（应用数学专业论文）三大力学体系的mei对称性导致的mei守恒量.pdf

o ：j _ i 摘要 本文围绕m e i 对称性这一主题，主要研究准坐标下一般完整系统n i e l s e n 方程的m e i 对称性导致的m e i 守恒量，变质量c h e t a e v 型非完整非保守系统的n i e l s e n 方程的m e i 对 称性和m e i 守恒量，变质量c h e t a e v 型非完整系统a p p e l l 方程m e i 对称性的结构方程和 m e i 守恒量， l a g r a n g e 体系，n i e l s e n 体系，a p p d l 体系是分析力学三大力学体系，在分析力学中占 有重要地位目前，n i e l s e n 方程的对称性和守恒量的研究取得了一些进展 此外，有关a p p e l l 体系m e i 对称性与m e i 守恒量的研究进展缓慢2 0 0 8 年，贾利群等 人推广了函数沿系统运动轨道曲线对时间t 全导数的新的表示式，并首次给出了用a p p e l l 函数直接表达的a p p e l l 方程m e i 对称性的结构方程和m e i 守恒量的表达式，但该方法尚 。 未得到有效推广因此，有关a p p e l l 体系m e i 对称性与m e i 守恒量问题还有待完善 通过本文的研究，完善了n i e l s e n 体系的对称性与守恒量问题；弥补了a p p e l l 方程研 究的不足，得到了前人尚未得到的重要成果具体章节安排如下： 第一章：概述对称性与守恒量的发展史及国内外研究现状，介绍课题意义，阐明本文 的研究目的和内容 第二章：简介本文所研究内容需要理解的基本概念和基本理论 第三章：研究l a g r a n g e 系统m e i 对称性的i i i 型结构方程和i i i 型m e i 守恒量在群 的无限小变换下，由l a g r a n g e 系统m e i 对称性的定义和判据，得到l a g r a n g e 系统m e i 对称 性的i 型结构方程和i 型m e i 守恒量 第四章：研究准坐标下一般完整系统n i e l s e n 方程的m e i 对称性导致的m e i 守恒量 给出一般完整系统n i e l s e n 方程的m e i 对称性的定义和判据，并讨论了一般完整系统 n i e l s e n 方程的m e i 对称性直接导致的m e i 守恒量的条件及m e i 守恒量的形式研究变 质量c h e t a e v 型非完整非保守系统的n i e l s e n 方程的m e i 对称性和m e i 守恒量包括变质 量c h e t a e v 型非完整非保守系统的n i e l s e n 方程的运动微分方程、m e i 对称性的定义和判 据、m e i 对称性直接导致的m e i 守恒量的条件及形式 第五章：研究完整系统a p p e l l 方程m e i 对称性的一种新型结构方程和新型守恒量 建立完整系统的a p p e l l 方程和系统的运动微分方程；在群的无限小变换下，给出完整系统 a p p e l l 方程m e i 对称性的定义和判据；得到用a p p e l l 函数表示的完整系统a p p e l l 方程 m e i 对称性的一种新型结构方程和新型守恒量的表达式，变质量c h e t a e v 型非完整系统 江南人学硕：l 学位论文 a p p d l 方程m e i 对称性的结构方程和m e i 守恒量建立变质量c h e t a e v 型非完整系统的 a p p d l 方程和系统的运动微分方程；给出函数沿系统运动轨道曲线对时间f 全导数的表 示式，并在群的无限小变换下，给出a p p d l 方程m e i 对称性的定义和判据；得到用a p p e l l 函数表示的m e i 对称性的结构方程和m e i 守恒量的表达式还有单面完整约束系统 a p p e l l 方程m e i 对称性的i l 型结构方程和i i 型m e i 守恒量得到用a p p e l l 函数表示的单 面完整约束系统a p p e u 方程m e i 对称性的i i 型结构方程和i i 型m e i 守恒量的表达式 第六章：总结本文的研究工作，展望未来研究的若干方向 关键词：准坐标，变质量，l a g r a n g e 系统，n i e l s e n 体系，a p p e l l 体系，m e i 对称性，m e i 守恒量 c t f o c u s i n go nt h ei n t e g r a lt h e o r yo fm e is y m m e t r y , m a i n l ys t u d ym e is y m m e t r ya n dm e i c o n s e r v e dq u a n t i t yo fan i e l s e ne q u a t i o n f o rah o l o n o m i es y s t e mi nt e r m so fq u a s i - c o o r d i n a t e s ， m e is y m m e t r ya n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo fn o n h o l o n o r n i cs y s t e m sw i t hc h e t a e