（应用数学专业论文）statedependent型非线性脉冲微分系统的稳定性研究.pdf

独创声明 水几卢明所鬯变的学f 一论文是木人在导师指导j 进行的研究j 作乏i 双衙的 i 究成 果。撕我所知，除了文中特别加以杯注和投谢的地办外，论义r 叫、l ，一j 他人已绐z 乏太 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( l ：如l 没“j 他镕i 婴特j 刊j f 归的，小栏ir j + 空) 或其他教育机构的学位或证书使 j 过的材料。1 ，我旧f 作的同，玉对 本研究所做的任何贡j 敞均已在论文，i ，作了明确的说j j ：表示谢意、 学位论文作者签名：7 害如k 学位论文版权使用授权书 木学位论文作1 5 = i 完全了解一邈有关保胃f 、f r _ “” 【2 交f j “，j ：z 雠刖i i 闻家有关部门或机构送交论文的丛印f - i 和磁髓， 。7 l 沦文枉乏_ f + j 蒯和强 水，、授k z 蕉一可以将学1 口沦文的全部或部分内存编入仃爻数扑i j 4 t t j - f i 俭索，r ，j 以j ：川i # 叩、 或 描等复制r 段保存、7 i ；- g t7 , i 学f 托沦文。( 保密的学位论文征解：芬i , 7j 五j f ；j 4 、授权 5 ) ，学f 扛论文作肯签私：z 彩如k 吁师签，j 签字门期：2 0 0 ；q 二f 签字厂1 期 【“东师范人学硕士学位论文 s t a t c d e p c n d e n t 型非线性脉冲微分系统的稳定性研究 l i 琳 ( i lj 尔师范人学数学科学学院，济南，山尔，2 5 0 0 11 ) 摘要 h = 厂( ，)7 ( 吐 a 一 ( f ，) 一九( r ) ， ( 1 ) 【f ( f l ；) l u ，t o 芝0 ， = i ，2 ，3 、 山东师范人学硕十学值论文 分系统作比较，利用向量l y a p u n o v 函数与微分不等式建立了比较原理，然后 将其应用于稳定性的研究中得到了两个测度稳定性判定的比较结果，需要指 出的是本节中的比较原理允许解曲线碰撞同一脉冲面有限多次在本章第4 节中，假设系统( 1 ) 的任意解撞击同脉冲面仅一次，通过构造新的集合，我 们对l y a p u n o v 函数的要求放宽，利用直接方法得到了一系列稳定性判定准 则在这些直接判定结果中，l y a p u n o v 函数在脉冲面之川沿系统轨线可以增 加可以减少，甚至可以在这两个脉冲面间增加而在另两个脉冲面i 、白j 减少与 此同时，给出例子说明脉冲对系统的影响及验证定理的有效性 在第二章中，我们利用变分测度函数方法，通过不带脉冲的非扰动系统的 性质来研究具依赖状态脉冲的扰动系统的性质众所周知，变分l y a p u n o v 方 法是研究非线性系统稳定性的种行之有效的方法 1 4 - 1 6 , 2 1 】，它将变参数方 法与l y a p u n o v 第二方法相结合，通过广义参数变分公式建立起扰动系统与 非扰动系统解之间的关系，进而利用非扰动系统解的性质来研究扰动系统解 的性质在许多实际问题的研究中( 如常规意义下零解的稳定性) ，测度函数 在本质上已具有l y a p u n o v 函数的特征，因此我们可将变分l yr j p u n o v 方法中 的l y a p u n o v 函数代之为测度函数，这便产生了本章中所引入的变分洲度函 数方法的基本思想利用这种思想，我们通过两个测度函数r b j f 内关系及非扰 动系统解的性质得出了一系列s t a t e d e p e n d e n t 型脉冲微分系统关于两个 测度的稳定性与不稳定性的判定结果，并给出例子说明定理的应用性及脉冲 引起系统解的本质变化 关键词：s t a t e d e p e n d e n t 型脉冲微分系统，两个测度、l y a p u n 。t j 函数 ( o ， ) 一稳定性 分类号：0 1 7 52 1 2 t h 东师范人学硕士学位论文 s t a b i l i t ys t u d yf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s w i t hs t a t e d e p e n d e n ti m p u l s e s w a n gf 。