功和能经典习题.pdf

第 1 页 共 13 页 功和能经典习题 三、小试身手 1 一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑， 与一质量为 km 的静止在水 平地面上的小滑块 B 发生正碰撞， 如图411所示， 设碰撞是弹性的，且一切摩擦均不计，为使二者能 且只能发生两次碰撞，则 k 的值应满足什么条件？ 2 半径等于 r 的半球形水池内充满了水如图 412 所示，把池内的水完全抽出 至少要做多少功？ 第 2 页 共 13 页 3 有一台反作用式汽艇的喷水式发动机，其进水孔面积为 S1=0.9m2，而出水孔 面积为 S2=0.02m2，求发动机的效率 4 如图 413 所示，已知滑轮的质量为 M，半径为 R，物体的质量为 m，弹簧 的劲度系数为 k，斜面的倾角为,物体与斜面间光滑物体从静止释放， 释 放时弹簧无形变设细绳不伸长且与滑轮 无相对滑动，忽略轴间摩擦力矩，求物体沿 斜面下滑x时的速度多大？（滑轮视作薄圆 盘） 5如图所示，有一固定的、半径为 a 、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位 置）, O 为球心碗内搁置一质量为 m 、边长为 a 的等边三角形均匀薄板 ABC板的顶点 A 位于碗内最低点，碗的最低点处对 A 有某种约束使顶 点 A 不能滑动（板只能绕 A 点转动）. （1）当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点 A 、 B 、 C 的作用力的大 小各为多少 第 3 页 共 13 页 （2）当板处于上述平衡状态时，若解除对 A 点的约束，让它能在碗的内表面 上从静止开始自由滑动， 求此 后三角形薄板可能具有的最 大动能 6玩具列车由许多节车厢组成，它以恒定速率沿水平轨道行驶进人“死圈” （图 415） 。列车全长为 L，圈半径为 R， （2LR） 则列车应具有多大的初 速度 0 ，才能确保节车厢脱离轨道？ 第 4 页 共 13 页 7如图 4 一 16 所示，长为 L 的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的 0 点，下 端系一质量为 m 的小球竖直悬挂起来，A 点是平衡时小球的位置，现保持 绳绷直， 将小球从 A 点拉开到绳水平的位置 B， 然后在 OA 连线上于墙上固 定一细长的钉子于某点，问夏历两种情况下，钉子到悬点 O 的距离各是多 少？ （1）将球释放后，绳被钉子挡住，以钉子 01为圆心做圆周运动，如图 4 17 所示; （2）将球释放后，绳被 钉子 O2挡住，小球刚好能击中钉子，如图 418 所示. 8 两根长度均为l的刚性轻杆，一端通过质量为 m 的球形铰链连接，另一端分 别接质量为 m 和 2m 的小球 将此装置的两杆并拢， 铰链向上竖直地放在桌 上，然后轻敲一下，使球往两边滑，但两杆始终保持在竖直面内（图 4 一 第 5 页 共 13 页 19） ，忽略一切摩擦求： （1）铰链碰到桌面前的速度； （2）当两杆夹角为 900时，质量为 2m 的小球的速度 3 ； （3）当两杆夹角为 900时，质量为 2m 的小球的位移 s2. 9水平面上有一质量为 M 的木块，其斜面上放一质量为 m 的小木块（可看做 质点） ，从静止在高度为 h 处下滑到底， （图 420 所示） 。设斜面的倾角为 ，各接触面的摩擦均可忽略不计，试求： （1）下滑过程中，契形木块对水平面的压力； （2）当 m 刚下滑到水平面上时，M 滑行的距离； （3）当 m 刚下滑到水平面上时，M 对 m 的所做的功。 第 6 页 共 13 页 参考解答 1解：设碰撞前 A 的速度为 v0，碰撞后 A、B 的速度分别为 v1和 V1，则 mv0mv1kmV1，1 2 mv021 2 mv121 2 kmV12，可解得： v1（k1） k1 v0，V1 2 k1 v0， 为使 A 能回到坡上，要 v10，这导致 k1；为使 A 能再追上 B，应有 v1V1，导致 k3；于是要发生第二次碰撞必须要 k3。 