（基础数学专业论文）四阶常微分方程多点边值问题的正解.pdf

摘要 本文运用锥上的不动点指数定理，研究了四阶常微分方程m 一点边值问题正 解的存在性和正解的唯一性对于相应的特征值问题，在一定条件下讨论了其正 解的存在性和两个正解的存在性以及正解的不存在性主要结果有 一建立了四阶m 一点边值问题 u r n ：+ a u ”一口u = ，( t ，u ) ，0 t 1 ， m - 2 m - 2 t ( o ) = 刚( 国，u ( 1 ) = 饥u ( 6 ) ，旧1 1 挥1i = 1 m - 2m - 2 ( o ) = 舭”( 铀，u ”( 1 ) = k u ”( ) 正解的存在性定理和，取作一类特殊函数时正解的唯性定理其中n ，卢r ，矗 ( 0 ，1 ) ，啦，6 t 【0 ，。) ，f 1 ，2 ，m 一2 ) ，是一些固定常数 二建立了关于四阶m 一点特征值问题 i m + o u ”一p u = ，( t ，钍) ，0 t i ， i m 一2m 一2 “( o ) 一n t u ( 6 ) ，u ( 1 ) = 吼( & ) ，( e 2 ) ii = ii = l 、 i m 一2 m 一2 i ( o ) = 础”( ，( 1 ) = 玩t ”( 矗) 、i=l括l 正解和两个正解的存在性、正解的不存在性定理 关键词价一点边值问题；正解；锥；特征值同题；不动点指数 i i a b s t r a c t t h i sp a p e r i sc o n c e r n e dw i t ht h em p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o ff o u r t h o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ) t ”+ o “”一口札= f ( t ，u ) ，0 t 1 ， f n 一2m - - 2 ( o ) = m ”( 劬，t ( 1 ) = 6 u ( 矗) ，( 层1 1 f = 1= 1 t n 一2 m - 2 u ”( o ) = a - u ( 铀，( 1 ) = 趣“”( 6 ) ， t = 1f = 1 w h e r ea ，卢r ，6 ( 0 ，1 ) ，毗，b ；1 0 ，0 ( 3 ) ，t 1 ，2 ，t ，m 一2 ) 噼c o n s t a n t s b yu 血gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r i e si nc o n e s ，w ee s t a b l i s hs o m et h e o r e m sr e l a t e d t ot h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nt o ( e 1 ) a sw e l la st h eu n i q u e n e s so fp o s i t i v e s o l u t i o nt o ( e 1 ) f o rak i n do fs p e c i a lc a s e i na d d i t i o n ，s o m er e s u l ti sg i v e nw h e n d e a l i n gw i t ht h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ep r o b l e m s u ”+ n u ”一p u = ，o ，“) ，0 t 1 ， m - 2m - - 2 t ( o ) = 刚( 国，u ( 1 ) = 6 i t ( 6 ) ，f e 2 1 i = li 搴1 、 n 一2t n 一2 u ”( o ) = 仉u ”( 6 ) ，u ”( 1 ) = b i u ”( 6 ) t = 1i = l w ee s t a b l i s ht h ec r i t e r i af o rj u d g i n gt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，t w op o s i t i v e s o l u t i o n s ，a n dn os o l u t i