（应用数学专业论文）两类带时间积分的非线性抛物方程解的性质.pdf

两类带有时间积分的非线性抛物方程解的性质 应用数学专业 研究生吕峰指导教师穆春来 本文讨论了两类带有时间积分的抛物方程解的性质。 本文第二章考虑了一类如下的具有齐次d i r i c h l e t 边界的半线性抛物方程 t 一u = 竹2 ( t 一丁) ，( u ( z ，r ) ) d 7 - + u ( z ，t ) 文中给出了该方程解的爆破条件，并给出了当，( z ) 为特殊形式时该方程解的爆 破速率。 本文第三章考虑了一类如下的带有非线性记忆项的退化反应扩散方程 ( 铲) t 一u = 舻上u p d s ， 其中0 o 。文中利用构造上下解的方法给出了该方程解的有限 时间爆破与整体存在的条件，并通过研究给出了该方程解的爆破速率。 关键词半线性抛物方程，非线性记忆，爆破，整体存在，退化的反应扩散 方程，爆破速率 p r o p e r t i e so fs o l u t i o n so ft w op a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h t i m ei n t e g r a l m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：l vf e n g s u p e r v i s o rl m uc h u n l a i t h i sp a p e rs t u d i e dt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n so ft w ok i n d sp a r a b o l i ce q u a r t i o n sw i t ht i m ei n t e g r a l i nt h es e c o n dc h a p t e rw ed e d i c a t et os t u d y i n gt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hh o m o g e n e o u sd r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n 撕一让= 上m 。一r ) ，( 札 ，丁) ) d r + u ，t ) w ec a l lo b t a i nt h eb l o w - u pc o n d i t i o n sf o rt h es o l u t i o n ，a n do b t a i nt h eb l o w - u p r a t eo ft h es o l u t i o nw h e nf ( x ) i ss p e c i a l i nt h et h i r dc h a p t e rw ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd e g e n e r a t er e a c t i o n - 幽i o n e q u a t i o nw i t hn o n l i i l e a l m e m o r y ( 矿) t 一札= 妒z 扩d s ， w h e r e0 k 0 t h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o di su s e di nt h i s c h a p t e rt oo b t a i nt h eg l o b a la n db l o w - u pp r o p e r t i e sf o rt h es o l u t i o n ，a l s ow ev a n o b t a i nt h eb l o w - u pr a t eo ft h es o l u t i o n 关键词s e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，n o n l i n e a rm e m o r y , b l o w - u p ，g l o b a l e x i s t e n c e ，d e g e n e r a t er e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，b l o w - u pr a t e 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四j i f 大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。