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自相似随机过程及其在通信中的应用 摘要 最近的研究使人们对网络流量的认识发生了显著的变化，数据流并 不像人们想象的那么平稳，而是具有很强的突发性。在高速网络中对数 据流量的大量研究表明：传统的短相关模型已经很难适应当前通信网的 发展，而自相似模型由于它具有长相关性和方差慢衰减特性，在此模型上 得出的仿真结果与实际结果比较接近，符合当前数据通信的统计特性，因 此能够描述自相似性的流量模型得到了深入的发展。 自相似性是真实网络业务的重要特性，它给网络的性能带来一些以 前估计不到的影响，它能准确给出网络中业务流量的排队性能和延迟，较 之短相关性，更能准确地给出排队分析，尤其在网络处于重载时，这对实际 网络设计很有帮助，并且在以后的通信研究中会发挥更重要的作用。 基于上述原因，论文首先比较详细地介绍了自相似过程的基本概念 以及理论上的证明；其次，讨论了网络自相似流量的特性及其相关模型， 并总结了自相似流量的相关结构在流量预报中的应用；最主要的是，论文 首次总结了自相似过程在c d p d 网络、c e r n e t 网络、t e l n e t 客户端 以及中国移动g p r s 网络中的各种应用，从而说明了业务流具有本质上 的自相似特性，深入了解它，对于分析与改善网络性能是十分重要的。 关键词：自相似过程自相似性数据流流量模型 t h es e l f s i m i l a rs t o c h a s t i c p r o g r e ssa n dt h ea p p l i c a t l 0 n s i nt h ec o m m u n i c a t i o n s a b s t r a c t t h e r ei sas i g n i f i c a n tc h a n g ei nt h eu n d e r s t a n d i n go fn n w o r kt r a f f i c r e c e n t l y , t h ed a t at r a f f i cw i t hag r e a tb u r s t i n e s si sn o ts t a t i o n a r y i th a sb e e n f o u n di nn u m e r o u ss t u d i e st h a td a t at r a f f i ci nh i g h - s p e e dn e t w o r k se x h i b i t s s e l f - s i m i l a r i t yt h a tc a n n o tb ec a p t u r e db yt r a d i t i o n a lm o d e l s ，b u ts e l f s i l m i l a r m o d e l sw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i co ft h el o n g - r a n g ed e p e n d e n c ea n dt h e s l o w - r e d u c t i o nv a r i a n c ec a nc a t c ht h e d e v e l o p m e n t o ft h et e l e c o m m u n i c a t i o n s f o rt h er e s u l t sw i mt h eh e l po ft h es e l f - s i m i l a rm o d e l sw i l l b ec l o s e dt ot h er e a lo n e s ，s ot h es e l f - s i m i l a rm o d e l sh a v eb e e ng r e a t l y d e v e l o p e d t h es e l f - s i m i l a r i t yi sa ni m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i co fn e t w o r kt r a f f i c ，i t b r i n gs o m es i g n i f i c a n ti n f l u e n c et ot h ep e r f o r m a n c eo ft h en e t w o r k ，a n di t c a l lc a l c u l a t ea c c u r a t e l yo u tq u e u i n gp e r f o r m a n c ea n dj i t t e r , e s p e c i a l l y , t h e q u e u i n ga n a l y s i sw h e nb e i n gh e