（应用数学专业论文）一类充分非线性方程的精确解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究的主要内容：引进非线性强度的概念，应用拟设法研究一些充分非 线性发展方程的精确解( c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，钟形孤立波解等) 。 本文主要研究了一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程，用拟设法讨论求出它 的c o m p a c t o n 解，多重c o m p a c t o n 解，k i n kc o m p a c t o n 解，并用直接代入法得 到p e a k o n 解，给出了不同非线性强度情况下解的变化。另外研究了( 2 + i ) 维和 ( 3 + 1 ) 维广义充分非线性b o u s s i n e s q 方程的解，并推广到( n + 1 ) 维b o u s s i n e s q 方 程。 最后本文还研究了更广泛的一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程，通过拟设 法讨论求得该方程的c o m p a c t o n 解及孤立波解，给出了不同情况下解的变化。 关键词：充分非线性发展方程，精确解，拟设法。 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , i n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fn o n l i n e a ri n t e n s i t y , w es t u d ye x a c t s o l u t i o n s ( c o m p a c t o ns o l u t i o n s ，p e a k o ns o l u t i o n s ，k i i l ks o l u t i o n s ，b e l l s h a p e d s o l i t a r ys o l u t i o n s ) o fs o m ef u l l yn o n l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w es t u d yak i n do fn o n l i n e a ri n t e n s i t yb o u s s i n e s qe q u a t i o n b y a n s a t zm e t h o d ，w eo b t a i n c o m p a c t o ns o l u t i o n s ，m u t i - c o m p a c t o ns o l u t i o n s ，k i n k c o m p a c t o ns o l u t i o n s w ea l s oo b t a i np e a k o ns o l u t i o n sb yd i r e c tm e t h o d f u r t h e r m o r e w e s t u d yi ti n ( 2 + 1 ) ，( 3 + 1 ) a n dh i g h e rd i m e n s i o l l s a tl a s t ，w ea l s o s t u d yam o r eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a ri n t e n s i t yb o u s s i n e s q e q u a t i o n w e o b t a i nt h e c o m p a c t o ns o l u t i o na n do t h e rs o l u t i o n su n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n s k e yw o r d s ：f u l l yn o i l l i n e a re v o l u t i o n a r ye q u a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n ，a n s a t zm e t h o d i i 学位论文版权使用授权书 y9 3 1 0 3 0 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阕。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书a 不保密叫 学位论文作者签名：j 。、手 心薛蚰v 日 指导教师签名：闭多汗 山b 年岛跏 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位敝作者签名如杼 日期2 心( ) 年f 月y 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 孤立子理论是非线性科学的一个重要方向。它既反映一类非常稳定的自然现 象，例如，江河中的某一类水波、光纤中的光信号传播等等，体现了一大类非线 性相互作用的若干特征，并为许多应用问题( 如光孤子通讯) 提供了启示。