（无线电物理专业论文）新型多模光纤光栅特性的研究.pdf

兰州大学研究生学位论文 新型多模光纤光栅特性的研究 论文摘要 本文提出了一种单轴各向异性材料为包层，其主轴折射率沿光栅 轴线( z 轴) 方向的新型多模光纤光栅模型，引入了主轴折射率比参数 k c l ，推出了理想正规模方程，并假定各个低阶模式之间互无关系而 对独立模式进行研究。运用耦合模理论等研究方法，从理论上分析了 多模光纤低阶模式的传播特性和截止特性；推出了该类光纤光栅的反 射率r 、布拉格波长如、反射波带宽五的表达式；研究了数值孔径 h 与主轴折射率比参数k c l 对多模光纤光栅中低阶模式特性参数的影 响。结果发现，模式的多少，对特定低阶模式的反射率及布拉格波长 有着不同程度的影响；而参数k c l 在较小的数值孔径或芯径下能够对 多模光纤光栅产生调节作用；另一方面，对于各个独立模式相互的关 系也做了一定的研究z - - 作，发现了参数k c l 对各个独立模式不同的调 节作用。本文的研究结果在传感、测量研究领域获得新的应用提供了 理论依据，可以用多模光纤光栅代替单模光纤光栅制作光纤传感器以 降低成本，也可作为对光纤光栅进一步深入研究的参考。 关键词：多模光纤光栅；耦合模理论；单轴各向异性材料；数值孔径； 反射率；布拉格波长 兰州大学研究生学位论文 s t u d yo nc h a r a c t e r i s t i c so f an e wm u i t i m o d ef i b e rg r a t i n g a b s t r a c t an e wm u l t i m o d ef i b e rb r a g gg r a t i n gw i t hc l a d d i n gm a d eo fu n i 部x i a lc r y s t a l m a t e r i a lw h o s eo p t i c a la x i si s p a r a l l e d t ot h ea x i so ff i b e r b r a g gg r a t i n g sw a s p r o p o s e d t h er a t i o ( k c l ) o ft h eo r d i n a r y r a y i n d e xw a si n t r o d u c e d t h e c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no ft h ei d e a ln o r m a lm o d ew a ss t u d i e d i nt h i sp a p e r , t h e r e l a t i o no f e v e r yl o w l e v e lm o d e sw a sn o t h i n g ，w h i c hw a sa s s u m e d ，a n di n d e p e n d e n t m o d ew a ss t u d i e d b yu s i n gt h ec o u p l e d m o d et h e o r y , t h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c a n dt h ec u t - o f fc h a r a c t e r i s t i co fl o wl e v e lm o d e sw e r ee x a m i n e d ，a n dt h ee x p r e s s i o n o f r e f l e c t i v i t yr ，b r a g gw a v e l e n g t h 厶a n d t h eb a n d w i d t ha ao fr e f l e c t e dw a v e w e r ei n d u c e d ，a n dt h e s ec