vt y p ei n n i e l s e ns t y l e ，a n ds t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yf o rm e is y m m e t r yo f n o n h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hc h e t a e vt y p ei na p p e l ls t y l e 、加廿lv a r i a b l em a s s l a g r a n g i a ns y s t e m ，n i e l s e ns t y l ea n da p p e l ls t y l ea r et h et h r e ei m p o r t a n tm e c h a n i c a l s y s t e m sa n do c c u p i ei m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h ea n a l y t i c a lm e c h a n i c s a tp r e s e n t ，t h es t u d i e s a b o u ts y m m e t r y sa n dc o n s e r v e dq u a n t i t yo f n i e l s e ne q u a t i o n sh a v ea l s om a d es o m e p r o g r e s s b e s i d e s ，t h es t u d yo nb o t hs y m m e t r ya n dc o n s e r v e dq u a n t i t yi na p p e l ls t y l ei sv e r ys l o w h l2 0 0 8 ，j i ae x t e n d e dt h en e w e x p r e s s i o no ft h et o t a ld e r i v a t i v eo ff u n c t i o nw i t hr e s p e c t i v et o l a l o n gt h ec u i v eo fm o t i o no ft h es y s t e ma n df i r s ts o l v e dt h ep r o b l e mh o wt ol o o kf o rt h e s t r u c t u r ee q u a t i o na n dt h ee x p r e s s i o no fm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yw h i c hc a nb ed e n o t e da s a p p e l lf u n c t i o n b u tu pt on o wt h en e w m e t h o dh a v e n tg o te f f e c t i v ee x t e n d e d t h e r e f o r e t h e p r o b l e mo fm e is y m m e t r yo f a p p e l le q u a n t i o n ss t i l ln e e dt ob ef u r t h e ri m p r o v e d t h es t u d yo ft h i sp a p e ri m p r o v e dt h ep r o b l e mo ft h em e is y m m e t r ya n dm e ic o n s e r v e d q u a n t i t yi nn i e l s e ns y s t e m sa n dm a d eu ps h o r t a g e si na p p e l lf u n c t i o n w eg o tt h ei m p o r t a n t a c h i e v e m e n t st h a tt h ep r e d e c e s s o r sh a v en o ty e tr e c e i v e d t h ec h a p t e r sa r e a r r a n g e da s f o l l o w i n g ： +。 i nc h a p t e rl ，ag e n e r a ld i s c u s s i o no ft h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n t ，a sw e l la st h ec u r r e n t r e s e a r c ho ft h es y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e sa th o m ea n da b r o a d t h es i g n i f i c a n c e , p u r p o s ea n dc o n t e n to ft h er e s e a r c ho ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p