a v i l yl o a d e di nt h en e t w o r k t h u s ，i tc a n b r i n gv e r yg r e a th e l pt ot h en e t w o nd e s i g n s ，a n dw i l lp l a ya ni m p o r t a n t r o l e i nt h er e s e a r c ho ft h et e l e c o m m u n i c a t i o n si nt h ef u t u r e b a s e do nt h e s er e a s o n sf r o mw h a th a v eb e e nd i s c u s s e da b o v e ，a tt h e f i r s tp a r to ft h ed i s s e r t a t i o nb a s e dt h e o r i e sa n dt h e i rp r o o v e so fs e l f - s i m i l a r p r o c e s sa r eg i v e no u t i na d d i t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i co f t h es e l f - s i m i l a r i t y 、 s e l f - s i m i l a rt r a f f i cm o d e l sa n dp r e d i c t a b i l i t yi nn e t w o r kt r a f f i ca r em e n t i o n e d a n dm o s ti m p o r t a n t ，a l lk i n d so fa p p l i c a t i o n so f t h es e l f - s i m i l a r i t yi nt h e c d p dn e t w o r k ? c e r n e tn e t w o r k 、 e l n e tc l i e n ts e v e r 、g p r sn e t w o r k o fc h i n am o b i l ea n dt h eq u e u em a n a g e m e n ta l g o r i t h mc a nb es u m m a r i z e d s ot h ec o n c l u s i o ni sg e ta sf o l l o w s ：t h es e l f - s i m i l a r i t yt h a tg o e sw i t ht h ed a t a t r a f f i ci sv e r yi m p o r t a n tt oa n a l y z ea n di m p r o v et h en e t w o r kp e r f o r m a n c e k e yw o r d s ：s e l f - s i m i l a rp r o g r e s s ，s e l f - s i m i l a r i t y , d a t et r a f f i c ，t r a f f i c m o d e l s 3 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人签名：篷：握主查 本人承担一切相关责任。 日期：出! 乡：型 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： g c 口d 占7 2 - f 第一章绪论 网络或网元上的流量模型是提供5 的重要因素之一，最近几年许多研究者都 发现网络流量在排队分析中并不遵守泊松分布的假设例如多媒体流量在分组层上 的一个重要特征就是流量具有相关性，这对性能会产生重大的影响自从1 9 9 4 年 l e l a n d 进行了开创性的研究，提出需要把自相似性作为一个重要的观点，用以作为 理解网络流量( 包括建模和网络性能分析) 的基础，从此以后流量的自相似性就引起 了众多学者的关注和研究l e l a n d 通过对大量的以太网流量进行研究，证实了流量 具有自相似的特性，也就是说流量在一个大的时间范围内具有相似的统计特性，另一 个结论，在一个统计复用器上业务流的融合并不会产生平滑的聚合流换句话说，复 用的突发性数据业务流特性将导致产生一个突发性的聚合流( 对于泊松分布描述的 流量，复用可以平滑突发性) 继l e l a n d 的研究工作之后，关于自相似性的研究开始 扩展到整个网络理论，包括流量测量，评估，物理建模，排队分析以及流量控制 在流量的测量和估测的研究工作中，对物理网络的流量统计和分析以检测识别 和对特性进行量化等工作，都显示了流量具有尺度不变突发性是一个普遍存在的现 