（应用数学专业论文）quantale的子结构及其性质.pdf

博士学位论文 摘要 本文主要对q u a n t a l e 子结构及其重要性质作了详细的分析和研究；通过描述 q u a n t a l e 的核，余核及同余关系，分别刻画了其商子q u a n t a l e 和同余类内部的本 质联系，考虑了一些有特殊意义的q u a n t a l e ，并获得了一系列有意义的结果全文 的内容共分五章 在第一章中，首先回顾了q u a n t a l e 理论的发展，说明了q u a n t a l e 理论在三个 方面的应用及本文所研究的主要问题 在第二章中，首先对q u a n t a l e 的重要性质和基本运算作了简要回顾，对后续 章节所需的重要结果( 未加证明) 作了引用，并补充了一些q u a n t a l e 的新的运算性 质其次对l o c a l e 的全体反序映射a n t ( l ，l 1 构成的q u a n t a l e 作了详细的论证和说 明；同时讨论了p r e q u a n t a l e 的一些主要性质 在第三章中，核映射由于其特别重要的作用和地位首先被讨论，其良好的性质 使得研究q u a n t a l e 的商变得更加方便本章中我们构造了许多有意义的核映射， 讨论它们对应的商，丰富了核映射的理论；对一些特别经典的核映射实例进行了 较详细的说明和讨论；其次q u a n t a l e 的子结构是本章研究的主要问题，余核映射 许多新性质的发现，为研究其对应的子q u a n t a l e 提供了有力的理论支持构成余 核映射的重要条件的获得，使得研究子q u a n t a l e 更加方便。同时我们从另一方面 等价地描述了s 一索元，作了一定意义上的探讨许多有实质意义的余核映射和子 q u a n t a l e 被构造出来 在第四章中，q u a n t a l e 中同余关系的确立从另一个侧面描述了q u a n t a l e 的内 部结构。首先我们引入了同余与半同余的等价条件，例举同余关系的各种情形其 次从同余的角度考察了单纯的q u a n t a l e 在第五章中，首先讨论了g i r a r d q u a n t a l e 的基本性质。我们证明了g i r a r d q u a n t a l e 构成完备的b o o l e a n 代数的充分必要条件；对任意的g i r a r dq u a n t a l e 的商0 f ，确定 了其对应的核映射形式。对g i r a r dq u a n t a l e 的任意子q u a n t a l e ，获得了q 能构成 新的g i r a r dq u a n t a l e 的条件其次对逻辑中的某种运算，从代数的角度进行了分析 与说明，获得了一些较好的运算结果最后重点研究了对合q u a n t a l e 的代数结构 及其子q u a n t a l e ，并在其上定义了性质良好的伪正交补 关键词： q u a n t a l e ；子q u a n t a l e ；核、余核； 同余关系； g i r a r dq u a n t a l e i i q u a n t a l c 的子结构及其性质 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o rd i s c u s s e st h es u b s t r u c t u r e so fq u a n t a l ea n dt h ep r o p e r t i e s o ft h e m t h ea u t h o rs t u d i e st h er e l a t i o n sa m o n gt h eq u o t i e n t ，s u b q u a n t a l ea n dc o n g r u - e n c ec l a s s e sb ya p p l i c a t i o no ft h en u c l e ic o n u c l e ia n dc o n g r u e n c e t h ea u t h o rc o n s i d e r s s o m es p e c i a lq u a n t a l e sa n do b t a i n ss o m es i g n i f i c a n tr e s u l t st h i st h e s i si sc o n s i s t so ff i v e c h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，s o m er e c a l l e de a r l i e rr e s u l t sa n dt h r e em a i na r e a so fa p p l i c a t i o n s 0 nt h ef i e l do fq u a