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颇卜论文 用于t v 圈像复原的连续方法 摘要 这篇论文介绍了图像处理中的发展比较早、应用范围比较广的一类熏要的处 理技术：图像复原，或者称图像濑构，或者称图像恢艇，同时简要概述了嫩优化 方法的一些基本内容。重点讲述了弼总变分模型处理黧像复原| 1 嗣题，熊决以总变 分模鍪为萎秣瓣霾豫复蠹目霆，承霹渡看佟一耱佬识麓鞭，蘩是簿与戮瓣豫静葸 变分为基石出的泛函相对应的菲线健椭圆型e u l e r - l a g r a n g e 方程解e u l e r - l a g r a n g e 方程的方法有许多种，在这篇论文中我们简要介绍了几种，但是重点讲述了古典 的牛顿方法和连续方法的结合来处理方程 关键诿： 黼德复纛，总变分缓警，e u l e r - l a g r a n g e 方程，鬟往纯方法， 牛顿方法，连续方法，离散化 硬j 。论文擐予w 餮像复纛豹连续方法 a b s t r a c t t h e p a p e rp r e s e n t s ac l a s so fi m p o r t a n t p r o c e s s i n gt e c h n o l o g y o f i m a g e p r o c e s s i n g ：i m a g er e s t o r a t i o n ，o ri m a g er e c o n s t r u c t i o n ，o ri m a g er e c o v e r y , w h i c hi s v e r ye a r l y i n d e v e l o p m e n ta n dv e r y w i d ei n a p p l i c a t i o n 。a tt h e s a m et i m e ，i t s u m m a r i z e sb r i e f l ys o m ep r i m a le o n t e r i ta b o u to p t i m i z a t i o nm e t h o d ，t h ep a p e r e m p h a s i z e s 静t e l l o ft h e p r o b l e m a b o u t u s i n g t vm o d e lt od e a lw i t h i m a g e p r o c e s s i n g s o l v et v - b a s e di m a g e r e s t o r a t i o np r o b l e ma l s oc a nb el o o k e du p o na n o p t i m i z a t i o np r o b l e m ，n a m e l y , t o s o l v e c o r r e s p o n d i n ge u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n t h e r ea r em a n yw a y st os o l v en o n l i n e a re l l i p t i ce u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n ，a n dw e e m p h a s i z e t ot e l lo f c o m b i n i n gc l a s s i c a ln e w t o n m e t h o da n dc o n t i n u a t i o nm e t h o dt o d e a tw i t h e q u a t i o n k e y w o r d s ：i m a g e r e s t o r a t i o n ，t o t a lv a r i a t i o nm o d e l ，e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n ， o p t i m i z a t i o nm e t h o d ，n e w t o n m e t h o d ，c o n t i n u a t i o nm e t h o d ， d i s c r e t i z a t i o n 2 硕士论文 用于t v 图像复原的连续方法 第一章引言 1 。1 图像嶷原技术的概念及分类 图像是人们髑各耱理铡系统强不麓缮式器手段巍测害麓登器嚣获爨豹、虿爨盏 接或间接俸掰予人眼并迸两产童税觉、知觉的实体。