（应用数学专业论文）延时反馈神经网络的概周期解及稳定性.pdf

摘要 本文主要研究了几类延时反馈神经网络概周期解的存在性及收敛性，同时也讨论了一 类延时反馈神经网络平衡点的指数稳定性 在第一章第一节中，利用b a n a c h 不动点理论及h a l a n a y 不等式技巧讨论了一类新的变 延时细胞神经网络即分流抑制细胞神经网络( s h u n t i n gi n h i b i t o r yc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ) 概周期解的存在唯一性及指数收敛性；在第二节中，利用推广的h a l a n a y 不等式及指数二 分性等方法研究了一类具有变延时及分布延时的反馈神经网络概周期解的存在唯一性，全 局收敛性和全局指数收敛性。 在第二章中，通过构造l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函并借助线性矩阵不等式( l m i ) 讨论了 一类延时双向联想记忆( b a m ) 神经网络平衡点的全局指数稳定性，得到了一些新的在工程 上易于检验的判据。 在第一章中，我们没有采用常规的构造l y a p u n o v 函数的方法，而是借助千微积不等式 使证明变的更为简洁。在第二章中通过构造l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函所得到的判据使神经 元之间兴奋和抑制的差别区分开来，而且借助干m a t l a b 中的l m i 工具箱使刿据的检验变 的更为方便。另外，本文研究的神经网络模型包含了一些著名的神经网络，如延时细胞神 经阿络、延时h o p f i e l d 神经网络，因此本文的结果是以前一些结果的推广和完善。最后。 本文所得的结果还去掉了后面某些文献中的一些限制，所以本文的结果也是以前一些结果 的改进。 关键词：神经网络，分布延时，h a l a n a y 不等式，全局收敛性，全局指数稳定，线性矩阵不 等式( l m i ) ，概周期解，指数二分性， a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ee x i s t e n c ea n dc o n v e r g e n c eo ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o na r es t u d i e d f o rs e v e r a lk i n d so fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s ，m e a n w h i l e ，t h e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u mi sa l s od i s c u s s e df o rac l a s so fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s i ns e c t i o n1o fc h a p t e ri ，t h ee x i s t e n c e ，m f i q u e n e s sa n de x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c eo ft h e a h n o s tp e r i o d i cs o l u t i o na r es t u d i e df o ran e wk i n do fc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( i e ，s l m n t i n g i n h i b i t o r yc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( s i c n n s ) ) w i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sb a s e do nb a n a c h f i x e dp o i n tm e t h o da n dh a l a a a yi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ；i ns e c t i o n2 ，b yc o m b i n i n gg e n e r a l i z e d h a l a n a yi n e q u a t i t yw i t ht h et h e o r yo fe x p o n e n t i a