（基础数学专业论文）模糊拟阵中若干问题的研究.pdf

模糊拟阵中若干问题的研究李尧龙摘要模糊拟阵是g o e t s c h e l 与v o x m a n 于1 9 8 8 年引入并开始研究的与不同学科结合是拟阵理论研究的一个鲜明特征。这也推动着拟阵理论不断发展和壮大模糊拟阵理论正是拟阵理论与模糊集理论的成功结合，对它的研究涉及到模糊图论偏序集与格论。组合数学等诸多研究领域本文首先研究模糊拟阵的公理系统及性质因为到目前为止，除了作为定义的模糊独立集公理外，还没有与之等价的类似于一般拟阵理论的其他公理系统所以，对模糊拟阵公理系统的研究，是对模糊拟阵理论的完善和补充借助模糊相关关系，建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理通过对截片模糊拟阵结构的分析，讨论了模糊拟阵的模糊基的性质并且给出了模糊基的等价刻画，进而建立了模糊拟阵的模糊基公理，这为进步研究模糊拟阵理论打下了坚实的基础其次，本文研究模糊横贯理论在承集为有限的模糊集族上引入了模糊横贯的概念，由于横贯理论最基本的问题是确定个子集族有个横贯的条件，所以本文讨论个模糊子集族有模糊横贯与部分模糊横贯的条件证明了个模糊集族的全体部分模糊横贯构成一个模糊拟阵的模糊独立集族，讨论了承集为无限的模糊集族的模糊h a l l 定理与模糊r a d o 定理以t 分- - t - 方面介绍本文的主要工作t一，研究基本模糊拟阵的两个公理系统与模糊拟阵的一些性质首先，讨论了模糊拟阵的几种运算，包括一般模糊集下的两种七一截短、限制与收缩，并且研究了模糊拟阵的直和这些性质在某种条件下既保持了般拟阵中相应概念的性质，又具有模糊拟阵中新的特点其次，建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理在模糊相关的基础上，弓i 入了模糊拟阵的闭包算子与模糊闭集的定义，研究了模糊相关性、模糊闭包算子与模糊闭集的性质，进而建立了基本模糊拟阵的闭包公理与闭集公理最后，通过研究模糊极小圈的性质，在模糊拟阵中定义了一种新的连通性，这种连通性有一系列好的性质= ，研究模糊拟阵的模糊基公理与模糊基的性质首先，引入了截片模糊拟阵的概念，讨论了截片模糊拟阵的性质特别是模糊基的性质，给出了截片模糊拟阵基的构造并且得到了截片模糊拟阵基公理其次，通过讨论模糊拟阵的模糊基与截片模糊拟阵的模糊基的关系，得到了模糊拟阵基的一些性质并给出了模糊拟阵基的等价刻画。研究了模糊拟阵基的交换性质最后，利用截片模糊拟阵得到了闭正则模糊拟阵基的构造在此基础上。建立了闭正则模糊拟阵的模糊基公理三研究了模糊横贯理论首先，给出了模糊横贯与部分模糊横贯的概念，研究了模糊h a l l 定理与模糊r a d o 定理，通过部分模糊横贯研究了模糊集族具有缺失的模糊h a l l - o r e 定理，并得到了模糊集族的模糊横贯指标。证明了部分模糊横贯的全体构成一个模糊拟阵的模糊独立集族其次，研究了推广的模糊横贯理论及其性质引入了一个模糊集族p 一模糊横贯的概念并讨论了p 一模糊横贯的一些性质，证明了一个模糊集族有p 一模糊横贯且此p 一模糊横贯为模糊独立集的充要条件，以及个模糊集族存在有限个互不相交的部分模糊横贯的充要条件最后。研究无限集上的模糊横贯理论通过模糊砒l d o 选择定律，研究了无限集上的模糊h a l l 定理与模糊r f l d o 定理关键词模糊拟阵，模糊独立集，模糊相关性，模糊闭包算子，模糊基。模糊基公理。横贯，部分横贯s o m er e s e a r c h e so nf u z z ym a t r o i d sl iy a o l o n ga b s t r a c tt h ec o n c e p to ff u z z ym a t r o i dw a si n t r o d u c e db yg o e t s e h e la n dv o x m a ni n1 9 8 8 i n t e g r a t i n gw i t hd i f f e r e n ts u b j e c t si 8at y p i c a lp r o p e r t yi nt h er e s e a r c ho fm a t r o i c i s ，w h i c hi i l a l 。e 8t h em a t r o i d st h e o r yr i c ha n ds t r o n g t h et h e o r yo ff u z z ym a t r o i d si 8s u c ht h es u c c e s s f u li n t e g r a t i o no ft h em a t r o i d st h e o r ya n dt h ef u z z ys e t st h e o r y , w h i c hi si n v o l v e di nt h et h e o r yo ff u z z yg r a p h ，p a r t i a ls e t sa n dl a t t i c e ，a n dc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i c s i nt h i