（理论物理专业论文）用微扰qcd方法研究bc→jψk的衰变.pdf

两南大学硕十学位论文 摘要 用微扰q c d 方法研究b c j vk 的衰变 理论物理专业硕士研究生周秀利 指导老师余先桥( 副教授) 摘要 随着b 介子工厂试验的顺利进行，b 介子物理已经成为粒子物理界最重要的 研究领域之一。b 介子的稀有衰变也为标准模型的检验、验证q c d 理论、探索自 身c p 破坏和新物理的发现提供了一个很好的研究场所。在已经运行的欧洲核子中 心的大型强子对撞机上，能够发现大量的b 。和尾介子，因此研究风介子的稀有衰 变是很有必要的。 本文从基本的低能有效理论开始，简单介绍了b 介子衰变的一般理论，在对 强子矩阵元的计算方法上，本文采用了李湘南等人提出的微扰q c d 因子化法，并 对其进行详细的说明，该方法主要是考虑了横向动量b 的贡献，引入s u d a k o v 形 状因子。作者在p q c d 理论框架基础上对眈- - ) ，蟛的衰变分支比进行了计算， 在标准模型中，这个衰变只出现树图级的贡献，b c - - - ) ，蟛衰变的分支比大约在 ( 1 3 ) x 1 0 。数量级上，大的分支比很容易在l h c b 试验中检测到。 b 介子的两体非轻衰变过程是粒子物理学中一个很重要的研究课题，任何在 理论上的突破都会引起广泛关注。本文中所介绍的微扰q c d 因子化方法在强子矩 阵元精确计算方面向前迈出了很大一步，我们期待将来得到试验的检验。 关键词：微扰q c d ，k f 因子化，分支比，c p 破坏，反介子。 s t u d y o fb c j vk d e c a y sw i t h p e r t u r b a t i v e m a j o r ： a d v i s o r ： q c d a p p r o a c h t h e i r e t i c a lp h y s i c s p r o f y ux i a n q i a o a u t h o r ：z h o ux i u l i a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ep r o s p e r o u se x p e r i m e n t a le v o l v e m e n ti nbm e s o nf a c t o r y bm e s o n p h y s i c sh a sb e c o m et h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c ha r e a si nt n ep a r t i c l ep h y s i c s c o m m u n i t y t h er a r ebm e s o n d e c a y sp r o v i d e sag o o dr e s e a r c hr o o mf o rt e s t i n gt h es t a n d a r dm o d e l v a l i d a t i n gq c d t h e o r y , e x p l o r i n gt h e i ro w nc pv i o l a t i o na n dt h ed i s c o v e r y i n go fn e w p h y s i c s i nc e r nl a r g eh a d r o nc o l l i d e rh a sw o r k e d ，w h i c hc a nf i n d al o t 0 tb sa n db c m e s o n s ，s oi ti sv e r yn e c e s s a r yt os t u d yt h er a r em e s o n d e c a y s i nt h i sp a p e r , s t a r t i n gw i t ht h eb a s i cl o w e n e r g ye f f e c t i v et h e o r y , i n t r o d u c t e dt h e g e n e r a lt h e o r yo ft h ebm e s o nd e c a y s ，f o rc a l c u l a t i o nt h eh a d r o n i cm a t r i xe l e m e n t w e u s e dt h ep e r t u r b a t i v eq c d f a c t o r i z a t i o na p p r o a c hw h i c hw a ss u g g e s t e db yl ix i a n g n a n a n do t h e r s ，a n de x p l a i n e di t t h em e t h o di sm a i n l yo n t h i n k i n go ft h ec o n t r i b u t i o no ft h e t r a n s v e r s em o m e n t u m k r ，a n dl e a d st h es u d a k o vf o r mf a c t o r a u t h o rc a l c u l a t e d t h e b r a n c h i n gr a t i oo fs tj jl 嗨d e c a y si nt h e f r a m e w o r ko fp e r t u r b a t i v eq c d 。