孤立子 理论最早在物理学领域被发现，它广泛的存在于物理学各相关领域，具有较深的 物理学背景。另一方面，孤立子理论又为非线性偏微分发展方程提供了求显式解 的方法。特别是其中的反散射方法，在一定程度上可以看成是非线性问题的傅立 叶方法。经典分析和泛函分析，李群、李代数和无限维代数，微分几何( 有限维 和无限维) ，代数几何，拓扑学，动力系统以及计算数学等数学分支，对孤立子 的研究都有重要的作用。另一方面，孤立子的研究也对数学的各个分支产生了一 定的影响。孤立子理论已经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流 体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用，因而受到物理 学界和数学界的充分重视。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状及本 文的研究工作。 1 1 研究背景 1 8 4 4 年，英国著名物理学家s c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会 议报告上发表的“论波动”一文中，描述了一种奇特的水波现象：他在运河里发 现了一个奇怪的孤立水波，它以很快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和速 度没有明显改变，该水波在1 2 英里之外的转弯处消失了。r u s s e l l 认为这种奇怪 的水波是流体力学中的一个稳定解，并称之为孤立波。但r u s s e l l 的学说未能使 物理学家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅假定下建 立了单向运动的浅水波运动方程，即著名的非线性k d v 方程。他们求解k d v 方 程得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变的脉冲状孤立波解，从而在理论上证实了 孤立波的存在。然而当时许多人认为，这种行波不过是偏微分方程的特殊解，在 特殊的初始条件下可以得到它，在初值问题的讨论中是微不足道的，另外认为由 于非线性相互作用，碰撞以后两个孤立波的形状很可能会被破坏，因而认为这种 江苏大学硕士学位论文 波“不稳定”，没有研究的物理意义，于是孤立波解的研究被搁浅。 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算 机计算了一维非线性晶格在各个震动模之间的转换，发现在足够长的时间后能量 又似乎回到了开始的分布。由于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤 立波。后来t o d a 用晶体的非线性振动近似模拟这种情况，得到了孤立波解，使 f p u 问题得到圆满解答，从而激发了对孤立子研究的兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行 数值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年， z a b u s k y 和k r a s a l 对等离子体中孤立波的相互碰撞过程进行计算机数值模拟，进 一步证实了孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立 子( s o l i t o n ) ，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具 有相应的物理现象，它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中( 2 ) 孤立子相互碰撞时具 有弹性散射现象。从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。以后的2 0 年中， 掀起了孤立子理论研究的热潮。除上述流体物理、固体物理、基本粒子物理、等 离子体物理领域中，孤立子理论的研究不断深入，在凝聚态物理、超导物理、激 光物理、生物物理等领域中，也相继发现了孤立子的存在。 综上所述，孤立子理论的产生和发展是与近代物理密切相关的。孤立子理论 不但包括了相关的数学理论，也包括了物理理论，数学的严密性和物理的启发性 和实用性两者相互结合，相互依存，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示出 强大的生命力，这也是现代自然科学发展的重要特征之一。 孤立子一词虽被广泛引用，但无一般性定义。数学中，将孤立子理解为非线 性发展方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零 或确定常数的情况。换言之，孤立子指的是稳定的孤立波，在与同类孤波相遇后 仍能保持其波形、速度、幅度的孤立波。在物理中，孤立子被理解为经典场方程 的一个稳定的有限能量的不弥散的解，即能量集中在一个狭小的区域内且相互作 用后不改变波形和波速。许多非线性发展方程，如k d v 方程、s i n e g o r d o n 方程、 s c h r o d i n g e r 方程、b o u s s i n e s q 方程、k p 方程等都具有孤立子解。