（概率论与数理统计专业论文）单个正态总体的两参数同时局部检验.pdf

中文摘要 关于同一个总体的多个参数同时考虑的统计推断问题到目前为止，还 没有学者讨论和研究，本文就此问题做了一点尝试，同时考虑两个重要参 数( 均值和方差) ，即从检验的角度同时考察单个正态总体的两个参数从利 用n p 引理来寻找一致最优势检验的过程中提出一个检验，先证明了它是 水平为o t 的检验，并接着找到了一个使如本文提出形式的检验为无偏检验 的备则假设中参数的范围，最后用随机模拟的方法将该检验的势与似然比 检验的势进行了粗略比较，说明它是一个可实用的较好的检验，因为似然 比检验是一个比较基本的检验，但它也是一个近似检验 关键词：同时检验两参数o t u m p t 无偏范围似然比检验 随机模拟 1 a b s t r a c t h i t h e r t o ，o nt h es t a t i s t i ci n f e r e n c eo fm u l t i - p a r a m e t e rf r o map o p u i a - t i o nc o n s i d e r e ds i m u l t a n e o u s l y ，n o b o d yh a s h tb e g u nt od i s c u s si t a sf a r a st h i sp r o b l e mi sc o n c e r n e d ，t h i sp a p e rw i l lg i v eas o l u t i o n a n dt w oi m p o r t a n tp a r a m e t e r s ( m e a na n dv a r i a n c e ) a r ec o n s i d e r e ds i m u l t a n e o u s l y , t h a t i st os a y ，f r o mt h ep o i n to fv i e wo fat e s t ，t h i sa r t i c l et e s t ss i m u l t a n e o u s l y t w op a x a m e t e r so fo n en o r m a lp o p u l a t i o n at e s t i s p u tf o r w a r di nt h e c o u r s eo fs e a r c h i n gf o rn u m p t m a k i n g u s eo f n pl e m m a a n dt h i sp a p e r h a sp r o v e dt w ot h i n g s ：o n ei st h a tt h el e v e lo ft h et e s ti sq t h eo t h e ri s t h ed i s c u s s i o na b o u te x i s t e n c eo f t h eu n i f o r m l ym o s tp o w e r f u lt e s t t h e ni t s h o w sar a n g et h a tm a k eo u rt e s t a tl a s t ，t h ec o m p a r i s o nh a sb e e nm a d e b e t w e e ni t sp o w e ra n dt h ep o w e ro ft h el i k e l i h o o dr a t i ot e s t b ys i m u l a t i o n a n dt h ee x c i t i n gr e s u l te x p l a i n st h a to u rt e s ti sm o r e p r a c t i c a b l e ，s i n c et h e l i k e l i h o o dr a t i ot e s ti so n l ya n a p p r o x i m a t et e s t ， k e yw o r d s ：t h e s i m u l t a n e o u st e s t sf o rt w o p a r a m e t e r s a u m p t u n b i a s e dr a n g el i k e l i h o o dr a t i ot e s t s i m u l a t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下迸行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师 范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名；事墨丝 日 期；! ! ! 