sp a p e r ，w ef i r s t l ys t u d yt h ea x i o ms y s t e m so ff u z z ym a t r o i d sa n dt h e i rp r o p e r t i e s u n t i ln o w ，a p a r tf r o mt h ei n d e p e n -d e n ta x i o m t h e r ei sn oo t h e ra x i o ms y s t e mw h i c hi se q u i v a t e n tt ot h ei n d e p e n d e n ta x i o mi nt h et h e o r yo ff u z z ym a t r o i d sa st h a ti nt h em a t r o i dt h e o r y s ot h es t u d yo ft h ea x i o ms y s t e m so ff u z z ym a t r o i d sw i l ti m p r o v ea n dc o m p l e m e n tt h et h e o r yo ff u z z ym a t r o i d s u s i n gt h er e l a t i o no ff u z z yd e p e n d e n c e ，w eo b t a i nt h ec l o s u r ea x i o m sa n dt h ed o s e ds e t sa x i o m so fo fe l e m e n t a r yf u z z ym a t r o i d s b ys t u d y i n gt h es e c t i o nf u 瞄5 ym a t r o i d s ，w eg e tt h ep r o p e r t i e so ft h eb a s e so ff u z z ym a t r o i d s ，a n dg i v et h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb a s e so ff u z z ym a t r o i d s ，t h e nw eo b t a i nt h eb a s ea x i o mo ff u z z ym a t r o i d s t h e s ew o r kl a yas o l i df o u n d a t i o no ns t u d y i n gt h et h e o r yo ff u z z ym a t r o i d s s e c o n d l y , 耽d e f i n et h ef u z z yt r a n s v e r s a la n dt h ep a r t i a lf u z z yt r a n s v e r s a lo faf i n i t ef a m i l yo ff u z z ys e t s b e c 黼t h ef i r s ta n dm o s tb a s i cp r o b l e mi nt h et r a n s v e r s a lt h e o r yi sf i n d i n gc o n d i t i o n sf o raf a m i l yo fs e t st oh a v eat r a n s v e r s a l ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n d i t i o n sf o raf a m i l yo ff u z z ys e t st oh a v eaf u z z yt r a n s v e r s a la n dap a r t i a lf u z z yt r a n s v e r s a l w ep r o v e dt h a tt h ec o l l e c t i o no fp a r t i a lf u z z yt r a n s v e r s a lo faf a m i l yo ff u z z ys e t sf o r m e dt h es e to ff u z z yi n d e p e n d e n ts e t so faf t m ym a t r o i d ，a n dw ea l s od i s c u s s e dt h ef u z z yh a l lt h e o r e ma n d 缸珂如d ot h e o r e mo faf a n l i l yo ff u z z ys e t st h a tt h e i ru n d e r l y i n gs e ti sa ni n f i n i t es e t n o ww eg i v et h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ra sf o l l o w s ：1 t w oa x i o ms y s t e m so fe l e m e