ta n db a s i ct h e o r yo ft h er e s e a r c hi n t h i sa r t i c l e i nc h a p t e r3 ，m a i n l ys t u d yt y p ei i is t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo fm d s y m m e t r yf o ral a g r a n g i a ns y s t e ma r es t u d i e d u n d e rt h ei n f i n i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o no f g r o u p s ，t y p e1 1 is t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo fm e is y m m e t r yf o ra l a g r a n g i 锄s y s t e ma r eo b t a i n e df r o mt h ed e f i n i t i o na n d 慨c r i t e r i o no fm e is y m m e t r yf o ra l a g r a n g i a ns y s t e m i nc h a p t e r4 ，m a i n l ys t u d ym e ic o n s e r v e dq u a n t i t yc o n s t r u c t e df r o mm e is y m m e t r yo fa n i e l s e ne q u a t i o nf o rah o l o n o m i cs y s t e mi nt e r m so f q u a s i c o o r d i n a t e s t h ed e f i n i t i o na n dt h e c r i t e r i o no fm e is y m m e t r yo fan i e l s e ne q u a t i o nf o rah o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e mi nt e r m s o fq u a s i - c o o r d i n a t e sa r cg i v e n , a n dt h ec o n d i t i o na n dt h ef o r mo ft h em e ic o n s e r v e dq u a n t i t y d e d u c e dd i r e c t l yf r o mt h em e is y m m e t r yo ft h en i e l s e ne q u a t i o nf o rah o l o n o m i cm e c h a n i c a l s y s t e ma r ed i s c u s s e d m a i n l ys t u d ym e is y m m e t r ya n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo fn i e l s e n e q u a t i o nf o ran o n h o l o n o m i c ，n o n - c o n s e r v a t i v es y s t e mo fc h e t a e v st y p ew i t hv a r i a b l em a s s a r es t u d i e d n ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o no fn i e l s e ne q u a t i o nf o rt h es y s t e mt h e d e f i n i t i o na n dc r i t e r i o no fm e is y m m e t r y , a n dt h ec o n d i t i o na n dt h ef o r mo fm e ic o n s e r v e d q u a n t i t yd e d u c e dd i r e c t l yb ym e is y m m e t r yf o rt h es y s t e ma r eo b t a i n e d i i i 江南大学硕士学位论文 i nc h a p t e r5 ，m a i n l ys t u d ys t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo fm e i s y m m e t r yf o ra p p e l le q u a t i o n si nh o l o n o m i cs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d a p p e ue q u a t i o n sa n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o mo