o n t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r e8 sf o l l o w s ： ( i ) t h ee x i s t e n c et h e o r e mo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r ( e 1 ) i s e s t a b l i s h e d ( 坳t h eu n i q u e n e s s o fp o s i t i v es o l u t i o nf o r ( e 1 ) i sd i s c u s s e df o ra s p e c i a lc a s e f i i i ) t h et h e o r e mb yj u d g i n gt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t y 拍w e l l t h e n o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st o ( e 2 ) i sp r e s e n t e d k e yw o r d s ：m p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；c o n e ； e i g e n v a l u ep r o b l e m ；f i x e dp o i n ti n d e x i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均巳 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名日期：丝：三：；。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即t 学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名。狴l 导师签名：自丛丕! 日期。 妒r 、f 、于o 前言 常微分方程多点逸值问题不仅在理论研究中占有非常重要的地位，而且在应 甩数学与物理学领域中有着极为广泛的应用背景比如工程学上由n 部分不同密 度构成的金属支索丝一致截面的振动问题，弹性稳定性问题等经济学以及生物 学等领域中的许多实际间题都与相应的微分方程多点边值问题密切相关 对于线* e 二阶常微分方程多点边值问题的可解性的研究是由1 1 i i l 和m o j s e e v 8 于1 9 8 7 年首先开始的1 9 9 2 年，g u p t a i t 首先开始研究一类非线性常微分方 程三点边值问题的可解性以后出现了许多研究非线性多点边值问题的可解性工 作，参见文献1 4 】，f 5 】，1 8 】，1 9 j 1 9 9 9 年，马如云【2 】率先研究二阶常微分方程三点边值 问题的正解此后，二阶常微分方程多点边值问题正解的研究工作便陆续出现，参 见文献1 3 】，f 1 8 】，f 2 0 】，【2 1 】，【2 2 】然而，这些工作都局限于二阶常微分方程的情形 对于四阶常微分方程而言，在1 9 9 5 年，马如云和王海燕开始研究一类四阶常 微分方程两点边值阿愿正解的存在性此后，出现了许多四阶常微分方程既最边 值问题的一些工作，参见文献【1 0 1 ，f 1 1 1 ，【14 i 【1 5 】然而，关于四阶多点边值问题的 研究，目嚣出现的结果还很少就我f f 】所知，只有文献f 1 8 】中就种非常特殊的 情形有所论及因此，对于四阶常微分方程多点边值f 可题正解的研究是十分自然 和必要的这类研究可以推广、统一和发展二阶常微分方程多点边值闯题和四阶 常微分方程两点边值问题的一些已有结果逮不论从理论研究上来讲还是在实际 应用过程当中都将体现出其重要的价值。