（概率论与数理统计专业论文）几个简单可修系统的可靠性分析.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 可修系统是可靠性理论中讨论的一类重要系统，也是可靠性数学的主要研 究对象之一。单部件可修系统和串联可修系统是可靠性理论中最基本也是最重 要的模型。对于可修系统，当系统中存在着相依关系时，系统的可靠性较独立 情形时相对复杂。组成系统的部件“修旧非新 也是比较切合实际的情况，对 这类可修系统的可靠性进行分析，也具有一定的现实意义。 本论文属于可靠性数学理论的研究。分别对下面三种简单的可修系统的可 靠性进行了分析： i 部件寿命与故障后修理时间具有相依关系的单部件的非马尔可夫型可 修系统； i i 部件“修旧非新 且部件寿命与故障后修理时间服从指数分布的单部 件可修系统； i 部件寿命和故障后修理时间都服从一般分布的两部件串联的非马尔可 夫型可修系统。 文章基于c o p u l a 函数对第1 种可修系统的可靠性进行了分析，基于几何 过程对第1 1 种可修系统的可靠性进行了分析，基于更新过程对第1 1 1 种可修系统 的可靠性进行了分析。通过可靠性分析，分别得出了各种系统的主要可靠性数 量指标，如系统的可靠度、系统的可用度以及( 0 ，t 时间中平均故障次数等。 关键词：可靠性；c o p u l a ；可修系统；几何过程 西南交通大学硕士研究生学位论文第| i 页 _ _ - i - - i l _ - - _ - _ - - - _ - _ _ _ _ _ _ - - _ l _ 一 a b s t r a c t t h er e p a i r a b l es y s t e mi si m p o r t a n t l yd i s c u s s e da n ds t u d i e di nt h em a t h e m a t i c a l t h e o r yo fr e l i a b i l i t y o n e - u n i tr e p a i r a b l es y s t e ma n ds e r i e sr e p a i r a b l es y s t e ma r e t h em o s tf u n d a m e n t a la n dv i t a lm o d e l si nt h e r e l i a b i l i t yt h e o r y w h e nt h e d e p e n d e n c er e l a t i o ne x i s t si nt h es y s t e m ，i t sr e l i a b i l i t yi sr e l a t i v e l ym o r ec o m p l e x a n a l y z i n gt h er e l i a b i l i t yo ft h es y s t e mw h i c h su n i t sa r en o t “a sg o o da sn e w i s a l s oo fs o m ep r a c t i c a ls i g n i f i c a n e t h i sp a p e rb e l o n g st ot h e t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fr e l i a b i l i t yb y a n a l y z i n g t h er e l i a b i l i t yo f t h ef o l l o w i n gt h r e es i m p l e r e p a i r a b l es y s t e m s ： it h eo n e u n i tn o n m a r k o v r e p a i r a b l es y s t e mi nw h i c ht h ed e p e n d e n c e r e l a t i o ne x i s t sb e t w e e nt h eu n i t 7 s o p e r a t i n gl i f ea n dt h er e p a i rt i m ea f t e r b r e a k d o w n ； i it h eo n e - u n i tr e p a i r a b l es y s t e mi nw h i c ht h eu n i t s o p e r a t i n gl i f ea n dt h e r e p a i rt i m ea f t e rb r e a k d o w ns u b m i tt ot h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ； h it h et