孤立子除常见 的钟型和扭状型此外还有包络孤子、拓扑性孤子和非拓扑性孤子、呼吸子、亮孤 子和暗孤子、正孤子和反孤子以及它们叠加而形成的形形色色的孤立子。 江苏大学硕士学位论文 1 2 研究现状 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，其研究内容和研究 方法非常丰富。近年来，国内外学者对孤立子理论的多个方面进行了大量的研究 工作，并取得许多进展。 非线性发展方程的求解问题是古老而重要的研究课题。尽管，数学家和物理 学家们在这方面作了许多的研究，但由于其复杂性，仍有大量而重要的非线性发 展方程无法解出精确解或难以找出具有物理意义的新的精确解，即使已经求出精 确解，也各有各的技巧，尚无统一的精确求解方法。不过孤立子理论中有着一些 构造精确解的有效方法，如反散射方法、d a r b o u x 变换、h i r o t a 双线性变换等。 1 9 6 7 年，g a r d n e r 等人发明了求解k d v 方程的逆散射方法，这一方法利用 量子力学中的s c h r o d i n g e r 方程特征值问题( 正散射问题) 及其反问题( 反散射问题) 之间的关系，经过求解一个线性积分方程而给出k d v 方程初值问题的解。它不 仅对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展也有深远影响。 随后，l a x 推广并提高了上述方法，使之能够用于求解其他非线性发展方程的初 值问题，从而逐步形成一种系统的求解方法。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 推广 了这一方法，求出高阶k d v 方程，立方s c h r o d i n g e r 方程等的精确解。 1 9 7 1 年，h i r o t a 所引进的双线性变换法( h i r o t a 方法) ，是构造非线性发展方 程n 孤立子解及其b a c k l u n d 变换的一种重要而直接的方法。 1 9 7 5 年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构法，以外微分形式为工具，给 出寻找与反散射方法相联系的线性特征值问题的系统的方法。 1 9 9 1 年，李翊神教授基于对称约束提出一种非线性发展方程的直接的变量 分离方法；随后，楼森岳教授等提出另一种更有效的直接变量分离法得到了许多 的2 + 1 维非线性发展方程的精确解。 精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量大 的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速度 保证了准确率。1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u 厨给出了求非线性发展方程孤立波解的双 曲正切函数法的m a t h e m a t i c a 程序包。王明亮教授等基于非齐次项与高阶导数项 平衡的原则，将非线性方程齐次化、代数化，提出了齐次平衡法。 近来发现了两类特殊的孤立波解即c o m p a c t o n 解和p e a k o n 解。r 0 s e n a u 和 江苏大学硕士学位论文 h y m a n 1 】为了研究流体模型在形成过程中非线性色散项的作用，研究了充分非 线性k d v 方程k ( m ，n ) “，+ ( “) ，+ ( “) 。= 0 ( 1 1 ) 得到了一种强局部性的孤立波解( 即c o m p a c t o n 解，即在有限区间外为零的局部 行波解，它的振幅随速度增加而增加，但它的波宽与速度没有关系，保持不变) 。 通过数值模拟验证了c o m p a c t o n 解具有类似孤立波的性质：碰撞前后保持波形 不变，这种碰撞是弹性的，能量几乎没有损失等。关于c o m p a c t o n 解的其它研 究见 2 1 4 】。 a m w a z w a z 5 6 研究了高维k d v 方程，用拟设法得n tc o m p a c t o n 解和 孤立波解。 z yy a n ，gb l u m a n 7 】【8 研究了充分非线性色散b o u s s i n e s q 方程， 得到了c o m p a c t o n 解和孤立波模型解。 殷久利、田立新等人 1 0 】研究了新型广义k d v 方程k ( m ，n ，1 ) 的c o m p a c o n 解。随后， z yy a n 1 3 进一步研究了改进的非线性色散k d v 方程m k ( m ，n ，p ) ， 通过讨论参数m ，即，p 得n t 不同情况下的c o m p a c t o n 解。 田立新等 1 5 研究了广义c a m a s s a - h o l m 方程 “，+ 妇，+ 屈“。+ 展 ”) ，+ 屈“，( “”) 。+ 风u ( u 9 ) 。= 0( 1 2 ) 得到了c o m p a c t o n 解和孤立波解。c a m a s s a 和h o l m 1 6 $ 1 j 用h a m i l t o n i a n 的方法 得到了一类完全可积的c a m a s s a h o l m 方程： “f + 妇。一“州+ 3 u u ；= 2 u ，“材+ “甜黜( 1 3 ) 当k = 0 时，有“= c e 十。