i n s c h o o lo fm a t h e m a t i ( a ls c i e n c e s s h a n d o n gn ( ) i1 1 u l lr n ix 7 f - 1 _ s i t 3 ， 1 i n a n s h a m h m g 2 5 0 9 1 4 pr c h i l m a b s t r a c t i l lt h i sp a l ) e l ，w ec o n s i d e lt h es t a b i l i t ) p i o l l ( 、1t 3 i n t e li l l s ( j ff 、0 rt l i ef ( 1 l l m 、i 1 1 9i i n p u l s i ( ，d i t f ( ，i o n t i a le ) s t ( 、l l l s 、i t hs t i l le 一( 1 叫】( 、i l j 、n t p 。肌，) f 枷) r = f ，_ ) 7 = r t , ) 1 7 ( 7 j ) ：j n“( j 卜= l2 ，：j ，一 1 1 t ；l s l l r ( 1 h 1 i t l l ) 1 1 i be ，s i ii sk mj 、7 i it l a tt h ei | l ( 、o i 、u fi n l l , u l s i ”1d i l l ( 1p t i t i a lh 、s t 【t i i n jr c ) 、ic h l hai l a f i ir i l lf r ia 1 l e 、。( 1 lk ( e li l i a h e l n a t i ( i l lm o d e l l i n g f _ i l l a t l 1 ( 、a l 。、0 1h lf i l l ( 。i t ( i i l l ( i l a ，s u ( h n si l r o j e c t e o n t r o l ，c o u l i l l u n i ( a t i o n b i o l 0 9 3 ，e c o l l o n l ，a l l ds ( ) 0 1 1 f h e r e l a sl l ：11 1 1 as i g n i f i c a n td e x e l o p m e n ti nt h ( 、t h e o r 3 o fi l n p u l s i 、p ( 1 i f t ( ，i f - n t i a le q u a t i ( i l l si l lt h e p a s t1 0y e a l ，s 1 1 0 ，1 3 ，1 5 ，1 。一3 3 】、e s p ( ，( 。i a 1 3 i nt h ( 、a i - e aw h o l pi m l m l s e sa r ef i x l ，( 1 h u p u l s i x ed i f f m e n t i a ls ) s t c l l i sw i t hs t a t e d 、1 ) p m l e n li m l l u l s ( 、ha sa l le x t ( 、f l f i t m o fs 3s t ( 、i l l sw i t hf i x e di m p u l s e sh i l x + eu l o l pa p p l i c a l i o nt h m t 、r 1 _ i nt hc i l l 、( 、s t i g a t i o no ft h i sk i n ( 1o fs 、，s t e m s ，t l l e l ea r i s ea n l u i l ) o lo fd i f f i c u l ti e sle l a t e ( 1t ot l ( 1 p h e n o n l e n ao fb e a t i n ga n db i f l l r 【a t i o ne t c u pt ono 、t h er e s u l t sa b o u ti u l p u l s i 。ed i f f e r e n t i a is y s t e m sw i l l ls t a t e d e p e n d e n ti m l n l l s e s a r ei i c a l l 37 怡w a n d i 】l o s to ft t l 。1 1 1a 1 1 ea b e l l tt h ee x i s t e n t ro fs o h l l i o n s 1 , 1 0 , 2 22 4 】i ts h o u l dh pp o i l i t ( ，( 1 t h a t ，i nf 1 1 ，vl a k s h m i k a n t h a mf o u n d e dt h ( 、b a s i l ：t h e o l 、o fs i ( 。