w o - u n i ts e r i e sn o n m a r k o vr e p a i r a b l e s y s t e mi nw h i c ht h eu n i t s o p e r a t i n gl i f ea n dt h er e p a i rt i m ea f t e rb r e a k d o w ns u b m i tt ot h ec o m m o n d i s t r i b u t i o n t h i sp a p e rm a k e sa na n a l y s i so f i ，i ia n di i i sr e l i a b i l i t yr e s p e c t i v e l yb a s e d u p o nt h ec o p u l af u n c t i o n ，t h eg e o m e t r i cp r o c e s sa n dt h er e n e w a lp r o c e s s ，a n d e v e n t u a l l ya r r i v e sa tt h ec o n c l u s i o no fs o m er e l i a b i l i t yq u a n t i t yi n d i c e s ，s u c ha st h e s y s t e m sr e l i a b i l i t ya n da v a i l a b i l i t y ，t h ea v e r a g eb r e a k d o w nt i m e sd u r i n gt h ep e r i o d o f 0t ot ，a n ds of o r t h k e yw o r d s ：r e l i a b i l i t y ；c o p u l a ；r e p a i r a b l es y s t e m ；g e o m e t r i cp r o c e s s 西南交通大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权西南交通大学可以将本学术论文编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密囤，适用本授权书。 学位论文作者签名：弓翮葫、 日期溯尸、，c ) 、斗 指剥雠：砷夸 聃岬印t 乒 西南交通大学学位论文论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表和撰写过的研究成果。对本文的研究作出贡献的个人和集体， 均已在文中做了明确说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 基于c o p u l a 函数，利用更新过程，讨论了部件寿命与修理时间具有相 依关系的单部件的非马尔可夫型可修系统的可靠性，计算其主要的可 靠性数量指标( 第3 1 节) ，并在一个特定的c o p u l a 族下计算了该系 统的瞬时可用度的变换( 第3 2 节) 。 2 基于几何过程对部件“修旧非新”的单部件可修系统的可靠性进行了 分析，并得到了相应的可靠性数量指标( 第4 2 节) 。 3 讨论了部件寿命和故障后修理时间都服从一般分布的两部件串联的非 马尔可夫型可修系统的可靠性，得出其主要的可靠性数量指标的表达 式( 第5 1 节) ；并分别在部件寿命服从伽玛分布与威布尔分布的情形 下推导出系统的各项可靠性数量指标( 第5 2 节，第5 3 节) 。 学位论文作者签名：为翩前 日期：m p c j 牛 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第1 章绪论 1 1论文的研究意义 可靠性理论是以部件或系统的寿命特征为主要研究对象的一门综合性和 边缘性学科。可靠性数学作为研究可靠性理论必不可少的数学工具，是可靠性 理论最重要的理论基础之一。 可靠性数学理论起源于二十世纪三十年代，最早被研究的领域之一是机器 维修问题【1 1 ，另一个重要的研究工作是将更新论应用于更换问题【2 】，【3 1 。在二十 世纪三十年代，威布尔( w e i b u l l ) 【引、龚贝尔( g u n b e l ) 【5 】和爱泼斯坦( e p s t e i n ) 【6 】等研究了材料的疲劳寿命问题和有关的极值理论。现代技术的不断进步，推 动了可靠性理论的发展，也促使可靠性数学理论日趋完备。 可靠性数学在研究系统寿命以及可靠性数量指标时，为了便于计算往往都 是以独立性为前提的。当系统中存在相依关系时，系统的寿命分布以及可靠性 都将比独立的情形复杂，并且与此相依性有着密切的联系。