象，它在不同的环境下都存在，包括局域网，接入网以及广域网，从护到a t g 协议栈， 从铜线到光纤的传输媒介 物理建模的研究，是在网络机制和分布式系统在实验特性的基础上，说明造成网 络自相似性的物理原因，从而导出网络复用点上的自相似突发性的产生 第三类研究是为了在排队理论中更方便地进行性能分析，对基于长相关性的流 量提供物理的模型这些研究指出：在无限缓存队列管理系统中，队长的分布要比指 数性的尾部衰减慢，这与短相关性输入流量具有指数性衰减完全不同队长分布的结 果说明了作为资源提供策略，缓存无法在输入流量具有自相似性的情况下，通过增大 排队延迟来减小分组丢失率用吞吐量，分组丢失率和分组重传率来描述的网络性能 就会随着重尾特性的增强而下降尺度不变的突发性意味着网络流量在很宽的时间 范围内存在集中的高活动时期，这种行为特征将会对网络的拥塞控制造成不利的影 响，不过从另一方面讲，自相似流量存在重要的相关结构可以被应用于拥塞控制的目 的 流量控制和拥塞控制的目的在于通过对业务流的输入速率和网络拥塞状况的控 制达到网络资源的有效利用但是由于网络流量具有自相性的普遍存在现象，造成了 根据泊松分布描述的流量而设计的拥塞控制和队列管理系统性能的严重下降，因此 我们必须对自相似流量进行有效的队列管理和拥塞控制，这就要求我们必须更深入 地了解自相似理论及其应用 基于此，本文在详细地介绍自相似随机过程的理论的基础上，对其应用也进行了 归纳和总结，为自相似过程更进一步的研究和应用提供了很好的理论依据和指导 论文结构安排如下： 第二章：详细介绍自相似随机过程的基础理论，并对具有平稳，独立增量的自相似随 机过程以及平稳积分过程各自进行了深入地理论证明，最后作为自相似随机过程的 一种扩充，还介绍了半白相似过程 第三章：简单介绍了自相似性及重尾分布，还列举了自相似的流量模型，并给出了自 相似性及重尾分布的判定 第四章：简单介绍了自相似对网络特性的影响及预报特性，总结了各种预报器 第五章：给出了自相似在c d p d 网络、c e r n e t 网络、t e l n e t 客户端、中国移动g p r s 网络以及在对列管理算法中的应用，提出了利用自相似实现对流量的预报，达到对网 络的拥塞控制和实现缓存队列的平稳控制 第六章：对本文进行了总结，并展望前景，提出了未来的问题 ：； 2 第二章自相似随机过程基本概念 对于自相似过程的研究始于上世纪中叶，近年来，随着研究地不断深入，人们越 来越关注这类过程自相似性表示局部以某种方式与整体相似但是这种相似并不很 严格，而是从统计意义上讲的，即局部适当放大后，与整体具有相同的统计分布自相 似过程在适当的时间和空间的缩放比例下地传送是不会发生变化的，因此，常用来分 析随机现象 2 1自相似过程和长相关性 本篇文苹参考文献1 1j 的基本构梨，其中很多随机过程都是实值的，它们都被定 义在普通的概率空间( q ，f ，p ) 上，然后通过o ) ) 垡 y g ) ) ，来描述所有有限维空间 的等价性有时，简单地写作x o ) 生】，( f ) 。x 。d ：标志着x 。与彳：等价通过 x ，o ) 垡y o ) 来描述弦。g ) ) 的所有有限维分布到留( f ) 的收敛性( 胛j ) ；通过 孝。垡孝，来定义随机变量哲。) 到孝的收敛性三g ) 则代表随机变量x 的律，x 的特征 方程三g ) = ，其具体描述为：p p ) = e k 鲋j ，臼r 2 1 ，1 自相似过程 定义1 随机过程留o ) ，f o ) 称作自相似的，如果对v 口 0 ，总存在6 0 使得 取缸) ) ：d 陋o ) ) ( 2 1 ) 讧o ) ，f o ) 对f 是随机连续的，如果对v s 0 ，有 l i r a p z o + 五) 一x o b4 - - 0 x ( f ) ，f o ) 是平凡的，如果l ( f ) ) 对任意的t 0 是仃测度的 在近来越来越多的文献中，自相似过程常常被这样定义： 随机过程讧o ) ，t 0 ) 是自相似的，如果总存在h 0 ，使得对va 0 ，都有 x ) ) 垡a h z o ) ) 在这种定义中，x ( o ) = 0 口矗然而，指数的唯一性是不明确的，但 是可以证明它的唯一性，所以在更多的应用文献中这两种定义总是混用 2 1 2 具有平稳增量的自相似过程 随机过程口o ) ) 称作具有平稳增量的，如果o + f ) 一x o ) ) 的分布是不依赖吉 的下面，讨论具有平稳增量的自相似过程的一些性质如果 x o ) ，f o ) 是具有平稳 增量的自相似过程，并且它的参数是h ( h u r s t 参数) ，：就简单地称为h s s ，s i 定理1 【2 】 假设仁o ) ) 是非平凡的并且是h 一船，j f 的，并且e 区( 1 ) 2 1 0 ，则： ( 1 ) 如果e 眩( 1 ) 1 7 】 ，y 1 ，则日 l y ； ( 2 ) 如果e 0 z ( 1 ) 1 ，则日1 ； ( 3 ) 如果e 0 x ( 1 ) i o o 并且o 日 1 ，则e 区g ) 】= 0 ； ( 4 ) 如果e 0 x ( 1 ) | 并且h = 1 ，则x o ) = ( 1 ) a 矗 当随机过程有有限的均值时，由( 2 ) 和( 4 ) ，总是考虑0 日 1 这种情况 2 1 3 长相关性 假设 x o ) ，f o ) 是非平凡的并且是日一船，s i 的，o 日 1 ，并且e k ( 1 ) 2j ) m 丢 n 1 ) ， 当胛jo 。