也可以说，图像最对客观对象 的一种相似性的、生动性的描述或写真，或者说图像是对客观对象的一种表示，它 包含了有关被描述对象的信息，它是人们最主要的债息源自然界的图像都是连续 的模拟图像图像处理就是对图像信息进行加工处瑕，以满足人的视觉心理和实际 应爰兹要求匏技术，龟可敬说怒按爨特定( 或颈翳) 豹鏊蠡，羁一系裂敬姆定蕊操 作来“改造”謦像的援术人类绝大部分要逶过程黉获鼗鹜像信息，霹诧，黼像爱理技 术的广泛研究和应用是必然的热势 在图像处理的研究中有一大炎重要的、也是图像处理中比较古老的处理技术： 图像复原( 或图像恢复( i m a g er e s t o r a t i o n ) ，或图像重构( i m a g er e c o n s t r u c t i o n ) ) ，它对许 多应臻来说识是个颈处理步骤。在景物残像的避穗孛，受多秘嚣素的影响，强缘 质量都会蠢繇下降，这静露缘艨麓下降戆过程称为黧像鲍遥纯蚕像後笺澍是试鹜 利用图像退化现象的某种先验知识，分析退忧原因，了解图像变质的枫瑷，在此基 础上建立退化现象的数学模型( 退化模型) ，再根据模型利用各种反退化处理方法进 行反向的推演运算，使图像质擞得到改菩，以最大的保真度恢复成原来真实的景物 图像，因此，塑像恢复可以理鲻为图像降覆过程的茨过程，建立图像恢复酌反过程 懿鼗学接受，藏是銎露壤复数主要经务，经遥爱囊过程熬数学模壅酶逡簿，要戆菝 复全真的景物图像是件很困赡的攀情所以，图像恢复本身往往需要有个质量标 准，即衡嫩接近全真景物图像的程度，或者说，对朦图像的估计是否达到最佳的程 度，这些标准包括最小均方误黢准则、加权均方准则、最大熵准则等，由于图像恢 复过程的特殊性，描述图像退化的过程所建立的数学模型往往多种多榉，丽恢复豹 矮量标毽墩缓短存在差买毪，瑟戮霹隧较撂不阉酶邋纯模型，不弱豹溪爨浮徐标准， 导出多静的恢复方法， 对图像恢复技术可有多种分类方法，在给定模型的条件下，图像恢簸技术可分 为无约束和脊约束两大类；根据是否需要外来干预，图像恢复技术又可分为自动和 交互两大炎；另外根据处理所在域，图像恢复技术还可分为频域和窆城两大类许 多鹭豫浚复技零戆动颇壤疑理熬凝念，毽越来越多瓣空域楚理技术毪褥到 了广泛的斑餍。 在数字图像处理中，已经存在的图像复原技术旃： j 坠盟釜鉴一 旦王! 鬯堡堡堕塑垡堡童生 线滢复蒹援零：( 1 反塞滤演嚣法( 瘸子蒋夔衷还嚣) ， ( 2 ) 最小二桑类约束还原( 包括维纳滤波和约束最小平方滤波) 非线性约束避原技术：( 1 ) 最大腐验恢复， ( 2 ) 最大熵恢复( 最大熵恢复方法般比较理想，假计算量太 大) ， 瑟) 投影笈滚方法， ( 4 ) m o n t ec a r l o 复原方法 关于这些方法对图像处理的具体威用，可以参看后丽参考文献中的 1 9 】、【2 0 、【2 1 、 2 2 、 2 3 、【2 4 1 等 嚏。2 图像的退 乏模型 图像复照的般过程是：分析退化原因甘建立退化模型。反向摊演_ 恢复图 像下面就用这个一般过程来分析和研究图像复原技术在图像复原的研究中所利 用的数学模溅难般的线眭位移不变系统的图像退化模型； z 瓴力= 掣帮) 囊，力口擘，力( i 2 。i 其中z ( x ，y ) 表示被观察图像( 躐数据) 的强度函数，u ( x ，_ y ) 表示被复原的理想的 未失真的原始图像，n ( x ，y ) 表示数据中的误差或嗓声，般是g a u s s i a n 加性白噪 声( a d d i t i v ew h i t en o i s e ) ，a 是光潜模糊( 降晰) 算予，它必须满足下霭鹘凡个条 牛： ( 1 ) ：扩( 国三z ( 固是个线往连续算子，蟊l t m c n 2 ，n p = l ，著且 如果n = 1 ，则p = 2 ； ( 2 ) 4 z n # 0 ； ( 3 ) 蠢必须建莩骞于， 算子a 特剐敬卷积类型懿f r e d h o l m 第一类积分冀予 ( 爿“) ( y ) 2 爿。一掌，y 一叮) “( 孝，叩矽弘圩， 在此式中，始是有界光滑( 戏分段光滑) 的开区域，核a ( x 一善，y r ) 是点扩展函 数( p o i n ts p r e a df u n c t i o n ( p s f ) ) ，满足名( 习0 ，当翻哼露，蠢扛) 0 浚速，蒡显 f ，爿( x 进= 1 般地，核a 鼹热核( h e a tk e r n e l ) 或魁一个函数，此函数除了满足上 2 硕上论文 用于t v 图像复原的述续方法 瑟戆条静羚述瀵是：蠢( x ) = a ( 1 x 1 ) ，翔莱吲l ，裂蠢刺) = 0 ，a c ”( 霆”) 在离散的情况，对此降晰函数的辨识，可利用下面的先验知识： ( 1 ) a ( m ，n ) 是确定性的和非负的； ( 2 ) a ( m ，丹) 有有跟支持域； ( 3 ) 降磺过程不掇失图缳豹能量，遂意昧着a ( m ，n ) = l 。 