（应用数学专业论文）一类四阶非线性波动方程的初边值问题.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文研究一类四阶色散、耗散非线性波动方程的初边值问题 一a u 一坼一a u h = ，( “) ，x q ，t 0 u ( x ，o ) = 1 1 0 ( 力，虬o ，o ) = u i ( x ) ，z e q 甜i = o t 0 的w ( 七l ，1 2 ) 解的存在性与唯一性其次，当l p 2 时，我们得到了 该问题的2 4 解再次，我们得到了w k , p ( 七3 ，1 0 w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a l w k , p ( i 1 ，l 2 ) s o l u t i o n so ft h i sp r o b l e m t h i r d l y , a s l p 2 ，w ea b t a i nt h e s o l u t i o n so fw 2 ”f o u r t h l y , w eo b t a i nt h eg l o b a lw k , p ( 后3 ，l 4 时，为了得 到整体强解，则要求i ，( “m s 4 + b ，o 0 ) ( 4 - 1 ) u ( x ，0 ) = 3 0 ( 功，。( x , o ) = “l ( x ) ( 4 - 2 ) u ( x ，f ) = 0 ，工a q ( 4 - 3 ) 的初边值问题 若，c i , f 上方有界，且当n 4 时，存在常数a ，b ，p ，使得 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 愀) i 一i “i + 即 4 ) ；o p * ( h = 4 ) 甜，( 工) 2 ( q ) n 日j ( q ) ( f = o ，1 ) ，该问题存在唯一整体强解 在文献 4 中杨志坚、宋长明研究了非线性弹性杆的纵波振动的一类非线 性发展方程 ， 甜。= “。十盯( 甜，) ， ( 5 - 1 ) u ( x ，o ) = z _ f o ( 工) ，甜，( 膏，o ) = u l ( x ) ( 5 2 ) u ( x ，o ) = u ( x ，1 ) = 0 ( 5 3 ) 若满足如下条件 月l ：q ( j ) c 1 ( r ) ，盯( s ) 下方有界，即存在q 使得盯( s ) c o h 2 ：盯，( j ) j ：仃，( f ) d f + 毛，其中o 1 ( s ) = 盯( j ) 一盯( o ) 一k o s ， k o = m i n c o ，o ) ，k i 0 为常数“，( z ) h 2 ( o ，1 ) n j ( o ，1 ) ( f = o ，1 ) ，则上述问题 有唯一整体解 “c 2 ( ( o ，o o ) ；h 2 ( o ，o n 联( o ，1 ) ) 又证明了解的正则性： 即“，( x ) ”1 ( q ) n 日j ( q ) ( f = o ，1 ) ( 川1 ) ，则对于上述问题有： c r ( s ) e c ”( r ) ，“c 2 ( o ，t o ) ；”“( o ，1 ) n h ：( o ，1 ) ) c r ( s ) c 2 ”( r ) ，“c ”+ 2 ( 【o ，t o ) ；”“( o ，1 ) n 厅：( o ，1 ) ) 其中【o ，t o ) 是解存在的最大空间若s u p l l u ，4 佃则r o = 佃 0 f a t 在文献 5 中刘亚成等研究了如下带有耗散、色散项的四阶非线性波动方 程的初边值问题 哈尔溟工程大学硕士学位论文 “一a u v a 一“_ 埘= 口( “，) ，( 口o ) ( 6 - 1 ) “( 工，0 ) = u o ( x ) ，甜，( x ，0 ) = l ( x ) ( 6 - 2 ) u ( x ，o ) = u ( x ，1 ) = 0( 6 3 ) 如果q = ( o ，1 ) ，v ( s ) c ( 矗) ( k 2 ) 并且满足 h i ：吼( s ) c 1 ( r ) ，口( j ) 下方有界，即存在c o 使得o r ( s ) c o h ：仃。o ) 1 0 t y 。