（应用数学专业论文）模糊线性规划对偶理论研究及算法.pdf

摘要 本文主要证明7 如f = 个结论： 设，毛和e 为模糊数，v f m ，j ，卢( o ，1 ) ，盘+ 卢；1 膏是f l p 问题( p ) ( 2 3 0 ) 关于户的可行解集，矿为f l p 问题( d ) ( 2 3 1 ) 关于垂的可行解集。芦与舀是一对对偶模糊关系，记作( 户，垂) 定理2 2 1 ( 第一弱对偶定理) 向量x 一 x 。) o ，x 膏】。y - ( y 。y ，) zo ，y 眵l 1 若户， ；“) ，( ! “， “) 汹有：善水扛一s 磊e 8 2 若户，舀 ( ；”，；”) ，( “，5 “) ) ，4 “有：荟弓( 芦n ，5 荟丘( 卢) y t 定理22 5 ( 第二弱对偶定理) 若对某个x 暖】。，x 一 z 。) o ，y 【矿k ，y 一( y ，y 。) o 若p ，豆 b “， “) ，( y ，；* ) ) 时满足：荟5 ，8 似一。磊酽似) 咒或 若芦，6 ( “，! “) ，( ；w ，) ) 时满足：荟分( 卢) z ，。荟酽( 卢) y ； 则x 为f l p 问题( p ) 的 ，a ) - 最大解，y 为f l p 问题( d ) 的( 卢，卢) - 最小解 定理2 2 8 - ( 强对偶定理) 若对某个a ，p ( o ，1 ) ，x 暖 。和y 【矿l 非空，a + 卢一1 则： ( 1 ) ( p ，委) ( ，；。) ，乜“， “) 时，存在x 为f l p 问题( p ) 的 ，a ) 最大解，y + 为l p 问题( d ) 的，卢) 最小解，且满足：善i 。 ) _ 2 荟巨” ) y - + ( 2 ) ( p ，画) ( ；。，；”) ，“，! “) 时，存在x + 为f l p 问题( p ) 的 ，口) 虽大解，y 为9 l 9 问题( d ) 的( p 州。最小解，且满足：善弓。( 卢坞。2 荟酽( 卢) y z 关健词：模糊线性规划、模糊集、模糊关系、对偶模糊关系、 弱对偶定理、强对偶定理 a b s t r a c t t h isp a p e rm a in i yp r o v e st h ef o i | o w i n gt h r e ec o n c iu s i o n s ： l e t 6 盈，a n d 巨b ef i l z z y n u m b e r sf o ra l lf 肘a n d ，口，芦( o ，1 ) ， a + 口= 1 l e tjb ea f e a s i b l er e g i o n o f f l p p r o b l e m ( p ) w i t h f u 互z yr e l a t i o n 尸，】， b ea f e a s i b l er c 西o no ff l p p r o b l c m ( d ) w i t h f u z z yr e l a t i o n q p i sd u a l t o q t h e o r e m2 2 1 ( f ir s tw e a k d u a i i t yt h e o r e m ) i f a v e c t o rz = 0 。x 。) o ，x 【膏】。a n dy - ( y l y ，) o ，y 眵k ( 1 ) i f ( 卢，西) ( 一，三“) ，乜“， “) ，t h e n ：荟乞2 以一磊巨“ ) ) ，j ( 2 ) i f ( 卢，直) ( 三”，三”) ，( ”，! “) ) ，t h e n ：善t ( 卢p ，磊巨( 卢) y j 。 t h e o r e m 2 2 5 ( s e c o n dw e a kd u a | t yt h e o r e m ) i f f o rs o m e z 【戈】。，并- x 。) o ，y 旷l ，) ，一( y 1 y ，) 2o i f ( 户，西) ( “， “) ，( 三”，三w ) ) ，i th 。l d s ：荟j ，。( a 扯，2 磊丘。( 口) y ，。r i f ( 户，囝) ( 0 ( 注：r 上的经典子集特征函数并不是严格拟凹的，但在r 上是半严格拟凹的。