同对，产生对数值计算具有重要指导作 用的理论结果 本文首先试图研究四阶m 一点边值阿题 “舢+ 翻，一声让= ，( 2 ，珏) ，0 1 ， m - 2m - 2 t ( o ) = 掣( 6 ) ，u ( 1 ) = t i ( 锄， i = li = l 、 m - - 2m - - 2 ( o ) = 舭”( 鑫) ，( 1 ) = 魄n ”( 鑫) ， i = 1i = l 2 这里a ，p r ，6 ( 0 ，1 ) ，啦，ke 0 ，o 。) ，i 1 ，2 ，m 一2 ，均为固定常数 不难看到，如果a = “= 0 ，i = 1 ，m 一2 ，则m 一点边值问题( o 1 ) 就 退化为两点边值问题 m + a u ”一卢u = ，( f ，u ) ，o 1 i( 0 2 ) i ( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = “”( 1 ) = 0 2 0 0 3 年，李永祥【1 】在下列条件下研究了四阶多点边值同题( o 2 ) ( c 1 ) ，：【0 ，1 】【0 ，o 。) 一 0 ，。) 连续； ( c 2 ) n ，卢r 且n 2 7 r 2 ，p 一n 2 4 ，卢丌4 + o 丌2 7 4 一a 7 r 2 一卢，克 a l 且k a - ，则( 0 1 ) 至 少有个芷解( 参见定理1 1 ) 不难看到，当a 产以= 0 ，i = l ，m 一2 时， a ，= 丌一q 矿一卢本文的结果是最优的事实上，由于a 1 是对应于问题( 0 1 ) 线 性问题的第一个特征值。所以当上述不等式减弱成非严格不等式时，( 0 1 ) 的正解 的存在性便不艏保证在这一部分的最后，我们还在将( 0 1 ) 中的，取作特殊函数 f ( t ，u ) = ( t ) 矿( 0 r 1 ) 时，讨论了问题( 0 1 ) 有唯一的正解( 参见定理1 2 ) 其次，本文讨论带参数的四阶m 一点特征值问题 3 u t t t t + o u ”一p t = a ，( ，) ，o 0 ，使得 i ) 当0 0 ，v t ( 0 ，1 ) ；本文称t 为问题( 0 3 ) 的正解。若c 4 o ，1 满足( 0 3 ) 且u ( t ) 0 ，v t ( 0 ，1 ) l ! 堕睑堂垡坌立堡堡= 盛垫堕塑攫堑竖堕查垄丝塑堕二些 4 1 四阶常微分方程m 一点边值问题正解的存在性和唯一性 本节讨论边值问题 胛+ q t ，一_ 8 乱= f ( t ，t ) ，0 t 1 ， m - 2m - 2 u ( o ) = o t “( ，”( 1 ) = 玩u ( 6 ) ，( 1 1 ) z ；1l = l m - - 2m 一2 钍”( o ) = 吼( 劬，u ”( 1 ) = 札( 6 i = 1t = 1 正解的存在性，并对一些特殊的，讨论其正解的唯一性这里a ，卢r ，0 - 6 矗一2 1 ，啦，h 0 ，o 。) ， 1 ，2 ，m 一2 ，均是固定常数 我们曾试图去研究更为广泛的边界条件，即将( 11 ) 中边界条件的系数换成互 不相同的a i ，阢，q ，吨 = l ，2 ，) 时，问题 iu ”+ a 一卢u = f ( t ，“) ，0 t 1 i m 一2m 一2 u ( 0 ) = 锄u ( 矗) ，u ( 1 ) = 晚u ( 矗) ， ( 1 1 ，) i = ：焉：。 卜( o ) = q ( 6 ) ，( 1 ) = 纠( 釉 = l= 1 正解的存在性然而，不幸的是，对问题( 1 1 ，) 无法写出与其等价的积分方程， 故本文仅限于对( 1 1 ) 的研究本节主要工具如下t 定理b 【l q 设x 为b b n a c h 空间，p 为x 上的椎，f l ( p ) 是p 上的有界开集 设h ：面巧一p 为全连续算子若存在讥p ，使 妒一日妒p ，v 妒右吼( p ) ，p 0 则不动点指数t ( eq ( p ) ，p ) ；0 定理c 1 1 3 1 设x 是b a n a c h 空间，p 为x 上的锥，n ( p ) 是p 上的有界开集且 口q ( p ) 设日：蕊可一p 为全连续算子若 h e p 妒，v 妒a n ( p ) ，弘1 ! 塑堕堂垡坌查堡里二点垫堕塑墨至竖鱼查查丝垒堕三整 则不动点指数i ( h ，q ( p ) ，p ) 一1 假设t ( h 1 ) _ ，：i o ，1 】 0 ，+ 。) _ l o ，+ o 。) 连续； ( h 2 ) 吐，卢r 满足a 删= 鬻，删= 警 当一2 o 时，妒。( t ) = 面s i n 忑h w 面2 t ，咖( ) = s i n i h w 五2 ( f 1 - t ) ， 当。 冰呲州= 等，螂) s i n 面o & ( f 1 - t ) 5 口 l ! 