（逻辑学专业论文）S6系统的语义解释.pdf

s 6 系统的语义解释 学科专业t 逻辑学 指导教师：崔延强 内容摘要 研究方向：西方逻辑史 研究生：彭展( 9 9 0 0 6 ) s 6 系统有两个特点：( 1 ) 它没有必然化规则n ，所以其语义解释必须引入 非正规世界；( 2 ) 它把m m p 当作系统公理，对于m m p 的语义解释一方面可以 利用非正规世界，但另一方面也可以对它作一般的可能世界语义解释。这两种解 释之间的不同反映出我们对于可能世界的认同标准之间的差异。而且对于非正规 世界，我们一方面可以把它们理解成死点，但另一方面我们也可以通过构造性的 方法证明其不是死点。这一对矛盾也反映出s 6 系统的语义解释所面临的复杂情 况。而本文则试图理清这种复杂情况并将勾勒出适合于s 6 系统的语义解释的可 、 能世界背景r 尹 文章主要分为六个部分： 一、s 6 系统进行介绍并说明( 证明) 其中一些特殊定理和语法性质。 二、s 6 系统进行语义解释；对非正规世界的引入、非正规框架的引入、v 赋值的变化以及x 集的引入都作了说明，并指出在非正规世界中避免出现逻辑 矛盾的途径让s b 规则在其间失效。 三、指出s 6 系统利用非正规世界的死点性质回避了更尖锐的问题可能 世界是否能够允许矛盾命题在其中的存在? 通过对可及关系定义的反思揭示了 非正规世界没有必要一定就是死点。 四、在第三部分的基础上进一步通过构造方式证明了非正规世界可以不是 死点。但此证明依赖于两个假设，分别对应于问题( 1 ) 可能世界中是否允许包 含逻辑矛盾? ( 2 ) 可能世界能否仅由命题构成? 五、通过对可能世界的定义的反思来为问题( 1 ) ( 2 ) 寻求答案。首先批驳 了可能世界不能被定义的观点，其次考察了具有代表性的六种可能世界定义并找 出了它们各自对问题( 1 ) ( 2 ) 的回答。为了对问题( 1 ) ( 2 ) 做出肯定的回答， 作者对定义i ，i i ，i i i 表示支持而对定义i v ，v ，v i 进行了置疑并认为它们对于 一致集的坚持没有必要。 六、带着问题( 1 ) ( 2 ) 对可能世界的哲学本体地位进行反思，批判了真实 一，_ - _ - 一 存在说和可能状态说，认同了否定可能世界实在性问题的观点。 关键词：s 6 系统；语义解释；可能世界；可豫死嗽 2 t h es e m a n t i c e x p l a n a t i o no fs y s t e ms 6 m a j o r ：l o g i c t u t o r ：p r o f e s s o rc u i y a n q i a n g a b s t r a c t s p e c i a l i t y ：s y m b o l i cl o g i c a u t h o r ：p e n gz h a n ( 9 9 0 0 6 ) s y s t e ms 6p o s s e s s e st w op e c u l i a r i t i e s ：( 1 ) i th a s1 1 0n e c e s s i t yp r i n c i p l en ，s o a b n o r m a lw o r l d sm u s tb ei n t r o d u c e di n t oi t s s e m a n t i c s ；( 2 ) i ti n c l u d e sm m p a si t s a x i o m t h o u g h t h es e m a n t i c e x p l a n a t i o n o f m m p c a nu s ea b n o r m a lw o r l d sb u to nt h e o t h e rh a n dc 蛆a l s ou s e g e n e r a lw o r l d s t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w ok i n d so f e x p l a n a t i o n sr o f l e e t st h ed i v e r s i t yo f o u r j u d g cp r i n c i p l e so fp o s s i b l ew o r l d s w ec a n r e g a r d a b n o r m a lw o r l d sa sd e a d p o i n t s b u to nt h eo t h e rh a n