fm o t i o nf o rh o l o n o m i cm e c h a n i cs y s t e m 8a r ee s t a b l i s h e d t l 他 d e f i n i t i o na n dt h ec r i t e r i o no fm e is y m m e t r yf o ra p p e l le q u a t i o n su n d e rt h ei n f i n i t e s i m a l t r a n s f o r m a t i o n so fg r o u p sa r ea l s og i v e n t h ee x p r e s s i o n so ft h es t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e i c o n s e r v e dq u a n t i t yo fm e is y m m e t r yf o ra p p e l le q u a t i o n si nh o l o n o m i cs y s t e m se x p r e s s e db y a p p e l lf u n c t i o n sa l eo b t a i n e d ，a n ds t r u c t u r a le q u a t i o na n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yf o rm e i s y m m e t r yo fn o n h o l o n o m i cs y s t e m sw i t hc h e t a e vt y p ei na p p e l ls t y l e a r es t u d i e d t h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm o t i o no fa p p e l le q u a t i o nf o rt h es y s t e m ，t h ed e f i n i t i o na n dc r i t e r i o n o fm e is y m m e t r y , a n dt h ec o n d i t i o na n dt h ef o r mo fm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yd e d u c e dd i r e c t l y b ym e is y m m e t r yf o rt h es y s t e ma r eo b t a i n e d i nc h a p t e r6 ，w es u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so fo u rr e s e a r c ha n de n v i s i o nt h ef u t u r e r e s e a r c hd i r e e t i o n s k e y w o r d s ：q u a s i - c o o r d i n a t e s ，v a r i a b l em a s s ，l a g r a n g es y s t e m s ，n i e l s e ns y s t e m s ，a p p e l l s y s t e m s ，m e is y m m e t r y , m e ic o n s e r v e dq u a n t i t i v 目录 目录 i i i i i l l l l l 量研究。1 1 6 a p p e l l 体系的m e i 对称性和m e i 守恒量的研究l 第二章基本概念和基本定理。5 2 1 基本概念“5 2 2 基本原理7 对称性与守恒量的关系7 2 2 1m e i 对称性7 2 2 2l i e 对称性7 2 2 3n o e t h e l 对称性8 第三章l a g r a n g e 方程的m el 对称性和m ei 守恒量。8 3 1 l a g r a n g e 系统的m e i 对称性及其判据8 3 2 l a g r a n g e 系统m e i 对称性的i 型结构方程和i 型m e i 守恒量1 0 3 3 算例l o 3 4 结论、1l 第四章n i e l s e l l 方程的m e i 对称性导致的m e i 守恒量1 3 4 1 准坐标下一般完整系统n i e l s e n 方程的m e i 对称性导致的m e i 守恒量1 3 4 1 1 准坐标下的系统运动微分方程1 3 4 1 2 m e i 对称性的定义和判据1 4 4 1 3m e i 对称性导致m e i 守恒量1 5 4 1 4 算 例1 6 4 1 5 d 、1 2 ；16 4 2 变质量c h e t a e v 型非完整系统n i e l s e n 方程的m e i 对称性与m e i 守恒量1 7 4 2 1 系统的运动微分方程。1 7 4 2 2m e i 对称性的定义l8 4 2 3m e i 对称性的判据1 9 4 2 4m e i 对称性导致的m e i 守恒量2 0 4 2 5 算例2 0 4 2 6 小结2 2 目录 第五章a p p e u 方程的m e i 对称性和m e i 守恒量。