垒乡 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定。即t 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) v，￥ 学位论文作者签名；i 虚垒趣指导教师签名 日 期，l ! q 盘。：兰2 日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 碧兰z 引宫 关于多个总体的参数的统计推断问题，史宁中教授曾经在1 9 9 4 ，1 9 9 8 年给出了多个正态总体在序约束下的均值的极大似然估计，而关于来自同 一个总体的多个参数同时考虑的统计推断问题到目前为止，还没有学者讨 论和研究，但它却是有实际意义的举一个简单的例子，比如我们想考查 某种新的教学改革方案在教学实施之后是否有效，那么我们应该以学生的 学习成绩为考察对象假定学习成绩服从正态分布，其中一个常用的方法 就是考查一下平均成绩是否得到了提高，相应的检验问题： h o ：p 肛o u 8 h i ：肛 灿o 我们知道，不管口2 已知还是未知，这个问题已经得到解决 现在考虑这样一个问题，我们希望该教学改革方案对绝大多数学生都 能起到正作用，即平均学习成绩提高的同时方差也减小，相应的模型是平 均成绩提高，方差减小，如果真是这样，那么毫无疑问这个教学改革方案 是一个好方案但由于该教学改革方案是一个风险比较大的创举，搞不好 会适得其反，虽然有些学生的学习成绩得到了某些提高，但也有一些学生 的学习成绩却大大的降低了，结果导致平均成绩降低，相应的模型是平均 成绩降低，方差增大，而且这其中不乏原来成绩较好的学生如果结果是 这样，那么这个教学改革方案将不能被推行类似这样的例子在现实中会 有很多，因此现在我们有必要来解决这个问题相应的检验问题： 芦sp o ，盯2 碚 p 肛o ，盯2 o ，o - 2 0 ，c r 2 0 ，盯2 o ) ，盯 ( 1 ) ，我们假定( 卢o ，碚) 是最不利 分布 考虑检验问题： h o l ：“= p o ，j 2 = a j 口s 儡l ：芦= 卢1 ，盯2 = 砰( 2 ) 其中( 弘o ，靠) o o ，( 肛l ，盯 ) 0 1 利用n p 引理，可以得到似然比 z ，= 炙詈等等= 薯e x p tc 弼1 一去，幸2 + c 嚣一嚣，俯+ ；c 嚣一筹2 ，钆， 令w = a l ( z ) c 1 ) ，则( 2 ) 的势0 。 瞵叫) 严格依赖于肛，和口 ，因 此这样找不到一致最优势检验，而考虑到 弼1 去 ! ! 二亚 o r盯 令( v = 掣，z = 掣) = z 2 - i - y 4 - 万n # 2 + 学z 每e lz 竿) 则 耳，一毋( x ) 2 上( z ) k 。( y ) d y d x = 腮m 鼬2 ( 景jz 2 一等一半踟。， 其中氏：一。( g ) 为自由度为n 一1 的卡方分布的密度函数，x i 一。( ) 为自由 度为礼一1 的卡方分布的分布函数 令 = e 。，。：( x ) ，n “= 以，一t j 5 ( x ) ( p 1 ) 斑i f 。，= 瘩。北聪2 _ l ( 彰胁= f 北坛2 _ l ( 景彰胁 = 管此聪2 - l ( 器一z 2 一警一学圳。= k 曲( z ) 妊( 器一一等一半z ) 如 = f 北一孚聪2 _ l ( c 1 2 肚“ 下面只需证明当c l 一鼋几一3 时，o z 0 时，检验函数的势函数瓯一毋( x ) j ；：? 一 q n | o j 孚一多乒等刈 7 穹( 乎一字) 2 2 i l n v 而百- - 。2 + 1 l 爿；c 等一孚) 2 ，n 等+ ， 铸i n c r + 兰2r 近a 一盘o - ) 2 i 面v 石 - - c 2 一唧 ；( 乎一4 。- a u ) 2 等 一去e x p 一三2r 巫a 一字) 2 ) 宰 n 哥矿北一孚胁 去e x p 一；( 字一孚) 2 ) 等 。 等f 北一孚鼬2c 景。减 北一孚胁 r ( ；咖( 学2 c l - z 2 姬。