n t a r yf u z z ym a t r o i d sa n ds o m ep r o p e r t i e so ff u z z ym a t r o i d sa r es t u d i e d f i r s t l y , s e v e r a lo p e r a t i o n so ff u z z ym a t r o i d sa r ed i s -c u s s e d ，i n c l u d i n gt w o 七一t 姗c a t i 伽r e s t r i c t i o na n dc o n t r a c t i o no faf u z z ym a t r o i du n d e raf u z 巧s e t t h es u n lo ff u z z ym a t r o i d sa r ea l s oi n v e s t i g a t e d t h e s eo p e l -a t i o n sn o to n l yo b s e r v et h ep r o p e r t i e si nt h em a t r o i dt h e o r y , b u ta l s oh a v en 铡c h a r a c t e r i s t i c si nf u z z ym a t r o i d s s e c o n d l y , t h ec o n c e p to ff u z z yd e p e n d e n c ea n di i i缸z z yc l o s u r eo p e r a t o ra r ei n t r o d u c e d ，a n dt h ep r o p e r t i e so ff u z z yd e p e n d e n c ea n df u z z yc l o s u r eo p e r a t o ra l ei n v e s t i g a t e d ，t h e nt h ec l o s u r ea x i o m sa n dt h ec 1 0 6 e ds e t sa x i o m so fo fe l e m e n t a r yf u z z ym a t r o i c l sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , b ys t u d y i n gt h ep r o p -e r t i e so ff u z z yc i r c u i t ，an e wc o n n e c t i v i t yo ff u z z ym a t r o i d si sd e f i n e d ，a n das e r i e so ft h ep r o p e r t i e so ft h i sc o n n e c t i v i t yo , l es t u d i e d 2 t h eb a s ea x i o m so ff u z z ym a t r o i d sm a d8 0 r n ep r o p e r t i e so ff 1 1 z z yb a s e sa l t es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y f i r s t l y , t h es e c t i o nf 1 1 z z ym a t r o i d sa r ed e f i n e da n dt h ep r o p e r t i e so ft h e i rb a s e sa r ei n v e s t i g a t e d t h e nw eg e tt h eb a s ea x i o m so ft h es e c t i o nh e z ym a t r o i d s s e c o n d l y , w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h eb a s e so ff u z z ym a t r o i d s ，t h e nt h er e l a t i o n s h i p so ft h eb a s e sb e t w e e nt h ef u z z ym l t r o i d sa n dt h es e c t i o nf u z z ym a t r o i d sa r ed i s c u s s e d s o m ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb a s e so ff u z z ym a t r o i d sa r eg i v e n i nt h ee n d ，w eo b t a i nt h eb a s ea x i o m so ft h ed o s e dr e g u l a rf u z z ym a t r o i d a 3 t h ef u z z yt r a n s v e r s a lt h e o r yi ss t