是可以发现上述的混沌性质都是经典意义下的。q t h o m m e n 在文 献 2 6 中对这一问题作了详细的讨论。 最后，人们还发现玻色一爱因斯坦凝聚体的混沌性质和它的塌缩有密切的联系。v s f i l h 0 1 2 7 1 等人讨论了塌缩凝聚体中的时空混沌。另外，w z h a n g 2 8 - 2 9 1 等人还发现周期 受击的环形玻色一爱因斯坦凝聚体可以看成受击量子转子的非线性推广。在对这一模型 的混沌研究中发现当周期或准周期运动转变为混沌运动时，非凝聚原子成指数增加从 而导致凝聚体的塌缩。除此之外，处于周期光学晶格中的玻色一爱因斯坦凝聚体最近 也倍受人们的广泛关注，它包含了丰富的物理性质。特别重要的就是它和目前非线性 光学中具有k e r r 非线性性质的非线性光子晶体的研究模型非常相似。在玻色一爱因斯 坦凝聚体系统中，人们已经发现了丰富的混沌现象。鉴于这种凝聚物质广泛的应用前 景，对于其中混沌及其控制的研究显得尤为重要。就目前的调研来看，尽管人们对其 中的混沌性质研究较为广泛，但是大多集中于两体作用下玻色一爱因斯坦凝聚体中相 应混沌的研究，三体作用下玻色一爱因斯坦凝聚的混沌动力学分析及其控制的研究还 很少见。因此，本文对玻色一爱因斯坦凝聚体三体作用下的非线性动力学分析进行一 些探索。 1 5 本文的主要内容 本文的主要结构如下：第一章为绪论，主要列出了我们对该课题的调研情况。第 二章中，我们对双势阱中玻色一爱因斯坦凝聚体动力学方程进行稳定性分析。第三章， 根据非线性动力学分析方法，对三体作用下玻色一爱因斯坦凝聚的动力学行为进行了 详细数值模拟，做出相空问、分翁图、吸引子、时间序列、功率谱等数值模拟图，并 对相关参量变化以及初始条件对系统状态造成的影响作了分析和总结。最后，我们对 本文做了总结，并对该课题方向可能有的发展以及一些尚需完善的后续工作做了总结 与展望。 第二章双势阱凝聚体的动力学及稳定性分析 2 1 双模方法和动力学方程 2 1 1 三体作用一般情况g p 方程 三体作用下，不管是在实验上，还是在理论上，在双势阱中的两个隧穿耦合的玻色 一爱因斯坦凝聚都倍受关注。s m e r z i 等人研究了在双阱中两个凝聚体间的量子隧穿【3 。 考虑通过振动激光的位置和调节激光的强度【3 ，施加一个含时外势项，可以让零点能 e i 和隧穿系数k 两个物理量中只有一个含有时间变量。近来，使用m e l n i k o v 方法， a b d u l l a e v 和k r a e n k e l 讨论了随时间变化的隧穿系数k 对系统j o s e p h s o n 效应的影响， 给出了系统出现混沌的条件。如果考虑势阱不对称度e 是含时的，运用直接微扰方法， h a i 等人揭示了系统几率密度的不可计算性，通过数值模拟给出了非常有趣的内爆现 象。同样，运用费什巴赫共振技术，s 波散射长度可以调节成周期变化有人研究了在 s 波散射与时间有关时凝聚体的孤子行为和稳定性。讨论了具有周期变化的s 波散射 长度的耦合玻色一爱因斯坦凝聚的宏观量子隧穿，并研究了相对粒子数布居的混沌振 动。考虑到两体和三体相互作用都与s 波散射有关，三体系数也将呈周期变化。我们 通过在平均场近似下【1 0 】，t w o m o d e 近似来处理含三体项的g p 方程，以此为基础来分 析定态解的稳定性。 我们考虑在双势阱中凝聚体受到两体和三体相互作用，这时g p 方程中将有立方和 五次方项； f 壳鲁咿) = l - 等+ 嘶+ 9 2 ，) 2 ，) m 和) ( 2 1 ) 这罩9 2 ：4 7 r h a 是两体相互作用强度，其中a 和m 分别表示原子散射长度和质量。 m 三体相互作用强度可以是虚的也可以是实的，也与s 一波散射长度有关。下面单独叙 述一下三体相互作用为虚数情况下的g p 方程和其双模近似。 