c o p u l a 是连接联 合分布函数与边缘分布函数的函数，完全包含了随机变量的相关信息，从整体 上对随机变量之间的相依性进行了刻画，文献 7 对c o p u l a 的相关知识做了详 细的介绍，在此基础上对c o p u l a 相关的问题也有较多的研究瞄。引。将c o p u l a 理论引入到可靠性理论中，考虑系统中存在着相依关系，并对系统的可靠性进 行分析有着重要的现实意义。 可修系统是可靠性理论中讨论的一类重要系统，也是可靠性数学的主要研 究对象之一。可修系统分为马尔可夫型可修系统和非马尔可夫型可修系统。马 尔可夫型可修系统的各部件以及修理时间都是服从指数分布的。非马尔可夫型 可修系统讨论的是部件以及修理时间服从的是一般分布的情形，比马尔可夫型 可修系统更具有一般性。为此对非马尔可夫型可修系统的可靠性及相关可靠性 数量指标进行研究也是有必要的。 对于可修系统，许多研究都假设组成系统的部件是修旧如新的。而在实际 情况中，故障的部件在经过修理之后，其性能一般都会有所变差，不再和新的 部件一样。对由“修旧非新”的部件组成的可修系统的可靠性进行研究也具有 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 一定的现实意义。 1 2 研究现状 近年来，已经有部分学者将c o p u l a 方法引入到可靠性理论中来，并对由 相依部件组成的简单不可修系统( 串联，并联，表决系统等) 的可靠性及其相 关的可靠性数量指标进行了研究【1 6 19 1 。但对于可修系统，考虑系统中存在着相 依关系的研究还相对较少。 单部件可修系统是可靠性理论中最基本的模型，在文献 2 0 2 2 】中，讨论了 单部件的非马尔可夫型可修系统的可靠性，并给出了系统的一系列可靠性数量 指标。文献 2 3 2 5 对具有修理延迟的单部件系统的可靠性进行了分析，获得了 系统的可靠度、可用度、故障频率等一系列可靠性数量指标。但这些文献在讨 论时都是假定部件寿命与故障后修理时间是相互独立的。在实际问题中，部件 寿命与修理时间之间存在着一定的相依关系，比如说当部件寿命使用越长，其 故障后修理时间有可能会越长。因此在讨论系统的可靠性时，有必要将部件寿 命与修理时间之间的相依关系考虑进来。 对于由“修旧非新的部件组成的可修系统，y a my e h ( 林垫) 提出利用 几何过程来研究它。作为几何过程的应用，对这类系统的的维修与更换问题已 经有了较多的研究 2 6 - 3 3 】。文献 3 4 3 7 】对这类系统的可靠性指标也展开了一定的 讨论，在这些文献的讨论中，多数是将几何过程和补充变量法相结合得出了系 统的各项可靠性数量指标，而还没有单独基于几何过程去分析系统的可靠性及 其可靠性数量指标的。 串联系统也是可靠性理论中最重要的基本模型之一，在文献 2 0 中，讨论 了n 部件串联的非马尔可夫型可修系统的可靠性，其后对于串联可修系统的研 究也有很岁3 7 。4 1 1 ，但在讨论时，都是假设部件寿命服从指数分布【3 8 】，修理时 间( 或修理延迟时间) 服从一般分布的。当部件寿命与修理时间都服从一般分 布时，这样的非马尔可夫型可修系统更具有普遍性。 1 3 本文所做的工作 本论文属于可靠性数学理论的研究。讨论了三种简单的可修系统的可靠性 及其相关的各项可靠性数量指标。 本文的主要工作是讨论了三种简单的可修系统的可靠性： 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 i 部件寿命与故障后修理时间具有相依关系的单部件的非马尔可夫型可 修系统； i i 部件“修旧非新”且部件寿命与故障后修理时间服从指数分布的单部 件可修系统； i i i 部件寿命和故障后修理时间都服从一般分布的两部件串联的非马尔可 夫型可修系统。 本文的主要结构为： 第一章介绍了论文的研究意义、研究现状和本文所做的工作。 第二章介绍了评定产品可靠性的数量指标、伽玛分布与威布尔分布、拉普 拉斯变换与拉普拉斯一司梯阶变换以及c o p u l a 的相关知识。 第三章基于c o p u l a 函数，讨论了当部件寿命和故障后修理时间之间具有 相依关系时单部件的非马尔可夫型可修系统的可靠性，得出其主要的各项可靠 性数量指标，并在一个特定的c o p u l a 族下计算得出了系统的瞬时可用度的拉 普拉斯变换。 第四章介绍了几何过程，并在此基础上对部件“修旧非新”的单部件可修 系统的可靠性进行了分析。 第五章讨论了当部件寿命和故障后修理时间都服从一般分布时的两部件 串联的非马尔可夫型可修系统的可靠性，得出其主要的可靠性数量指标的表达 式，并分别在部件寿命服从伽玛分布，修理时间服从一般分布的情形下和部件 寿命服从威布尔分布，修理时间服从一般分布的情形下计算了系统相应的可靠 性数量指标。