因此，图像复原的目的就是在假设具备有关z ( x ，y ) 、a ( x ，y ) 和n ( x ，y ) 的菜些知识的 情况下，利用瀚像退化模型，寻求储计原图像u ( x ，y ) 的菜些适当的方法，得到u ( x ，y ) 懿一个最德逶邋。 1 3t v 方法的引入 从具有嘹声的模糊数据中恢复一幅图像的问题撼零上是解一个f r e d h o l m 第一 类积努方程 蔟棱是竞澹豹显 # 运纯豹) 匏润题，稳楚这令霹遂是不遥定戆，霆为 数据小蘸摅劲就弓l 起了解的大躺变化，著显方程离淑佑螽所得蜀翁离散方程缰也是 相当病态的。邋过1 2 节的模烈煎构“不是一项容易的工作，因为我们对噪声h 的知 识知道的比较少我们仅仅知道一些统计知识，如它的均值和它的方麓当然，由 于”是一个随机变量，利用概率知识解释方程( 1 2 ，1 ) 怒种自然的方法但提出这 嚣一令理论并不是我饲豹嚣兹。萱羹在吸稷覆设拧是g a u s s i a n 叁噪声，著嚣壤豢最大蘧 然原理，我们通过解最小二乘( l e a s t - s q u a r e ) i n 题 i n ff i g 一爿“1 2 d x ，n 是图像的区域 ( 1 3 1 ) ”五 可以找到b t 的个逼近，我们嚣时假设z 和“是r “的离散变量，r 是一个m m 的 矩簿，劳虽| + l 代表欧忍霎德蓬数翅栗( 1 3 ，1 ) 存在一个缓，l 、整点“，那么它一定滚足 下面的方程： a + z a a u “0 ，( 1 3 2 ) 其中a + 是a 黝彳串麓算予勰( 1 3 2 ) 一般是一个不适定润题，因为a a 不怒直都一 对- - ( o n e t o o n e ) 静，并豆尽管a a 楚一对一的，它戆特征值可矩是小静，这会 引起数值的不稳定性所以，熬本思想是对问题( 1 3 1 ) 进行正则化，就魑考虑具有 硕士论文 用于t v 图像复原的连接方法 难一瓣懿辖关滔题， 克服不适定的极小化问题的个古典方法是对能燃添加一个正贝4 化项这种思想 是在1 9 7 7 年瞄| t i k h o n o v 和a r s e n i n 引入的即是考虑下面的极小化问题： f ( “) = - - a “j 2 d x + 2 j v “l 2 d x ( 1 3 3 ) nn f “) 串约繁一矮凄量了与数摄豹羧枣羹程度，第二矮燕党游臻获句话说，我 l 、】寻技 与数据拟和最好的“，使得它的梯度是低的( 即噪声被去除) ( 1 3 3 ) 中的参数五是f 的加权常数在这个问题的研究过程中，两项都有定义的泛函空间是 w 。2 ( q ) 一 w l 2 ( q ) ；v w 三2 ( n ) 2 在对蠢豹合溅骰设下，闻题 i n f f ( u ) ，稚酽。2 ( q ) 具有唯一的解群，并且这个解可以由具有n e u m a n n 沈界条件 丽0 u = 0 o n 施( n 是8 f 2 的外法向) 豹e u l e r - l a g r a n g e 方程 a + a u a + z 一2 a u = 0 ( 1 3 。4 ) 来刻画方獠( 1 3 4 ) 的解是我们原先复原问题的一个好的选择2 7 答案是否定的，原 因是方程( 1 3 4 ) 中的l a p l a c i a n 辣予具有很强的各向同性的( i s o t r o p i c ) 光滑性质并且 不保持图像的边缘，当“具有不逡续点或尖锐梯度的时候，利用这个泛嫡褥到的重 构其有g i b b s 魏蒙，郅不连续点被毙滢葬或者其有骰缀蕊等徐貔说，送令超毙瀑 性可以遥过溉察能量( 1 - 3 3 ) 来解释。梯度的妒( p = 2 ) 藏数允许我们去除噪声，但太 多的惩罚了与边缘相关的梯度为了尽可能的保持图像的边缘，我们应该降低p 沿 着这个方向的第一个工作是由r u d i n ，o s h e r 和f a t e m i 徽的，他们提出利用方程( 1 。3 4 ) 孛“兹繇凄弱蔻鼗，也称为涵数浆恿交分，亲我蘩影蕊数。遮撵裁昌致了鎏露处 理中t v ( t o t a lv a r i a t i o 方法的发展 其实，t v 方法也是非线性圈像重构技术中的一种方法，它并不要求所求的解 是连续的而仪仅要求解是有界变藏( b o u n d e dv a r i a t i o n ) 的因此，我们进行图像处理 所考虑的函数窑闻一般是b v 函数空间，因为此空间麴涵数具有有界变藏( 或稼为全 交差。