i ( c 为速度) 形式的尖峰孤立波解( 即p e a k o n 解) ，与通常 的光滑孤立波解不同的是，在波峰处一阶导数不连续。田立新等 1 7 ，1 8 研究了广 义c a m a s s a h o l m 方程 “r + k u ，一“删，+ a u ”村。= 2 u ； 嚣+ “埘( 1 4 ) 得n t 新型的p e a k o n 解，它不同于以往发现的p e a k o n 解是在波峰处一阶导数不 连续，这种新型的p e a k o n 解是在波谷处一阶导数不连续。关于其它p e a k o n 解的 研究见 1 9 2 0 。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 本文引进非线性强度的概念，研究一些充分非线性发展方程的精确解 4 江苏大学硕士学位论文 ( c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，孤立波解) ，下面是本文具体的研究工作： 本文研究了一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程 “”一1 “。一“。一口( u ”) 。+ b ( “。) 一= 0 ( 1 5 ) 用拟设法讨论求出它的c o m p a c t o n 解，多重c o m p a c t o n 解，k i n kc o m p a c t o n 解， 并用直接代入法得到p e a k o n 解，给出了不同非线性强度情况下解的变化。另外 研究了( 2 + 1 ) 维和( 3 + 1 ) 维广义充分非线性b o u s s i n e s q 方程的解，并推广到( n - 1 ) 维b o u s s i n e s q 方程。 本文还研究了更广泛的一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程，通过拟设法讨 论求得该方程的c o m p a c t o n 解及孤立波解，给出了不同情况下解的变化。 本文研究的意义：通过本文的研究揭示了特殊孤立子形成的过程，即选取适 当的非线性强度后，使得非线性项和色散项能达到平衡得到p e a k o n 解以及 c o m p a c t o n 解。该研究对于揭示非线性项的影响以及不同非线性强度下孤立子的 形成都具有极为重要的意义。 江苏大学硕士学位论文 2 1 孤立子 第二章基本概念 匿前对孤立子还没有一个确切的定义。数学中，将孤立子理解为非线性发展 方程的局部行波解，所谓局部是擐微分方程的解在空闻的无穷远处趋子零或确定 常数的情况。换言之，孤立予指的是稳定的孤立波，它的性质具体为：( 1 ) 能量 比较集中。( 2 ) 孤立子相互碰撞时其有弹性散射现象，在与陲獒孤波相遇后仍能 保持其波形、速度、幅度的孤立波。在物理中，孤立予被理解为经典场方程的一 个稳定的有限能量的币弥教的解，郡能量集中在一个凝小的区域内篮相互作用后 不改变波形和波速。李政遭认为：在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它 在任何时闽内都束缚与一个有限区域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解。因 此比较统一的孤立子定义为 ( 1 ) 孤立子是波动问遴中的一种能量有5 e 局域解。 ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在。 ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 22 非线性强度 非线性发展方程在非线性科学、数学物理领域有广泛的应用。为了更妊的研 究尊线性色散项和菲线性耗散项对方程解及其本质的影响，本文引进非线性强度 概念，研究一系列充分菲线性发展方程。以充分j 隧性k l e i n - g o r d o n 型方程为倒： ( “”) 。+ a ( u ”) 蹦+ b ( u 9 ) = 0( 小，n , p 1 )( 2 1 ) 我们称m ，n ，p 为j # 线性强度，特别称n 为j 线性耗散强度，p 称为非线性色散强 度，m 称为非线性强度影响。 23 编微分方程精确解的一些求解方法 寻找非线性犏微分方程的精确鳃是数学物理研究的重要方面。鳆着孤立子理 沦的发展，提出了许多有效的方法：例如反散射变换法【2 1 】、b a c k l u n d 变换法 2 2 】、 达椎变换法 2 3 】、双荫正切方法【2 4 、齐次平衡法 2 5 】、直接化简法f 2 6 】。本文主要 江苏大学硕士学位论文 应用拟设法来求解偏微分方程的精确解，考虑任意给定的非线性偏微分方程 u ( u ，吣，”_ ，“，“。，) = 0( 2 2 ) 令 u ( x ，r ) = “( f ) ，f = x 一2 t ，方程( 2 2 ) 转化为 u ( u ，u u u ”，) = 0 拟设方程有下列形式的解 ( 2 3 ) 蚓冬 吲 要 0 r f y 其籀 ( 2 4 ) 3 ：u ( x ，0 = “( f ) = a c o s h 9 ( r f ) 4 ：u ( x ，f ) = “( f ) = a s i n h 9 ( r f ) 带入方程( 2 3 ) ，令相应的系数为零，产生一系列超定的方程组，应用数学软件 m a t h e m a t i c 求解得到a ，晟r ，五，从而求得原方程的精确解。 