2 3 5 1a p p e l l 方程m e i 对称性的新型结构方程和新型守恒量2 3 5 1 1 完整系统的a p p e l l 方程和运动微分方程2 3 5 1 2 完整系统a p p e l l 方程的m e i 对称性2 3 5 1 3 完整系统a p p e l l 方程的m e i 对称性判据2 4 5 1 4 完整系统a p p e l l 方程m e i 对称性的新型结构方程和新型守恒量2 4 5 1 5 算 例。2 5 5 2 变质量c h e t a e v 型非完整系统a p p e l l 方程的m e i 对称性的结构方程和m e i 守恒量。2 7 5 2 1 系统的运动微分方程2 7 5 2 2m e i 对称性定义及其判据2 8 5 2 3m e i 对称性的结构方程和m e i 守恒量3 0 5 。2 4 算例3 0 5 2 5 小结- 3 2 第六章总结与展望3 3 6 1 总结3 3 6 2 展望3 3 致谢。3 5 参考文献3 7 附录： 作者在攻读硕士学位期间发表的论文。4 l ： 飞 以 仅 是经典力学的一种精美表述形式和有效研究手段，而且也为物理学、数学、工程科学以及 其它动力学系统提供了基本原理和研究方法这种普适性使得分析力学始终与力学其它 学科分支、物理学、工程科学等学科保持着密切的联系，一方面，它不断地发挥着对这些 学科的支撑作用，另一方面，这些应用研究领域不断地向分析力学提出新课题，使得分析力 学的理论体系不断完善，研究方法不断创新，这导致分析力学始终面向学科前沿分析力学 作为数理科学的基础学科之一，无论在理论研究还是在工程应用上，都具有广阔的发展前 景，因而具有重要的学术地位 1 2 国内外的研究发展 自1 7 8 8 年拉格朗日力学问世以来，分析力学的理论体系不断完善，在哈密顿力学的基 础上伯克霍夫力学正在逐步发展，同时，关于非完整系统和广义哈密顿系统的动力学及其 应用也在不断深化群论、现代微分几何学、保结构算法等现代数学方法的引入，使得分 析力学的研究方法逐步实现了从局部分析到全局分析、从解析到数值分析的转变和深化 实际的非完整系统、非光滑系统、非线性系统、复杂的多体系统的动力学与控制问题不 断地向分析力学提出一系列需要研究的新课题；同时，这些应用研究也不断完善分析力学 的理论体系，创新分析力学的研究方法 1 8 6 6 年，j a c o b i 最先意识到了系统的守恒量与对称性存在联系在1 8 9 7 年的时 候，s c h f i t z 也发现了这一点1 9 0 5 年，狭义相对论理论由e i n s t e i n 提出，e i n s t e i n 再次揭示了 物理规律中存在着对称性1 9 1 6 年e n g e l 发现动量守恒与系统平移变换的对称性、角动 量守恒与空间转动变换的对称性、质心速度不变与g m i l e o 变换的对称性，都有对应关系 值得注意的是，德国女科学家n o e t h e r 在1 9 1 8 年揭示了对称性与守恒量之间的潜在关 系2 0 世纪中期，y a n g m i l l s 规范场理论也正体现了n o e t h e r 理论的重要价值直到2 0 世纪 7 0 年代末，n o e t h e r 理论的科学意义才开始被分析力学界研究 在分析力学的对称性和守恒量方面已取得了丰硕的成果，但是还存在着不少问题有 待于人们去解决近年来，由于科学技术的高速发展，建立了许多新科学，如宇宙力学，自动 控制，运动和过程的控制理论，一般链式系统( 人体模型，操纵器，链系等) 理论等，这些新科 学都与分析力学密切相关，相互渗透可以相信，随着生产的发展，分析力学将会有广阔的 江南大学硕十学位论文 前景 我国学者在三大力学系统的对称性与守恒量理论研究方面都做了大量工作2 0 0 0 年， 梅风翔提出了力学系统中的动力学函数经历无限小变换后仍满足原方程的一种新的对 称性，【l 】人们称为m e i 对称性2 0 0 0 年至1 j 2 0 0 7 年间m e i 对称性的研究成果集中反映在梅凤翔 和国内众多学者的研究专著中【2 捌梅风翔为寻求a p p e l l 方程的求解途径，首先由形式不变 性通过n o e t h e r 对称性间接得到了n o e t h e r 守恒量罗绍凯研究了由形式不变性分别通过 n o e t h e r 对称性和“e 对称性间接得到的转动相对论完整系统a p p e l l 方程和守恒量，还对由 形式不变性通过l i e 对称性间接得到的一般完整系统的守恒量进行了研究，也研究了 h a m i l t o n 系统的m e i 对称性、n o e t h e r x 寸称性和“e 对称性等贾利群在l a g r a n g e 体系，a p p e l l 体系和n i e l s e n 体系的m e i 对称性与m e i 守恒量做了大量工作，比如研究了用a p p e l l i 函数表 示的a p p e l l 方程的对称性与守恒量，研究 n i e l s e n 方程的m e i 对称性与m e i 守恒量，研究了 带有附加项的广义h a m i l t o n 系统的m e i 对称性等梅风翔，王树勇等将l i e 对成型和形式不 变性的等价关系和h o j m a n 方法结合，研究了两类力学系统的形式不变性通过l i e 对称性 导致的非n