（应用数学专业论文）带有补偿问题的两阶段模糊最小风险问题性质的研究.pdf

摘要 摘要 基于可信性理论，本论文讨论了两阶段模糊最小风险问题的性质，两阶段模糊 最小风险问题与两阶段模糊风险值问题之间的关系，及两阶段风险值模型的求解方 法首先，论文研究了两阶段模糊最小风险问题可信性目标函数的连续性其次。 论文讨论了两阶段最小风险模型和两阶段风险值模型在最优值和最优解两方面的关 系，这些关系从理论上提供了一种可行的求解最小风险问题的方法此外还提出了 一种逼近风险值函数的方法，并结合逼近方法、神经网络和遗传算法设计一种混合 智能算法用于求解上述的两阶段风险值问题，并且通过数值例子来验证算法的有效 性 本文的主要工作可归纳为以下三方面。 研究了两阶段模糊最小风险问题可信性目标函数的连续性； 建立了两阶段最小风险问题和两阶段风险值问题在最优值和最优解两方面的 关系，这些关系提供了一种可行的求解最小风险问题的方法； 设计了一种基于逼近方法、神经网络和遗传算法的混合智能算法用于求解两 阶段风险值问题，并通过数值例子验证算法的有效性 关键词可信性理论；两阶段模糊优化；最小风险准则；风险值准则；逼近方法； 混合智能算法 a b s t r a c t a b s t r a c t b a s e do nc r e d i b i l i t yt h e o r y ，t h i st h e s i sd e 出w i t ht h ep r o p e r t i e so ft 协s t a g e f u z z ym i n i 踟m r i s kp r o b l e n l s ( m r p s ) ，t h er e l a t i o 瑚h i pb e t w e e nt h et w 0 - s t a g em r p a n dt h et w m s t a g ev a l u 争a t - r i s kp r o b l e l s ( o p s ) ，a n dt h es o l u t i o nm e t h o do ft h e v r p f i r s t l y ，t h et h e s i ss t u d i e st h ec o n t i 肌i t yo ft h ec r e d i b i l i t yo b j e c t i v ef u n c t i o n o ft w 伊s t a g em r p s t h e nt h er e l a t i o n s l l i p sb e t w e e nt h e 协协s t a g em r pa n dt h e 拥h d _ 8 t a g ev r p a r ee 8 t a b l i s h e d ，w h i c hp r o 们d ea na l t e m a t i v es o l u t i o na p p r o a c ht o 8 0 l v i n gt h ep r o p o s e dm r p f u r t h e r m o r e ，a na p p r o 菇m a t i o nm e t h o dt o 铡a l u a t e l r o b j e c t i v ef 1 1 n c t i o 璐i 8p r e s e l l t e d ，a n db a s e do nn l ea p p r o 。【i m a t i o nm e t h o d ，n e u r a l n e t w o r k ( n n ) a n dg e n e t i ca l g o r i t h m ( g a ) ，ah y b r i da l g o r i t h m ( h a ) i sd e s i g n e d t os o l 、，et h ep r o p o s e dt 协s t a g ev a rp r o b l e m an u m e r i c a le x a m p l ei s 西v e nt o i u u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ed e s i g n e da l g o r i t h m t h em a j o rn e wr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da st h ef 0 1 l o 丽n gt h r e ea u s p e c t s ： t h ec o n t i i 皿t y0 ft h ec r e d i b i l i t yo b j e c t i v ef u n