（应用数学专业论文）一类强耦合椭圆方程的正解存在性.pdf

中文摘要 本文主要讨论了如下一类带有h o u i n g - t a n n e r 反应项的强耦合椭圆型方程： 卜冰q l + f l u - t - 刊u 】_ 叫叫1 铲一而a 2 u v 五，蜒q ， 一【( n 2 + 屈札+ 他洲= 幻一6 i v 2 - - 而b 2 u v 石， z q ， lu ( z ) = 0 ，v ( x ) = 0 ， z o n 其中q 是r ( 1 ) 中一有界区域且具有光滑边界a q ，参数q t ，屈，m ，a ，b ，a ，b i ， ( i = 1 ，2 ，) 均为正的常数本文将结合单调性理论以及不动点原理给出模型正解存 在的充分条件 本文主要分为五部分 第一章为引言，介绍了问题研究的背景和某些实际意义，以及本文的主要工 作 第二章主要给出了一些相关的定义和基本的定理，主要有h s l d e r 连续性，上 下解原理，以及经常用到的几个定理等这些定理及定义都是解决后面问题必备的 基础知识和重要工具，在下文中将不再证明而直接应用 第三部分给出了方程解的先验估计，并讨论了一下半平凡解的存在性，这在后 面的讨论中有一些用处 第四章是本文的主要部分，第一节主要用上下解方法和单调性质讨论解的存 在性问题，并给出了如何构造上下解；第二节主要是利用不动点理论来研究正解的 存在性 第五部分为文章的结束语 关键词：强耦合椭圆方程；反应扩散；上下解；单调性；h s l d e r 连续性；不动点 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，as t r o n g l yc o u p l e de l l i p t i cs y s t e mw i t hh o n i n g - t a n n e rr e s p o n c ei s c o n s i d e r e d ： 一 一 n 1 + z l u + 7 1 v ) u 】= a u a l u 2 一 口2 + 忍乱+ 7 2 v ) v 】= b y b l v 2 + 让( z ) = 0 ，v ( x ) = 0 ， z q z q z a q w h e r eqi 8ab o u n d e dd o m a i ni nr n ( 1 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r ya q h e r et h e p a r a m e t e r s 啦，风，m ，a ，b ，啦，b i ，( i = 1 ，2 ，) a r ea l lp o s i t i v ec o n s t a n t s m a k i n gu s eo ft h e m o n o t o n ep r o p e r t ya n ds c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r y , w eg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h i se l l i p t i cp r o b l e mt oh a v eac o e x i s t e n c es t a t e t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e rp r e s e n t st h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r a n dp l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m n e x ts e c t i o no ft h ep a p e ri 8c o m p o s e do fs o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s i n c l u d i n gt h eh 5 1 d e rc o n t i n u i t y , u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n st h e o r ya n ds o m ek n o w n r e s u l t sw h i c ha r eu s e f u li nl a t e rs e c t i o n s t h et h i r ds e c t i o np r o v i d et h ep r i o r ie s t i m a t eo ft h es o l u t i o na