u d i e da n ds o m ep r o p e r t i e sa r ei n v e 8 t i g a t , e d f i r s t l y , t h ec o n c e p t ；o ft h e 嘞t r a n s v e r s a la n dt h ep a r t i a lf u z z yt r a n s v e r s a la l ei n t r o d u c e d t h e nt h ef u z z yh a l lt h e o r e ma n df u z z yr a d ot h e o r e ma r ei n v e s t i g a t e d ，r 器p e c t i v e l y w ep r o v et h a tt h ec o l l e c t i o no fp a r t i a lf u z z yt r a n s v e r s a lo faf a m i l yo ff u z z ys e t sf o r m e dt h es e to ff u z z yi n d e p e n d e n ts e t so faf u z z ym a t r o i d s e c o n d l y ,t h ep - f u z z yt r a n s v e r s a lo faf a m i l yo ff u z z ys e t si sd e f i n e da n ds o i n ep r o p e r t i e sa r ei n v e 疏i g a t e d w ea l s og e ts o m en e c e s s a r ya n ds u t 五c i e n tc o n d i t i o n st h a ta ，f a m i l yo ff u z z ys e t sh a v eap - f u z z yt r a n s v e r s a la n dt h i sp - f u z z yt r a n s v e r s a li st h es e to ff u z z yi n d e p e n d e n ts e t s f i n a l l y , w es t u d yt h ef u z z yt r a n s v e r s a lt h e o r yo n 姐i n f i n i t es e t b yt h ef u z z yr a d o 8s e l e c t i o np r i n c i p l e ，w es t u d yt h ef u z z yh a l lt h e o r e ma n df u z z yr a d ot h e o r e mo ft h ef u z z ys e t sw h o s es u p p o r t i n gs e ti sa ni n f i n i t es e t k e yw o r d sf u z z ym a t r o i d s ，呦i n d e p e n d e n ts e t s ，f u z z yd e p e n d e n c e ，呦e l o s t t r eo p e r a t o r ，f u z z yb a s e s ，t h ef u z z yb a r ea x i o m ，2 5 - a m v e r s a l ，p a r t i a lt r a n s v e r s a l 学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：j 叁堑垒学位论文使用授权声明本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕珏师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。作者签名：查盔：筮前言二十世纪三十年代。w h i t n e y 在关于线性相关的抽象特征一文中首次提出了拟阵的公理系统随后，r a d o 提出了有关拟阵理论的一些定理b i r k h o f f ,m a c l a n e ，d i l w o r t h 等人研究了拟阵的几何方面的问题以及拟阵与格论的关系等二十世纪六十年代，加拿大数学家t u t t e 发表了关于拟阵的演讲一文，并把拟阵与图论充分地结合起来，取得了一系列开创性的成果，才使得拟阵理论取得了长足的发展e d m o n 凼，m i n t y 等人把图论的算法推广到拟阵理论之中，使得拟阵理论在组合优化，整数规划，网络流以及电网络等方在有了广泛的应用w e l s h 研究了拟阵的结构、拟阵与格的关系以及拟阵的极值问题等，并于1 9 7 6 年出版了拟阵论的专著m a t r o i dt h e o r y 【1 l ，标志着拟阵理论的成熟。与其他数学分支相比，拟阵理论并不是一个历史悠久的数学分支但由于实际的应用价值与数学工作者的不懈努力，拟阵理论已经有相当丰富的内容特别是近三十年来。拟阵理论得到了很大的发展，已经成为个日益引人瞩目的生机勃勃的数学分支拟阵理论为联系图论，线性代数、格论以及其他数学领域的许多基本效学思想提供了简单却非常有用的方法然而。