（工程力学专业论文）考虑范德华力曲率效应的双壁碳纳米管屈曲及范德华力引起的涂层基体表面失稳问题.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 微脖内米力学个极其重要的特点是，在微纳米尺度，宏观经典力学中一些被忽 略的“弱”力往往起着重要的作用，例如范德华力。本文研究了微纳米尺度的两个 失稳问题。 首先，针对双壁碳纳米管的屈曲失稳问题，分别研究了碳管在轴向压力、含或不 含填充物时均匀横向外压以及轴压和侧压共同作用下，层间范德华力的曲率效应对临 界载荷的影响。这里填充物的作用被描述为均布内压。和现有的模型不同，本文考虑 的层问范德华力不仅与层间距有关，而且与内外管挠度曲率的变化有关，并提出了范 德华力与曲率变化有关的表达式。通过文献( k i a n ge ta l ，p h y s r e v l e t t 8 1 ( 1 9 9 8 ) 1 8 6 9 ) 中的实验数据，估算出了范德华力曲率效应系数。应用提出的模型和弹性双层圆柱壳 模型，分别导出了不同载荷条件下屈曲i 临界载荷的解析公式。计算得出了不同几何尺 寸碳纳米管的临界屈曲轴向应变、临界外压和组合压临界载荷的数值结果，并与忽略 范德华力曲率效应的结果及经典壳的结果做了比较。结果显示，对于小半径的双壁碳 纳米管曲率效应对屈曲临界载荷的影响较为显著。曲率效应通常会提高仅在轴压作用 下双壁碳纳米管的轴向临界应变：但当双壁碳纳米管受侧压作用时，临界载荷可能小 于不考虑曲率效应模型的结果。另外，屈曲临界载荷随碳纳米管的半径增大而减小； 外压和轴压联合作用时，外压会减小临界轴向应变值，反之，轴压亦会减小i 临界外压 值；而内压能提高碳纳米管的屈曲强度。 其次，研究了微米尺度含涂层相对半无限大弹性基体受临近刚体平面的范德华力 吸引而引起的表面失稳问题。其中表面涂层对基体表面失稳起皱波长的影响是研究的 重点。这里考虑的涂层弹性模量比基体大很多。结果显示，弹性半平面受范德华力作 用即使涂有非常硬的涂层也总会失稳。数值结果表明，涂层对基体表面失稳波长有较 大影响，较硬的涂层能有效阻碍小波的产生。特别，不可压材料弹性基体失稳时只存 在表面法向位移，并且这时只有涂层的弯曲刚度对表面失稳波长有影响，涂层的平面 刚度不起作用。另外，弹性基体的泊松比对表面失稳及其失稳波长也有明显的影响。 关键词：双壁碳纳米管，屈曲，范德华力，曲率效应，表面失稳，涂层，连续介质 力学 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t o n em o s ti m p o r t a n tn e wf e a t u r eo fm i c r o n a n o m e c h a n i c s ，i nc o n t r a s tt om a c r om e c h a n i c s ，i s t h es i g n i f i c a n c eo fs o m e w e a k ”f o r c e s ，s u c ha sv a nd e rw a a l s ( v d w ) f o r c e s ，w h i c ha r en e g l i g i b l e i nm a c r os c a l eb u tb e c o m ed o m i n a n ta tm i c r o n a n o s c a l e i nt h i sp a p e r ，t w op r o b l e m sa b o u t i n s t a b i l i t yi nm i c r o n a n o s c a l e sa r es t u d i e d f i r s t l y , t h i sp a p e rs t u d i e st h ec u r v a t u r ee f f e c t so fi n t e r l a y e rv d wf o r c e so na x i a l l yc o m p r e s s e d b u c k l i n go fd o u b l e w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ( d w n t s ) ，o np r e s s u r e i n d u c e db u c k l i n go fe m p t yo r f i l l e dd 、 仆m a sw e l la so nb u c k l i n go fd w n r su n d e rc o m b i n e da x i a lc o m p r e s s i o na n d1 a t e r a l p r e s s u r et h er o l eo ff i l l