毒诲多落馋，不餐是在数壤疆究方蟊还是在瑷论分援方垂，豢擦述了墨像u 是“块状的”( “b l o c k y ”，e p 几乎分段连续的) 情况下，1 、v 方法用于图像笈搛的优越 r 眭 硕士论文 用于t v 翻缘复原的连续方泣 1 4 本文麓奎要工 乍 第二章的内容主要包括最优化方法的概述，函数的总变分的定义，山( “) 和 ，p ( “) 的等价性以及厶趣) 的性质，对图像进行复原处怒所剩胡的两种等份豹总变分 稷毒凭楱鍪，馥模鳖懿戆瓣存在穗秘难一往懿理论谴臻。第三章静蠢容主黉雹捂解 决此模型的已缝存在的数值方法以及存在的不足，还介绍了自己的处理辫法、数值 结果的分析以敷所要注意的事项 坠望鱼兰一 旦兰! 望堡墨堕塑臻鎏奎婆 第二章数学预备知识 在图像处理中j 用于图像簸原的总变分模型实际上就是一种最优化问题，本章 概述了最优化方法，并从理论方灏介绍了用于图像复殿的总变分模型的合理蛙，甑 及垂乏模型载躲瓣存在注窝难一缝。 2 1 最优化方法的概述 最优化闯题的数学模型一般形式为 其中x = ( x l ，k ) 7 r ”，f ：r ”呻r 1 ，c ，：r “斗尺( 江1 , 2 ，) x 称为优化变量 或者决策交爨，苁z ) 称为层栝函数，t 0 ) 称为约束灏数毫= 0 ( i 一1 , 2 ，挪，) 称 为等式稳寒t e ，( 砖o ( i = m + l ，哟称为不等式终寒。麓记集合 d = 仁k ( x ) 。o ，i = 1 , 2 ，m ，q ( x ) 泌o ，i = m + 1 ，州，* r ” ，则模型( 2 1 1 ) 又可写为 r a 。i n ，( z ) ，称d 为约束集合、约策区域或可行域，棼x d ，则称x 为可行点或可行 褥羞接登( 2 1 。1 ) 中不含约束条彳譬，帮d = r ”，拣模溅( 2 ，l ，1 ) 为无魏寨竣後纯阏踅， 简记为m i n f ( x ) ，x r ”。无约束问题是在空间r ”上蹲求使目标函数达到极小或最小 的点x 糟模型( 2 1 1 ) 中含有约泶条件，则称模型( 2 。1 1 ) 为约束最优化问题，约束问 题是在约束集d 上【换句话说，也藏是在约慕条雩 t ( x ) = o ( i = 1 , 2 ，m x t ( x ) o ( i = m + l ，哟静隈镧下】寻交往嚣标酶数达餮极小 或最小的点x 。对约束问题而言，若模型( 2 1 1 ) 中只含有等式约束，无不蹲式约束， 则称模型( 2 i 1 ) 为等式约束问题；潜模型( 2 1 1 ) e e 无铃式约束，只含有不等式约束， 髓称模型( 2 。1 1 ) 为不等式约衷闽题；若模型( 2 。1 ，1 ) 酝食等式绞束，又含不等式约袁， 建称模型露。1 ，1 ) 为混合型约紊阗越若模型0 1 1 ) 中艴嚣标函鼗f ( x ) 秘约菜函数 c ，( x ) ( f = l ，2 ，棚) 都是线性函数，则称模型( 2 1 1 ) 为线性规划：若f ( x ) 和 6 0 ， 辫 斑 。， 乞+翟刊毒 ；i 擘磅略“ ， 沾 、 预士论文 用于t v 醴像复原的避臻方法 。；( 芏) ( 江1 , 2 ，磁) 孛至多有一个怒线瞧蔹数，弱称模型弦+ 1 1 ) 为 线穗媲螂。 要求上面优化问题( 2 1 1 ) 的解，通常是通过求熟k t 点的途径得到它的最优 解一般采用的是迭代法，其基本思想是，给定一个幸刀始点p ，按照浆一规则 产生一个述代謦剃长耻 ，菝褥警知 t 是毒限点到聪，它的最基一个点藏楚k 。t 点；当扛鲫 怒无穷点剜时，它的任意一个聚点就是k - t 点迭代序列每诤 使得评 价函数序列扫b ( ) 充分单调减少的性质保持了k - t 点是局部最优解 现有的计爨方法可分为两大类：一类是线搜索( l i n es e 射c 1 ) 方法：另一炎是信赖 域( t r u s tr e g i o n ) 方法。线援素方法楚最零觅懿，也是磺宠最多茨一粪方浚结羧壤方 法是一类较颟静方法，对信赣城方法的研究主要楚驭八十年代开始的，所以它远不 如线搜索法那样成熟，应用也没肖线搜索法广泛优化计算方法还根据辫法所需计 算目标函数以及约束函数的函数值和导数值分为直接法和间接法求解非线性规划 的算法基本迭代格式如下： 1 。给定魏婺点石钟。拦0 。 2 。按某一规则构造搜索方向d 3 0 确定步长( 对于某些算法吼= 1 ) 4 0 取下一个迭代点x 球+ ”= 并( ) + g 。矗 ”。 5 。判剃x 是否满怒菜莘孛终止准剐。菪满足，停止迭代过弦，x 扯+ 日是 近似局部最优解否则，k 乍k + 1 转筛2 0 步 ( 求解j # 线性规划除了上述基本迭代格式外还肖其他形式的求解方法) 在以上迭代擦式中，关穗款两步怒擒逢搜索方囱蠢牡；爱瑟确定步长；。筝安上，魏造 搜索方向d ( 。 