hh j s l e l l i sa l l d d i s c u s s e dt i ms t a b i l i t 3 ，o ft h e m b u tt h ec o n d i t i o n so fl h o s er e s u l lh a i es t l m g o nt h eo t h e rh a n d ，t h ec o r a l ) a r i s e nr e s u l t sa r ea sy e tn o tw e l l d e x i e l o p e d ，a l l d m o s ta r ec o m p a r a b l ew i t ha l li m p u l s i x ed i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t hv a r i a b l ei 1 ”p u l s e a n du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a te x e l - 3 - s o l u t i o nm e e t se a c ht l y p e r s u r f a c ee x a c tl y 0 1 1 c p 5 一引 i nv i e wo ft h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o na i mt h e o r e t i c a lb a c k g r o u n d ，w ei n ：7 e s t i g a t et i l es t a b i l i t yp r o p e r t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sa b o u tt h ei m p u l s i v ed i t 二 f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hs t a t e d e p e n d e n ti m p u l s e s t h ec o n c e p t si nt e r m so ft w o m e a s l l r e sd e s c r i b ei n i t i a lv a l u ea n ds t a t eo fs o l u t i o ns e p a la t e l 3 ，b ym e a n so ft w o m e a s u r e st i l l o u g ht h ed i f f e , e n tf o r m so ft 、o l r l e a s u le s 、i te n a b l et l st ou n i f 、a “东师范人学硕士学位论文 k e y w o r d s ： i n l i ) l 1 1 s | 、+ ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s 、i t hs t a t e d e p e n & 3 1 1 ti m p u l s e s t u om e a s u r e s ，l y a p u n o _ 、，f i m c t i o n ， ( h o ，h ) 一s t a b i l i t 3 - c 1 a s s i f i c a t j o n ：0 1 7 5 2 1 一一 一一一一一一一一 一一一一一一一一一一 一一 一一一一一一一， 一一一一一一一一一一一一 一一 一一一一一呈一帆 一一一州一一一一一帅一一 一一 一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。一一一一一 h 东师范人学硕士学位论文 第一章 s t a t e d e p e n d e n t 型脉冲微分系统 两个测度的稳定性 众所周矧脉冲现豫足科技领域的实际 u 题一i ，泞迹仃a 的1 ：c | i 现缘例 c ( | = 金融7 l ，场中资金的输入输 | ：人乍物- t ! 沏种经过饥荒! 戈交然捕捞的仃 化彤，：仵药理。r h 某器”二戈人的身体纤过药物搬l 双或肌匀；i ：刺肟药礼、 准的变化情况：心脏的跳动等这些现缘部足在某时刎：1 人急发乍突然变化 这种连续和离散j i 仃的现蒙川以用微分系统币芹分系统联f j ，址术加以描述 也【! | j 脓；干微分系统它的研究从9 0 r 代j 卜始mj 。岂靠爻l u 题r 】的普遍 。l ：1 = i 】重要肚许多人从0 ；这方f n l 的研究辑艇的t 1 几年i 议 ! j 许多研究成粜 ! “。”。