c t i o n0 ft h et w 伊s t a g em r pi 8 s t u d i e d ： t h er e l a t i o 璐h i p sb e t w e e nt h et w l s t a g em r pa n dt h et w 伊s t a g ev r pa r e 睁 t a b l i s h e d ，w 1 1 i c hp r 嘶d ea na l t e r n a t i v e 烈u t i o n 印p r o a c ht os 0 1 、，i n gt h ep r m p o s e dm r p ； a na p p r o 晒m a t i o n b a s e dh y b r i da 1 9 0 r i t h m ( h a ) i sd e s i g n e dt os o l v et h ep r m p o s e d 址i e 胁s t a g ev r p an 眦e r i c 越e x a 泖l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ed e 8 i g n e da l g o r i t h m k e ”o r d sc r e d i b i l i t yt h e 0 珂；t w ( ) - 8 t a g ef u z z yp r o g r a m m i n g ；m i n i l u mr i s kc r i - t e r i o n ；v a a t r i 8 ke r i t e r i o n ；a p p r 戚m a t i o n l e t h o d ；h y b r i da l g o r i t h m i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 玉j 捡 日期：之竺垂年上月生日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密v 。 ( 请在以上相应方格内打“妒) 作者签名：奎j 王塑 导师签名：赳盔奎 日期：主丑年上月2 l 日 日期：逊吐月上l 白 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 霄7 i i 韩癌问迦加雨l = j i 彩磊d 帆噬 的学位论文，是我个人在导师蚕】易套指导并与瓣夏篱的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：主1 1 茎垦日期：圭! 墨年二上月生日 作者签名： 刻趁 导师签名：垄! 瘗奎 日期：2 五年l 月上l 日 日期，：堑型年j 二一月上垒日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1问题的提出及研究现状 不确定规划产生于上个世纪五十年代，它是随着数学规划的发展和应用日益 广泛而应运而生的在短短的几十年内，无论在理论上还是在应用方面不确定规划 都已经有了长足的发展不确定规划已经逐渐地渗透到生产和生活的各个方面从 总体上看，对于包含不确定性因素的决策问题有两种典型的处理方法：以概率论为 基础的随机规划和以模糊理论为基础的模糊规划由于概率论的理论已经发展得很 成熟，因此以概率论为基础的随机规划得到了迅速的发展，用来处理现实生活中的 各种随机问题并且也得到了许多有意义的随机规划模型和求解模型的算法，同时解 决了现实生活中的大量实际问题，节省了许多的人力和物力，最终给人类的生产和 生活创造了巨大的物质财富1 1 叫在随机环境下，c h a r n e sa n dc o o p e r 【3 】首先提出 了机会约束规划模型，d a n t z i g1 4 l 提出了随机环境下的两阶段规划问题随机规划 中的两阶段规划即带有补偿的随机规划问题因其对所给出的决策能做出“补偿”而 更有其应用价值因此两阶段和多阶段随机规划问题已经得到了广泛的发展并且应 用到许多现实的决策问题中【5 1 正是由于两阶段和多阶段随机规划的实用价值，在 近些年已经有了广泛的发展，尤其是在带有风险的决策问题中更为突出【6 1 另一方面，在现实的决策系统中还存在着另一种不确定现象模糊现象 自从1 9 6 5 年z a d e h 吲提出模糊集概念，模糊集理论得到迅速发展并在现实生活中 的应用越来越广泛1 9 7 5 年k a u 缸锄【8 l 提出了模糊变量的概念，使得模糊集 理论得到了进一步的完善为了建立模糊集理论的基础，1 9 7 8 年z a d e h 【9 l 又提出 了可能性理论，使得模糊理论更加的完善和坚实随后，许多学者如n a h m i a sf 1 0 1 ， d u b o i s 和p r a d e 【1 l 1 2 j 进一步发展了这一理论与此同时，人们开始研究模糊环境 下的数学规划问题b e l h i l a n 和z a d e h 【1 3 1 首先提出了模糊数学规划，他们的工作 使得模糊环境下的数学规划得以迅速发展基于可能性理论和模糊集理论，许多学 者研究了大量有意义的模糊优化模型i m 测在众多学者的共同努力下，模糊规划 已经得到了迅速的发展并且在现实的决策中起着越来越大的作用随着可能性理论 闹北大学理学硕士学位论文 的不断发展，基于可能性理论，l i u 和l i u 【2 l 】于2 0 0 2 年提出了一类新的具有自对 偶性的非可加测度可信性测度，并通过可信性测度和c h o q u e t 积分定义了期望值 算子近些年来大量的研究表明【2 2 2 引，在模糊理论中可信性测度的自对偶性无论 在理论上还是在应用上都起着重要的作用并且，l i u 于2 0 0 4 年完善了可信性 理论使之形成公理化体系，关于可信性理论在模糊优化领域的发展及其应用可以参 见【2 5 ，2 6 】等文献更进一步地，在模糊决策系统中，基于可信性理论，l i u 【2 7 】提出 了一类新的模糊优化方法两阶段模糊规化或带有“补偿”的模糊规化在两阶 段模糊规化模型中，我们需要求解两个优化问题：第一阶段的决策变量要在模糊变 量取得相应的实现值之前做出决策；另一方面，第二阶段的决策变量要在模糊变量 取得相应的实现值之后做出决策在这个决策系统中，一般第一阶段的决策或多或 少都会使优化的结果产生不同程度的偏差，因此第二阶段的决策会对第一阶段决策 引起的偏差进行必要的补偿正是由于模糊规划中的两阶段规划即带有补偿的模糊 规划问题因其对所给决策能做出相应的“补偿”而更加具有一定的实际意义，因此 在具有风险的模糊决策中更能体现出它的应用价值，有关最小风险模型在设备选址 问题中的应用可参考文献f 2 8 】所以对于两阶段模糊风险决策问题数学性质的研究 显得更为重要，这正是本文研究的动机 1 2 本文的主要内容 本文主要讨论带有补偿问题的两阶段模糊最小风险问题和两阶段模糊风险值 问题基于可信性理论，l i up 提出了两阶段模糊优化或带有“补偿”的模糊优化 ( f p r ) ；研究了两阶段模型的一些基本性质；设计了相应的算法并且验证了算法的 有效性本文将继续研究带有补偿问题的两阶段模糊最小风险模型的基本性质以及 它与风险值模型在最优值和最优解两方面的关系，最终利用所得的性质，将求解带 有补偿的两阶段模糊最小风险问题转化为求解相应的模糊风险值问题并设计了有 效算法对模糊风险值问题进行求解 在第2 章中，我们首先介绍了模糊理论中的一些基本概念，把它们作为两阶 段模糊最小风险问题和两阶段模糊风险值问题建模和求解的理论基础其次，介绍 可信性空间上的模糊变量和模糊向量的定义及一些性质，为以后研究模型的基本性 2 第1 覃绪论 质以及模型之间的关系奠定良好的基础 在第3 章中，我们首先简单介绍了两阶段模糊优化理论，特别是两阶段模糊 最小风险问题和两阶段模糊风险值问题，然后对带有固定补偿的两阶段模糊最小风 险问题讨论了目标函数的连续性 在第4 章中，我们研究了两阶段模糊最小风险模型和两阶段模糊风险值模型 之间的关系，包括两类模型最优值之间的关系，以及两类模型最优解之间的关系 这些结果为求解两阶段模糊最小风险问题提供了一种可行的方法 在第5 章中，我们首先设计算法通过支撑有限的模糊向量逼近支撑无限的模 糊向量，并讨论了逼近方法的收敛性然后，设计了求解两阶段模糊风险值模型的 混合智能算法，并通过数值例子来验证算法的有效性 论文的最后，我们对本文所研究的内容做了简要的总结并且对以后的研究做 了进一步的展望 河北大学理学硕士学位论文 第2 章基本概念 本章主要介绍模糊理论中的一些基本概念以及模糊变量和模糊向量的定义及 简单性质目的是为以后章节中问题的研究提供一个理论基础 2 1 可能性测度和可信性测度 下面我们首先介绍可能性测度的概念 定义2 1 给定一个论域r ，尹( r ) 是r 的幂集，p 0 s 是定义在p ( r ) 上的一个 集函数称p o s 为一个可能性测度f 2 9 ，3 0 4 ，如果它满足下面的条件： p 0 s1 ) p o s ( 妒) = o ，p o s ( r ) = 1 ； p 0 s2 ) p o s ( u t ，a ) = s u p 到p o s ( a ) 对于任意的p ( f ) 的子集 a p j ) ，其 中，是任意的指标集 称三元组( r ，p ( r ) ，p 0 s ) 为一个可能性空间，而n a h m i a s 【1 0 】称之为模式空间 ( p a t t e r ns p a c e ) 由上述定义，可能性测度具有如下的基本性质s ( 1 ) 单调性：如果a ，b p ( r ) ，且acb ，有p o s ( a ) p o s ( b ) ； ( 2 ) 下半连续；如果 4 n ) p ( r ) ，a 1ca 2c ，则 l i mp o s ( a n ) = p 0 8 ( 1 i ma n ) ； n o on + ( 3 ) 强次可加，对任意a ，b p ( r ) ，有 p o s ( aub ) + p 0 8 ( anb ) p o s ( a ) + p 0 8 ( b ) 显然可能性测度是一个下半连续的模糊测度 利用可能性测度p o s ，还可以定义另一个集函数n e c n e c ( a ) = 1 一p o s ( a c ) ，a p ( r ) 称n e c 为一个必要性测度，它也可以通过下面定义给出 垂 第2 章基本概念 定义2 2 集函数n e c 定义在p ( r ) 上，称n e c 为一个必要性测度，如果它满 足下面的条件； n e c1 ) n e c ( 咖) = 0 ，n e c ( r ) = 1 ； n e c2 ) n e c ( n j a ) = i n f 诞，n e c ( a ) 对于任意的尹( i 、) 的子集 ak ，) ，其 中j 是任意的指标集 对于必要性测度，我们具有如下性质： ( 1 ) 单调性：如果a ，b p ( r ) ，且acb ，有n e c ( a ) n e c ( b ) ； ( 2 ) 上半连续：如果 a n ) cp ( r ) ，a 1 ) a 2 ) ，则 h mn e c ( 4 n ) = n e c ( h ma n ) ； ( 3 ) 弱超可加：对任意a ，b p ( r ) ，有 n e c ( aub ) + n e c ( 以nb ) n e c ( a ) + n e c ( j e 7 ) 显然必要性测度是一个上半连续的模糊测度 最近，基于可能性测度，l i u 和l i uf 2 1 】定义了具有自对偶性的可信性测度c r ： 定义2 3 设( r ，p ( r ) ，p o s ) 是一个可能性空间，如果集函数c r 定义为 1 c r ( 4 ) = 去( 1 + p o s ( a ) 一p o s ( a 。) ) ，a p ( r ) 则称集函数c r 为一个可信性测度，其中小是集合a 的补集 我们容易验证可信性测度c r 有下面的性质： c r1 ) c r ( ) = o ，c r ( r ) = 1 ； c r2 ) 单调性：如果a ，b p ( r ) ，且acb ，则c r ( a ) c r ( b ) ； c r3 ) 自对偶性：对于所有的a p ( r ) ，都有c r ( a ) + c r ( a 。) = 1 ； c r4 ) 次可加性：对任意的a ，b p ( r ) ，有c r ( aub ) c r ( 4 ) + c r ( b ) 称三元组( r ，p ( r ) ，c r ) 为一个可信性空间【矧 2 2模糊变量与模糊向量 河北大学理学硕士学位论文 通过可信性空间，l i u 【2 6 】定义了一个重要的基本概念模糊向量，其定 义如下： 定义2 4 设( r ，p ( r ) ，c r ) 是一个可信性空间如果专= ( 1 ，靠) t 是一个 从r 到实数空间瓣m 的集函数，则称是一个定义在可信性空间上的m 维的模糊 向量特别地，当m 等于1 时，称为一个模糊变量 对于任意的芒= ( t 1 ，) t 瓣m ，的可能性分布定义如下【2 6 】 比( t ) = m i n 2 c r o ) 的闭包，即兰是妒中满足c r 1i n ) 三) = 1 的最小 闭子集 如果是一个仇维的模糊向量，并且它的支撑三是跪m 的个有界子集，那 么称是一个有界的模糊向量 如果对于任意的f 妒，模糊向量乏的可能性分布胜( z ) 都满足 l i m s u p 心( 亡) = 心( d ， 即上半连续，则称是上半连续的 根据上半连续函数的性质【3 1 】，胀的上半连续性可以描述为如下命题： 命题2 1 设心是m 维模糊向量善的可能性分布比的如下性质是等价的： ( 1 ) 心在g p 上是上半连续的； ( 2 ) 心的下图 ( 亡，a ) 瓣m 驼i q 心( 亡) ) 是g p + 1 的一个闭子集； ( 3 ) 的口截集p = o 驼m 恢( ) a ) 都是g p 中的闭子集 基于可信性测度，l i u 和l i u 【2 1 l 定义了模糊变量的期望值 定义2 5 假设是定义在可信性空间( r ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊变量，的期望 可以定义为 ，- o o，o e 晤】= c r 7 k ( 