o ) d r + k j ，其 中0 i o ) = 仃( s ) 一盯( o ) 一j ， k o = m i n c o ，o ，k l2 0 ，”o ( 力，虬( x ) 形k g ( n ) i q w o 9 ( q ) l 0 ( 7 - 1 ) u ( x ，o ) = “o ( x ) ，卸，( x ，0 ) = l ( x ) ，x q ( 7 - 2 ) “l 柏= 0 ，t 0 ( 7 - 3 ) 其中对 3 和q r ”是有界光滑区域时，讨论了( 7 一1 ) 一( 7 3 ) 的2 2 解，为 了得到整体矿2 解 u ( x ，f ) 形2 。( o ，乃l , v2 2 f i t ) c 、列2 ( q ) ) 对f ( u ) 所加的增长条件为： l 厂( z ，) l 彳k r + b 其中o 口毛，刀= 3 ；0 口 o o ，疗= 2 它的基本模型是： 珂一z - a u - a u ，- a u 。= - 1 “卜 即源项为正，外力方向与位移方向相反，用g a l e r k i n 方法与能量估计得到了 4 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 上述问题的整体强解 在文献 7 中刘亚成、李晓嫒改进了 6 中的某些积分方法，极大地改进 了其结果，不仅对维数没有限制，并且对八甜) 所加的增长条件也放宽许多 对f ( u ) 所加的增长条件为： i 厂( ”) i 一l z ，厂+ 口 其中0 口三：，以3 ；0 口 o o ，栉= 2 在文献 8 中刘亚成、徐润章、刘萍研究了( 7 1 ) 一( 7 - 3 ) 中非线性项 f ( u ) u 0 的情形，其中q c 7 r ”为有界域，1 1 2 1 它的基本模型方程是 甜一“一a u ，一a u = f “l p - i “， 即源项为正，外力方向与位移方向一致，故不能用 6 中方法进行求解 在 8 中，作者首先用新的方法引进了一族位势井( 它包含已知位势井作 为特殊情况) 并给出了这族位势井的性质而后，利用这族位势井得到了一 些全新的整体弱解存在定理最后，讨论了整体强解的存在性由于得到同 样的整体解的存在性，对f ( u ) u 0 的情形要t ：l f ( u ) u 0 的情形加上更强的 条件所以在 8 中当f f 3 时对似) 所加的增长阶是 6 中的两倍 如果在 8 中假设，( “) 满足： 帅) i 喇p1 p o 。，当盯- l 2 ；l p 羞，当”3 则可到其弱解。 如果再对f ( u ) 所加的增长条件为： i ，7 ( 甜) isa i i + 口 其中0 p s 之，疗3 ；0 p 0 u ( x ，o ) = 1 , 1 0 ( x ) ，( x , o ) = u l ( x ) u ( x ，r ) = 0 ，x 弛 首先我们假设a q 是充分光滑的，( “) ec 1 ，f ( “) 上方有界，且存在常数 一，b 使得 i ( 甜) l a i i 。+ b 其中o 3 ；o o t 2 ) ，利用逐次磨光法，得到了唯 一整体解 6 哈尔滨工程大学_ 唢士学位论文 u ( x ，f ) w 2 。( o ，r ；w 2 , p ( q ) n 明( q ) ) 接下来，仍然假设a q 是充分光滑的，( u ) c i , ，( “) 上方有界，且存在 常数一，b 使得 l 厂( “) i s 爿l “f 4 + 口 其中o 口s ，疗3 ；0 1 ) 解 却( i 3 ，1 p c o ) 解和古典解的存在性与唯一性最后我们又得到了该问 题解的渐近性质 本文用| l ，表示( q ) 的模，r ) 模又简记为| j | l ，w k p ( q ) 模用| | | l 咖来 表示，( “，v ) = l 聊出 1 3 一些引理和主要定理 引理1 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 具有锥性质，q 表示q 与r ”中一个k 维平面的交集，l k s 打，埘为 正整数，为非负整数，1 9 p + ，则由下列嵌入关系： ( 1 ) 如果唧 n ，且r 一m p k r l ，则 ”( q ) c 口( q ) ，p q 竺l 二- 哈尔滨工程大学硕士学位论文 矽帆p ( q ) c w j ，9 ( q ) ，p s q s 坚l n r a p + 4 9 ( q ) c w 川( q ) ，p g s ! 巳一 i 。