i nt h e s t a n d a r dm o d e l ，t h i sd e c a ya p p e a r so n l yt r e e l e v e l c o n t r i b u t i o n ，a n dt h eb r a n c h i n g r a t i oi sa b o u t ( 1 3 ) x 1 0 。4 ，t h el a r g eb r a n c h i n gr a t i oi s e a s yt om e a s u r e m e n ta tl h c b e x p e r i m e n t s t u d y i n gt h en o n l e p t o n i cd e c a yo fbm e s o ni sa ni m p o r t a n tt a s ki np a r t i c l e p h y s i c s a n ys m a l lb r e a k t h r o u g hi nt h e o r yw o u l dg i v er i s et ow i d e s p r e a dc o n c e m i n t h i sa r t i c l e ，p e r t u r b a t i v eq c d f a c t o r i z a t i o na p p r o a c hw eu s e dt a k e na h u g es t e pi nt h e a c c u r a t ec a l c u l a t i o no fh a d r o nm a t r i xe l e m e n t ，a n dw e l o o kf o r w a r dt or e c e i v i n gt h et e s t f r o mt h ee x p e r i m e n t k e yw o r d s ：p e r t u r b a t i v eq c d ，j 哆f a c t o r i z a t i o n ，b r a n c h i n gr a t i o s ，c pv i o l a t i o n 反m e s o n h 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加了 特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同仁 在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 阂毳刹 签字日期： 加( 汐年争月沙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：留不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：i 习磊硝 导师签名：豪知根 ， f 签字日期：弘l ，年吁月p 日签字日期： y f 年罩月驴日 西南大学硕十学位论文 第一章引言 第一章引言 公元前两千年，人们普遍认为物质是由原子组成的，直到十九世纪，粒子物 理学使得人们对物质的组成有了一个新的认识，即物质的基本组成已经从原子、 原子核，进一步深入到了夸克、轻子、中间玻色子，跨越了近1 0 个数量级。同时， 人类对物质之间的相互作用认识也取得了一定的进展，并且知道，物质之间存在 着四种基本相互作用：即引力作用、强相互作、弱相互作用、电磁相互作用。现 在一般把s u ( 2 ) l 圆u ( 1 ) y 电弱统一模型s u ( 3 ) 1 】和量子色动力学q c d 统称为标准 模型理论，它是迄今为止公认的描述弱、电、强三种相互作用的理论 2 】，而且的 到了几乎所有实验的检验并被实践所证明，但是，这个模型最大的缺憾是没有找 到理论中预言的h i g g s 。 当前粒子物理学界的一个重要任务是更深层次的检验标准模型和寻找新物 理。b 夸克的发现 3 】为重味物理的研究开辟了新的领域，1 9 9 5 年，在美国费米实 验室劫对撞机t e v a t r o n 上工作的d o 和c d f 实验组发现了第六味夸克_ t 夸克 4 ， 但是由于t 夸克质量太大，衰变的很快，无法形成强子束缚态，所以b 介子作为 重子家族的代表，成为重味物理的主要研究对象。尤其是b 介子的弱衰变，在验 证q c d 理论、研究c p 破坏、检验标准模型和探寻新物理方面起着十分重要的作 用。