、 定理1 3 1 【1 】x 上模糊子集j 称为凸的，当且仅当：其隶属函数心( x ) 在 x 上是拟凹的 命题1 3 2 【7 】 凸f 集具有如下性质：设j ，百f ( r ) ( 1 ) j 为凸f 集的充要条件是j 的截集彳，均为区间 ( 2 ) j n 西也是凸f 集 定义1 3 5 7 1 设五f ( 尺) ，若v a 【o ，1 】，以均为闭集，则称j 闭f 集 若v 【0 ，1 】，4 均为有界集，则称j 为有界f 集 定理1 3 3 同 j 为有界闭凸f 集的充要条件是：v 【o ，1 】，4 均为 闭区间数即：v a 【0 ，1 】，【a 】。= 陋q ) ，n 8 q ) 】 1 ，3 3 模糊数的定义及性质 模糊数是实数集上的特殊模糊集，同时也是实数和区间数的推 广，因此它自然成为模糊分析学的基础之一，本节主要列出模糊数的 各种不同定义、性质及运算 定义1 3 6 【1 朋1 4 】实数集r 上的一个模糊集矗称为模糊数，如果满足 以下条件： ( 1 ) 矗的隶属函数心 ) 上半连续的 ( 2 ) 厅是正规的，即r 使得心( ) = l ( 3 ) 舀是凸f 集 ( 4 ) 瓯是一紧集，即c ，( s u p p 厅) = c f 仁虎：心0 ) 0 1 是一紧集 记模糊数全体为矗( r ) ，显然厅厶俾) 定义1 3 7 【1 5 1 6 l r 上的模糊子集厅，称为模糊数，若满足下列条件： ( 1 ) a 是正规的，即月，使得心) = l ( 2 ) 隶属函数心是上半连续的，即： 夔塑垡丝塑型堕堡堡堡堑塞壁蔓鲨 v r ，p i ( r 0 ) 苫l i m s u p ，卢d p ) ( 3 ) 隶属函数儿是拟凹的，即： v ，r 2 r ，七【o 1 】， ，有心( 缸+ ( 1 一) r 2 ) 苫心“) “心( r 2 ) ( 4 ) 熙心( r ) 2 坚心( r ) = o 显然定义1 3 6 与定义1 - 3 7 等价 定义1 3 8 【6 】r 上模糊子集矗称为模糊数，若 ( 1 ) 瞳l 非空 ( 2 ) v 口( o ，1 】，【矗l 为闭集 ( 3 ) v 口( o ，1 】，瞳】。为凸集 ( 4 ) v a ( 0 ，1 l ，瞳】。有界 ( 由于丘的截集【在l = 扛r ：心o ) a ) ， o ，1 】是有界闭区间，因 此可记陋】。= 【铲( a ) ，铲 ) 】，从而i 一 铲缸) ，铲 ) ：口【o ，1 】 由定理1 _ 3 3 定义1 3 8 等价于如下命题 命题1 3 4 【1 】厅为r 上模糊数，当且仅当： ( 1 ) d 是正规的 ( 2 ) v 口【0 ，1 】，【丘l 为有界闭区间陋】。= 【铲 ) ，扩 ) 】 定义1 3 9 【1 7 】 设矗为r 上模糊子集，丘的隶属函数心上半连续当且仅 当：勤，6 ，c ，d r ，一 口s 6scs d + o 。翱茸足 ( 1 ) 心p ) = o ，r d ( 2 ) 儿( f ) 严格递增，n f tb ( 3 ) 陆p ) = 1 ， 6s fsc ( 4 ) 心o ) 严格递减，c f d 定义1 3 1 0 1 1 2 lr 上模糊子集厅称为模糊数，若满足以下条件 ( 1 ) 存是正规的，即丘使得心 ) = 1 ( 2 ) 瞳】0 为紧集，即r 上有界闭集 9 模糊线性规划对偶理论研究及算法 ( 3 ) 心半严格拟凹 命题1 3 5 【1 1 】 设厅为r 上正规、紧模糊子集，其隶属函数为心，则心 在r 上半严格拟凹当且仅当： 勤 b ，c ，d r ，一。s b s c s d s + 一满足以下条件： ( 1 ) 心( f ) = o ( 2 ) 心( f ) 严格递增， n t 0 使得 心( r ) = 1 否则 r 0 ，- 0 且w 0 有心( r ) 1 r o 且j r 0 使得 心p ) = 1 否则 则称占+ 为非负模糊数，五一为非正模糊数 称d 为常数m ，若其隶属函数满足： 心( r ) 3 器；茹，记作：丘5 k 。，显然 m ，户 “m ，r 。m 1 3 4 模糊数的运算及法则 对于模糊数厅；厅可表为：厅= 。似) ，铲 ) ，口) ：a 【o ，1 】) 这样就建立 了模糊数与区间数的联系因此可利用区间数的运算来研究模糊数的运算 设石和6 是两个模糊数，0 表示两模糊数间任一二元运算0 、0 和o 、 e ，则厅0 6 仍为一个模糊数，其隶属函数为： 口秭( z ) = s u pm i n 。： 心( x ) ，心( y ) 其中运算o = 由、0 和园、0 相对应于运算o = + 、一、 于是有如下结论： 引理1 3 6 “1 ( 1 ) 若丘和i 为模糊数，则五0 6 也是模糊数且 ( 昂0 面。