（概率论与数理统计专业论文）最小q过程的无穷小算子的刻划.pdf

中文摘要 设给定一个矩阵q ，其元素均有限f e l l e r 解决了q 过程存在 性问题，并且构造了一个最小q 过程，( t j 设q 过程p ( t ) 的l a p l a c e 变换即豫解算子为( a ) ，尸( 所生成的无穷小算子为a 由文献1 2 1 中 5 4 3 可知：p ( ) ，皿( a ) ，a 三者之间一一对应，且有 、i r ( a ) = ( a ，一4 ) 一1 ，a 0 特别地，记最小q 过程，( t ) 的l a p l a c e 变换为圣( a ) ，f ( t ) 所对应的 无穷小算子为万，故有： 西( ) = ( a ，一万) ，a 0 i 的定义域d ( a ) 就是垂( a ) 的值域由豫解方程知蛋( a ) 的值域 圣( a ) ，：f m ) 与a 无关， 文献【1 】中5 l8 详述了( ) 的有关性质和定理，5 1 1 0 中得到了 雪( 砷的一些很好的性质本文利用这些性质和定理，得到了如下结 论： l 对于q 过程皿( a ) 所对应的无穷小算子a 的定义域d ( a ) 有： ( a ，d ( 4 ) ) c ( q ，d ( q ) ) 2 求出了当q 矩阵零流出和单流出时的才主要是刻划了其与a 无关的定义域，结果如下； ( 1 ) 设q 矩阵零流出，即m + = 0 ，则( - a ，d ( _ ) ) = ( q ，d ( q ) ) ( 2 ) 设q 矩阵单流出，即m + = 1 ，了= i ，如，i 3 ，) ce 为其各项互 异的序列，且使，熙冠。( a ) = 1 对某个( 从而一切) a 成立，则 d ( 才) = p ：p d ( q ) ，是恐p 。= o ，i n 了) 3 求出了单边生灭过程和双过生灭过程所对应无穷小算子再的 定义域表达式， 2 ( 1 ) 设q 是单边生灭q 矩阵f 1 1 第5 章l ( i ) 边界点流入或自然( 此时7 t t , + = o ) ，则 ( 以，d ( a ) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) 边界点正则或流出( 此时一i t t + = 1 ) ，则 d ( a ) = 肛：p d ( q ) ) 。卫恐，如= o ) 万肛= q p ，其中肛d ( 万) ( 2 ) 设q 是双边生灭q 矩阵1 1 ，第4 章5 1 】， ( 刁边界点t h r 2 均为流入或自然( 此时m + = o ) ，则 ( 万，dq ( 两) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) 边界点r 流入或自然，r 2 正则或流出( 此时m + ：1 ) ，则 d ( _ ) ： 弘：卢d ( q ) ，。- l - + i r r l + o o 以= o ) ， 却= q u ，其中p d ( 再) ( i i i ) 边界点r t 正则或流出，r 2 流入或自然( 此时m + = 1 ) ，则 d ( _ ) = 肛：弘d ( q ) ， 墨胁= o ) ， 才p = q “，其中芦d ( 页) 关键词 q 过程；最小解；无穷小算子；定义域；预解算子 3 a b s t r a c t g i v e naq m a t r i x ，w h o s ee l e m e n t sa r ef i n i t e f e l l e rh a ss o l v e d t h ep r o b l e ma b o u tt h ee x i s t e n c eo fq p r o c e s sa n dc o n s t r u c t e d o u em i n i m a lq p r o c e s s f ( t ) l e t 皿( a ) d e n o t et h el a p l a c et r a n s f o r f i o fq p r o c e s s p ( t ) ，i e i t sr e s o l v e n t ( ) p e t a t o ra n da d e n o t e st h e i n f i n i t e s i m a lo p e r a t o rg e n e r a t e db yp ( t ) k n o w nf r o mr e f 【2 ，t h e r e a r eo n e o n ec o r r e s p o n d e