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章预备知识 2 1 评定产品可靠性的数量指标 产品的寿命x 是一个非负随机变量，其分布函数为 f ( t ) = e x t ) ，t 0 ( 2 1 ) 产品在时刻t 的生存概率即可靠度为 月( f ) = 尸 x f ) = l - f ( t ) = ，0 ) ( 2 2 ) 其中f ( t ) = 1 一f ( t ) 是下文要用到的简写记号。 产品的平均寿命为 e x ) = f 脚( f ) ( 2 - 3 ) 对于不可修产品，其主要的可靠性数量指标是可靠度和平均寿命( 记为 m t t f ) 。若x 表示产品的寿命，假定时刻t = 0 它开始工作，则产品的运行时 间的进程如图2 1 所示。由于没有修理的环节，产品一旦失效便永远停留在失 效状态。因此，可靠度公式( 2 2 ) 及平均寿命公式( 2 3 ) 描述了不可修产品 的可靠性特征。 t = o 正常 失效 x x x x x x x x x 图2 1 不可修产品 对于可修产品，产品故障后可以进行修复。此时产品的运行随时间的进程 是正常与故障交替出现的。如图2 2 所示， 图2 。2可修产品 其中置和誓分别表示第f 个周期的正常工作和故障后修理时间，i = 1 ，2 ，。一 般，x ，五，或】；，e ，不一定是同分布的。 描述可修产品的可靠性数量指标主要有 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 1 ) 首次故障前时间分布瞳训 产品首次故障前时间五的分布为 e ( f ) = p x l t ( 2 4 ) 首次故障前平均时间( 记为m t t f f ) 为 m t t f f = e x , = r 螂( f ) ( 2 5 ) 对可修产品，我们也常常用可靠度的概念，它定义为 r ( f ) = 尸 t ) = f l ( t ) ( 2 6 ) 它表示可修产品在【0 ，t 时间内都正常的概率，与前面可靠度的一般定义一致。 如果一个可修产品一旦发生故障将要产生灾难性后果的情形，首次故障前 时间分布及其均值是该产品最重要的可靠性数量指标。 2 ) 可用度2 0 1 对于只有正常和故障两种可能状态的可修产品，可以用一个二值函数来描 述它。对t 0 ，令 、f1 若时刻f 产品正常 叉( ) 2 1 0 若时刻f 产品故障 产品在时刻t 的瞬时可用度定义为 彳( f ) = e x ( t ) = 1 ) ( 2 - 7 ) 即时刻f 产品处于正常状态的概率。瞬时可用度彳( f ) 只涉及时刻t 产品是否正 常，对t 以前产品是否发生过故障并不关心。 在瞬时可用度彳( f ) 的基础上，进一步定义 o ，t 】时间内平均可用度为 厕= 三tf 彳( “) d u ( 2 8 ) 若极限 j = l i m a ( t ) ( 2 9 ) 存在，则称j 为极限平均可用度。而若极限 a = l i m a ( t ) ( 2 1 0 ) 存在，则称其为稳态可用度。显然，若稳态可用度彳存在，则极限平均可用度 必存在，且有a = a 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 可用度是可修产品重要的可靠性指标之一。在工程应用中特别感兴趣的是 稳态可用度。它表示产品经长期运行，大约有么的时间比例处于正常状态。 3 ) ( 0 ，t 】时间内产品故障次数的分布唧。 可修产品随时间的进程是一串正常和故障交替出现的过程。因此，对t 0 ， 产品在( o ，t 】时间内故障次数n ( t ) 是一个取非负整数值的随机变量。产品在 ( o ，t 时间内故障次数的分布为 ( f ) = 尸 ( f ) = 后) ，k = 0 ，1 ，2 ， ( 2 1 1 ) 产品在( 0 ，t 时间内平均故障次数为 m ( f ) = e ( f ) ) = k p k ( t ) ( 2 - 1 2 ) k = l 当m ( t ) 微商存在时，称 r e ( t ) ：a m ( t ) “f 为产品的瞬时故障频度。在工程应用中， m ：l i m 型 f 。t ( 2 1 3 ) 更感兴趣的是产品的稳态故障频度 ( 2 1 4 ) 如果极限存在的话。 m ( f ) 和m 也是重要的可靠性数量指标。例如，在更换问题的研究中，它 告诉我们大约需要准备多少个备件。 对于比较复杂的系统，瞬时可靠性数量指标往往不容易求得。在多数场合， 只能求出其相应的拉普拉斯变换( l a p l a c e 变换，简记为三变换) 或拉普拉斯 一司梯阶变换( l a p l a c e s t i e l t j e s 变换，简记为l s 变换) ，它们一般不容易反演 出来。但是有关平均值或稳态指标相对比较容易得到。 2 2 伽玛分布与威布尔分布 2 2 1 伽玛分布 x e y , 2 2 1 若非负随机变量x 的概率密度为 胁等p m 。，2 o , a o ( 2 - 1 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 其中r ( 口) = x a _ e - x d x ，则称x 服从参数为( 口，旯) 的伽玛分布，简记为 x r ( a ，l ；t ) 。