似人邪f c ：_ 再j 二崩j t 叫刻r 冲微分系统的研究 s ，“ ，) f ， nr h 刖型咏冲微分系统也禽定叫刻达特侏情况蜞仃l 卫 广泛的f 、i 背景丁系统轨线的运动形态更为复杂一的研。丸比较缓慢i 前父j 二返炎系统的研究结果并4 i 多见口多集中存斛仃亿7 陀m 题的研究力【i l 【1 “1 ”。4 文 1 巾给h 了s t a t ( d f p e m hn t 型脉冲微分系统m i ! f f 0 存在性等 魑本理沦并初步研究了系统的稳定性，但文中定理刈l g a p u o u 函数n 勺限制 条f 牛较强需其导数在脉冲而之问沿系统轨线负定月j c 存永冲而i i 沿轨线成 小等此外关于此类型脉冲微分系统稳定性的比较结果甲九j9 9 l 午t a k s l 一 m i k a n t h a m 在文f 5 i 中建立了比较原理并将其应用到稳定性研究巾、之后一系 列条件相对较弱的比较原理相继建立【6 ，但它们鄙是仡解i l h 线碰撞同一脉 冲丽仅一次的较强限制条件下进行研究的，并且都以另一s t a t e d e p e n d e n t 型脉冲微分系统做为比较系统的 在本章第三节中，我们用比较方法研究了系统的稳定性通过t j 常微分 系统作比较：利用向量l y a p f m o i ，函数与微分不等式建立j 比较原删，然后将 其应用f 稳定性的研究中得到了两个测度稳定性判定的比较? 果需要指 的是本节中的比较原理允许解曲线碰撞同一脉冲面有限多次在第四节，我 们假设系统( 1 ) 的任意解撞击任一给定的脉冲面仪次通过构造一系列新 的集合埘l y a p u n o v 函数的要求放宽，利用直接方法得到了一系列稳定性判 定准则在这些定理中，l y a p u n o v 函数在脉冲面之间沿系统轨线可以增加”t 以减少甚至可以在这两个脉冲面间增加而在另两个脉h 面州减少与此同 时，给出例子以说明脉冲对系统的影响及验证定理的实_ | j 性 5 一 生垒塑翌叁堂堡堂焦丝塞 1 2预备知识 考虑如下s f “” f p e n d e n t 型脉冲微分系统 7 = ，f ( t ，) f n ( _ ) j 7 ：i k ( t t ) ，一“( t ) ， 【f ( t d ) ：j0 t n 。a 。l ，2 、：j 廷【| ， ( i ) r f 凡”门 j ，n ( ，) 月“以 r f 疗，x ，f “，f “j 弦满足 ；箱俐以f 裂系统f i i i g 解住i t o x 】j ：以? 住j i f 4 t i 上j 存j 参i 文献i 6 1 令r ，u 印，记系统( ) 过( 幻，r o ) 的解为( ! ) 一，( ，f 0 ) f “ 一收j n j 苦、系统( 1 ) ( i d f # 7z ( f ) = 、r ( f ，f 。，。) 为具笫炎川断点l l ( i 5 间断点处为 允连续的分段连续函数，符殴以为积分曲线( ，r ) 在刚刻f ：j 圻f i = | l 撞的脉冲 曲面序列弓则柯如r 关系成、z ： 为方便起l i ，假设刘任意的k = 1 2 ：3 ， 有，o t k ( ：e 0 ) 凡( z ) = 0 r 月”下面引进系列集合和函数类： 月一一f 0 + 。) r + ： s 一 ( f ：l j ) r + xr “ ( 0 ，十。) ； = n ( 1 ) ) ：a = 1 2 ，3 g 2 ( ( t ，f ) 兄+ 月“：7 - k 。( z ) f 茎礓( _ ) ) ， ( ? 一ug o 己 g ：= “t ，z ) 只+ 月“： - k1 ( 1 ) 0 ，o ( u ) 0 且o ( o ) = 0 ) k = n e r + ，r + 】：o ( u ) 关于u 严格币增且a ( o ) = o ) ； e = 。c l rr r ，r 】：对任意的f 兄+ ，n ( t ，) ，f ) ； g l 【】尔师范人学硕十学位论文 1 2 0= f v ：r 十r “_ r 望，在集合g k 上连续，关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件 且对( t t ，z ) s k ( k = l ，2 ，3 ，- - ) ，极限 】i m v ( t ，y ) = v ( t ，z ) 存在) ； ，f p + 【c - j ( f ，f ) g 女+ l 沪 = 7 ：只+ 舻_ r + ，在集合g t 上连续，关于。