Wigner分布.ppt

第3章Wigner分布,3.1Wigner分布的定义3.2WVD的性质3.3常用信号的WVD3.4Wigner分布的实现3.5Wigner分布中交叉项的行为3.6平滑Wigner分布,3.1Wigner分布的定义,时频分布分类线性形式的时频分布：STFT、Gabor变换及小波变换。双线性形式时频分布:是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。又称非线性时频分布。Wigner分布及Cohen类分布。,联合Wigner分布定义令信号，的傅立叶变换分别是，那么，的联合Wigner分布定义为：（3.1.1）信号的自Wigner分布定义为：（3.1.2）Wigner分布又称WignerVille分布，简称为WVD。若令，则，代入（3.1.1）有（3.1.3）,令，则式（3.1.1）可变为：令，则上式变为（3.1.4）对自WVD，有（3.1.5）显然，WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。,若令则（3.1.6）显然这是普通的傅立叶变换式，只不过它依赖于时间t。但此处的并不是我们以前定义过的相关函数。在时频分析中，我们称为瞬时自相关。,32WVD的性质,的奇、偶、虚、实性不论是实信号还是复值信号，其自WVD都是t和的实函数，即（3.2.1）若为实信号，则不但是t、的实函数，还是的偶函数，即（3.2.2）对，的互WVD，不一定是实函数，但具有如下性质：(3.2.3),WVD的能量分布性质,时间边缘（timemarginal）性质令（311）式两边对积分，有(3.2.4)该式表明，信号x(t)的WVD沿频率轴的积分等于该信号在时刻的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。,频率边缘性质同理，令（3.1.5）式两边同时对积分，有(3.2.5)即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。,(3.2.6)(3.2.7)(3.2.8)即，在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内的积分也有着同样的性质。而在整个平面上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知，在平面上某一点的值并不能反映信号的能量，这是因为有可能取负值。,由WVD重建信号,由（3.1.1）式，我们有令这一特定时刻，有于是（3.2.9）若含有常数的相位因子，如，由于因此由WVD恢复出的将不会有此相位因子。,WVD的运算性质,移位WVD的移不变性令则（3.2.10）调制频率调制不变性令则（3.2.11）移位加调制令则（3.2.12）,时间尺度令（为大于零的常数）则（3.2.13）信号的相乘令则(2.3.14),即两个信号积的自WVD等于这两个信号各自WVD在频率轴上的卷积。这是WVD的一个很好的性质，因为对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。信号的滤波令则（3.2.15）,信号的相加令，则（3.2.16）即两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和式中是和的互WVD，称之为“交叉项”，它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。进一步，若令，,则后两项也是交叉项干扰。一般，若会有N个分量，那么这些分量之间共产生个互项的干扰。,WVD的时限与带限性质,若在和时，即是时限的，则对一切，有（3.2.18）由上述结论，若，均是因果信号，及当时，那么（3.2.19）若当和时，即是带限的，则对一切的t，有（3.2.20）,解析信号的自WVD,令是的Hilbert变换，则是的解析信号。由Hilbert变换的性质可知：（3.2.21）由WVD的带限性质可知，当时，并有（3.2.22）将式（3.2.21）代入得：（3.2.23）,上式积分号中相当于乘了一个从至的矩形窗。由运算性质5，可得信号x(t)和其解析信号z(t)的WVD之间的关系，即（3.2.24）,设信号可写成解析形式，即，其WVD为，则的瞬时频率和WVD有如下关系：（3.2.25）群延迟和WVD的关系：（3.2.26）,瞬时频率与群延迟,WVD的Parseval关系,令和的WVD分别是和，则该式又称为Moyals公式。,两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和；由于WVD是信号能量随时间频率的分布，因此，理论上讲，应始终为正值，但实际上并非如此。因为是的傅立叶变换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证非负。,WVD的缺点,.常用信号的WVD,几种典型信号的WVD例3.3.1、令（3.3.1）求。解：确定对的积分限，由得或所以（3.3.2）,在时间轴上只在的范围内有值，在频率轴上是的函数。最大值出现在处，最大值,图3.3.1例3.3.1的WVD,例3.3.2令，求。解：由定义即（3.3.3）本例的为一确定性复正弦信号，当然也可以把它看作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间无关。对任意的时间，都是位于处的函数。如图3.3.2所示。,图3.3.2例3.3.2的WVD,例3.3.3令是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的，即式中，。为某一基本频率。图3.3.3是该信号的WVD。由该图可清楚地看出WVD的时频定位功能。注意，三段信号时频分布之间有交叉项存在。,图3.3.3例3.3.3的WVD,例3.3.4、令，求。解：因为，由上例结果及WVD的运算性质6，有（3.3.4）的谱线包含两个分量，它们分别位于处，因此可看作两个复指数的和。但是的WVD除了在处各有一个不随时间变化的谱线外，在处还引入了随时间作余弦变化的交叉项，且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如图3.3.4所示。