i n gs u b s t a n c e si n s i d ed w n t si sm o d e l e db yau n i f o r m l yd i s t r i b u t e d i n t e m a lp r e s s u r e u n l i k em o s te x i s t i n gm o d e l sw h i c ha s s u m et h a ft h ei n t e r l a y e rv d wp r e s s u r ea ta p o i n tb e t w e e nt h ei n n e ra n do u t e rt u b e sd e p e n d sm e r e l yo nt h ec h a n g eo ft h ei n t e r l a y e rs p a c i n ga t t h a tp o i n t ，t h ep r e s e n tm o d e lc o n s i d e r st h ed e p e n d e n c eo ft h ei n t e r l a y e rv d wp r e s s u r eo nt h e c h a n g eo ft h ec u l - q a t u r e so ft h ei n n e ra n do u t e rt u b e sa tt h a tp o i n t as i m p l ee x p r e s s i o ni sd e r i v e d f o rt h ec u r v a t u r e - d e p e n d e n c eo f t h ei n t e r l a y e rv d wp r e s s u r e a n da c c o r d i n gt ot h ed a t ao f k i a n ge t a 1 ( p h y s r e v l e t t 8 1 ( 1 9 9 8 ) 1 8 6 9 ) ，t h ec u r v a t u r ec o e f f i c i e n ti sd e t e r m i n e db a s e do nt h i sm o d e l a n dt h ed o u b l e e l a s t i cs h e l lm o d e l s e v e r a le x p l i c i tf o r m u l a sa r eo b t a i n e df o rt h ec f i t i c a lb u c k l i n g 1 p a d so fd w n t sa p p l i e dv a r i o u sk i n d so f1 p a d s t h ec r i t i c a la x i a ls t r a i n c f i t i c a le x t e m a lp r e s s u r e a n dc r i t i c a l1 p a dc o m b i n a t i o n sa r ec a l c u l a t e df o rv a r i o u sr a d i ia n d1 e n g t h - t o - r a d i u sr a t i o s w i t h c o m p a r i s o nt ot h er e s u l t so fn e g l e c t i n gt h ec u r v a t u r ee r i e c t so fv d wf o r c e sa n dt h ec l a s s i c a l c y l i n d r i c a ls h e l lm o d e l ，i ti ss h o w nt h a tt h ec u r v a t u r ee f f e c t sp l a yas i g n i f i c a n tr o l ei nb u c k l i n g p r o b l e m sf o rd w n t so fs m a l lr a d i i n e g l e c t i n gt h e c u r v a t u r ee f f e c tu s u a l l yl e a d st oa l l o v e r e s t i m a t eo ft h ec r i t i c a lb u c k l i n gs t r a i nf o rd w 砜u n d e rp u r ea x i a lc o m p r e s s i o n w h i c hi sn o t a l w a y st r u ef o rd 、矿阿r su n d e rt h e1 