2 1 2 虚数值三体相互作用动力学方程及双模近似 当玻色一爱因斯坦凝聚气体原子是吸引的相互作用时，凝聚体是亚稳定的【3 7 , 3 8 , 3 9 】， 并且基态的原子数存在一个上界，凝聚原子存在塌缩一生长的循环过程。系统受到三 体复合损失和外部非凝聚热云对凝聚体的补充。在这个过程中，三体复合起着重要作 用。由于三体复合损失与s ，波散射长度有关，我们就可以通过费什巴赫共振调节s 波 散射长度束改变三体损失。但两体相互作用也与s 波散射长度有关，所以，我们不能 仅仅只改变三体损失。我们知道两体作用与口成正比，而三体损失与口4 成正比【4 0 , 4 1 , 4 2 】。 这样，对于同一个口，三体损失的相对改变要大于两体作用的，因此，在本文中，当 固定补充项并调节口时，我们发现系统从定态过度到周期运动。在相空间轨道和相对 粒子数布居的时间演化的数值图中，我们可以看到许多有趣的现象，如宏观量子自囚 和周期运动下相空间轨道是个极限环。 三体复合损失和凝聚体密度聆( f ，) = l q - , 1 2 的关系为：，i ( 尹，t ) = - 5 ，力3 ( 尹，) ，其中 口，= c ( ) 口4 是复合率常数，m 为原予质量，常数c 值可在一定的范围调节。相应的 在g p 方程中加入虚的相互作用项l 甲1 4 甲。因此，在双势阱中两隧穿耦合的玻色一爱因 斯坦凝聚在复合损失和原子补充的共同作用下可以由修正了的g p 方程来描述【4 3 4 5 】： 毛2 i h o ，甲( 尹，r ) = ( 一姜l v 2 + k 倒( 尹，r ) 一g i 甲( 尹，f ) 1 2 ) 甲( 尹，f ) + f ( y 一孝l y ( 尹，f ) 1 4 ) y ( 尹，f ) ( 2 2 ) 我们研究吸引原子8 5 r b ，其中a 是负的，9 2 ：4 n - h 2 a 。参数善：口，壳2 和y 分别表 示在凝聚体中三体复合损失强度和来自外部非平衡热云粒子流补充。在实际情况中， 它们是很小的正数。我们考虑一个雪茄形势阱屹( 尹，) ，其中横向上是谐振子势，纵向 上是双阱势。当径向频率旺足够大，我们就可以近似认为横向的波函数是处于谐振子 基态。这样，方程( 2 2 ) 就可以写成准一维的g p 方程： f a ，单( x ，f ) = ( 一v 2 + 屹( 五f ) 一爿i 粤o ，f ) 1 2 ) 中( x ，f ) 1 4 + f l y 一4q j ( x ，f ) f ) w ( x ，f )( 2 3 ) 这罩轴坐标x 由重标度了，时间r5 q “其中t 指谐振子长度，l 。夕乙q ) ，q 是 双阱的谐频率。函数中= 勰归一化的，其中商= ( 4 p s l 6 胞o r 吐) ) 。参数为：吐， q 和l 口，l 的数量级分别为1 0 2 s ， 1 0 2s 1 和1 0 9 m ，新的三体参数写为 6 孝= c a 4i 口，1 2 ( 4 8 万2 t 2 ) 。无量纲的s 波散射长度重写为a = 叫，是个固定参数。这 里引入a 是为了方便调节散射长度。 为了研究在双势阱中的玻色一爱因斯坦凝聚的动力学，我们寻求方程 ( 2 3 ) t w o m o d e 近似形式的解【3 2 - 3 6 1 ： 中( x ，r ) = l ( r ) l ( x ) + 沙2 ( f ) 2 ( c )( 2 4 ) 只有当两个玻色一爱因斯坦凝聚间是弱耦合时，t w o m o d e 近似才是一个很好的近 似。弱耦合意味着空间分布，( x ) 和：( x ) 处于各自的阱中，它们之间的重叠部分很少， 这样它们就满足证交归一化条件， j ：( x ) ( x ) a x = 乞，f ，= 1 ，2 ( 2 5 ) 这就要求两个阱之间有很高的势垒，并且阱中的原子不多。因此，对于一个给定 了的有较高势垒双阱，当凝聚原子数少于c 时，t w o - m o d e 近似是很管用的。一般来说， 作为一个简单的估计，空间波函数，( z ) 可以认为是高斯波形状的( x ) ，它满足小 。，( x ) = ( i ) ( x - - x ，) 。