计算可得 e = 等，v a r x = 导 ( 2 1 6 ) r ( 1 ，2 ；t ) 分布就是参数允的指数分布，而由如下定理知r ( n ，2 ；t ) 可以看成是n 个相互独立服从指数分布的随机变量之和的分布。 定理2 2 1 2 们 随机变量五，置，以独立同分布r ( 1 ，旯；f ) ，则随机变量 x = 五+ 五+ + 以遵从r ( n ，k ；t ) 分布，其分布函数为 f ( t ) ：1 _ e - a t 艺掣，灿 i = o ： 证明：见参考 2 0 1 。 2 2 2 威布尔分布 定义2 2 2 2 0 1 若非负随机变量x 的概率密度为 f ( t ) = a a ( a t ) “一1e 一m r ，t 0 ，旯 0 ，口 0 ( 2 1 7 ) 分布函数为 ，o ) = 1 一e - ( 知r ，t 0 ，( 2 1 8 ) 则称x 服从参数为缸，五) 的威布尔分布，记为x w ( a ，k ；t ) 。当口= 1 时， w ( 1 ，2 ；t ) 就是参数为a 的指数分布。 威布尔分布是可靠性中广泛使用的连续型分布，它可以用来描述疲劳失 效，真空管失效和轴承失效等寿命分布。计算可得 2 3 拉普拉斯变换与拉普拉斯一司梯阶变换 2 3 1 定义 定义2 3 1 心1 设f ( f ) 是定义在( o ，叫的实值函数，若积分 ，( s ) = f e 一时f ( t ) d t ( j 为复变数) 存在，则称，o ) f f r df ( t ) 的拉普拉斯变换 + f _ 一十口k t ，l 一2 r ，一力沁，可 = 了 、j j 耻 p ， 矿 酬 隐 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 ( l a p l a c et r a n s f o r m ) ，简称上变换，并记为f + ( s ) = 三 f ( f ) 】。 定义2 3 2 4 2 若积分户( s ) = f p 一对d f ( t ) ( s 为复变数) 存在，则称户( s ) 为 f ( t ) 的拉普拉斯变换司梯阶变换( l a p l a c e s t i e l o e st r a n s f o r m ) ，简称s 变 换，并记为户( s ) = l s f ( t ) 】。 若，u ) 为( o ，叫上某一概率分布函数，则l s f ( t ) 】总是存在的。 2 3 2 关系与性质 ( 1 ) 关系蚴 l s f ( j ) = fe - , t d f ( t ) = e 叫f ( f ) 卜sf e - s t f ( t ) d t = s l f ( 5 ) ( 2 ) 性质4 幻 设f ( t ) 和g ( t ) 均为定义在( 0 ，o o 】的实值函数，其变换和s 变换均存在， a 与b 均为常数。 性质l ：l a f ( t ) ：a l f ( t ) ，l s a f ( t ) 】= a l s f ( t ) 性质2 ：l a f ( t ) + b g ( t ) 】= 以 ，( f ) 】+ 比 g ( f ) 】 l s a f ( t ) + b g ( t ) _ a l s f ( t ) + b l s g ( t ) 】 性质3 ：三【，( f ) ，c 事g ( f ) = 三 f ( f ) m g ( f ) 三s f ( f ) 宰g ( f ) 】：三s 【f ( f ) l s g ( t ) 】 三 f ( f ) 木g ( f ) 】= f ( f ) 】l s g ( t ) 】= s f o ) 】 g o ) 】 其中，( f ) 木木g ( f ) = ff ( 卜石) g ( x ) 出= f ，( x ) g ( 卜x ) d x ，( f ) 木g o ) = f ( t x ) d g ( x ) = g ( t x ) d f ( x ) 称为函数f ( t ) 与g ( t ) 的卷积，后者也称为司梯阶卷积。 2 4c o p uia 的相关知识 可靠性理论在研究系统的可靠性时，往往假定部件之间是相互独立的，但 实际情况中独立性是很难满足的。c o p u l a 函数是连接联合分布函数与一维边 缘分布函数的函数，完全包含了随机变量的相关信息，从整体上对随机变量之 间的相依性进行了刻画。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 定义2 4 1 【7 1 二维c o p u l a 是个定义域为j 2 ( 其中1 = o ，1 】) 的函数c ： ，2 专，且满足下列条件： ( 1 ) 对任意的u ，1 ，i ， c ( u ，0 ) = 0 = c ( o ，1 ，) ，c ( u ，1 ) = “幂口c ( 1 ，v ) = 1 ，； ( 2 ) 对任意的u 1u 2 ，u ，吃1 ，使得u l u 2 ，v l 1 ，2 ，有 c ( u 2 ，v 2 ) 一c ( u l ，1 ：2 ) 一c ( u 2 ，v 1 ) + c ( “1 ，) 0 。 