时，a 。b 。，即l i m 。以。6 。= 1 可以展示如下 因为门1 ， ，一g ) = e 陪( o 语0 ) 】 = e 口( 1 ) x g + 1 ) 一x g ) ) 】 ， 1 t - 1 = 2 ( 2 2 ) = e 防( 1 沙0 + 1 ) 】一e 防( 1 弦0 ) 】 = 丢晒+ ) 州一2 n t m + g 一) 2 h 扭0 z ( 1 ) 2 0 这正好表明式( 2 2 ) 成立，所以， ( 1 ) 如果o h i 1 ，则i ，叫 o 。： ( 2 ) 如果h = i i ，则倍o ) 是不相关的； ( 3 ) 如果去 1 ，贝- jz i ，0 ) l = 事实上，当，z l 时，若o 日 吉，i ) l l jr ( n ) o ，称为负相关；若土2 日 0 ，称为正相关而卜0 ) i = o 。则称作长相关性阶1 2 2布朗运动及分数布朗运动 布朗运动是一种典型的随机过程，同时布朗运动还是高斯过程，扩散过程，列维 5 过程，鞅过程和自相似过程，而随机过程理论的很多子域研究都是从布朗运动的相关 特性开始的，作为一种特殊的随机过程，下面介绍布朗运动 2 2 1 布朗运动 彳o ) ，f o ) 称作具有独立增量的随机过程，如果对v m 1 ，以及任意一个划分 0 f 。 r 。 0 ，k 一1 7 2 召( 口f ) ) 是布朗运动，条件( 1 ) 、( 2 ) 、( 4 ) 是根握扣( f ) ) 的相同条件得出的，至于( 3 ) ，高斯性和均值为零的性质也是根据忙o ) ) 的性质得出 的而方差e k - i t 2 b ( a f ) ) 2j - f ，所以 口v 2 b ) 是一个高斯过程 定理3 e 【b o ) b g ) 】= m i n t ，j ) 【证明】 布朗运动是1 2 一s s ，s i 的，因此由定理1 ， e 【b o ) b g ) 】= 去p + j i f s 陪= m i n t ，s ) 注释1众所周知，多维高斯过程的分布是由它的有限维分布决定的，而高斯过程的 分布是由它的均值和协方差决定的，同样，多维高斯过程的分布也是由它的有限维分 布的均值和协方差决定的因此，一个均值为零，具有像上述定理中的协方差的高斯 过程一定是布朗运动 2 2 2 分数布朗运动 定义3 假设0 h 0 ，j ，= e ，= 0 , 1 ，2 ，j 是一个随机变化的序列，对v 1 ，变换式 丁( ，日) ：】，专r ( ，日沙= 舻( ，日沙) ，= 0 , i ，2 ， 其中， 观= 古磐小衄，2 ， 因为丁( ，1 4 ) t ( m ，h ) = t ( n m ，h ) ，变换式p ( ，日) ，1 ) 的序列就形成了一个乘法 半群，称之为指数为h 的重整规化群，这里】，= e ，_ = o ，1 ，2 ， 是一个平稳序列 定义4 平稳序列】，= ，= 0 , 1 ，2 ， 称为h 一自相似的，如果y 是指数为日的重整 规化群p ( ，日) ，n 1 ) 的一个定点，也就是对所有的n 1 ， 舻( ，h 沙) ，= 0 , 1 ，2 ，j 壑e ，= 0 , 1 ，2 ，j 既然分数布朗运动徊o ) ) 具有平稳增量，则随机变量 l = b h u + 1 ) 一b 0 ) ，_ = 0 , 1 ，2 ， 就形成了一个平稳序列，这个序列我们称之为指数为何的分数高斯噪声以下是关 于分数布朗运动微一性的离散模拟 定理6 假设0 0 ，所以， 丘p ) “= 丘g v 8 口) ，v a 0 ，v 目r d j 表明是平稳的并且口= 1 h ，因此，1 2 日 0 又e 【e x p i ox ( 口f ) ) = 应洲p ) = 应p ) “：丘g 恤口y = p ，a l “目) = e e x p 臼a i 口x ( ，) ) 从而定理的充分性得证 通过以下的方式，我们把 z 。o ) ，0 ) 的定义扩展到整个r 空间上： 假设 z 。( 一o ) ，t o ) 是 z 口o ) ，f o ) 的一个独立划分，并且我们规定 i 当f 0 ，有 e 妒( ，) = e - c l l ”i 2 3 2 - g 稳积分z t 程 定义5 x 。g ) = e z ) d z 口q ) ，t o ， 其中厂：r 寸r ，z rq ) ， v t 0 称为平稳积分过程 下面我们来考虑两个移动平均平稳积分过程，具体描述如下： x 。o ) = e ( hh - g a _ 旷v “) 彪口o ) 以 日 l ，h i 1 础) = el o g 吲忽川心。