n de x i s t e n c eo ft h e s e m i - c o e x i s t e n c es t a t e t h ef o u r t hs e c t i o ni st h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，w h e r ew ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sb yt h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sp r o p e r t ya n ds c h a u d e rf i x e dp o i n t t h e o r y m o r e o v e rt h ef i r s tp a r to ft h i ss e c t i o na l s od i s c u s sh o wt oc o n s t r u c tt h eu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n a tl a s t ，w es u m m a r i z et h ew o r ko ft h ew h o l ep a p e ra n dg i v es o m eo p e np r o b l e m s a b o u tt h ee q u a t i o n k e yw o r d s ：s t r o n g l yc o u p l e de l l i p t i cs y s t e m ； c r o s sd i f f u s i o n ； u p p e ra n di o w e r s o l u t i o n s ；m o n o t o n ep r o p e r t y ；h s l d e rc o n t i n u i t y ；f i x e dp o i n tt h e o r y 叠一 ，l，i、 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：荡风凄 签字日期川年月伽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：兹阻壶 签字日期：1 跨伯0 日 导师签名：眵力乡 签字日期：础石月2 日 第一章引言 第一章引言 近年来强耦合椭圆型方程得到广泛讨论，并且出现了很多种形式，特别 是具有交错扩散的反应扩散方程其中两种群模型如l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型 讨论的较多本文主要研究了带有h o u i n g - t a n n e r 反应项的椭圆方程 + 饥u ) 缸】_ 。“一。1 “2 一再a 2 丽u v ，z q ， + 训扣b y - b l v 2 + 羔，z 叽 ( 1 1 ) 其中q 是r ( 1 ) 中一有界区域，且具有光滑边界a q ，参数啦，侥，m ，a ，b ，a i ，b i ( i = 1 ，2 ) 均设为正的常数此方程是生态学模型 【( q 1 - i - 8 1 u ( q 2 + 屈让 0 ，口 ，t ) = 0 ， z q z q z a q ，t 0 的平衡态方程，其中u ( x ，t ) ，v ( x ，t ) 分别代表共同栖居在区域q 内的食饵和捕 食者的种群密度，从而只讨论取正值的情况；啦代表各自的扩散比率，a ，b 为出 生率，历，铊代表自扩散系数，侥，饥为交错扩散系数兰是h o l l i n g - t a n n e r 型功能反应函数，表示捕食者u 以有限的胃口捕食食饵u ，当捕食者或食饵的 种群密度增大时，此项随着增大 类似的模型在很多文章中讨论过对于方程 f 一 i ( 一a v l 【让( z ) a u - - a l u 2 一。而a 2 u v 石，z q ， b y - b l v 2 + 黑，。