n t a l e sa r ep r e s e n t e d s o m em a i np r o b l e m sw h i c hw i l lb es e a r c h e da r e i n t e r p r e t e d i nc h a p t e rt w o ，s o m eb a s i co p e r a t i o na n di m p o r t a n tr e s u l t sw h i c hw i l lb en e c e 8 s a r yi nn e x tc h a p t e r s s o m en e wp r o p e r t i e so ft h eo p e r a t i o na r eo b t a i n e d s o m ei m p o r t a n t c h a r a c t e r i z a t i o no fp r e q u a n t a l ea r ed i s s c u s s e d t h et h i r e dc h a p t e rs u m m a r i z e st h et h e m eo fa l g e b r a i cn u c l e im a p p i n ga n dc o n u c l e im a p p i n gi no r i g i n a ls e n s es o m ei n t e r e s t i n gn u c l e im a p p i n ga n dc o n u c l e im a p p i n g a r ec o n s t r u c t e d a f t e rc h a r a c t e r i z a t i o no fn u c l e ia n dc o n u c l e i ，t h cq u o t i e n tq u a n t a l ea n d s u b q u a n t a l ea r ee x p l o r e da n dt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no fs p r i m ei sa c h i e v e d t h ef o u r t hc h a p t e rc o n t a i n sa l le x t e n s i o nf o rc o n g r u e n c eo fq u a n t a l eb yw h i c ht h e a u t h o rd i s c u s s e st h ei n n e rs t r u c t u r e so fq u a n t a l e t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fc o n g r u e n c e a n ds e m i c o n g r u e n c ea r eo b t a i n e da n dt h es i m p l eq u a n t a l ei se x p l o r e db yt h ec o n g r u e n c e t h ef i f t hc h a p t e rc o m e sb a c kt ot h ec h a r a c t e r i z a t i o no fg i r a r dq u a n t a l e ，t h es u f f i c e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r ep r o v e do nc o n s t r u c t i n gt h ec o m p l e t e l yb o o l e a na l g e b r af r o m q u a n t a l e s f o ra l lq u o t i e n tq jo fg i r a r dq u a n t a l e ，i t sn u c l e ia r ef o u n d f o ra l ls u b q u a n t a l e o fg i r a r dq u a n t a l e ，as u f f i c e n tc o n d i t i o nw h i c ht h es u b q u a n t a l eb e c o m e sg i r a r dq u a n t a l e i so b t a i n e d f o rs o m el o g i co p e r a t i o n s ，t h ea l g e b r a i co p e r a t i o no fl o g i ca r ee x p l o r e d f o r e a c ho fi n v o l u t i v eq u a n t a l e ，t h ea l g e b r a i cs t r u c t u r ea n ds u b q u a n t a l ea x ed i s c u s s e d 关键词iq u a n t a l e ；s u b q u a n t a l e ；n u c l e i 、c o n u l e i ；c o n g r u e n c e ；g i r a r d q u a n t a l e i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名 1 日期t 夕俨? 