n c e sa m o n g p ( t ) ，、i r ( a ) a n da ，a sw e l la s 皿( a ) = ( a ，一4 ) 一1 ，a 0 p a r t i c u l a r y ，l e t 圣( a ) d e n o t et h el a p l a c et r a n s f o r m o ft h em i n i m a l qp r o c e s s f ( t ) 】a n d 刁i st h ei n f i n i t e s i m a lo p e r a t o rc o r r e s p o n d - i n gt of ( t ) s o 垂( a ) = ( a i 一才) 一，a 0 t h ed o m a i no f 万i st h er a n g eo f 西( a ) ，w h i c hi si n d e p e n d e n to f ab e c a u s eo ft h er e s o l v e n te p u a t i o n t h ep r o p e r t i e sa n dt h e o r i e so f 皿( 入) a r ed e s c r i b e di ns e c 1 8 o fr e f e r e n c e i 1 m e a n w h i l e ，s o m ep e r f e r tp r o p e r t i e so fe ( a ) a r eo b t a i n e di n8 e c 1 1 0 w i t ht h ea i do ft h e s ep r o p e r t i e sa n dt h e o r i e s ，t h em m nr e s u l t s a r ec a l c u l a t e da sf o l l o w s ： 1 t h ed o m a i nd ( a ) ： ( a ，d ( a ) ) c ( q ，d ( q ) ) 2 d ( 页) a r eg a i n e dw h e n t h eqm a t r i xi n s i n g l ee x i tc a s e t h er e s u l t sa r ed e s c r i b e db y 4 z e r oe x i tc a s ea n di n t h ed o m a i n i n d e p e n d e n to fa ( i ) g i v e nt h eq m a t r i xi nz e r oe x i tc a s e ，i e m + = o ，t h e n ( 才，d ( 才) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) g i v e n t h eqm a t r i xi ns i n g l ee x i t c a s e ，ie m + = 1 ，7 = i l ，i 2 ，i 3 ，) c ei st h es e q u e n c ew h o s ee l e m e n t sa r ed i f f e r e n t f o re a c ho t h e r ，0 骢x i 。( a ) = 1i st r u ef o rs o m ea ，t h u si tm a k e s a l lat r u e ，w eh a v e d ( 万) = 肛：卢d ( q ) ，县恐肛“= o ，i 。了) 3 e x p r e s s i o na b o u tt h ed o m a i no fa ，w h i c hi sc o r r e s p o n d i n g t ot h es i n g l eb o u n d a r yb i r t ha n dd e a t hp r o c e s sa n dt h ed o u b l e b o u n d a r yb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ， ( 1 ) l e tq b et h es i n g l eb o u n d a r yb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s s e e 8 e c 5 1o fr e f e r e n c e 1 ， ( i ) g i v e nb o u n d a r yp o i n t e n t r a n c eo rn a t u r a l ，i nt h i sc a s e ，m + = 0 t h e n ( 才，d ( 才) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) g i v e nb o u n d a r yp o i n t 1 t h e n r e g u l a ro re x i t ，i nt h i sc a s e ，m + = d ( 及) = 弘：p d ( q ) ，i + l i m + 。