= d 2 ( 口) + 萨( ) ，疗。( a ) + 占8 ( a ) ( 2 ) 若丘、占为模糊数，则矗 占也是模糊数且 ( 丘 6 ) 。= m i n 忙 插( 。( ) ，蠢。q ) 护( ) ，扩( a 够( a ) ，铲 ) 6 8 ) ， 模糊线性规划对偶理论砸塞垦! 鲨 m a x 石 ) 6 ( a ) ，铲0 污8 ( 口) ，扩 万。( o ) ，厅8 万。 ) ) 若设二= ( 五( 口) ，二8 ( a ) ，a ) ：a 【o ，1 】 死( r ) 占； 岳0 ) ，驴 ) ，a ) ：吐【o ，1 】) 磊僻) 则有如下运算性质： 丘0 6 = ( 丘2 ( 口) + 占( a ) 丘丑( 口) + 后8 ( 口) ，a ) ：口【0 ，1 】) 矗暑 ( 黼( 口) ，盂矗8 ( 口) ，口) ：a 【o ，1 】- ，七o 丘在= 1 ：砸8 ( o ) ，盘占( a ) ，a ) ：o 【o ，1 】) ，盘c o 矗v6 ； ( 二( a ) v 6 ( 窿) ，i 8 ( a ) v 6 8 ( a ) ，8 ) ：a 【o ，1 】 i 6 ； ) 酽 ) ，i 。 ) 扩q ) a ) ：a 【0 ，1 1 1 3 5 模糊数的序 定义1 3 1 3 【1 3 1设j 、豆为模糊集，其隶属函数为 心：r 一【0 ，1 】 如：r _ 【0 ，1 】 定义：、 ( 1 ) p 0 s 冬豆户s 叩伽咖( 心0 ) ，如( y ) ) j 石点y 小_ ) ，埘 ( 2 ) p ( j 豆) = 5 印 i n f m 加( 心 ) ，1 一f 西( y ) ) i z sy ，y 尺扣月 ( 3 ) 协口三甸= i n “m a ) 【( 1 一心 ) ，如( y ) ) i zs ) ，y 劂z 埘 ( 4 ) 西_ 秀) = i n “m a x ( 1 一心0 ) ，1 一肛自( _ y ) ) i x 弘工、y 尺 ( 1 ) 和( 2 ) 称为可能性测度，( 3 ) 、( 4 ) 称为必要性测度，利用可能 性测度与必要性测度可类似定义两模糊数丘和6 之间的关系 定义1 3 1 4 f 1 3 1 4 】 设d 和6 为模糊数，d u b o i s 和p r a d e 定义了如下4 个测度： ( 1 ) 只( 存5 6 ) = 皿妒 m 加( i 0 ) ，声o ( y ) ) i zgy ，工、y r ( 2 ) j p b s ( d _ 6 ) = 乳妒 i n 脚觑( 心 ) ，1 一( y ) ) i 工sy ，y 月批r ( 3 ) a 5 ( 丘1 6 ) = i i l f s u p m a x ( 1 一卢d o ) ，心( y ) ) i 工) ，_ y 尺批r 1 2 ( 4 ) e s ( 丘 y ，x 、y r ) = l s u p m a x 心 ) ，心( y ) ) 设在、6 的隶属函数上半连续，则有如下结论 命题1 3 7 盼1 4 】设占和6 为模糊数，则有： ( 1 ) p ( 矗兰6 ) a 讳丘( ) s 6 8 ( o ) ( 2 ) p d s ( 矗 占) 2 a 一石8 ( 1 一a ) 墨6 8 ( 口) ( 3 ) p j ( 厅! i ) 己a 营厅( a ) s 占( 1 一a ) ( 4 ) ( 在 占) a 一厅8 ( 1 一a ) 占( 1 一a ) 1 4模糊关系 定义1 4 1 m 1 2 1 f 旧) f ( x ) 的模糊子集卢称为x 上的模糊关系即 p f ( ，( 工) f ( x ) ) 定义1 4 2 m1 2 设p 为x 上赋值关系，置上模糊关系西称为关系p 的模糊扩展，若对每个x ，y 卫满足( x ，y ) = o ，y ) 定义1 4 3 【1 l1 2 1 设x 为非空集合，p 为x 上的赋值关系，设他，为赋 值关系。p 的隶属函数定义为：巩盖，_ ) y ，。，( z ，y ) = 1 一脚( z ，y ) 定义1 4 4 设豆为p 的模糊扩展，x 上的模糊关系扩，定义为： ，唐j f ) ，。( 互亩) = 1 一p ，j ) ，则称豆。为关系p 的对偶模糊扩展 定义1 4 5 设中，掣：f ( x x ) 一f ( ，僻) f ( z ) ) 是与任意赋值关系 对应的映射，为f 僻x ) 的非空子集，若对所有赋值关系p 有： 中( 。尸) = 。