呱 0 ，v ( x ) = 0 ， z a q 在文献 1 2 】中，利用分歧理论和度理论讨论了此模型的非负稳态解，即将食 饵捕食者的出生率分别看作分歧参数，结合度理论，得到解的存在的充分条 件，并且其结论仍然适用于n e u f n a n n 边界条件在文章【1 3 】中，讨论了此模型 带有保护区的情况在文章 9 】中，利用了度理论讨论了在d i r i c h l e t 边界条件 1 u u一：、阳助忙 + + 小 一 汁 叭 卜 k、 以 以 啦 蔫 似护 o h 一 一 舭 幻 = = 川叫吩 饥 位 + + 力一” p 吣吣如 ，j(1【 第一章引言 下强耦合椭圆型方程 l 一【( d 1 + 1 2 1 1 u l - - i - 9 1 2 u 2 ) u 1 】= a l u l b l l u 2 2 一b 1 2 u l u 2 ， z q ， l 一【( 矗2 + 觎1 乱l + g 2 2 u 2 + 眈3 珏3 ) 眈】= a 2 u 2 + b ；l u l u 2 一幻2 缸2 2 一b 2 3 u 2 u 3 ， z q ， i a ( d 3 - t - q 3 2 u 2 + 0 1 3 3 u 3 ) u 3 】= a 3 u 3 + b 3 2 u 2 u 3 一b 3 3 u 3 2 ， z q ， iu l ( x ) ；u 2 ( x ) = u 3 ( x ) = 0 ， z a q 正解存在的充分条件 在文献【l 】中，c v p a o 首先简要讨论了在d i r i c h l e t 边界条件下如下形式 的方程的解： i 一p i ( x ，】+ 吼v d i 0 ，叻】= 0 ，询，z q ， 【u i ( z ) = 危 ( z ) ， z a q 其中u = ( 乱1 ，) 作者在对反应项为l o t k a - v o l t e r r a 即竞争模型、捕食者一 食饵模型以及互惠模型做了详细讨论，得出了一些好的结论此外，还有许多 关于此种问题的讨论，大多数研究局限在此模型多种变形的解的全局存在性 以及一致有界性方面的讨论对于讨论较多的竞争模型，即： ( ，v ) = u ( a l b l u c l v ) ， 丘( 仳，v ) = v ( a l b 2 u c 2 口) ， 很多文章对d i r i c h l e t 边界条件以及n e u m a n n 条件利用不同方法做了很好的 讨论如文献 6 儿7 】，分别利用了度理论对交错扩散系数很大和很小的时候正 解的存在性问题进行了探讨 为了方便，本文在下面的讨论中设 ) = ( q 1 - i - 胁珏- t - ，y i u ) u ， a 2 u v d l 仳一l - l - m u b l v 2 + 罴 则方程( 1 1 ) 变为 让- - 。a z ，w ：t = 。，：；z ，：。，二主募 让 铭 u u 舭 叫 一 勘 心北= l i d d 谚 = i i 1 2，八必 撕 耋i 尼 ，i_iili，、l_-l_l、 第一章引言 其中i = l ，2 令c m 托( q ) 是指数为q ( 0 ，1 ) 在c ( q ) 上的h s l d e r 连续函数的集合， 且设够m + q ( q ) = c m + 8 ( q ) c ”+ a ( q ) ，够仇( q ) = c ( q ) c m ( q ) ，其中 m = 0 ，1 ，2 ，q 表示q ，0 1 2 或者- 5 = qua q 考虑t i i ，i = 1 ，2 ，由于钍，口均为正值， 亘w 1 = d 1 ( z ，乱，u ) ，w 2 = d 2 ( z ，牡，口) 的雅可比行列式是 j = 帮= 障o u 霉f 扛帮= i 巫互f a 口 从而w l ，w 2 的逆存在，分别记为u = g l ( w l ，叫2 ) ，口= 9 2 ( w l ，w 2 ) 又因为 q 2 + 伤乱+ 2 7 2 v 了一 口1 + 2 p l u + i v 3 得到g l ( w l ，w 2 ) 对w l 不减，对w 2 不增，而9 2 ( w l ，w 2 ) 对w l 不增，对w 2 不减 下面定义 仨 w i = 一毗+ k i w i ， ( z ，让，钉) = k d i ( x ，t + ) = d i ( x ，h i ，h 2 ) ， 髓篓一心h 蚴， z q z a q ( 1 2 ) 显然，如果( 乱，口，w l ，w 2 ) 是方程( 1 2 ) 的解，则( u ，v ) 必定是系统( 1 1 ) 的解 本文就正解的存在性问题用两种方法给予了讨论 3 堕讹盟c耄堕c 砉盟讹 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 在本节中，首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理 2 1h 5 l d e r 连续性 定义2 1 设x 0 是r 中的一点，而，是定义在包括z o 的有界区域q 上 的一个函数假设0 口 一 一 吼功砚 厶啦觑 第二章基本概念和定理 定义2 4称向量函数f ( ，让) 三( e l ( ，曲，f ( ，由) 在夕中对i = l ，是 混拟单调的，如果存在正的常数a ，b i ，a i + b t = n ，使得e ( z ，询三e ( ，【叫【叫6 。) 