dw ec a nu s e a c o n s t r u c t i v ew a yt op r o v et h a tt h e y r en o td e a d p o i n t s t h i se o n t r a d i o t i o nr e f l e c t st h e c o m p l e xs i t u a t i o nf a c e db yt h es e m a n t i c so fs 6 b u tt h i sp a p e rt r i e st om a k ec l e a r s u c hc o m p l e xs i t u a t i o na n dt od e s e r i b ot h es u i t a b l ep o s s i b l ew o r l d si m k g r o u n do f s 6 ss e m a n t i c e x p l a n a t i o n t h e p a p e r i sm a i n l yd i v i d e di n t os i x p a r t s ： 1 n t r o d u e t i o no f $ 6a n d e x p l a n a t i o n ( d e m o n s t r a t i o n ) o f s o m es p e c i a lt h e o r i e s a n d s y n t a x c h a r a c t e r s 2 e m a n t i ee x p l a n a t i o no f $ 6 a l s o e x p l a i n st h ei n t r o d u c i n go f a b n o r m a lw o r l d s ， a b n o r m a lf r a n l e s ，s e txa n dt h ec h a n g e so fe v a l u a t i o nv _ p o i n t so u tt h a tl e t t i n gs b r u l eb ei n e f f e c t i v ei na b n o r m a lw o r l d si st h ew a yt oa v o i dl o g i cc o n t r a d i c t i o nt o h a p p e n i nt h e m 3 p o i n t so u tt h a ts 6u s e st h ed e a d p o i n t c h a r a c t e ro f a b n o r m a lw o r l d st oa v o i da s h a r p e rq u e s t i o n _ _ c a l lp o s s i b l ew o r l d sp e r m i tc o n t r a d i c t i o n st oe x i s ti n s i d e ? f r o m r e p o n d e r i n gt h ed e f i n i t i o no fa c c e s s i b l er e l a t i o nt or e v e a lt h a ti t su n n e c e s s a r yf o r a b n o r m a lw o r l d st ob ed e a d p o i n t s 4 d e m o n s t r a t e st h a ta b n o r r n a iw o r l d sc a nb en o td e a d p o i n t sb y ac o n s t r u c t i v e 3 w a y o nt h eb a s i so f t h et h i r dp a r t b u tt h ed e m o n s t r a t i o nr e l i e so nt w oh y p o t h e s e s ：( 1 ) c a np o s s i b l ew o r l d sb ep e r m i t t e dt oi n c l u d el o g i cc o n t r a d i c t i o n ? ( 2 ) c a np o s s i b l e w o r l d sb ec o m p o s e d o n l yb yp r o p o s i t i o n s ? 