( p ) ，则称磊上m 与掣对偶由于在矗上，巾与对偶，则模糊 关系由( p ) 的对偶模糊关系为w ( p ) 由定义1 4 1 ，可知定义1 3 1 3 ( 1 ) 、( 4 ) 的测度可理解为r 上特殊的 模糊关系，于是定义1 3 1 3 ( 1 ) 、( 4 ) 可分别记作： 1 1 塑塑垡壁塑型墅堡塑造壁茎墨篁鎏 p 口! 西) ：p 。口，百) ；( j 三“5 西) ( j - “西也指西兰吆或豆 ”五，由定义1 4 2 可知，所有 可能性测度与必要性测度均为经典二元关系的模糊扩展 考虑声：! “，豆= - ”，由定义1 4 4 可知，“与_ ”是一对对偶模 糊关系对声：! “，西- “有如下一系列命题： 命题1 4 1 设互蜃f ( r ) ，a 【o ，1 】 ( 1 ) 若i n f 【j 】。ss u p 【豆】。，则，。口，亩) 苫口 ( 2 ) 若s u p 0 ) 。一。i n f ( 百) 。，则。口，两芑。 命题1 4 2 设石僻) 为模糊数，o o ，1 】， 贝4 ( 1 ) i n f 【在1 。= i n f ( 厅) 。，( 2 ) s u p 【厅】。2s u p 婶) 。 证：设a 【o ，1 】，仅证( 1 ) 式，( 2 ) 可类似证明， 由于陋k ( i ) 。，可得i n f 瞳le i 五) 。 假设i f 陋】a i n f ( 矗) 。，因为i a 】。为紧区间，所以有n i n f ( 厅) 。， 且胁( 口) = a ) - o ，设b i n f ( 画) 。令c 满足n cc 扫，由于心半严格拟凹， 由命题1 3 5 ，心在k 6 】上严格递增，因此心0 ) 心p ) 心( 6 ) 因而c ( 二) 。且cc i n f ( i ) 。矛盾，所以i n f 【二】。= i n f ( i ) 。口 推论1 4 3 设蠢，6 矗( 尺) 为模糊数 ( 1 ) 若i n f f 石】。ss u p 晒】。，贝0 肛，。 ，6 ) 口 ( 2 ) 若s u p 【五】。一。5 i i l f 晤】。一。，贝0 ，6 ) a 推论1 4 4 设i ，占f 0 ( 月) 为模糊数，d o ，1 ， ( 1 ) 若s u p 厅】。 i n f 陋】。，贝户p 。恬，应) 日 ( 2 ) 若i n f 【i 】。 s u p 【i 】。一。，贝0 肛。巧，厅) c 口 1 4 定义1 4 6 1设t ：，x j r 一，满足： ( 1 ) 交换律：t 0 ，6 ) ；z p ，口) ( 2 ) 结合律：r ( r ( n ，厶) c ) = 丁( n ，r p ，c ) ) ( 3 ) 单调性：n 。s 口2 ，岛s 也 丁0 1 ，岛) s 丁( 口2 ，如) ( 4 ) 边界条件：t ( 0 ，痒) = o ，t ( 1 ，) = n 则称t 为一t - 范数例如：乙0 ，6 ) = m i n ( 口，6 ) ，昂( ，6 ) = n 占， 。五 ，6 ) 一i m x o 口+ 6 一对显然，它们都是t 一范数，分别记为范数，耳范 数，五一范数 定义1 4 7 【1 川1 若s ：，x ，一，满足交换律、结合律、单调性和边界 条件：5 ( o ，口) 一口，5 q 口) = i ，v a f o ，1 j 则称s 为t - 余范数 若t ( 1 一口，1 6 ) 一1 一s ( 口，6 )s ( 1 一口，1 6 ) - 1 一r ( ，6 ) 则称t 与s 是对偶的，例如s m s p 、s l 分别定义为：v 口，b 【o ，1 】， ，6 ) = m a x 口，6 ) ，品( n ，6 ) = 口+ 6 一曲，( 口，6 ) = m i n l 口+ 6 ) 则sm s p 、s l 分别称为t m 、t p 、t l 的f 余范 定义1 _ 4 8 1 1 11 3 】设t 为f 一范数，s 为f 一余范数，p 为x 上的赋值关系， x 上的模糊关系，与枣定义为：对所有模糊集j ，百有： ( 1 ) 一，( j ，雪) = s u p t ( ，( 心( z ) ，芦( y ) ) ，o ，y ) ) i 上、y x ) ( 2 ) 卢最( j ，雪) = i i l f s ( s ( 1 一心 ) ，1 一心( y ) ) ，肛，o ，y ) ) i x 、y z ) 其中j 、百的隶属函数分别为：心：x 一【0 ，1 】，：y 一 o ，1 】 则争7 与匙分别称为p 的t - 模糊扩展和s 模糊扩展 容易证明，关系p 的t _ 模糊扩展和s 模糊扩展是定义1 4 2 中关系p 的模糊 扩展 设p 为s ，即r 上经典二元关系“小于或等于”t = m i n ，s ：m a x 将p 1 与曩分别表示为与兰。