7 ) r ) d 7 一 c r 7 i ( ，y ) 7 ) d 7 ，0_ ，一 第2 章基本概念 要求上式右端表达式的两个积分至少有一个有限 定义2 6 设( r ，p ( i 、) ，c r ) 是一个可信性空间，是( r ，p ( r ) ，c r ) 上的一个r 维的模糊向量我们用p ( 咿) 表示彤的幂集，则对于任意的a p ( 咿) ，我们有 一1 ( a ) = ，y r l 荨( 一y ) a ) 因此上述诱导可信性测度q = c ro _ 1 定义为 c ( a ) = c r 一1 ( a ) ) = c r ( 一y r k ( 7 ) a ) ) ，a p ( 乎f ) 称三元组( 掰，p ( 彤) ，c ) 为模糊向量f 诱导出的可信性空间 定义2 7 假设【靠) 是定义在可信性空间( r ，p ( r ) ，c r ) 上的一列模糊变量 ( 1 ) 称礼个模糊变量专l ，靠为相互独立的，如果对于任意的岛跪，t = 1 ，n ，有 眠，矗( 右1 7 一，) 2 璁p 矗( 岛) ， 其中p “，靠( 亡1 ，亡n ) 是模糊变量专1 ，靠的联合可能性分布，而心( 如) 是模 糊变量的边缘可能性分布 ( 2 ) 称模糊变量序列矗，2 ，为相互独立的，如果对于任意n 2 ，模糊变量 6 ，矗是相互独立的 定理2 1 【3 2 l 假设& ，蕾= l ，几是定义在可信性空间( r ，p ( r ) ，c r ) 上的模 糊变量，则它们相互独立的充要条件是对任意的子集bc 诧，主= 1 ，2 ，n 有 c r & 鼠，江1 ，2 ，n ) 2 煦c r 靠b 一 河北大学理学硕士学位论文 第3 章最小风险模型目标函数的连续性 在这一章里，我们首先介绍两阶段模糊最小风险模型和两阶段v l r 模型，然 后对带有固定补偿的两阶段最小风险模型，我们讨论了补偿函数的连续性，为研究 两类模型的关系奠定基础 3 1 模型的建立 在本节里，我们将对两阶段模糊最小风险模型和两阶段模糊风险值模型做一 个简单的介绍在这个理论框架下我们将在第二节中研究带有固定补偿的两阶段模 糊最小风险模型的一些基本的性质 为了提出两阶段模糊优化问题，我们首先看下面的规划问题 n l i n c r z + ，( ) 可 & l 拿器盂w ( ) 秒：九( ) ( 3 1 ) t ( ) z + w ( ) 秒= 九( ) 、。“7 z 0 ，矽0 在问题( 3 1 ) 中我们假设z 舻1 ，可咿2 ，c ，a ，6 分别是n 1 1 ，m 1 礼1 和m 1 1 维的确定矩阵进一步地，我们把g ( ) ， ( ) ，丁( ) 和w ( ) 表示成下面的仿射组合 形式 口 ) = 口o + ：lg i 矗 粥三尝：群 ( 3 2 ) t ( ) = p + ：】p & v 。7 w ( ) = w o + ：1w & 其中= ( 1 ，已，靠) t 是个r 维的模糊向量并且口| ，p 和w ， = o ，1 ，r ， 分别是他2 1 ，仇2 1 ，m 2 m 和m 2 礼2 维的确定矩阵整个决策方案如下； 给出决策 得到f 的一个实现值 给出决策可 根据以上的这个决策方案，我们提出一个两阶段模糊优化问题，在这个模糊决 策过程中我们需要求解两个优化问题假设决策z 和，y 已经确定，我们可以把第 第3 章最小风险模型目标函数的连续性 二阶段问题或补偿问题表示成以下的形式 呼，( 洲) 秒 s w ( 7 ) ) 可= 危 ( 7 ) ) 一丁 ( 7 ) ) 刃 ( 3 3 ) 可0 假设第一阶段的决策向量z 满足下面确定的约束条件； d 1 = a 刃= 6 ，z o ) 为了讨论问题( 3 1 ) 的解，这里有必要引进决策向量z 的其它限制设d 2 表 示对模糊向量的几乎每个可能的实现值( ，y ) 量使得问题( 3 3 ) 都有一个可行 解的所有z 舻1 构成的集合如果我们用q ( z ，f n ) ) 表示问题( 3 3 ) 的最优解， 那么d 2 可以表示为 现= zlz 咿1 ，c r _ ，yiq ( z ，f ( 7 ) ) = 1 由线性规划的对偶理论【1 1 ，对于任意给定的z d = d lnd 2 ，如果三是咿的 一个区间，并且第二阶段的线性规划问题( 3 3 ) 在三上满足下面的两条假设，那么 q ( z ，) 关于三是一个实值连续函数 ( a 1 ) y 跪n ：，秒o ，! ，o ，v 矿( ) 秒= o 爿口r ( 白) o ； ( a 2 )! ，g p z ，u o ，v 矿t ( g ) u o 号( ( 拿) 一t ( ) z ) r 妒) ， 这里q ，( ，y ) ) 是在给定第一阶段的决策变量z 和，y 的情况下，问题( 3 3 ) 的最优 值 我们知道c r 具有自对偶性如果我们定义 西妒( z ) = c r 7 ric r z + q ( z ，( 7 ) ) 妒) 作为模糊变量，刃+ q ( z ，专) 的可信性分布，那么我们得到对于任意的z d 有 圣妒( z ) = 1 一q c ( ) 通过以上的讨论我们可以把最小风险问题( 3 5 ) 表示成下面的等价问题 z 皆 郇( z ) jz 研 ( 3 6 ) 其中 圣i p ( 刃) = c r 7 rlc r z + q ( z ，( 一y ) ) 妒) ， 并且 q ( z ，) 。