满足局部l i p s c h i t z 条件 且对( t t ，) s k ( a = 1 ，2 ，3 ，- ) ，极限 l i m v ( t ，9 ) = i ，( ：z ) 存在) ： 矧哉：f s ( h ，p ) = ( t ，z ) r + r “： ( t ，z ) o 为一常数； 为克服脉冲时刻不固定所引起的困难，我们构造了如下新的集合： n kp = r + ：存在z r “使得( t ，z ) 鼠n s ( h ，p ) ， ，其中p 0 为一常数； d k ，= d ( m 。，帆，) = j 矿1 f t l ； z ；麓匕 ，p = d + ( 帆_ lp ，眠p ) = s u p t t l k n kp n k 一1 口 下面我们给出系统( 1 ) 关于两个测度的稳定性定义 定义1 2 1 设h o ，h r ，x ( t ) = x ( t ，t o ，z o ) 是系统( 1 ) 的任意解，系统( 1 ) 被称为 ( i ) ( h o h ) 稳定：若对任意的f o ，t o 只+ ，存在d 一6 ( o r ) 0 ：使当 h o ( f o ，t o ) 0 ， 存在t = t ( t o ，e ) o ，使当 o ( t o ，z o ) 6 时有h ( t ，z ( ) ) 0 ，咖c k ，使当h o ( t ，z ) o 及函数b k ，使当h ( t ，z ) u 及函数o c h ，使当h o ( t ，z ) d 时有 7 ( t ，z ) 茎a ( t ，h o ( t ，z ) ) ； ( j “) o 渐小：若( i i ) 中n 与t 无关，即a k 定义1 2 4 设1 7 峋或i7 沪，对任意( t ，z ) g o ，定义i m ，z ) 沿系统 ( 1 ) 连续部分的右上d i r d 导数为 d 。r ( t ，z ) = l i ms u p 【v ( t + 6 ，z + 占，( t ，z ) ) 一y ( ，z ) ，( 1 2 , 2 ) d 一0 十。 对任意( ，t ) s k ，k = l ，2 ，3 ，定义，z ) 沿系统( 1 ) 离散部分的差分为 a i 。( f ，j ) = ( ，。+ ，( f ，z ) ) 一1 7 ( ，z ) ( 1 2 3 ) 注意到i ( f ，r ) 在集合g k 上关于z 局部l i p s c h i t z i a n ，故对任意( t ，z ) g o 11 h i j 【， 1 ( f + c i ，十“厂( f r ) ) 一1 ( f ，r ) = l l i ns u p ( t + 巧，- 下( f + 6 ) ) 一1 7 ( ，z ) 】， j _ ” u j 斗0 + 0 其中f ( t ) = t ( ，t o ，。1 0 ) 为系统( 1 ) 的任一解 51 3系统稳定性判定的比较结果 在木仃中，我们阿先利用向量l y a p a t 2 0 v 函数与微分不等式通过与常微 分系统作比较建立j ，一个比较原理，之后将其应用于稳定性的研究中，得到 r 一个比较结果，最后给出例子以说明定理的应用性 注：本节考虑解曲线可t 引司一脉冲面相撞有限次的情况，而文f 5 - 9 1 中的 比较原理均是在解m 线t j 同一脉冲面碰撞仅一次的限制条件下得到的 f 面先给出一个已知的结果 引理1 3 1 令，1 c r + ，r “1 且 d + m ( t ) g ( 1 ，m ( z ) ) ，t2t o ， 其中f c r + 冗，冗” ，9 ( t ，t ) 关于u 拟单调非减 令7 1 0 ( t ) = r o ( t ，t o ，t o ) 为系统 2g ( t , u ) ，1 ) l0 1j iu ( t o ) = u 0 ， 8 些垒堕蔓查堂堡竺笪丝茎 一 在区m t o ，。) 上存在的最大解 则当m ( t o ) s “o 时有 m ( t ) r o ( t ) ，t t o g j - n 出常微分系统的比较引理之后，我们将给出变时刻脉冲微分系统( 1 ) 的比较原理 定理1 3 1 假设 ( i ) = c 片+ r 一，r ，9 ( ，u ) 关于“拟单调非减，r 0 ( ) = r 0 ( f ，t o ，“o ) 是系统 ( 1 31 ) 在区间l t o ，。) 上的最大解； ( i i ) r l y 0 且 d + ( t ，z ) sg ( t ，v ( t ，z ) ) ， ( ，z ) g ”， f 132 ) ，f t ，z + h ( t ，。) ) 曼v ( t ，z ) ，( t ，z ) s k ，a = 1 ，2 ，3 - 。 则 、( o ，z o ) s “o 意味着7 ( 、z ( t ，t o ，。o ) ) 7o ( t ，t o ，o ) t t t o ， 其叫r ( ，。，。) 