满足对【叫啦单调非减，对【叫玩单调非增如果玩= 0 ，则称r 在够中单调非减 的 对于给定的一组强耦合上下解，( 缸，动，( 乱，动，记 夕= 俨( q ) ；乱u 缸) ，夕= 硼够口( 晓) ；初s 加初) ( 2 3 ) 同时设 ( 日1 ) 对每一个i = 1 ，n ，h = ( h i ( x ) ，如( z ) ) ，d i ( x ，h ( 。) ) 够2 + a ( a q ) ，d i ( x ，呦 以及 ( z ，询对z 是h 5 1 d e r 连续的，且对札夕连续可微 ( 日2 ) u i 的逆存在，当硼夕+ 时有g i ( x ，凹) c 口( q ) 2 3 几个重要引理 定理2 1设g c ( f i r 1 ) 如果w c 2 ( q ) nc 1 ( q ) ，且满足 a w + 9 ( z ，w ) 0 ，z q ；w = 0 ，z a q 若设w ( x o ) = m a x i 忑w 0 ，则g ( x o ，伽( z o ) ) 0 定理2 2 设p ( w ) 是c 2 上关于伽单调非减的函数，9 ( z ，w ) 也是c 2 上函 数，如果叫c 2 ( q ) nc ( q ) 且满足 【p ( 伽) 】- 4 - g ( x ，伽( z ) ) o ，。f t ；w = o ，。a q 若令w ( x o ) = m a x 磊w 0 ，则有g ( x o ，伽( z o ) ) 0 定理2 3 对方程 钍a 。 z ( d ，：+ 6 a ，u ) 仳】+ 让( 口一沈) 。x z ea n q , 的任意非负解u ，有0 0 ，a 0 ，b 0 第二章基本概念和定理 以下设拉普拉斯算子在d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值为盯 0 ，其对应 的特征函数i i 咖1 1 0 。o = 1 定理2 4 设p ( x ，w ) c 2 ( q r ) 关于w ( 0 ，o o ) 单调非减的，对z q 且 伽0 有p ( x ，w ) d 0 令g ( z ，w ) 0 ，且q c 1 ( 囝月) 又设0 叫c 2 ( q ) n c ( q ) 满足： j 防p ，彬) 叫+ w a g ( z ，彬) 】0 ，z q ， 、伽：o ， z a q 如果a d a ，则w 三0z q 定理2 5 椭圆方程 d a 有唯一的正解 定理2 6 椭圆方程 三! ；二三 ) + a 缸) 叫+ 乱陋+ b ( z ) 一阮一c ( z ) 】= 0 三茎： c 2 4 ， 在条件口 o + 下有唯一的正解，其中矿是下列方程的主特征根： f 一 ( d + a ( 。) ) 纠+ c ( z ) = 仃+ 屯z q ， ( 2 5 ) l ( z ) ：o ， z a q z 由 此处a ( z ) ，j e i ( z ) ，c ( x ) 均为非负的c 2 函数 定理2 7 设口 m a x 矗c ( x ) + a d + m a x 磊a ( x ) ，则方程( 2 4 ) 有唯一的正解 此外方程有任意小的下解，即对任意的面( z ) c 2 ( q ) nc 1 ( q ) 满足面 0z 踊西= 0 ， z a q 且a 面a v 0 由定理( 2 1 ) 得 即 从而得到 又因为 从而 a - - a l u ( z 。) 一14 - 盟m u ( x o ) 】u ( z 。) 。， 一n ，让( 训一蒜狐 让( 知) i a ，口( z 。) s a a l - 4 - m a 2 a l a 2 m q _ a x 伽z 一( 跏) 暑( ”鲁+ 陋z + 厦铲珏 ) j n 铲铭知) q q 、 若历s 口l ，得到 若质 口1 ，得到 a a y 7 1 + m a 2 饥 a l a 2 警吣) 暑( n - + 等+ m q a x 牡( 哪暑( 1 + 差+ 墨+ 警u ( z ) 暑( 1 + i a + a a 。v _ _ 眈l + 历峄删2 石a ( a - + 等+ 峄u ( z ) 】2 暑( + 暑+ m a 2 7 1 a l g t 2 0 r 1 m a 2 y 1 a l a 2 0 q a a y ) 1 - 4 - m a 2 7 1 ) 圭 1 圭l 1 口n 1 傀+ m n 2 舰 a 吖1 。一一 a l a 2 m a 2 7 1 o q a 2 a l a 2 0 1 11 = l 1 a l a 2 所以当令尬= r a i n j 1 ，m a x l 1 ，钔i ) ) 时，有0 m a 酾乱蛆 同理，对钞，由于叫2 ( z ) = ( a 2 + 伤u + 能”) 钉，若m a x 矗w 2 ( z ) ：0 ，则有 ( z ) 三0 下面设她( 圣) = m a x 而w 2 ( x ) 0 ，其中圣q ，则有u ( 圣) 0 由定理( 2 1 ) 得 b - b l v ( 卅斋m 啦。