ld i c h o t o m y ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s g t o b e d c o n v e r g e n c ea n dg l o b a l l ye x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c eo ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o na r ei n v e s t i - g a t e df o ra c l a s so fr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sa n dd i s t r i b u t e dd e l a y s i nc h a p t e r2 ，b a s e do nt h el y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l si nc o m b i n a t i o nw i t hl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ，t h eg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mi si n v e s t ；g a t e df o rd e l a y e db i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r y ( b a m ) n e u r a l n e t w o r k sa n das e to f n e wc r i t e r i ae a s i l yc h e c k e di ne n g i n e e r i n ga r ed e r i v e d i nc h a p t e r1 jw ed on o ta d o p tt h et r a d i t i o n a lm e t h o d ，i e ，c o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n ，b u tr e s o r tt oi n t e g r o d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt om a k et h ep r o o fm o r ec o n c i s e ；i nc h a p t e r 2 t h ec r i t e r i ao b t 撕n e db yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v k r a s o v s k i if u n e t i o n a l sm a k et h ed i f f e r e n c e s b e t w e e nt h ee x c i t a t o r ya n di n h i b i t o r ye f f e c ta p a r t ，m o r e o v e r ，t h el m it o o l b o xi nm a t l a bi sa f a c i l i t yf o rt h ev e r i f i c a t i o no ft h e s ec r i t e r i o n i na d d i t i o n ，t h em o d e l ss t u d i e di nt h i sp a p e ri n e l u d es o r t i ef a m o l l sn e u r a ln e t w o r k ss u c ha sd e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ，d e l a y e dh o p f i e l d n e u r a ln e t w o r k s ，s oo u rr e s u l t se x t e n da r i di m p r o v es e v e r a le x i s t i n go n e s f i n a l l y ，w er e m o v e s o m ec o n s e r v a t i o n sr e q u i r e di ns e v e r a lp r e v i o u sp a p e r s ，s oo u rr e s u l t si m p r o v es o m ee x i s t i n g o l