是系统( 1 ) 满足z ( 甘) = ：c o 的任意解 证明设t ( 1 ) = z ( t ，t o ，z o ) 是系统( 1 ) 的任一解臣r ( z o ) t o o ，使当q o ( “o ) 6 时有 q ( 1c ( r ) ) 0 ，咖 7 使得 h ( t ，z ( ) ) ( o ( f ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h o ，p o ) ； ( i i i ) 且 1 ( f ，j ) sg ( f ，1 ( f ，z ) ) ， ( t ，z ) g o n s ( h ，) ， l ( ，z _ _ ，k ( t ，z ) ) v ( t ，z ) ，( f ，z ) s kn s ( h ，p ) ，k = 1 ，2 ，3 - - ， 其l ，0 庐( p o ) p ； ( i v ) 存在函数a ，b k 使得 b ( h ( t ，z ) ) q ( v ( t ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h ，p ) ， q o ( i ( ，_ ) ) a ( h o ( t ，z ) ) ，( t ，z ) s ( h o ，p o ) ； 1 0 山东师范人学硕士学位论文 ( v ) ( t ，z ) s kns ( h ，p ) 意味着( t ，x + 0 ，z ) ) s ( h ，p ) ， 则山向量常微分系统( 1 31 ) 的( 虢，q ) 一稳定性质可推出s t a t e d e p e n d c n t 型脉冲微分系统( 1 ) 年门应的( h 。、 ) 一稳定性质 证明下面仅以证明( 7 l o ，h ) 一稳定为例，而其它的( ，z o ， ) 一稳定性类似 可证 对任一给定的0 e 0 ，t o r _ ，存在5 l = j 1 ( o ，e ) 使得 q u ( o ) d -意味着q ( “( f ，t o ，i t 0 ) ) 6 ( ( ) ，t t o ：( 1 35 ) 其中( t ) = “( z ，t o 、“o ) 是系统( 1 3 1 ) 过( t o ，o ) 在区i h j 【t o ，0 0 ) 上存在的解 选取d ( 0 ，p o ) 满足n ( d ) d 。，( d ) e 若h o ( f o ，z o ) d ，则山条件( i i ) 得 h ( t o ，z o ) s 曲( h o ( t o ，z o ) ) 茎咖( 6 ) f 下证、与h o ( t o ，t o ) 6 时有h ( t ，x ( t ，t o ，x o ) ) t o 使得，( r + l ( ，+ + ，f o o ) ) f ，h ( t ，1 1 ( ：t0 3 ：0 ) ) f ，t ost t + 我” 令 t ：) 至】 为积分曲线( t ，x ( t t o ，7 0 ) ) 依次撞击脉冲面 炙。) 翟1 的时刻，即t i = t k 。( t ( 。) ) f ，。 t ：+ l 因此t 。ht ) 对某一i 成立 jt + ( t i ，t i 1 ) m 0h ( t + ，x ( t + ) ) = e ，因t e h ( t 、h 2 ( f ) ) f pt t o ，针( 1 3 6 ) # j ：f + 一f 。则i hh ( t f ( ，) ) f t 托，r ) 可知( + x ( t + ) ) f ，由条件( 、) 可得( sh ( t + x ( t “) ) p 因此存在t o ( t ：，t h 。) 使得 ，2 ( f ol ( f o ) ) 2f 且 ( t ，z ( f ) ) p ，t t o ，t o ( 1 3 7 ) 在( 13 6 ) 中，若用t o 表示则( 1 3 7 ) 式对上述两种情况均成立 列于1 ，( ，z ( ) ) ，t t o ，t o 】，由条件( i i ) 知 ，) + i7 ( f ，t ( f ) ) 墨o ( t ，v ( t ，z ( t ) ) ) ，( t ，z ( ) ) g o ， r ( f ，z + i k ( t ，9 2 ) ) v ( ，z ) ，( t ，。) s k ， l 州此f 叮由定理1 31 得、7 ( t ，t ( t ) ) 茎7 + 0 ( t ，t o ，u o ) ，t t o ，t o ，其中 t t 0 = v ( t o ，z o ) ， 而，o ( ，t o ， l t o ) 是系统( 131 ) 的最大解 再山q o ( u o ) 二二。( 1 7 ( t o ，z o ) ) s + ( h o ( t o ，黝) ) 。