a t e r a lp r e s s u r e i na d d i t i o n ，o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h ec r i t i c a l 1 0 a dd e c r e a s e sw i t hi n c r e a s i n gr a d i i f o rt h ed w 砜u n d e rc o m b i n e da x i a lc o m p r e s s i o na n dl a t e r a l p r e s s u r e t h ec r i t i c a la x i a ls t r a i ni sd e c l i n e dd u et ot h ee x t e m a lp r e s s u r ea n dv i c ev e r s a m o r e o v e r , t h ei n t e m a lp r e s s u r ep r o m o t e st h ec r i t i c a l1 p a df o rb u c k l i n g s e c o n d l y , t h i sp a p e rs t u d i e st h es u r f a c ei n s t a b i l i t yo fac o a t e ds e m i i n f i n i t el i n e a re l a s t i cb o d y a t t r a c t e db yaf l a tr i g i db o d yt h r o u g hs u r f a c ev d wf o r c e s t h ee m p h a s i si so nt h ee f f e c to ft h e s u r f a c ec o a t i n gl a y e ro nt h ew a v e l e n g t ho fs u r f a c ew r i n k l i n g i ti ss h o w nt h a tt h es u r f a c eo ft h e c o a t e de l a s t i ch a l f - p l a n ei sa l w a y su n s t a b l ee v e ni nt h ep r e s e n c eo fav e r ys t i f fc o a t i n gl a y e r h o w c v e r , t h en u m e n c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o a t i n gl a y e rh a sas i g n i f i c a n te f f e c t o nt h e w a v e l e n g t ho ft h es u r f a c ei n s t a b i l i t ym o d ea n dt h es t i f f n e s sc a ne f f e c t i v e l yp r e v e n tt h es u r f a c c f r o ms h o r t - w a v e l e n g t hw r i n k l i n g i np a r t i c u l a r , t h es u r f a c et a n g e n t i a ld i s p l a c e m e n ta s s o c i a t e dw i t h t h es u r f a c ei n s t a b i l i t yv a n i s h e sw h e nt h ee l a s t i ch a l g p l a n ei si n c o m p r e s s i b l e i nt h i sc a s e ，也e i n p l a n er i g i d i t yo f t h ec o a t i n gl a y e rh a sn oe f f e c to ns u r f a c ei n s t a b i l i t yw h i l et h eb e n d i n gs t i f f n e s s o ft h ec o a t i n gl a y e rh a sa ne f f e c to nt h ew a v e - l e n g t ho ft h es u r f a c ei n s t a b i l i t ym o d e ，f u r t h e r m o r e ， t h ep o i s s o n sr a t i oo fe l a s t i