， 7 第三章解的先验估计 从而得到 b + b 2 札( 圣) l - t - m u )6 1 口 ) ， 啦) 百b + 揣 又因为 删= m n a x 叫。 鲁+ 指m 仍尬圳鲁+ 揣) 】， 若7 2 啦，得到 若仇 乜2 ，得到 警u ( z ) 】2 一 一 口 口一 z ” r 笪 一 。 岭r 承 一 ，、， i ，；，m 地 水 = 扩脚跏磷 = = 1 _ ) ) 眦 似0； = 一 坠 h 世一 桃，一 厶厶迸 第四章正解的存在性的讨论 巨紧蘸 得到笪( 1 u 西( ，必1 ) 钉可( 1 ) 即 ( ，笪( 1 ) ( u ，叫( 面( 1 1 ，初( 1 ) 同理，当m 1 时可得( 墅( 川，笪( m ) ) ( 加) ( 面( 删，耐”) ) 令m o o ，得到 ( 骂型) ( 札，伽) ( 瓦，_ ) 由( 4 2 ) 知( 面，_ ) ，也，蓟也是( 1 2 ) 的强耦合上下解下面 考虑问题 卜w i 娟 艚一卸， ( 4 8 ) 1w i ( x ) = h + ( 。) ， z a q ，i = 1 ，2 其中夕纠三( g l ( z ) ，鸵( z ) ) ，且石夕+ 由条件( - t - 1 ) ( h 2 ) ，当石够口( q ) 时，有 r ( z ，g 俐) 够a ( q ) ，此时由文献 2 】 ( 4 8 ) 有唯一解w i c 2 托从而对任意的 石夕+ ，( 4 8 ) 有唯一正解* b p = ( w l ，w 2 ) 俨+ a ( 囝) 定义算子：夕_ 秽托： 锄= 蜀下证在夕+ 有不动点 对任意z 夕+ ，由式子( 2 2 ) 有乜夕俐u 且 l 三i 面t e ( 。，g r 矽) 三t 皱， z q ， 【蛾( z ) h i + ( z ) 鳓( z ) ， z a q 从而 li i ( w i 一弛) = e ( z ，夕俐) 一l 蚴， z q ， 1 w i ( x ) 一西t ( z ) = h i + ( z ) 一地( z ) ， z a q 由椭圆方程的最大值原理，在q 上有w i 弛( i = 1 ，2 ) ，利用上解性质可得， 锄芝w i ，从而有墼毗锄，即映射夕+ 到其自身由文献 2 】知道， 为夕中紧算子，利用不动点原理可知在夕- 中有一个不动点，记为 t l 广严+ 口( q ) ，且p ： il i w * = 蜀( z ，夕( 矿) ) ， z q ， 【w i ( z ) = ；( 茹) ， z o l z 1 4 第四章正解的存在性的讨论 令矿= g ( 矿) ，则( 矿，矿) 为方程( 1 2 ) 的解，显然知矿是( 1 1 ) 的解结论 得证 ( 洌) 由第二步可得 一般来说，类似解不是方程的解，但在特定的条件下，类似解又可以导 出解对于系统( 1 2 ) ，( _ _ ) ，( 堑，v ) 不是解，但是如果选择适当的甄，使得函数 d i ( x ，u ，秒，) ，e ( z ，让，u ) 满足 f l ( z ，西，可) 一k i d i ( x ，面，型) = ( z ，面，型) ， 易( z ，u ，v ) 一k 2 d 2 ( x ，面，v ) = ，2 ( z ，面，型) ， ( 4 9 ) 则知( 面，型) 是( 1 2 ) 的解同理，由式( 4 7 ) 知，如果 f 1 ( z ，笪，型) 一k i d i ( x ，u ，可) = ( z ，u ，- ) ， 易x ，西，虿) 一k 2 d 2 ( x ，u ，可) = 丘( z ，笪，西) ，( 4 1 0 ) 成立，则( u ，可) 是( 1 2 ) 的解 下面将讨论如何构造系统( 1 2 ) 的上下解由定理( 3 2 ) 知道，要保证上下 解的存在性，必须保证a a 1 口，b o e 2 t t 当k 1 m a x a l # 1 ，a 2 9 1 ， a i f l i ，反之一样) ，k 2 = b l 7 2 ，由 于h e = 一仃，且 ( 2 ) = 2 ( + i v 1 2 ) 一2 a 2 ， 代入不等式( 4 1 4 ) ，由第一式得到 饥口岛咖a - - a l a l 一r 干a 2 元a 2 石+ k 1 7 1 a 2 - k 1 ，y 1 如， 由于瓯可以充分小，得到只要 。一口- a 一r 罟专鲁i a - - a l a l + a 2 a 2 。