一一 导师拟 二零零七年- - _ - j 9 二十五f t 第一章绪论 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学，化学和生物学的成就和 发展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精确化往 往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩散 方程 通常我们把如下的半线性抛物方程 瓦0 u = d ( z ，) 手m ，让，v u ) ，( z ，t ) q 耳 称为反应扩散方程，其中，q r ，v u = ( 舞，象) 由于这种方程来源于物理学，化学，生物学，经济学以及各种工程问题中提 出的大量反应扩散问题，因而具有强烈的实际背景，例如： 例1 0 1 燃烧方程 例1 0 2 酶的数学模型 其中 8 t 。a s r ( 8 ，a ) + ( 8 0 一s ) 啦= o + r ( s ，a ) 一d ( a o a ) 脚2 赤 1 9 6 6 年，f u j i t a 考虑了下列半线性抛物方程的c a u c h y 问题 at。，)ku叫wup蛇,u(x 00 ，砌嚣r np 1 ( 1 0 1 ) 【，) = 呦( z ) 2 ， ， ”1 兰劳 p 一 酬 n n + 一 凹 凹 髓磁 = = 塑盛瓦 ，、【 四川大学硕士学位论文 第2 页 他证明了下列结论： ( ) 若l 0 ，征z 嚣r m 列 n 。固 i “( z ，) =) 2 ， z 川， 此方程来源于流体经过多孔介质所导出的数学模型以及人i = i 动力学系统模型 他们证明了如下的结论： ( ) 若1 0 ，( 1 0 3 ) 其中，q 为酽中具有光滑边界的有界区域这是一个退化方程，根据p 的取 值不同，会有不同的物理背景文献 3 ，f 5 】，【6 】，【2 5 】， 2 6 1 ， 3 2 1 都对该问题做出了研 四川大学硕士学位论文第3 页 究这些研究表明在p 1 的情形下有以下的结论：若a l ( a 为一在q 上 的具有零d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值) ，则方程的勰整体存在；若a 0 ，( 1 o 4 ) j n 该方程满足其次d r i c h l e t 边界条件，其中o 0 ，m l ，p ，q20 他们得到 了该问题的解的整体存在和有限时间爆破的条件，并得到了如下的爆破速率： c 1 ( t t ) 丽i 1 了m a x n - u ( z ，t ) c 2 ( t t ) 罚：两1 ， 其中，a ，c 2 o ，t 是爆破解“( z ，t ) 的爆破时间。 1 9 8 7 年，b e l l o u t 在【1 中研究了如下的一类带有时间积分的非局部方程： m 一乱= r m 。一r ) ，( u 扛，丁) ) d r + 9 ( z ) ， u ( 而0 ) 一u 0 ( z ) ， u ( x ，t ) = 0 ， 50 n r q 眯g 觚 0 z 四川大学硕士学位论文第4 页 其中q 是r 中带有c 2 边界的有界区域，f i t = qx ( 0 ，t ) 他证明了如下的 结论： ( o ) 若如g ，t u o d x 0 并且如螂如足够大，则u 在有限时间爆破其中 妒( z ) 为下列特征值问题的第一特征函数： f 一妒( z ) = a 妒( z ) z q ， 1 妒( z ) = 0 ， z a q ， a 为第一特征值令p ( ) 满足如妒( z ) 如= 1 ( 6 ) 若q 为一个球，并且u o 和g 为径向非增函数时，方程的解在。= 0 处 爆破 ( c ) 若q 为一个非对称的区域，则爆破集为q 的一个紧子集 ( d ) - 当，= ( + a ) 9 时，解的爆破速率为 c ( t t ) 一寿m a x 西u ( x ，t ) c ( t t ) - 毒，t ，z 1 9 9 8 年，s o u p l e t 在 2 8 】中考虑了如下的两个带有时间积分的非局部方程： “ 啦一a u2 p ( z ) 上u p ( x , s ) d s a u 4 ( z ，t ) ， 。 ( 1 - 0 6 ) 和 地一珏= 芦( z ) o 上厣( 掣矽( 弘s ) d y d s 一黜。( b 。， ( 1 n 7 ) 其中t 0 ，f l ；p ，q21 ；a o ；p 为豆上的h s l d e r 连续函数；p 0 且不 恒为o ；口c ( 豆) ，0 且不恒为0 他得到了下述的结论： ( o ) 若p q ，则u 在有限时刻以l 。范数爆破 ( 6 ) 若p g ，则让整体存在 四川大学硕士学位论文第5 页 在1 9 9 9 年，h i r a t a 在【8 】中研究了下列方程： ， t l 魄一”_ 扩上 u p 如， 如，o qx ( o ，d ， “( z ，o ) 一札o ( z ) ， z q ， ( 1 0 8 ) 【札( z ，t ) = 0 ，x e 锄 当p = q = l 时，此方程描述了核反应堆模型，因此该方程具有很强的物理背景 在2 0 0 4 年，李玉祥，谢春红和s o u p l e t 分别在文献【1 8 】，【2 9 中对上述方程进行 了讨论他们得到了如下的结果： ( 口) 若p + q 1 当q 1 时，初值充分大，则上述问题的解在有限时刻 爆破；初值充分小，则整体解存在当q 0 ，( 神 0 ，若s 0 m c 1 ，m ( s ) 2 m 0 ，m ( s ) 0 ，若8 0 u o 俨( 丽) ，u o 0 ，z q ，u o = oz a n 下面我们给出方程( 2 0 1 ) 的解整体存在和在有限时间爆破的定义 定义2 0 1 若让( z ，t ) 是方程廖0 纠的解，我们定义； t = t ( u ) = s u p t o ，u ( z ，t ) 是有界的，0 ，t ) q ( 0 ，t ) ) ( 2 0 5 ) 若t = + o 。，即对所有的t 0 ，我们有f 札“t ) f p o o ，更l i 称解是整体存 在的，也称乱为整体解 否则，若t + 6 。，则称t , 在有限时间爆破 、) l02 ，【 t c = k 0 g 甜 b 0 z 卫 筇 句 0 o 0 偿 但 但 l 1 时，俾0 有如下的爆破速率估计 a ( t t ) 一南s 僦z 铲( z ，t ) q ( t t ) 一南， t z 其中c 1 ，q 为常数 2 1 有限时间爆破 对于半线性问题( 2 0 1 ) 我们考虑c ( i b ) nc 2 1 ( q t ) 中的经典解从【8 】和 【2 8 中可以得到解的局部存在以及唯性 定理2 1 1 的证明在( 2 0 1 ) 两边同时乘以妒并且在q 上积分，可以得到 上毗p 出= 一a 五仳妒出+ 上上。m 。一r ) ，( u ( z ，r ) ) 妒打出+ 上u 妒如 四川大学硕士学位论文第8 页 f 。u t t 触= 一a z 珏t 妒如+ m ( o ) 五，( 钍) 妒出 f o m ( t 一下) 上m ( ”) ) 妒d x d r + 。u , ( p d d z z ( 2 1 1 ) 一下) 上似( ”) ) 妒 z ( 2 1 1 ) 由假设( 2 0 5 ) ，可得到u t ( z ，妨0 ，则 上，( u ( 。，t ) ) 妒如上，( u ( z ，r ) ) 妒如，计t ， 上m 似丁) 上，( u ( z ，丁) ) 妒d 。打( 二，( ( z ，啪妒如) r m 他一r ) 打( 2 r 1 2 ) = l o s ( u ( 。，) ) 妒d z ( m ( t ) 一m ( o ) ) 利用( 2 1 1 ) 以及( 2 1 2 ) ，有 u u 妒d x _ 一( 入一1 ) 上饥妒d z + m ( t ) 上，( u 哆r ) ) 妒咖， 从而由j e n s e n 不等式，可得 上咄2 一n 一1 ) 五啦妒如+ m ，( 上仳妒出) 定义口( t ) = 如妒( z ) u ( 而t ) 妇，a 满足 f0 ，( t ) 2 一( 入一1 ) 口，( t ) 4 - a f ，( ) ， 搿二髅如妣 由于f 满足( 2 0 6 ) 以及( o ) 足够大，由【1 2 】，o 在有限时间爆破 注当( 2 0 1 ) 中第一个方程变为 砜一钍2 上m ( t 一下) ，心( 叠r ) ) d 7 - + 9 ( 。) ) ， 其中g c 1 且9 7 0 时，则由定理2 1 1 的证明，仍可得到秕在有限时间爆 四川大学硕士学位论文 。