5 s e a r c h f o r a n s w e r s t o q u e s t i o n ( 1 ) ( 2 ) t h r o u g h r e - p o n d e r i n g t h e d e f i n i t i o n o f p o s s i b l ew o r l d s f i r s t , c r i t i c i z e st h ev i e w p o i n t t h a tp o s s i b l ew o r l d sc a n n o tb ed e f i n e d s e c o n d ，r e v i e w s t h es i xr e p r e s e n t a t i v ed e f i n i t i o n so f p o s s i b l ew o r l d sa n df i n do u te a c h o n e sa n s w e r st oq u e s t i o n ( 1 ) a n d ( 2 ) t h ea u t h o rs u p p o r t sd e f i n i t i o ni ，i ia n di i it o g i v ee o n f i r m a t i v ea n s w e r s t oq u e s t i o n ( 1 ) a n d ( 2 ) ；f o rt h es a m e r e a s o n ，g i v e sd o u b t s t o d e f i n i t i o ni v , va n dv 1w h i l e c o n s i d e r i n g t h e i r p e r s i s t i n g i nc o n s i s t e n ts e ti s u n n e c e s s a r y 6 w i t h q u e s t i o n ( 1 ) a n d ( 2 ) i nm i n d ，t h ea u t h o rr e - p o n d e r s t h e p h i l o s o p h i c a l n o u m e n o ns t a t u so f p o s s i b l ew o r l d sa n dc r i t i c i z e st h er e a le x i s t e n tt h e o r y 嬲w e l l a s t h ep o s s i b l es t a t et h e o r yb u ta g r e e sw i t ht h ev i e w p o i n tt h a tn e g a t e st h eq u e s t i o no f p o s s i b l ew o r l d s s u b s t a n t i a l i t y k e yw o r d s ：s y s t e ms 6 ：s e m a n t i ce x p l a n a t i o n ；p o s s i b l ew o r l d ；a c c e s s i b l e ；d e a dp o i n t 4 文献综述 早期的模态逻辑系统有一个共同的特征，那就是：“逻辑学家都是根据对模 态概念的某种直观理解和把握，提出一些公理、推理规则，推导出一系列定理以 构成一个严格的形式系统，但并不怎么过问系统内的符号、公式的直观意义及其 真假条件等。”1 后来随着模态逻辑系统的增加，模态逻辑也变得越来越复杂， 而在现代逻辑的情况下，一个逻辑的建立，如果没有严格的逻辑语义学，那么总 不能说是一个合格的逻辑。另一方面又加上q u i n e 等哲学家、逻辑学家对模态逻 辑的不断的责难和攻击，语义学对模态逻辑的进一步发展就显得越发重要。4 0 年代由卡尔纳普首次引入了莱布尼茨关于必然性的思想，给出s 5 的严格语义解 释。5 0 年代逻辑语义学与代数两方面的结果相融合，产生了影响巨大的可能世 界语义学。可能世界语义学为模态逻辑的发展和研究提供了新的理论和方法，并 且引出了一些新问题的探讨与研究。它还对广义模态逻辑提供了语义学解释，有 着广泛的应用。所以其发展迅猛，至今仍然是模态逻辑的一个热门的研究领域。 可能世界语义学的建立标志着模态逻辑成为现代逻辑的一个成熟分支。 作为模态逻辑形式语义解释的可能世界语义学引发了许多的哲学思考，如： 什么是可能世界? 可能世界可否被定义? 如果能定义，应当怎样定义? 