h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r sw e r ed e p e n d e n to nt h ep a r a m e t e r k c la n dn a t h ec a l c u l a t e dr e s u l t si n d i c a t et h a tt h em u h i m o d ef i b e rb r a g gg r a t i n g c o u l db er e g u l a t e db yt h ep a r a m e t e rk c li nl o wn u m e r i c a la p e r t u r e ( n a ) v a l u eo r l o wm o d en u m b e ri nt h eg r a t i n g o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo ft h er e l a t i o ni ne v e r y i n d e p e n d e n tm o d e sw a sm a d e ，a n dt h e i n f l u e n c ep a r a m e t e rk c l u p o nl o wl e v e l m o c i e sw e r ee x a m i n e d t h ea p p l i c a t i o n so fs u c hm d t i m o d ef i b e rb r a g gg r a t i n gi n o p t i c a lc o m m u n i c a t i o n ，e s p e c i a l l y i n o p t i c s s e n s o r sw e r ep r e d i c t e d t h i ss t u d i e s p r o v i d e a n i m p o r t a n t b a s i sf o rf u r t h e ra n a l y z i n g 丘b e rb r a g g g r a t i n gc h a r a c t e r i s t i c sf o r d e s i g n i n g n e w o p t i c a la p p a r a t u s i nc o m m u n i c a t i o na n ds e n s o r s t h a ti s ，t h e m u l t i m o d e 丘b e rg r a t i n gm a yr e p l a c es i n g l e - m o d ef i b e rg r a t i n gt o p r o d u c ef i b e r s e n s o r s t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t sa l s o p r o v i d eg u i d a n c e f o rf n r t h c r s t u d y i n go n m u l t i m o d ef i b e rb r a g g g r a t i n g s k e yw o r d s ：m u l t i m o d ef i b e rb r a g gg r a t i n g ；c o u p l e d - m o d et h e o r y ；u n i a x i a lc r y s t a l m a t e r i a l s ；n u m e r i c a la p e r t u r e ；r e f l e c f i v i t y ；b r a g gw a v e l e n g t h 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表 的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用 的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：羔! 