# i = o ) 才肛= q 肛，w h e r e # d ( 才) ( 2 ) l e tq b et h ed o u b l e b o u n d a r y b i r t ha n dd e a t hp r o c e s s s e e s e c4 1o fr e f e r e n c e i ( i ) o i v e nr h t 2b o t ht h ee n t r a n c e o rn a t u r a lb o u n d a r y p o i n t ，i n t h i sc a s e ，m + = 0 t h e n ， ( 万，d ( 再) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) r li st h e e n t r a n c eo rn a t u r a l b o u n d a r yp o i n t ，r 2 i st h er e g u l a r o re x i tb o u n d a r yp o i n t ，i nt h i sc a s e ，m + = 1 t h e n ， d ( 万) = p ：p d ( q ) ，i + l i + m 。p i2 o ) 才p = q 肛，w h e r e # d ( a ) ( i i i ) r 2 i st h ee n t r a n c eo rn a t u r a lb o u n d a r yp o i n t ，r li st h er e g u l a ro re x i tb o u n d a r yp o i n t ，i nt h i sc a s e ，m + = 1 t h e n ， d ( a ) = p ：p d ( q ) ，1 i mm = o ) 页p = q 肛，w h e r e # d ( a ) k e yw o r d s ：qp r o c e s s ；t h em i n i m a ls o l u t i o n ；i n f i n i t e s i m a l o p e r a t o r ；t h ed o m a i n ；r e s o l v e n to p e r a t o r 6 引言 设e 是可列指标集，赋以离散拓扑，并用o 。仁e 单点紧化e 而 得- e = e u 。) ，称e 为状态空1 7 给定矩阵q = ( q 。z ，j e ) 满足下 列条件： 0 q i j 0 ( 1 2 ) 由上面的分析可知：已知q 过程尸( ) 可决定a ，皿( a ) 而对于 给定条件( 1 1 ) 的q ，如何求出户( t ) ，或皿( 砷，或a 的闸题，实际上是 可列马尔可夫过程的一个核心问题：即q 过程的构造问题文献1 对此课题作了深入研究其结果是以q 过程p ( t ) 所对应的豫解算子 ( a ) 表述的这种表述较为方便由屯( a ) 的l a p l a c e 反变换可决定 p ( t ) ，然而自然要问：对于m n ) ，a 怎样刻划呢? 本文对此问题作了 一些基本工作 首先，对于一般的q 过程田( a ) ，得到了( a ，d ) ) c ( q ，d ( q ) 其次，利用文献【1 中所得到的一些圣( a ) 的性质以及圣( a ) 与其所 对应无穷小算子才的关系式： 西( a ) = ( a ，一万) 一1 ，a 0 ( 1 3 ) 7 得到了对于给定条件( 11 ) 的q ，当q 单流出和零流出时的疆，主要是 刻划出了其与a 无关的定义域d ( 万) 对于特殊的q 过程而言，本文例举了当q 是单边生灭q 矩阵时， 边界点流入或自然和边界点正则或流出时的d ( 万) ；以及当q 是双边 生灭q 矩阵时，分别得到了两个边界点均为流入或自然和一个边界 点流入或自然另一个边界点正则或流出时的d ( 万) 8 2 记号和背景 设( 妒，嚣) 为可测空间，q = 叩：t r + 是定义在概率空间( n ，p ) 上的马氏过程，其转移概率为p ( s ，t ；x ，a ) ，( 5 茎t ，z 垆，a 口) 若p ( s ，t ；x ，a ) = p ( o ，t s ；z ，a ) ( 。