， 1 口2 两个积分的被积函数都是p 可积的，o ) ，f o eh s s s i 的在口= 2 时是分数布 l o 朗运动， x o ) ) 在o 口 2 时是b ho ) 到无穷方差过程的扩张，称为线性分式稳定过 程忸：o ) ) 是l 肛一s s ，s f 的，称为对数分式稳定过程注意到当口= 2 时肛：o ) ) 是布朗 运动，这可以通过计算它的方差来证实，显然它有独立增量但是，当l 口 2 时， x ：o ) 没有独立增量，而此时评稳列维过程 z 口o ) ) 有独立增量并且还是 1 口- - s s ，s 珀勺 2 3 3 极限收敛定理 接下来讨论 x 。o ) ) ，k = 1 ，2 的极限收敛定理假设忸，j z 是独立同分布的 对称随机变量，并且满足： 上, i a 私与z 口( t ) 取艿，使得一l 占 0 j ，这样式( 2 7 ) q a 的甩的正规化 ， ，i ， 0 蹦小 0小rh、b ，、，【 = c 要比( 2 6 ) 中的疗1 肛快，这就解释了为什么傲) 呈现长相关性的特征 下面给出定理8 的大体证明 【证明】( 1 ) 对m z ，f 0 ，定义 c ，的均值为零则有 ( f ) = 刀州c 。g r 弦。 坍e z ( 2 ) 对任思- - o , - 的f l ，f 2 ，t ，0 以及臼i ，0 2 ，0 | l ，r ， 卜圭嘭c m 圳 卜嘭b o ) l m e z i j = l ! 差l 亩善巴( 1 。一“l d l “l 一6 ) i 。幽，万。 骓驰g 吲卜 舢 ( 3 ) 通过允p ) ，0 尽，表示x 。的特征函数【1 3 ，1 4 】： l o gz ( 0 ) l0 o t 0j0 并且还能得出 l i m 力一s u p c 。g ) = 0 月- 啼 还可以得出 ，。：= e e x p 玎一否p 巳陟。o ) ) = e e x p 门一嘉巳丕c 。gr ，) ? r 。) 中其 参脚 = o 通过( 2 ) 和( 3 ) ， = e 要! 咒( ，z 一喜9 ，c 。( 船r ，) ) 。1 + i m 。i = 。l i + m 。e 要! 旯( 胛一喜臼，c 。( 挖r ，) = 。1 + i m 。e e x p 丕，。g 兄( 玎一日喜臼，c 。，gr ，) ) e e x p 一! i 高荟巳( 1r ，一扰l j l “l j ) l 口d h ) ，占。 e h 船加g 吲幽 ，删 k e s t e n 和s p i t z e r 构建了一个有趣的s s ，s i 过程的类作为随机环境中随机漫 步的一个极限，称这个极限过程为具有随机被积函数的平稳积分过程假设 z 。o ) ，f r ) 是一个对称的口平稳列维过程( o 口2 ) ， z 口o ) ，f 尺) 是一个对称的 肝稳列维过程( 1 0 ，以及自分解分布，总存在唯一 的具有独立增量的h s s 过程 彳o ) ) ，使得，= 三伍( 1 ”= 为了更好地认识具有独立增量的白相似过程，下面给出几个例子： 例1 假设d 3 ，徊o ) 提- - 4 r d 上的布朗运动，对f o ，定义 l ( o - - s u p 甜 o ：lb 0 ) 忙f 则仁( f ) 提2 一s s ，i i 的，并且犯o ) ) 有平稳增量当且仅当d = 3 【1 7 】 【证明】 当d 3 时，l ib ) | l 一。a s ( 甜一o 。) ， o ) 是几乎处处有限的，自相似性很容易得到： 白) = s u p “ 0i lb ) 忙a t ) = s u p “ 0 a - 1 i lb ) 忙f ) d ：s u p “ 0 ：l lb g 材) 峰j = 口2 三( f ) 证明的其它部分，请参看文献 1 7 例2 假设仁o ) ) 是一个实值布朗运动，定义 圳= i n f 卜：荆一嘧b ( 0 - r 矿o ) 一m i n ，b ( s ) ( f ) = i n f u 0 ：b 0 ) = 一y o ) ) 玟些讨程出现在随机环境中的扩散极限理论中，并目这三个过程 m ( f ) ) ， 矿o ) ) ， o ) ) 都有独立增量但都没有平稳增量，还都是自相似的【16 | 事实 上， m o ) ) 是2 一船的， 矿o ) ) 是1 一s s 的， o ) ) 是2 一盯的 从卜回的式于口j 以看出： m ( 口f ) ) = i n f i u o ：b 0 ) 一r a 心i nb 0 ) 讲j = i n f “ o ：a - 协 ) 一m i n b ( s ) ) tj d ：i n f - 0 ：【b g 2 甜) 一吵b g 2 s ) 序j = c 1 2 m o ) ， 矿g r ) = 一，蜊m i ( n 卅b 0 ) 嘿一。