年0 旯j 匆b ，、， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密曰。 ( 请在以上相应方框内打”，) 作者签名； 导师签名： 日期：硼年9 月7 参日 日期：矽矽年夕月z 日 博士学位论文 第1 章绪论和预备知识 代数结构的理想格是格论最重要的一个应用方面，特别是交换环的理想格，具 有良好的拓扑结构，虽然拓扑空间可认为是一种具有由某些开集构成的格结构的 对象，但是拓扑与格论之间的联系引起人们的重视却是到了3 0 年代末期s t o n e 关 于b o o l e 代数与分配格的拓扑表示定理出现之后s t o n e 表示定理表明可以从代数 的结构出发得到拓扑学中若干有趣的空间，且运用格论的方法与技巧对这些空间 特性进行研究，从而得出关于拓扑学中带有普遍意义的结论这种借助于代数学求 得拓扑学自身发展的方法，很有成效但e h r e s m a n n 提出了另一种新的观点，他认 为具有某种分配性的格其本身就有作为一种广义拓扑空间的研究价值，而不论它 是否可以表示为某一拓扑空间的开集格在这种新的观点下，s t o n e 在文1 1 中对 这一新的领域作了系统而又科学的研究s t o n e 揭示了b o o l e a n 代数与幂等环的重 大关系，同时将拓扑结构引入了他的代数研究工作，通过开集的方式，s t o n e 巧妙 而又自然地完成了b o o l e a n 代数素理想转化为拓扑空间的过程，他指出了拓扑空间 的开闭集与b o o l e a n 代数中不可约理想的联系基于对拓扑结构与序结构内部联系 的兴趣，人们开始考虑应用环谱的方法寻找交换的口一代数与局部紧的h a u s d o r f f 空间之间的联系。 拓扑方法在环理论上的成功应用，逐渐形成了l o c a l e 理论；从而逐渐取代了 拓扑空间的与他们的连续映射；但对非交换的抽象环，其理想不能构成l o c a l e 因 而原有结果很难有效地描述环的特性为普及拓扑的方法，r g i l e s 和n k u m m e r 考虑了非交换的一代数情形对非交换的拓扑较难描述时，找到了其格的参照对 象，即q u a n t a l e ；而q u a n t a l c 这一概念是由c j m u l v e y 引入，首先在文【2 【3 4 j 5 中n i e f i e l d 和r o s e n t h a l 对交换的q u a n t a l e 作了大量细致的研究，并在文| 6 1 6 对此作 较为全面的归纳与总结在文 7 】中，他们开始系统地研究非交换的情况，对商和 子对象理论研究有了一定的发展，并开始逐步渗入到矿代数谱理论上的应用 对q u a n t a l e 理论更早的研究可一直追朔到k i r b y 、b a n a s c h e w s k i 和h a t i n g 等人 的工作( 文【8 【9 ，【l o ) m u l v e y ，n a w a z 和r o s i c k y 运用幂等的q u a n l a l e 理论 对非交换的c + 一代数作了全面而又系统地分析，在文【1 1 【1 2 【1 3 1 4 【1 5 】【1 6 17 】中充 分展示了他们的工作成果g i r a r d 先生在文f 1 8 1 中，把q u a n t a l e 理论首次引用于线 性逻辑的语义分析，y c t t e r 在文 1 9 中更加合理准确地描述了线性逻辑与q u a n t a l e 之间的联系，并把这种形式的代数结构称之为g i r a r dq u a n t a l e ，随后r o s e n t h a l 在 文 2 0 】更加深入系统地研究了g i r a r dq u a n t a l e 的代数结构性质 在q u a n t a l e 理论重要的文献【2 1 2 2 】中，m u l v e y 和p e l l e t i e r 描述了一代数谱 m a x a 的点，并对g e l f a n dq u a n t a l e 进行了分析，结果表明9 一代数不可约表示其 q u a n t a l e 的子结构及其性质 实质是g e l f a n dq u a n t a l em a x a 的代数不可约表示q u a