b 物理的研究在试验方面得到了强烈的支持，尤其是美国s l a c 和日本k e k 的b 介子工厂对大量的b 介子产生和衰变过程做了试验测量，更重要的是2 0 0 7 年开始运行的l h c - - b 工厂除了产生b 、b o 外，还能产生大量的曰，和眈，进一 步推动了b 物理的发展 5 。 c p 破坏时粒子物理中最常见的现象之一，标准模型认为c p 破坏起源于三代 夸克之间的混合，有相应的c a b i b b o k o b a y a s h i m a s k a w a ( c k m ) 矩阵描述 6 ，7 】。 但是标准模型却无法预言c k m 矩阵元的大小，只是给出了c k m 矩阵的幺正限制， 然而b 介子的弱衰变却为精确测量c k m 矩阵元的绝对值以及提取c k m 相角口、 、y 提供了一个非常好的场所。 目前研究b 介子两体衰变的基本方法是有效哈密顿量法 8 】，它将短距离效应 归入w i l s o n 系数，长距离效应归入算符矩阵元。由于在b 介子衰变中存在强相互 作用，所以强子矩阵元的计算便成为难点。m w 标度的w i l s o n 系数可以通过微扰 论的逐级计算，然后利用重整化方程和w i l s o n 系数的反常量f f 9 ( a n o m a l yd i m e n s i o n ) 将它跑动到我们需要的任何标度。于是计算一个过程的q c d 修正就可以归结为计 算该过程相应的算符矩阵元的q c d 修正。而在历史上，计算强子算符矩阵元的方 法先后有朴素因子化方案 9 】、推广的因子化方案等方法 1 0 ，但朴素因子化方案没 西南大学硕十学位论文第一章 引言 有考虑q c d 效应，所以最终的数值结果强烈依赖于重整化标度，但其预言能力很 低；推广的因子化方案虽然计入了q c d 的侈，阶修正，但是由于处理红外发散的 过程中引入了新的非物理的量，从而破坏了理论的自洽性，降低了理论的预言能 力，所以系统的考虑q c d 效应在b 介子的两体衰中变得非常有必要。现在我们计 算强子矩阵元的方法有两种：b b n s 因子化方案和李湘南等人提出的p q c d 6 ，7 ，8 ，9 】 方法，两种方法有很大的不同，存在根本上的争议，但这些争议并非本文的重点， 本文主要是利用微扰q c d ( p q c d ) 计算b 介子衰变的分支比。 论文分两大部分，第一部分是综述，包括三章内容，在这三章里，我们介绍 了b 介子衰变的一般理论、微扰q c d 框架和c p 破坏的一般理论；第二部分是工 作部分，具体介绍微扰q c d 方法的应用和利用微扰q c d 方法计算了b 介子的两 体非轻衰变的过程，预言了它的分支比，并期待在将来的l h c b 实验中得以检验； 最后是总结与展望。 2 西南大学硕士学位论文 第二节b 介子衰变的一股珲论 第二章b 介子衰变的一般理论 目前，研究b 介子弱衰变常用的基础理论工具是低能有效哈密顿量，其一般 形式为 1 l 】： = 也g f ；g ) q ( 2 1 ) 其中g p 是弱相互作用的费米常数，与c k m 矩阵元相关的因子眨k m 和w i l s o n 系数g ( ) 表征的是与之相对应的有效算符在哈密顿量中的作用强度，q ( ) 是和衰 变过程有关的定域算符，此处的标度没有规定，是任意选取的。从因子化定理中 可以知道衰变振幅可分为能标大于的短程贡献c ，和能标小于的长程贡献q f ， 其中短程贡献c i ( ) 是与强子结构无关的，并且是可以通过微扰论来精确计算的。 因此，研究b 介子弱衰变的主要工作就归结为如何可靠的计算强子矩阵元( q a u ) ) 。 2 1 低能有效哈密顿量的介绍 对弱相互作用的研究，低能有效哈密顿量的研究方法可追溯到4 0 多年以前， 由s u d a r s h a n 、m a r s h a k 1 2 和f e y n m a n 、g e k k m a n n 1 3 等人提出的描述衰变的 四费米子相互作用形式的低能有效哈密顿量，用夸克和轻子的语言来表述，可以 写为： h = i ( i fc 。s 眈砚( 1 一扮p 矿( 1 一扮也 ( 2 2 ) 上 我们知道这个低能有效哈密顿量是将标准模型中重的中间波色子w 积掉而得 到的，用图( 2 1 ) 表示。 图2 1 夸克层的夕衰变：( a ) 完整理论，( b ) 有效理论 同样，从基本的理论角度上来看，b 介子的衰变过程也主要表现为交换一些重的粒 西南大学硕士学位论文 第章b 介子衰变的一般理论 子场，如中间玻色子矽、z o 和顶夸克t ，但是这些重的粒子自由度都小会出现在 b 介子衰变中的初末态上。由于这些重粒子的能标o ( m 、m z 、啊) 远大于b 介子的能 标o ( m d ，所以我们可以积掉这些重场，用一些只包含b 介子衰变初末态自由度的 合适的定域低能有效的哈密顿量来描述b 介子的衰变，这将是非常方便的。 考虑到夸克层次的跃迁，以bjc 力为例，如图( 2 2 ) 所示。 图2 2 不考虑q c d 效应 在不考虑q c d 强作用效应下，相应的树图级振幅为： 一岳吃禹( 砜巩一 = i ( r f ，c 6 ，耐* l 幽- ) y 一 ( 西) y 一+ d ( 后2 所旁) ( 2 3 ) 二 上式中( 五) y 一一= j 托( 1 一r s ) u ，( 西) y 一= 巩( 1 一t s ) b 。