呼g t ( ) 可 s t w ( 7 ) ) 影= ( 专( 7 ) ) 一? ( n ) ) 2 ( 3 7 ) 可0 显然对于任意给定的第一阶段的决策变量z d ，目标函数圣妒( z ) 关于妒是一个 非增的函数 我们再引入最小风险准则的另一种形式，即两阶段模糊风险值问题( v r p ) 这 种最小风险准则的具体形式表示如下：假设事先在开区间( o ，1 ) 中选择一个可信性 水平q ，则a 风险值可以定义成下面的形式 q q y 口r ( z ) 之i n f 妒l 由妒( ) q ) ， 1 m 第3 章最小风险模型目标函数的连续性 其中圣妒( z ) = c r 7 ric t z + q ( 刃，f ( ，y ) ) 妒) 是模糊变量c t z + q ( z ，) 可信性 分布 使用上面的记号，一个两阶段模糊风险值问题( v r p ) 可以表示成下面的形式 m i n _ q a y 口r ( z ) lz d )( 3 8 ) 其中 q a y 口r ( z ) = i n f 妒ic r 一y ri ，z + q ( z ，f ( 7 ) ) 妒) q ) 并且 q ( z ，毒( 7 ) ) = 玛i ng t ( ( ，y ) ) 可 s t 谚( ( ，y ) ) 0 = ( ( 7 ) ) 一t ( ( ，y ) ) z ( 3 9 ) 可0 对于任意给定的第一阶段决策z d ，我们很容易验证函数q a y 口r ( z ) 关于q 是非 增的函数 3 2补偿函数的连续性 在本节中我们首先讨论可信性目标函数q c ( z ) 的一些数学性质，它是关于第一 阶段的决策变量z 的个函数并且也与模糊向量专的可能性分布有关为了方便研 究函数q c ( z ) 的分析性质，这里我们引入皇上的一个诱导可信性测度c = c r o ， 并且把最小风险问题( 3 6 ) 表示成下面的形式 其中 m a x z 圣妒( z ，c f ) lz d ) 圣妒( z ，c ) = c f 毒三ic ：r 刃+ q ( z ，毒) 妒 ， ( 3 1 0 ) 以戤亭：i 端黑m z 仕 8 t w 7 ( 专) 可= ) 一t 恁) z p j l j 可0 下面，我们将讨论补偿函数的连续性，并假设( ) 和g ( ) 与模糊向量是 无关的，即w ( 毒) 和g ( 毒) 都是确定的在这种情况下，第二阶段价值函数q ( z ，) 可以表示为皿( 危一t z ) 并且= ( 九，丁) 以及= ( 元，于) 河北大学理学硕士学位论文 假设 厶) 是p ( 彤) 上的一个集合序列这个集合序列的下极限和上极限分 别定义如下。 h m i n f n 。厶= un a n ， j = 1 n = 巧 o o l i m s u p n 。4 n = nu a n 命题3 1 【2 4 】假设 a n ) 是p ( 掰) 上的一个集合序列 ( 1 ) 如果c 矿( 1 i m 肼n 。a n ) o 5 ，则1 i mi n f n 。c f ( a n ) c 矿l i mi n f n 。o o a n ( 2 ) 如果c f ( 1 i ms u p n a n ) o 5 ，则l i ms u p n - c f ( a n ) c 庐l i ms u p n 。a n 如果我们记 a ( z ) = ( 元，于) 巨i ，z + 皿( 无一于z ) 妒) 则有下面的结论： b ( z ) = ( 盂，于) 三lc r z + 雪( 盂一于z ) = 妒) 命题3 2 假设= ( 九，t ) 三是第二阶段优化问题( 3 3 ) 中的一个模糊向量 并且支撑三c 咿是一个区间同时假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立并且z d ， z n ) cd 是一个收敛于z 的序列则有 ( 1 ) h m i n 厶a ( z n ) 3a ( z ) ； ( 2 ) l i m s u p n a ( z n ) ca ( z ) ub ( z ) 证明：假设( 元，于) a ( z ) ，则，z + 田( 元一于z ) 妒由前面的假设( a 1 ) 和 ( a 2 ) 可知皿是连续的因此，这里存在某个整数，使得当礼时，有下面的 结论 ，z n + 皿( 元一于z n ) 妒 上式表明对于任意的n 芝有( 元，于) 4 ( n ) 因此，可以得到 ( 九，r ) u mi n f n - + a ( z n ) 1 2 第3 章最小风险模型目标函数的连续性 这样我们就证明了上述的结论( 1 ) 下面我们证明结论( 2 ) 假设( 毳，于) l i m 8 u p o 。