第9 页 2 2 爆破速率的估计 在这一节我们假设，( u ) ；矿，p 1 ，并在此条件下考虑( 2 0 1 ) 的爆破速 率我们假设q 三b r ( 0 ) ，并且记t 为爆破时间 引理2 2 1 设口，b ，c 为璐中的有界连续函数， c 2 ，1 ( f 2 t ) 满足 f 他一u = 。u + 6 r c ( 咖( s ) d s ， 1u ( z ，o ) 20 ， l “( z ，t ) 20 ， 则u 0 对( z ，t ) q t 成立 该引理的证明类似【1 8 】中的引理2 2 b ，c 0 若u g ( 珥) n ( z ，t ) q 丁 q ， a q ， 引理2 2 2 令，( “) 一u p ，a if ；m ( t 下) 妒打+ “，j = 毗一以，0 e 1 ，则 j ( x ，t ) 0 ， ( z ，t ) qx ( o ，t ) ( 2 2 1 ) 证明直援计舁j 得 五一a j ( 毗一a u ) t + ( m 一“) 一e rm ，( t r ) 舻d 下一e m ( o ) ，( 让) + 印r m 。一r ) 妒- 1 = ( m ，( t 一7 _ ) 矿d r + m ( o ) u p + u t - a - e z m ，o r ) 伊d r2 上m ，( t 一7 _ ) 矿d r + m ( o上耐。一r ) 伊d r 一m ( o ) 矿+ 印f m ( 亡一下) 舻一1 ( 啦一a ) d r 一m ( o ) 矿+ 印上m ( 。_ 下) 舻- 1 ( 咚一 r = ( 1 一e ) r m 他一r ) 扩打+ ( 1 一) m ( o ) 扩+ j 却。一1 ) z m 一r ) u ，- i 撕打+ p z m 一丁) 矿一1 j却。一1 ) 上m 一r撕打+ p 上m 一丁) 矿“。 ：。，+ pl r m 一r ) 矿j d r = ，+ m 一r ) 矿一1 四川大学硕士学位论文第1 0 页 因为j ( z o ) 0 ，z q ，并且j ( x ，t ) = 0 ，z o 2 由引理2 2 1 可得 ( 2 2 1 ) 式成立 引理2 2 3 令u ( t ) = m a x 。五( z ，t ) ，0 t t ，则存在常数c 1 使得 u 扣+ 1 ) ，2 兰gf u p d r ,o _ c 1 f o t u p d r u ( v + 1 ) 2 c 1 ，矿打 j o 引理2 2 4 令v ( t ) 满足引理2 3 3 中要求，则存在依赖于t 的常数q 使得 u 佃+ 1 ) 2 c 2 厂沪d r o t z ( 2 2 3 ) j o 证明由u ( t ) 的定义，由【3 】可得 类似于引理2 3 3 ，可得 z 。m 一丁) u p d r + 以 警矿1 驯o ) ( z 嘶) 2 + t + 掣 四川大学硕士学位论文第1 1 页 从而存在依赖于t 的常数c 2 ，使得 沪+ 1 q ( z 驴打) 2 ， o t ? 成立，即( 2 2 3 ) 成立 定理2 1 2 的证明联立( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) ，可得 g u p d d o 7 - su 1 舱q ( j o 扩打) 令g ( t ) = 詹泸d 丁，则 c l g 印( p + 1 g ，( t ) c 2 g 2 p 扣+ ，0 t z 在( t ，t ) 上积分，可得 c 1 ( r t ) 一昔u 2 笋c 2 ( t t ) - 者， f t 从而可得定理1 3 的结论 第三章一类含非线性记忆的退化反应扩散方程解的性质 在这一章我们讨论如下的带有非线性记忆的退化反应扩散方程 ( “。) t 一u = 伊z 2 “ u ( x ，0 ) = t 幻( z ) ， u ( z ，t ) = 0 ， 其中q 是酽中带有俨边界a q 的有界区域，n ? = n ( 0 ，r ) ，0 k 1 ， p ，q 之0 ，u o ( x ) 为非负非平凡的连续函数，并且u o ( x ) i 船= 0 我们给出以下假 设： 。 ( h 1 ) 对0 o l 1 ，则对足够小的初值u o ，p 0 纠的解整体存在 定理3 0 4 若p - fq k 并且h 1 一h 3 成立，则存在两个正常数c 1 ，c 2 使得 e l ( t 一t ) - 再 石m a x 。而u ( x ，t ) c 2 ( t ，一t ) - 赤，t _ t 成立，其中t 4 为u ( x ，t ) 的爆破时间 3 1 解的爆破性 ( 3 0 1 ) 的经典解的局部存在性可以由 【15 】，定理2 1 】和【2 8 】，定理a 4 得 到 在这一节中我们运用上下解方法得到( 3 0 1 ) 的解的爆破条件 。 下面的两个比较原理是我们这章证明的主要工具为了讨论的方便，我们 对( 3 0 1 ) 进行一些变换 、 令m = 1 后 1 ，“= v ，则( 3 0 1 ) 可以变成下述的等价形式： 阮vt-a，v：m0v o ( 口x i 躲8 答 m ( z ，) =) = 砧( z ) ， z n ， 【3 1 1 ) 【口( z ，t ) = 0 ， z 6 q 引理3 1 1 假设口，b ，c 为面上的有界连续函数， 仇一a ( v ”) a v + b c ( s ) v ( s ) d s 一 j 0 v ( x ，0 ) 0 ， 口( z ，t ) 20 ， 则可20 ，( z ，t ) q 丁 引理3 1 1 证明类似于 1 8 】中的引理2 2 m 1 如果 ( z ，t ) f 2 t ， z q z 锄 四川大学硕士学位论文第1 4 页、 定理3 1 1 令，g ：【0 ，o 。) 一【0 ，0 0 ) 为( 0 ，o 。) 为非减非负的局部l i p s c h i t z 函 数，m 1 假设，t ，e ( i 再) n c 2 1 ( q r ) 并且u2 6 0 ， o ，满足 u t 一( u ”) 夕( “) f ( u ) d s ，( z ，t ) q t 僻 仇一a ( v ”) 茎9 ( 口) f ( v ) d s ，( z ，t ) 1 2 t ( z ，0 ) 2t ( o ，o ) ，。q ， “( z ，t ) l o n t ，( z ，t ) l o q ， 则在p - r 上有u 妒 定理3 1 1 的证明类似于【1 8 】中的定理2 3 的证明 由标准的比较原理，可得下面的引理： 引理3 1 2 若0 0 不失一般性，我们假设0 q ，并且令自k ( 0 ) c c q 为了证明定理3 0 1 ，我 们首先在b r ( 0 ) 中考虑下述问题： ( 沪) 一a u ：u q 沪幽，z b r ( 0 ) ，0 f r ， j 0 u ( x ，o ) = ( z ) ，z b r ( 0 ) ( 3 1 2 ) u ( r ，t ) = u ( r ，f ) ，0 k ，则c ，对足够大的初值v o 在有限时间爆破 四川大学硕士学位论文第1 5 页 证明我们的证明主要仿照 1 8 中的思想，构造一个如下形式的爆破自相似解 笪( r t ) = p ( r ) h ( 删 m ，0 r r ，o t t ， + ( 3 删 其中 h ( r ，t ) = 4 t 2 一叫7 ( r ) 一t ) 2 ， 一。 叫( r ) = ；( 1 + c o s 万7 r r ) c 0 8 2 ( 丢) 显然，当t 接近3 t 时，笪( r t ) 在r = 0 处爆破在下面的证明中我们将把区间 ( 0 ，3 t ) 划分为两个区间：( 0 ，t 2 ) 和( t 2 ，3 t ) 在区间( 0 ，t 2 ) 上，( 3 0 1 ) 的 左边是主要部分，但在区间( 巧2 ，3 刁上，( 3 0 1 ) 的时问积分项起着主要作用 直接计算可得 。 一a w 矗馐c o s 篝+ 了n - - 1s m 篝) 从而存在惟一的t 0 ( 0 ，r ) 使得 一a w 0 ，当r o r r ，( 3 1 4 ) 0 - a w 墨蒹r w c o $ 2 舞，当o r 2 ，f21 以及ts1 2 使得h ( r ，t ) 1 ，则由一系列 四川大学硕士学位论文第1 6 页 的计算可得 m u 三 ( u b t a u 一- 馨f t 谚a s 2 w a + 1 ( t 一) 。