下面我们再介绍一种方法：变系数齐次平衡方法 1 对于任意给定的偏微分方程 a u = a ( u ，“，u x , “。，) = 0( 2 5 ) 为了使最高阶导数项与非线性项达到平衡，可以将“表示为新的变量w = w ( x 。t 1 的表达式 u ( x ，r ) = a ：a ? w ( x ，r ) ) ( 2 6 ) 其中w ( x ，r ) 是待定的函数，m ，胛是整数。 2 将( 2 6 ) 代入( 2 5 ) ，可以得到关于f ( w ) 的常微分方程，令关于w 的最高阶 导数项和最高阶非线性项的系数为零，并把关于，的其它非线性项转化为厂的线 性项，令，的各阶导数项为零，得到一个超定的方程组。由此解出f = 厂( 们， 并代入到( 2 6 ) ，我们便可以得到偏微分方程的解。 7 、j手 9 彤 骘 0 r m o 吖j ，c f 0 州 n c 瓠 4 4 ，l rl i i i | 、j ) 卢， f “ “ = l i ) ) r p r ， z x “ 甜 l 2 江苏大学硕士学位论文 第三章一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程的 c o m p a c t o n 解和孤立波解 本章引进非线性强度概念，研究一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方程 “”_ 1 甜。一“。一日( “”) 。+ b ( “。) 一= 0 ，用拟设法讨论求出它的多重 c o m p a c t o n 解，给出了不同非线性参数情况下解的变化。另外研究了( 2 + 1 ) 维和 ( 3 + 1 ) 维非线性强度的b o u s s i n e s q 方程的解，并推广到( n + 1 ) 维情况。并用简单有 效的方法得到p e a k o n 解，k i n kc o m p a c t o n 解。 3 1 ( 1 + 1 ) 维方程的c o m p a t o n 解和周期波解 考虑( 1 + 1 ) 维非线性强度的b o u s s i n e s q 方程 “卅一1 “h 一“麒一a ( “) 尉+ b ( “) 一 = 0 ( 3 1 ) 令u ( x ，t ) = “( 孝) ，善= x 一五f 代入( 3 1 ) 转化为 五2 “m 一1 “错一甜* + a ( u ”) + b ( u ) f 掌菇= 0 ( 3 2 ) 批垆蟛，= p 。j 翟萋 是方程( 3 1 ) 的行波解并代入( 3 2 ) 中得到 p “r 2 丑2 p ( p 一1 ) c o s r a f t - 2 ( r 善) 一p r 2 p ( p - 1 ) c o s 9 ( r o 一五2 尸”r 2 2 c o s p ( r o + p r 2 声2 c o s 芦( r f ) 一a n t i ( n i l 一1 ) p ”r 2 c o s n i l - 2 ( r 善) + d n 2 卢2 p ”r 2 c o s ”卢( r f ) + 6 ( 一6 + 1 l k f l - 6 k f l 2 + 七3 ) k p p r 4 c o s k p - 4 ( r f ) + 6 ( 4 8 k p + 6 k f l 2 2 k f l 3 ) k p p 。r 4 c o s k , a - 2 ( r o + b k 2 4 p r 4 c o s 印( r f ) = 0 ( 3 3 ) 令三角函数指数相等对应系数为0 1 m = 月= k 当p = k p 一2 = n p 一2 = m p 一2k p 一4 = 8 2m p = n ；b = k ；b 时 p r 2 开卢( 一1 ) + p r 2 卢2 - a n t i ( n i l 一1 ) p ”r2 + 6 ( 4 8 k p + 6 k p 2 2 女口3 ) k p p r 4 = o a 2 p ”r 2 2 + a n 2 2 p ”r 2 + b k 2 卢4 p r 4 = o 江苏大学硕士学位论文 一p r ：声( 声一1 ) 十6 ( 一6 + 1 1 置矽一6 够2 + 够3 ) 女皿p r 4 = o ( 3 4 ) 解上述方程，得 p = 鲁 埘一l 方程( 3 1 ) 的c o m p a c t o n 解为 如力= 姻= 。m 加- i 味m - l j 罕2 - a m 2 ”m ，k r = 型2 m 塑bv 0 一】 取加：2 伊1b = 2 = l 卢：2 r = 鱼4p = 西4 吣力= p ，吲詈 图( 3 - 1 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解 2 m = 七力 1 0 m ；| 9 = k ；bm 母一2 = k p 一2 一牙j p “r 2 卢2 + b k 2 4 p 2 r 4 = o ( 3 5 ) 箬 图( 3 2 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解平面图 n p = p = k p 一4n p 一2 = ；b 一2 9 降 莓 岳 江苏大学硕士学位论文 尸”r 2 刀口( 一1 ) + 6 ( 4 8 k f l + 6 k f l 2 2 k p 3 ) k p p 。