n t a l e 可以看作l o c a l e 的一 般化q u a n t a l e 中的很多结构和概念是在f r a m e 理论的启发下引入的，是在更广 泛集合结构上的一般化 q u a n t a l e 理论的研究主要有以下几个方面的应用：随着w a r d 和d i l w o r t h 关于 剩余格的研究工作的进展 2 3 2 4 】【2 5 】，利用q u a n t a l e 对环的理想理论的研究被广 泛地进行，如n i e f l e l d 与r o s e n t h a l 的交换环情形下的研究工作 2 3 】 4 1 5 和在非交 换环的情形下的研究工作【7 】文【7 】在系统地研究非交换环的理想论的基础上发 展了商q u a n t a l e 和q u a n t a l e 理论，并且进一步应用于非交换环理想的谱结构的研 究文【2 】【3 】 4 】利用q u a n t a l e 研究了i d l ( r ) ( r 是环) 是代数性质和s p e c ( r ) 的 拓扑性质之间的联系文【2 6 】研究了q u a n t a l e 上的g a b r i e lt o p o l o g y ，并把有关结 论就用于环的谱结构等 幂等右侧q u a n t a l e 在q u a n t a l e 理论的发展中占有重要的地位，很多早期的关于 q u a n t a l e 的研究论文是在这样的结构下进行的一方面f r a m e 就是交换的幂等右侧 q u a n t a l e ，并且在幂等右侧q u a n t a l e 这样的结构上可以定义多种具有良好性质的 s h e a f 另一方面，由c + 一代数的理想构成的q u a n t a l e 就是一个幂等右侧q u a n t a l e ， 因此对幂等右侧q u a n t a l e 的研究成果可较方便地应用于c + 一代数的研究中，我们 知道一个非交换c + 一代数的不可约表示空间没有被经典的拓扑空闻理论充分地刻 划文【1 1 】提出一个c + 代数的谱( 是交换情形下的l o c a l i c 谱的一般化) ，在一 定意义上弥补了上述研究的不足，且在文【27 的基础上，建立了一种代数框架 文【2 1 】 2 2 】进一步把q u a n t l a e 理论应用于c 4 一代数的研究中并且发展了q u a n t a l e 理 论文 1 6 】给出p o s t l i m i n a r y c + 一代数是由其闭的右理想构成的q u a n t l e 所决定的 这些深刻的结果奠定了q u a n t a l e 理论在c + 一代数研究中的地位，把幂等q u a n t a l e 理论应用于非交换的c + - 代数的研究还有一系列的文章，如n a w a z 2 8 ，b o r e e u x 和v a nd e nb o s s e h e 2 9 1 以及a o s i c k y 1 5 等 在文f 1 8 1 中，j y g i r a r d 提出一种新的逻辑系统一线性逻辑系统，其目的之一 就是给计算机科学的并行计算机理论和并行过程提供适当的逻辑支持，这种逻辑 的”位相语义”涉及到”位相q u a n t a l e ，文【3 0 】把q u a n t a l e 应用于线性逻辑语义 学的研究，并在”位相语义”和q u a n t a l e 之间建立了明确的联系，在此基础上提出 了”g i r a r dq u a n t a l e 文 3 1 】进一步研究了g i r a r dq u a n t a l e ；并应用于非交换的线 性逻辑的研究之中 r o s e n t h a l 等人对q u a n t a l e 的商与核进行了系统的研究，但他们对q u a n t a l e 的 结构、性质及相对应的余核映射研究较少，亦有许多值得补充和完善的地方本文 主要对q u a n t a l e 子结构及其重要性质作了详细的分析和研究；通过描述q u a n t a l e 的核，余核及同余关系，分别刻画了其商，子q u a n t a l e ，同余类内部的本质联系， 获得了一系列有意义的结果，而在另一方面，本文亦充分考虑了一些有特殊意义 2 一 博士学位论文 的q u a n t a l e ，如g i r a r dq u a n t a l e 和对合的q u a n t a l e ，并取得了一定的成果下面就 本文所涉及和阐述的内容作一个基本的介绍 在第2 章中，首先对q u a n t a l e 的重要性质和基本运算作了简要回顾，对后续 章节所需的重要结果( 未加证明) 作了引用，并补充了一些q u a n t a l e 的新的运算性 质其次，在q u a n t a l e 大量应用实例中，对l o c a l e 的全体反序映射a n t ( l ，l ) 构成的 q u a n t a l e 作了详细的论证和说明；同时讨论了p