堕睑鲎垡坌查堡堡二：量垫笪塑壅至堡盟查垄丝塑堡二丝 6 假设 ( a 1 ) 啦妒2 ( 6 ) 1 且玩 p 1 ( 6 ) 1 ； i = 11 = 1 m - 2m - 2 ( a 2 ) o 妒2 ( & ) 1 且风妒，( 6 ) 1 = li = l 记 p l = 妒i ( o ) ，p 2 = 妒，( o ) ， lm - - 2m 一2i l a i p 1 ( 6 )啦妒2 ( 6 ) 一ll a l = l 。专1 一2 l ， ( 1 2 ) l 魄妒1 ( 靠) 一1 峨妒2 ( 6 ) l l o i 妒1 ( 6 ) 啦妒2 ( 矗) 一l | a 2 = i 。专1宅一2i ( 1 3 ) i 氏妒1 ( 6 ) 一1 风母2 ( & ) i l i = 1i = 1 l 引理1 2 设( h 2 ) 成立若 ( h 3 ) a 1 0 则对任意g e ，问题 l t ”+ l t = 夕( t ) ，0 1 ，则对任 = li = 1 意g e ，g 0 ，问题( 1 4 ) 没有正解 一“”( ) + a l u ( t ) = 9 ( t ) ，0 t 1 此时 i = 1 竹l 一2 t = 6 l 妒l ( 6 ) 一1 ，b ( g ) 一0 a ( g ) = m y 玩片g l ( 6 ，8 ) g ( s ) d s i = l 0 1 一钆妒1 ( 矗) i = 1 故其解为 2 1 叫站。善b i 上g i o b ( 壮枷( 咖小) m - 2 玩妒- ( 6 ) 注意到三l _ r 一 1 ，则对任 意g e ，g 0 ，问题( 1 9 ) 没有正解 现在不难得到 引理1 6 设( h 2 ) ，( h 3 ) 和( h 5 ) 成立则对任意g e ，问题 l u 卅+ 口u ”一卢= g ( ) ， ：蔓掣( 乩m ) ；妻喇， ( 1 1 3 ) j 借1 仁1 lm 一2t n 一2 卜”( o ) = 叫”( ，“”( 1 ) = ( 6 ) 存在唯一解 t ，= z 1 姜1 g ：c 厶t ，g t c f ，s ，c s ，d s d r + o g ：。，r ，a c g ，妒t c r ，打。， + 岛o ，r ) b ( g ) 妒2 ( t ) d r + c ( h ) 妒l ( ) + d ( _ 7 l ) 也( t ) 其中g 1 ，g 2 ，a ( g ) ，b ( g ) ，g ( 9 ) ，d ( g ) 分别如( 1 _ 6 ) ，( 1 1 0 ) ，( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 所 定义。 i ；+ ( t ) = g l ( t ，s ) g ( s ) d s + a ( g ) 妒l ( t ) + 口( g ) 仇( t ) 进一步，如果( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 4 ) 和( h 6 ) 成立，则当g 0 时， u ( t ) 0 ，t f 0 ，l 】 注1 3 在引理1 6 中，如果( a 1 ) 或( a 2 ) 不成立，则当g 0 时，问题( 1 1 4 ) 没有正解 引理1 7 对任意g e ，9 0 ，当( h 4 ) 和( h 6 ) 成立时，a ( g ) ，日( g ) 与g ( 9 ) ，d ( g ) 都是线性泛函。且关于g 非减 i ! 堕坠堂垡坌左堡翌二盛垫笪塑星里堡塑查查丝塑堕= 丝 证明由a 0 ) ，口国) ，c ( 9 ) ，d ( g ) 的定义可以直接得到 1 2 口 ，l e ( t ) = g l ( t ，s ) f ( 8 ：钍( s ) ) d s + a ( ，) 妒( t ) + b ( ，) l p 2 0 ) ， ( 1 1 5 ) j 0 ( t ) = j ( 0 1 g 1 ( t ，s 沁( s ) d s + a ( u ) 妒t ( t ) + b ( u ) 妒。( t ) 丁：孔( f ) = 0 1 2 1 哪g 灯：s ) ，( s ，u ) d s d 丁+ z 0 1 g 2 彬( m - ( 州r + 1 g ( t ，f ) b ( ，) 仰( r ) d t + c ( e ) 妒l “) + 。( e ) 他( 亡) ； l ：l c = 0 1 。