ch a l f - p l a n eh a sas i g n i f i c a n tr o l ei nt h es u r f a c ei n s t a b i l i t ya n dt h e a s s o c i a t e dw a v e l e n g t h k e y w o r d s ：d o u b l e - w a l l e dc a r b o nn a n o t u b e s ；b u c k l i n g ；v a i ld e rw a a l sf o r c e ；c u r v a t u r ee f f e c t ； s u r f a c ei n s t a b i l i t y ；c o a t i n gl a y e r ；c o n t i n u u mm e c h a n i c s v i 上海大学硕士学位论文 主要符号对照表 双壁碳纳米管屈曲问题 石 目 w ；w 1 2 p ( x ，p ) p 。( k = 1 ，2 ) p 1 2 ；p 2 1 ， ，日 疋( ；f o ( k ) ( = 1 ，2 ) e d o ；d m t ；九2 月；r 1 上 足 v ：( k = 1 ，2 ) c 1 一和仃( k = 1 ，2 ) 仃a a 1 v 只。 晓 口 口 川：h 轴向坐标 环向坐标 径向挠度；内外管的挠度 法向净压力 作用在第k 个管的净压力( 指向内为正) 外管对内管和内管对外管的范德华力作用 单位长度上轴向薄膜力 单位长度上环向薄膜力 内外管单位长度上轴向和环向薄膜力 ( 名义) 杨氏模量 壳的弯曲刚度；内外管有效弯曲刚度 薄壳厚度：内外管名义厚度 圆柱壳半径；内外管半径 代表半径 拉普拉斯算子 范德华系数 范德华作用曲率效应系数 第k 层碳管在屈曲前受外力时的轴向和环向正应力 施加在碳管上的轴向正压力 泊松比 内压 外压 内外压比 外压与轴向应力之比的绝对值 外压轴压比例代表系数 碳纳米管长度 轴向半波数和环向波数 上海大学硕士学位论文 涂层基体表面失稳问题 扰动正应力 扰动剪应力 涂层弹性模量 涂层厚度 涂层的泊松比 涂层平面刚度 涂层的弯曲刚度 弹性半平面切向和法向扰动位移 涂层对弹性半平面的法向作用力( 拉力为正) 刚性平面对弹性半平面表面的范德华作用系数 刚体平面对涂层的范德华作用系数 刚体平面对涂层弹性半平面范德华作用合系数 弹性半平面表面能系数 弹性半平面剪切模量 弹性半平面泊松比 复函数势 2 石单位长度内的表面失稳波数 x 呦 ，。v h d m p m 啦 玑丫 y 啦兄 上海大学硕士学位论义 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 盛丝 日期： 丝! ：! ：! ： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 盛洼导师签名：诒，移增日期：导师签名：旦翌日期：至! ：赵 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 在微纳米尺度范围内，物理量的尺寸效应变得极其重要。对于微纳米器械或结 构，构件的表面积与体积之比( 即表体比) 是巨大的。例如，特征长度为1m 构件的 表体比仅为1m ，而特征长度为lu m 的构件表体比高达1 0 6m ，特征长度为1n l x l 的构件表体比甚至高达1 0 9m 。由此可见，微米构件的表体比成百万倍地增加，纳 米构件的表体比呈1 0 亿倍的增加。因此，表面效应在微纳米尺度占主导地位。随着 尺度减小和表面效应的明显体现，表界面间或原子和原子问微纳观作用力( 范德华 力、静电力及毛细力等) 逐渐起主导作用【l 】。本文借助连续介质力学的方法，研究了 两个与范德华力( 宏观经典力学中被忽略) 有关的微，纳米尺度结构的失稳问题：考 虑范德华力曲率效应的双壁碳纳米管屈曲及范德华力引起的涂层基体表面失稳问题。 1 1 碳纳米管力学的研究进展和方法 1 9 9 1 年1 1 月日本电气公司( n e c ) 基础研究实验室的电子显微镜专家饭岛钝雄 ( s u m i ol i j i m a ) 口i 在高分辨率透射电子显微镜下观察c 6 0 结构时，偶然发现了碳纳 米管。碳纳米管，又称巴基管，它主要是由呈六边形排列的碳原子构成圆管状、径向 尺寸很小的碳管。碳管的直径一般在0 4 纳米到1 0 0 纳米之间，而长度可达微米级。 如果使用特别的制备工艺，碳管的长度可达到毫米量级。中国科学院物理研究所解思 深课题组【3 1 利用改进的有机气体热解法制各出相对尺寸非常长且定向生长的高密度 离散分布的碳纳米管列阵，其中碳管的长度达到了2 3 毫米。 碳纳米管的管壁有单层，也有多层，分别称之为单壁和多壁碳纳米管( s w n t , m w n t ) 。