a ( n ) ，则存在一个 礼 的子 列 妒由皿的连续性我们得到 c t z + 皿( 毳一于z ) 妒 如果，z + 皿( 磊一于z ) 妒，则( 元，于) a ( z ) ；否则，( 矗，于) b ( z ) 因此，结论得 证 下面的定理是关于可信性目标函数连续性的一个主要结果 定理3 1 假设= ( 九，t ) 三是第二阶段优化问题( 3 3 ) 中的一个模糊向量并 且支撑三c 孵是个区间同时假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立并且在三上有q = c r o - 1 成立如果z d 并且( a ( z ) ub ( z ) ) = q ( a ( z ) ) ，则 ( 1 ) 如果q ( a ( z ) ) 0 5 ，那么q c ( ，c ) 关于z 是下半连续的； ( 2 ) 如果饼( a ( 茁) ) o 5 ，那么q g ( ， ) 关于茁是上半连续的； ( 3 ) 如果 ( a ( z ) ) = o 5 ，那么q c ( ，) 关于z 是连续的 证明：假设z d 并且 2 n ) cd 是一个收敛于z 的序列根据命题( 3 2 ) ，有 c f ( 1 i mi n f n 。a ( z n ) ) c ( a ( 2 ) ) ， 和 c f ( 1 i ms u p n a ( z n ) ) c ( a ( z ) ub ( z ) ) 由于c ( a ( z ) ub ( z ) ) = ( a ( z ) ) ，我们可以得到下面的结论 c 亡( 1 i mi n f n o o a ( z n ) ) = c ( 1 i ms u p n + a ( z n ) ) = c f ( a ( z ) ) 如果饼( a ( z ) ) o 5 ，那么由命题( 3 1 ) 中的( 1 ) 可以得到 q c ( z ，c ) = q ( a ( z ) ) = c ( h mi i l f n 。o o a ( z n ) ) 1 i mi n f n 。c f a ( n ) ) = l i mi 击n 。q c ( z n ，c ) ， 从上式可以得到q c ( ， ) 关于z 是下半连续的因此，( 1 ) 成立 】3 。 河北大学理学硕士学位论文 另一方面，如果c f ( a ( z ) ) 0 5 ，那么我们由命题( 3 1 ) 中的( 2 ) 就可以得到 下面的结论 q g ( 2 ，c ) = c ( a ( z ) ) = c 亡( 1 i m s u p n 。a ( z n ) ) 1 i ms u p n o 。c f a ( z n ) ) = u m s u p n 。q c ( z n ，c ) ， 从上式可以得到q g ( ，c ) 关于z 是上半连续的因此，( 2 ) 成立 由上面的前两条结论立刻得到定理的第三条结论因此，我们证明了整个的定 1 4 - 第4 章最小风险模型与v a r 模型之间的关系 第4 章最小风险模型与v a r 模型之间的关系 在这一章里，我们将研究最小风险模型与v a r 模型之间的关系首先，通过 模型性质我们研究了可信性目标函数与风险值目标函数之间的相互关系；其次，讨 论了最小风险模型与l r 模型在最优解方面的关系，从而为求解两类风险模型提 供一个可行的求解方法 4 1 两类模型最优值之间的关系 上面我们已经介绍了风险问题的两类准则，为了研究两类模糊规划模型之间 的关系，下面我们首先讨论上半连续模糊变量的性质 命题4 1 假设专= ( 1 ，已，靠) t 是紧支撑三c 铲上的一个上半连续模糊 向量并且，是三上的一个连续实值函数，那么，( ) 是一个上半连续模糊变量 证明：为了证明，( 专) 的上半连续性，我们只需要证明对于任意的一个序列 o ，存在6 o 使得 s u p肛( s ) p ( 刁+ e ， 8 旺一6 ，t + 司 即p o s 手一6 f + 6 ) 弘( d + e ，因此，对于任意的f 亡f + e ，我们可以得到 p o s 亡) 一p o s 荨玎= p o s 善毋vp o s f 亡) 一p o s 毋 p o s 专玎v ( p ( 习+ e ) 一p o s 玎 p o s 母v ( p o s 荨毋+ g ) 一p 0 8 毋= g 上式表明p 0 s t ) 是右连续的 另一方面，p o s 【专 亡) 的右连续性由p 0 8 的下半连续性容易验证因此，我 们可以得到 1 c r t ) = 丢( 1 + p o s _ 亡) 一p o s 亡) ) 关于t 是右连续的 下面我们将开始研究一种利用v r p 问题( 3 8 ) 来求解m r p 问题( 3 6 ) 的方 法在以上的两个问题中我们用圣4 ( 妒) 表示问题( 3 6 ) 的最优值并且用q 讫兄( q ) 表 示问题( 3 8 ) 的最优值即 并且 圣+ ( 汐) 2 躺垂妒( z ) ， q 。