， 成立，则( 4 1 4 ) 中第一个式子就满足，即 n 1 a i a + a 2 a 2 由第二式得 侥盯以b - b l a 2 + 丽b 2 a 1 + 鲍庞( a 1 - - 6 1 妒) ， 由于鲍= 石b l ，f 暑6 2 a ，所以只要不等式 b b i a 2 + b 2 a 1 + b l 愚a 1 t 2 0 ，( 2 ： 成立，第二个式子就成立，联立( 1 ) ( 2 ) 得到：当a l b l 7 2 一a 2 b 2 7 2 一a 2 b 1 尾0 时有 1 6 第四章正解的存在性的讨论 a1_a=bly_2+a2丽b12a10172 a 2 0 2 t 2a 2 0 1 ， 一一 陇 a2辈a1017整2啤a202尝72 a 2 0 1 j 2 ( 4 ) 同理由( 4 1 4 ) 中第三和第四个不等式得到 设条件 a z 一 0 1 仇而a l b 7 再2 + 面a l b 2 而 2 + a l b l 3 2 篆嚣 ( 4 1 7 ) 成立，则存在满足条件 a b l y 2 + a 2 b 7 2 a l b l 7 2 一a 2 b 2 7 2 一a 2 b l 侥a 勰， 等窘掣尝a。a-丽oq1ala 2 0 2 7 2a 2 0 1 1 3 t 2a 2 - 4 - ， ( 4 1 8 ) d 1 一y 2 一 一 仃一y 1 的正常数a 1 ，a 2 ，使得条件( 4 1 5 ) ，( 4 1 6 ) 成立所以在条件( 4 1 7 ) 下，存在正常 数a ，民，( i = 1 ，2 ) 使得( 4 1 3 ) 是( 1 1 ) 的强耦合上下解 下面验证式( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) 是否成立设( _ ( m ，可( o ) ) = ( a 1 ，a 2 ) ，( 型( m ，型( o ) ) = ( 6 1 咖，如砂) 和( 硒，k 2 ) = ( a 2 n ，b l y 2 ) ，得到 一【- ( n l + 尻面+ 1 1 型) 】= ( z ，西，v ) - t - ( k 1 7 1 一丁 蒜) ( 可一型) ， 一 _ ( q 2 + 仍笪+ 铊_ ) 】= 丘( z ，笪，可) + 6 2 西丁：焉+ 鲍尾( 西一墅) ， 一【墅( a 1 + 历笪+ 饥_ ) 】= ( z ，笪，可) 一( k 1 7 1 一r ) ( _ 一曲， 一匝( q 2 + 仍面+ 能望) 】= 丘( z ，瓦，型) + 6 2 型( r 军u ；瓦一丁干u i 忑) 一鲍危( 瓦一型) ，z q ， 西( z ) = 型( z ) = 0 ，可( z ) = 型( z ) = 0 ， z a q ( 4 1 9 1 从而( 面，型) ，( 丝，西) 均不是方程的解由以上讨论得到结论： 1 7 第四章正解的存在性的讨论 定理4 3若条件( 4 1 7 ) 成立，则有 ( t ) ( 4 6 ) 中序列耐仃，可( ”) ，( 笪( 删，型( m ) 在条件 ( 西( 叭，承o ) ) = 似1 ，a 2 ) ，( u c 0 1 ，墅( o ) ) = ( 占1 咖，如妒) ，( k 1 ，k 2 ) = ( a d n 6 1 能) ， 下收敛到式( 4 1 9 ) 中的( - ，可) ，( 笪，蓟； ( i i ) 方程( 1 1 ) 的任何解( ，v ) 满足关系( u ，型) ( u ，口) ( - ，可) ，且至少存在 着一个这样的解； ( 弼) 如果面= 型或可= 堑即( 西，西) = ( 笪，型) ( 三( u ，秒+ ) ) ，则( 矿，口) 是唯一解 1 8 第四章正解的存在性的讨论 4 2 不动点理论研究正解存在性 本节将利用不动点理论来探讨正解的存在性设面是方程 一【( q 1 + 统面) 司= 豇( a - a l f i ) z q ，( 4 2 0 ) 【也= 0 ， z o f t 的解由定理( 2 5 ) 知如果a o o c l ，方程有唯一正解，再由定理( 2 3 ) 有 0 o g 2 ，方程有唯一解，且由定理( 2 3 ) 有0 a - 盯怕：+ 川【言+ 篡+ 而a b m 2 叩。 ， 6 唧州+ 警，鲁， 成立，则由定理( 2 7 ) ，存在砬豇，o 哥，且满足 - a ( a l - 4 - 历色- 4 - ，y l o ) 翻砬( o a l u n 2 矛) ， - a ( a 2 + 晚面- i - 位移) 纠s 舀( 6 一b 1 0 一b l 侥面7 2 ) ，( 4 2 2 ) 事实上，因为饥矛0 ，i t l 0 ，则映射 f i _ ( n 1 - - i - 角砬+ 饥矛) 也是连续的且可逆令 9 ( 五，匆) 是其反函数，由反函数定理，对所有z q ，砬0 ，有乳( 砬，西) 0 令如( z ) 是下列特征值问题的正解 - ( a i - 4 - 饥矛) 如- 4 - a 2 矛o = 矿如，z q ；如 ) = 0 ，。a q 则由文献同，得、 。 