e s ， k e y w o r d s ：n e u r a ln e t w o r k s ，d i s t r i b u t e dd e l a y ，h a l a _ i m yi n e q u a l i t y ，g l o b a lc o n v e r g e n c e ， g l o b m l ye x p o n e n t i 甜s t a b i l i t y ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，e x p o n e n t i a ld i c h o t o m y 独创性声明及使用授权的说明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加蚪标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：盔嚣日期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可叫采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致，除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可雌公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：- 二照导师签名 舰懈一 引言 人工神经网络( a r i t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ，简称a n n ) 是在对人脑组织结构和运行机 智认识理解的基础之上模拟其结构和智能行为的一种工程系统它突破了传统的以线性处 理为基础的数字电子计算机的局限，标志着人们智能信息处理能力和模拟人脑智能行为能 力的一大飞跃。众所周知，神经网络具有学习和适应、自组织、函数逼近和大规模并行处理 等能力，这些特殊的功能使得神经网络有着巨大的开发潜力及应用潜能。早在本世纪4 0 年 代初期，心理学家m c c u l l o e h 、数学家p i t t s 就提出了人工神经网络的第个数学模型，从 此开创了神经科学理论的研究时代其后，fi o s e n b l a t t ，w i d r o w 和h o p f 、jjh o p f i e l d 等学者又先后提出了感知模型，使得人工神经网络技术得以蓬勃发展。近十年来，神经网络 已在模式识别、信号处理、系统辨识和优化等诸多方面得到成功的应用，如今，人们对神经 网络的研究也越来越深入并且取得了许多有重要意义的成果，这些研究主要集中在：平衡 点的存在唯一性，多个平衡点的存在性、周期解蚪及平衡点的各种稳定性等方面。在神经网 络研究的初期，人们总是假定神经网络中各神经元对信号的响应是同步的，因此，所研究的 模型都是用常微分方程( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 或差分方程( d i f f e r e n c ee q u a t i o n ) 来描述的，例如，文 1 - 3 ，6 ，1 1 事实上，由于受现实中硬件实现的影响，在神经网络中延 时( d e l a y 现象经常存在。延时现象的存在往往容易导致网络的振荡( 周期振荡或概周期振 荡) ，引起分岔或混沌现象 4 5 1 ，甚至导致网络的不稳定 4 。在文 8 ，1 3 ，1 6 - 1 8 ，2 i 一2 4 ，2 6 3 5 1 中，人们对具有定常延时( c o n s t a n td e l a y q 或变延耐( t i m e v a r y i n gd e l a y s ) 的神经网络的平 衡点的各种稳定性进行了研究，得到了一些在工程上及应用设计上都有重要意义的结果。 但由于各种不同尺寸轴突的多重平行路径的存在，神经网络通常在空间上存在延伸，这样 一来，沿这些路径就会有传导速度的分布和传播对滞的分布。在这种情况下最近似的处理 方法就是采用连续分布的时滞( c o n t i n u o u s l yd i s t r i b u t e dd e l a y ) 来模拟。文【9 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ， 1 9 ，2 0 ，3 6 1 对具有连续分布的延时神经网络进行了研究并得到了许多较好的结果。上述文 献中，对稳定性及周期解的研究大都是建立在m 一矩阵理论，拓扑度理论，不动点理论及 l y a p u n o v 函数或泛函方法的基础之上的，这些方法具体可参考文献 4 1 ，4 3 然而。对概周 期解的研究，除了文 3 7 - 3 9 ，4 6 4 8 i 外，还很少有这方面的结果。