和确定步长有许多种方法，不同的椅造方向d 和确定步长的方 法构成了求解非线性规划的不同方法 求解约束最优化问题的方法大致可分为三类：一炎是将约束问题转化为一系列 无约束润题来霹芑解，臻这一系列无约寒超题静极小点去逼远覆约京阚题滟簸优勰， 敌称这类方法为序歹l 无约束强小纯方法第二类方法楚在每个迭 弋点x 扭 楚梅遥一 个二次函数去j 蘑近目标函数，用线性函数逼近约束函数在迭代的每一步构造一个 二次规划子问题，将对原约束问题的求解转化为对一系列二次规划子问题的求解以 硕一j 论文 用于t v 图像复原的连缝方法 子霜蘧筑释穆为本次迭代赘援索方淹蠢皲，滏蠢 2 l 寻貔褥到蓊酶迭试点x 强m ，迭钱 序列最终逼近原约束问题的最优解故将这类算法称为序列二次规划法第三类方 法是可行方向法，它是一种直按处理约束的方法，它将无约束优化方法推广应用于 约束问题它的特点是在迭代过程中目标函数( 石) 逛次下降且迭代序列& f t ) 始终属 于绞索区域，帮在迭代点x 弼( 善。是霹孝亍点) 薤确定令搜索方惫d ，使褥 厂( x f ) + d ( 。) ) o ，蠢材蓬篁( q ) ，j o ( u ) 。警且便当歹。强) 。 v “b p ，( q ) ，嬲厶( “) = 山( “) 证明：v v v 且“l 1 ( q ) ， 一蠢知y ) 斑j ( - u d i y y + ( 1 一斟2 ) ) d x 孓# 摩v y 、厨出 在y 矿上对上式取上确界s u p ，得到 j 。( “) ，口( “) 蔓j o ( “) + 声l q | ， ( 2 3 1 ) 出于q 是有器豹，由此可褥到禽越。 既定理绘爨了j o ( u ) g 雾j 口( “) 瓣等侩洼，下嚣我们分缮( ”) 粒莲震。 性质2 3 2 1 2 1 对v 卢0 ，口关于l p ( 1 蔓p ) 拓扑是弱( w e a k l y ) 下半连续 的 证襄：令“。与i ( f ( q ) 中鲍弱妖敛) ，则对v v v ，d i v v c ( 渤，著且 ( 一磊磊v r + 颤；五_ = 了万) 矗= j 氅( 一融，y + 妊聂丽) 叔 = l i m i n f ( 飞研v v + 卢( 1 一盯) ) d x _ l i m i n f j 口( “。) 在p y 上对上式取上确界s u p 黔山( “) 1 1 卿f | ，口( “。) 由此就得到了如的下半连 续性。 性质2 3 3 对即0 ，4 是凸的 9 里生堕苎一一旦王! ! 望堡壅堕塑整毽直鲨 证鸹：令0 ，1 势盈群l ，群2 毫妒( 竭。对v 扩v ， e ( 一( 膨+ ( 1 - y ) ) 硪v v + 而) 出= ，( 一“，咖矿+ 0 页i 丽霸出 + ( 1 - r ) 上( - u 2 枷矿+ ( 1 一盯) ) 出确( “，) 十( 1 r ) j 。( “：) 在y y 上取主确要3 j p 魏凸羧，受筵会题缛涯 2 4 两种总变分最小化模型 进行图像复艨处理，我们可以考爨两种总变分最小化模型：一种是噪声水平约 寒曩三裂豫( n o i s el e v e lc o n s t r a i n e dr e g u l a r i z a t i o n ) 方法，靼对泛函 r 矿( ”) = l v “陋 进行约束极小化，其约束条件为i l 爿烈一z 2s 盯2 ，其中误差水平盯= 1 1 h | | 是融知的；另 一种是代替舆肖约束条件的极小化方法，我们可以利愆具有改进的t v 罚最小二乘 方泛函豹 约寒援小诧方法，帮考蕊泛函 南( “) = 毒| | _ ”一z 瞄+ d l | v 材陆， d 的选择必须使约束条件| 阻“一z 0 - 2 成立，弗鼠满足以：1 从理论上我们可 以证明：适当选择参数，约束极小化方法和非约束极小化方法所得到的解是一致的， 劳且鼠计算角度来看，婺约束趣题毙终衷藏题更銮翳宓瑷。因此在这籀论文墨我翻 只考虑 约寒闷题下西我稻给漱理论证明 定理2 4 1 i 1 0 1 假设h 1 ：a 是的口( q ) 一个连续线性算子；h 2 ： 爿- 1 = 1 ( 省如“= 量对所有“胪( q ) ，) - h 3 ：( o ，鼽一| j ： 成立再假设 g 。盖，x 是影( q ) n 名( 三? ( q ) n 露矿( q ) ) 在2 ( q 中戆溺龟。n 1 z ；m i 琏l | v 筇跨，满是 a u d x = u o c l x _ g a u - u o 2 d x = 盯2 有一个解( q ) n b 职q ) ，并且爿“2 ( q ) 是唯一的谶一步，上面的约束问题和m i n 上v “j + 鲁l 爿“一i2 ) 出对唯的( 翘果 拶 陆一蜘l ：) 受戆k g r a n g e 浆子冀( 落赣予拶，嘞黟q ) 是等价豹魏票蠢 睾单射，弼么汶两个问颖的鳃。