r 4 = o p r 2 卢2 + a n 2 2 p ”r 2 + 6 ( 一6 + 1 1 岛口一6 置卢2 + 岛日3 ) k p p r 4 = o ( 3 6 ) 一a n f l ( n 1 3 1 ) p ”r 2 一p r 2 f l ( f l - 1 ) = o 解上述方程，得 删= 当m1r = 掣4 m 以p = 一vd 方程( 3 1 ) 的c o m p a c t o n 解为 如。：哟_ | 七意警丽品芦字肛柳如o = 哟= 1 瓦石鬲丽= 而鬲l o f 了1 i 旷卅1 l 0 ，厚( x - a t ) | 三 yb 2 其他 取m = k = 2 = b = 五= 1 a = - 2 = 4 图象如下 m 力：t 詈c o , 4 唔c x 叫， 0 r = 三 8 ( 3 7 ) p ：旦 3 卜 图( 3 3 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解 m q ( 3 4 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解平面图 2 。m p = k pm p 一2 = k p 一2n p = pn 8 2 = 母一2 = k 8 4 一牙p r 2 2 + b k 2 4 p r 4 = o p m r 2 名( 一1 ) + 6 ( 4 8 k f l + 6 k f l 2 2 够3 ) k p p r 4 = 0 ( 3 r 8 ) 1 0 、j 一 坚锄 兄一 万一2 v l l州j他卜其 1 8 江苏大学硕士学位论文 p r 2 p 2 + a n 2 卢2 尸”r 2 = o a n t i ( n i l 一1 ) p ”r 2 + 6 f 一6 + l l k ，一6 k 1 3 2 + k p 3 ) 局卯2 r 4 一p r 2 ( 一1 ) 2 0 解上述方程，得 ：砉r = 掣店 户= 蚧哟= 博掣脚 取m = k = 2 图象如下 胛= 盯= 6 = 矗= ， 五= 4 = 2 p = ： 吣力：姥耐( 川。k 一射l 三 0 其他 ( 3 9 ) 0 1 f 。1 出 o f l o d 1 5 o f 0 5 。l ：； 图( 3 5 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解 图( 3 6 ) 方程( 3 1 ) 的c o m p c a t o n 解平面图 3 m = n k 1 0 m f l 一2 = n p 一2 = k p 一4m f l = n pk p = | 8k 8 2 = j 8 2 p “r 2 斧卢( 一1 ) 一a n t i ( n i l 一1 ) e ”r 2 + 6 ( 一6 + 1 1 够一6 k p 2 + 芦3 ) k c 7 ：p r 4 = 0 一者p ”r 2 2 + 册2 2 p ”r 2 = o( 3 1 0 ) 丌一2 甜 艮靴 江苏大学硕士学位论文 p r 2 声2 + b k 2 4 p r 4 = o p r 2 f l ( f l 一1 ) + 6 ( 4 8 k p + 6 七b 2 2 够3 ) 岛卯2 r 4 = 0 解上述方程，得 k = 1口= 二 。 1 一m 方程( 3 1 ) 的周期解为 r = 字j p = 如力：确：m j 茄等翥兰铲南卑居例如，) = 确= 勺丽而再瓦菇计叩r 丁1 i 旷卅。 l 0 p 层”m ，陲 其他 取m = n = 3 k = a = 丑= r = 1 图象如下 唧一t p = 等 m 一_ f 乒0 如叫k 巍三 具他 ( 3 1 1 ) 8 6 e “l 图( 3 7 ) 方程( 3 1 ) 的周期解图( 3 - 8 ) 方程( 3 1 ) 的周期解平面图 2 0m a 一2 = n ；b 一2 m f l = n f l = k p 一4k ；8 = pk p 一2 = p 一2 尸”r 2 ；t a ( f l 一1 ) 一a n t i ( n i l 一1 ) ，”r 2 = o 一, t i p r 2 卢2 + 6 ( 一6 + 1 l k f l 一6 k f l 2 + 够3 ) k f l p r 4 + 册2 2 p “r 2 = o( 3 1 2 ) p r 2 2 + b k 2 4 p r 4 = 0 1 2 江苏大学硕士学位论文 一p r 2 9 ( g 1 ) + 6 ( 4 8 置卢+ 6 k 9 2 2 置卢3 ) k g p r 4 = 0 解上述方程，得 川卢：而4r ：字层阳1 j 3 m 3 。+ ：1 。3 耍m 2 + 乒1 3 m + 3 方程( 3 1 ) 的周期解为 取m = n = 3 图象如下 图( 3 9 ) 方程( 3 1 ) 的周期解 吁m - 1 仃 - j 。卅 ：- 2r ：! i l ( x - t ) 愕 其他 ( 3 1 3 ) p ：坐 4 s o 4 0 。o 2 0 1 0 lj 图( 3 - 1 0 ) 方程( 3 1 ) 的周期解平面图 3 2 ( 1 + 1 ) 维方程的m u t i c o m p a t o n 解 用同样的方法我们可以求出方程( 3 1 ) 的m u t i c o m p a t o n 解 1 m = ”= k 方程( 3 1 ) 的m u t i c o m p a c t o n 解为 江苏大学硕士学位论文 蚺。