r e q u a n t a l e 的一些主要性质 在第3 章中，核映射由于其特别重要的作用和地位首先被讨论，其良好的性质 使得研究q u a n t a l e 的商变得更加方便本章中我们构造了许多有意义的核映射，讨 论它们对应的商，丰富了核映射的理论；对一些特别经典的核映射实例进行了较详 细的说明和讨论，其次q u a n t a l e 的子结构是本章的重中之重；余核映射许多新性 质的发现，为研究其对应的子q u a n t a l e 提供了有力的理论支持构成余核映射的 重要条件的获得，使得研究子q u a n t a l e 更加方便同时我们从另一方面等价地描 述了s 一素元，作了一定意义上的探讨许多有实质意义的余核映射和子q u a n t a l e 被构造出来；特别是由q u a n t a l e 中”w e l li n s i d e 关系生成的子q u a n t a l e 具有一定的 拓扑性质。最后通过对分量核的分析，使得q u a n t a l e 这种代数结构与g a b r i e l 拓扑 之间的内在联系更加紧密在f r a m e 中，g a b r i e l 拓扑可被分量核等价地刻画，与 此同时，在幂等右侧的q u a n t a l e 中，g a b r i e l 拓扑亦可被r e s p e c t f u l 核来描述 在第4 章中，q u a n t a l e 中同余关系的确立从另一个侧面描述了q u a n t a l e 的内 部结构首先我们引入了同余与半同余的等价条件，例举同余关系的各种情形其 次从同余的角度考察了单纯的q u a n t a l e ；单纯的q u a n t a l e 具有平凡的商；对每一 个q u a n t a l e 确实存在某种同余关系，使得其商q o 同构于一个单纯的q u a n t a l e 在第5 章中，首先讨论了g i r a r dq u a n t a l e 的基本性质虽说在g i r a r dq u a n t a l e 中，运算”上”满足德摩根律，但一般不能构成q u a n t a l e 的补运算，不过我们证明 了g i r a r dq u a n t a l e 构成完备的b o o l e a n 代数的充分必要条件；同时对任意的g i r a r d q u a n t a l e 的商q ，其对应的核映射形式被确定对g i r a r dq u a n t a l e 的任意子q u a n t a l e g 能构成新的g i r a r dq u a n t a l e 的条件被获得其次对逻辑中的某种运算，从代数 的角度进行了分析与说明，获得了一些较好的运算结果最后重点研究了对合 q u a n t a l e 的代数结构及其子q u a n t a l e ，并在其上定义了性质良好的伪正交补 g e l f a n dq u a n t a l e 是对合q u a n t a l e 重要特例，我们证明了其等价描述的性质在子 结构上，对其同余或半同余的延拓是一个有趣的问题，我们找到了一定的延拓方 法，作为对合q u a n t a l e 更特别的例v o nn e u m a n nq u a n t a l e ，在一定程度上对其基本 代数结构和内部性质作了阐述 总之，由于q u a n t a l e 理论的广泛应用，使得其理论研究得到了充分的发展 这种结合序结构，代数结构，甚至隔入了拓扑结构的空间，将会得到更加充分的发 展和应用。也将会促进数学各分支的发展和隔合 一3 q u a n t a l e 的子结构及其性质 第2 章q u a n t a l e 的基本概念和性质 作为l o c a l e 和量子逻辑的良性推广，c j m u l v e y 引入了q u a n t a l e 的概念，而 q u a n t a l e 概念引入与性质的研究，为非交换的矿一代数及量子力学提供了坚实的 理论基础与便捷的工具为了方便以后行文，本章主要介绍了q u a n t a l e 的一些基 本概念性质及一些重要命题( 其详细证明可参见文 3 2 ) 同时对q u a n t a l e 典型 例子及相关性质进行了简明分析 2 1 q u a n t a l e 的基本概念和性质 本节我们给出了所需有关格，f r a m e 及q u a n t a l e 的基本概念和性质，行文所 涉及的概念与命题都能在文【1 1 1 7 3 2 3 3 】找到 定义2 1 1设p 是集，若对任意a ，b ，c p 二元运算满足- ( 1 ) a a ( 2 ) 若a b ，b a ，则a = b ( 3 ) 若a b ，b c ，则a sc 我们称p 具有偏序的偏序集 定义2 1 2设p 是偏序集，若对任意a ，b p ，有a v6 p a ab p ，则称p 是 格若对任意的并和任意交都封闭，则称p 是完备格 定义2 1 3设p 是偏序集，若p 