m p 如果p = l ，则m 疗 沏一1 ) p ，则 ，佻( q ) c c ( 五) ，0 口s 删一旦 p ( 2 ) 假定玎= ( m 一1 ) p ，贝u 帅t 9 ( q ) c c j 4 ( 竭，0 口 1 如果p = l ，疗= m l ，则上式对e l ；l 也成立 w “9 ( q ) 的紧嵌入 设q 是r ”中的一个区域，q 。是q 的有界子区域，是q 与r ”中的一 个i 维超平面的交，_ ，聊是整数，0 ，m l ，p 是实数，1 p 佃，则 ( 1 ) 如果q 具有锥性质且妒1 1 则下列嵌入是紧的，记为c c ： w j + m ，9 ( q ) c c w j q ( q ：) ，o n - 朋妒 七一，1 g n w + m - ，( q ) c c c “( 五o ) ，r a p 肿( m - 1 ) p ，0 口 掰一竺 p ( 4 ) 若用阡”9 ( q ) 代替w p “，则对月“中任意区域q ，上述嵌入都是 紧的 引理1 2 对“h 2 ( q ) ，删+ 忪“l 为删：的等价模，g c t ：ue ：( q ) ，j i v u l l 为。的等价模 引理1 3 若g ( z ，) ef ( q ) ，碚。( 五f ) ) 于口( q ) 有界，1 q 0 0 ，且g 卅( x ，) 寸g ( x ，f ) 于q 几乎处处收敛，则g 卅( x ，) 一g ( x ，0 于l q ( q ) 弱收敛 引理1 4 若，c ，”j ( x ，f ) r ( o ，t ；w k , p ( q ) n f ( q ) ) ，k l ，1 p 0 0 ， = l ，2 ，s 贝u f ( u i ，) e r ( 0 ，t ；w k , p ( 坳 主要定理： 定理2 设q c 2 , ( d c 1 ( 胄) ，f ( 力上方有界，且满足增长条件： ( ) l 厂，( s m s 彳矿i + eo 口s 刍，行她o 口 o 及所有t l ，问题( 卜1 ) 一 ( 卜3 ) ，存在q o ，t 】上唯一整体解 “( x ，f ) u ，i i ，“。w 2 ，。( o ，t ；w 2 ，9 ( q ) n 降0 9 ( r 的) 定理3 设q c 2 , f ( s ) c 1 ( r ) ，厂( j ) 上方有界，且满足增长条件： ( 胃) 叭s ) i 刮j i 。+ 丑，o 口孬4 ，疗3 ；o 口 ，行= 2 ， “。( x ) 州9 ( q ) ( f = 1 ，2 ) ，珂= 1 , 2 时，2 p o o ；万2 3 时，2 p 0 及所有胛，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) ，存在q 【0 ，t 】上唯一整体解 u ( x ，) ，u ，u 。w 2 ”( o ，r ；纠9 ( q ) ) 定理4 设，( “) 满足定理2 的条件，“( x ) w2 9 ( q ) n 科4 ( q ) ，( i = 1 ，2 ) 当疗1 ，席3 时，1 p 2 ：当玎= 3 时，l p 0 ，问 题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在唯一的整体解 “( x ) w 2 9 ( o ，t ；w2 9 ( q ) n 嘲9 ( q ) ) 她孙时z ；鸵2 时一m 叫嚣，2 ) 定理5 1 假设f c “2 ( k 3 ) ，f ( “) 上方有界，( 甜) 满足( ) ，若 甜( 力w t 9 ( q ) n 列4 ( q ) ( i = 1 , 2 ) ，其中1 p 一，g 满足下列条件 c ，p 毗一侄m 2 ) g o o ； ( i i ) ( k - 2 ) p 珂时，p i2 而n p 一2 ) p , 2 时，口2 p ； 胛一l 丘一zj 口 ( i i i ) ( k - 2 ) p 疗p i 0 ，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在唯一解 哈尔滨工程大学硕士学位论文 似，) 2 9 ( o 丑w k , p ( q ) n 纠4 ( f 功 定理5 2 假设，( s ) c 1 4 ( q ) ，f ( j ) 上方有界，且满足( 日) ，若( x ) ， 虬( e c 2 4 ( 孬) ( o 口 0 ，问题( 卜1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一整体古典解 u ( x ，) 6c 1 ( o ，明；c 2 4 ( q ) ) 且满足 甜。