竺日期：璎：! ：! 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论：史及相关的职务作品，知识产权归 属兰- i t 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：王竺笪。导师签名：日期：竺：生z 。 兰州大学研究生学位论文 1 引言 光纤光栅是近几年发展最为迅速的光纤无源器件之一。有些掺杂光纤在蓝色 或紫外光强激光的照射下，其光学特性会发生永久性的改变，这种被称为光敏性 的光学效应可使光纤纤芯在长度上产生折射率周期变化的结构，即形成光纤光 栅。光纤光敏特性的动力学机理现在尚未完全研究清楚，较为普通的观点是，由 于诱导光( 紫外光) 的作用，光纤中原子的某些键被破坏，产生的自由电子进入光 纤材料的色心陷阱中，从而改变了光纤的i 吸收、散射等光学特性，出现折射率的 变化1 1 l ；另外，在光照射过程中，光纤材料结构释放诱导应力以及构形的畸变等 也导致了折射率的变化t 2 1 。这种光折变效应主要发生在近紫外波段。1 9 7 8 年 k 0 h i l l 等人第一次报道了用氩离子激光器产生的波长为4 8 8 n m 或5 1 4 5 r i m 二束 可见光在光纤纤芯中曝光而产生干涉图样，进而形成折射率周期变化的布拉格光 纤光栅 3 1 。1 9 8 9 年，gm e l t s 等人首次用全息边写入方法用紫外光写入光纤光栅， 揭开了研究紫外光纤光栅的新篇章【4 】。2 0 世纪9 0 年代以来若干关键技术获得了 重要的突破【5 ：利用两束紫外光束的干涉通过光纤侧面在纤芯中写入光栅，增加 了人们选择工作波长的自由度；利用相位掩膜技术进行光栅写入，减低了人们对 紫外光源相干性和稳定性的要求；利用高压载氢敏化技术对光纤进行预处理，提 高了普通商用通信光纤的光敏性，降低了光纤光栅的成本：特殊组分和配比的专 用光敏光纤，改善了光纤光栅的传输谱。随着光纤光栅制造技术的不断完善，应 用成果的不断出现，把光纤光栅的研究和应用推向了高潮，加速了整个电信工业 从数字电子时代向数字光子时代的转变，极大地推动了全光纤通信技术的发展与 全光网络的开拓，促进了光纤传感技术的发展。 单模布拉格光纤光栅技术已经比较成熟，它的谱特性也相对熟悉。以往对于 单模布拉格光纤光栅的研究多以改变光栅的长度、半径、折射率分布、周期、切 趾函数、啁啾系数等参数来分析光栅特性随这些参数的变化。而对于引入单轴各 向异性材料作为光纤光栅制作材料的研究却为数不多。文献【6 】对单轴各向异性晶 体通道波导的截止特性和单模条件进行了研究；s t e v e n s o m 7 1 和c o z e n 【8 1 等人研究 了单轴各向异性材料为纤芯的光纤传输和截止特性；文献【9 1 提出了单轴各向异性 材料为内包层的双包层w 型光纤，研究结果表明该类双包层光纤比普通双包层 兰州大学研究生学位论文 光纤有更大的零色散点调节范围；文献【1 0 】对由单轴各向异性材料为包层构成的 光纤保偏器进行了一定的试验研究；文献”l j 对单轴晶体包层材料对均匀布拉格光 纤光栅特性的影响做了研究；文献f 幢】对单轴晶体包层材料对啁啾光纤光栅的影 响做了研究，并进一步研究了其电光和弹光效应。 目前几乎所有实用的光纤光栅都是单模的，但是单模光纤的芯径比较小， 难以和除单模光纤和激光二极管以外的光器件耦合，而多模光纤恰恰能够很好的 弥补这个缺陷。近期对于多模光纤光栅的研究在理论和实验方面都取得了一定的 进展。m i z u n a m i 等1 1 3 , 1 4 j 采用相位掩模法和双光束干涉法在多模光纤上制作了光 栅，测量了多模及少模f b g 的传输谱并对谱图进行了一定的分析，同时提出了它 在耦合及传感中的应用。