上的保序运算j ：p p 满足； ( 1 ) 对任意a p ，口j ( a ) ( 2 ) 对任意a p ，j j ( a ) = j ( a ) 则称j 是p 上的闭包算子 定义2 1 4设p 是偏序集，若p 上的保序运算g ：p p 满足t ( 1 ) 对任意a p ，g ( a ) a ( 2 ) 对任意a p ，g g ( a ) = g ( a ) 则称g 是p 上的余闭算予 定义2 1 5设p 是完备格，若对任意a ，玩p ( i i ) 满足to a ( v 巩) = v ( a a 瓯) 则称p 是f r a m e 定义2 1 6设完备格q 上定义了满足结合律的二元运算o ，若对q 中任意 a ，玩q ( i i ) 满足。 一4 一 博士学位论文 no ( s u p6 t ) = s u p ( a0 玩) ，( a u p6 z ) 0 n = s u p ( b , oo ) 则称q 为q u a n t a l e 为了方便以后的行文，我们分别d ，t 用表示q 的最小元和最大元 定义2 1 7设q 是q u a n t a l e ，对任意n ，b q ( 1 ) q 是交换的，当且仅当0 0b = b o n ( 2 ) q 是右侧的，当且仅当口o t o q 是严格右侧的，当且仅当no t = n ( 3 ) 0 是左侧的，当且仅当t 0 n n q 是严格左侧的，当且仅当t 0 0 = 口 ( 4 ) q 即是右侧的，又是左侧的，则称q 是双侧的 ( 5 ) q 是幂等的，当且仅当oo o = o ( 6 ) 元e q 是q 的右单位当且仅当口oe = o ( 7 ) 元e q 是q 的左单位当且仅当e o n = o ( 8 ) 若e 即是右单位，又是左单位，则称e 是印的单位 因为运算。是保并的，因而存在右伴随运算，我们表为一，和一z 因而有o o c 曼b 当且仅当c n _ ，b 或者n c f b 命题2 1 1设q 是q u a n t a l e ，对任意n ，6 ，c q ，则 ( 1 ) ao 一，b ) b ( 2 ) 0 一f 6 ) o n 6 ( 3 ) b 一，( n 一，c ) = ( nob ) 一，c ( 4 ) b - - - + l ( n fc ) = ( b o n ) 一fc ( 5 ) a 一，( b ic ) = b j 一，c ) ( 6 ) a 。( n 一，b ) = b 当且仅当存在元c q ，使得o oc = b ( 7 ) ( n - - - ，1b ) o o = b 当且仅当存在元c q ，使得c o a = b ( 8 ) a 一，( nob ) = b 当且仅当存在元c q ，使得b = a 一，c ( 9 ) a f ( 6o n ) = 6 当且仅当存在元c q ，使得6 = n - - - * 1c ( 1 0 ) ( b lo ) 一，o = b 当且仅当存在元c q ，使得b = c 一，o ( 1 1 ) ( b 一，o ) 一lo = b 当且仅当存在元c q ，使得b = c f 口 ( t 2 ) ( a 一，b ) - - lb 一，6 = o 一，b ( t 3 ) ( a fb ) 一，b - - - ，l6 = n _ 1 6 ( 1 4 ) ( s u p b , ) 一，o = i n f ( b l 一，) ( 1 5 ) ( s u p b , ) - - - lo = i n i ( b , - la ) ( 1 6 ) a 一，( i n f b l ) = i n f ( a 一，玩) ( 1 7 ) a - - 4 1 ( 伽，以) = i n f ( a f6 ) ( 1 8 ) o b ，c d 辛n oc b o d ， 5 q u a n t a l c 的子结构及其性质 证明( 1 ) ( 1 1 ) 的证明可详见文 3 2 】我们只需证明( 1 2 ) ( 1 4 ) ( 1 6 ) ，相应的 ( 1 3 ) ( 1 5 ) ( 1 7 ) 同理可证 ( 1 2 ) 一方面o _ ，b 口一，b = 争0 0 0 - ，b ) b = a _ ，6 ) 。lb = 争a _ ，b ( a _ r6 ) - - ) tb _ rb 另一方面；( a 一，6 ) 一fb ( a 一，b ) - - + lb 号【 一，b ) 一r6 】o ( a 一，b ) b 号( a 一，6 ) s ( a 一，6 ) 一ib _ ，b ( 1 4 ) 对任意z ( s u p b l ) 一，o 争( 8 u p b _ ) o z a = s t 巾玩z - - + 1a 兮对每一i j ，饥z - - ) la 营对每一i j ，茹06 sa 兮对每一i l , x 6 i _ ，a 营茹i n i ( a 一，玩) ( 1 6 ) 对任意z a 一，( i n f b l ) 铮a o z i n f b 营对每一i i , a o 茹玩 争对每一i i ，z a _ ，6 i 营z i n f ( a 一，玩) ( 1 8 ) a b ，号b = b v a 6 0c = ( b v a ) oc = ( 0 0c ) v ( b 。