r ( o ，t ；c 2 4 ( 五) ) ，i 舶= o 定理5 3 假设，( j ) c 4 ( q ) ( 七23 , 0 0 及任意j r ，满足0 s 一只( s ) s 一哳( s p ，则存在 旯 0 及c 0 ，使得( 6 1 ) 一( 6 3 ) 的肜2 9 解u ( x ，f ) 满足： e ( t 、c e ( o ) e 。“ 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i l l l l i i i i i i i i i ；e i i i i i i | i i i i _ 第2 章整体w 2 ，( p 2 ) 解 2 1 整体w 2 f 9 ( p 2 ) 解 引理2 11 6 1 1 7 1 设q c 2 , f ( s ) c 1 ( r ) ，f ( j ) 上方有界，且满足增长条件： ( 卿l c , ) l s 一矿+ b ，o 口s 刍脏3 ；0 口 0 及所有玎，问题( 卜1 ) 一 ( 卜3 ) ，存在q 【0 ，t 】上整体解 一 u ( x ，f ) “，u ，“。r ( o ，t ；h 2 ( q ) n ：( q ) ) 引理2 2 i s l j ”1 u ( x ，f ) 列2 ( q ) 是下面方程的唯一解 甜a u = 厂( 力 ( 2 - 4 ) 即 且v “v 妒一，( 并) 妒+ z f 缈) d x = o ，v 妒吲2 ( q ) 如果八力k , p ( q ) 触c r a + l , i , 历芝0 , 1 p ，则 u ( x ) w k + 2 , p ( q ) 在( 2 - 4 ) 中取“= u ( x ，f ) ，= f ( x ，f ) ，改写为： u ( x ，t ) = ( ，一) f ( x ，t ) 引理2 2 暗示 ( ，一) ：三”( o ，丁；w ”p ( q ) ) r ( o ，7 ；w “+ 2 9 ( q ) ) 下面对( 1 - 1 ) 进行变形： “一甜一“f a u “= f ( u ) 即 “- a u “+ u 一“+ “i a u ，= ，( “) + 甜+ “， 则 哈尔滨工程大学硕士学位论文 甜+ “。+ “。= ( i - a ) - i ( “+ ”，+ ，( ”) ) ( 2 5 ) “= 叩 。s 孚h 5 压- s i n 譬，+ 地学0 ts t n 孚， + 莩j ：( ，- ) _ l ( ，坝咖一等s i n 雩( ，- f ) d f ( 2 - 6 ) 则： ， 铲竽e 一- s ti n 争蚝学e 乞。文争 + 竽j ：( 卜叭u + u t + 俐弦等c o s 乎( ) + i 7 】d f 7 ) 定理2 设q c 2 , f ( s ) c ( 月) ，( s ) 上方有界，且满足增长条件： ( 日) 叭j ) l 刮s 1 4 + b ，o 口s 磊4 ，胛3 ；o 0 ，存在唯一整体解 u w 2 8 ( o ，7 ；w 2 2 ( q ) n 纠2 ( q ) ) 下面我们证明“w 2 9 ( o ，t ；w 2 ，( n ) 9 1 列9 ( q ) ) 由( 2 - 6 ) 式，得 删：， 0 因此若能证明f ( u ) r ( 0 ，r ；z p ( n ) ) ，则有“，“。r ( o ，r ；p ( q ) ) ( - - ) ( 1 ) 当刀3 时，由s o b o l e v 嵌入定理知， 由f ( u ) 的连续性，得 故对于任意2 p o o 即 由( 2 - 8 ) 式，知 由( 2 - 7 ) 式，知 再由( 2 - 5 ) 式，知 即 则 i i i i 。c d 凇f l i s ( ) l l 。 - - c o n s t i i s ( ) l l ， c o n s t ( “) r ( 0 ，r ；l 9 ( q ) ) uer ( o ，r ；2 9 ( q ) ) “。er ( 0 ，r ；2 ，( q ) ) “。r ( 0 ，7 ；缈2 9 ( q ) ) u w 2 ，。( 0 ，r ；缈2 9 ( q ) ) “2 ( o ，t ；w2 9 ( q ) n 酬9 ( q ) ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 2 ) 当刀= 4 b 1 * r l l u l l 。