c l - z z ) ) d z = r ( 吉西( 学m 2 c i - - z 2 尬 8 由于 言j i ( 等乎) 北) 甘e 一呼 盯譬 甘z 2 ( 1 一盯2 ) 一2 v 伍# z + 礼p 2 + 2 a 2 i n 盯 0 ) 砉咖( 等乎) 0 ， 则方程，( z ) = 0 存在不等二根z l ，z 2 ( z 1 0 ，所以z 2 0 则c l ，c 2 ，z l ，z 2 的关系分五种情况： ( 1 ) z 1 c 2 z 2 贯；( 2 ) c 2 墨z l z 2 百；( 3 ) c 2s 、百sz l 句；( 4 ) z l z 2 c 2 兰、丽；( 5 ) c 2s = i 、百z 2 r ( 昙( 学聪2 一。c l - - z 2 胁 = z ：2 ( 吾曲( 兰_ = 二；巫) 一( z ) ) ) ( 。2 一。c - - z 2 ) d 。 + r ( ；( 竽h 鼬c l - - z 2 胁 = i l + 厶 利用定理：若f ( x ) 在【a ，b 】上连续，函数9 ( z ) 在【a ，b 】上可积，且不变号 则【a ，6 】上存在一点c o ： ，0，0 f ( x ) g ( x ) d x = f ( c o ) g ( x ) d x 9 若c 1 ，c 2 ，z l ，z 2 的关系为情况( 1 ) ，利用上面定理，存在b ，z 2 】上一点1 【z 。，而l 上一点a 2 使得： i ：x 2 一。( c ，一) 上：2 ( 吾毋( 兰二二：坐) 一咖( z ) ) d = 1 2 = x 2 一。( c - 一) 上! 。( 吉咖( 三二_ _ 笋坐) 一( z ) ) d z r ( ；j i ( 竽川2 c - - 9 2 ) d z = i t + 厶 舶( c 1 - n 2 ) 廖；多( 鼍掣) 叫瑚d z + x 2 - 1 ( c 1 - - a ；) r ( 导( 学 - l ( c l - - a ! “r ( 刍西( 学h 胁 嗡2 _ l ( ”固【蘑北膨一r 北】= x 。一( c t 一口；) 【：。二，i 。( z ) d 。一上：妒( z ) d 彳】 由于积分区间长度之间关系：正 瓶一c 2 于是 ( 等北) 奶r 北) 如 艋审( 舭z 上：咖( 批z 是- 釜 筮二芸舻个骱斛是11 士 。或1 盛丝 一佤 褂蜒 1 州迹或霉一盯一c 2 + v 伍 1 一盯 迹一盯一c 2 + v 酉 c l c 2 、c 1 , c l c 2c 2 即 一一 ；, v n # 一仃_ c 2 + v 何 0 的一个充分条件 总之( 7 ) 是q 一a 0 的一个充分条件，从而等 1 一口 0 的一个充分条件，即舞 南 0 的一个充分 i 0 条件此时说明，只要( 1 ) 的备则假设中参数的范围限制在舞 芒； 等 上，那么满足耳。，i 西) = n 的c 1 ，c 2 所决定的检验函数都是水平为n 的检验函数那么只以无偏为准则，应该使备则假设中参数范围尽可能的 大 由拒绝域加= ? z ；茎c l ，咖虿c z ) 可以看出，当水平口固定时，c 2 与百的增减性是一致的，即若c 2 增大v 百也增大，若c 2 减小 百也减 小所以为使舞 芒i 脚= 0 ，盯2 荫= 1 且击 亡 p o = 0 ，盯2 c ) 的频率为n 得到的( 以下同) 样本容量为2 5 表五 = o 1 ) 0 2 50 50 607 p o w e r ( t ) 0 8 3 8 8 40 3 8 4 2 10 2 0 4 3 2 0 1 0 0 6 5 p o w e r ( n ) 0 9 8 0 1 40 3 4 2 9 40 1 7 2 9 90 0 8 6 7 0 p o w e r ( t 2 ) 0 9 8 1 5 60 3 5 2 3 90 1 7 9 3 2 0 0 9 0 6 7 p o w e r ( t 3 ) 0 9 9 2 1 70 4 5 5 2 20 2 5 2 3 40 1 3 8 0 3 p o w e r ( t 4 ) 0 9 9 2 1 70 4 5 5 2 20 2 5 2 3 40 1 3 8 0 3 p o w e r ( t 5 ) 0 9 8 1 3 60 3 5 0 4 80 1 7 7 9 4 0 0 9 0 0 2 p o w e r ( 死) 0 9 9 6 5 80 5 4 4 6 50 3 2 6 2 3 0 1 8 9 4 0 p o w e r ( 乃) 0 9 8 3 0 00 3 6 1 4 50 1 8 4 9 60 0 9 4 5 7 样本容量为2 5 1 7 表六 ( p = o 2 ) 0 0 10 2 5o 3 5o 5 p o w e r ( t + ) 1 0 0 0 0 00 9 9 4 1 60 9 6 6 5 70 6 