M_G_1排队系统

1、 M/G/1排队系统该系统有一个服务台，顾客的到达过程是一个强度为的其次Poisson过程，各个顾客的服务时间相互独立，具有共同分布G，且与到达过程也相互独立，服务规则是FCFS.若记为在时刻t前最近一次顾客离去时仍留在系统中的顾客数，这为一个具有状态空间的半Markov过程。记为Y的嵌入Markov链，置 （1）为在一个顾客服务时间内有n个顾客到达系统的概率，其中 n=0,1,2 （2）则为在一个顾客服务时间内平均到达的顾客数。可以证明。在的条件下，X具有唯一的稳态概率向量，且满足，i=0，1，2，L，及 （3）这里 （4）为嵌入Markov链X的一步转移概率矩阵，I为单位矩阵，e为所有分量均为1的列向量。2、 M/G/1排队系统分析假定第i个用户的服务时间为，是独立同分布的，并且与到达间隔相互独立。令,则服务时间的均值和二阶矩阵为：平均服务时间=服务时间的二阶矩=M/G/1排队系统的平均等待时间为 （1）式中。该式称为P-K公式。根据上述P-K公式，可以得该系统的平均时延为T= （2）应用Little定理，有：平均队列长度为 （3）系统中的平均用户数为 （4）从上述结果可以看出：如果服务时间是常量，即,则有 （5）该式与M/D/1系统的结果相同。其等待时间是M/M/1系统的一半。3、 M/G/1模型在路由器中，一个分组的服务时间，不仅仅是一个分组的一次传输时间，而且还应当包括分组的重传时间。因此，这里的服务时间为一个等效服务时间，它等于从一个分组的第一次传输开始，到该分组的最后一次传输结束时刻之前的时间长度。假定分组传输的概率为p，如果分组重传次数为k，则等效服务时间为1+kn，起概率为，即等效服务时间的概率分布为:其一阶矩和二阶矩分别为： （6） （7）所以其方差为： （8）现假设路由器数据包用户平均到达率为，每个用户数服务时间的均值是，方差为，令参数，则可证明：当时，路由器可以达到平稳状态。以下列出几个计算公式：信道空闲概率： （9）平均队列长度： （10）平均用户数： （11）用户平均等待时间： （12）用户平均时延： （13）系统的平均利用率： （14）由（7）式可以看出等仅依赖与和服务时间的方差，而与分布的类型没有关系。从（7）式) 还不难发现，当服务率给定后，当方羞减小时，平均队长和平均等待时间等都减少。因此，可通过改变服务时间的方差来缩小平均队长，当且仅当=0，即路由器服务时间为定长时，用户平均队长( 包括平均等待时间) 可减少到最小水平，这一点符合直观的，因为路由器服务时间越有规律，用户等待时间也就越短。4、 Matlab仿真(1) 从仿真结果可以看出当服务率以及到达率都是常量时,当方差减小时，平均用户数和平均时延都减少，这也验证了可通过改变服务时间的方差来缩小平均队长，当且仅当=0，即路由器服务时间为定长时，平均用户数和平均时延 可减少到最小水平。当方差是常量时，当增加时，平均用户数和平均时延也都增加。（2）从仿真结果可以看出出当服务率以及到达率都是常量时，当滑动窗口越小，系统的平均利用率跃大。当分组的滑动窗口是常量时，当增加时，系统的平均利用率减少。5、Matlab 程序1、clear;% arr =1:1:5;ser =10;%bu=arr./ser;%for delta=2:2:10; N_q=(arr.2*delta2+bu.2)./(2*(1-bu); % N=bu+N_q; subplot(1,2,1); plot(bu,N); xlabel(rho); ylabel(); hold on; pause; % W_q=N_q./arr; % W=W_q+1/ser; subplot(1,2,2); plot(bu,W); xlabel(rho); ylabel(); hold on; pause; end;gtext(delta2=2); gtext(delta2=4); gtext(delta2=6); gtext(delta2=8); gtext(delta2=10);gtext(delta2=2); gtext(delta2=4); gtext(delta2=6); gtext(delta2=8); gtext(delta2=10); 2、clear;% arr =1:1:5;ser =10;%bu=arr./ser%p=0.001;for n=2:2:8 % delta=n2*p/(1-p)2 N_q=(arr.2*delta2+bu.2)./(2*(1-bu); % N=bu+N_q; % W_q=N_q./arr; % W=W_q+1/ser; % U=1./(ser*W);