撼柏同的日帚唯一的 o 兰壁曼望王曼置型堡垒壅篷篷整麓妻鋈 2 。5 解懿存在性霸难一性 由于滋瀚月，e v u 一0 处的稚可徽性，我们般研究泛函 f ( u ) 。吉牡越：睡+ 掰硝v “1 2 + 岁出， g 和楚非受参数， ( 2 s 1 ) 嵇参数控裁饕与数箨魏熬会程痰 0 ，对掰有静“8 s ，满逢 湖。，b 3 。簸设t ：妒鳓啼霆o 一哆+ c 。 是一个泛遨，那么t 是转酶攒涮鲍 ( c o e r c i v e ) ，如果丁( “) 峙佃当8 r 帅十时 定理2 5 。3 1 2 1 令s 是b u 肖赛灏鼗集，剥s 在妒( q ) ( 1 p 蔓影( 毋一1 ) 中足柱 对紧懿；s 鼹有券浆，并髓露靠2 它l ，6 q ) ( p 一彤 0 ，3 n 0 ，当稽n ，1 1 4 。，b 时，s t t o ( u ) 一，( ”) l 0 蓑p 一影( 矗一1 ) ，矗2 2 ，并且剩 用r 帮瓦斡弱下半连续性代替r 秘款下半连续j 葭缎设，那么收敛是弱瓣： z f 。一“b 0 证明：注激l 翻。) 茎瓦( 五) ，从这和( i ) 知， l i m i n f t ( u 。) - 并且由( i ) 知，缸。 是b v _ 有界的现在假设定理中的两个结论不成立，由戆理2 5 3 ， 存在子序列扛。，j 在r ( q ) 中收敛( 或弱收敛) 于某女毒磊由r 的( 弱) 下半连续性， 土式和( i i ) 褥懑 尹( ) l m i n f f ( “) = l i m i t ( g , ) 一毛( # ，) l + l i m i n f 瓦。( 越q ) r 5 ) 但这与丁的极小值点石的唯一性相矛盾 卫生童望生一一旦至! ! 望垡墨堡些选璧杰鎏 下瑟我们采验证( 2 。5 1 ) 孛豹泛疆，( “) 弱援小德患豹存在毪_ 苇拜唯一魏，并显泛函耱 引理2 5 6 假设1 兰p a ( a 一1 ) ，并且算子爿对常函数不零化蒋价的说，由 蠢白n ) 0 ，( 2 5 2 ) 证明：从不等式( 2 3 1 ) ，证明= 0 的情况是充分的任意“eb 矿( q ) 商一个分解； 其一斛。，岫 利用h o l d e r 不等式和p o i n c a r e + w i r t i n g e r 不等式：如果 = 嚣1i # 国办， 2 嚣耋“嘲巍 j k 一| i 扩( 蔓c j o ( u 一) = c j 。 ) ， 存在一个常数c ，使得对任意满足l p 影如一1 ) 一d e f q f 捡p ，有 i h l 取g l q l ( 髟。鬈 p l 驴，g q | + l i 4 一篇) c 战( v ) 。q 五( r ) ，( 2 轰4 ) 其中c 型0 q | 十1 彤c ，利用( 2 ，5 4 ) 和分解( 2 5 3 ) ， i l u l l 。，- 0 健褥 陋l l ：= c ：i h ， ( 2 5 6 ) 翻o r z ) 十么+ 奴( r ) 瓢蠢矿一：炉l l a - i l ：y + c d o ( p ) 钏蠢w 啪彳w i ：- 2 1 1 a v z 瞄十峨( p ) 5 ， ( 2 ，7 ) 硕士论文 用于1 、，图像复艨的连续方往 里警( 2 。5 | ) ， 忙y z ：- 1 1 4 c , j o ( v ) + 1 1 4 ：( 2 5 8 ) 把( 2 5 8 ) ，( 2 5 6 ) 和( 2 5 7 ) 缀合起来得到 寺l 妇v - z ) + “圳：2 + 蝎( 妨 1 ，c ：，罐一2 i a h c , j 。p ) + i i z l l ：申嘁( p ) 5 ( 2 。9 ) 只要 ( c 2 ，一2 0 爿粉，。( v ) + ：) ) l ( 2 矗l o ) 那么甄( 2 。5 + 9 ) 霉至l i l w l l ，g 一1 刘1 0 矿一z ) + 蠢孵+ 峨( v ) ) 由上式和山( y ) 去哇l l v 一* ) 十4 叫 ：2 + 彬。( 矿) ) ( 2 羔1 1 ) 驭( 2 。5 5 ) 褥列 姚，( 击+ 孚鹾肛矿_ 十驯r + 峨渊( 2 5 地) 只要( 2 5 1o ) 不成立，n 4 , 0 ，并麒a 是可逆的，则得出泛函f ( u ) 是严格幽的再根据定理2 , 5 4 ，我们 可以得到泛濒f ( u ) 的极小值点遐唯一的下面我们来诞明泛函f ( u ) 的极小值点的稳 定性。 考虑扰动泛函 兀( “) = 钏4 n u - - z n 妒+ 耐f ( “) 定理2 5 9 1 2 1 假设1 p 0 。 同时假设每一个泛函工( “) 都有个唯一的极小值点“。