但在窗然科学和社会科学 中，概周期现象和周期现象相比，概周期现象是更容易见到的一种现象例如，天体力学、 机械振动、电力系统、生态学系统、经济学领域以及工程技术中出现的振荡现象等许许多 多实际问题往往都可归结为求以微分方程为数学模型的周期解和概周期解，其中有些闻题 ( 诸如天体运转，生态环境以及市场供需规律等) 考察概周期解比考察周期解更切合实际， 因此，讨论微分方程或神经网络模型的解的慨周期性质有更重要的现实意义。 本文主要研究了几类延时反馈神经网络概周期解的存在唯一性及收敛性，同时也讨论 了一类延时神经同络平衡点的指数稳定性。 在第一章第一节中，考虑了如下泛函微分方程( f h n c t i o n md i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 描述 i 东南大学硕士毕业论文 的具有变延时的分流抑制细胞神经网络( s i c n n s ) 模型 鲁= 咄徊，一肥“f c k n ，o ，j ) 其中g ，代表在阿格( i ，j ) 位置的神经元，其r 一邻域肌阿，j ) 可表示如下 | v r 0 j ) = 瓯i ：m 缸( i k i l ，l f 一，i ) 曼r ，i 蔓盎曼? n ，1 墨l 曼n ) x i j ( t ) 表示神经元c b 在t 时刻的状态，a i 3 0 表示神经元g j 的衰退速率，0st ( t ) 兰r 表示轴突信号传递的延时，g 等之。表示后突触神经元瓯f 与神经元g j 在t 一功( t ) 时刻 的连接权或耦合权， ( t ) 表示在t 时刻第i 个神经元的外部输入，f ( x ) 是神经网络的激 活函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 对函数，( z ) ，r ( ) ，三：，( t ) 作如下的假设： ( a 1 ) ：r ，l i j ( t ) 是r 上的连续概周期函数； ( - 4 2 ) ：f ( z ) 在r 上是全局l i p s c h i t z 连续的，即存在常数p ，使得对v u ，u 冗，有 ，( “) 一，( ) ls 小。一 l 成立 对上述具有变延时的神经网络( 1 ) ，利用b a n a c h 不动点理论及h a l a n a y 不等式等方法 证明tf 、回的定理： 定理j 在( 且】) ，( a 2 ) 的假设下，若口 1 ，巧 1 ，刖系统一，在邻域b - = j 别 妒一蜘l l 岛) 赶存在唯一的概舟赶解，其中。：s ( ，十概) ，s ：翟芽 竺二 吩5 s u p i f ( 。) j o 同样地，利用推广的h a l o n a y 不等式技巧及指数二分性，不动点原理等方法进一步考 虑了具有分布延时的神经网络概周期解的存在唯一性及全局收敛性，| j 导到了下面的定理： 定理j 2j 在( 日1 ) 一( 风) 的假设下，若r 。， u 曲咄。民一u i i a q q | 一u 3 五。| 8 i 一t 己u 1 3 0 ， j = 1j 3 】j 2 1 别系统r 纠存在唯一的概周期解且其他解都收敛到此唯一的概周期解，其中符号6 wb 。6 ： 的意义同定理j 2 1 在口o 。c “。( s ) d s o j o 则系统f 矽存在唯一的概周期解且其他的解都指数收敛到此唯一的概周期解 意义同定理j ，0 f 在第二章中，研究了如下的双向联想记忆( b a m ) 神经网络： m 。：( t ) ：一a i x i ( t ) + “o 。矗( ”( t r ( z ) ) ) ，i = 1 ，2 ，- ，n ， i 1 如( = 一b j 珊( t ) + ”“ ( z ：( t 一口0 ) ) ) ，j = 1 ，2 ，m i = l 期 。( t ) = - a x ( t ) + w t ，( 口( t r ( t ) ) ) ， ”7 ( ) = 一b y ( t ) + v 7 a z 0 一口( t ) ) ) 的平衡点的全局指数稳定性，其中假设函数 满足下面性质： 其中符号的 ( 3 ) ( s 1 ) ： 在r 有界，i = 1 ，2 ，m a x m ，n ； ( 函) ： 是l i p s c h i t z 连续的，即存在常数慨 0 ，使得j ( z ) ( ) j n 以陋，j 对 v z ，r ，。= 1 ，2 ，一，m a x m ，儿) 成立， ( 岛) ：， ( 0 ) = 0 ，i = 1 ，2 ，一，i n a x ( m ，n ) ； ( ) ：r ( t ) ，( t ) 是可徽的，且有f f f ) 0 ， n 2 = 母q l + q 1 昱一2 是q 1 一声一1 e 2 5 4 q ；v 7 q ；v q l 一蚶尸2 m 0 ， g p ；蛆幔竺紫埔q ? 