0 ( 叫1 ) 2 k r w 一- i1k)v21wa+l t 2 k r w a - 1 v ( w 叫 一t ) 2 t 一 )( 叫1 )叫0 一t ) 2 2 盯( 岩1 ) 叫l 附棚h l v t k t ) m 一? ) 2 2 盯伽k h m t k 忏+ ll a w ( t 一丁) 2 由于0 k 1 ，可得 ( 3 1 6 ) d s h l p k a ( w 1 ) = ( 1 k ) ( 1 1 k ) w 1 一2 i v w l 2 1 k w l 肚1 a w 一1 k w l a w ( 3 1 7 ) 由( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) ，我们可以得到 m u 2 1 w 叶1 ( t t ) w 1 一1 a w 危i + 1一两了7 厂一 叫口肚却肚，td s h l q i e i oh p l k l q w l 。扣a w ( t 一2 面丽玎一 ( 3 1 8 ) 下面我们分两种情况来进行讨论：( 1 ) 当0 t t 2 时，我们将证明对充分小 的t ，有下式成立； 2 1 w 4 矿+ l ( t - t ) 一可w l k - i a w 一h r w l k + 丽4 - i a 两w 一( t - t ) 2 。( 3 1 9 ) ，+ 1后 2 后危f k + 1 ” 、 7 因为0 k 1 ，h23 严，我们只需证明 一加s1 2 l k w f 2 + 而o - i i l k ( 3 面t 2 ) 承l k - 可 ( t - t ) 选择l 采以及足够大的盯，使其可以满足l a 2 由于0 w 1 ，只需 证明 。 一 k 夏3 l 歹k 亍- i l w 互2 而+ 可a - 1 k 一 4 盯2 l 一2 ( f r 一” 斋 一 型 警熬 篡一 四川大学硕士学位论文第1 7 页 由( 3 i 4 ) ，当r osr r 时，上式显然成立当0 r r 0 时，由( 3 1 5 ) ，若 t n 等 一，互1 ： 成立，则上式也成立 ( 2 ) 若t 2 t 2 k ，可得 开1 ，矽) ( 3 1 1 0 ) _ 三喾4 l t w a + l 二罴( h w l k - 1 4 - l o w l 驽k + a - l ( t - - 驻t ) 2 ) ( - - a 业w ) w 鲨q k + p k d 8 ， q k 押 k o | 2州q l k + p k - a 2 -_，一 ( 1 p k 1 ) ? 肚一1 ( o ) 砖肚h l q l k ( i p k 一1 ) h 2 h q + 印。一1 q k + 1 ，则可得当0 1 w 1 以及t 2 s m i n 1 4 ，1 ( 9 6 ( 1 p k 一1 ) f ) ) 时， 尬篇篇c 筹+ 禹叫 丽w q 嘲k + p k - - q 2 【1 6 堂k - 1 ) i t 2 w 笔2 + 辔w 4 2 2 _ 1 】( 3 1 1 2 ) 元j i 刁西：两【1 6 ( 场。+ 虿：i 万一1 】( 3 1 1 2 1 亦篇篙羔丽【4 8 ( 叫z 以w a 2 - 5 - 。 s 蕊丽而可丽【4 8 ( 印七一1 ) z 严硼吒 当0 r r o 时令口= c o s 器) 。，c = ( 2 + 卢2 ) ( 2 + p ) 一1 ， c 1 = 2 i 仃+ c 0 8 面7 f t o ) 2 7 柚一1 m r 2 r 2 似砰) 四川大学硕士学位论文 第1 8 页 c 2 = l a + ( c o s 7 2 f r r o ， 1 2 k _ 2 n t r 2 ，( 、2 k r 2 ) ， 岛= ( 1 一c t p 一1 ) 伊m 4 ) 押m i ) 一m 由( 3 1 5 ) 和( 3 1 1 1 ) 可得 地筹wq+k+p掣k，12舞(ipk恙1w q k + p k - a ( z p k 一1 ， 一 二1 2 一) ：。t 矗：7 ：。，砖：危幻：，。一。九2 幻7 。+ 垴7 。一1 (ss，)wqlk+pk-2(1pk-1) = 器+ 品( 1 舻肛1 晰。 一 。wqlk+vlk-。12(1p-1)一p如肚一，竺!：!：!：f望丝二! l c o ) 砖2 h l q k 。h 2 h 口。+ t v 扣1 地 一灯1w 1 6 1 万t 2 + 筹一 +而万wqjk+p两k-甄a2lpk 丽( (一1 ) 危罗7 8 o g 七 ( 1 一c l v 。