妒，a b ) ，则称町为齐次马氏过 程，并将p ( o ，t s ；z ，a ) 记为p ( t s ，z ，a ) 令口( 妒) = ，：，是妒上的有界可测实值函数) ，在口( 妒) 上定义模 川= s u p i ，( z ) j( ，b ( 妒) ) z ec p 特别地，对于引言中的状态空间e ，记m 为e 上的有界列矢量全 体，对f m ，则有相应的范数l l 州= s u pi 五i 且每个分量均是实数 l e e 1 的列矢量1 m 定义2 1 b ( 妒) b ( 妒) 的算子e e ，t ，( 嚣) = p ( s l t ；z ，d y ) f ( y ) 对于齐次马氏过程，它对应的算子族 正，矗满足 冗，t m ) 2 p ( s , t ；2 ，d y ) s ( y ) 2 p ( o ，t s 离嘞m ) = 孔卜s m ) 我们将疋j = t o 卜。记为正。于是 丑；t o ) 是一个b ( 纠_ b ( 妒) 的 压缩正算予半群 定义2 2 设厶b ( 妒) ，b ( 妒) ，如果| 】r ，一川_ 0 ，就说，n 强收 敛于，并记成 s 。l i + m 。3 n 2 定义2 3 令b 。( 妒) = ，：，b ( 曲；s l 。i r a 。f t = ，) ，称b 0 ( 妒) 为 五；t 0 ) 的强连续中心 定义2 4 令口( a ) = ，e 日( 妒) ；存在3 躲鼍= 9 b 0 ( 妒) ) 简记9l i l 7 置牛= 9 为 卜 d 十 。 a f = 9 ， 蠹 称a 为半群 噩：t20 ) 的无穷小算子，d ( a ) 为a 的定义域a 是线 性算子，但未必有界 定义2 5 对每a 0 ， r ，：f 址噩，d t ( ，( 妒) ) va o 。e - -b00 称m 为豫解算子，并且 忙：。i i 正f l l e x e d t z 。i t f l l 0e 州把掣j 0 j 即风有界 定理2 1由正所生成的无穷小算子a 和豫解算子r 。有如下关 系式： r = ( a j a ) ( 2 1 ) 定义2 5对于满足( t 1 ) 的q 所决定的过程p ( t ) ，令 皿( a ) = 上。e m r j ( t ) d t ， q o ，i ，j e ) 称皿( a ) ( a 0 ) 为过程p ( t ) 的豫解算子 引理2 1由p ( t ) 所生成的无穷小算子且和豫解算子雪q ) 有如下 关系式： 皿( a ) = ( a j j 4 ) 一1( 2 2 ) 从而可知a 的定义域d ( a ) 就是霍( a ) 的值域 皿( ) ，：，m ) 故有 d ( a ) = m ( a ) ，：，m ) ， 其中【m d ) ， t = 皿“( 入) 办， j 以下是关于皿( a ) 的三个命题： 命题2 1母( a ) 是q 过程，当且仅当( i ) ( i i ) ( i i i ) 成立 ( i ) 范条件：m 4 ( a ) 0 ，a 皿玎( a ) s1 ； ， 1 0 ( i i ) 预解条件 ( i i i ) q 条件 其中 命题2 2 m ( ) 是b 型( 即满足向后方程组f t ) = q p ( ) ) q 过程 当且仅当( - ) ( i ) ( i v ) 成立 ( i v )( a ，一q ) 田( a ) = ， 其中矩阵，= ( 翰：i ，j e ) 命题2 ，3( a ) 是f 型( 即满足向前方程组p 7 ( z ) = p ( t ) q ) q 过 程，当且仅当( i ) ( i i ) ( v ) 成立 ( v )皿( a ) ( ，q ) = ， f e l l e r 证明了：q 过程总是存在的并且构造了一个最小q 过程， 它既是b 型的，也是f 型的 记最小q 过程为圣( a ) ，则有： 命题24圣( a ) 满足b 条件： ( a i q ) 中( a ) = i 同时也满足f 条件； 圣( a ) ( a ，一q ) = 命题2 5 设最小q 过程圣( ) 所对应的无穷小算子为疆，其定义 域为d ( 万) 则有： d ( 五) = 垂，：f m ) 记方程组 l ( a j q ) 扎f 2 4 ) 1 0s m 、 肛 坤 少 = m j | 。 