可能世界 是独立的实体还是我们的假设? 非正规世界的引入对可能世界语义学是一次很大的冲击，因为首先其特殊性 质使得我们必须对有效性的取值范围进行限制，不能够再在所有的可能世界里讨 论有效性；在非正规世界上组合原则遭到破坏，必然与可能已经不再依赖于其它 可能世界，这使得非正规世界的本体论问题显得更加神秘。如果我们把非正规世 界也算作可能世界，那么可能世界的定义是否应该随之而相应地修正以使其外延 能够更加宽泛以包容非正规世界? 另一方面，在可能世界语义学中，可及关系占有相当重要的地位。在c a m a p 的语义学中由于没有可及关系以致于它对许多系统的语义解释无能为力；而 k r i p k e 能够用语义图方法证明一系列模态系统的完全性则在很大程度上归功于 其可能世界模型 中对可及关系r 的利用。取消现实世界的模型结构， r 就是今天的框架，而模态系统的绝对完全性也就是指要找到一个能够刻画该 系统的框架类，这是模态系统性质研究当中最重要也是最困难的一环。正规模态 系统的可靠性证明和完全性的语义图证明在很大程度上皆依赖于对可及关系的 限定。能够批量证明模态系统的完全性的典范模型方法当中一个很重要的思想就 是把可及关系定义成：y 可及厂= d f 对任意公式口，若l 口y ，则口y 。但 是，可及关系的本质是什么，我们应当怎样对其加以定义? 本文认为对这个问题 仍然有继续深入思考的必要。 本文从s 6 系统的语义解释出发，阐释其语义解释的特殊性并由此引出对可 能世界、可及关系的反思以期最终明确s 6 系统的语义解释所依赖的可能世界背 景。本文的创新之处在于认为非正规世界没有必要一定就是死点，而为了使s 6 系统有一个更加合理的语义解释我们有必要支持比较宽泛的可能世界定义。 6 s 6 系统的语义解释 s 6 系统是在严格蕴涵系统s 2 的基础之上通过引进公理m m p 而得到的一个 非正规系统。由于在s 6 系统中没有必然化规则n ：h 。口j 卜。l o t ，所以它 引进了非正规世界来对这一现象进行解释，但非正规世界的引入立即将可能世界 的范围扩展到了莱布尼兹定义的可能世界之外 同时由于m m p 是s 6 的特征公 理，有着非常独特的语义，所以在对s 6 系统进行语义解释的过程中将会引发我 们对于可能世界的定义、可及关系定义的反思。 一、s 6 系统 s 6 系统是严格蕴涵系统s 2 的真扩张：s 6 = s 2 + m m p 。其公理为： a s i l( p g ) ( q p ) a s l 2 g ) 弋p a | 1 3p - 4 ( p a p ) a s l 4“p g ) ，) ( p ( g r ) ) a s l 5( p q ) ( q - 4r ) - 4 ( p r ) a s l 6( p a ( p g ) ) q a s 2 1m ( p 口) m p $ 6 1m m p 其变形规则为： s b ( 代入) s m p ( 严格蕴涵分离) r c ( 合取构成) 卜口j 卜船( 口) 卜a ，卜口叫j h 卜口，卜等卜0 t 卢 7 s e q ( 严格等值置换) h 卢h ；卜口h a , 8 p 】 其中 a p p 】表示将口中的的某处或某几处出现换成得到的公式。 s 6 中有两个定理值得我们特别加以关注： ( 1 ) l ( p g ) 寸印斗幻，这是k 定理 ( 2 ) l p _ p ，这是t 定理 语法性质1 ：虽然s 6 包含了k 定理和t 定理，但它不是系统k 或系统t 的 真扩张。 证明： 因为在k 和t 中都有定理：p p ，由必然化规则n 可得定理：l ( p _ p ) ， 再次运用必然化规则n 可得：l l ( p 专p ) ；但在s 6 中由m m p 和代入规则s b 可 以得到m a i l ( ( p _ p ) ) l l ( p _ p ) ，所以l l ( p 斗p ) 不是s 6 的定理， 所以s 6 不是系统k 与t 的真扩张。( 证毕) 在s 6 中只有一个相对较弱的必然化规则，即对p 定理必然化规则，记为n p ， 即： n p 卜p 口卜，6 l a 此规则的证明是首先证明n p 是s l 的规则，2 再证明s 2 是s l 的真扩张，3s 6 是s 2 的真扩张，所以n p 也是s 6 的规则。 这个定理也很重要，因为它反映出在s 6 系统中有三口形式的定理。( 语法性 质2 ) 语法性质3s 6 是古典命题演算p 的真扩张： 证： s 6 有定理不是重言式，因此若s 6 是p 的扩张，则必是真扩张。s 6 是p 的 扩张可由n p 和印 p 得到： ( 1 ) 卜。