随着科学技术的进步特别是电子计算机技术的发展与应用，原有的拟阵结构已经不能满足新的要求，拓广原有的拟阵结构也是势在必行另外，与不同学科相结合也是拟阵研究的一个典型特征。如把拟阵理论与图论、代数学，格论几何学等学科结合起来研究，这使得拟阵理论有了许多生长点这样模糊拟阵| 2 - 6 1 广义拟阵f 7 8 偏序集拟阵愀埘，有向拟阵理论【1 1 l 等则应运而生1 9 8 8 年，g o e t s c h e l 和v c m n a u 发表了f u z z ym a t r o i d s f 2 】一文首次提出了模糊拟阵的概念，开始了模糊拟阵理论的研究，并且在该文中得到了模糊拟阵的部分特征在之后的几年中，他们研究了模糊拟阵的性质与结构，给出了模糊拟阵的秩函数，模糊拟阵的基与圈等一系列性质，并且把拟阵的g r e e d y 算法推广到模糊拟阵之中，讨论了模糊拟阵的对偶以及其他一些运算等，从而初步建立起了模糊拟阵的理论框架f 2 4 ，托，7 7 同y u a n g - c h e hh s u e h 在o nf u z z i 丘c a t i o no fm a t r o i d s 1 1 2 】文中，则提出了一种可行的拟阵模糊化的方法n o v a k t m ，7 3 7 6 | 则研究了模糊独立集系统模糊预拟阵及其与模糊拟阵的关系尽管如此，模糊拟阵理论仍然有许多基础的工作没有完成在般拟阵理论中，拟阵有多种公理系统，并且这些公理系统之间是相互等价的比如独立集公理、圈公理、基公理、秩函数公理，闭包公理，闭集公理等等丽在模糊拟阵理论中，到目前为止，除了作为定义的模糊独立l集公理之外，还没有与之等价的类似于一般拟阵理论的其他公理系统，而文 3 】给出的仅有的嗽函数公理也需要其他一些转化条件因此本文由此入手，研究模糊拟阵的公理系统我们借助模糊相关关系，建立了基本模糊拟阵的闭包公理在此基础上，进而研究了基本模糊拟阵的模糊闭集公理在已有结论的基础上。通过对截片模糊拟阵结构的分析，讨论了截片模糊拟阵与模糊拟阵的基的一系列性质，给出了截片模糊拟阵与模糊拟阵理论中模糊基的等价刻画并且建立起模糊拟阵理论的基公理这为进一步研究模糊拟阵理论打下了坚实的基础以上这些工作是对模糊拟阵理论的完善和补充当然，模糊拟阵理论还不够丰富，仍然有许多重要的工作要做横贯理论是组合数学理论的一个重要组成部分，图论中与之对应的是匹配理论它与拟阵理论和图论有十分密切的关系早在1 9 4 2 年，r a t i o 就研究了横贯理论与拟阵之间的关系，得到了一个集合族有独立横贯的充要条件1 9 6 5 年e d m o n d s和f a l k e r s o n 证明了一个集合族的所有部分横贯的集合组成了一个拟阵的独立集族这样，使得横贯理论和拟阵理论紧密地结合起来由于横贯理论的最基本的问题是确定个子集族有一个横贯的条件h a l l 和r a d o 分别给出了一个集合族有横贯和独立横贯的充要条件1 9 6 5 年和1 9 6 9 年，o r e 和p e r f e c t 分别给出了一个集合族有缺失的都分横贯和部分独立横贯的充要条件1 9 7 1 年，w e l s h 利用次模函数的性质证明了推广的r a d o - i t a l l 定理，使得横贯理论有了进一步的发展同年，m i r s k y 出版了横贯理论的专著2 艮a a a s v e r s a lt h e o r y ，对横贯理论进行了系统地总结与一般有限集合的横贯理论相对应，本文在承集为有限的模糊集上引入了模糊横贯理论我们讨论了一个模糊子集族有模糊横贯和部分横贯的条件即在模糊集上的h a l l 定理与h a l l - o r e 定理，并且证明了一个模糊集族的全体部分模糊横贯构成了一个模糊拟阵的模糊独立集族并得到了其他一些结论在文【1 2 】的基础上，证明了一个承集为无限的模糊集族的模糊h a l l 定理和模糊r a d o 定理，并且研究了模糊横贯理论的一些应用本文的内容分为两部分；一部分研究模糊似阵的几个公理系统与性质，包括基本模糊拟阵闭包公理，闭集公理，模糊拟阵的子运算与连通性以及闭正则模糊拟阵的模糊基公理，这一部分内容在第二章和第三章；另部分讨论模糊横贯理论，包括横贯理论的若干性质在模糊集上的推广，所有部分模糊横贯构成模糊拟阵等，这部分内容主要在第四章全文内容具体安排如下，第一章为预备知识，主要介绍拟阵理论，模糊拟阵理论与横贯理论等方面的一些基本概念和结论第二章研究基本模糊拟阵的两个公理系统与一些性质共分四节第一节讨论2了模糊拟阵的几种运算包括模糊拟阵在一般模糊集下的两种舡截短，一般模糊集下的限制与收缩，并且研究了模糊拟阵的直和这些性质在某种条件下既保持了一般拟阵中相应概念的性质，又具有模糊拟阵中新的特点第二节建立了基本模糊拟阵的闭包公理，这是本章的主要结论之一在模糊相关性的基础上，引入了模糊闭包算子的定义，研究了模糊相关性与模糊闭包算子的性质在此基础上，建立了基本模糊拟阵的闭包公理第三节建立了基本模糊拟阵的闭集公理本节在第二节的基础上，定义了模糊拟阵的闭集，并研究了模糊闭集的一系列性质，进而得到了基本模糊拟阵的闭集公理第四节通过研究模糊极小圈的性质，在模糊拟阵中定义了一种新的连通性，这种连通性有一系列好的性质第三章研究模糊拟阵的基公理与基的性质，共分三节第一节讨论了截片模糊拟阵基的性质首先引入了截片模糊拟阵的概念，讨论了截片模糊拟阵的性质特别是基的性质，给出了截片模糊拟阵基的构造，最后得到了基本截片模糊拟阵的模糊基公理第二节研究模糊拟阵基的性质得到了模糊拟阵的基与基本截片模糊拟阵基的关系，利用模糊基研究模糊拟阵的性质，给出了闭模糊拟阵与闭正则模糊拟阵基的等价刻画，并且研究了一个模糊拟阵在一般模糊集上的限制的性质，最后研究了模糊拟阵基的交换性质第三节建立了闭正则模糊拟阵的基公理利用基本截片模糊拟阵得到了闭正则模糊拟阵基的构造，研究了闭正则模糊拟阵的模糊基的性质在此基础上。