c o n g t ，l s 碍 o o ，则对于任意2 p o o l i t ( u ) l l ；s ( 爿俐肿“+ ) d x 其中1 s 口+ 1 2 刀一z 由( 2 - 8 ) 式，知 u r ( o ，r ；2 “( q ) ) 由( 2 - 7 ) 式，知 u 。r ( o ，丁；形2 “( q ) ) 再由( 2 5 ) 式，知 甜。e p ( o ，r ；矿2 c a d 即 “形2 ( o ，r ；缈2 。( q ) ) 所以当p 。p 时，有 w 2 , o ( o ，t ；w 2 , p ( f 2 ) l q 纠9 ( q ) ) 下面讨论胛 4 ，p 4 ，p l p ，则 “2 。( o ，t ；w 2 矶( q ) n w o “( q ) ) 则由嵌入定理 “w 2 。( o ，7 ；f ( q ) ) 当2 a p ：，与上面一样，我们能得到p ，依次类推，我们能得到一系列的 p l p 2 p 3 p k p “i 2 ) 解 哈尔滨工程大学硕士学位论文 _ ii r l p i i r ll _ i i i i s _ - _ i _ | _ - - _ _ _ _ _ 鼻 “。一“l i l 一细。= f 0 x 茸q 。| 0 u ( x ，o ) = ( ，虬o ，o ) = ( z ) u ( x ，f ) = 0 ，x 铀 首先我们缎设a q 是充分光滑的，f c u ) c i , 厂，( “) 上方有界，且存在常数 a ，b 使得 i ，( “) i s 爿缸1 4 + b 其中o 3 ；o 2 ，并且此结果在后面证明 列护( p 2 ) 2 9 ( 2 p 1 ) ，k , p ( 七3 ) 以及古典解，和最后的解的渐近性质 都起到了重要作用，因此说本章既是本文的基础。又是本文的重点。 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 第3 章整体明护解 3 1 整体列2 解的存在性与唯一性 本节首先利用g a l e r k i n 方法证明了整体纠2 解的存在性，随后，用积分 估计法证明了吲j 解的的唯一性 3 1 1 列2 解的存在性 定义称u ( x ，f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 在q 【o ，t 】的。9 ( 2 s p o o ) 解： 若“( x ，f ) w 2 一( o ，7 ；吲，9 ( q ) ) ，且对于任意伊c ( 【o ，丁；w ，9 ( q ) 】) ，一1 + 土：1 都 pq 有 豇( ，妒) + ( v 甜，v 纠+ ( r u t , v 妒) + ( v ，v 伊) 一( 厂( 甜) ，妒) 】d r = o v f o ，明 成立，且在吲9 ( q ) u ( x ，o ) = 1 4 0 ( x ) ，u ，( x ，o ) = u t ( x ) 令和，( 工) 墨，是吲2 ( q ) 的基函数系，构造( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的近似解 i ，( x ，f ) = g ，( f ) _ ( x ) ，m = 1 ，2 ， - 1 根据g a l e r k i n 方法，g j ( ，) 满足下面非线性常微分方程组的初边值问题 以。，m ) + ( v u 。，v w , ) + ( v u 。，v m ) + ( v “。，v u ) = ( f ( u 。) ，m ) ( x ，r ) = _ ( x ) j - l u m t ( 工，r ) = m ( x ) j - l 1 9 s = 1 ，2 ，m s = 1 ，2 ，m 哈尔滨工程大学硕士学位论文 引理3 1 设q c 2 , 厂( s ) c 1 ( 尺) ，( j ) 上方有界，且满足增长条件： ( i 厂酬纠刮4 + e0 g s 孬4 ，盯3 ；o f u 。h ( 厂( ) ，甜。) i 当珂= 1 ，2 时，叼2 ( q ) 亡f ( q ) ，2 s q 2 时 i ( f c u 。) ，l l m t t ) i l l 厂( 川旦帆。0 旦c l l - 。卫+ o l l u 。i i 2 n + 2n 一2n - 2n - 2 s c 0 1 v u 。i i + 1 ) l l 。