，则由定义1 4 8 ( 1 ) 与( 2 ) 可得 ( 3 ) p 一( a ，b ) = s u p m i n ( 心( _ c ) ，f 如( ) ，) ，掣，( x ，y ) l x ，y r ) 1s 模糊线性规划对偶理论研究及算法 ( 4 ) 肛三。( j ，云) ；i n “m a x ( 1 一心o ) ，1 一肛自( y ) ，弘， ，y ) i 上，y 尺) p ( j ，昼) 和以。( j ，豆) 也可分别记为j 百与五三w 杏，注意：与三“ 是对对偶模糊关系对与三。有如下定理： 定理1 4 5 1 1 2 】 设j ，吾f ( r )a 【0 ，1 则 ( 1 ) 肛：。( j ，西) 2 口j n f 陋】。s u p 否】。 ( 2 ) 卢；。，占) 2 口s u p 陋】1 一。i n f 【b 】 定理1 4 6 设j ，西f ) 为正规、紧、模糊集，口【o ，1 ，则： ( 1 ) ，o ( 口，彳) n 营s u p 【彳】。 i n f 【口】。 ( 2 ) 卢i 。( 口，爿) 口# i n f 卜4 】1 - 。 s u p 【b 】1 一。 1 5 ：几种特殊的模糊数 定义1 5 1 【1 4 l ：设五是r 上的模糊数，若其隶属函数 ( r ) = ! 二童；，厅上5rs 口 d 一丘厶 凳，口 o ) 上半连续，则称厶r 是模糊数昂的基准函数 定义1 5 5 1 7 川1 q ：设l 0 ) ，r c d 分别为模糊石的左右基准函数，如 果历的隶属函数为：心 ) ； l ( 兰i ) x s 群 1 丘：xs 丘：则称厅为职模糊 r 晕) j 苫篱 数，记为矗= ( 舀，石? ，a ，卢) l r 群= 群时，e ( i ) = 口，砰群时，坨( 石) _ 群，群】 l 月模糊数厅也可表示为： 厅= ( c o r e ) ，口，卢) r ， 或 丘= ( c o ，( 厅) ，r e r 啦) ，口，卢) 从，c d r e ( 矗) 非空，且不为单点集，则矗为 梯形模糊数 模糊线性规划对偶理论研究及算法 第2 章f ”对偶理论研究 本章主要研究了基于模糊关系的模糊系数型模糊线性规划对偶理论 定义了解的有关概念；对f l p 问题介绍了新的对偶概念，推导并证明了其 强弱对偶定理 2 1f l p 最优解的定义与性质 设m = 1 ，2 ，m ) ，= 1 ，2 ，n ) 皿，n 为正整数，考虑如下 线性规划问题： 一“删们) _ 再甲， 豇j 弘j 拒m泣。， f。产o ， 这是一个经典l p 问题，( 2 1 ) 中的系数4 口，6 i ，c ，f m ，均为固定 的常数若系数口岛，c ，分别变成模糊数毛，巨，己，则有如下f l p 问题： m x ( m 盈三) = z ，j 豇荟铂难m( 2 2 ) iz 产o j 设模糊数，磊，和e 的隶属函数分别为： 弘f ，：r - + o ，1 】， 心。：尺4 【o ，1 1 ，如：尺一【0 ，1 l ，f m ， 由引理1 3 6 和扩展原理有： 定理2 1 1 捌设弓，毛民僻) ，z ，o ，f m ，则： 昏，o o t 矗，i 。_ o o i 。也为模糊数 设芦为r 上模糊关系，即尺上普遍二元关系s 的模糊扩展，则f l p 问 题( 2 2 ) 可表示为； m i x i ( m i n ) 2 i _ o 0 t t 。 模糊线性规划对偶理论研究及算法 豇j 。丘m ) 确 正m ( 2 3 ) l z ，2 0 f 定义2 1 1 设：r 一【0 ，1 】，：r 一【0 ，1 】，f m ，分别为 模糊数毛，e 的隶属函数p 为r 上普通二元关系p ( s ) 的模糊扩展模糊 集j ，其隶属函数如定义为：v z 彤 叫如( 薹坼丘) 0 否则 竹c 砉嘛) z ，苫o 则j 为f l p 问题( 2 3 ) 可行解模糊集或简称为f l p 问题可行域 对卢【o 1 】，向量z 瞳k 称为f l p 问题的卢可行解注意：f l p 问题可 行解集萱为模糊集另外卢可行解均为向量，属于可行解集膏的卢一截集， 易知若所有系数毛与e 为经典模糊数即其为清晰数时，则模糊可行域等价 于相应的经典l p 问题全体可行解集 设i 为模糊数，即i 圪( 尺) ，o 【0 ，1 】 矛 ) l i n 雄旧 c i l 。) = i n f 【i l ，i 8 ( a ) 一s u p 砷吼) = s u p 吼 ( 2 4 ) 于是对对偶模糊关系孑与三。