盯a 2 m a x 移+ a ( a l + 7 1 n 】：努雷) no 1 9 第四章正解的存在性的讨论 又由于条件口 口- 盯+ ( n ：+ 盯饥) 【鲁+ 篡+ 面i a 丽b 2 】，有 - - ( a l + 饥移) 如= 如p 一n 2 纠 如陋一n 2 刎， z q 利用强最大值原理，可以得到对于z a q ，有a 如劬 0 ，使得 一【a l + 饥矛+ 历9 ( g 如，饥百) 】咖o 如【o a l g ( e o ，7 1 矛) 一a 2 v ， z q ( 4 2 3 ) 此外，因为g 是映射色_ ( q l + 所砬+ 饥西) 也的逆，从而有g ( o ，饥矛) = 0 ，口1 9 ( 如，饥西) e 西o 注意到对于z a q ，有o o o t , 0 ，存在足够小的e ，使得6 妒0 q 1 豇从而 有g ( e 妒o ，7 i 0 ) 面令u = g ( e o ，f f i v ) ，则对z q 有0 哪州+ 警，鲁，倪口1 则方程( 1 1 ) 至少有一对正解 第五章结束语 第五章结束语 本文主要用两种方法讨论了强耦合方程： z q z q 。 z a q 的正解存在性问题其中q 是r ( 1 ) 中一有界区域，且具有光滑边界a q ， 参数a ，b ，啦，屈，m ，a t ，b i ，( i = 1 ，2 ，) 均为正的常数 在探讨正解的存在性问题上，本文主要利用了上下解理论以及不动点理 论其中在上下解方法讨论正解存在性问题时候，对如何构造上下解也做了 讨论 本文只是讨论了一类生态学模型的平衡态方程正解的存在性问题，还有 许多问题值得研究，例如方程的半平凡解有没有好的分歧性质，此生态模型 的解在无穷远处的渐近形态等 量 一 十 冰 盘。 o h 一 一 u u 伽 如 = = 叫胡、l，、， 饥 忱 q + + i | 让 u ，：，肌胁懈 + + n m 眈 刮 台一 以 以 啦 参考文献 参考文献 【1 】c v p a o ，s t r o n g l yc o u p l e de l l i p t i cs y s t e m sa n da p p l i c a t i o n s t ol o t k a - v o l t e r r am o d e l sw i t hc r o s s - d i f f u s i o n ，n o n l i n e a ra n 以，6 0 ( 2 0 0 5 ) ，1 1 9 7 - 1 2 1 7 2 c v p a o ，n o n l i n e a rp a r a b o l i ca n de l l i p t i ce q u a t i o n s ，p l e n u mp r e s s ，n c w y o r k ，1 9 9 2 【3 】z l l i 觚l i n ，m i c h a e lp e d e r s e n ，s t a b i l i t yi nad i f f u s i v ef o o d - c h a i nm o d e l 。w i t h m i c h a e l i s - m e n t e nf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，n o n l i n e a ra n a l ，5 7 ( 2 0 0 4 ) ，4 21 4 3 3 ： 【4 】j k k i m ，s m o o t hs o l u t i o nf o raq u a s i l i n e a rs y s t e mo fd i f f u s i o ne q u a t i o n sf o r ac e r y a i np o p u l a t i o nm o d e l ，n o n l i n e a ra n a l ，t m a 8 ( 1 9 8 4 ) 1 1 2 1 1 1 4 4 【5 】n b o u d i b a ，m p i e r r e ，g l o b a le x i s t e n c ef o rc o u p e dr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m ， m a t h a n a la p p l ，2 5 0 ( 2 0 0 0 ) ，1 1 2 【6 】w h r u a n ，p o s i t i es t e a d y s t a t es o l u t i o n so fac o m p e t i n g sr e a c t i o n - d i f f u s i o n s y s t e mw i t hl a r g ec r o s s - d i f f u s i o nc o e f f i c i e n