口 假设 ( 2 ) 卜“l an p o ) 】 8 ( 3 ) 卜“l a 口s b t 】 ( 4 ) 卜“口s m p ( 2 ) ，( 3 ) 】证毕 由此我们知道命题演算系统p 是s 6 的一个子系统。这也就表明在m m p 的 条件下并不会妨碍二值逻辑的命题演算的普遍有效性。 因为从m m p 可以推出两个重要的定理： t h l ：m m ( p 八 p ) ，这意味着任何命题都可能是可能的，包括矛盾命题： t h 2 ：m - l p 这意味着任何必然命题都有可能不是真的。因为在s 6 中还有定理 t ：l p p ，所以可以得到：p 手l p ；在承认模态对当关系m a 专三口 的情况下可得：p - y m p ，这表明：p 寸m p 也是s 6 的定理。那么对于 任意的必然命题l a ，我们可以得到m l a ，同时由于t h 2 我们又可以得到 m ，。口，于是对任意的必然命题l a ，m l a 八m l 口成立，这表明必然命题可 以同时既可能为真又可能为假。 其中t h i 是对矛盾律的一种非常委婉的否定。而t i - 1 2 则表明矛盾律既可能 是必然的同时也有可能不是必然的，这也是对矛盾律的一种很委婉的否定。但因 为p 是s 6 的子系统，所以我们知道这两种委婉的否定并不能真正动摇矛盾律的 有效性。( 因为s 6 系统有语法和语义的一致性，所以矛盾律作为其子系统p 的一 条内定理也就与整个s 6 系统保持一致。) = 、对s 6 系统的语义解释 语义解释包括两方面：( 1 ) 语言表达式的解释，即使语言表达式具有一定的 意义，其最后目的是使与命题形式相应的表达式具有真值。( 2 ) 有效性概念的确 定。因为在不同的有效性概念下有不同的逻辑规律，由此而形成不同的逻辑。反 之，由一定逻辑出发也可以得到相应的有效性概念。一定的有效性概念和相应的 逻辑在这一意义下是等价的。有效性概念的确定，即相应逻辑概念的明确。 在模态逻辑中出现了必然命题和可能命题，由此引入了可能世界来对它们加 以解释，也就是让模态系统中的形如l c z 和m 口的表达式具有真值。在此基础之 上，证明了必然化规则n 对任意模型保持有效性。4 其中任意模型 当 中的w 包含的元素都是正规世界，即适于莱布尼兹解释的可能世界。 9 但由于在s 6 当中必然化规则n ：h 口j hl e t 不成立，所以它必须引进新 的可能世界( 非正规世界) 来解释这一现象。另一方面，这种非正规世界的引入 对于解释m m p 也起到了至关重要的作用。 s 6 系统将非正规世界分为两类： 1 对任意公式口，l a 在其中均为假( 相应于任何命题都不是必然的观点) ； 2 对任意公式口，l o t 在其中可真可假( l a 像命题变元) 。 在承认模态对当关系m a 三口的情况下，在第一种可能世界上的m e z 均为真，可以理解为其中只有可能性没有必然性，所以将其称为可能型世界，并 将可能型世界的集合记为p ；在第二种世界上m o t 也可真可假( m a 也相当于命 题变元) ，所以称之为任意型世界，并将任意型世界的集合记为a 。 这样，可能世界的集合扩充为形u p u 彳，相应地赋值v 也发生了变化： v ( l 口，w ) = l ，w 是正规世界，且对任一w ，若r w w ， 则v ( 口，w ) = 1 ； 0 ，w 是正规世界，且存在w ，r w w ，v ( a ，w ) = 0 ， 或者w 是可能型可能世界； x ，w 是任意型可能世界，x = l 或x = 0 。 有效性是通过在一些世界上都真来定义的，这些世界就是有效性的取值范 围。在正规框架上，有效性的取值范围是全体可能世界。口在某个框架上有效， 当且仅当口对于任意赋值来说在该框架下的所有可能世界上都真。但由于非正规 世界的加入，例如，在s 6 中有定理l ( p 专p ) ，但l ( p p ) 在可能型世界上 恒为假，在任意型世界上可真可假。于是，如果仍然在所有的可能世界上考虑有 效性则l ( p 专p ) 将不是s 6 有效的。所以对于有效性的取值范围必须有所改变。 我们只能将它规定为全体可能世界的一个子集，记为x 。 这样，适于解释非正规系统的框架可以记为 ，其中w ， p ，a 分别为正规世界集，可能世界集，任意世界集；r 是分别以w 和形u p u 彳 中元素为关系前项和后项的任意= 元关系，x 是矽upu 彳的任意子集。在这 样的框架上再增加变化过的赋值，便得到相应的模型 。 以上是直观的框架和模型，相应地我们也有形式的框架和模型来对s 6 系统 进行形式解释。