其中x = 一是第i 个波包的中心，它可由d 麓么= o 得出。 高斯波包( x 一一) 的宽度和归一化常数依赖于历x 一- - o ，将方程( 2 4 ) 代入 ( 2 5 ) ，经过积分，我们得到一组非线性方程， i o ，。= ( 巨一u ii ，j 2 ) ，一k 2 + f ( 7 一u ；i y 1 4 ) 。 ( 2 6 ) i o ，2 = ( 易一u ：l ：1 2 ) y 2 一k y 。+ f ( 厂一“l ：1 4 ) 沙： ( 2 7 ) 其中e i ，u i ，k 和矿表示为积分形式， 巨= i v ，+ j m ，1 2v e x , d x ( 2 8 ) = 彳j 1 ，d x ( 2 9 ) k = 一且i v 。v 2 l + 吃2 l a x ( 2 1 0 ) = f l f d x ( 2 1 1 ) 因此，当囚禁势v e x t 只依赖空间坐标时，这些参数都是常数。给定了双阱，同样 我们可以构造高斯波包，( x ) 和计算常数e i ，u i ，k 和叫。这里e 1 和e 2 表示每个凝 聚体的零点能u l 和u 2 正比于原子间平均场相互作用；k 指两凝聚体间的隧穿系数；u j 和u ：是二体复合损失相且作用能，。巴止比于告。 我们设弘( f ) = 丽e x p 哆( 彳) ，i = 1 ，2 。n 。，：和1 9 1 ：包含了与时间有关的波函 数，其中m ( r ) 为第i 个阱中的粒子数，p ( z ) 为( f ) 态的相。粒子数定义即为归一化 条件：i + 2 = n ，n 为两个凝聚体的总粒子数，它的单位和f ( f ) 相同，我们取函 数变化： u = 少；1 + 9 2 i f i ，u = 一f ( 2 ? 一 2 。1 )。少2 1 + ，u 2 一z 【2 l j z = ；少2 一i l ，n = ；2 + i f ，i l(212n1 )z 。2 少2 一l l ，2 2 2 + i f ，l l【z ) 其中u 和v 体现了两凝聚体的位相相干，z 是两凝聚体之i b j 的相对粒子数布居，n 为与时间有关的总粒子数，他们满足关系：u 2 + v 2 + z 2 = n 2 。将方程( 2 1 2 ) 插入方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 得到以下一组方程： 熹= u ( a e - 。( n - 纠州2 7 - 华名n z ) ( 2 1 3 ) d r么 z d o ：_ 2 尬一甜( a g a 一肘+ v ( 2 7 - 竺# 。n z ) ( 2 1 4 ) 口fz d z = 2 k u + 2 7 z - a n 丛丝一f l z 鲨生 (215)dr22 、 一d n ：2 y n - - t z z 巡蔓一n 丛生 ( 2 1 6 ) d r2 2 、 这罩，我们定义无量纲参数衄= 巨一互，口= ( u 2 一u ) 2 ，口= ( 叫一叫) 2 ， = ( u 2 + u ，) 2 ，= ( u ；+ u j ) 2 。 本章只考虑简单的称势阱时系统的情况。双势阱下我们可知：u 。= u ：= u = ， u j = 呸= u = ，a e = 最一岛= o 和口= 口= 0 。这是我们引入相对位相矽= 岛一岛， 它与 u 和 v 的关系为 “= 2 厕c o s = 2 一z 2c o s 4 ， v = 2 x 瓦n ：。s i n e = 圻爵s i n 矽，于是方程( 2 1 3 ) 到( 2 1 6 ) 可以简化成 型：2 ，一u v 型( 2 1 7 ) d r 。 2 、7 8 d = z ：一2 k 、j 爵s i n 矽+ 2 y z u z 三尘! ；上 ( 2 1 8 ) 口r么 丝：一沈+ 2 k 兰c o s 矽 ( 2 1 9 ) d r 4 n 2 一z 2 7、 从上面各式可以看出，当补充项和损失项为零时，方程( 2 1 7 ) 一( 2 1 9 ) 与s m e r z i 等 人得到的结果一致。