w a s n e r 等1 15 j 计算了+ 多模布拉格光栅的反射谱并提出了 它在微弯传感方面的应用。s z k o p e k 等【l6 j 提出了新型多模光纤结构，并由此研究出 窄带高反射率的光纤光栅。f u k u s h i - m a 等【l7 和p e r a l 1 8 1 等分别提出了新的多模光 栅耦合器和波导。总的来说，国际上多模光纤光栅的实验性研究较多，但理论工作 相对较少。 本文提出了一种新型的多模光纤光栅模型单轴各向异性材料为包层，其 主轴折射率沿光栅轴线( z 轴) 方向的多模光纤光栅模型，引入了主轴折射率比参 数k c l ，应用了麦克斯韦方程矢量模精确解法和耦合模理论等研究方法，并假定 各个低阶模式之间互无关系，而对独立模式进行了研究。从理论上分析了多模光 纤低阶模式的传播特性；推出了该类光纤光栅的反射率r 、布拉格波长厶、反 射波带宽的表达式；研究了数值孑l 径m 4 与主轴折射率比参数k c l 对多模光纤光 栅中低阶模式特性参数的影响。结果发现，数值孔径m 和芯径a ，又即模式的 多少，对光纤的传播特性和截止特性没有明显的影响，但对特定低阶模式的反射 率及布拉格波长却有着不同程度的影响；而参数k c l 在较小的数值孔径或芯径下 能够对多模光纤光栅产生调节作用；另一方面，对于各个独立模式相互的关系也 做了一定的研究工作，发现了参数k c l 对各个独立模式不同的调节作用。本文的 研究结果为在传感、测量研究领域获得新的应用提供了理论依据，并可以用多模 光纤光栅代替单模光纤光栅开发光纤光栅传感器，以降低成本，有望更好的解决 一直困扰单模光纤光栅温度与应力交叉敏感的问题及光纤光栅解调中匹配光栅 易受外界因素影响的问题。 兰州大学研究生学位论文 2 研究意义及其应用价值 光纤光栅具有体积小、插入损耗低、光谱特性好、可靠性高，与通信光纤有 良好相容性，易与其它光波导集成等优点，是光子集成系统的关键器件。由于其 成熟并完善的理论基础，作为性能优越的基础光器件，单模光纤光栅己被投入到 广泛的应用之中并获得了成功，成为光纤通信领域关键的器件之一。它作为高性 能的滤波元件，在光纤光栅激光器1 1 9 1 、密集波分复用器( d w d m ) 1 2 0 1 、光分插复 用器( 0 a d m ) 2 1 】、波长转换器【2 2 , 2 3 、光终端复接器( o t m ) 扛4 】和色散补偿器【2 5 - 2 7 1 等全光网络关键元器件中获得了重要应用，并被广泛应用于对光信号进行的空间 和频率调制、模式变换、激光锁模、脉冲压缩、通道滤波、光纤传感、光纤放大 器增益平坦等【2 8 。3 3 1 。 多模光纤光栅不但具有单模光纤光栅的各项特性，还具有自身特有的优点： ( 1 ) 很容易与光源耦合，用多模光纤光栅代替单模光纤光栅可以降低产业化的成 本：( 2 ) 具有多峰结构的特点，能够提供给人们更多的信息，同时可以用来解决 一直困扰单模光纤光栅温度与应力交叉敏感的问题及光纤光栅解调中匹配光栅 易受外界因素影响的问题，这对于光纤传感是很有利的【3 4 1 ；( 3 ) 由于孔径大易耦 合，可以承受较大的可恢复应变；( 4 ) 波长调谐范围大。因此，多模光纤光栅技 术在近几年里得到了很大的重视 1 3 - 1 8 1 。 由于模式色散限制了多模光纤的通信传输距离，故而对于多模光纤光栅的研 究意义主要集中在利用多模光纤光栅制造传感器的新设想和新的解调应用【”l ， 并且，基于多模光纤光栅技术的色散补偿器和滤波器在短距离通信系统中也体现 了很大的应用前景【。本文首次提出把各向异性材料用于制造光纤光栅的设想， 也为多模光纤光栅在传感、测量领域获得新的应用提供了理论依据。 2 1 光纤光栅用于光纤传感领域 相对于机电类传感器，光纤光栅传感器具有明显的优势，包括抗电磁干扰、 耐高温、体积小、灵活方便等。传统的光纤传感器绝大部分属于“光强型”或“干 涉型”。对于光强型传感器，光源的不稳定、光纤的弯曲或连接损耗、探测器的 老化等因素都会影响测量的准确性。