璺撅，) b g ) = 一翻n ) b g 2 j ) 垒口矿o ) g f ) = i n f 甜 0 ：b ( u ) = 一y ( 口f ) d ：i n 啦 o ：b ) = 一口y ( f ) ) = i n f “ o ：口b ( u ) - - 一y o ) d i n f “r o ：b g - 2 5 1 ) = 一矿( f ) ) = 口2 ( f ) 例3 假设徊o ) ，t o ) 是一个分数布朗运动，1 2 0 ， 使得， x ( a o ) d 蚜o ) )( 2 1 0 ) 如果( x o ) ) 对任意的f 0 是非退化的，那么忸o ) ) 是常态的 定理1 1 假设 z o ) ，f o ) 对任意的t 0 都是常态的随机连续的半自相似过程，则 下面的表述成立： ( 1 ) 设r 是一组口 0 的类，使得存在b 0 ，满足式( 2 1 0 ) ，则rn ( 1 ，) 非空，并且 记它的下确界为口0 ， ( a ) 如果口。 1 ，则1 1 = k 。”：玎z 辞且忸( f ) ) 是非自相似的 ( b ) 如果口。= l ，则r = ( o ，) 并且) ：提自相似的 ( 2 ) 存在唯一的日0 使得，如果口 o ，b o 满足式( 2 1 0 ) ，则b = 口 ( 3 ) h 0 当且仅当x ( o ) = 0 曩) ；h = 0 当且仅当鼬) = x ( o ) ( 口曩) 下面我们介绍定理1 1 ( 1 ) 的一个重要应用： 如果检验一个过程是否为自相似过程，对所有的口 0 ，必须检验式( 2 1 ) 但是， 如果能够表示出式( 2 1 ) 口= 2 和a = 3 的关系，那么，通过定理1 1 ( 1 ) ，2 ，3 f 的事 实表明f = ( o ，o o ) ，因为l 0 9 2 l 0 9 3 是无理数，则得出伍o ) ) 是自相似的 注释5 l o g a l l o g a 2 的条件是k r o n e c k e r s 定理的一个应用，文献e 2 0 本章参考文献： 1 p a u le m b r e c h t sa n dm a k o t om a e j i m a ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo f ， s e l f s i m i l a rs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fm o d e r np h y s i c s 。 b ，v 0 1 1 4 ，n o 1 2 & 1 3p p 1 3 9 9 1 4 2 0 ( 2 0 0 0 ) 2 m s s t a q q u ，s e l f - s i m i l a rp r o c e s s e sa n dr e l a t e du l t r a v i o l e ta n di n f r a r e dc a t a s t r o p h e s ， i nr a n d o mf i e l d s ：r i g o r o u sr e s u l t si ns t a t i s t i c a lm e c h a n i c sa n dq u a n t u mf i e l dt h e o r y , c o l l o q u i am a t h e r n a t i c ao c i e t a t i sj a n o sb o l y a ，v 0 1 2 7 ，b o o k2 ，p p 1 0 2 7 - 1 0 9 6 ( 1 9 8 1 ) 3 m m a x i m a ，k s a t oa n dt w a t a n a b e ，y o k o h a m am a t h j 4 7 ，9 3 ( 1 9 9 9 ) 4 n k6n o ，t a l ka tas e m i n a ro ns e l g s i m i l a rp r o c e s s e s ，n a g o y ai n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y , f e b r u a r y , 19 8 4 5 w v e r v a a t ，a n n p r o b 1 3 ，1 ( 1 9 8 5 ) 6 j b e r a n ，s t a t i s t i c sf o rl o n g m e m o r yp r o c e s s e s ( c h a p m a n & h a l l ，19 9 4 ) 【7 】d r c o x ，l o n g - r a n g ed e p e n d e n c e ，ar e v i e w , i ns t a t i s t i c s ，a na p p r a i s a l ，e d s h a d a v i da n dh t d a v i d ( i o w as t a t eu n i v p r e s s ) ，p p 5 5 7 4 ，( 19 8 4 ) 8 b b m a n d e i b r o ta n dj w v a nn e s s ，s 1 人ar e v 1 0 ，4 2 2 ( 1 9 6 8 ) 。 