建立了闭正则模糊拟阵的基公理第四章研究模糊横贯理论共分三节第一节首先给出了模糊横贯与部分模糊横贯的定义，在此基础上，研究了模鞭h a n 定理和模糊r a d o 定理，通过部分模糊横贯研究了模糊集族具有缺失的模糊h a l l o r e 定理，并得到了模糊集族的模糊横贯指标，证明了部分模糊横贯的全体为一个模糊拟阵的独立集族最后得到了两个模糊子集族存在共同模糊横贯的充要条件并得到了其他一些性质第二节研究推广的模糊横贯理论及其性质首先引入个模糊集族p 模糊横贯的定义，得到了p模糊横贯的一些性质证明了个模糊集族有一个p - 模糊横贯且此p 模糊横贯为模糊独立集的充要条件，以及一个模糊集族存在有限个互不相交的模糊部分横贯的充要条件最后。给出了此充要条件的一个应用第三节研究承集为无限集上的模糊横贯理论首先证明了模糊f h d o 选择定律，借此研究了无限集上的模糊h a l l 定理借助文i1 2 】定义的无限集上的模糊拟阵，得到了承集为无限集上的r a d o 定王里3第一章预备知识本章简要介绍本文所需要的有关基础知识包括拟阵论，模糊集与模糊拟阵，偏序集拟阵，横贯理论。广义拟阵等方面的一些概念和结论1 1 拟阵的基本概念与结论本节给出本文所需的拟阵方面的基本知识和基本结论，所提及的概念和命题见【1 ，7 ，8 ，3 8 ，5 7 】定义1 1 ，1 ( 独立集公理) 设e 是个有限集，若z 垆满足下列条件( ) 0 z幔) 若x y ，y z ，则x 工) 若x ，y z 且i x f l y i ，则存在y y x 使得x u 暑，z 则称( 刀，习是有限集e 上的个拟阵，记作m = ( e ，刁，其中e 称为m 的基础集，z 称为m 的独立集族。z 中的元称为m 的独立集设m = ( e ，刁是一个拟阵非独立集称为相关集，极大的独立集称为基，极小的相关集称为圈称函数p ( x ) = m 船 i ，1 i x ，i 刁为拟阵m 的秩函数，并称p ( e ) 为m 的秩，也记为p ( 肘) 若p ( xu 笋) = p ( x ) ，则称掣与x 相关，记作可一x 对任意z e ，口( x ) = 扫e ：p ( x u y ) = p ( x ) ) 是集合x 的闭包，盯是拟阵肘上的闭包算子若矿( x ) = x ，则称x 是闭集或平坦( f l a t ) 通常以p _ | l f表示拟阵m 的秩函数，以盯肼表示拟阵肘的闭包算子事实上，拟阵也可以由秩函数，闭包算子，圈，基，闭集等唯一确定命题1 1 2 ( 秩公理) 个函数p ：2 e z 是集合e 上某拟阵膨的秩函数当且仅当似，y e ，z ，y e ，以下结论成立：( r 1 ) p ( 口) = 0 ( t 7 2 ) p ( x ) p ( x u z ) p ( x ) + 1 ( 粥) 着p ( x ) = p ( x u z ) = p ( x u 可) ，则p ( x ) = p ( x u z u 可) 或者等价地，个函数p ：垆一z 是e 上某拟阵m 的秩函数当且仅当橱，y e ，以下结论成立：( 兄1 ) 0 sp ( x ) i x l ( r 2 ) 7x y 净p ( x ) p ( y ) ( a 3 ) 7p ( x u y ) 4 - p ( x n y ) p ( x ) + 以y ) 4命题1 1 3 ( 闭包公理) 函数盯：2 b 一2 e 是e 上某拟阵m 的闭包算子当且仅当对任意的z ，! e ，x ，y e ，以下结论成立：( s 1 ) x 冬o ( x )( s 2 ) x y ：争盯( x ) 盯( y ) ( s 3 ) 盯( x ) = 盯( 盯( x ) )( 弘) g 仃( x ) ，若! ，矿( x u z ) ，则z 盯( x u f ) 命题1 1 4 ( 闭集公理) 设是e 上的一个子集族，则是e 上某似阵m 的闭集族当且仅当以下结论成立( f 1 ) e c ( f 2 ) 若r ，易c ，则只n f 2 c ( f 3 ) 若f c ，且 只，乃，最) 是c 中包含f 为真子集的全体极小成员，则u 只= e f 命题1 1 ，5 ( 基公理) 若b 是e 上个子集族，则b 是e 上某拟阵肘的基集当且仅当以下结论成立：( b 1 ) b 至少含有个元素( b 2 ) 若玩，b 2 召且z b 1 b 2 ，则必有管岛b 1 ，使得( 最一z ) u 分8 ，命题1 1 6 ( 圈公理) 设c 2 f 是e 上的个子集族，则c 是e 上某拟阵肘的圈集当且仅当以下结论成立t( c 1 ) 0g c ( c 2 ) 若a ，q c 且a q ，则a = 岛( c 3 )若c 1 q ，c 1 ，c 2 c 并且存在e c 1nc 2 ，更! l 有岛c 满足g ( a u q ) 一e 定义1 1 7 设肘是集合e 上的拟阵，x e ，则x 上以 ，z ：i x 为独立集族的拟阵称为拟阵m 在集合x 上的限制，记为mlx ；设b x 是拟阵m l x 的一个基，则集合e x 1 = p gt j e x ：i u b x z ) 为独立集族的拟阵称为m 在x 的收缩。