：确_ j 七两罴：两c o 声岽j 墨罟。侧蚺o = 确= 勺面哂孬雨甭而瓦丽l 0 4 i 1 厂p 卅j l 0 t ( 4 t - 1 ) 口等华c x - a t ) 三 取五pr1m ：7 口：一坐6 ：三口：三 7 4 9 3 2 4 ( 3 4 2 ) 江苏大学硕士学位论文 u ( x ，r ) = “( 孝) n 、； 一三( x 一。三s in ( x f ) 3 。 一1 ( x - t ) 詈 f o s 一640 2246 - o 5 f 。 图( 3 2 5 ) 方程( 3 1 ) 的k i n k c o m p a c t o n 解图( 3 - 2 6 ) 方程( 3 1 ) 的k i n kc o m p a c t o n 解平面图 3 6 ( 1 + 1 ) 维广义充分非线性方程的p e a k o n 解 对于方程( 3 1 ) ，我们令“= 2 e 一。剖 o ) 掌= x 一所代入( 3 2 ) 得 c 2 d 2 五m e - e “g 一a c 2 e - + = l + 口2 c 2 开2 p 一删i 爿+ b 2 k c 4 k 4 e - 砖同= 0 令指数相等对应系数为0 1 m = 1 胛= k ，l c 2 d 2 一2 c 2 = 0 出1 a 2 2 珂2 + b 2 c 4 即4 = o fd = l 得厅1 【弘、了i 故方程( 3 1 ) 的p e a k 。n 解为：材：五g j 亭叫 取d = 旯= 1b = ”= 2 口= 一8 则“：p + 。f 图象如下 ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) r 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) 兰三茎坐塑主堂堡堕查 图( 3 2 7 ) ) r y e ( 3 + 1 ) 的p e a k o n 解 由k ：2 麓纛 ja = 1 得 d 厨 【归孑、了 j 乡 图( 3 - 2 8 ) 方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解平面图 g z 方程( 3 1 ) 的p e a k 。n 解为：“：五p 一号仔k 一驯 g 3 ( d ：咒：1 脚：26 ：一上 6 4 则“：8 。2 h ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) 。! l 图( 3 - 2 9 ) 方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解 图( 3 _ 30 ) 方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解平面图 江苏大学硕士学位论文 3 k = 1m = n f c z d 2 z , , + 口 ”c 2 m 2 ：0 由1 一舻+ b z c 4 ：o f d ：埘； 得厅 【c = 、i 故方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解为 取五= 1 。：a 。一居h 而 6 = 三埘= 2口= 一1 94 贝u “= 已一3 k - f f r 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) i 乡l 图( 3 - 3 1 ) 方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解 图( 3 3 2 ) 方程( 3 1 ) 的p e a k o n 解平面图 江苏大学硕士学位论文 第四章更广泛一类非线性强度的b o u s s i n e s q 方 程的c o m p a c t o n 解和孤立波解 本章研究一类更广泛的非线性强度的b o u s s i n e s q 方程 “) 。一( “) 。一a ( u 9 ) 。+ 6 ( “4 ) 一= 0 ，同样用拟设法讨论求出它的c o m p a c t o n 解， 给出了不同非线性参数情况下解的变化。也可以类似的得出方程的多重 c o m p a c t o n 解，周期波解，p e a k o n 解，k i n kc o m p a c t o n 解等方程的解。 4 1( 1 + 1 ) 维方程的c o m p a t o n 解 考虑( 1 + 1 ) 维一类更广泛的非线性强度的b o u s s i n e s q 方程 ( “) 。一( “”) 。一a ( u ) 。+ 6 ( “9 ) 一= 0 ( 4 1 ) 令u ( x ，r ) = “( 善) f = x - a t 代入方程( 4 1 ) 得 五2 ( “) 嚣一( “”) 馨一口( “9 ) 群+ 6 ( “7 ) 髫= 0 ( 4 2 ) 拟设却。，) ：。停) ：a c b ( r 善) i r 善i 三 ( 4 3 ) l ” 其他 2 a “c o s “4 ( 五宇) 一a ”c o s ”4 ( r f ) 一0 4 9 c o s p p ( r f ) + b q f l ( q f l 1 ) 4 9 r 2 c