5 在此我们对其中发生了较大变化的满足概念加以说明： l o 设m = 是任意模型，口是任意l p m 公式 ( 1 ) 对任意w e w ，若v ( 口，w ) = 1 ，又记为m 卜t 口，则称a 在w 上是真 的：若v ( 口，w ) = 0 ，又记为m 一口，则称口在w 上是假的： ( 2 ) 或存在w e x ，使得m 卜- 口，则称口在m 上可满足； ( 3 ) 若对任意w e x ，都有m 卜- 口，则称口在模型m 上有效，或口m 有效， 记作m 卜口。 这种对满足的增加条件x 的修改反映出有效性的取值范围已经不再是整个 框架上的所有可能世界，而只是其中一个子集。 在任意型可能世界w 中，可以有l ( p p ) = 1 同时也可以有l ( q j q ) = o ，6 遵从否定符的真值表可以记为l ( q _ q ) ；虽然从表面上看，l ( p - - - p ) 与l ( q - q ) 代表了不同的命题，但由代入规则s b 可得：k - - ) l ( p - 9 p ) j 卜l ( q 专q ) ， 所以l ( q 寸q ) ，那么我们就在可能型世界中得到一对矛盾：l ( q 专q ) l ( q 手q ) ；这就说明任意型可能世界是可以包含逻辑矛盾的世界，因此一旦我们 把任意型世界看作可能世界，那么我们就把可能世界的范围扩展到了莱布尼兹定 义的无矛盾的可能世界之外。这里有一点必须加以说明：矛盾律指的是对于任意 命题口，不能出现口a - c t 的情况。形式化为：v a ( - ( a 口) ) 。那么它的否 定为：- v a ( 口) ) ，等价于：3 a ( a 口) 。在任意型世界中，虽然矛 盾命题的形式都是l a a l a 而不是口 口，但很明显，l a 八一l a 是口 口的代入特例，也就是说，存在一个口( = l 口) ，口 一口，所以这是对矛盾律 的违反。 如果我们希望在任意型世界中不出现对矛盾律的违反，那么必须要求代入规 则s b 在任意型世界上失效。而s b 是s 6 的变形规则，要它在任意型世界上失效 就表明对于s 6 公式有效性的取值范围不能考虑任意型世界，因为s b 又是s l 、 s 2 的变形规则，所以s 1 和s 2 公式的有效性的取值范围也不能包含任意型世界。 我们引入任意型世界是为了解释非正规系统，但在引入后却又不能在任意型世界 上考虑有效性。任意型世界与正规世界同为可能世界却享受如此不公平待遇，岂 不是很奇怪? 在s 6 中对于m m p 的解释是通过如下定理来进行的 设f = 是任意8 2 框架，如果f 还是s 6 框架，当且仅当，存在 w e w ，w p ，r w w 并且x 是 c av ( 6a c ) i - - - ) c 很明显，若口成立，则c 不一定成立，所以此必要性的含义即在于若a 不成立时，则c 成立，也就是说a 呻c ，即： v ( a ，w ) = 1 寸w r w 这也就表明，可及关系的真值联系定义实际上说的是在一个可能世界中只要 存在着真命题，那么这个可能世界就可以作为某种可及关系的终端。所以很明显， 可及关系的真值联系定义本身( 在过滤掉可能性与必然性定义之后) 并没有涉及 到对可及关系r 来说，如何判断某个元素能否作为其关系前项的问题。也就是 说它没有涉及对于死点的判定问题。因此，即使可能型世界可及于其他世界也不 会与可及关系的真值联系定义不相符合。 至于可及关系的直观定义：如果对w 来说w 是可能的，或者说，w 是w 的 可能世界，那么在w 和w 之间就存在一种关系。这一关系用r 表示，称为可及 1 4 关系。1 0 这个定义则更是模糊，把可及归结成可能，让我们用对“可能，的模 糊的直觉拿来判断可及。那么根据这个直观定义，我们如果说可能型世界可及于 其他世界只是相当于说对于可能型世界w e p 来说，存在着可能世界w ，w ，对w 是可能的。这种说法并没有什么逻辑上的不合适。 通过这样的分析，我们发现可能型世界从逻辑上来说是有可能可及于某个可 能世界的。那么我们能否构造出这样的可能世界? 另一方面，由于对任意型可能 世界是死点的论证与可能型世界类似，所以刚才的分析也表明了任意型可能世界 也是有可能可及于某个其它的可能世界的。所以我们也应当尝试为它构造出可及 的可能世界来。 非正规世界是对s 6 系统进行解释的关键，以上对可及关系定义的反思加深 了我们对非正规世界的认识。 四、对非正规世界w ，构造可能世界w ，使得r 嘲，。 ( 一) 对于可能型世界 令w 为任意一个可能型可能世界，即w e p 。我们可以从w 内的m a ( 设这 样的m a 的个数为m ，m e 1 , o o