由于在跃迁6 一c 力中动量传递的平 方根七z 相对于脚刍是很小的，因此我们可以将其忽略，这样整个衰变振幅完全可近 似为( 2 3 ) 式中的右边第一项。所以我们得到的低能有效的哈密顿量为： h = 警( 幽) r 一爿( c 6 ) r 一4 + 高量纲算符 ( 2 4 ) 叫z 上式中的高量纲算符带有偏导项，对应的d k 2 所参) 是压低的。在以后的计算中， 我们只需要保留量纲为五或六的有效算符，对于更高量纲的算符可以将之忽略。 因此，假如不考虑q c d 修正，低能有效哈密顿量可以表示为： h = t r 爵f 屹( 幽) y j 4 ( 西) r 一4 ( 2 5 ) 上 其中对于色指标的求和我们用重复的希腊字母来表示。 4 西南大学硕+ 学何论文第二章b 介了衰变的一般卵论 图2 3 考虑q c d 效应 加入考虑了q c d 的效应，有效哈密顿量h 可以推广为： h = 一t i r f ( c l ( ) q l + c 2 c u ) q 2 ) ( 2 6 ) 、2 式子中 q l = ( c ，口“口) r 一一( c p 屹) 1 7 - - 1 ) q 2 = ( d 口“口) y 一爿( c p b p ) r 一， ( 2 7 ) 其中q l 、q 为树图算符。但是对于b 夸克无粲非轻衰变，除了有带电流树图作用 外，企鹅图过程的贡献也是很重要的。所以，b 夸克无粲非轻衰变的有效哈密顿量 中的有效算符被大大扩充，不仅有( v 诅) a ) 型的流流四夸克算符，而且有 a ) ( v + a ) 型的算符。这是由于在q c d 企鹅图和弱电企鹅图中，胶子( 光子或z 玻色子) 与夸克的作用有两部分来提供，即( v 诅) 型作用和v + a ) 型作用。 下面以b 一阳；为例，说明企鹅图( 图( 2 4 ) ) 贡献的算符 窖 鼋 图2 4q c d 企鹅图 q 3 = ( s b ) v 一, 4 ( q q ) v 一4 ，q 4 = o 口) 矿一4 ( q p q 口) y 一， q 5 = ( 曲) v - a ( 钾) r + ，q 6 ：0 口幻) v - a ( q j q a ) r + ， ( 2 8 ) 同样的对于电弱企鹅图( 图( 2 5 ) ) 的贡献的算符： 西南大学硕士学位论文第二章1 3 介了衰变的一般邗论 图2 5 电弱企鹅图 0 7 = 吾( 动m 白面) ， q - - - u ，d j c 。b 绕= 寻( ；口知) m 白( 巩) 川， q = n ，d ，c ，j ，o q 9 = ；( ；6 ) h e q ( q q ) h ，q l 。= 吾( ；口b p ) n e q ( q ，g 口) h ( 2 9 ) q = u ，d ，j ，c 。oq = u ，d 。c ，j ，o 再考虑衰变b _ j 凡) ，如图( 2 6 ) 所示，由下图所贡献的两个算符我们称之为磁 企鹅算符： 图2 6 磁企鹅图 q 7 y = 8 万e 2m b s 一口”( 1 + r s ) b 口v u r ，q 8 9 2 8 ；口仃”( 1 + 坞) 砀知( 2 l o ) 以上例子告诉了我们算符乘积展开( o p e ) 的基本思想是：两个非定域的带电流 的算符乘积可以展开成为一系列定域算符之和，与之对应的强度可以用有效耦合 常数w i l s o n 系数来表征。对于量纲越高的算符，相应的耦合强度通常会被某个大 质量的幂次压低。 在标准模型理论中，b 夸克无粲非轻弱衰变的有效哈密顿量为 1 2 ： h 够= i “? ，- 4 y 。( q ) 鲜( ) + q ( ) 霞( ) ) 6 西南大学硕士学位论文第= 章b 介了衰变的一般理论 1 0 一屹( c l 讧) 级( g ) c t r q 7 r + c s g q 3 窖) l + h z ( 2 1 1 ) k = 3 式中v q 是与c k m 矩阵相关的因子，其定义为： 铲隆簧凳：蒺黧 其中钟和鳄表示树图算符，q 3 到q 6 是企鹅图算符，q 7 至l jq i 。是弱电企鹅图， q 7 与级g 为磁企鹅算符。 2 2 强子矩阵元的计算 在标准模型中，以b 夸克非轻衰变的有效哈密顿量为基础，b 介子两体非轻弱 衰变的振幅可以表示为： a ( b - - - m l m 2 ) = 警v i c i ( g ) ( m i m 2 q ) ；口) ( 2 1 2 ) o - i 其中，k 为与c k m 相关的矩阵元，运用算符乘积展开和重整化群的方法，高于标 度o ( m 。) 以上的短程微扰效应已经被分离到w i l s o n 系数g ) 中，并且是可以微扰 计算的。而对应的低于标度o ( m b ) 的复杂的长距离非微扰效应只出现在强子矩阵元 ( m 心，q ( ) ：b ) 中。因此，衰变振幅的计算就可以归结为哈密顿量中有效算符强子 矩阵元的计算。然而，由于强相互作用的复杂性，到今天为止，我们还无法对强相 互作用的非微扰贡献进行可靠的计算。已知的q c d 求和规则、格点论等非微扰方 法，也都无法精确估计b 介子两体非轻衰变中复杂的强子矩阵元。