记为m x 定义1 1 8 设m 和肘j 是两个不交集合而和易上的拟阵，五和z 2 分别是舰和朋；的独立集族，则局u 赐_ l = g l u 如： 五，如磊) 为独立集族的拟阵称为尬与m 2 的直和，记作尬om 2 定义1 1 9 设m 是集合刀上的一个拟阵，整数k p ( m ) v x e 定义p k ( x ) = m i n k ，p 伍) ) ，则m 是e 上某拟阵m ；的秩函数拟阵慨称为肘的5肛截短f k - t r u n c a t i o n ) 定义1 1 1 0 设e 是一个有限集，肘是e 上的个拟阵，8 是肘的基集则矽= e b ：b b 满足基公理，从而8 决定了e 上某个拟阵m ，称m +为m 的对偶拟阵或正交拟阵引理1 1 1 l 设m 是有限集e 上的一个拟阵，x ，y e 若x ，y 是拟阵肘的闭集，则x n y 是肘的闭集设盯是拟阵m = ( e ，z ) 的闭包算子，则a ( x ) 是包含x 冬e 的最小闭集定义1 1 1 2 设m = ( e ，乃是e 上的拟阵，对任意的e 1 ，e 2 e ，定义e 1 一e 2当且仅当e l = e 2 或有c c ( m ) ，使得e 1 ，e 2 d 易见这是一个等价关系设局，易，晶是e 上的等价类，对每个i ( 1sisn ) ，称ml 蜀是m 的个连通分支( c o n n e c t e dc o m p o n e n t ) 如果e 只有个等价类，称拟阵m 为连通拟阵注：由于在无限集上也可以定义拟阵，故这里的拟阵称为有限拟阵今后若不加说明，我们所指的拟阵均是定义在有限集上的拟阵一定义1 1 1 3 设e 是个有限集，若，垆满足以下条件：( g 1 ) 若非空集合x 兀则存在z x ，使x z f( g 2 ) 若x ，y ，且i x l ，称为( e ，) 的秩函数，p ( x ) 称为x 的秩函数盯：2 e 一2 e 定义为仃( x ) = b e ：p ( xu y ) = p ( x ) ) 称为( e ，一的闭包算子，盯( x ) 称为x 的闭包若盯( x ) = x ，则称x 为闭集设x ，y e ，若口( x ) = 仃( y ) ，则称x 和y是互为支撑的( c o s p a a n i n g ) 命题1 1 1 4 设e 是个有限集，函数p ：2 e z 为e 上的个广义拟阵的秩函数当且仅当对任何x ，y e ，z ，暑，e ，以下结论成立( r 1 ) p ( o ) = 0 ( r 2 ) p ( x ) si x l ( r 3 ) x s y 号p ( x ) p ( y ) ( r 4 ) p ( x ) = p ( x u z ) = p ( x t 3 y ) = 争p ( x ) = p ( x u z u y ) 命题1 1 1 5 设e 是有限集，盯：2 e 一2 e 是一个映射则口是e 上某广义6拟阵的闭包算子当且仅当对x ，z e ，z ，y e x ，下述结论成立( 1 ) x 盯伍) ( 2 ) 玎( x ) = 盯( 仃( x ) ) ，( 3 ) 盯( x ) = o ( y ) 号a ( x ) = 盯( x u y ) ( 4 ) x cy cz 且盯( x ) = 盯( z ) = o ( x ) = 矿( y ) ( 5 ) 盯( x u y ) = 盯( x u x u y ) ，但盯( x u z ) 盯( x 1 3 z u y ) 专孔x u z 使得矿( x u x z ) = 盯( x u z ) 命题1 1 1 6 设e 是有限集，r 2 e 2 e 为2 e 上的一个等价关系，则r 是一个广义拟阵的互为支撑关系当且仅当对任意的x ，z e ，z ，y e x ，以下结论成立；( 1 ) ( x ，y ) r 辛( x ，x u y ) r 7 ( 2 ) x y z 且( x ，z ) r 辛( x ，y ) r ( 3 ) ( xu y ，xu 善oy ) r 但( xuz ，xuzuy ) gr 辛j z xu z 使得( x u x z ，x u z ) r 命题1 i 1 7 设e 是有限集，是e 的个子集族，则厂是e 上某广义拟阵的可行集族当且仅当以下结论成立t( g 1 ) 0 f( g 2 ) 若x ，y ，且i x i o ，称s u p p l * 为模糊集弘的承集8( 4 ) m ( p ) = m i n r + ( z ) ，m ( z ) = m 口z j 矿( 西( 5 ) 记嘶，= 篡称w ( x ，r ) 为x 上的高为r 的初等模糊集( 6 ) i z l = ，e 。