即；”与三。有如下定理： 定理2 2 n 2 1 设d “和e 为模糊数，工，乏o ，m ， 髓( o ，1 】，与；。为二元关系s 的模糊扩展，即定义( 1 4 8 ) 中( 3 ) 、 ( 4 ) 式所定义的模糊关系，则对f m 有： 1 心m 吼。毛，岛) 口当且仅当荟影( ) 石，s ) ( 2 - 5 ) 2 卢如吼。矗而占；) 口当且仅当荟枷一口扛，s 酽( 1 一a ) ( 2 - 6 ) 证明：( 1 ) 由定理2 1 、( 2 4 ) 式，定理1 4 5 ( 1 ) 可得 ( 2 ) 要证明( 2 ) ，只要利用r 上模糊子集毛和巨具有正规性和 紧性，( 不必假定凸性) 证明： i f 【毛】。= i n f ( d ) 。，s u p 【毛】。= s u p ( d “) 。 1 9 堡塑垡壁塑型塑堡婆堡婴塞垦星鎏 i n f 晤】。：i n f ( 毫) 。，s u p 睡】。；s u p ( 巨) 。，由( 2 4 ) 式可得d u ( a ) = i n f 【】。等 显然，只要证明对任意模糊数二f 0 ( 尺) ，即是r 上正规、紧子集，其隶属 函数半严格拟凹有： i n f 【礼= i n 胎) 。 ( 2 - 7 ) s u p 暖】。一s u p ( i ) 。 ( 2 8 ) 仅证( 2 7 ) ，( 2 8 ) 可类似证明设a 【0 ，1 】 由a 一截集和强a 一截集定义有： ) 。c 暖l ，则i i l f 啊l 蔓i n 啦) 。 假定i n f 【厅】。 0 因为心半严格拟凹，所以有：心( ) 心0 ) 胁( y ) ，与( 2 1 0 ) 矛盾 i n h 厅l 苫i n f ( 石) 。，i n f 矗l = i n f ( 矗) 。 ( 2 1 1 ) 再由定理2 1 和定理1 4 5 ( 2 ) 易得所要结论事实上由命题1 4 2 ， 定理2 1 ，定理1 4 5 可直接得所要结论口 推论2 3 设d 和巨为模糊数，x j o ，m ， 口( o ，1 】 三，“与 ”是定义1 3 1 3 中( 1 ) 、( 4 ) 所定义的模糊关系，是二元关系 的模糊扩展，则对f m 有： 1 1 也一( 厅一，。每 ，巨) a 。善d ； ) x ，s 酽 ) 2 - 1 2 ) 2 。m ( 每t _ 。民确巨) d 。善d ；( 1 一口坞s 酽( 1 一a ) ( 2 1 3 ) 我们发现定理2 2 与推论2 3 的结论是相同的，但是模糊关系芦7 和p 。即 和三。是基于范数定义的，而三，“与_ “作为经典二元关系的模糊扩 堡塑垡丝塑型塑堡垄迨堑塞垦簦鎏一 展，是基于可能性测度定义及定义( 1 4 2 ) 也就是说( f ，主。) 与( 兰”， ”) 定义的理论前提不同 推论2 - 4 ( 1 ) 设p ；p 。s ( 或) ，向量x 为f l p 问题( 2 3 ) 的a 一可行解， 当且仅当x 为不等式组荟嘭 ks 酽 ) ，m 的非负解 ( 2 ) 设p “( 或三。) ，向量x 为f l p 问题( 2 3 ) 的。一可行解，当 且仅当x 为不等式组荟d ；( 1 一口弦j s 毋( 1 一口) m 的非负解 现在我们讨论f u 问题( 2 3 ) 中i 。善工的最大化问题 定义2 2 设争为r 上模糊关系，。( o ，1 】i ，6 为模糊数 若脚( 元占) z 口 ，记为厅p 。6 ( 2 1 4 ) 称帚。为p 在r 上a 一关系， 若甜。5 且脚巧，丘) c 。( 2 1 5 ) 记为曲：6 ，称p ：为p 在r 上强口一关系 注意：p 。和p ：是由模糊关系争在口i o ，l 】上建立的模糊关系集合f 0 ( r ) 上的二元关系若厅和5 分别是与实数a ，6 对应的经典模糊数，p 为关系 的模糊扩展，则a 争静a 曲，于是对v a ( o ，1 ) ，神：6 讳a 6 将上述结论应用于特殊模糊关系争 兰“， ，可得到如下的 一个简单结果 命题2 5 设疗和占为模糊数a ( o ，1 j ( 1 ) 设p 三“， 则： 甜。6 一铲( 。) s 伊( 。) ，甜一i “( 。) c 6 ( 口) ( 2 ) 设p 卜”，三。 则： d p 。