1 g z c t ，r ，( ；! - c r ? s ，u c s ，d s d r + z 1 g 。c ，r ，a c u ，妒t c n a r 。， + g 2 ( t ，r ) 口( u ) 妒2 ( r ) d r + c ( h ) b l ( t ) + d ( h ) 锄( t ) 厶2 l i r a i n + l fr a 黔i n ，( t ，u ) “) ，k = l i r a s u 。p 。m 【u ，1 a x j ( 1 ( t ，u ) t i ) ! 堕堕堂垡坌查墨坐= 盛垫篁塑蕉至簦堕壹查丝塑堕二丝 1 3 引理1 1 0 【1 ( k r e i n - r u t m a n n ) 设c ：e e 为全连续线性算子且z ( p ) c p 若存在妒e ( 一p ) 与正常数c ，使c c 妒妒，则c 的谱半径r ( l ) 0 且对应 于t 的第一个本征值 1 = r ( c ) _ 1 的本征向量为正 引理1 1 1 设( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) 和( h 6 ) 成立则由( 1 1 7 ) 定义的算子 三的谱半径r ( l ) 0 且对应于l 的第一个本征值= r ( l ) _ 1 的本征函数为正 证明显然存在t l ( 0 ，1 ) ，使g l ( l ，t 1 ) c b ( t l ，t 1 ) 0 那么必存在陋，明c ( 0 ，1 ) 使得l ( q ，伪并且有 g 2 ( t ，r ) g 1 ( f ，8 ) 0 ，t ，r ，s b 例 取 e ， 0 ，使u ( t 1 ) 0 且当t 掣h 例时，u ( t ) = 0 那么对任意t k 翻 眈( t ) = z i 0 1 岛( tr ) g 。( 一s ) u d s d r + 1 g 2 ( 屯r ) a ( u ) 峨( - r ) 打 + fg 2 ( t ，7 ) b ( u ) 妒2 ( 7 ) d r + e ( h ) 母l ( t ) + d ( h ) q 口2 ( t ) 4 1 4 v 2 ( ，r ) g 1 0 2 ( t( ，。) 。( 。) d s d ，- + 1 4 g 。o ，) a ( 。) 妒，( ，) d ， 上上 ，r( 一s ) u ( 。 上g 。( t ，r ) a ( u ) 妒l ( r ) d r + g 2 ( t ，r ) b 0 ) 妒2 ( r ) d t + c ( ) 妒l ( t ) + d ( ) 如( ) 0 故存在常数c 0 ，使得对任意f 0 ，l 】，c ( l u ) ( t ) u ( t ) 由引理1 9 可知，l 的 谱半径r ( l ) 0 且对照l 的第一个本征值 l = r ( t ) _ 1 的本征函数为正 定理1 1 设( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) 和( h 6 ) 成立如果 厶 a l 且厶 i 可知，存在r l 0 ，使得对任意t 0 ，1 】，u 【0 r l 】，有 f ( t ，u ) a 1 u ，( 1 1 8 ) l ! 堕险堂堂坌立墨堡= 盛垫焦鲤蕉里堡鲤查垄些塑堡二壁 1 4 则对任意“a 辟f n p ，由( 1 1 8 ) 式有一 吼= z 1 上1 g 2 ( f ir ) g s ) m 州s ) ) d s d r + z 0 1g 2 ( f ir ) a ( ，) 川r ) d r + g 2 ( t ，r ) b ( ，) 妒2 ( r ) d r 十e ( e ) 妒1 ( ) + d ( e ) 如( t ) 犰j ( 1z 0 1 g z 似) g ( ”) “( s ) d s d r + z 1 g 。棚( u ) 州棚， + d g 2 ( 。，r ) b ( u ) 妒2 ( r ) 打+ g ( ) 螂) + d ( ) 螂) 2 a i ( l u ) ( t ) ，t 【0 ，1 ( 1 1 9 ) 设t 在口耳tn p 上没有不动点，否则结论已经成立设矿为l 对应于a l 的本 征函数，即u + = l l u 以下证明 一t u p u + ，v u 0 历。n 只p 0 若不然，存在“l o b , 。