9 旦 一2 s c 1 ( 1 i v i i + 1 ) l l v “。0 c ：l i v “。0 则有 。0 2 + h v u 。1 1 2 - 0 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在整体解“。( f ) ，且 。( x ，) 在2 ，。( 0 ，t ；w 1 , 2 ( q ) ) 中有界由紧致性原理，存在“o ，) 及扣。( x ，f ) 子列伽，( 工，r ) ，使得当y 专o o 时， ，( x ，) 一u ( x ，t ) 于r ( 0 ，r ；缈1 2 ( q ) ) 弱收敛 “。( x ，) 寸”( x ，f ) 于r ( o ，t ；w 1 ，2 ( q ) ) 弱刈殳敛 “。 ，r ) 玎。( 而r ) 于。( o ，r ；1 , 2 ( q ) ) 弱收敛 又由于 “。似f ) ) 在日( g ) ( 绋= t 2 x 0 ，r 】) 上有界，有子序列( 仍记为) 。( x ，r ) ) ，使得“，( x ，f ) ju ( x ，f ) 于e ( q r ) 强收敛，且于绋几乎处处收敛 由f ( u ) 的连续性，知 f ( u ，) 专f ( u ) 于q 几乎处处成立 2 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 因此有 f ( u ，) 寸，( “) 于f ( q ，) 弱收敛 对于任意妒c ( 【o ，r ；明2 ( q ) 】) ，都有 j ：f ( “。，+ ( v u v , v 矿) + ( v 砧。，v 们+ ( v “。，v 力一( ，( “，) ，妒) f = o v t e 0 ，r 】 令 ，专。，可得 j = ( “。，咖+ ( v “，v 妒) + ( v q ，v 伊) + ( v 甜。，v 咖一( ( “) ，妒) 】d f = 0 v f o ，r 】 另外，可知边界条件也满足所以u ( x ，) 是问题问题( 卜i ) 一( 卜3 ) 的整 体w 0 2 解 3 1 2 纠2 解的唯一性 设，v 均为( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的两个解，即w p c ( f o ，明；吲。( q ) ) 及任意， j ： ( 材 伊) + ( v “，v 伊) + ( v u tv p ) + ( v u a , v 妒) 一( ，( “) ，妒) h f = o j ：，力+ ( v v ，v 伊) + ( v v ，v 妒) + ( v v 。，v q o - ( f ( v ) ，妒) 】d f = o 两式相减，令w = “一v j ：【( w 。，妒) + ( v w ，v 妒) + ( v w ，v 伊) + ( v ，v q o - ( f ( “) 厂( v ) ，妒) 】d f = o 令矿= ，则有 ，j ：。o 讲d - l 2 0 , w i 1 2 + i i v 叫1 2 + i l v w , 1 1 2 ) + i i v w , 1 1 2 一( 厂( v + 口( “一v ) ) 职w f ) d r = o ( o 0 1 ) 则 u w , 1 1 2 + l l v , 叫1 2 + i i v , u 2 l ( 厂( v + 口 一v ) ) w ，w ，) l d r ( o 口 3 1 寸p = 三冬，g = 罢；月= l ，2 时p = 4 ，g = 2 打一z z 则 i ( v + o ( u v ) ) w m hs 闸。1 1 , 叫1 。1 1 w , u ， 则由g r o n w a l l 不等式，得 则 知该问题吲2 解是唯一的 3 2 整体w 护解 s c 8 v 叫f 盹 s c l l w t l 2 + 0 v 圳2 ) s 扣v 圳2 + l l v w , 1 1 2 删2 ) i i v , q 1 2 + l l v w , 1 1 2 + 盯= o w = 甜一v = 0 定理3 设q c 2 ，( s ) c 1 ( 月) ，厂( s ) 上方有界，且满足增长条件： ( 日) 叭s ) f 刮叫4 + 职o g 五4 ，玎3 ；o 口 。