和泛函，( “) 有一个唯一的极 小值点石那么 阮一荔艮专0 上面的2 2 节到2 5 节从理论方面证明了总变分极小化模型的合理能，毗及此模 型的极小值点的存在性和唯一性，这些理论知识为我们对总变分极小化模型进行数 值分析，以及应用于图像复原问题提供了坚实的保障 硕十论文 用于t v 图像复原的连续方法 第三章对总变分模型的处理方法 本章介绍了些著名学者处理闺像的总变分模型用于图像复原的几种方法，并 且重点介绍了把古典的牛顿方法蓐n 连续统方法( c o n t i n u a t i o nm e t h o d ) 结合越来对图像 进行复蠹处囊。 3 1 已经存在的方法 用t v 方法对大型的，具有噪声的模糊图像进行爨构或复原，会出现两种基本 豹诗葬霹难： 1 方程中的菲线戆羧掰提供豹蠢难， 2 线性化过程中解大型的线性方程缀所出现的困难 解决了这两个豳难，图像复原闽磁就容易解决了，假是目前还没有完蒋的解决办 法不过还怒有些国内外著名举者对解决这样的问题提出了自己的合理有效的方 法： f 1 ) r u d i n 、o s h e r 霹f a t e m i ”，绳鑫嚣霜夫工辩麓发震( a r t i f i c i a lt i m ee v o l u t i o n ) 方法，这种方法实际上是属于p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 方法的范畴，而利用 p d e 方法处理豳像是图像处理中墩近才发展起来的种新的重要的方法 人工时间发展方法，就是酋先解与前面2 5 节中的泛函，( “) 相对应的具有齐 次n e u m a n n 边菸条磐弱j 线+ 建撩黧型e u l e r - l a g r a n g e 方程 ( 南卜胁加叫啦砌， o - u 。0 冀中硷是q 懿边器，拄是密q 麓法淘量，a + 是a 憨关予乎内稷魏共凌辫子，差表示 l a g r a n g e 乘子紧接着，为了解方程( 3 1 1 ) ，可以利用鼹体的时间匹配( t i m 盼m a r c h i n g ) 格式，因此可以得到具有固定步长的梯度下降优化方法，即，解具有齐次n e u m a n n 边界条件的非线性抛物型方程 1 6 ”0 触 触 顺上论文 用于t v 髑像复原豹避续方法 等= v 南卜衙q u ( x ，y ，0 ) = z ( x ，y )( 3 1 2 ) 丝：o 。摊硷 使其达到稳意状态若记上面非线性扩散方程( 3 1 ，2 ) 的稳定状态解为u ( x ，y ，f ) 则当t 寸o 。时，稳定状态解u ( x ，y ，f ) 会逼近e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 1 1 ) 的解，即得 到塑像“的一个逼近。但是，此溅速下降方法其有线憔投敛速度，其收敛常数 ( c o n d ( h ) - 。雕文抒，+ 1 1 菲零技避予l ，其中c o n 莲联) 表示壬 e s s i 懿矩獐懿祭臀数， 这就导致了遮种方法的相当慢的收敛速度 ( 2 ) v o g e l 和o m e n 【5 】，提出利用“滞后”不动点( “l a g g e d d i f f u s i v i t y ”f i x e dp o i n t i t e r a t i o n ) 迭代求解上面的e u l e r l a g r a n g e 方程( 3 1 1 ) ，这种迭代方法可以被看作是“半 二次歪列他”( h a l f - q u a d r a t i cr e g u l a r i z a t i o n ) 兹一秘特殊形式 j 毙方法豹遮代格式如下； d 芾卜“ ( 3 i 3 ) 飙“。= z 开始，簿一步“可以作为线犍微积分方程( d i f f e r e n t i a l c o n v o l u t i o n ) l 。3 ) 的解而得到它的系数可以从前步的解“2 得到计骡这种方法是快的且稳定酶， 但仅仅是线性收敛的下面附带的介绍一下半二次算法( 也被称为a r t u r 格式) 命题3 1 1 令函数：【o ，+ o o ) 一 o ，+ ) ，s t ( i ) 在( o ，+ o 。) 上是凹的，并且( s ) 是 j 单调递减瓣+ + l 毒d m 塞l = l i r a 。妒( s ) ，2 s 霸掰= l ，i 。m 。妒) 2 s 定+ 那么存在一个 凸的并且单调递减的函数y ：犯，m ) _ 防，屈】，s 庐( s ) 2 。甄盼2 + ( 6 ) j 其中蜀= i 蛰( s ) 粒磊= l i m ( s ) - s ( 5 ) 2 ) 遴一步，对每一个s 0 ，极小菹褥 + 到时6 的值幽6 。掣给出附加变量6 一般被称为对偶变量。 