定理2 4 1 ( s k l a r 定理) 7 3 设h 是联合分布函数，它关于随机变量x ，】，的 边缘分布分别为f 和g ，那么对于任意的x ，y 豆，存在一个c o p u l a c 使得： n ( x ，y ) = c ( ，( x ) ，g ( y ) ) ( 2 - 2 0 ) 如果f 和g 连续，那么c 是唯一的；反之，如果c 是c o p u l a ，f ( x ) 和g ( y ) 是 分布函数，那么由( 2 2 0 ) 式定义的日是联合分布函数，而且它的边缘分布函 数为f ( x ) 和g ( y ) 。 当随机变量x 与】，相互独立时，其边缘分布，o ) 和g ( y ) 之间的c o p u l a 称为乘积c o p u l a ，记为r i ( u ，) = 掰y 。 定理2 4 2 【7 】若c 是一个c o p u l a 函数，则对任意v i ，c 关于几乎所有 的“，其偏导数a c o u 存在，且对于这样的v 和“有0 善c ( 铭，v ) 1 。类似地， 对任意u i ，c 关于几乎所有的v ，其偏导数a c 加存在，且对于这样的u 和 v 有o 昙c ( “，v ) l 并且，函数“i - - - - o ，c ( u , v ) 和vho ，。c ( u , v ) 在x e l - j o ，1 】上 是几乎处处非减的。 o c ( u , v ) - h l i m ，。c ( u + a u , v ) - c ( u , v ) ：尸 矿vu ：“) 可知a 缸_ 0 u l， c ( u , v ) t ，o = 0 ( 2 2 1 ) 同理可得 c ( “，1 ，) b = 0 ( 2 - 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 第3 章部件寿命与修理时间具有相依关系的单部件 系统的可靠性 在文献 2 0 】中，讨论了部件寿命与故障后修理时间均服从一般分布的单部 件系统的可靠性，但其假定部件寿命与修理时间是相互独立的。本章基于 c o p u l a 函数，利用更新过程讨论了部件寿命与修理时间具有相依关系的单部 件非马尔可夫型系统的可靠性，得出其相关的各项可靠性数量指标，并在一个 特定的c o p u l a 族下得到了该系统的瞬时可用度的拉普拉斯变换。 3 1 寿命与修理时间具有相依关系的单部件系统的可靠性 3 1 1 模型描述 考虑部件寿命与修理时间具有相依关系的单部件系统： 假设i 系统由一个部件组成，故障后立即进行修理，且修旧如新，修复 后立即转为工作状态； 假设i i 工作寿命x 服从一般连续型分布f ( t ) ，概率密度记为f ( t ) ，且 寺2 上t d f ( t ) ，d 0 ； 假设i i i 修理时间】，服从一般连续型分布g ( t ) ，概率密度记为g ( t ) ，且 二= 【t d g ( t ) ， 0 ； ” 假设x 与】，不满足相互独立，设f ( t ) 与g ( t ) 之间的c o p u l a 为c ( u ，1 ，) ， 即x 与】，的联合分布函数为f ( x ，y ) = c ( f ( x ) ，g ( j ，) ) ，此时x 与】，的联合概率 密度为 弛，y ) = 未即，y ) = 鑫c ( 即) ，g ( 州厶( 工) 力( 班 假设v 每个周期之间是相互独立的。 假定部件在时刻t = 0 进入工作状态，则系统的发展进程是一个工作和修 理交替出现的更新过程。如图3 1 所表示， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 五 写ky 2 墨e 卜一x x x x x x 卜一x x x x x x 卜叫x x x x x x 卜一 t = o t lt 2 t 3 图3 1 其中t it ：都是再生点。令墨和，：分别表示第i 个周期内部件的寿命和修理时 间，i = 1 ，2 ，z ，= 五+ 鬈，则由假设v 知 互，i = 1 ，2 ，) 是一串独立同分布的 随机变量序列，并且构成一个更新过程，其更新寿命分布函数为 q o ) = 尸 z f f ) = 尸 五十z f ) = j jm ，y ) d x d y = f 旷m ，y ) a y d x x + y t 1 - f ( t ) ( 3 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 系统首次故障前平均时i 司为 脚= e x 。) = 了1 ( 二) 系统可用度 对t 0 ，令 x c d = 三萋嚣裂：喜量轰差 则系统的瞬时可用度为 彳( f ) = p x ( o = 1 l 时刻。