在他们所讨论的情况下，凝聚体的总粒子数n 是守恒量而在我们 的情况中，由于补充项和损失项的存在，n 不再是一个守恒量，而是随时间变化。正 是由于两虚数项的存在，使得系统的运动有了新的特征。 为了研究双阱中玻色一爱因斯坦凝聚的动力学，根据双模近似：假设双阱空间分布 函数，居于各自的阱中，它们之间的重叠部分很少，这时它们就满足正交归一化条件， 加之我们考虑使用玻戈留波夫近似，于是可设上述双模方程有如下形式的解。其实质 是将原序参量分离变量的结果： v ( r ，) = ( ，) 。( 尸) + f ，( f ) ：( ，) ( 2 2 0 ) 当两个凝聚体是弱耦合时，t w o m o d e 近似很有效。在实验上，两个阱1 8 j 的势垒越 高或阱中的原子数越少，t w o m o d e 近似也就越有效。 2 2 系统定态解的稳定性分析 按目前多数实现的玻色一爱因斯坦凝聚，囚禁势多为双阱势，我们这里就选择双阱 势囚禁，其中也包括了谐振子项。系统定态稳定性分析必须考虑三体作用参数g 、虚实 的不同。三体作用参数g ，为虚数时，由上面动力学方程说明处可知系统的运动有了新 的特征，稳定性必须考虑这些特征，尤其是三体复合损失项所起的作用。分析在双势 阱中三体复合损失( 虚的三体相互作用) 对隧穿耦合的凝聚体的影响，仍然采用的是一种 简单的t w o m o d e 近似。通过这种方法，可讨论系统的定念和非定念特征。具体过程本 文不加赘述。将重点讨论三体相互作用g ，为实的情况。 将上面方程( 2 2 0 ) 代入( 2 1 ) 中，利用双阱分布函数正交归一化条件，经过积分，我 们得到一对非线性方程： f 应云缈- = ( 辟+ u | l 1 2 + 吖慨i 4 ) 一k ： ( 2 2 1 ) 9 坊詈= ( 霹+ u 2i v ：f 2 + 叫陟：f 4 ) ：一k ( 2 2 2 ) 其中f ，e ，k ，v 7 ，且j ：1 ：2 可以表示成重叠积分形式。 弘 羔阳j | 2 巾f p s ， ( 2 2 3 ) = g ：j 1 ，1 4 d 3 厂 ( 2 2 4 ， b j 1 嘉陋。v 叫鸲：p ， ( 2 筋) v = 9 3 删d ， ( 2 2 6 ) 因此，当势阱匕，只与空间坐标有关时，它们是常数。假定在双势阱中，( ，) 可 构造为高斯波包形式，并可以计算p ，k 和v 7 。这罩曰和霹表示每个凝聚体的 零点能；u 和正比于自相互作用能；k 描述凝聚体之问的隧穿系数；u7 和指三 体相互作用能，它们正比于。 设，( ，) = ，( ，) e x p e i ) , ( ，) ，这里f = l ，2 ，这样i ，：和岛：就包括了与时间相关的 波函数甲( ，f ) ，其中，( f ) 为第i 个阱中的粒子数，9 ( f ) 是处于第i 个阱中凝聚体宏观 量子波函数的位相。归一化条件l + n 2 = n ，其中n 为两个凝聚体的总粒子数。 引入两个新的变量，相对粒子数布居z = ( 2 一1 ) 和相对位相：砬一岛，并将 它们应用到方程( 2 21 ) 和( 2 2 2 ) ，我们得到一组方程 扛2 k f l - z 2 s i n ( 2 2 7 ) = a + 等+ ( 拶) z + 等z a + 2 k 1i z c o s 矽 ( 2 2 8 ) 这里我们定义参数口= 巨一巨+ ( u 2 - u i ) 么，：( + u ) 么， 出( 叫卅j ) ：( 叫+ 叫) 彳。 采用时间重标度法，即将时白j 重标度为【k 】t 壳，其中【k 】表示k 的单位，这样将上 面的方程( 2 2 7 ) , 1 1 ( 2 2 8 ) 转成无量纲的。 在这种情况下，总粒子数n 是常数。