所以，目前还 不能实现从q c d 第一原理出发来计算强子矩阵元( q ) 。下面我们大致介绍有效算 符强子矩阵元的几种计算方法。 2 ，2 1 朴素因子化方案 “因子化”是朴素因子化方案 9 的基础假设，物理学上把它称为“色透明机 制”，其内容为色单态的介子和其它夸克相互作用是退耦的。在此模型下，强子矩 阵元可以表示成 ( m l m 21 j lo ，21 占) = ( m 2l j 2 1 0 ) ( m li j l b ) ( 2 1 3 ) 虽然这个方案在解释些衰变道分支比上取得了很大的成功，但是它仍有局限性。 在计算的数值结果中，我们可以看到，由于没有考虑吩阶的修正，导致最后的结 7 西南大学硕十学位论文第章b 介子衰变的一般胛论 果非常显著地依赖于标度，另外，朴素因子化方案中，由于强相互作用贡献的振 幅是实数，因此振幅中只有弱相角，而无强相角的信息，这就使得朴素因子化方 案的预言能力很低，从而无法预言b 介子衰变中的直接c p 破坏。 2 2 2 推广的因子化方案 基于朴素因子化的基础，a l i 等人提出了更进一步的因子化方案，有效算符 q 以) 开始包含修正，考虑到领头阶有： ( q ( ) ) = 【l + 岳而，) + 麓而。 ) 】( q ) 船 ( 2 1 4 ) 其中t h e m ( , ) 及兜似) 与重整化方案和标度是有关的。树图级的算符矩阵元近似的表 示为： ( q o ) ) = 1 + 象赢 ) 】( q ) 慨 ( 2 1 5 ) 上述方案称为推广因子化方案 1 0 ，1 4 ，1 5 虽然最后结果对重整化标度的依赖在很大 程度上有所降低，但是由于在( 2 1 4 式) 中疡。似) 和九) 包含红外发散，为避免红外 发散就必须让外线夸克离开质壳，但这与规范选取有关，从而带来新的非物理依 赖性，降低了理论预言的能力。 2 2 3q c d 因子化方案 由b e n e k e 等人在1 9 9 9 年提出的新的因子化方案【1 6 】，成为近年来研究b 介子 非轻衰变的主要方法之一。他们认为形状因子的贡献是非微扰的，但是非因子化 的贡献是硬的，并且可以通过微扰的方法逐级计算。略去a 0 c d 的幂次修正， 有效算符q f 的矩阵元可以表示为： 假如m 。、m ：都是轻的， m i m 2q f4 ) = 矽卅协；) f 出刁( 卅( m i _ 坞) j + e d ：, a x d y r , u ( “y ) 口( 孝) 帆( y ) t d 9 2 ( x ) ( 2 1 6 ) 假如m 是重的，而鸩是轻的，则有 ( 肘- m 2 q = 秽州1 ( 忉；) 脚( 郴肘：( 工) ( 2 1 7 ) 上式中f m 是形状因子，o m ，o m 2 , 西口分别是m - ，m 2 ，b 的光锥分布振幅。由于总的 红外发散式相互挤消的，所以略阶的修正是红外有限的，因此就避免了推广的因 子化中所存在的规范相关的问题。 8 西南大学硕十学伊论文第二章b 介予衰变的一般胛论 2 2 4 微扰q c d 因子化方案 由李湘楠等人提出的一种新的处理b 介子衰变到两个轻介子过程的因子化方 案，即微扰q c d 方法 1 7 ，1 8 ，1 9 他们假设此过程是以硬胶子交换为主的。那么衰变 振幅就可以用一个硬散射核和所有参与相互作用介子的光锥波函数的卷积来表 示。我们用公式表达为： a m p l i t u d e p 4 k l d 4 k 2 d 4 k 3 r r c ( f ) 红( 毛) 如( 也咴( 如) ) 日( 瓴，七2 ，如) 】e x p ( 一s ( ，) ) ( 2 1 8 ) 关于p q c d 方案的具体讨论，我们将在第三章讨论。 9 两南大学硕士学位沦文 第三章p q c d 方法简介 暑曼曼皇i 鼍曼曼鼍曼鼍曼曼曼詈曼曼鼍曼曼量量曼曼曼曼曼曼曼皇兰曼曼曼曼曼曼舅曼皇曼鼍曼曼曼曼曼曼曼蔓鼍量曼曼曼曼皇曼鼍曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼舅曼量 第三章p q c d 方法简介 3 1 因子化定理 微扰q c d 中最基本的概念是因子化定理 2 0 ，2 1 】，而因子化定理是我们能够利 用微扰q c d 进行强子过程计算的基础。它的内容是：在高能q c d 中，非微扰动 力部分或者抵消或者被吸收进强子波函数中，剩余的部分是由无红外发散引起的， 我们就可以用微扰论方法来进行计算。利用这个定理，我们就可以用硬散射核和 强子波函数的卷积来表示整个衰变振幅，其中由于强子波函数包含非微扰的贡献， 所以是不能计算的，但是这些强子波函数却是普适的，与具体计算过程是无关的。 我们可以通过格点理论或者q c d 求和规则，或者通过实验定出强子波函数。这样， 微扰q c d 就具有理论预言的能力【5 】。 下面我们重点利用因子化定理处理b 介子的非轻衰变振幅：我们已知，b 介 子非轻衰变 2 2 ，2 3 ，2 4 的计算之所以困难，是因为里面有较多的能标和自由度，而且 能标的跨度很大，包括m a ，m 矽，a d c d ，以及因子化尺度t ，最大跨度可以达到4 0 0 倍，为了解决这种能标的问题，我们普遍采用因子化方法，更准确的说应该是假 设。