多壁碳纳米管由许多柱状碳管同轴套构而成，层数一般在2 5 0 层之间不等。 层与层之间距离约为0 3 4 纳米【4 】，接近于石墨中碳原予层与层之间的距离。单壁碳纳 米管中的碳原子之间以c c 共价键进行结合，是自然界中已知的最强的化学键之一， 键长约为o 1 4 4 纳米，由于外来杂质很难引入( 缺陷含量少) ，因此单壁碳纳米管拥 有极高的轴向强度、韧性和弹性模量。例如，由一层碳原子的六边形网格卷曲而成的 理想的单壁碳纳米管的强度约为钢的1 0 0 倍，密度仅为钢的l 6 ，它的弯曲性也比一 般材料要强很多，因此碳纳米管作为力学材料的前景十分乐观。另外，碳纳米管还有 很多优异的物理、化学性能，因此被誉为最有发展前景的材料h 1 “。 碳纳米管的结构、力学性质和力学行为及其应用正得到各个领域的科学家或机构 广泛而深入的研究1 7 1 。基于纳米管的复合材料可能具有超越现有任何材料的强度质量 比，美国航空航天局( n a s a ) 正使用碳纳米管研发新型航天用材料。韩国三星 ( s a m s u n g ) 和日本电气( n e c ) 等公司已试验出利用碳纳米管做发射显示器的产品 级器件，并作了大量投资。在应用于纳米电路方面，单壁碳纳米管显示出了突出的逻 上海大学硕士学位论文 辑和放大能力。由于碳纳米管良好的生物相容性和高强度，在生物医学方面蕴藏着强 大的应用潜力。目前用来代替骨骼和牙齿的是填充粒子( 通常是玻璃) 的粗糙混合物， 与骨骼组织相比其力学性能不是很好。人们也曾用过纤维复合材料，但效果也不理想， 主要原因是由于水的长期侵蚀而逐渐导致填充物与基体在界面处的降解。因此生理条 件下的界面稳定性显得十分重要。人们已经证实石墨材料在动物体内化学环境中不易 降解。碳纳米管人造肌肉的诞生强】朝这个方向迈出了可喜的一步，各项技术指标，如 低电压下运作、功率密度输出和力生产能力等方面均超过了此前的技术，并有了巨大 增长。碳纳米管也可用于药物靶向传输，通过无外伤地植入到需要药物的病体组织处， 并随时间缓慢释放药物，使其达到极佳的效应。在细胞实验中，碳纳米管用做纳米吸 液管来分配极其少量体积的液体或气体到活细胞内部或表面。另外，随着纳米技术的 不断发展，碳纳米管作为植入诊断仪器的探测媒介也被预测是可行的。因此，碳纳米 管的应用前景不可限量。 碳纳米管的诸多应用必须基于对其力学行为的理解和认识。因此，单壁碳纳米管 和多壁碳纳米管的力学性质和力学行为一直得到科技界的极大关注一。引。特别的，近 来人们在研究单壁碳纳米管 1 4 - 1 6 】和多壁碳纳米管【”。1 l 嵌入到聚合物或金属基体中，并 受到外界高压时的各种行为时发现，高压作用下碳纳米管的结构可能会发生变化，甚 至失稳，并且这种失稳或称屈曲可能导致碳纳米管物理性能的突变 1 4 - 1 7 】。 连续介质力学是上个世纪3 0 年代发展起来，并广泛应用于物体宏观力学行为分 析的一种理论。它认为物质是连续分布的，主要研究物体在外载作用下的运动、变形、 损伤和破坏机理，是近代力学最重要的基础之一。在先期的研究中，人们认为该理论 不合适作为研究碳纳米管力学的工具，因为在纳观尺度上，物体表现为由单个微观粒 子构成的离散结构，不符合连续介质力学中物质连续性的基本假设。因此一般使用各 种实验方法和分子动力学模型对碳纳米管的力学行为进行研究和模拟。近年来采用各 种实验方法和分子动力学模拟对碳纳米管的力学行为的研究枚不胜举1 7 1 。虽然实验 和分子动力学模拟在很多方面取得了很大成功，但它们也都存在些特有的局限性。 纳米尺度的实验常受到取材、实验设备、观测手段等条件的限制。分子动力学模拟也 有其固有的缺点。当所研究对象的原子数或分子数很大时，分子动力学模拟计算量非 常大，对计算机处理能力的要求很高。例如，近来l i e we ta 1 【22 】使用计算机并行系统 s g io r i g i n2 0 0 0 对含有2 0 0 0 个原子卷曲失量为( 1 0 ，1 0 ) 的单壁碳纳米管的屈曲失稳进 行了分子动力学模拟，计算耗时达3 6 小时。l i e we ta 1 口习还对受扭转、长细比为9 1 、 含有1 5 0 9 7 个原子、卷曲失量分别为( 5 ，5 ) ，( 1 0 ，1 0 ) ，( 1 5 ，1 5 ) 和1 ( 2 0 ，2 0 ) 4 层碳管嵌套的碳 纳米管做了弹塑性变形和断裂分析。超型计算机s g io r i g i n3 0 0 0 系统耗时2 个多月。 因此，针对碳纳米管的力学行为，科学家们正在不断探寻着更为有效的研究分析方法。 1 9 9 6 年，y a k o b s o ne ta 1 【”j 利用分子动力学模拟了单壁碳纳米管在压缩、弯曲和 扭转载荷作用下的屈曲失稳，并将单壁碳纳米管受轴向压缩屈曲的分子动力学模拟的 上海大学硕士学位论文 结果与经典连续介质力学模型得到的结果进行了对比，发现由分子动力学模拟所展l 见 的屈曲模态的所有变化都能由连续体模型给出。