一曲 ， ， n 一 0 +，1 脚文 = 叭地 一u 。i 3 2o o a 解的全体为m j 解空间朋j 的维数与a 无关，记为m + 当m + = 0 时，即m j 只含零元时，称q 为零流出的；当m t = 1 时，称q 为单 流出的 定义算子( q ，d ( q ) ) ，其中d ( q ) = 肛：p m ，q “m ) ，而( q 肛) = e q i j t t j j 记d 。= q 。一q 称d = d 。： e ) 为q 的非保守列矢量 记= f n e ，d 。 o ，称1 t 为非保守状态集 1 2 3 一些引理和命题 命题3 1 丑( a ) 有如下性质：对任意i ，e ，a 、p 0 有 中( a ) 0 ， ( a ) 1 l ； ( a ) 一( p ) 十( a 一肛) m ( ) 皿( p ) = 0 ( 31 ) ( 32 ) 记矩阵a o 。a ) 三+ ( “一 ) 西( a ) ，a ， 0 定义3 1称 f ( a ) ，a 0 ) 为列协调族，如果。墨( a ) m 且 命题3 2对于最小q 过程垂( a ) = 圣巧( a ) ) ，j 目：a o ) 有 a 垂 j ( = 1 圣，。( a ) d 。一叉。( ) ( 3 4 ) j a e h 其中h 为非保守状态集，d = 如：n e ) 为q 的非保守列矢量 叉( a ) 是方程组 f ( a ，一q ) p = 0 ， 【0 曼p 曼1 的最大解因( 3 4 ) 左方为正，故x ( a ) 0 叉( a ) = x ( 卢) + ( p a ) 垂( a ) x ( “) ( 3 6 ) 命题3 4 设叉( a ) 0 ，则 且对任意，m s u p 叉；( a ) = 1 1 3 ( 3 , 7 ) ( 3 8 ) 定必3 2对于状态空间e ，q = 口巧 具有下列形状 称q 为单边生灭过程 对于( 3 9 ) 的q ，称 为自然尺度 q o = 0 ，如果ii jl 1 q i i + 1 = b ， 0 ，i e ， q i = 一q i i = a i + b i i e 口一1 = a i ，i 0 ， “o 0 缅= 击，如果o o 0 z o = 0 ，如果咖= 0 ， z l 。z o + 赤， z n = 如+ 石1 + 。+ 嚣皆潜，( 礼= 2 ，3 ，) 称 z 3 县黯 为边界点；称 “。：l ，钍。：堂堕! 立，n 1 a l a 2 a n - 1 a n 为标准测度 通过自然尺度和标准测度可以将边界点z 分类说边界点z 为 正则如果z ， 流出 如果z 非正则，e ( z 一盈) 啦o，(310、 q i = - q i i = a i + b i 7 q 卜l = “2 1 4 称q 为双边生灭过程 对于( 31 0 ) 的q ，称 f 如= 一b o ( 1 + i b j - i + 兰 芝专+ + 叁 缫) ，如果i 1 为自然尺度，称 r l = 。譬坚匕t 2 二= 。旦罕匕施 为边界点称 u 。= 去告然，如果i 1 为标准测度 通过自然尺度和标准测度可以将边界点分类称边界点7 2 为 正则如果r 。有穷，札：有穷； 流出如果r 。非正则，但r 。有穷，( r 2 一) u 。有穷； 流入如果r ：非正则，但g i u 。有穷； 自然其他情形 对于r 。可类似地进行分类 4 主要定理 定理4 1设q 过程中( a ) 满足向后方程组，则 ( a ，d ( a ) ) c ( q ，d ( q ) ) 证( i )往证d ( a ) cd 【? ) 设弘口( 4 ) ，即存在，m ，使得= 事( a ) ，往证p = 母( ) ，口( q ) 因，m ，故存在常数c ，使对任意，有i f j l 曼c 又因命题2 l 中 的( i ) 有皿。( a ) ，故有 j 厂1 f 皿( a ) ， 。1 = i 皿。( a ) 矗1s ”( a ) g 专 ( 4 1 ) jj 即p ：毋( a ) ，m 又因屯( a ) 满足向后方程组，由命题2 2 中的( i v ) 故有 【( a 卜一q ) 皿( 矧，= 玎= f ， 匹1 ( 2 , ) 1 1 s j l = 蚓( l 田柳( a ) ) = l 疗i ( q 皿 ( a ) + 2 m ( 入) ) = 厶l 协皿d ( ) 一6 ”+ 2 m 霍z j ( 入) 】 ( a + 2 舔) 母妇( 土) 办 0 无关的序列了= i 。