o ，玎= 2 ， u l ( x ) 纠9 ( q ) ( f = 1 ，2 ) ，疗= 1 , 2 时，2 p o o ；h 3 时，2 p 0 及所有r ，问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) ，存在q 【o ，刀上唯一整体解 哈尔滨工程大学硕士学位论文 u ( x ，) 甜，“，u 。阡7 2 ( o ，7 ；列9 ( q ) ) 证明 ( 一) 稽= 1 2 时 由于“( j ) w o 9 ( q ) c 吲2 ( 【的，由引理3 1 知有唯一解 u ( x ，f ) 2 ( o ，r ；w 2 ( q ) ) 首先由( 忉，可得 帆“) 1 1 。 2 即 ( ) r ( o ，乃p ( q ) ) 则由( 2 - 8 ) ，( 2 - 7 ) ，( 2 - 6 ) ，( 2 - 5 ) ，知 u ( x ，t ) e 2 声( 0 ，r ；w 2 , 9 ( q ) ) 则 “( x ，) 矿2 ( o ，死2 , g ( q ) n w 9 ( q ) ) ( - - ) ”3 ，2 0 满足 。一“，一“肿，一a u 。= f ( u ，) “。( x ，o ) = u o m ( x ) ，甜( x ，0 ) = u l m ( x ) 。i = 0 2 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 则 u 。+ u w 1 - l i r a # = ( ，一) 一1 ( 。+ m + f ( u 。” ( 3 1 ) 两边对t 积分，得 l l m t = 。一j ：( 甜。+ “。) d f + j ：( ，一) 一1 ( 甜。+ “。+ 厂( “。) ) d f ( 3 - 2 ) 两边再对f 积分，得 u m = 甜。，+ “。，f j = ( f r ) ( “。+ “。) d r + j ：( f f ) ( ，一) 一1 ( “，+ “。+ 厂( “。) ) d f ( 3 3 ) 由( 3 - 2 ) 式，得 8 “。i i 。，- 1 。， p 刀十p 同理由( 3 - 3 ) 式，得 l 卜。4 。，- f 1 。n ，+ f “。，0 ，) + c ( i ：( 1 1 讪，+ l l l i , k ) d r + j ：q ，+ 1 t 甜。”虮) | | ，) d r ( 3 - 5 ) ( 3 4 ) 式加上( 3 - 5 ) 式，得( v o s ，s r ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 帆k + k c 。( k + b ) + g 驹i i + | | l ，) d f 4 - 已j ：讲u 。h0 ，+ 帆) f | ，) d r 由于，= 一n + p 口 p ，故有肛mu ，c 。i i ，1 1 。, i i ，c 。陋。，j l l i i ， 则上式变为 i i 1 l - ，+ i i “m ，l - c , o m i i - ，+ l l 甜- m i i - ，) + c ；j ：q b m i i - ，+ i i 甜一，i i - ，) d f ( 3 6 ) + c 3j ：| | 厂( ) 1 1 ，d r 由( h ) ，得 i i ( 甜。) n l f 彳p ，1 4 ”+ b c 4 卜。1 4 卅0 + o b ， 以1 9 “。f 4 “c + b i i q l i i i 取口= 兰# ，= 型，则由h i ；l d e r 不等式，可得 z 口 ，l p ”“，2 吵i 吲7 ； s 9 “。i ”i i ；f l “。1 7 | i = 9 “。l ”i i ；l i “。4 ， 9 ”胛j 甜l ：j j “。o 。p 其中j ：l 以一口 由口s ，可得 疗一z 绷s 旦 玎一2 则 i i l u i “黔n s t 则( 3 - 6 ) 式化为 川k + h b s c i ( i | 0 i , p + h 0 1 , p ) + c ：w 删t 吼，+ | l l ，) d r 由c n o n w a l l 不等式，得 l i n k + f l u 扎，c o n s t v o t 2 ( 在第2 章时则没此限制) 。 对， ) 的假设与第2 章是相同的： 假设a q 是充分光滑的，f ( u ) cv , f 0 ) 上方有界，且存在常数a ，b 使得 i ( “) i 4 k i 。+ b 其中o 3 ；o 1 ) 解 4 1 整体形2 9 ( 2 p