露佰步州7 卜d ， f 五= 丁e t 缈尸1岛f 日识+ q 1 兰2 仇一m b 肘伊矿4 轨v 7 。， j 、可e 一v q l q 2 i 。斛 。趟 壅直盔堂亟望些迨窒 v 或 la p l + p 1 a 一2 七p 1 五玎e 6 7p 1 w 7 f 五2 k r w 只p 2 f面0 j jb o l + q l b 一2 k q l 、万。_ e 。q l v 7 1 诉再驴。v q 。q ： jmo 面 。 印i 1 0 成立- 蹦系统f 的平衡点是全局指数稳定的，其中。= ；醛( 1 一干( ) ) ，序= ? 矗( 1 方( ) ) 定理2 j2 在( s 1 ) 一( 岛) 的假设下，若存在7 r t m 维对角正定矩阵p 2 ，0 1 以及n n 维 对角正定矩阵p 1 ，q 2 使得 n l = a 尸l + p 1 且一向p l o r - - 1p 1 r 露1 彤p 1 一e 一动2 蔚 0 ， n 2 = b 0 1 十q 】b 知q l 一口一1 0 1 y r 国i 1 v q l e k r m p 2 m 0 、 峁 或 ia p l + 最a 二兰一萨”丽q 2 蔚伊p 1 w 7l ，o ， i 再了w p 1p 2 j 4 且q 1 + q l b 是q i 扩7 m 马m 融1 v 丁 o f 、7 口可r 臼l q 2 f a p l + p l a 一p 1 、n 一1 w 尸l e ；a 面 b 0 1 + q , b 一 q l 、卢q y q l e m 以了p l w t e 一面 r0 0 0 i 1 、历= q 1 v 7 e 7 m 0 2 0 ()p1 0 o 成立。则系统r 印的平衡点是全局指数稳定的，其中n = i 甄( 1 一于( f ) ) ，p = 醛( 1 一方( 2 ) ) ， 定理2 ，在( 丑) 一( 凡) 的假设下，若存在m m 维对角正定矩阵p 2 ，q 1 ，r 1 以及n n 维对角正定矩阵最，0 2 ，如使得 即 “1 = a p l + p 1 a 一2 南r o l e 2 rp 1 丁巧1 p l 一面( 0 2 + ( t r 2 ) 面 0 u 2 = b q l 十q l b 一2 q l 一母一1 c 1 。q 1 v 2 1 q i l v q l 一m 印乇_ + r r l ) m o f a 乃+ p 1 且一2 只一面汜。+ 一恐) 面伊e 打p 】w t1 o ， j 正气。r p 1 马 b q l + q l b 一2 姻l m ( p 2 + r 见) m 伊扩4 q l v 7i o i i e “v q l 0 2 l 苤南大学硕士毕业论文 成立，则系统俐的平衡点是全局指数稳定的，其中。2 i 舀( 1 t ( t ) ) ，口= ：i 。n 。f ( 1 一自( ) ) 定理2 j 彳在( s 1 ) 一( & ) 的假设下，若存在m m 维对角正定矩阵p 2 ，q l ，r 1 以及礼n 维对角正定矩阵马，0 2 ，r 2 使得 口口 u l = a p l + p 1 4 一七p l n 一1 p 1 丁巧1 r 一面( e a 0 2 + o - r 2 ) y 4 0 o j 2 = b q l + q 1 b k q l 一卢一1 q l v 丁q i l v q l m ( e “7 b + r r l ) m 0 | 4 p l + r 4 一k b 一露( e a 母2 + 口r 2 ) 而 、，寻j w r b q l + q 1 b k q l 一m ( e 7p 2 十t r l ) m 伊v q l 肛已炉1 o ， 马l 伊 7 卜o 0 2j 成立，则系统”的平衡点是全局指数稳定的，其中d = i n f ( 1 一r ( ) ) ，p = i n f ( 1 一i ( ) ) 在第一章中，我们没有采用常规的构造l y a p u n o v 函数的方法，而是借助干微积不等式 使证明变的更为简洁。在第二章中通过构造l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函得到的判据使神经元 之间兴奋和抑制的差别区分开来，并且借助于m a t l a b 中的l m i 工具箱使判据的检验变的 更为方便。本文中我们处理的模型都是变延时或无界延时的神经阿络，而且我们研究的神 经网络模型包含了一些著名的神经网络，如延时细胞神经网络、延时h o p f i e l d 神经网络， 因此本文的结果是以前一些结果的推广和完善另外，本文所得的结果还去掉了后面某些 文献中的一些# 艮制，所以本文的结果也是以前一些结果的改进。 v i 第一章几类延时神经网络概周期解的存在性及吸引性 1 1 变延时分流抑制细胞神经网络( s i c n n s ) 概周期解的存在性及吸引性 在实际应用中延时( d e l a y ) 是经常出现的一种现象，但准确的测量它们却很困难。 