研究的结果使他们认识到【2 4j ：“连续 介质力学的理论令人吃惊的牢固，它甚至能够处理直径相当于几个原子长度的离散物 体。”从此，在纳观问题中如何应用连续介质理论引起了广泛的关注。已有很多关于 碳纳米管分子动力学模拟和连续介质力学模型的比较研究当然也不局限于屈曲问 题，如，碳管固有频率和振动模态1 2 ”，弹性壳模型的尺度依赖性 2 6 j 等问题的研究。 结果表明，使用连续介质模型对碳纳米管力学行为的研究在很多问题中非常有效并且 可靠。 研究表明，多壁碳纳米管相邻管之间的摩擦力非常小口”，管与管沿轴向几乎可以 自由地滑动。基于这一事实，r u 2 8 1 提出了考虑范德华力与层间距有关的多层弹性壳 模型，在这个模型中，各个同心碳管被描述为独立的弹性圆柱壳，不同管间通过法线 方向的层间范德华力相互作用，层间的摩擦力被忽略。基于这个模型，r u 2 8 - 3 0 1 对半 径较大的多壁碳纳米管的轴压屈曲做了较详尽的解析分析。w a n ge ta 1 口”又在此基础 上做了一些数值分析。需要指出的是，在使用薄壳模型分析碳纳米管的力学行为时， 对于碳纳米管的壁厚定义是一个有争议的问题。很多研究者将碳管相邻两层的层间距 定义为碳管名义厚度t ( 约为o 3 4n m ) ，此时弹性模量e 为1 1t p a 。如果沿用经典公 式，单壁碳管的弯曲刚度为d = e t 3 1 2 ，这样算出来的结果比实际的弯曲刚度o 8 5e v 大了近2 5 倍，产生了矛盾。y a k o b s o ne ta 1 【lo 】等把碳纳米管的厚度取为o 0 6 7n m ，相 应的弹性模量取为5 5t p a ，保留了经典弯曲刚度与弹性模量和厚度的关系式。r u 【2 “3 0 】 在使用连续介质模型分析碳纳米管的力学行为时，采用名义厚度o 3 4n l t l ，放弃了关 系d = 皿3 1 2 ，采用独立于名义厚度t 的弯曲刚度d 。要指出的是，无论采取哪种定 义，碳纳米管的弯曲刚度d 和平面刚度是恒定的，即不随定义不同而变化。 为了解释碳纳米管受外压屈曲的现象，r u 3 2 用圆柱壳模型计算了单壁碳纳米管 受外界横向侧压的情况，得到了和半径为1 4r l i n 单壁碳纳米管的实验结果吻合得很 好的简单临界外压解析公式。w a n ge ta 1 ) 3 3 1 使用r u 的多层连续壳模型分析了碳管受 均匀横向外压时的屈曲，得到的结果与2 0 层碳管的实验结果mj 吻合得非常好。碳管 内在填充物的作用被一些学者叭弘1 所研究，t h o m s e n r e i c h l 2 ”的研究表明，碳纳米 管内的填充物质的力学作用可以描述为均布内压。基于此，w a n ge ta 1 【3 使用多层连 续壳模型研究了内含填充物的碳纳米管外压引起的屈曲，得到与分子动力学模拟1 3 4 1 类似的结论，碳纳米管内填充其他分子后，碳纳米管临界外压得到了提高。使用弹性 壳模型对碳纳米管在轴向压缩和均匀横向外压作用下的屈曲行为的研究，已逐渐形成 一个新的研究方向。 对于层间范德华作用，h ee ta 1 1 3 6 1 提出了考虑不相邻层间范德华力的作用，但不 相邻层间范德华力对屈曲临界载荷的影响不是很大。使用r u 多层弹性壳模型，在受 上海大学硕士学位论文 轴向周期挠动作用下双壁碳纳米管的动力屈曲问题也有所研究”1 。s h e n 3 8 1 考虑高阶 剪切变形，应用k f i r m a n d o n n e l l 壳模型对静水压作用下双壁碳纳米管的后屈曲做了 研究。 除了上述研究碳纳米管力学的方法外，还有很多科学家坚持不懈地探索着其他各 种研究方法，例如分子力学方法1 3 9 - 1 0 i 、多尺度方法4 3 1 等。 1 2 微尺度物体表面受力失稳问题的研究进展 在支配物理现象的所有力中，长度尺度是表征作用力类型的基本特征量。体力以 特征尺度的三次幂标度，而表面力则以特征尺度的二次幂标度。由于不同幂次的力值 变化率不同，随着尺度的减小，表面力相对体力越来越重要。因此，分子力和表面力 4 4 1 对微膳自米尺度物体的力学行为有着重要影响。范德华力在纳米尺度中无处不在而 不失其重要性。这种力本质上是短程力，但在涉及大量分子或极大表面时，却可产生 长达0 1 微米以上的长程效应。因此，它对微米结构也常常产生重要影响。存在表面 范德华力的弹性物体接触问题【4 5 | 就是一个很好的例子。 尽管受到科研工作者的关注，弹性物体表面受另一物体类似范德华力的吸引力作 用时表面失稳的问题还没被系统地研究。但它非常重要，特别在微机电系统中 1 i ，当 器件间距小到微纳米级别时，范德华力的作用就会显现。近来，m o n c h & t t e r m i n g h a u s 4 6 1 使用光学反射显微镜检查法( o p t i c a lr e f l e c t i o nm i c r o s c o p y ) 观测到， 橡胶材料表面受吸引时，发生特征尺度波长的表面失稳。