r ( q ) 2 癌q 砒r ( z ) 下面的命题讨论了函数+ ( 妒) 和q 钆r ( q ) 的单调性 命题4 3 最优值函数圣+ ( 妒) 是关于妒的个非减函数，而最优值函数q 移口r ( q ) 是关于q 的一个非减函数 证明：假设妒 矽由可信性函数的定义，对于任意的茁d ，我们得到 圣妒( z ) 圣妒( z ) ， 第4 章最小风险模型与v a r 模型之间的关系 因此， 圣+ ( 妒) 2 搿郇( z ) 黝( z ) = 西+ ( 矽) 上式表明圣4 ( 妒) 关于妒是一个非减函数 另一方面，假设q p ，则对于任意的刃d ，有 妒i 圣妒( 茁) q ) ) 妒l 圣p ( z ) p ) ， 上式表明对于任意的z d ，我们得到 最后，我们可以得到 q q y 口r ( z ) q 口y 口r ( z ) q 移口r ( q ) 。裂3 么y 口只( z ) 裂b 鲂y 北( z ) q 沈r ( p ) ， 所以命题得证 由模糊变量的上半连续性有下面结论 命题4 4 假设= ( f 1 ，已，靠) t 是紧区间支撑三c 彤上的模糊向量并 且是第二阶段优化问题( 3 3 ) 中的一个上半连续模糊向量如果满足假设( a 1 ) 和 ( a 2 ) ，那么对于任意的z d ，q ( o ，1 】和9 = q a 讹r ( z ) ，则有西驴( z ) q 证明：由 9 = q a y 口兄( z ) = i n f 妒l 圣妒( ) a ) ， 则存在一个以9 为极限递减序列 ) 使得对于任意的n ，有圣妒。( ) a 由假设( a 1 ) 和( a 2 ) 可知，对于任意的z d ，第二阶段价值函数q ( z ，毒) 关 于变量三是连续的又从命题( 4 1 ) 知道对于任意的z d ，q ( z ，) 是一个 上半连续模糊变量；由命题( 4 2 ) ，我们知道对于任意的z d ，西妒( z ) 是关于参 数妒右连续的因此， 西9 ( z ) = j i l 跫圣妒。( ) q ， n + o o 命题得证 由上所述，下面给出两类模型在最优值方面的关系 河北大学理学硕士学位论文 定理4 1 假设= ( 1 ，已，靠) t 是紧区间支撑三c 渺上的模糊向量并 且是第二阶段优化问题( 3 3 ) 中的一个上半连续模糊向量如果满足假设( a 1 ) 和 ( a 2 ) ，那么对于任意的两个实数妒，妒并且妒 妒使得西( 妒) 口并且圣+ ( 妒) = s u p z d 西妒( z ) ， 因此，存在意d 使得圣妒( 爱) q 由 q q y 口r ( 圣) = i n f 妒l 圣妒( 岔) q ) ， 贝0 有q a y 口兄( 面) 妒因此， q 移口r ( q ) 。囊3 瓯啪( z ) 妒 下面我们利用反证法证明q 讫r ( q ) 妒假设 q n r ( 口) 2 裂bq q 眦( z ) 妒， 可知存在某个丞d 使得q a y 口r ( 面) 妒 这里我们记 9 = q a y n r ( 面) ， 则由命题( 4 4 ) ，可知西9 ( 圣) q 又由c r 的单调性，可知圣妒( 意) q ，这说明 圣+ ( 妒) 2 鼢圣妒( z ) a 上式与圣+ ( 妒) 口产生矛盾所以命题得证 定理4 2 假设= ( 1 ，已，靠) t 是紧区间支撑三c 渺上的模糊向量并 且是第二阶段优化问题( 3 3 ) 中的一个上半连续模糊向量如果满足假设( a 1 ) 和 ( a 2 ) ，那么对于任意的两个实数p ，7 ( 0 ，1 ) 且p 7 ，则由 西+ ( 妒) 。黜西i p ( z ) 可知存在某个圣d 使得圣妒( 2 ) ，y 记 乌讹r ( 岔) = i n f 妒l 圣妒( 面) ，y ， 则有g 讹r ( 面) 妒因此， q 孑a r ( 7 ) 2 裂马g 眦( z ) 妒， 上式与q ：，口r ( ，y ) 妒产生矛盾所以命题得证 4 2 两类模型最优解之间的关系 在这一节中，我们将讨论两阶段模糊最小风险问题和模糊风险值问题在最优 解方面的关系 定义4 1 假设jc 蹰是一个区间并且，：j _ 驼是个非减函数如果对于