系统是新的 由全概率公式得 彳( f ) = 尸 五 f ，x ( f ) = l i 时刻。系统是新的 + 尸 五f t ，在时刻t 系统必处于工作状态，自然有x ( f ) = 1 ，因 此第一项即尸 五 t ) ；第二项中，当五f 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 其中彳o ) = f e - a ( t ) d t ，户( s ) = f e - j d f ( t ) ，亘( j ) = f p 一甜d q ( f ) = s o o ) ， ，m o ( j ) = l 、q ( t ) e 叫d t = r “昙叩叫) 万( 埘p 叫巩 = r 。f 昙c ( 雕加( 卜训似矿盯抛 = 几r 昙c ( m ) ，g ( ) ) m 矿出 = 几f 昙叩( n g ( z ( 咖叫酬a z , c x = r f 杀c ( ) ，g ( z ) 小咖叫酬嫩 解得系统的瞬时可用度的三变换为 4 ( s ) ：一1 一1 - f ( s ) ( 3 4 ) s1 一g ( j j 得系统的平均稳态可用度为 匀= 卜l i m ，。1 f 枷 a ( u ) d u = l ，i m 。s a ( s ) ：l i m l - f ( s ) ：l i m ! 堕( 3 5 ) 5 。o 1 一g ( s )+ o o ( s ) ：墨i 垄! ：兰i 茎! ：上 = - - - - - 二- - - 二一= - - - - - - 二- - - ：- - = - 二- - 一 e x + y je x j + e 】， 五十 其中，蛳卜亘( 5 ) 】- 蛳f t e 一盯坦( f ) = f t q ( t ) d t = e x + 】，) 。 若直接解更新方程( 3 3 ) ，可得其解为 彳( f ) ：户( f ) + 砑( f ) 木户( f ) ( 3 6 ) 其中露( f ) = q ( f ) 。利用更新过程的极限定理，可得系统的稳态可用度为 肚l i m 彳( f ) = 姆庸( f ) 木户( f ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 2 南胁，d t = 盎2 煮 7 ， 人 h ( 三) ( o ，t 】时间中系统平均故障次数 假定时刻0 系统是新的，令( ) 表示( 0 ，】时间中系统故障次数，则系统 在( o ，t 时间中平均故障次数m ( t ) = e ( f ) 。由全概率公式得 m ( f ) = e ( f ) ) = e ( f ) i 墨 f ) 尸 墨 f ) + e ( f ) i 五f t l = 0 ；第二项中，在五f x i + x 的条件下，( o ，f 】中系统恰故 障一次， 故e ( f ) l 五f 0 ) ，概率密度 为g ( f ) = t e ，ge r = 一1 ； 假设7 石与】，不满足相互独立，f ( t ) 与g ( f ) 之间的c o p u l a 族为 g ( “，1 ，) = u v + 0 u v ( 1 一“) ( 1 1 ，) ( 0 卜1 ，l 】) 假设v 7 同3 1 1 中假设v 。 3 2 2 系统的瞬时可用度 由( 3 4 ) 式，系统瞬时可用度的变换为 彳( j ) ：一1 一1 - f ( s ) s 1 一q ( s ) 而兀沪r 即) e - d t = r ( 1 _ e - a t 矽尉疵= 喜一熹， 因此可得 户( s ) = s f ( s ) = 1 一_ l ( 3 1 0 ) - f 耐+ g o ( s ) ： 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 由c ：( “，1 ，) = “v + 目“v ( 1 一“) ( 1 一v ) 可得 昙c ：( “，1 ，) = 1 ，+ o r ( 1 2 “) ( 1 一 此时， 去c a f ( x ) ，g ( t - x ) 】= 1 一e 叫0 1 + 0 1 1 一e 叫o 。 ( - l + 2 e 以j ) e 叫“。 o r 而 = l e 一卜。+ oe 一 e 一+ 2 芦。一e 一肛+ 2 e 一五一h 一2 e 一件2 肛一a 。 昙以m ) ，g ( f 叫( x ) = 2 e 一 。1 - g p f j + 秒e - t e - u t + 2 u x _ e - x + 2 e - t a - , ) x 2 e - i z t + 2 1 z x - 2 x ) 所以 q ( f ) = f 昙g f ( n g o 一圳卵( x ) = f 昙c 【f ( n g 一训( x ) 如 ：1 - - e - 2 x + - 五- 7 p - 一- i t l e ( 声一i ”】 p n + 讹一j ! 