ep ( z ) ，称为模糊集p 的势定义1 2 2 设芦，7 f ( x ) 若对任意的z x ，有p ( z ) ，y ( z ) ，则称p 包含于7 ，记作p 7 若弘7 ，且存在2 0 x 使得p ( 知) ，y ( z o ) ，则称p 真包含于，y ，记为p 1 若对任意的z x ，有弘( z ) = 1 ( 石) 则称弘等于1 ，记为弘= 1 。定义1 2 3 设“7 f ( x ) ，v z x ，令( pa7 ) ( z ) = p ( z ) a7 ( z ) = = 订打l p ( z ) ，7 ( z ) )( pv ，y ) ( z ) = 弘( z ) v ，y ( z ) = m c l z 肛( z ) ，y ( z ) ( z ) = 1 一p ( 甸刚p a 7 ，p v 7 ，f c x ) ，分别称为芦与7 的交，p 与，y 的并，p 的补关于模糊集与其r 截集的关系，我们有以下结论命题1 2 4 设p ，7 f ( 司，则以下结论成立；( 1 ) c o ( 弘) = x ( 2 ) ( k ( p ) c k ( p ) ( o f 2sr l 1 )( 3 ) 当p ，y 时，口( p ) g ( ，y ) ( v r 【o ，1 】) ( 4 ) g 似v 7 ) = d ( p ) u g 一) ( 5 ) 口( p a ，y ) = c ；( p ) n c ；( 7 ) 命题1 2 5 设e 是一个有限集，z 是e 上非空的子集族，则( e ，习是一个拟阵当且仅当( 1 ) 若x z 且y x ，则y 工( 2 ) 若x ，y z ，i x l l y i ，则存在z z 使得xcz x u y 容易证明，上述命题与独立集公理( 定义1 1 1 ) 等价定义1 2 6 ( 模糊拟阵) 设e 是个有限集，r ( s ) 是e 上的非空模糊集族。若，满足( 1 ) ( 遗传性) 如果p ，7 r ( e ) 且7 p ，则，y f( 2 ) ( 交换性) 如果p ，7 ，并且l s t l 删l l s t p 刃i - 贝4 存在u 芦使得( i ) p u p v ，y 9( 豇) 仇( 叫) 2 胁n m ( p ) ，m ( 1 ) ) 则“= ( e ，一称为e 上的一个模糊拟阵，称为模糊拟阵朋的独立集族设 ，l = ( e ，一是个模糊拟阵，其秩函数p ：f ( e ) 一【o ，+ o o ) 定义为p ( p ) = s u p 1 7 l ：1 sp ，- y ，如果p f c e ) ，a e ，则跌k f ( e ) 定义为帅= 塞命题1 2 7 设m = ( e ，月为一个模糊拟阵，对任意的r ( 0 ，1 】令互= g ) i p 一则v r ( 0 ，1 】， 露= ( e ，互) 为e 上的一个( 分明) 拟阵，称 为朋的r 截拟阵关于模糊拟阵与其截拟阵的关系，我们有以下结论设州= ( e ，a 为个模糊拟阵，v r ( o ，l 】，令= ( e ，互) 为命题1 2 7 所定义的r 截拟阵，由于e 是有限集合，所以在e 上仅可以定义有限个分别拟阵所以存在一个有限列r o r 1 您 使得( 1 ) 1 o = o ，r n 1 ( 2 ) 如果0 s ，i o = o ( 3 ) 如果r s ，t n + l 则i o = ，其中o i _ ，l 一1 ( 4 ) 如果r d s r d - i - 1 t n + 2 ，则五c 五，其中0s f l 一2 ( 5 ) 如果0 s t 1 ，则五e 五则序列r o ，t 1 ，k 称为模糊拟阵朋的基本列对于1 i 几，令再= ( n l + n ) ，则递减拟阵列临) 蛛) ) 朋_ 称为模糊拟阵朋的诱导拟阵序列命题1 2 8 设e 是个有限集，令0 = 却 鳓 却 s 1为个有限序列假设( e ，五。) ，( e ，五：) ，( e ，互。) 为e 上的拟阵序列使得五。c五。( 1 t sn 一1 ) 1 0对于每一s ，若巩一l s s 鼠( 1 t 匏) ，令互= 瓦；若如 s 1 ，令互= 毋如果j = = p f ( e ) i g ( p ) 互，v s ( 0 ，1 】)则3 4 = 僻，) 是一个模糊拟阵并且朋的诱导拟阵列为坛。3a 厶：3 ) 厶。其中1 i n ， = ( e ，五。) ( 注意如果瓦= ；( & + 1 + 巩) ，则朋i = 朋书命题1 2 9 设e 是一个有限集，3 , t = ( e ，一是e 上的模糊拟阵，对于0 r 墨1 ，令 矗= ( e ，五) 为模糊拟阵3 , t = ( e ，a 的r - 截拟阵令，= p f ( e ) ig ( p ) 互，v r ( 0 ，1 】) ，则有，= j r * 命题1 2 1 0 设e 是一个有限集，3 4 = ( e ，) 为e 上的一个模糊拟阵，其基本列为r o r 1 0 ，使p ( 驴) =0 ，则v 0 七s 1 ，有p ( 一) = 0 ( 5 ) 如果p f ( e ) 且h r e ( u ) ，则p v 一一p ( p ) o ，埘令，= 仙f ( e ) jp ( u ) = i u l ，则朋= ( e ，一是一个模糊拟阵，p 是模糊拟阵3 4 的秩函数命题1 2 1 2 设e 是个有限集，p ：f ( e ) 一【0 ，+ o o ) 满足命题1 2 1 1 0 ) - ( 5 ) ，则由p 定义的模糊拟阵的基本列为0 = r 0 n = 1 把这种模糊拟阵叫