刚性基础上柔顺弹性薄膜( 橡 胶材料等) 受刚体平面吸引时表面稳定性问题的研究结果表明【4 饥4 ”，当两表面间范德 华力超过某一i 临界值时，弹性薄膜表面会起皱失稳，这个临界值与薄膜的弹性模量成 正比，与薄膜厚度成反比。另外，失稳波长正比于薄膜厚度。这种表面失稳是不存在 表面压缩预应力的弹性问题。因此，与其它已知的由于表面压缩应力 4 8 - 5 0 】、负表面能 f n e g a t i v es u r f a c em o d u l u s ) 1 4 卅或表面扩散( s u r f a c ed i f f u s i o n ) ”l 】等引起的表面失稳问题不 是同一类问题。 对于刚性基础上的弹性薄膜，表面失稳波长正比于薄膜厚度f 4 “4 ”。显然，这个结 果不能简单地推广到半无限弹性体上。因为运用这个结论，由于半无限弹性体厚度无 限大，表面失稳波长无限大，即表面不会发生失稳。对此r u 口2 】研究了半无限弹性体 表面受且仅受与表面平行刚体的范德华力吸引h , j 的表面失稳。r u 口q 指出半无限弹性 体受刚体平面作用的范德华力吸引时表面永远是不稳定的，表面起皱的波长是个有限 值并且随范德华系数增大而减小。最近，f r i e d t o d r e s l 5 3 1 使用有限变形理论研究了 弹性半平面的表面起皱问题其中考虑了表面能和预应力的作用。y o o ne ta l 5 4 l 还研 究了双层薄膜受范德华力作用时的表面失稳，并指出双层薄膜表面失稳在某些情况下 可能出现两个失稳模态。 上海大学硕士学位论文 1 3 本文研究背景和主要内容 多壁碳纳米管的屈曲，文献中的分析大多局限于半径远大于层间距的碳管。不考 虑碳管曲率的变化对范德华力的影响叭强】，并往往忽略内外管半径的差别m3 0 5 ”。 对于有许多实际应用、半径较小的多壁碳纳米管，内外管挠度曲率的变化对层间范德 华力的影响是一个有意义的课题。k i a n ge ta 1 f 5 6 1 分析高分辨透射电子显微镜得到的多 壁碳纳米管的影像时，发现碳管相邻两层间的间距随半径的减小而增大。k i a n g e ta 1 【5 6 】 把层间距的增大归咎于小半径碳管的高曲率，并解释为，自然生成的碳管相邻两层原 子与原子问范德华力吸引力与斥力保持平衡( 合力为零) ，碳纳米管的半径较小时， 碳管壳的曲率引起的层间范德华力斥力与层问距变大产生的范德华力吸引力平衡。 为了研究曲率效应，本文提出了层间范德华力与内外管挠度曲率的变化有关的 模型。类似的模型作者所在的课题组f e n ge ta l 【55 】曾提出过，并用其提出的模型研究 了碳纳米管轴压屈曲。本文模型是基于f e n ge la 1 f5 1 模型基_ l i l t l 上的进一步发展，使模 型更具理论根据，并且根据文献1 5 6 】中的实验数据，计算得到了范德华力曲率效应系数。 另外，本文和文献f e n ge ta 1 口司的不同之处在于解析结果没有忽略内外管半径的差别。 应用提出的模型和弹性双层圆柱壳模型，对碳纳米管在轴向压力、含或不含填充物时 均匀横向外压以及轴压和侧压共同作用下的情况进行了前屈曲和屈曲分析，计算得出 了不同尺寸碳纳米管的屈曲轴向临界应变、临界外压和组合压临界载荷的数值结果， 并把结果与忽略范德华力曲率效应的结果、忽略内外管半径差别的近似结果以及经典 壳的结果做了详细比较。本文中碳纳米管轴压屈曲分析和侧压屈曲分析的结果已发表 于q j a ne ta i 剐、钱浩e ta i 和q i a ne ta 1 例。 对于微尺度物体表面受力失稳，现实问题中，往往存在柔顺弹性材料表面沉积 或涂有一层硬保护层( 如陶瓷涂层) 的情况m 6 1j 。近来，y o o u e ta 1 【6 2 】研究了表面薄 涂层对弹性半平面热应力的影响。涂层对半无限大弹性体表面失稳的影响也是一个有 意义的课题。本文就这一问题进行了系统分析，并给出数值结果着重讨论了涂层对表 面失稳波长的影响。 本文第二章给出了双壁碳纳米管双层圆柱壳模型的屈曲控制方程和考虑曲率效 应的层间范德华力模型。第三章对双壁碳纳米管进行了前屈曲分析，并给出了侧压和 组合压作用时的数值结果。第四章对双壁碳纳米管分别在轴向压缩、含或不含填充物 时受均匀横向外压以及轴压和侧压联合作用的情况进行了屈曲分析，得到了屈曲载荷 的解析公式。第五章根据第四章得到的解析公式，给出了碳管临界载荷的数值结果， 并着重讨论了曲率效应的作用。第六章分析了范德华力引起的涂层基体表面失稳问 题，并做了数值计算和讨论。第七章对全文做了总结，并提出了与曲率变化有关的范 德华力模型的其它一些可能应用，以及表面起皱失稳问题的更深入研究方向。 上海大学硕士学位论文 第二章碳纳米管的基本公式 2 1 圆柱壳屈曲问题的控制方程 弹性壳模型已被有效地运用在单壁和多壁碳纳米管力学行为分析上。