利用重整化群方程把四夸克算符的q c d 修正，通过对m 。到m w 的重整化群求 和，将其放到w i l s o n 系数c ( t ) 里面。其中涉及到三个不同的标度：因子化能标丢， 电弱标度m 妒和硬相互作用t 口( 、j 劢。) 标度，因子化能标丢中的b 是介子中夸克 横动量k r 做傅里叶变换的共轭动量， 能标以下的物理量通常看做是非微扰的，其 效应也包含在普适的、与过程无关的介子波函数西村里面。介子波函数肼用来描 述正反夸克的强子化过程，由通过已经测量得很好的衰变道而获得。能标 以上 的物理量依赖于具体的衰变道，我们用微扰理论进行计算，在微扰理论框架下， 利用四夸克算符对具体的衰变道做费曼图并进行计算。这样，根据因子化定理，b 介子两体非轻衰变振幅可以写成： a m p b t u d e p 4 七l d 4 七2 d 4 k 3 t r c ( f ) 红( 白) 办y ( | j 2 ) 办( 如) ( 白，如，如，f ) 】 ( 3 1 ) 其中g ( k ，) 和k ，分别是每个介子的波函数和中轻夸克对应的四动量，t r 代表对旋量 以及颜色空间进行的求迹，h ( k ，f ) 表示硬散射核部分，可以用微扰计算，c ( t ) 是 w i l s o n 系数 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 】 详见附录】。 l o 西南大学硕十学位论文第三章p q c d 方法简介 曼。一m 一一_ i n 一一一一 i i 曼皇曼舅 3 2k ，因子化定理 由b o t t s 等人提出的后r 因子化定理得到广泛的应用。本节我们不再验证对k r 因 子化定理，( 读者可以看参考文献 3 0 ，3l 】) 。 本节以召- - * j y k 衰变为例，对于b 介子静止系，用光锥坐标系p + ，p ，p r ) 来 处理问题。光锥坐标系定义为： p + = 击( p 。+ p 3 ) , p - - - - - 1 2 ( 一0 _ 一3 ) , p r - - ( p l , p 2 ) ( 3 2 ) 式中两个矢量p i , p 2 的标积为： p 2 = 2 p + p 一一p r , p 1 p 2 = p 啦p 笋= p p i + p f p ；- p l r p 2 r ( 3 3 ) 则b 、j y 、k 所用的四动量分别是： 胪瓮吣r ) ，p z = r 2 , 1 , 0 r ) ，p ，= - ( 1 - r 2 , 0 , 0 r ) ( 3 4 ) 其中，= m ，v m 占，在这里由于k 介子质量远远小于b 介子质量，因此我们可以忽 略它的质量。b ，j ，y ，k 介子中轻夸克携带的动量分别为： k l = ( 而p i ，0 ，k l7 ) ，k 2 = ( o ，x 2 p 2 ，如r ) ，如= ( x 3 p ；，0 ，岛7 )( 3 5 ) 可以看出每个夸克都有横动量k r ，在最简单的因子化中，横动量是很小的，一般 是可忽略的。实际上，一般假设只是在波函数的非端点区域忽略横动量。在端点 区域，如果纵向动量趋于零，那么横向动量就不再是小量。另外，如果保留横向 动量，在q c d 因子化方法中就不会存在端点发散问题。 3 3 b 重求和：s u d a k o v 因子 我们已经知道，在衰变过程硬胶子交换和软胶子交换是同时存在的。这样就 有两种重要的贡献是不可避免的，即：软发散和共线发散。而每一种发散都会产生 一个对数项，但是当软发散和共线发散重叠时就会产生双对数项，这些对数与相 乘后得到的量l n 2a 卿不是小量，为了不破坏微扰展开，我们须将这些对数项进 行求和。单对数项可以用重整化群方程求和至所有阶，而双对数项要采用重求和 要壹盔兰罂土：警鲨吝兰三耋：暨：馨璺2 技术，求和之后得到的就是s u d a k o v 因子。其推到过程详见文献 3 2 】。 从文献【3 2 】中我们可以得到s l k l a k o v 因子的解析表达式： = 骅t 孙一一- l 0 9 2 心一”争半 + 亏6 7 一譬一爵1 0 一，+ ；岛l o g 争( 半) 2 l o g ： ( 36 ) s u d a k o v 困子p 叫站) 随b 的变化如图0l l 所示： 图31 舢d a k 钾因子。叫蚰) 效果图 从圈中可以看出，当在大b 区域时，s u d a k o v 因子迅速下降，当b i a o c 3 时， e “蚰) 基本趋于零；而在小b 区域，s u d a k o v 因子接近i ，即s u d a k o v 因子影响消 失。这个因子可以使吒始终保持为一个小量，这就满足了p q c d 理论应用的可行 性条件，衰变振幅的绝大部分的贡献来自啊的极小区域( qc o3 ) 。这个由于引入b 因子而出现的s u d a k o v 因子具有可以压低在大b 时长程相互作用的特性。正是由 于这种特性，才保证微扰论计算的可行性。 3 4 阈值重求和 在引入了b 因子之后便得到了s u d a k o v 因子。但是对于硬过程馓辐射修正 计算时，同样会出现双对数项吒m 2 0 z ) 【3 3 ，3 4 , 3 5 , 3 6 ，3 7 。