对于干涉型传感器，其信息的读取是观察干 兰州大学研究生学位论文 涉条纹的变化，为得到清晰的条纹，通常要求两光路干涉光的光强相等，而且必 须有一个固定参考点，这给光纤传感器的应用带来了很多的不便。 轴出 图2 1 单根光纤实现多点测量 光纤光栅传感器由于其传感信号直接调制光波波长，且复用能力强的特点而 优于普通的光纤传感器，它避免了强度型传感器由于光源波动、连接损耗以及光 纤弯曲损耗等因素造成的测量精度下降；避免了干涉型传感器中干涉条纹相位测 量的不清晰和对固定参考点的选择；在一根光纤上串接多个布拉格光栅，把光纤 嵌入( 或粘于) 被测结构，可同时得到几个测量目标的信息，并可实现准分布式 测量( 如图2 1 所示) 。例如通过实时测量应力、温度、振动等传感信息，以同 时进行建筑物健康检测、冲击检测、形状控制和振动阻尼检测时，光纤光栅传感 图2 2 光纤光栅传感器的应用框图 4 兰州大学研究生学位论文 器是最理想的灵敏元件。 当光栅发生应变时，由于弹性形变光栅的周期将发生改变，并且由于光弹效 应使纤芯的折射率变化，这将引起中心波长的变化。实验也同时表明，光栅中心 波长的改变与光栅应变成良好的线性关系。测定光栅的中心波长的改变量，即可 计算应变和( 或) 温度。通过适当转换，这一现象就可以用来传感多种物理量和 化学量等。如图2 2 所示，光纤光栅在传感技术，尤其是利用光纤应变敏感性间 接测量物理量方面大有发展潜力。 目前限制光纤光栅传感器应用的最主要障碍是传感信号的解调，正在研究的 解调方法很多，但能够实际应用的解调产品并不多，而且价格较高，市场呼唤廉 价、高效解调产品的出现其次，光纤光栅传感器应用中的其他问题也非常重要， 如：( 1 ) 由于光源带宽有限，而应用中一般要求光栅的反射谱不能重叠，因此可 复用光栅的数目受到限制；( 2 ) 如何实现在复合材料中同时测量多轴向的应变， 以再现被测体的多轴向应变形貌；( 3 ) 如伺实现大范围、高精度、快速实时测量； ( 4 ) 如何正确地分辨光栅波长变化是由温度变化引起的还是由应力产生的应变引 起的等。( 5 ) 光纤光栅传感器的实际应用研究，包括封装技术，温度补偿技术，传 感器网络技术等。有效地解决上述问题对二于实现廉价、稳定、高分辨率、大测量 范围、多光栅复用的传感系统具有重要意义，这些都有待发展。美国、德国、加 拿大、英国等都在致力于新型光纤光栅传感器及解调系统的研究，我国对光纤光 栅传感器的研究相对晚一些，但已经有了较大发展，随着实用、廉价的波长解调 技术进步发展和完善，光纤光栅传感器必将在市场上开辟出一片新的天地。 2 2 光纤光栅用于色散补偿 光纤光栅的另一个应用是补偿光纤中的色散，光栅作为具有选择性的光学延 时线，能调节同一脉冲中不同波长成分的渡越时间，使它们近乎相等。如何低成 本、高效率地对已经广泛铺设的常规单模光纤通信系统的色散进行补偿已经引起 了人们极大的关注【2 5 。2 7 j ，光纤光栅作为新型的光子器件，其优异的性能决定了它 可用作波分复用( w d m ) 系统的色散补偿器，不同种类的光纤光栅可以补偿不同 的色散。已见诸报道的可形成色散补偿器的光纤光栅有：啁啾光纤光栅( c f g ) 、长 兰州大学研究生学位论文 周期光纤光栅( l p o ) 、均匀周期光纤光栅、取样光纤光栅( s f g ) 和切趾啁啾光纤光 图2 , 3 形象说明了间隔不同的一连串光栅能作为延时线补偿色散，这简单 的补偿方案能校正单个光信道中的色散。用于w d m 系统中其余光信道的色散补 偿的光栅可沿光纤光栅堆积在不同位置，或将信号解复用，并把波长路由到各自 的色散补偿器中。 光栅阆隔增大 = 二= j 二= = # = 二二= ；r i 二：- 二：二：r ：二：- 。一 jj 矗被反射五被反射 也被反射五被反射 对厶的延迟最大 图2 , 3 光纤光栅作为延迟线 2 , 3 光纤光栅用于光滤波技术 密集波分复用光网络的不断演进带动节点器件技术的飞速发展，光滤波技术 作为其中的关键技术之一已不仅仅是原来狭义的复用解复用器的概念，其涵盖 的范畴越来越多，包括光分插复用( o a d m ) 、光交叉连接( o x c ) 、增益平坦滤波 ( g f f ) 、色散补偿( d c ) 、泵浦合波器( p b c ) 、动态增益均衡器g e ) 、波长锁定器 ( w a v e l o c k e r ) 等。