6 一i 8 ( 1 一。f ) s 6 ( 1 一a ) d p ：后* d 8 ( 1 一a ) i l ( j 一口) 且矗( 1 一口) 占”( 1 一a ) 证：由定义2 2 、( 2 4 ) 式，推论1 4 3 、推论1 4 4 应用于p 。“5 与p - “ 或由定义2 2 、( 2 4 ) 式，定理1 4 5 、定理1 4 6 应用于与三。即可 模糊线性规划对偶理论研究及算法 定义2 3 设j ，毛和巨，f m ，为r 上模糊数p 为r 上模糊关 系， d ( o ，1 】，z = ( 而) 为f l p 问题( 2 3 ) 的a 一可行 解6 7 上= x 。o o t _ ，若不存在x 瞳l 满足芒7 x p 。j 7 x7 ，则称向量工r “ 为f l p 问题( 2 3 ) 目标函数最大化的( a ，a ) 一最大解若不存在x 戈l 满足 j 7 x 。芒7 工，则向量x 为f l p 问题( 2 3 ) 目标函数最小化问题的 ，口) 一最小解 定义2 4 设i j ，略和e ，f m ，为r 上模糊数p 为r 上模 糊关系即r 上普遍二元关系的模糊扩展，设a ，卢( 0 ，1 】，若不存在x 【膏l x x 使得i 7 x p ：7 工，则( 2 _ 3 ) 的芦一可行解x 瞳b 称为 ，卢) 最大解 注意：f l p 问题( 2 3 ) 任意 ，户) 一最大解均为目标函数有某种特殊性 质的f l p 问题的卢一可行解显然f l p 问题( 2 _ 3 ) 的所有系数为经典模糊数 时，则f l p 问题的 ，卢) 一最优解与对应的l p 问题( 2 1 ) 的经典最优解相同 下面的引理给出了二元关系在特殊模糊扩展情形之下，尤其是对偶模 糊关系与三。( 或! “与_ “) 情形下，( 2 _ 3 ) 中 ，卢) 一最大解的某些重 要性质 引理2 6 设，j 为r 上模糊数，a ( o ，1 ) p ! “，三”) 为r 上模糊关系，妒为争在r 上的强口关系，非负向量 x2 “) ，x = “，x ) 满足：；7 x p ：i 7 x 当且仅当 荟弓8 ( a 坞荟( a 冷， ( 2 1 6 ) 证：设j 一二7 z ， 否一5 7 z 由命题2 5 ( 1 ) 可得 s u p 【j 】。ci i l f 【五】。，即s u 眯7 上lci n f 【i 7 z 】。 等价纛 ，荟弓孙坞 ( 2 1 7 ) 推论2 7 ：若( 2 1 7 ) 成立，则： 磊弓” h 磊弓2 h ，7 荟6 ，“ ) x ，善8 ( a ) x ，7 ( 2 1 8 ) 引理2 8 设；，为r 上模糊数，p 卜“，三。 为r 上模糊关系 模糊线性规划对偶理论研究及算法 t 为p 在r 上强。一关系，非负向量x = 瓴，) ，x = “，石) 满足： 0 7 x p ：k ， 当且仅当：荟弓r ( 1 - 咖，善6 ，协毗 ( 2 1 9 ) 荟r 帅) z ，善铷刊x ， ( 2 2 0 ) 证：设j - 7 工， 言= 7 工，由命题2 5 ( 2 ) 可得： s u p 【j 】。一。si n f 【后】。一。， i l l f 【j 】，一。 s u p 【雪】。一。等于( 2 1 9 ) 与( 2 2 0 ) 命题2 9 ( 1 ) 设弓，毛和占为模糊数，m ，口，卢( o ，1 ) j 为 l p 问题( 2 3 ) 关于芦乜“，) 的可行解集勺满足分以) c c ，c 弓8 ( 口) ， w 若石+ = ( ，蔓，) 为l p 问题( 2 2 1 ) 的最优解： m 一蔷。，z ， 旺垮识佻 o ，因此可得： 荟r 沁，+ s 荟。小荟弓8 ( a p ， 荟弓 沁，荟。，_ 荟乞8 玲， 由( 2 2 6 入q 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 可得荟。，z ，荟。 与假设z + 为( 2 2 5 ) 最优解矛盾 此外，假设c ，2 弓8 ) ， 上；o ， 由引理2 。8 ， _ 9 、2 2 7 可得：。荟 h 荟弓8 一 类似有：荟弓8 ( 口) 工，+ = o ， 因此：荟” ) _ + 善6 ，”( a ) _ 与假凯功( 2 。2 5 埔优解矛引。z 2 荟。