c ) 号( 口oc ) ( b oc ) 同理可证( b 。c ) ( b od ) = ( a oc ) ( b o d ) 命题2 1 2 ( 1 ) 若q 是幂等右( 左) 侧的，则它是严格右侧 ( 2 ) 若q 是右侧的，则a ob s n ( 3 ) 若q 是右侧的，则t = a 一，口 ( 4 ) 若q 是严格右侧的，则t = e ( 5 ) 若q 是右单位的，则o = e - - + 1 n ( 6 ) 若q 是严格右侧的，则a = t - - 4 1 一6 一 博士学位论文 证明对任意a ，b q ( 1 ) 因为a = a 2 = a oa ao t a 所以a = o 。t ( 2 ) 这是因为aob ao t sa ( 3 ) 因为一方面a 一，a t 另一方面a o t a 当且仅当t a _ ，a 所以t = a _ ，o ( 4 ) 这是因为o o t = a = a oe 即t = e ( 5 ) 一方面a oe sa 则a e 。la 另一方面( e - 4 1a ) = ( e - - - la ) oe a 即a = e - 4 1a ( 6 ) 由( 4 ) ( 5 ) 即得 相应的我们可以证明q u a n t a l e 左侧类似的性质 定义2 1 8设q 是q u a n t l e ，映射j ：q q 是q 的保序映射，若对任意的a ，b q 映射j 满足， ( 1 ) a j ( a ) ( 2 ) j j ( a ) = j ( o ) ( 3 ) j ( a ) o j ( b ) s j ( a 0b ) 则称j 是q 上的核映射全体核映射的集简记为( q ) 定义2 1 9 设q 是q u a n t l e ，映射g ：q q 是q 的保序映射，若对任意的a ，b q 映射g 满足： ( 1 ) 9 ( n ) sa ( 2 ) g g ( a ) = a ( 3 ) g ( a ) 0g ( b ) sg ( a ob ) 则称g 是q 上的余核映射q 上全体余核的集合映射记为o n ( q ) 定义2 1 1 0设元p q ( p t ) ，若对任意a ，b q ，当aob p 有a p 或 b p 则称p 是q 的素元，q 中全体素元集合记为f m ( q ) 若q 中任意元o = a p ( q ) la p ，称q 是s p a i t a lq u a n t a l e 定义2 1 1 1设q 是q u a n t a l e ，若对任意定向子系s q 当a s u p s 时，存在元 s s ，使得a 8 ，则称a 是q 的紧元，q 中全体紧元的集合记为c k ( q ) 若q 中任意元a = s u p b c k ( 0 ) ib a ) ，则称q 是a l g e b r i cq u a n t a l e 若对任意a ，b c ( q ) ，有aob c m ( q ) ，则称q 是p r e c o h e r e n tq u a n t a l e 若q 是p r e c o h e r e n tq u a n t a l e 且t ( 0 ) ，则q 是c o h e r e n tq u a n t a l e 定义2 1 1 2设q - ，q 2 是两q u a n t a l e ，映射，：q 1 0 2 若保并且运算o ，则称， 是q - 到q ：的同态 一7 q u a n t a l e 的子结构及其性质 因为，是保并的，所以存在右伴随 且有下列命题成立 命题2 1 3 设，：q 1 _ q 2 是q u a n t a l e 同态，则对任意a q 1 ，b q 2 ，有， ( f ( a ) 一，b ) = a 一， ( 6 ) ( ，( o ) 一lb ) = a - - * 1 ( 6 ) 2 2 q u a n t a l e 的典型例子 q u a n t a l e 由于广泛应用于各个研究领域，因而有着丰富的实例，下面我们就一 些经典的例子来分别讨论与分析 例2 2 1l o c a l e 是o = a 的交换的、幂等的、具有单位元t 的q u a n t a l e 例2 2 2对任意环r ，a ，b 是r 的任意子群，定义s u p = ，乘法”o ”如下 a o b = 啦饥，a l a ，6 | b 则r 的所有子群构成q u a n t a l e 例2 2 3 设g 是半群，对g 的任意子集a ，b ，a ，定义s u p a = u a ，ao b = ( a b a a ，b b ，则称g 的幂集p ( g ) 构成q u a n t a l e 例2 2 4 设q 是q u a n t a l e ，q 的子集j 称为q 的右理想，若对任意啦，a i , b q ， 有s u p a