二兰竺+ 竺【! 二竺：竺+ 【旯一2 一名 ：1 一p n + a ( e - t _ e - z ) l l 九 + 叫 p 一皿一p 一加p 一2 肛一e 一七 + 2 1 1 一e 圳) f 】e 叫 1 一e 2 圳) f 】 l t - 2 2洼- 2 2 ( e 一一e 也m 1 e 一2 肛一e 一2 m 旯一 2 , 一无 一2 2一五 从而有 郎) = r 刚e - n d t 熹+ 南c 寿一击，+ 羔告一熹， + 而0 2t 而1 一鬲1 ，+ 尚2 2c 去一熹2 2s ，一为c 赤一熹2 2 ， + 一i l + 一卜一l 一一l 一一j 2 一九、2 + j兄+ s 7 口一。+ s +7一兄、2 + s + s 7 11名觎 + s旯+ s ( + j ) ( a + j )( + s ) ( 彳+ s ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 觎2 觎2 觎 + ( 2 + j ) ( 五+ s ) ( i t + s ) ( 2 2 + s )( 2 + s ) ( 2 五+ s ) 由o _ l s ) = s q + ( s ) 可得 垭= 熹+ 淼一高 + 觎s2 0 2 s2 0 2 s 一j l r ( 2 i t + j ) ( 名+ s )( i t + s ) ( 2 2 + s )( 2 i t + s ) ( 2 旯+ s ) ( 3 1 1 ) ( 五+ s ) ( + s ) ( 2 i t + s ) ( 2 2 + s ) 将( 3 1 0 ) 式和( 3 1 1 ) 式代入( 3 4 ) 式可得 1 彳0 ) ：一1 一1 - f ( s ) ：挚：一! 坐兰2 1 三丝兰丛三垒兰! ； 、。 sl q ( s ) 1 - q ( s )s ( 2 i t + s ) ( 2 旯+ s ) ( 五+ i t + s ) + o a i t s 2 1 ( i t + s ) ( 2 + j ) ( 2 五+ 5 ) = 一 s ( 2 1 + s ) ( 2 旯+ j ) ( 旯+ + s ) + 0 2 i t s 如果说三元一次方程( 2 i t + j ) ( 2 兄+ s ) ( a + + s ) + 脚s = 0 有三个实根，记为 毛，x 2 ，x 3 ，设么( s ) 满足形式 a 木( 5 ) ：里立+ ! ! + 丝 + 鱼 s ( s + 五) o + x 2 ) ( s + 毛) 则参数，口。，a 2 ，满足四元一次方程组 1 毛+ 而+ 而 五屯+ 恐屯+ 五毛 五而黾 1 屯+ 而 恐恐 0 1 五+ 恐 五屯 o 1 五+ 恐 五而 0 g o 口1 口2 口3 l 2 旯+ 3 i t 2 2 + 6 舡 a 丸0 然后根据拉普拉斯反演公式有 a ( t ) = a o + 口le x p ( 一x l t ) + 口2e x p ( 一x 2 t ) + e x p ( 一x 3 t ) 特别，当0 = 0 时，c 0 ( “，1 ，) = u v 为乘积c o p u l a ，即x 与】，满足相互独立时， 么：旦竺一 一 s ( 2 + + s ) 与文献 2 0 第六章第二节中讨论单部件马尔可夫型可修系统时所得的系统瞬 时可用度的三变换结果相同。 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 第4 章基于几何过程的单部件可修系统的可靠性 在很多可靠性问题的研究中，一般都假设部件是修旧如新的。而在实际问 题中，修理过后的部件往往比新的部件性能要差一些，也就是说部件经过修理 过后已经不再跟新的一样了。对于由“修旧非新”的部件组成的系统，其可靠 性通常利用补充变量法与几何过程相结合去进行分析。 本章仅基于几何过程，对部件寿命和修理时间服从指数分布的单部件可修 系统的可靠性进行分析，并得出其相关的可靠性数量指标。 4 1 几何过程 定义4 1 1e 2 7 1 设x 与l ，是任意两个随机变量，如果对于任意实数口都有 p ( x 口) p ( y 口) 则称z 随机地大于y ，记为x 。y ；或称】，随机地小于x ，记为y 。，x 。 对于随机变量序列 以，l l = 1 ，2 ，) ，如果以“x n + 。，n = 1 ，2 ，则称 以，n = 1 ，2 ，) 是随机递减的；如果鼍甜以+ 。，z = 1 ，2 ，则称 以，n = l ，2 ，) 是随机递增的。 定义4 1 2 e 4 3 】设 x 。，z = 1 ，2 ，) 为一个独立的非负随机变量序列，如果 五的分布函数为f ( a ”1 x ) ，n = 1 ，2 ，其中a 0 是一个常数，则将 咒，n = l ，2 ，) 称为一个几何过程。 由定义4 1 1 ，对于几何过程 咒