n p 及t o 0 ，使得 则有t o 0 且 记 l t u l = r o u + i t l = t u l + 而“+ 兰t o u r = s u p , r ：u l r u ) 则显然r t o 0 ，u l ，u + ，结合工( p ) c p 可以得到 2 l l u l 下 l l ”+ = 下。妒+ 上式结合( 1 1 9 ) 式，有 t 1 等n l + r o u + a i l u l + r o t + 一+ + v o ) u i ! 堕睑堂丝坌立堡里二! 量垫堕塑蕉至竖堕查垄丝塑堕二丝 1 5 出现矛盾i 敌由定理b ，得到 i 亿取，n 只p ) = 0 ( 1 2 0 ) 另一方面，由厶 a l 可知，存在0 口 n ，使得对任意 t 【0 ，1 1 ，“【r 2 ，+ 。) ，成立 定义l 1 ：e _ e 如下 l 1 u = a a l l u i t e 则工l 是线性有界算子且l l ( p ) cp 取 肘+ = 。e _ ，：蒜【0 。l1 0 上岛( 。，r ) g 1 ( t s ) ，( s ，“( s ) ) 出打 + g 2 ( t ，下) ( ，) 妒l ( 丁) d 下+ f g 2 ( t ，下) b ( ，) 仇( 下) d t j 0 j 0 + c c e ) 妒1 ( t ) + d ( b ) 妒2 ( c ) ， 显然m r 2 ，( t ) = f ( t ，豇( t ) ) 则 ( t ) = t t ( t u ) ( t ) 【t u ) ( q = z 1z 。) g 2 ( 屯r ) g l ( r ，s ) ，( s u ( s ) ) d sd r + f o g 2 ( 屯r ) a 小) ( ，) 妒- ( r ) 打 + 7g 2 ( t ，r ) 鼠( 。) ( ，) 妒2 ( 呻d r + c ( e 。( 。) ) 咖( t ) + d ( 岛( u ) ) 仍( ) + fg 2 ( t ，7 ) g l ( 下，s ) f ( 8 ，u ( s ) ) d s d v j o j 【o ，叼u ( t ) + g 2 ( t ，r ) a o ，l l l ( 。) ( ，) 妒1 ( r ) d r + g 2 0 ，r ) b o ，1 】( u 】( ，) 仰( r ) d r j t tju + c ( e o ，l l 、，( 。) ) 妒1 ( t ) + d ( e o 1 1 、。( 。) ) 伽( t ) l ! 堕睑堂垡坌查墨苎= 盛望笪囹星里堡生壹查丝塑堕= 丝 1 6 曼哦 j ( 1 f o i a 2 ( ) g ( r ，咖( s ) d s d ，- + f 0 1 g 2 ( 和) a ( u ) 州r ) d r + g 2 ( ，r ) b ( 让) 仇( r ) d r + g ( ) 妒1 ( ) + d ( ) 妒2 ( ) + f 0 1f og 2 。，r ) g t ( r ，s ) ，( s ，d ( s ) ) d s d r + 0 1 g ( ，r ) a ( ，) 妒t ( r ) d r + g z ( ，下) b ( ，) l p 2 ( 下) d r + a ( ，) 妒，( ) + d ( ，) 妒2 ( t ) “m = 击i 二m 戳- 2 慕嚣矧：r 警a - 2 竺1f ( j l 1 ) 一1 = j + l 1 + l ；+ + l ? + 一 ! 堕睦堂垡坌查墨里= 盛垫焦塑壅里竖塑壹垄丝塑堕二丝 1 7 结合( 1 2 0 ) 和( 1 2 1 ) ，可以得到t e ( t ，( b 。n p ) ( 瓦。n p ) ，p ) = ( 正耳。n p ，尸) 一i ( t ，屏，np p ) = 1 故丁在( 耳。n p ) ( 瓦。