此命题保证了半二次算法的合理，眭它在其它文献中已经得到证明，在此不再 ! 型垄羔鉴一 里：! = 翌望堡蔓堕塑整壁岌鲨 绘塞宅兹涯鞠+ 现在弓 入泛函 ，6 ) = 圭 a u - z 1 2 出+ 口i ( b l v u l 2 + ( 6 ) k “ n 那么泛函，爻寸“楚凸豹，并虽对每个霾定靛“w ，2 ( q ) ，它对5 毽是凸鹣。当然， 它对0 ，砖不怒凸的这就导出了半= 次算法，即，泛溺，依次对甜和6 谶行极小化， 具体步骤如下； 给定初值0 。，j 。) “”1 = a r g m i n j ( u ，b ”) 囊予蠲遂是凸戆亵二次粒，这等竣于舞 f a a u - - 机( 6 ”v “) = o i n 始 1b ”o _ _ u u ：0 0 n 触 la 这个方程一虽被离散化，我们可以剃爝g a u s s s e i d e t 遮我方法来解线性系缝，对不 动点迭代来说，令y ( 6 ) 翮1 硎徽 z 扣2 书 2 ) 一“”“ 1 一攀卜旷每抟斑 6 ”= a 蜡p i n ， ”，6 ) 根据命题3 1 1 ，对a 的极小值可以得到，即 扩t ：错 对不动点邀代来说，一： ! 埘v “” 2 + 2 极限0 。，b ”) 就是解 注意，这令算法戆耪嫠讫是。，6 。) = 固，1 ) ( 3 ) t o n y h i 等利用原始一对偶( p r i m e d u a l ) 优化方法对与前面2 4 节中的泛函 l s 兰釜垄堕兰_ 萋要三! ：堡垒壅蔓璧臻璧童婆 。 触啦稚燃觚如吨帅g e 方褂黼v l 尚j 断线跳 这种方漶的思想是荫先引入新的变量 v h 。+ 多 国廓舻嚣二o ( 3 - 4 ) 代替e u l e r - l a g r a n g e 方程( 3 i 1 ) 我稍弼以裁耀卷溴的牛顿娥o n ) 方法对上灏 夔( u ，搿) 系绕0 1 ，4 ) 透露缆建纯，缮到 刚卜a 黔a 刖筠 卜w + 1 1 国lig 洄，“) 1 一甜一翻扣囊卜如， 渤2 南卜v & z - o + - - t v u l v u 寒诗雾藏，。避耱方法缓投惫两麓= 次瘦敛兹。 ( 4 ) 除了上嚣涎方法外，我髓还可良瑶吉冀躲牛犊方法或q u a s i - n e w t o n 方法， 毽这些标壤鼢方法对t v 辍小纯闷遴作用豹不好烹簧懑礁是秘部二次逼近( 标准 的牛顿方法的基础) 对t v 非线性来说不是好的模型由于1 虿孑孚专豹非线性 性，这辞方法的收敛区域很小+ 豳姥，在局部枝散穗穰像证很快的情况下，镌含像 线性搜索( al i n es e a r c h ) 这样的“箍体化”方法或步长控制格式的许多次遮代必须在 快速( 局黟二次) 砖芟敛瞧达到之蘩被完成，这耪猎溅戆静救播藏囊诲多鞭，冀中篷 括恕一季孛连续瞧方法翻牛顿方法缭含起来。在下谣瓣鬻节中，我稍将奔鲻遘续挂方 法意考典鲍串顿方法，势登绘磁穗遴缕毪方法稳譬方法绥台越来褥到鹣送行强豫 硕论文 用卡1 v 图像复原的连续方法 3 。2 算法豹绘高和分耩 3 2 1 古典牛顿方法的概述 孛顿方法瓣基零思想是：褒黧拣嚣数，( 苫) 豹极小缓点戈+ 熬近叛点芹( 2 藤遥，褥 f ( x ) 二阶泰勒展开，利用展开的二次函数去逼近f ( x 1 将这个二次函数的极小值点 作为x + 的一个新的近似点x ( “) ，用系列二次函数的极小值点扛( “) 去邋避厂( x ) 的 极小谴点x 。 给定x + 瓣裙始近 跬点x 鼢霞，遨代点歹l 每 由公式 x 扯“) = x q ) 一v 2 ，( x o ) 一1v ( x 产生，称此等式为牛顿迭代公式，相应的算法称为牛顿方法。牛顿方法怒局部收敛 豹且具有二除救敛速瘦。下蘧豹定毽可以验证牛顿方法翁二次收敛牲 定理3 2 。1 设f ( x ) 是二除避续可徽的，善4 惑f ( x ) 静蜀蘸辍小馕点，显 w ( x + ) = 0 ，v2 f ( x ) 正定f ( x ) 的海森矩g g ( h e s s i a n ) 满足利普希次( l i p s c h i t z ) 条件， 即存在夕 0 ，使得对于所有的1 f ，s ，有 l g i 。( x ) - g , j ( 捌p l l x - y l ，v x ，y r ”， 其中q 。o ) 鼹g ( z ) 的( f ，) 元素，则当初始点x ( 。) 充分靠近x + 时，对于一切的詹，牛 顿迭代公式肖定义，迭代点列岛( ) 收敛于x + ，并且飙有二阶收敛速度 此定理黪淡明可以参看优拢方疆我资料德到。 嗣j ( u ) 褒示( 3 t 1 ) 中e u l e r - l a g r a n g e 方程( “) 懿j a c o b i a n 矩阵，那么露