滤波手段层出不穷，多腔介质膜滤波器( m d t f f ) 、阵列波导光 栅( a w g ) 、光纤布拉格光栅( f b g ) 、熔融拉锥器件( f b n 、奇偶交错滤波器 ( i n t e r l e a v e r ) ，此外还有声光可调谐滤波器( a o t f ) 、闪耀光栅、全息光栅、全光 纤m a r c h z e h n d e r 干涉仪滤波器和全光纤f p 腔滤波器等。这些滤波技术随着人们 追求的目标而发生着改变，从窄信道间隔、大自由语域( f s r ) 、高边模抑制比到 现如今的平顶( f a t t o p ) 频响、动态可调谐、低色度色散和偏振模色散，各有市场， 6 兰州大学研究生学位论文 互相补充，长期共存。总之，在系统需求的刺激下，光滤波技术在不断进步。 利用光纤光栅在光纤上形成的布拉格光栅对光波选频，可以在较窄的谱线上 产生很强的光反射。基于光纤光栅这种选频特征的光滤波器成为光纤通信中一种 重要的无源器件，使全光纤器件的研制成为可能，因而所谓的全光纤一维光子集 成( 即将各种全光纤器件集成在一条光纤里，形成诸多集成型光纤信息系统) 也 将成为现实。 用于w d m 系统的f b g 滤波器有两种典型构形，其中种构形是将单个f b g 与一个循环器相结合，另一种构形是在由两个光纤耦台器构成的m a e h z e h n d e r 干涉仪的两个臂中插入两个f b g 。b r a g g 波长信号被这两种构形的滤波器反射， 而其它波长的信号则以低损耗通过滤波器。因此，f b g 滤波器可作为具有低损 耗和宽平坦顶部通带的o a d m 滤波器。通过将这种单元结构进行级联，可构建 复用解复用器。这些器件有非常低的损耗( o 1 d b ) 、低的振幅相关损耗( p d l ) $ b 低成本封装特性。f b g 滤波器用途很多，不但用于复用解复用器和波长通道的 插分复用，而且还用于多波长发射机与接收机，进行光纤色散补偿、e d f a 增益 的平坦、监视与控制等。 图2 4 光纤光栅构成的多波长插分复用器 图2 4 为全光纤的多波长插分复用器。图中虚线左边部分是由一个3 d b 耦合 器和两个完全相同的光纤光栅组成的m i c h e l s o n 干涉仪，虚线右边连同第二个3 d b 耦合器构成一个m a t h - - z e h n d e r 干涉仪。当多波长信号p ( ，如九丸) 进入端口 l 时经耦合器分成强度相等的两路信号，分别人射到两个光纤光栅上，其中波长 为厶的信号被光纤光栅反射回输入端。调整两臂之间的光程差，可使从端口l 来 的信号除屯外，全部从端 2 1 4 输出，如果由端口3 输入厶信号，经由两个光栅反 射，和端口l 来的信号合在一起从端1 ：3 4 输出。在端口1 入射的两部分信号通过光 兰州大学研究生学位论文 输入p ( ，五：丸) 信号，复用信号p ( 五。如兄，一以) 就会出现在端h 2 a 。 3 理论研究 3 1 数学模型 元= 融l 图2 1 光纤布喇格光栅横截面 、 c l a d d i n g i c o r e ijjc l a d d i n ：q 垮 一l _ i 图2 2 光纤布喇格光栅纵截面 定义：”为包层横向折射率，且有 n 。= 胛。= 胛， ， ：为包层轴向折射率，归一化频率矿为 y = 威厢= a k n d n a 为数值孔径，且： n a = 蹄 主轴折射率比忽，为 k ：n z 门l 简单起见，我们研究无啁啾均匀折射率变化的情形，即 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 兰州大学研究生学位论文 6 n 扣) = 耐1 0 s ( 和 咿( = ) = 劫玎l + v c o s ( 2 ) i 怕， j 石为“d c ”折射率变化，v 为调制深度， j 舂折射率为 n ( z ) = o 十占聍咿( 三) a 为光栅周期。