值得注意的是，如果是在对称势阱中，我们 l o 就有口= 口= 0 ，该情形非零的三体参数和对应的两体参数处于同等地位，这时， 方程( 2 2 7 ) 矛d ( 2 2 8 ) 就和以前s m e r z i 等人所得到的没有三体项的方程相似了。然而，对 于非对称势阱，三体参数口就是非零的，这增加了系统的复杂性和混沌特性。下面， 我们将分别就对称势阱和非对称势阱研究系统定态解的稳定性。 系统的稳定性是应用中对系统的一个基本要求，人们对定态的稳定性非常感兴趣。 由非线性动力学可知，有两种方法研究非线性系统的稳定性，分别为：线性稳定性定 理和李雅普洛夫直接分析法。本文我们采用第一种方法研究系统的稳定性。 也就是说当方程( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 的左边等于零，即：三= 0 ，易= 0 我们得到多组定态 解。显然，从方程( 2 2 7 ) 中可得到相对位相的多组定态解，矽= 万且j = o ，1 ，2 ，接 着，在方程( 2 2 7 ) 矛h ( 2 2 8 ) 基础上，我们得到定态解z = z o 口+ 等彤俳。+ 争2 似志c o s 倒 ( 2 2 9 ) 在稳定性分析中，一般情况下我们选择研究矽= 0 或者= 7 的情况都不失一般性。 本文中选择矽= 刀且三体相互作用强度9 3 为实数情况下，双势阱下系统的定态解稳定性 分析。的情况作以讨论，对于零位相= 0 的定态解也有相似的的特征，用同样的方法 可以分析。在这没再讨论这种相似的情形。三体相互作用9 3 的情况有所不同，不过都 大同小异。 2 2 2 对称的双势阱 这种情况下，有口= 口= 0 ，和在方程中表示线性项强度。可求知三个定念解 (，死)=(。，万)，(小二丽，万。为了简单，我们以(zo，)=(。，丌)为例子讨 论稳定性。设z 和矽为定态解的微扰修正，也就是说z = z o + z ，矽= 唬+ 。将之带 入到方程( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 中，我们得到该组解一级微扰方程的矩阵形式： ( ；：) = ( + 多一2 k2 。k ，l 。( 矽z ， ) c 2 3 。， 上方程的解描述了系统的李雅普洛夫稳定性。首先，我们求出该系数矩阵的本征值： 五= 2 k ( + 一2 k ) 。双阱势情况，方程( 2 2 5 ) 中k 0 。所以，当+ 夕- 2 k 0 ， 矩阵至少有一个本征值为正，按照线性稳定性定理，我们可知该定态解是不稳定的。 当+ 一2 k 8 k 时，存在一个正的 ，。， 本征值，这就意味着这个定态解不稳定。 第二种情况：在不对称的双势阱中考虑在方程( 2 2 8 ) 中常数项为零。这时， a + a 2 = 0 ，p + p7 0 和口0 。在这种情况下，方程( 2 2 9 ) 很难解。但对于一组固定 的参数我能数值地画出相空间的运动情况来分析。 上面我们采用线性稳定性分析方法。对非线性薛定谔方程，即g p 方程在其定态附 近先线性化，通过求解线性化方程，由线性化方程的本征值情况根据线性稳定性定理 来判断解的稳定性。讨论了几种情况下解的稳定性情况。 3 1 引言 第三章玻色一爱因斯坦凝聚的混沌研究 我们知道描述三体作用玻色一爱因斯坦凝聚的方程实质是一个非线性薛定谔方 程，所以描述其混沌和其他非线性性质我们可参照非线性动力学的一般分析方法。这 罩，我们再次列出在上一章稳定性分析中，我们得到的时间t 无量纲化的一组方程如下： 三：2 k 正了s i n e( 3 1 ) 手+ ( 彬) z + 等z 2 + 2 k l i z c o s 矽 ( 3 2 ) 式中参数：口：岛一巨+ ( u 2 - u 1 ) ，：( 吣u ) 么，止( 职一u j ) ， 夕，：( u ；+ u j ) 么，如果我们考虑由费什巴赫共振控制含时原子散射长度，则， 9 3 随时间变化，从而口，口，7 也是时间的函数。根据费什巴赫共振知识，我们可以 取原子散射长度为周期函数。