i i , a ob f q 的所有右理想构成q u a n t a l e ，简记为r l d l ( q ) 同理我们可以定义q u a n t a l e 的左侧理想和双侧理想，分别记它们的全部为 l l d l ( q ) ，i d l ( q ) 例2 2 5设l 是完备格，h ( l ) 表示l 上全体序同态，对任意，g ，i h ( l ) 定 义一v ( z ) = 僦z ( z ) ：v x l ) ，o g ( z ) = ，0 9 ( 茹) 则h ( l ) 构成q u a n t a l e 例2 2 6 设q 是q u a n t a l e ，设映射a ：x y q 的全体记为q 拳，定义 a = v a 。q 芗，雒= v ( a ) 参 又设a q 参，b q 薹，定义- c = a b q 誊，其中谚= v a y x 。三y 我们易知q 拳是一完备格且当x = y a 时q 参构成q u a n t a l e 例2 2 7设l 是一l o c a l e ，l 上的全体反序映射记为a n t ( l ，l ) ，对任意， g a n t ( l ，l ) ，定义乘法go ，( 茹) = s 婶d ( o ) io l 一 o ，os ，( z ) ) ，则( a m ( l ，l ) ，。) 构成一q u a n t a l e 首先考虑对任意l 9 ，h a m ( l ，l ) ，o 满足结合律，9 。，( z ) 可等价地描述 s u p y l io 工一 0 ) ，a ，( z ) ，9 ( n ) 一8 一 博士学位论文 假设a ，( z ) ，y h0 9 ( n ) ，有 y = y a h o g ( a ) = y as u p s l lb l ，b 9 ( o ) ，s ( 6 ) ) = s u p y a8 l ib l ，b 9 ( o ) ，8 s ( 6 ) 因而y = s u p y l ，又存在以满足g ( o ) 6 l ，九慨) y i 因为9o ， ) 6 | ，h ( b i ) y l 所以( 0 9 ) o ，) ( z ) 2 玑 故( ( 。9 ) o ，) ( z ) 8 u p y i = y ( h0 9 ) 0 ，h o ( 9 0 ，) 同理可得( h o g ) 0 ，h o ( go ，) 因而a n t ( l ，l ) 满足结合律其次我们考虑对任意， 吼a n t ( l ，l ) 满足，o ( s u p g t ) = s 叩( ，0 9 1 ) ( s u p 9 1 ) 0 ，= s u p ( g o ，) 事实上，如果y s u p g t ( x ) ，则： y = y as u p g i ( x ) = s u p ( y a 吼如) ) 因而存在y 7 l ，使得 i ( y ) f ( y 仇y 7 吼( z ) 故，o ( s u p 9 ；) s 印( ，。g i ) 同理可得，o ( s u p g ；) 3 叩( ，0 吼) ，0 ( s u p g ) = s u p ( io 吼) 同理可证( s u p 9 。) 0 ，= s u p ( g , 0 ，) 下面关于q u a n t a l e 一些特别而又重要的例子，对它们的讨论具有更加深远的 意义 例2 2 8 若偏序集p 具有满足结合律的二元运算”o ”，且使得对任意n p ，a o 一和 一o a 分别有右伴随o _ ，一和a - j - 1 则称p 是a l l t o n o m o u s 偏序集 命题2 1 1 的所有性质，显然是成立的h e y t i n g 代数和b o o l o a n 代数显然都是 a l l t o i l o m o l l s 偏序集下面的命题表明了a u t o n o m o u s 偏序集某些方面良好的性质 命题2 2 1 对任意a ，b ，c p 有t ( a ) b 一，c ( a 一，b ) 一，( a 一，c ) ( 2 ) 6 _ lc s ( a - - - | lb ) 。l ( a - - * lc ) ( 3 ) 5 一，c ( aob ) 一，( a oc ) ( a ) b - - - ，! c s ( b o a ) 一i ( c o a ) ( 5 ) n 一，b ( b 一，c ) 一f ( a 一，c ) ( 6 ) a _ fbs ( b _ fc ) 一r ( a - - * lc ) 9 q u a n t a l e 的子结构及其性质 证明：( 1 ) a 一，b a 一，b 铮o o ( a 一，b ) b 辛a 。( o 一，b ) o ( b 一，c ) b o ( b 一，c ) c 兮( a _ ，b ) o ( b _ ，c ) a - rc 净b _ ，c s _ ，b ) _ ，( 口_ ，c ) 同理可证得( 2 ) ( 3 ) 由( 1 ) 知b o ( b 一，c ) c 号o ob o ( b