( 6 ) 6 l 及( 1 35 ) 式可得 q ( ，( f o ，9 2 ( 1 0 ) ) ) q ( r o ( z o ，t o ，u o ) ) 6 ( e ) ； 另一方而，由条f t ：( i xr ) 及( 1 37 ) 知，q ( v ( t o ，9 2 ( 1 0 ) ) ) 兰b ( h ( t o ，z ( o ) ) ) 6 ( e ) ，矛 盾 因此系统( 1 ) 是( h o ：f 。) 一稳定的 山尔师范人学硕十学位论文 注：若定理1 3 2 中n = 1 ，g ( t ，“) 三o ，q o = q = l u l ，则成为文 1 】中的 定理3 7 1 ，但其限制解曲线与同一脉冲面相撞仅一次，而此处允许相撞有限 多次 例1 3 1 考虑如下s t a t e d e p e n d e n t 型非线性脉冲微分系统 z j = e - t x l + z 2s i n t 一( z ；+ x l z ；) e ，t “( 。) ， x ：= x ls i n t + et z 2 一( z ；z 2 + z ) e ，t 丁k ( z ) ， a x l = ( e k 一1 ) x 1 + f k x 2 ，t = ( z ) ， ( 1 38 ) a x 2 = z l + ( e k 一1 ) x 2 ，t = ( z ) ， z 1 ( ) = z l o ，x 2 ( j ) = x 2 0 ， 其中0 r 1 ( z ) n ( z ) t k ( x ) ，l i m 仉扛) = + o 。，e k ， 为实常数 满足j c k + js1 ，i e k 一 s1 令z = ( z 1 ，z 2 ) ，选取k = ；( z 1 + x 2 ) 2 ，k = ；( z l z 2 ) 2 ，q 0 = q = i w - l + i u k l ，h o = h = z ；+ z ；，则q o ( v ) = q ( v 7 ) = 石 + z ；= h o = h 且确 17 = ( 1 1 l + x 2 ) 2 ( e 一+ s i n t ) 一e t ( z ；+ z ；) ( z l + z 2 ) 2 茎2 ( e 一+ s i n ) ，f “( z ) ， i ：= 二( f l 一- f2 ) 2 ( p 一一s i n t ) 一e ( z + ，弓) ( 。1 一z 2 ) 2 2 ( e 一。一s i n t ) ，t 7 l ( z ) ， 1 1 十= ；( ，。+ j 寸) 2 = ；【( e t + ) ( t 】+ 2 ：2 ) 】2 l j ，t = 7 l ( z ) ， i _ 2 t = ；( z 一，；) 2 = ； ( e k 一 ) ( z - 一一2 ) 2 茎，= r e ( z ) o 墩比较系统为 计算f 1 39 ) 的解为 易看出系统( 139 ) 是( q o ，q ) 一稳定的，凶此由定理1 3 2 知系统( 138 ) 是 ( h ，h ) 一稳定的 93 u 毗 s s 0 0 十 一 叭 毗 叫 一 = = c c 2 2 2 2 0 0 = = 此 耽 曲曲十 一 u o 0 _ = _ = t z 巾巾j弘孓 “= = g = = 如 如 u u “ “ 、，、j0 幻 s s 0 o c c 一 + 坛幻 s s 0 0 c c + 一 一 e e 一 一 o 0 一 一 e e 2 2 ri，i p p x x e e m 如 札 u | | 1 | 、)、j t 1 2 山尔师范人学硕十学位论文 51 4系统稳定陛判定的直接结果 文 i 】中给出了几个关于s t a t e d e p e n d e n t 型脉冲微分系统稳定性判定 的直接结果，但它们都要求l y a p u n o v 函数沿系统轨线在脉冲面上单减且其导 数沿轨线在脉冲而问为常负或负定而实际上，山于脉冲的影响，对l y a p u n o v 函数的要求可以放宽在本节稳定性定理中，l y a p u n o v 函数在脉冲面之i b j 沿 系统轨线可以增加可以减少，甚至可以在这两个脉冲面问增加而在另两个脉 冲面问减少，之后亦给出了一个关于不稳定性的判定结果最后，给出例子以 说明脉冲对系统的影响及验证定理的实用性 注：在本节巾、我们总假设系统( 1 ) 的任一解z ( ) = z ( t ，t o ，t o ) ，r 一1x o ) 1 0 “( r o ) 依次撞击每一个脉冲面s ：，i2k 仅一次，关于此的具体内容可 参看文献【1 ，6 下面给出一个保证此现象的定理，其为文f 6 1 中的定理21 引理1 4 1 设 ( i ) 刘任意的 = 1 ，2 ，- 一，n ( z ) 有界； ( i i ) 列任意的( f o ，r o ) ，相应于脉冲系统( 1 ) 不含脉冲的常微分系统有解在区i n j f t o x ) 上存在： ( i i i ) 冬盟巾，z ) 0 使得对任意的z ( 0 ，“) ，t r + 有 一f l t + d k p p ( s ) d s + z “讥扛高姐k = ，； ( i v ) 存在常数p o ：0 0 ，西c k 使得 h ( t ，。) 