即：口= g o ( 1 + 6 c o s ( a ，t ) ) ，当s 1 时，这些含时参数就 有更简单的形式如下： 口( f ) = + & c o s ( 缈t ) ，( ，) = 属+ 届c o s ( 髓, t ) 口7 ( f ) = “+ o ：i c o s ( o ) ) ，7 ( ，) = 屏+ p ；c o s ( c o t ) ( 3 3 ) 这罩o f o 届, p o 1 ，口：口；一屏属1 。对于简单的情况，可以定义三体参数( f ) 和两体参数( ，) 的和为： a ( t ) = f l ( t ) + f l ( ，) = 人。+ 人。c o s ( c o t ) ( 3 4 ) 考虑双势阱束缚下具有含时原子散射长度的弱耦合玻色一爱因斯坦凝聚系统，通 过对( 3 1 ) 和( 3 2 ) 进行数值积分来研究其动力学行为。 下面我们利用非线性动力学常用描述方法分析三体作用下玻色一爱因斯坦凝聚的 状态。在数值研究中，令q = 口卜人取相同的值( 即q = 口滓人。= w ) 。最后一节变参 数条件下的研究，我们令口( f ) = + c o s ( t o r t ) ，( ，) = 屁+ 局c o s ( 0 ) 2 t ) ，且q 哆， 其余各节研究对象都是两者具有相同缈的情况。 3 2 分岔图分析 我们知道，同一非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同， 即参量取值的某一临界值两侧，解的性质发生本质变化。这也就是我们所说的在临界 值处出现分岔的现象。分贫现象是非线性系统所特有的一种非常重要的性质。 为了清楚地说明吸引子的分俞过程，方程( 3 1 ) 和方程( 3 2 ) 中变量z 和矽，参量k ， 口，p ，a ，这罩我们仅研究原子的粒子数布居z 与参量散射长度和凝聚体见的隧穿系 数变化的分分图。如图3 1 为凝聚体原子相对粒子数布居z 随原子散射长度口变化的分 俞图。图3 2 为凝聚体原子相对粒子数布居z 与凝聚体间的隧穿系数k 变化的分分图。 变量相对位相对于参量的分岔图分析同理可得，在此未加分析。 如图3 1 ，初始值z o = 0 ，= 2 0 9 3 ，参量人。= 0 4 ，k = 0 2 5 ，缈= 0 0 1 ，由分岔 图我们可以看出随着口从0 开始增加，临界值口= 0 1 5 以前，系统一直处于周期状态， 从a = 0 1 5 以后就处于混沌状态，未出现准周期过程，且随着口的增加直接进入混沌。 ，、 晒 e 、- n 1 2 0 8 o 4 o o o 4 0 0 00 0 50 1 00 1 50 2 0 a 图3 1 凝聚体原子相对粒子数布居z 随原子散射长度口变化的分岔图 如下图3 2 ，初始值z o = 0 ，九= 2 0 9 3 ，参量a o = o 4 ，= 口i = a l = o 18 ，= o 0 1 ， 截去前面一段不稳定的暂态过程，由图，我们可以非常清晰看出随着k 增加，在临界 值k = 0 0 7 以前，我们对分岔图进行分析，可以得出系统处于周期状态，同样的出现 随着k 的增加，从临界值以后就进入混沌状态，未出现准周期过程。 o 8 ，、 04 c u e 、- ， n 0 0 o 4 0 。0 40 0 8 0 1 2o 1 6o 2 0 k 图3 2 凝聚体原子相对粒子数布居z 与凝聚体间的隧穿系数k 变化的分岔图 由上面的分析，我们可以知道系统存在周期情况和混沌情况，而且随着变量的变 化，没有经历准周期过程，直接由周期状态进入混沌。 3 3 李指数分析 李雅普洛夫指数在保守及耗散系统的动力学理论中有十分重要的作用，粗略地讲， 一条给定轨道的李雅普洛夫指数刻画包围它的轨道的平均指数发散率。在混沌学中， 描述了混沌吸引子对微小扰动或初值条件的敏感依赖性。李指数为正，则表示附近轨 道的指数分离，即对初值的敏感性，从而代表混沌。相反，负的李指数表明轨道在局 部是稳定的，对应周期运动。