在反馈神经网络中，定常延时仅仅是一种很特殊的情况，只适用于包含少数细胞的简单电 路，事实上，定常延时只是对变延时的一种近似的模拟。在大多数情况下，神经网络系统的 延时通常是时变的，有时要受放大器转换速度的限糊和电子回路发生故障的影响，延时甚 至会随时间发生激烈的变化，因此，对变延时神经网络研究更有实际意义。 1 9 9 3 年，b o u z e r d o u n t 和p i n t e r 在文f 6 1 中提出了一类新的细胞神经网络，即分流 抑制细胞神经网络( s h u n t i n gi n h i b i t o r yc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( s l c n n s ) ) 本节将讨论 s i c n n s 的概周期解，其模型可用如下的泛函微分方程来描述 等= - - u i j z i i 一口孑，( y k l ( 一r ( 。) ) ) x i ，+ l b ( 1 1 ) 一 仉f e n ，( z ，j ) 其中g ，代表在网格( z ，) 位置的神经元其r 一邻域m ( t ，) 可表示如下： ，“，) = g l ：m a x ( i k 一2 i ，f i j 1 ) sr ，1 惫s 竹l ，1 曼t n ) 。 ，( t ) 表示神经元c o 在t 时刻的状态，a i j 0 表示神经元g j 的衰退速率，0 st ( t ) ! r 表示轴突信号传递的延时，c 臀0 表示后突触神经元仉f 与神经元g ，在t t i j ( t ) 时刻 的连接权或耦合权， ( ) 表示在t 时刻第i 个神经元的外部输入，( z ) 是神经阿络的激 活函数( a c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 在本节中，对函数，( z ) ，r ( ) ，k ( t ) 作如下的假设： ( a 1 ) ：r ( t ) ，l 。( ) 是r 上的连续概周期函数； ( a 2 ) ：，( z ) 在咒上是全局l i p s c h i t z 连续的，即存在常数“，使得对地， r ，有i ，( “) 一，( ”) l 茎 1 u v l 成立。 本节的目的是利用不动点方法以及h m a n a y 不等式讨论系统( 11 ) 概周期解的存在唯 一性和全局吸引性并且给出一些相关的判据。 1 1 1 变延时s i c n n s 概周期解的存在唯一性 设z = 0 l - ，z m n ) ，对v z r ，其范数定义为i t - l l = m ( a x ) 。q i 记b2 和妒2 ( 妒h 。，妒m n ) 7 ) ，其中妒是冗上的概周期函数x , l - v 妒b ，其诱导范数定义为 19 2 s c u 月p 1 1 c p ( t l ，显然，b 是b a n a c h 空间。假定系统( 11 ) 的初始条件为z q ( s ) = 妒q ( 5 ) ，其中妒o ( s ) 为 一r ，0 】上的连续函数。 壅南大学硕士毕业论文 1 。1 1 。1 预备知识 为了简便，先引入一些记号、定义和引理 本节中，记m ，= s u pj ，( z ) i 0 ，集合 l u2s m u p t l 删 ，上2 嚣 ) ，42 称x ( t ) 是r 上旧o 叫概周期的，如果对 t ( x ，e ) = r ；f x ( t + r ) 一z ( t ) l 0 ，存在f = e ( e ) 0 ，使得在每个长度为f 的区问内至少有一个 r = r ( e ) t ( f ，e ) 使i z ( t + r ) 一z ( t ) i b 0 ，x ( t ) 是 t o 一- t o 上的非负连续函数，并且t 三t o 时满足 d + 。( t ) s a x ( t ) + 6 j ( ) ， 其中牙( 乱=s u pz ( s ) ，r2o 为常数，则当 三t o 时，有下面不等式成立： x ( t ) s ( o o ) e 一1 ( t - t o ) ， 其中a 是方程 = a b e ”的唯一正解。 1 。1 1 2 概周期解的存在唯一性 对变延时反馈神经网络( 1 1 ) ，我们有下面的结果： 定理1 在( a 1 ) ，( 如) 的假设下，若q l ，d 1 ，则系统n 1 j 在邻域b 。= 妒i 妒 b ，i i 妒一咖i f 器 内存在唯一的概周期解，其中b = 妒：妒= ( 妒1 1 ，妒。n ) 7 ) ，妒是r 上的概周期函数，且 州牡( 丘e x p ( 咄m 叫) k m ，f o o e x p ( 飞( ) ) 吲姚 。2 e x p ( - a 。