r u l 2 8 1 提出 了多层弹性壳模型，模型考虑的层间范德华力沿法线方向，忽略了层f n 摩擦力的作用。 经典壳理论中，切向外力不存在的情况下，半径为r 的圆柱壳的屈曲控制方程为 叩8 w _ v 4 m ，叭t 等v 4 w + 鲁等v 4 w 一再e t 萨0 4 w ( 2 1 1 ) 其中x n 0 分别表示轴向和环向坐标，w 是屈曲引起的半径方向挠度( 定义向内为正) ， p ( x ，p ) 是屈曲引起的法向净压力，c 和局分别为屈曲前单位长度上轴向和环向的薄 膜力，以及薄壳厚度t ，杨氏模量e ，壳的弯曲刚度d 0 。 现在研究双壁碳纳米管的屈曲问题。t h o m s e n r e i c h 2 1 1 的研究表明，碳纳米管 内填充物质的力学作用可以描述为均布内压。因此碳管在轴向压力、含或不含填充物 时均匀横向外压以及轴压和侧压共同作用下的情况可分别描述为图2 - 1 所示。应用公 式( 2 1 1 ) 分别到双壁碳纳米管的内外管上，分别用下标1 和2 表示内管和外管的物理 量，用w 1 2 表示内外管屈曲引起的挠度( 向内为正) ，d 1 j 表示内外管的有效弯曲刚 度，以及内外管名义厚度f ，o ，名义杨氏模量e ，内外管半径r 1 , 2 ，外管对内管和内管 对外管的范德华力作用p 1 2 和p 2 1 ，内外管单位长度上轴向和环向薄膜力b “，2 ) 和凡 ( 1 ，“，得到双壁碳纳米管的屈曲控制方程 忡。叫卅1 导o - - v 4 等等跏。等等 ，、 叩：w t 胡7 + “融：v w 1 + 等寺v ? w - 一等等、 g v ：w ：叫黝僻，导o - - v ：4 + 等杀0v 拟一等等 一 z 2 v ：p ：，+ ”出zv zw 2 + 专r 万v ：w z 一蚩孑 其中拉普拉斯算子 v ：2 参+ 亩寺( 拈1 ，2 ) ( 2 l 3 这里要指出的是，有效弯曲刚度和r 0 2 8 - 3 0 l - - 样，是独立的量，不由碳管名义杨 氏模量e 和名义厚度t 推导得出。 2 2 层间范德华力 外管对内管和内管对外管的范德华力作用p - z 和p 2 近似存在作用力与反作用力 的关系2 8 1 p ，i ：一娄! p l ， ( 2 2 1 ) 砌一茁p 【2 厶l j 上海大学硕士学位论文 外 a 1 轴向压缩 r 1 垲向 梵烨圮 - 0 2n m ，由式( 2 2 5 ) c 。= 一c ( o 2r i m ) z ，可得 2 ( 4 6 1 ， 中j n r ，rl + 铲l ， 坚上 ，l 一一 w ，f、，l 、， 土m ， 一一 y 置一r 一砰卫r 一 惭 卜 一r ，、vl弋w 八 、： 圳 翌 上海大学硕七学位论文 c + 妒c i o 2 1 ，2 )( 4 加 显然，2 4 y 为正值。另外，观察式( 4 2 4 ) f f 1 ( 4 2 5 ) ，可知x 0 ，y 0 。因此，方 程( 4 2 3 ) 的最小正解轴向临界薄膜力只可以表示为 一f ：x - 4 x 2 _ 4 y( 4 2 8 ) 本文使用了名义厚度，轴向应力与名义厚度的定义有关。为避免歧义，轴压屈曲的1 1 盎 界载荷用轴向临界应变表示 h = 一鲁= 去( 去) 2 i 肼卜 c + 奇 1 + 詈( 等) 4 寺+ 筹n 2 + 去( 去列叫；+ 惫( c + 惫 一i r ic + 惫( 等) 4 去+ 等n 2 1 2 e t 【4 2 9 ) 由于轴向应变为负，为表述方便这里取其绝对值，后文中指的轴向屈曲应变或轴向临 界应变都指其的绝对值。解析解( 4 2 9 ) 表示的是模态( m ，n ) 对应的轴向应变，不同的， n 1 组合对应的应变最小值即为轴压屈曲的临界应变。 解析解( 4 2 9 ) 中巧( k = 1 ，2 ) 是屈曲前由于轴压碳管变形产生层问范德华力引起 的薄膜力。碳纳米管不受侧压作用时巧”通常很小，可假设巧”= 0 ，则轴压屈曲轴 向临界应变( 4 2 9 ) 退化为 = 一鲁= i 瓦1 ( i l i ) 2 i o + ( c + 奇 1 ，。+ 筹降 4 专l + 去p 舶舟静+ 惫( 爿z 1l ( 4 2 1 0 ) 当碳管半径远大于层间距0 3 4n m 时，项【r 。一r 2 ) r 。为小量可以近似为1 ，此时 j 如 训 一 ， 升：、i一小坐割 一、，j一： 一书坐砰k 一 ，ll、 2 一怯卜卜 一刊、l割 j r l 州冰丽豫珊而州皓 上海大学硕士学位论文 考虑范德华力曲率效应，式( 4 2 9 ) 退化为 土e t 土e t t , m s r ) d j 小舻一詈( 等 4 爿 矧2 脬甄 ( 4 2 ，1 1 ) 其中，= ( 警) 2 + ( 盖) 2 ，p 0 为屈曲前层间范德华力。退化的结果( 4 2 1 1 ) 与