一1 ) 伊m 4 ) 却似4 ) 一1 2 ( 扫南 1 h j p l k - 1 ( o ) 一1 一) h 胛t q l k + t p 。一1 7 t o 1 1 n i i ) e p k 一1 、 h 7 1 。一1 7 由c 和p 的定义，容易验证对于t 2 t 3 t 以及0 r r o ，h l ( r ，t ) c h l ( r ，0 ) 成立换句话说成立 一矿c t p l k - 1 s 。( 3 1 1 5 ) 因为t 1 2 ，hs1 ，可得a c 2 因此要证明( 3 1 1 4 ) 的右边是非正的， 只需证明 尝+黑一(ik-旦一k-1hi+htlk l o ( 3 1 1 6 ) p k1 ) h q l k + l p l i + 1一。 、， 成立即可注意h 4 p 1 ，0 2 k ，则 l q k + l p k z 一2 l q k + i p k f 七一2 南 四川大学硕士学位论文第1 9 页 肛七+ l p 一2 2 ( 4 p ) 幻+ l p l 。一一2 ( 4 p ) 。口+ l p l 盘一丘一2 成立因此只要证明下式成立 4 z ( 4 t 2 ) l q k + l p k - l k - 2 + _ 2 刚删价帅肛- f 肚。2 墨云差音 换句话说，只要证明 t l z 吨s i i i i j i i 二i 4 7 。+ 跏7 一7 。一2 r 1 ( s ，) 成立即可因此如果我们令t 足够小，从而满足( 3 1 1 7 ) 并且2 盯 2 ( p 4 - q ) k ，痢我们能够证明 ，t ( 矿) t 一世一一u q 矿d s 0 ，0 现在，我们证明最后的结论令f = m a x 1 ，2 k p ，2 k ( p + q - 1 ) - 1 ，m a x 2 ，- 4 - q ) l k ，) 盯 口o e m 一口2 ! g 掣t 因为a t2 旦立笋t ，如果我们令p 亍( m a 崦撕) ，以及o l 足够大并满足0 1 22 卢串一1 ；，则面为( 3 0 1 ) 的一个上解证明结束 定理3 0 3 的证明令妒( z ) 为下面线性椭圆方程的唯一正解 一妒( = 1 ，z q ；妒( z ) = 0 ，z 踟 舷wt-a，=搿*wbdse0 ， 。 1w ( z ，) = ( z ) = 噶( z ) ， o 1 ，我们可令1 ( m 一1 ) r 0 ，使得r b o y ( 霸7 - ) = 0 ， 奎锄，_ r 0 ， ( 3 ，3 1 ) iv ( x ，0 ) = ( z ) ，o q ， 其中0 r = 1 一南 1 四川大学硕士学位论文第2 2 页 在此变换下，假设h 1 一h 3 变为了 ( h 1 ) 存在0 n 1 ，使得y o ( z ) c 2 扣( q ) n c ( _ ) ，y o ( z ) 0 当z q a y c - o u o 成立，其中 6 1 = ( t + ( p + q + r 一1 ) r ) ( + r ) 妇+ 2 p + r 一1 ) ) 升印押一1 p + 9 + 一， 为a q 上的外法向 下一步我们将证明( 3 3 1 ) 的解的爆破速率，从而可以进一步得到u ( x ，t ) 的 爆破速率假设( 3 。3 1 ) 的解在有限时刻p + 爆破，并且令m ( v ) = m a 崤y ( 文7 - ) ， 因为v ( z ，r ) 在t ”爆破，则存在t 1 【t o ，t ”) 使得m ( r 1 ) m a y o _ r 鲕v ( z ，r ) ， 从而对所有的r h ，t ”) 可以得到m ( v ) 2m ( t 1 ) m a x o ，r 。v ( z ，_ r ) 引理3 3 1 假设k ( z ) 满足饵j ，一但剀，则存在一个正常数甄使得 m ( t ) 尬( 丁”一r ) 一1 ( 舛口押一，7 1 0 ) ，利用y o u n g 不等式，可得 其中 v q + p 押_ 1 ( v q + 印秆- 1 d s ) v ( q + 2 m 1 s 暑盖多氅( 胪忡- 1 ) ? 叫肥撕叫 ( 3 。_ 5 ) + 孑万车五一时卅w ? r 伊卅l d s ， 口= ( 函+ r ) ( g4 - 2 p4 - r 1 ) ) 朋什计) 叫帅+ r - 1 ) ( 什料) 2 由h s l d e r 不等式可得 r 伊d s v ( q + 舛r - 1 ) ( q + 褂“( j f o v q + 2 p + r - 1 d ；) ，舳+ 2 舛) ( 3 3 6 ) 令，( z ，7 - ) = w 一6 v 驯计，则由直接计算可得 鼻一y t ，( 2 r 5 v q + p ”。