( t s ) ) l 。( s ) d s ) ， - ，m 。( 一s ) ) l m 。( s ) d s ) ， j 一。 其他符号的定义同前。 证明：对v 妒b ，考虑下面非线性概周期微分方程的概周期解z p ( t ) 孥= 一。鹕，( ) 一嘣，( 一r ( t ) ) ) 蚴+ 工。( ) ， ( 12 ) ” c k f n ，( 2 j ) 2 壅直整_ 兰羔生三己生些迨塞3 要耄三 ：三v 兰? ，丁( ) a p ( r ) ，所以由 4 4 , p p 9 3 中定理3 - 4 我们知道方程( 1 2 ) 有唯一 的概周期解如下： 、4 + 。卜i 上。e x 小( 卜s ) ) 卜；，、c g y ( m 叫圳吣m 文。) ( 1 3 ) 。仉f m ( i , 9 】 。 jj 、 定义映射z ：b b ，t ( 妒) ( t ) = z p ( ) ，对v | p b ，记 f 。扣i 妒eb , i i 归怄兰 1 伽= ( e x p ( 咱m 叫) 1 1 矗s 、，2 e ，p ( 一。( f 一。) ) l m n ( s ) d s j 一， 丘唧(o 可( 一，) ) 三”( 。) d 。 显然，b 。是b 的一个闳凸集，且有 洲= s 。u p r n a 引x t 。唧( 飞m 叫) l d ( s ) d s 如t e r ( i , j x ) ( o 。i jj ：耐兽 吐 因此；对v 妒b + ，我们有 “妒i _ 1 1 妒啪i i 刊川f s 尚+ 工= 南 下面我们将证明映射t 是b + 到b + 的自映射。对v b - 、 ”t 叫卜s u p m a 叭x f l * 。唧( - - a d ( t - - $ ) ) 吼赢，洲洲跏”出1 ) 罂g 翟努i - 。8 3 p ( 一( 。一s ) ) m ， 四j 妒。( 圳幽 磬黼 吩。 = 搿f 篝 ，z 铹e x p ( 一。，o s ) ) d s j 一。 圳= 驯圳5 两6 l ， 这表明丁( 妒) ( ) b + ，因此r 是一个从b 到b 的自映射。 接下来，我们将证明t 是一个压缩映射事实上，对v 妒，妒b t ，我们有 i i ? ( 妒) 一丁( 妒) j = s u p 丁( 妒) ( t ) 一丁( 妒) ( f ) i i 。濯吲投唧( - a l j ( t - s ) ) 赢，嘣( 慨 一，( 妒ez ( s r ( s ) ) ) 妒玎( s ) d s j 喏 啉 东南大学硕士毕业论文 s s u p t e rn l a ( i , j x ) j - 。e x p h ( ”募，) 铹小叫龇荆 一，( 币m ( s r ( s ) ) ) 妒。( s ) i d s l 茎刚s u p m 一州 。e x p ( 刮赢) 嗍i m 啦删) 一，( 妒t z ( s r ( s ) ) ) f 妒。( s ) l + l ，( 妒“( s r ( s ) ) ) | j 妒”( s ) 一妒。( s ) 口出1 s s u p t e r m ( “i ) j 7 - o oe x p h ) 赢) g 等【m i 忧j ( s ) - 4 , q ( s ) 1 + 蹦妒越( s r ( s ) ) 一妒鞋。一r 如) 妒”( s ) n d s ) s 剐烈上。e x 帅如叫) 募n 锷小酬川 铋 攀”忐) 刊i = a ( ，+ 再- = ；南面) 1 1 妒一妒”1 即 4 由q ( 1 知丁是一个压缩映射，所以存在唯一的不动点矿6b ，使得t 矿= 成立由 f 1 3 ) 知，妒- 满足( 1 1 ) 因此矿是( 1 1 ) 在b + 中唯一的概周期解证毕。 推论j11 在( 1 ) ，( a 2 ) 的假设下，若t ( t ) = t ，且g 1 ，6 1 ，则糸统仁p 在邻域 | | 妒一啪| | s 器内存在唯一的概周期解，其中符号的意义同定理 注1 11 在文【3 7 】中，作者研究了系统( 11 ) 具有定常延时( 即r ( t ) ir ) 时概周期解的存在 唯一性并得出了与推论111 相同的结论，由此可见，文【3 7 1 仅是本戈的特倒，而且我们还 去掉了文f 3 7 1 中的假设f ( o ) = 0 ，所以我们的结果完善并改进了文 3 7 】的结果 1 1 2 概周期解的全局吸引性 定理j j2 在( a 1 ) ，( 屯) 的假设下，若口- 1 ，6 1 ，则糸统f ! i ，存在唯一的概周南解且 其他解都指数收敛到此唯一的概周期解，其中符号的定义同定理jj 证明。设z ，。是系统( 11 1 的任一艇；妒。是系统( l1 1 在邻域 p 一姐i t 毪中唯一的概 周期解，那么由( 1 1 ) 得 坐型= 呐，( z 旷) 一锷“( t r ( ) 一，( 咖( t t ( 蜘( 1 ) 眦 仇f