，i 2 ，i 3 ，) c e ，且了中各项互异，使对于任意a 有： 0 骢x ：。( a ) = l ，担f 圣( a ) 几。= o ，em ( 4 8 ) 证因m + 0 ，依文献【l 】1 中第3 7 页引理7 有，对一切a 0 有 s u p x i ( a ) = 1 且由命题32 知：x ( a ) 0 x ，( a ) = 7 v i ( # ) + ( 一a ) f 中( a ) x ( 卢) ) ：( 41 0 ) 1 8 因0 x ( 肛) s1 ，则有 0 圣( a ) x ( 弘) j ；。s 圣( a ) 1 h ，( 41 1 ) 故由( 4 1 1 ) 式有 县恐【中( a ) x ( 肛) k = 0 ， 故在( 41 0 ) 式中取i = i 。并令n - 。可得： 1 2 县恶x t 。( a ) = 。l 。i m 。x i 。( 牡) 正象由( 4 9 ) 可推出( 48 ) 的第2 式成立一样从而用p 代替a 后 的( 49 ) 同样可推出周p 代替a 后的( 4 8 ) 中第2 式立 引理4 2 设m + = i ，对于引理41 中的序列7 ，方程组 l( a i q ) = 0 ， 0 骢地。0 ，i n ， ( 4 1 2 ) 【 m 只有零解 证 设v 为方程组( 4 1 2 ) 的解因m + = 1 ，故存在g ( a ) ，使得 1 1 = c ( a ) 叉( a ) ，由引理4 1 有 0 = ，魄址。= g 舰x h ( a ) = g ( a ) ，i 。了， 故三0 定理4 3 设m + = l ，了= i l ，i ：，i 3 ，) ce 为其各项互异的序列， 且使撬x ：。( a ) = 1 对某个( 从而一切) a 成立则 d ( a ) = p ：肛d ( q ) ，是恐m 。= o ，i n 了) 证( i ) 记上式右方的集合为往证d ( _ ) c a 设给定，上d ( 页) ，故存在厂m 使1 l = 中( a ) ，由定理4 上的推论必 有p d ( q ) 又依引理41 ，有 故 ( i i ) 往证cd ( 万) 设给定p 令，0 三( ，一q ) u 因p d ( q ) ，故，0 m 又圣( a ) 满 足向后方程组，由( 4 4 ) 式有 ( a 一q ) 壬( a ) ，0 _ y o ，( 4 1 3 ) 由( 4 8 ) 中第2 武，( 41 3 ) 及虫( ) ，0 m 对于序列7 = * l ，z 2 ，i ) ce ， 方程组 l( a ，一q ) = ，0 ， 撬址。= o ， ( 4 1 4 ) l m ， 显然有解垂( a ) ，0 ， 现证方程组( 41 4 ) 解的唯一设( “，v ( 2 ) 为方程组( 4 1 4 ) 的解显 然有： l ( a ，一q ) ( ( 1 ) 一p ( 2 ) ) ：0 ， 一l i r a 。( v 1 甥) = o ，k 了 ( 4 1 5 ) l( 1 ) 一p ( 2 m 又m + = 1 ，故由引理4 2 ，方程组( 41 5 ) 只有零解故必有( 1 ) 三( ” 从而= 圣( a ) ，o 为方程组( 4 1 4 ) 的唯一解又给定的“显然是方程组 ( 4 1 4 ) 的解，故有p = 垂( ) ，印p d ( 万) 综合( i ) ( i i ) ，定理得证 5 定理的应用 定理5 1 设q 是单边生灭q 矩阵( 定义32 ) ， ( i ) 边界点z 流入或自然( 此时m + = o ) ，则 ( a ，d ( a ) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) 边界点z 正则或流出( 此时m + = 1 ) ，则 _ d ( 页) = p ：p d ( q ) ，l i m 胁= o ) ， w a “= q _ “，弘d ( a ) 证( i ) 显然 ( i i ) 依 1 ，第5 章5 5 】，叉。( a ) = u ；( a ) 加( z ，a ) ，i e = 0 ，1 ，2 ， 是i 的 严格增加函数故s u p x 。( a ) = 1 等价于l i 艘叉。( a ) = 1 于是我们可取 7 = f o ，i ，2 ，) 并应用定理43 得本定理 定理5 2 设q 是双边生灭q 矩阵( 定义33 ) ， f i ) 边界点，、。均为流入或自然( 此时m + = o ) ，则 ( a ，_ d ( a ) ) = ( q ，d ( q ) ) ( i i ) 边界点r 。流入或自然，r ：正则或流出( 此时m + = 1 ) 则