咖( ，h o ( t ，。) ) ， ( t ，z ) s ( t z o ，6 1 ) ( 1 4 3 ) 对任给定的0 f p + = m i n ( p o ，a o ) ，t o r + ，假设ni ( o ) t o “( o ) 对某一k 成立令q = m i n ( e ，b ( f ) ，n ) ，因慨( s ) 在s = 0 处连续，故存住常数 3 = ? ( t o ，7 ) ：o 卢 q 使得当s o ，卢) 时有 s + 妣( s ) 0 满足 a ( t o ，乱) 卢且曲( o ，疋) 声( 1 4 j ) 1 义h o f o ，1 ( o ) t o 0 使得 ( t o ，x 0 ) s ( h o ，5 3 ) 意味着( t o ，z o ) g 2( 1 46 ) 选取6 = m i n ( 5 0 ，6 l ，d 2 ：西) ，令( t o ，卫o ) r + r 7 1 满足h o ( t o ，z o ) 6 ，并 假设3 ( t ) = z ( t ，t o ，x o ) 为系统( 1 ) 的任一解由式( 143 ) 和( 1 4j ) 可得，当 “】( hl l o ) d 时有 h ( t o ，x o ) s 西( f o ，h o ( t o ，x o ) ) s 曲( f o ，6 ) 卢 r 茎( h 【 ： h ( t ：z ( t ) ) f ，z 兰t o ( 14 7 ) 若否，则存在系统( 1 ) 的一个满足h o ( o ，z 。) f o 使得 h ( t + + ，丁( f 一f o ，。o ) ) 芝f ，h ( t ，z ( f ，t o ，2 7 0 ) ) ( ，t o t t + 冈系统( 1 ) 的任一解撞击每个脉冲面仅1 次，i ，j 殴 t j ) 器。为积分曲线( f ，x ( t ， t o 一跏) ) 依次撞击脉冲面( 鼠。) 7 - - l 的时刻，又( t o ，x o ) c o ，故此处k j = e + j 一1 ， 也即t 5 = 靠+ ，一】( z ( 岛) ) 因此t 【t i - l ，t ：) 对某一i 成立 若t + ( t i 一1 ，t i ) ，贝0 ( + ，x ( t + ) ) = e ，因l e 有 h ( t ，z ( ) ) f p ，t t o ，( 1 4 8 ) 若t + = t i l ，i 2 ，贝0 出h ( t ，z ( f ) ) e ，t t o ，t + ) 可得 ( t + ，。( t + ) ) se ，再 利用条件( i v ) 得曼h ( t 一，z ( t h ) ) p ，因此存在t o ( t ，t ，) 满足 ( t o ，z ( 矿) ) 2e 且 ( t ，茁( ) ) p ，t t o ，t o 】( 1 4 9 ) 1 4 山东师范人学硕士学位论文 d + m ( t ) 一p ( ) e ( ，n ( t ) ) ，t t j ， j m ( t j ) m ( t j ) + 掣q ( m ( ，) ) ，j = 1 ，2 易知m ( t ) 在每个区间( t ，。，t j 】上是非增的 m ( t 1 ) m ( t o ) a ( t o ，6 ) 再由式( 14 4 ) 和( 141 0 ) 可得 l ( t ) 7 7 茎6 ( e ) ，m ( t ) ”墨 下利用( 141 0 ) 和( 1 出1 2 ) 得 再山条件( i i i ) 知 1 ；生 厶( t ) c ( s ) 一 0 时c ( s 1 假设 = 1 ，2 ：一，i 一1 - z l 故有 卢 卵 d ( e ) ：t 1 0 ，故山( 141 5 ) m ( t j ) m ( t 1 1 ) 利用上面类似的分析可得 ，m ( ? ) d s l ( 工，) ：| ( s ) 凶此我们得到 故由归纳法得 一 曼0 m ( j ) 式得m ( t i ) sm ( t s m ( t t ) ” p ( s ) “s + ，”“。卜廿。m 。j j m ( t j ) p ( s ) d s + 生 n c ( s ) 二。 ) 卵 t t s c ( s ) 沏。南茎。 ( 1 4 加) ( 1 4 1 3 ) ( 14 1 4 ) 7 7 l ( t i + - 1 ) s 仃z ( t 1 2 ) m ( t 2 ) 叩6