设第二次碰撞后 A、B 的速度分别为 v2和 V2，则 m（v1）kmV1mv2kmV2，1 2 mv121 2 kmV121 2 mv221 2 kmV22，可 解得： v24k（k1） 2 （k1）2 v0，V24（k1） （k1）2 v0， 若 v20 必不会发生第三次碰撞，若 v20，但v2V2，也不会发生第三次 碰撞，则由v2V2可解得 5 2 k5 2 ，所以要能且只能发生两次碰 撞的条件是交集 3k5 2 。 2解：如题图所示，沿着容器的竖直直径，我们将水池内的水均匀细分成 n 层， 每一元层水的高度 r h n ，h很小，故每一层水均可看做是一个薄圆 柱，水面下第i层水柱底面的半径 222 () i ir rr n ，这层水的质量为 第 7 页 共 13 页 22 () i irr mr nn 那么将这层水抽出至少应做的功是 22 () i irr ir Wgr nn n 而将池内水完全抽出至少要做的功就是 3 4 24 11 limlim i nnii ii WWg r nn 43333 24 11 (123)(123) lim n g rnn nn 22 4 24 1(1)1(1) 24 lim n n nn n g r nn 4 1 4 g r 3 解： 在t 时间内发动机吸收的水的体积为 1 VSt（其相对汽艇的速度为） ， 动能关系式为 23 1 11 22 k EmSt 水喷出的速度为 u，其动能关系式为： 2 1 1 () 2 k ESt u 因 为 水 是 不 可 压 缩 的 ， 所 以 有 12 StuSt ， 由 此 得 1 2 S u S ， 3 3 1 2 2 1 2 k S Et S 由此可得发动机所做的功为 22 3 112 2 2 ()1 2 kk S SS WEEt S 而有效功为WFt （ F 为对汽艇的反作用力） 2 12 1 2 ()SSmum FS tS 3 12 1 2 ()SS WSt S 所以 2 12 2 4.3% SW WSS 第 8 页 共 13 页 4解：选择 m、M、弹簧和地球为系统，只受重力和弹力，其他外力不做功， 故系统的机械能守恒 222 111 sin 222 mgxkxmJ R 2 1 2 JMR 由以上三式解得： 2 1 4(sin) 2 2 mgxkx mM 5解： （1）由几何关系知道 OABC 是边长为 a 正四面体，则有 NBC 3 NB， NBNC，OD AD 3 a/2，OP AG 3 a/3，ODA2， 所以由正弦定理得： a sin 2 3 a/2 sin ， 则 sin 2 / 3 ，cos 3 /3，在APO 中， AP a2/3a22 3 3 a 1 3 2 / 3 ， 由正弦定理得： AP sin OP sin OA sin（）， 对力三角形也有： NA sin NB sin mg sin（）， 可解得：NA 6mg/3，NBNCmg/3， （2）解除约束后重心最低的位置为板处于水平位置时，原来重心高为 h AG cosDAOAG cosa/3， ，最后重心高为 haOG a 2 a/ 3 ， Ekmg（hh） 62 3 mga。 2 Lg 6解： （1）设列车的“线密度”为，则由机械能守恒有 222 0 11 2 22 LLR g ， 第 9 页 共 13 页 2 22 0 4 R g L （2）不难判断轨道顶部的车厢最容易脱离轨道， 该车厢受力如右图所示，两个 FT是两边其他车厢对它的拉力。 2 2 2 T mFmg R ，将mR 代入，有 2 T FR g （3）用虚功原理求 FT，对左半侧或右半侧的列车来说，移动一小段s，FT 做的功是 T Fs ，效果是使s 长的车厢升高 2R 高度，因而有 2 T FssRg ，即2 T FR g 由可解得 2 3Rg，所以 0 4 (3 R gR L 0 4 (3) R gR L 7解：以绳、球为研究对象，摆动过程中机械能守恒，而要使球能绕钉子做圆 周运动，球必须能经过圆周的最高点 C，为此据牛顿第二定律在最高点处的 速度必须大于等于一临界值，即绳中拉力为零时的线速度，据此可求出位置 O1。 