9 】n k 3n oa n dm m a c j i m a ，s e l f - s i m i l a rs t a b l ep r o c e s s e sw i t hs t a t i o n a r yi n c r e m e n t s ，i n s t a b l ep r o c e s s e sa n dr e l a t e dt o p i c s ，e d s s c a m b a n i se ta 1 ( b i r k h 石u s e r ) ，p p 2 6 5 2 9 5 ( 1 9 9 1 ) 1 0 c t s a l t i s ，p h y s i c sw o r l d ，j u l y1 9 9 7 ，4 2 ( 1 9 9 7 ) 【11 】p e m b r e c h t s ，c k l u p p e r b e r g a n dt m i k o s c h ，m o d e l l i n ge x t r e m a le v e n t sf o r i n s u r a n c ea n df i n a n c e ( s p r i n g e r ) ( 19 9 7 ) 1 2 】gs a m o r o d n i t s k ya n dm s t a q q u ，s t a b l en o n - g a u s s i a np r o c e s s e s ( c h a p m a n & h a l l ) ( 1 9 9 4 ) 【1 3 】m m a e j i m aa n dj d m a s o n ，s t o c h p r o c a p p l 5 4 ，1 3 9 ( 1 9 9 4 ) 【1 4 】m m a e j i m a ，z w a h r s c h ，v e r w , g e b 6 2 ，2 3 5 ( 1 9 8 3 ) 1 5 】h k e s t e na n df s p i t z e r ，z w a h r s c h v e r w g e b 5 0 ，5 ( 1 9 7 9 ) 1 6 】k s a t o ，p r o b t h e o r e l f i e l d s 8 9 ，2 8 5 ( 1 9 9 1 ) 【1 7 】r k g e t o o r , a n n p r o b a b 7 ，8 6 4 ( 1 9 7 9 ) 【18 】i n o r r o s ，e v a l k e i l aa n dj v i r t a m o ，b e r n o u l l i5 ，5 71 ( 19 9 9 ) 【1 9 】m m a e j i m aa n dk s a t o ，j t h e o r p r o b 1 2 ，3 4 7 ( 1 9 9 9 ) 2 0 g h h a r d ya n de m w r i g h t ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fn u m b e r s ，5 t he d n ( o x f o r du ni v e r s i t yp r e s s ) ( 19 7 9 ) 1 8 【2 1 m t b a r l o wa n de a p e r k i n s ，p r o b a b t h r e l f i e l d s7 9 ，5 4 3 ( 1 9 8 8 ) 2 2 】r l d o b r u s h i n ，a u t o m o d e lg e n e r a l o a z e dr a n d o mf i e l d sa n dt h e i rr e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ，m u l t i c o m p o n e n tr a n d o ms y s t e m s ，e d s r l d o b r u s h i na n dy a g s i n a i ，d e k k e g p p 15 3 1 9 8 ( 1 9 8 0 ) 2 3 r e m b r e c h t sa n dm m a e ji m a ：s e l f - s i m il a rp r o c e s s e s ，i np r e p a r a t i o n ( 2 0 0 0 ) 2 4 】s g o l d s t e i n ，r a n d o mw a l k sa n dd i f f u s i o n so nf r a c t a l s ，i np e r c o l a t i o nt h e o r ya n d e r g o d i ct h e o r y o fi n f i n i t