o e t l l e r 守恒量方建会在l a g r a n g e 系统的m e i 对称性直接导致的一种守恒量也 有一定得研究 2 0 0 4 年，梅风翔首先将三种对称性( m e i 对称性, n o e t h e r 对称性，l i e 对称性) 结合在一起， 提出了一种能一次性直接导致以上三种守恒量的新的对称性，称为统一对称性这种提 法引起了中国广大分析力学工作者的广泛兴趣三种对称性作为研究统一对称性的基础， 需要力学工作者不断完善其内容，充实其体系 1 3 课题研究的意义 力学系统的守恒量( 或第一积分) 不仅具有重要的数学意义，而且具有含义深刻的物 理背景近代研究守恒量的方法是研究作用量或微分方程在无限小变换下的不变性近代 理学家，物理学家，数学家在利用相对广义坐标和时间的无限小变换下的不变性进一步解 决了完整非保守系统的对称性与不变量的问题约束力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对 称性、非n o e t h e r 对称性和m e i 对称性以及相应的守恒量理论；揭示约束力学系统的内 在性质和内在规律本文给出的对称性理论和对称性数值方法可为解决数学、物理、生命 科学、工程等科学技术问题提供新的技术支撑 对称性与守恒量普遍存在于自然界中，对称现象是物质世界某种本质和内在规律的 体现物理学以研究物质世界规律为对象，研究物理学中的对称性与守恒量，对于探索物质 世界有着十分重要的意义 1 4 立题依据 根据分析力学的基本概念，由分析力学的变分原理出发导出力学系统的运动微分方 程，是分析力学的方法，也是分析力学的重要内容对称性原理体现在力学、物理学的各个 领域中，它是当代力学、物理学的基本法则当代力学家和物理学家，尤其是粒子物理学家， 都在自觉地运用对称性法则和与其对应的守恒律 对称性( 也称不变性) 是数学、力学和物理学等自然科学中的基本性质如果知道了 2 第一犟绪论 动力学系统( 或物理系统) 的某种对称性，我们可以去得到系统存在的守恒量( 第一 积分或运动常数) 系统的能量守恒与系统的时间不变性相关，动量守恒与空间位置不变 性相关，角动量守恒与空间转动不变性相关在现代科学技术领域，都十分重视系统的对称 性和守恒量的研究我们研究的对称性理论，是采用l i e 群分析和数值分析等现代数学方 法，得到离散约束力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性、非n o e t h e r 对称性和m e i 对 称性及其相应的n o e t h e r 守恒量，非n o e t h e r 守恒量( h o j m a n 守恒量和l u t z k y 守恒量) 以及m e i 守恒量等 关于在变换l i e 群下的几种对称性研究，经历了l i e 提出无限小变换( 变换l i e 群) ，n o e t h e r 提出n o a h e r 定理，梅凤翔教授提出形式不变性( m c i 对称性) 理论三个重 要发展阶段1 9 世纪末l i e 基于微分方程在变换l i e 群下的不变性，提出了微分方程的l i e 对称性和守恒量理论，给出了利用变换l i e 群的特征值方程求不变量积分微分方程的方 法；n o e t h c r 基于h a m i l t o n 作用量在变换l i e 群下的不变性，提出了著名的n o e t h e r 定理 闱，揭示了物质的对称性要对应一个守恒量这一规律；梅凤翔基于约束力学系统的 l a g r a n g e 函数、非保守力和非完整约束力满足的微分方程在变换l i e 群下的不变性提出 了著名的约束力学系统的形式不变性理论自从l i e 发现l i e 群以来，基于工程实际的需要 l i e 群理论得到了快速发展b l u m a na n dk u m e i 系统地研究了微分方程的对称性；b l u m a n 盼 a n d a n c o 系统地研究了微分方程的对称性和第一积分方法【习；m a r s d e na n dr a t i u 系统地 研究了力学系统的对称性 6 1 , 1 b r a g i m o v 系统地研究了微分方程的精确解和守恒量，研究了 l i e 群在工程和物理学中的应用；研究了l i e 群理论在数学物理中的应用哆现在l i e 群理 论已被广泛应用到许多科学、工程技术领域，成为重要的现代数学工具2 1 n o e t h e r 对称性是h a m i l t o n 作用量变换l i e 群下的不变性, n o e t h e r 对称性总能导出 守恒量，且对称性和守恒量存在一一对应关系d j u k i 6 ，v u j a n o v i 6 ，b a h a r , k w a t n y , s a r l e t 和 c a n t r i j n 1 3 , 1 4 1 等在力学系统的n o e t h e r 对称性理论发展中作出了重要贡献1 9 8 6 年以来。 赵跃宇、梅风翔、刘端研究了约束力学系统的n o e t h e r 理论1 1 5 , t 6 梅风翔建立了b i r k h o f f 系统的n o e t h e r 理论【1 7 】李子平研究了经典和量子约束系统以及约束h a m i l t o n 系统的 n o e t h e r 对称性理论【1 5 1 l i e 对称性是微分方程在变换l i e 群下的不变性。