要小球能击中钉子，则钉子应另有一个位置，使得挡后先做圆周运动，在到 达最高点 C 以前，在过钉子所在水平面之后的某一位置 D，绳子松弛，球做 斜上抛运动。同时击中钉子，同时利用运动过程中机械能守恒，在 D 点绳松 弛瞬时球还在做圆周运动应满足牛顿第二定律，此后开始斜上抛又应满足斜 上抛运动规律，从而求出钉子的位置 O2。 （1）取小球、地球为一系统，设钉子到悬点的距离 11 OOx，小球绕 O1刚好 能做圆周运动，其半径为 R1，以小球圆周运动的最高点 C 为重力势能零点， 则小球从 B 摆动到 C 的过程中机械能守恒。有： 2 1 1 (2) 2 C mg LRm 2 1 C m mg R 第 10 页 共 13 页 11 xLR 由式解得： 1 3 5 xL 即钉子到悬点的距离至少为 1 3 5 xL （2）取小球、地球为一系统，设小球绕 O2刚好能击中钉子，且绕钉子做圆周 运动时半径为 R2，钉子到悬点的距离 22 O Ox，当小球做圆周运动到 D 点 时速度为 D ，O2D 与 O2O 之间夹角为，这时绳中拉力刚好为零，并取 D 点为重力势能零点，则小球从 B 摆动到 D 的过程中机械能守恒： 由此得： 2 22 1 (cos ) 2 D mg LRRm 2 2 cos D m mg R 此后小球做斜上抛运动，设从 D 到击中 O2的时间为 t，则有 2 2 1 cossin 2 D Rgt 2sin cos D Rt 由式解得 2 6 3 RL， 22 6 (1) 3 xLRL 即钉子 O2到悬点 O 的距离为 6 (1) 3 L 8 解： （1）铰链碰到桌面前，三物体水平方向速度相同，由动量守恒可知， 它 们的水平速度必为零两小球也不可能有竖直速度，因此铰链的竖直速度 2gl （2）当两杆成 900时，设两小球的速度分别为 1 和 3 （水平方向） ，饺链的 速度为, 2 ，与左杆的夹角为（图 1） 根据杆的长度不能变，所以有 0 12 cos45cos 0 32 cos45sin 第 11 页 共 13 页 根据物体系水平方向动量守恒，可得 0 213 cos(45)2mmm 根据机械能守恒 222 123 1111 2(1) 2222 mmmmgl 如图 2，设铰链速度的水平分量和竖直分量分别是 2 和 2 ，则有 122 222 222 222 123 2mmm 2222 1322 1111 2()(1) 2222 mmmmgl 可以比较方便地解得： 3 3(22) 20 gl （3）这个问题可用动量守恒定律的一个推论来解 决， 一个物体系如果在水平方向上不受外力的作用， 那么这个物体的质心在水平方向上的运动状态不 会 改变。本题中三个物体的质心在水平方向上不会移动 当杆成 900角时，A 和 C 的质心在 M 点，投影在 N 点， 因此三物体总的质心投影在 NB 的中点 O 点（图 3） ， 最初 B 球就是在 O 点，所以 B 球移动了 3 4 2 l 9解： （1）设在运动时地面对 M 的支持为 R，m 对 M 的压力为 FN，M 的加速 度为a，m 的加速度为 a 第 12 页 共 13 页 对 M：cos0 N MgFR sin N FMa 对 m：sin N mgFma 其中 a 是木块斜面对 m 的牵连加速度，sinaa 由式解得 2 () sin Mg Mm R Mm M 对水平面的压力与 R 大小相等，方向相反。 （2） m 从高度 h 处由静止沿斜面下滑到水平面上时， 设 m 相对于 M 的速度 为 1 ，此刻 M 后退的速度为 2 ，m 相对于地面参考系的速度为 3 根据速度叠加原理， 1 、 2 和 3 的关系式为3 12，即 222