则在光栅区域内，纤 ( 6 ) 假设l 长的光栅内有个周期的折射率变化，则 ：三 ( 7 ) a 。一n l f j 3 2 利用麦克斯韦方程分析理想正规模 3 2 1 理想正规模纵向场分量的推导 无折射率周期性扰动的光纤可以看成是理想的规则波导，其纤芯和包层2 个 区域内电场和磁场的纵向场分量分别满足如下波动方程口5 1 ： j ( v ；+ 七2 n ：一声2 ) e = = o( r a ) ( 9 ) i ( v ；+ 七：n ? 一卢：) a ：0 式中七为真空中的波数，鼻为传播常数。 v ，= 去p 争+ 磊= 等+ 去+ 磊 c ， 利用分离变量法对上述方程进行求解，过程如下： 纤芯中波动方程的解 当r k2 砰，( 2 7 ) 式为虚宗量贝塞尔方程。令横向归一化衰减常数为 w = n 扫研 ( 2 8 ) ( 2 7 ) 式解为 r ( ，) ：c o l 。( k c t w ，) + d o k 。( k c | w ，) ( 2 9 ) 式中i 。为第一类整数阶虚宗量贝赛尔函数，k 为第二类整数阶虚宗量贝赛尔函 数。 当r 斗时，i m ( k c k w ，) 斗，所以c o ：0 即 删：d o k 。( 堡竖，) ( 3 0 ) 把( 3 0 ) 式代入( 2 3 ) 式可得 p ：c k 。( k d w ，弦”。 ( 3 1 ) 同理 ：d k m ( wr 弦”8 ( 3 2 ) 3 2 2 纵向场法求解理想正规模场表达式 由无源介质中的麦克斯韦方程 3 6 】 v h = v i = 兰州大学研究生学位论文 可得横向场与纵向场得关系式为： 铲一去( 鲁+ ，掣。了m p 目= h r = - 再j 。i o h 一胁 忙 ( 半吃+ t o ea 西e z 一) 一，嬲k ，巳 = j a ，- i 。防，h 。h z 】 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 其中 k ? = k 2 ? 一2 ，脚标i 为0 ，t 。在纤芯里，k ? = ( u a ) 2 ；在包层 里，k , 2 = 一( w a ) 2 。 分别把( 2 0 ) 、( 2 1 ) 和( 3 1 ) 、( 3 2 ) 带入( 3 5 ) 式，可得2 个区域内的场分量分别 为 ：j j a i l i 2 u ：j 尘塑 lu 2 ， ：仙拦 口 扯，掣a 矿k 卜堡u 斧虬c 旦a 巾8l 口 j ， i 矾c 等啦，盼k p y ) e j r n 8 l叫，a一七舡。 一a一卯l叫，a一加以 l叫，o一出生一a一阳l叫，a一却q 堕西 必 一 学、万 咋 巳 2 兰州大学研究生学位论文 驴 一等扯 叱劫 一鲁矾c 圳e 舢 筹砜盼等扯蜘吨“纠卜 也：b j 。( 旦，) p 一。 d ( ， 口) 式中a ，毋e 口为待定常数，c o 为光的圆频率，r 。为真空中的电导率， 芯中的电导率，。为真空中的磁导率。 3 2 3 理想正规模的特征方程 在，= 口的界面上， 由于e ，与h z 连续，即 爿厶( = c k 。( k c , r ) b j m 唧1 = d k m 哪、 所以c = 一器 d ：b 玉堕 k 。( 缈) ( 3 7 ) s 为纤 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 4 0 ) ( 4 1 ) 兰 k l 大学研究生学位论文 由于与连续，并代入( 4 0 ) 、( 4 1 ) 两式，可得 这是一个关于a 和b 的线性方程组，要使a 和b 有非零解，其系数行列式必为 零，即 i m f l 。矿1 + 矿1 ) ；( d e oi 九j ，。( u ) 。h ? 屯世。( 。f 形) i 。口j ( u )w k 。( k 矿) i ，! 监l 厶! 塑+ 墨! ! 堕i 。d 1w 。( u ) w k 。