n p ) 上存在不动点，即问题( 1 1 ) 至少存在个正解 口 洼1 4 当啦= 以= 0 0 = 1 ，2 ，) 时，a l = 丌4 一q 7 r 2 一口，此时定理1 1 化归 为【1 】中定理1 1 的第二部分结果 1 3 问题( 1 1 ) 在一种特殊情形下正解的唯一性 下面将讨论问题 u 删+ 口t ”一卢u = ( ) 矿，( 0 r 1 ) 0 t 1 m - 2 ”( o ) 一皿让( 6 ) ， t = l u ”( o ) = 啦u ”( & ) f 7 - - 2 “( 1 ) = 6 t u ( 鳓： i = l ”( 1 ) = 如”( 6 ) ( 1 2 2 ) 正解的唯性为表达方便起见，这里将依然沿用前面出现的一些记号 定理1 2 设( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) ，( h 2 ) ，( h 4 ) 和( h 6 ) 成立则问题至多有一个 正解 证明设t 1 ，也是问题( 3 1 ) 的两个正解令 a = ( 0 ，o 。) i t 1 ( t ) 一 “2 ( t ) 0 ，t 【0 ，l j ) ( 1 2 3 ) 显然，a 西设 ”= s u p a ( 1 2 4 ) 可以断定 a + l i ! 堕睑堂堂壁查堡堡= 盛垫焦塑蕉垩竖堕壹查丝塑堡= 丝 1 8 事实上，若 1 ，由( 1 2 3 ) 可知，u l ( t ) 一”u 2 ( t ) 0 ，t 【0 ，l 】所以有 圳= 0 1 2 1 郇，r ) g l ( 刊蜘) 吲s ) d s d r + 0 1 哪，彬( ，1 ) 州r ) 打 + g 2 ( t ，r ) b ( f 1 ) 0 2 ( nd r + g ( e 1 ) 母1 ( ) + d ( e 1 ) 2 ( t ) z 10 16 2 邶- ( 刊吣) ( 地2 ) r d s d 丁+ o i g 2 ( f i 椰( 胁( 州r + c 2 ( t ，r ) b ( ) ) 仇( f ) d r + g ( e 。) 妒l o ) + d ( e 。) 仉( ) 甜 j o l f g 2 慨加- ( ”) 忡) 鄙) d s d r + z 1 g z 珊( ，2 ) 洲圳r + g 2 ( t ，r ) j 4 ( ，2 ) l p l ( r ) d r + c ( e 2 ) + v ( e 2 ) 】 = r “2 ( ) 其中 ( u ) = ( t ) u ；“= 1 ，2 ) ，( t ，u ) = h ( t ) ( ”u 2 ) ， e i ( t ) = g l ( t ，s ) ( t ，u ( s ) ) d s + a ( f i ) 妒l ( t ) + 口( 五) l p 2 0 ) ，( i = 1 ，2 ) ， e 。0 ) = g l ( t ，s ) ，( t ，u o ) ) d s + a ( ，) 妒l ( t ) + b ( f , ) q 0 2 ( t ) 这样便有a ”a ，注意到0 r 舻，这与( 1 2 4 ) 矛盾f 所以 同理可证 故 毗( f ) r t 地0 ) ( ) ，t 0 ，1 1 u 2 ( t ) 1 0 ) ，z o ，1 j u l ( t ) i 锄( t ) ，t 【0 ，1 】 口 l ! 堕睑堂堂坌立堡翌= ：量鲎堡垡塑壁垒全里竖盟查垄丝 1 9 2四阶常微分方程m 一点特征值问题多个正解的存在性 本节讨论四阶常微分方程m 一点特征值问题 删+ n ”一p t = a ，0 ，u ) ，0 0 ，使得( 1 - 1 4 ) 的唯一解让满足 u ( t ) 1 , t u l l ，t 峨l 一研 ( 2 2 ) 证明令7 = 】n j n 口( t ) ：t f 6 ，1 一研) 容易知道7 0 ，由引理2 1 故( 2 2 ) 成立 口 令 p 1 2 u p ：u o ，6 。m t e 0 ，其中6 是一个数； ( a 9 ) f 。o = l i r a 。丛等生；。对任意t 【o ，l 】成立 定理2 1 设( h i ) ，( h 2 ) ，( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 4 ) ，( h 6 ) ，( h 7 ) ，( h 8 ) 和( h 9 ) 成立则存 在” 0 ，使得 i ) 当0 0 使得n 对应于”有一个不动点矿e d e ， 证明令 u + 。) = j ( 1 f 0 1 g 2 ( ，r ) g ，( r ，s ) d s d r + z 1 g 2 ( t r ) a 妒( r ) d r + ( 南( t ，r ) 宜妒2 ( r ) d r + e ( r ) 妒1 ( ) + d ( r ) 9 z ( t ) ， 其中r ( t ) = j ：g ，( t