1 + k q v g 打一1 ，y d s ) j k p v q 柑厂矿一1 肚 = r y 一1 ，+ 6 4 - 口4 - r ) 白+ q + r 1 ) i 朋+ 口+ 2 r 一2 i v y l 2 + r 6 2 v 2 p & 2 q + 2 r 一1 + k p s v 竹i o v q + 2 p + - i d s - ，k s ( p 川y 柳协1r 黜 2 r 铲沪+ 勾+ 知一1 + 印j i 腭十7 r p ”十耖+ r 一1 d s k s ( p + r ) 矿却印+ 打一l 7v pdsjo 儿 6 ( r 6 一七p + q4 - r 1 ) 8 ( 口+ ：矗件7 1 ) 2 ( p ( p + 口+ r 1 ) ) y 劫+ 2 叶2 r 一1 r 6 ( 6 5 1 ) y 印+ 2 叮+ 2 r 一1 由于j ( z ，r ) = 0 ，z a q ，以及j ( x ，) 0 ，z q ( 利用条件( h ，3 ) ) ，由引理 3 , 1 1 ，可得，20 ，( z ，_ r ) 孬xt o ，t + ) 四川大学硕士学位论文第2 4 页 在( 3 3 4 ) 两边对( r ，t ”) 积分，可得 y ( x ，7 - ) 陋( p + 口+ r ) 】一1 ( p + 4 + 一1 ( 2 v + 一r ) 一1 b + 4 + 一，( z ，7 - ) q t o ，t 料) 。 ( 3 3 7 ) 令k 2 = 陋p + q + r ) 】一1 p + 叶7 。并联立( 3 3 2 ) 和( 3 3 7 ) ，可得下面的引理 引理3 3 3 假设俾0 ，一但剀成立并且p ，3 纠的解在有限时刻爆破，则存在两 个正常数西，娲使得 k 1 ( ? “一7 - ) 一1 扣+ 口+ 7 1 ，( 7 - ) k 2 ( t “一7 ) 一1 ( 升口+ 一， ( 3 3 8 ) 其中? ”为y ( x ，7 | ) 的爆破时间 定理只口4 的证明在( 3 3 8 ) 中令r = 1 一k ，t = k t ，则可得 c l ( t + 一t ) 一1 ( v + q 一m a x , u ( z ，t ) c 2 ( t 一t ) 一1 ( p - 一， z n 其中t = 七r ”为u ( x ，t ) 的爆破时间并且c 1 = k l 殍p 触，伤= 謦口 ) 证明完毕 参考文献 【1 】b e l l o u t h ，b l o w u po fs o l u t i o n so fp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rm e m o r y ， z d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，7 0 ( 1 9 8 7 ) ，4 2 6 8 2 】d e n g ka n dl e v i n e h a ，t h er o l eo fc r i t i c a le x p o n e n t si nb l o w u pt h e o r e m s ： t h e s e q u e l ，zm a t h a n a l a p p l ，2 4 3 ( 2 0 0 0 ) ，8 5 - 1 2 6 【3 f r i e d m a n n aa n dm c l e o d b ，b l o wu po fs o l u t i o n so fn o n l i n e 2 t rd e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ，9 6 ( 1 9 8 7 ) ，5 5 - 8 0 【4 f u j i t a h ，o nt h eb l o w i n gu po fs o l u t i o n so ft h ec a u e h yp r o b l e mf o ru t = a u 十 “1 扣，zf a c s c i u n i v 乃幻口s e a1 am a t h ，1 6 ( 1 9