图中点处在频率轴的中点。,图3.3.4例3.3.4的WVD,例3.3.5令（3.3.5）可求出其WVD为（3.3.6）这是一个二维的高斯函数，且是恒正的，如图3.3.5所示。,图3.3.5例3.3.5的WVD,（a）高斯信号，（b）高斯信号的WVD,如果令，则x(t)的谱图它也是时频平面上的高斯函数。当其峰值降到时，椭圆面积。这一结果说明，WVD比STFT有着更好的时频分辨率。,例3.3.6令（3.3.10）的WVD是,图3.3.6例3.3.6的WVD，（a）Chirp信号，（b）Chirp信号的WVD,例3.3.7令为一多普勒信号，图3.3.7给出了该信号的时域波形、频谱及时频分布。由该图可看出信号的能量随时间和频率的分布。图3.3.6例3.3.6的WVD,3.4Wigner分布的实现,若令对信号的抽样间隔为，即，并令，则，这样，中对的积分变成对k的求和，即（3.4.1）若将归一化为1，并考虑到相对离散信号的频率，则上式变为：（3.4.2）,将变成，则的频谱将变成周期为的频谱，且对应的抽样频率为。同样，的WVD也变成周期的，且周期为，即：（3.4.3）若的最高频率为，那么，抽样频率至少满足如若按对抽样，那么用抽样后的做WVD，由于其周期变为，因此在WVD中必将产生严重的混迭。解决这一问题的直接方案是提高抽样频率，要求至少要满足,解决混迭问题的较为简便的方法有两个：采用解析信号由解析信号的性质可知，将作Hilbert变换得到，按构成解析信号。只包含的正频率部分。这样，既可减轻由正、负频率分量所引起的交叉项干扰，又可在保持原有抽样频率的情况下，避免了频域的混迭；对作插值具体办法是：若想将抽样频率提高一倍，则可将每两点之间插入一个零，然后再让该信号通过一低通数字滤波器，从而将插入的这些零值变成原信号相应点的插值。,令（3.4.5）k是信号x的时间序号，n代表时移，并假定的长度为N，即，现分析一下的取值情况。,离散WVD,当时N=6时，不难写出：假定将都扩充成N点序列，即在其后补零，那么，（3.4.2）式可写成（3.4.7）,以上方法有明显的缺点，即在不同的n下，计算时所利用的的点数有着明显的不同。此外，由于WVD是二次函数的分布，有交叉项存在。针对这两个原因，人们自然提出了“加窗WVD”，即“伪WVD（PseudoWVD，PWVD）”。,现将离散化，可将分成等份，即，则上式变为：（3.4.10）式中，即（3.4.11）即以L为周期。这样，若按（3.4.10）式计算2L点FFT，则求出的将有一半的冗余。通常，我们假定：（3.4.12）是（3.4.10）可变成,3.5Wigner分布中交叉项的的行为,交叉项的存在将严重影响对自项的识别，从而也就严重影响了对信号时频行为的识别。目前人们已提到了十多种具有双线性形式的时频分布，它们被统称为“Cohen类”。这些分布提出的一个重要目的是削弱Wigner分布中的交叉项，并改进自项的分辨率。,例3.5.1设信号由两个“原子”信号复合而成。所谓“原子信号”，是指：这一类信号，其中为时域有限长的窗函数，在构成“原子”时，常用的是高斯窗。因此，“原子”通常是在时域和频域都相对集中的信号。设、是两个“原子”，信号。下面分两种情况来考虑它们的WVD：设和具有相同的频率，但具有不同的时间中心即,显然，在及处是两个“原子”的自WVD，而二者之间的是交叉项。该交叉项位于两个自项的中间，频率与自项相同，其位置大致是,图3.5.1a两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的频率),和具有相同的时间中心，但有不同的频率令其时频分布如图3.5.1b所示。显然，两个自项均位于同一时刻处，频率分别是0.1和0.4；两个自项中间的是交叉项，其位置大致是在,图3.5.1b两个时频“原子”的WVD中交叉项的行为，(具有相同的时间中心),例3.5.2设也是由两个原子复和而成。它们的位置分别位于，处，其时频分布如图3.5.2a所示。显然，两个自项的位置也分别在，处。交叉项在两个自项的中心连线上，位值大致在处。,图3.5.2（a）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD(两个时频“原子”都为复信号时),如果对该信号的实部求WVD，其WVD如图3.5.2b所示。由于有两个原子复合而成的是解析信号，故无负频率存在，交叉项只有一项（见图3.5.2a）。仅取它的实部，这时就有两个负频率分量存在。该信号的WVD共有四个自项，分别位于，处。,图3.5.2（b）两个时间不同，频率不同的“原子”组成的信号的WVD其实部的WVD,例3.5.2令由四个“原子”复合而成，即，这四个“原子”的位值分别是，。该信号的WVD如图3.5.3a所示。如果我们在对该信号求WVD时用伪WVD，即对作加窗处理，那么，所得WVD如图3.5.3b所示。显然，这时的交叉项可得到有效的抑制，即交叉项由六个变成了两个。,图3.5.3四个“原子”迭加后的WVD（a）没加窗的WVD，,图3.5.3四个“原子”迭加后的WVD（b）加窗后的伪WVD,例3.5.4令（3.5.1）显然，由两个频率调制高斯信号所组成，中心分别在和处。可求出（3.5.2）上式包含两项，第一项是的WVD的自项，中心也分别位于和处，它们都是高斯型函数。第二项是其交叉项。,图3.5.4两个高斯调制信号的WVD,结论：由本节例3.5.13.5.4可以看出，两两自项之间将产生一个交叉项，即交叉项的数目为，每一个交叉项都位于产生它的自项的几何中心，其振荡频率也取决于两个自项的时间和频率距离。进一步有（3.5.4）式中(3.5.5)反映了交叉项的衰减。显然，两个自项离得越远，则越大，这样衰减越快，这样，WVD的互项中的能量越小。这说明，只有距离较近的自项所产生的交叉项才会产生大的影响,3.6平滑Wigner分布,对信号，其WVD和谱图有如下关系：(3.6.1)式中是对信号作短时傅立叶变换时所用窗函数的WVD。因此，谱图也是一种时频分布，且是信号能量的分布。（3.6.1）式是一个典型的2D卷积，如果是一个低通函数，卷积的结果将是对平滑。对谱图来说，如果做STFT时用的是高斯窗，高斯窗的WVD仍是平面的高斯函数。因此，是低通的。这样，谱图是对WVD的平滑，其结果是减少了交叉项的干扰，但同时降低了