，圹( 咖，) 口 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 模糊线性规划对偶理论研究及算法 2 2 模糊线性规划( f l p ) 对偶理论研究 2 2 1 对偶模糊线性规划( d f l p ) 最优解概念与性质 本节主要研究了基于模糊关系的f l p 对偶理论，对经典l p 问题中的重 要结果，进行了推广，推导并证明了强、弱对偶定理的某些结果 考虑如下f l p 问题： m 丘x 三= t x lo o t _ p 卜s j j 西_ 。瓦p 岛，m 2 3 0 i o ，_ 这里，；j ，在u 和丘为正规模糊数，其隶属函数分别为 心，：r - 【o ，1 】，：r 4 【o 1 】和仡：r 4 【o ，1 】，f m ， f l p 问题( 2 3 0 ) 称为f l p 原问题( p ) ，f l p 对偶问题( d ) 定义为： m i n 面= 红y l o o y 。 豇j 弓q ( 毛_ ) ，1o ) ，m ) ，u q 3 1 i y f 芑o ，l m 这里芦与西为对偶模糊关系，尤其p = 掣与西一；。或p = ! “，西= “ 或p = ”，豆= 三“5 对问题( p ) 考虑关于模糊关系p 的“最大化”，对问题( d ) 考虑关于 模糊关系6 的“最小化”f l p 问题( p ) 和( d ) 即( 2 3 0 ) 与( 2 3 1 ) 分 别称为f l p 原问题和对偶问题 下面定义( d ) 的可行解概念 定义2 5 f 1 2 】设“：r 一【0 ，1 】，心，：r 一 0 ，1 】f m ， 分别为模糊数磊，和f ，的隶属函数， 为r 上二元关系p 的模糊扩展 模糊集p ，其隶属函数定义为：v v r n 有： 塑塑垡丝塑型型堡堡堡婴塞垦蔓鲨 脚( y ) 一 m i n k 皈，d 。y 。丘。) ，心( 乞，i 。_ ) ，。毛。) 】 觏o v f m ( 2 - 3 2 ) 0否则 称矿为( d ) 的可行解模糊集或f l p 对偶问题( d ) 的口 仃解 集v 卢( o ，1 ) ，向量y 【矿b ，称为f l p 问题( d ) 的卢一可行解 定义2 6 设f ，矗，e ，f m ，j 为r 上模糊数，舀为r 上模糊关系， 即为r 上普通二元关系模糊扩展，a ，卢( 0 ，1 】，若不存在y 【矿k ，) ，- y 使得占7 y 晓矿y ，则( 2 3 1 ) 的卢一可行解y 矿k ，称为( 2 3 1 ) 的( 口，卢) - 最小解，其中建为垂在r 上的强口关系 设f l p 原问题( p ) 可行解集为重，f l p 对偶问题( d ) 的可行解集为 矿显然j 为r “的模糊子集，矿为r 。的模糊子集注意在经典情形即弓，毛 和五为经典模糊数时，由推论2 3 ( 1 ) ，关系“和 “( ；”，兰。) 对应于s ， 因此在经典情形( p ) 和( d ) 为l p 问题原问题与对偶问题 命题2 1 0 设弓和毛为模糊数，y 。o ，v f m ，a ( o ，1 ) ，三“ 和- 一( ，三。) 为定义1 3 1 3 ( 定义1 4 8 ) 所定义的r 上模糊关系，则j v 有： 1 p 一蚂，矗v y ，。d w y m ) 2 。荟五日” ) y t 皂芒j 忙) 2 3 3 2 ) 肛。m ( i ，毛n 。) 苫口 争磊五：( 。( 1 一口) _ y z j ，8 ( 1 一口) 2 3 4 ( 3 ) 岸g j ，毛h 。) 苫a9 盏毛8 ) y ，弓 ) ”毛仁，毛y ，。y m ) 苫口静磊枷一口) ) ，一苫印一a ) 推论2 1 1 ( 1 ) 设尹= “( 或p = ) ，向量y ；( y 1 i - ) ，。) 为f ( 2 3 1 ) 卢_ 可行解y 。( y m ) 为不等式组磊毛“( 卢) 咒j ，( 卢) ，的非负解 ( 2 ) 设p = “5 ( 或p = 三。) ，向量) ，= ( y l ) ，。) 为f l p ( 2 3 1 ) 的卢可行 解一y = ( y l ，y 。) 为不等式组罗每，2 ( 1 一卢) y ，2 f ，“( 1 一) ，的非负解 栅 模糊线性规划对偶理论研究及算法 引理2 1 2 设丘，f m 为r 上模糊数，争= 5 “( 或p = 一) 为定义1 3 1 3 ( 定义1 4 8 ) 所定义的r 上模糊关系，a ( 0 ，1 】，y ；( _ ) ，1 - _ ) ，。) y = ( m ，) 为非负向量则： 扩) ，p ：矿y 。荟印 ) y r 7 荟挚 ) y 一为p 在r 上的强a 关系 证：设五= 驴y7 ，百一占7 y ，由命题