6 8 1 8 p o w e r ( t 1 ) 1 0 0 0 0 00 9 9 9 9 60 9 8 6 2 6o 7 2 9 0 5 p o w e r ( t 2 ) 1 0 0 0 0 00 9 9 9 9 70 9 8 7 5 90 7 4 1 9 5 p o w e r ( t 3 ) 1 0 0 0 0 0o 9 9 9 9 90 9 9 5 0 60 8 3 4 9 3 p o w e r ( 五) 1 0 0 0 0 00 9 9 9 9 90 9 9 5 0 60 8 3 4 9 3 p o w e r ( t s ) 1 0 0 0 0 00 9 9 9 9 70 9 8 7 2 30 7 3 8 2 9 p o w e r ( t 6 ) 1 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 9 9 7 3 80 8 7 4 9 7 p o w e r ( t 7 ) 1 0 0 0 0 00 9 9 9 9 70 9 8 8 4 50 7 5 1 5 4 样本容量为4 0 表七 一( 芦= o 1 ) 0 2 50 50 6 0 7 p o w e r ( t + ) 0 8 9 6 4 30 6 3 0 3 50 3 7 5 8 10 1 8 4 0 9 p o w e r ( 丑) 0 9 9 9 8 90 6 3 4 8 30 3 4 5 1 70 1 6 4 8 9 p o w e r ( t 2 ) 0 9 9 9 9 10 6 4 9 1 90 3 5 8 2 10 1 7 3 0 9 p o w e r ( t 3 ) 0 9 9 9 9 90 7 6 0 7 30 4 7 6 0 7 0 2 5 8 7 2 p o w e r ( t 4 ) 0 9 9 9 9 90 7 6 0 7 30 4 7 6 0 70 2 5 8 7 2 p o w e r ( t 5 ) 0 9 9 9 9 10 6 4 5 1 40 3 5 4 4 90 1 7 0 5 7 p o w e r ( t 6 ) 0 9 9 9 9 90 8 1 0 5 90 5 3 9 6 80 3 1 2 8 4 p o w e r ( 乃) 0 9 9 9 9 10 6 6 0 3 10 3 6 8 3 40 1 8 0 3 4 样本容量为4 0 表八 仃2 ( p = o 1 ) 0 2 50 50 60 7 p o w e r ( t ) o 8 9 6 4 30 6 3 0 3 5o 3 7 5 8 l0 1 8 4 0 9 p o w e r ( z ) 0 8 7 1 2 90 6 3 4 2 90 3 9 5 0 40 2 0 1 2 1 p o w e r ( t ；) 0 8 5 7 5 20 6 2 6 5 40 3 9 1 6 2 0 2 0 0 3 0 p o w e r l 写) 0 8 4 2 5 90 6 1 8 3 30 3 8 9 1 00 1 9 9 9 5 p o w e r ( t 1 ) 0 8 2 6 5 40 6 1 0 1 60 3 8 5 7 6 0 1 9 9 0 3 删e r ( t i ) 0 8 1 0 3 40 6 0 2 1 90 3 8 3 0 4 0 1 9 9 3 8 p o w e r ( 咒) 0 7 9 2 5 80 5 9 2 6 50 3 7 9 3 20 1 9 8 9 7 q 分别是当a 2 取o 4 ，0 6 ，08 ，1 0 ，1 , 2 ，14 时由r 1 抽t o t ) = o 0 1 模拟出相应的n l 得到的样本容量为4 0 表九 盯2 = o 1 ) 0 2 50 50 60 7 p o w e r ( t + ) 0 8 9 6 4 30 6 3 0 3 50 3 7 5 8 10 1 8 4 0 9 p o w e r ( ：墨7 ) 0 8 8 4 2 80 6 4 0 1 90 3 9 7 5 30 2 0 1 9 6 p o w e r ( t i ) 0 8 7 8 0 30 6 3 4 4 80 3 9 4 9 10 2 0 1 3 6 p o w e r ( ：t i ) 0 8 7 1 5 10 6 2 9 4 20 3 9 2 3 60 2 0 0 5 4 p o w e r ( 墨) 0 8 6 4 6 50 6 2 3 9 0o 3 9 0 3 80 1 9 9 8 4 p o w e r ( t i 7 ) 0 8 5 7 5 50 6 1 9 3 80 3 8 9 6 70 2 0 0 4 9 p o w e r ( 7 ) 0 8 5 0 1 60 6 1 3 9 70 3 8 7 1 00 1 9 9 7 6 t i 一巧分别是当6 2 取0 4 ，0 6 ，0 8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 时。