我国关于约束力学系统l i e 对称性 及其守恒量的研究始于1 9 9 3 年赵跃字、梅凤翔的工作【1 9 】，特别是梅凤翔的专著李群和 李代数对约束力学系统的应用1 2 0 l 的出版后，关于约束力学系统l i e 对称性、n o e t h e r 对 称性及其守恒量的研究成为一个新的研究领域目- 自；f n o e t h e r 对称性理论的研究已比较完 善，应用研究在不断深入，l i e 对称性理论的研究正在发展完善中2 0 0 0 年梅风翔教授提出 了一种新的对称性形式不变性，给出了一种新型守恒量【2 l 】( 后来被称为m d 守恒量) 形式不变性理论在对称性与守恒量理论研究中占有重要地位，它是我国学者在对称性理 论研究中做出的最重要贡献m e i 对称性和守恒量理论研究还有很大发展空间 1 9 9 3 年之后，以梅风翔为代表的我国分析力学工作者郭永新、陈立群、张毅、方建 会、陈向炜、罗绍凯、张宏彬、葛伟宽、傅景礼等在约束力学系统的对称性与守恒量以 及对称性摄动与绝热不变量理论研究方面做出了许多有影响的工作f 2 2 粕】，使我国在约 3 束力学系统对称性与守恒量理 散力学系统的对称性与守恒量及数 对称性与守恒量的不断发展和 对人类科学史发展做出的重大贡献 1 5n i e l s e n 体系的m e i 对称性和守恒量研究 n i e l s e n 方程是德国学者尼尔森在1 9 3 5 年得到的一种力学系统的运动方程，它是三大 力学系统之一( l a g r a n g en i e l s e n ，a p p e l l ) ，成为学者们研究的热点用准坐标表示力学系 统的运动微分方程有两个重要的优点【3 7 】：第一，在准坐标中，非完整约束条件写起来非常 简单；第二，力学系统的运动方程具有完全单一的结构，不依赖于完整与否近几年，准坐标 下约束力学系统对称性和守恒量的研究也取得了一些成果文献 2 6 】研究了准坐标下一 般完整系统的对称性和守恒量但是，准坐标下n i e l s e n 方程的对称性和守恒量的研究甚 少 约束力学系统的对称性和守恒量的研究发展很快【3 8 讲】在分析力学中占有重要地位 近年，n i e l s e n 方程的对称性和守恒量的研究也取得了一些进展文献 4 5 】研究了n i e l s e n 方 程的m e i 对称性，文献 4 6 】将其推广到非保守系统，文献 4 7 ，4 8 将其推广到变质量非完整 系统，文献 4 9 ，5 0 分别研究了单面c h e t a e v 型非完整系统和非c h e t a e v 型非完整系统 n i e l s e n 方程的m e i 对称性和m e i 守恒量 1 6a p p e l l 体系的m e i 对称性和m e i 守恒量的研究 1 8 9 9 年，法国著名数学家a p p e l l 得到了a p p e l l 方程1 9 1 8 年，德国科学家n o e t h e r 揭 示了对称性与守恒量之间的潜在关系但n o e t h e r 理论的价值直到2 0 世纪7 0 年代才被人 们真正认识从此，力学系统的对称性与守恒量的研究成为分析力学的一个重要研究领域。 对称性和守恒量的研究逐渐取得了丰硕成果1 5 1 - 5 7 】 a p p e l l 方程也是分析力学理论中三大力学体系之一鲫，并且在分析力学理论中具有 重要的地位a p p e l l 体系的对称性与守恒量的研究也有一些进展【”, 4 3 1 由于空间技术和其 他工业技术的进步，火箭、航天飞机、汽车等一般都是变质量系统，因此变质量系统动力 学理论在空间技术和其他工业技术领域自然应用更为广泛，变质量系统动力学理论的研 究日益受到重视近年来，对变质量力学系统对称性与守恒量的研究已取得了重要进展 1 5 8 - 6j 1 4 第二章基奉概念和基本定理 第二章基本概念和基本定理 2 1 基本概念 1 完整系统和非完整系统 定义2 1 约束方程中仅包含广义坐标和时间，这样的约束称为完整约束而受完整约束的 力学系统是完整系统 定义2 2 约束方程用坐标的不可积分的微分方程来表示的约束，即方程中不仅包含坐标 而且包含坐标对时间的导数受非完整约束的力学系统是非完整系统 2 非c h e t a e v 型约束和c h e t a e v 型约束 它们都是非完整约束，它们的主要区别在于约束对虚位移的限制条件不同 定义2 3 非c h e t a e v 型的非完整约束方程和约束对虚位移的限制条件分别为 a ( t ，q ，圣) = 0( = l ，2 ，曲， ( 1 1 ) 厶国，= 0 ( 夕。1 ，曲 ( 1 2 ) 一般情况下，厶与街，没有关系，如果两者相等，则非c h e t a e v 型约束成为c h e t a e v 型约 束 ， ： 3 无限小群变换、无限小生成元向量 令 t = t + a t ，z ( f ) = 吼( f ) + 吼， ( 1 3 ) 展开形式为 t = t + 6 当o ( t ，q ，雪) ，嚣( 广) = 吼( f ) + 蜀( f ，q ，雪) ， ( 1 4 ) 它们是变换群g ，的无限小群变换，占为无限小参数，彘和丢为无限小变换的生成元、 引入无限小生成元向量 ) = 磊昙+ 乞毒， ( 1 5 ) 和它的沿系统运动轨道曲线的一次扩展形式和二次扩展形式 一k ) + ( 誓一吼訾) 毒， 一) = 一) + 曙c 警一q , - 瑟五- ，一或警 去 其中