同理，把这些对数项抽出 来，再次使用重整化群求和技术对其进行求和( 详见推导文献【3 7 】) ，得到的结果为 j e t 函数，并且参数化为： ( 37 ) 这个因子是普适的它不依赖于夸克的味道和波函数的扭度，而依赖于具体的费曼 图。它导致了计算结果在z _ 0 1 时压低，这正是所需要的端点压低。 西南大学硕十学位论文第四章c p 破坏 第四章c p 破坏 研究b 介子衰变的主要目的之一就是寻找和理解c p 破坏，本章主要介绍c p 变换，标准模型对c p 破坏的解释以及b 介子中的c p 破坏。 4 1c p 对称性破坏的长论基础 我们从n o e t h e r 定理中知道，物理系统的对称性是与作用量的对称性密切相关 的，这使我们可以将物理系统的对称性通过作用量的对称性反映出来，或者说物 理上的对称性要求能够对作用量加以某种限制，在很大程度上减少了作用量的任 意性。所谓对称性，大致可分为两类，一类是集中在连续对称变换方面的p o i n c a r e 不变性和内部对称性，这类对称性由一系列无穷小变换生成；另一类对称性是分 类对称性，与连续对称性有所不同，所以不能表达成一系列无穷小变换的积，但 是其中的两个变换一时间反演t 与空间反演p ，是时空对称性的，也是彭加莱群的 组成部分。宇称变换p 是将时空坐标( t ，x ) 变换成( t ，x ) ，改变了空间的守征性 ( h a n d e d n e s s ) ；时间反演t 是将( t ，x ) 变换为( t ，x ) ，改变了光锥的前后方向。第三个分类 变换是电荷共轭变换c ，它是将粒子变换为相应的反粒子。所以可以说联合变换c p 就是将一个粒子变成一个相应的具有相反动量和螺旋度( h e l i x i t y 的反粒子【3 8 】。 为了讨论一个给定的理论是否允许存在c p 破坏，我们就需要知道各种粒子场 在不同变换下的性质。下面我们分别给出了k l e i n g o r d o n 场矿g ) 、费米子场如) 、 矢量场以g ) 的宇称变换和电荷共轭变换。 4 。1 。1p 变换 以) 的宇称变换是矽b ) 一蓐，号为妒的内禀宇称。正号表示标量场，负号表 示赝标量场。用h i l b e r t 空间的宇称变换算符p 可以表示如下： 标量场： e c 吣x ) p 一= + 妒( 譬)( 4 1 ) 赝标量场： p o ) p = 一烈舅)( 4 2 ) 费米子场： p 口o ( x ) p = 尹烈z )( 4 3 ) 西南大学硕士学位论文第四节c p 破坏 曼皇曼曼曼曼曼曼皇曼鼍曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼皇量曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼皇曼量曼曼曼曼曼曼皇曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼皇曼曼曼曼曼蔓曼曼曼曼皇曼蔓1 1 i i 曼 矢量场九g ) ： p a 声( 工) p 一1 = 九( 譬)( 4 4 ) 4 1 2c 变换 标量场的电荷共轭变换定义为： c 妒( x ) c 一1 = + ( 工)( 4 5 ) 费米子场出) 的电荷共轭变换为： c 烈x ) c ：i t , 2 y o 历7 ( 工)( 4 6 ) 矢量场如b ) 的电荷共轭变换为 c a ( x ) c = 一九( 工) ( 4 7 ) c p 变换就是将上述的p 和c 变换联合在一起作用于系统的一种变换。 4 2c p 破坏的可能来源 自从c p 破坏在弱相互作用下发现以后，人们曾试图在理论上给出它的解释， 也曾尝试找出除了中性k 介子外其他实验可以观察到c p 破坏的效应。在早期的 理论探索中，人们接受的最多的理论是超弱相互作用理论，根据上述理论基础， c p 破坏效应来自超弱相互作用，并且只有在k 介子衰变中才能观察到，而在其他 的实验中观察不到c p 破坏现象。假如存在超弱作用，它的来源和机理仍需要用理 论来给出解释，但是新的k 介子和b 介子衰变的实验基本排除了这种超弱作用理 论。 7 0 年代规范场论给我们解释了c p 破坏现象的两个可能的来源：即强c p 破坏 和弱c p 破坏。 ( a ) 强c p 破坏：强相互作用的物理机制是一种规范的相互作用，根据量子色 动力学，基本的拉格朗日量中可以有一项 岛3 丘r ( 4 8 ) 上式中口是一个无量纲常量，当日0 时c p 破坏会出现在强相互作用中，通常 1 4 西南大学硕士学帝论文第口q 章c p 破坏 称之为强c p 破坏，这个c p 破坏的可能来源是在试验中发现的。 ( b ) 弱c p 破坏：在标准模型中，不同代的夸克之间会发生混合，在自然界中， 如果存在n 代费米子，数学上不同代夸克之间的混合用一个n 维空间基矢间的幺 正变换来表示，那么这个幺正变换的变换矩阵由：个参数来表示，即： n 2 = ( 一1 ) + ( + 1 ) ( 4 9 ) k - - - - - ，、- v - - - - ， e u l e r a n g l e s p h a s e s 但是由这个幺正变换所联系的两组n 维复空间基矢共有2 n 个，并且在n ( n + i ) 2 个相因子之间有2 n 一1 个相对相角，用重新定义费米子波函数的方法将这些对相角 去掉，这样总的独立参数就有n 2 一( 2 n 一1 ) = ( n 一1 ) 2 个，则独立的相因子还剩下 三n ( n + 1 ) 一( 2 一1 ) = 三( 一1 ) ( 一2 ) ( 4 1 0 ) 个，如果这些相因子不为o ，在实验中将表现为有c p 破坏现象出现。标准模型有 三代费米子，有一个独立的相角和三个独立的e u l e r 角。我们用3 x 3 的c k m 混合 矩阵v c r m 来描述不同代的夸克之间的混合。 当前粒子物理实验和理论研究上的一个重要的课题就是弄清楚实验上观察到 的c p 破坏现象的物理来源和机制。日本的k e k 和美国斯坦福大学的b 介子工厂 实验的主要任务就是研究c p 破坏的机制问题，而且目前实验运行良好，实验结果 页与标准模型吻合，同时得知：c p 破坏就是宇宙中物质和反物质不对称的来源。 4 3 标准模型对c p 破坏的解释 在标准模型中，c p 破坏来源于三代夸克混合矩阵中的一个相位。1 9 7 3 年， k o b a y a s h i 和m a s k a w a 将两代夸克的混合理论推广到了三代夸克的理论，并建立了 k o b a y a s h i - m a s k a w a 模型，其所包含的三代夸克为： ( ：；) ， ( 4 1 1 ) 其中u , c ，t 统称为u _ 型夸克，它们的电荷都是；e ，d , s , b 或它们的质量本征 态d , s ，b 统称为卜型夸克。它们的电荷是一 e 。d 型夸克弱相互作用的本征态 以j ， 6 7 与他们质量本征态的变换关系表示如下： 雌捌 ； ( 4 1 2 ) 西南大学硕士学何论文第四章c p 破坏 ( 4 1 2 ) 中的变换矩阵v = ) ，其中i - - - u ，c ，t , j = d ，s ，b 是幺么矩阵。利用这一幺正矩阵， 带电强子弱流可以表示为： 和 以= g j ；k 。一扮，t 笼誊笼v , b ； c 4 3 ， jl 6 j = 白囊占n 。一扮， 篡孽孽 刁 c 4 1 4 ) = 白，；，占n ( 1 一扮) l 吆吃呓ii ci ( 4 i 吃吃jl f j 变换矩阵v 被称作c a b i b b o k o b a y a s h i m a s k a w a 矩阵，简称为c k m 矩阵。可以看 出c k m 矩阵是个3 x 3 的复数矩阵，一般情况下我们知道n x n 复数幺正矩阵共有 n 2 个独立的参数，由此推出v 中共有9 个独立参数。而6 个夸克场u ，d ，s ，c ，b 和t 中有5 个相互独立的相对相位，这些相位都是无法测量的，可以任意定义它们， 因此我们可以采用重新定义夸克场相位的方法来吸收掉c k m 矩阵中的5 个独立参 数，这样c k m 矩阵最后剩下4 个独立的实参数，从这4 个参数中选出3 个来描 述三位空间转动的欧拉角，剩下一个选为复相位。一个标准的取法实采用转动角 记为o l ：、0 2 ，、岛，和一个复相角磊，其中， 式中c - - c o s 0 0 - ，曲兰s i n 0 0 ，f ，j = l ，2 ，3 。 s 1 2 c 1 3 c 1 2 c 2 3 一s 1 2 $ 2 3 s 1 3 e 话 一c 1 2 s 2 3 一$ 1 2 c 2 3 s 1 3 e 珂 ( 4 1 5 ) c k m 矩阵元有很多种参数化方案，但必须保正c k m 矩阵的幺正性矿+ v 一= 1 和 独立的参数为4 的条件。在这种原则下进行的各种参数化在物理上都是等价的， 对物理结果没有影响。在s 。： j ：， s 。，的数量级关系下，取名= s 。：，取另外一种按力 展开的近似的参数化方法： f ，l 一2 2 2 力 彳磐一f 叩) 1 矿- i 一五 l 一矛2 彳牙 i + 口d 【4 ) ( 4 1 6 ) i4 刀( 1 一p i r ) 一4 , t 2 1 j 式中的四个参数彳，五，p ，7 都是实数。根据已知的c k m 矩阵的幺正条件矿+ 矿一= 1 ，可 1 6 、j 碡 3 3， 船 矗s c ， “b 麓，q 二嘞瘦 譬 虻 即 = v 两南大学硕士学位论文第四章c p 破坏 以得到6 个类似于以下的等式的结果： + 吃+ 吃= 0 ( 4 1 7 ) ( 4 1 7 ) 式可以在复平面内表示成一个三角形，如图( 3 2 ) 所示，这个三角形在物理 上我们把它称为幺正三角形。 其中幺正三角形的三个内角分别定义为： 峨= d 一焉 图4 1b 物理常用的幺正三角形的最初形式 ( 4 1 8 ) 如上图中幺正三角形的面积则表示c p 破坏的大小，它的边和角都是物理可观 测量。假如标准模型是正确的，则有 a + 8 + y = 1 8 0 尚( 4 1 9 ) 我们研究b 介子衰变及其c p 破坏一个主要目的就是精确测量这个幺正三角形，看 它在误差范围内是否能构成一个三角形，从而可以检验标准模型，并进一步探索 新物理的信号 3 9 。 lj叫1j 吃一噍 彪一舷 u m