由p 0 ，i ( 。 1 ) = o 0 1 模拟出相应的6 1 得到的样本容量为4 0 程序一： # i n c l u d e “s t d i o h “ # i n c l u d e “m a t h h ” # d e f i n e n1 0 0 0 0 0 # d e f i n e a0 0 1 # d e f i n e g 2 5 l o n gr x = 1 ，r y = 2 ，r z = 2 ； d o u b l e r a n d l ( ) e x t e r n l o n gr x r y - r z ； d o u b l e e ； i n t t l ； r x = f 1 7 1 r x ) 3 0 2 6 9 ； r y = f 1 7 2 r y ) 3 0 3 0 9 ； r z = f 1 7 0 r z ) 3 0 3 2 3 ； e = ( d o u b l e ) ( r x 3 0 2 6 9 0 + r y 3 0 3 0 9 0 + r z 3 0 3 2 3 0 ) t l = ( i m ) ( e ) ； r e t u r n ( e t 1 ) ； v o i d m a i n ( ) i n t i ， 叫； d o u b l ec l ，c 2 ，a 2 ，a l ，让； d o u b l e z ，s ，y ，k ，r l ，r 2 ； d o u b l e 啪 ； = o ： c l = o ： c 2 = 1 2 6 0 8 5 ； a 2 = 1 ： ，d r ( 口2 = 2 ；a 2 = 4 1 ；a 2 = a 2 + 2 ) 1 1 w = 0 ： a l = s q r t ( a 2 ) ； f d r ( i = o ；i 礼；i + + ) 十 十 十 十+ + 十产生正态n ( u ，a 2 ) 随机数 f o r ( j = 0 ；j 9 ；j + + ) r l = r a n d l o ； r 2 = r a n d l o ； t j = a l s q r t ( 一2 l o g ( r 1 ) ) 十s i n ( 2 3 1 4 1 5 9 2 6 r 2 ) + u 8 = 0 ： 十十 十十十 十计算z 和t 的值 f o r ( j = o ；j 9 ；j + + ) 8 = s + t j ) ) k = s g ； y = s q r t ( g ) ； j = 0 ： o = o ： f o r ( j = 0 ；j = c l x = c 2 1 w = 叫+ 1 ： ) l i p = ( d o u b l e ) w n ； p r i n t f ( ”c 2 = d ，叫) ； 程序二 社i n c l u d e 4 s t d i o h ” 社i n c l u d e “m a t h h ” 社d e f i n e n 1 0 0 0 0 0 社d e f i n e a 0 0 1 群d e f i n eg 4 0 l o n gr x = 1 ，r y = 2 ，r z = 2 ； d o u b l e r a n d l ( ) e x t e r n l o n g r x ，r y r z ； d o u b l e e ； i n t t l ； r x = ( 1 7 1 r x ) 3 0 2 6 9 ； r y = ( 1 7 2 十r y ) 3 0 3 0 9 ； r z = f 1 7 0 $ r z ) 3 0 3 2 3 ； e 2 ( d o u b 1 e ) ( r x 3 0 2 6 9 0 + r y 3 0 3 0 9 0 + r z 3 0 3 2 3 o ) ； t l = ( 挑o ) ( e ) ； r e t u r n ( e t 1 ) ； v o i d m a i n ( ) i n t i ，j ，叫； d o u b l e c ，a 2 ，a l ，u ； d o u b l e z ，s ，y ，k ，r l ，r 2 ； d o u b l e 啪】，p 【2 】q 2 l ； u = 0 1 ： e = 5 6 7 2 ； a 2 = 0 6 ： ，d r ( n 2 = 2