( 形) l m 口2 、矿1 + 尹1 上式经过化简，可得特征方程为 f l 蔫揣+ 篙鼢旧m 2 q u j w kk c 参+ 刍w1 月? 足“ 。( u ) 。( 。矿) ik 、n ? u 2 ” 式中，：! ! ! 竺! + 垦! ! ! ! u j ，( u ) w k 。( 矽) q = 古+ 古 3 3 利用耦合模理论讨论光栅的耦合 = 0 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 3 3 1 电磁场横向分量的麦克斯韦方程 在介质光波导中，把电磁场分解成横向和纵向分量，分别用豆。、a 。和e ：、 a z 表示3 7 1 置= e 。+ 乏e ：= 童。+ 五： ( 4 7 ) h 一= 豆+ 艺也= h 一，+ h 。： ( 4 8 ) 同样，v 算符也可以分解成横向和纵向算符 4 堂鸭争 器别 ，矧00一小 0 一 一t誊 _， ，一 曲 塑扣迎 + ，一一v 拇雠 兰州大学研究生学位论文 v ：v ，+ 乏昙 ( 4 9 ) 根据旋度的定义，电场和磁场的旋度用横向和纵向分量表示为 ( v 。五) 。：v 。j ：+ i 娑 o z ( v x j ) ：= v ，互 式中j 可代表丘或厅。将( 4 2 ) 、( 4 3 ) 式代入下面的麦克斯韦方程中 v x 豆：一丝 部 v 。膏：丝 a f 并利用o 8 t = - ，可得电磁场的纵向分量 ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 同时，可以得到电饺物梗同分萤嗣麦兑舯韦) j 程 一( 去卜v 。垴，+ ( t 譬 啦属巨 ， ( 志卧卟卜静砸舶 ， 3 3 2 理想规则波导模式及其特性 因其折射率与z 无关，可以假设规则波导导模的z 坐标函数仅为e x p ( 一埚= ) ， 导楼的场轰沃式为【3 8 】 e i = i ! e x p ( 一j p l 曲 西l = 瓦e x p ( 一j f l t z ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) 式中略去了因子e x p ( j f ) ，下脚标l 表示模序，对导模是分立的整数，传播常数 k 广k 丁 一麻上掣 、志怯 兰州大学研究生学位论文 屈是实数。显然，规则波导导模的爱克新韦- 方程分量彤式为 ( 去 v 瓦 ， 珏_ ( 去 v f 毛 ， 规则波导导模横向分量满足 一( 去 v ，印，蛾h 卢，晓砥) = 慨即2 - - n 池， 陆，厩卜阮乒砸赢 ， 规则波导导模具有正交性和完备性【3 9 j 。 正交性可表示为： ( 瓦，露艺蚴= 2 p 6 v ， ( 6 4 ) 式中v 和分别是正反向传输的导模的模序数，y 、取分立值，屯为克 罗内克尔符号。 完备性可表示为： 巨=。，瓦(65) 厅，= 岛丘， ( 6 6 ) 式中日，和6 ，是展开式的系数，又叫耦合幅度，是关于z 的函数。 3 3 3 耦合模振幅方程 将( 6 5 ) 、( 6 6 ) 代入( 5 6 ) 、( 5 7 ) j 珂式，再利用规则波导导模的横向麦克斯韦方程 ( 6 2 ) 、( 6 3 ) x 式可得到 珊警) 脚，如卜伽0 ( 2 - r 跏卡 ， 北警 懈扣啪+ ( 击卜睁扣嘁， = o 1 6 兰州大学研究生学位论文 将( 6 7 ) 式两边点乘瓦，( 6 8 ) 式 秀边点乘虻。，然后在无穷大平面上积分，利用导 模的正交性( 6 4 ) 式，可得 i d b u + 矾= 2 莩瓦 ( 6 9 ) i c l a p + 矾6 ，= 2 ； ( 7 0 ) 式中 瓦，= 器( ”2 一n 撅k 蚴 ( 7 1 ) 一一4 j c a e o p 妒，陋扣t ， 蚴 ， 式中的p 为入射光功率，一和y 都可以从0 到m 变化，式( 6 9 ) 、( 7 0 ) 分别描述了 电场和磁场的0 阶导模到y 阶导模的耦合，瓦，和瓦，则分别描述了阶导模与v 阶导模之间电场和磁场之间的耦合程度。 3 3 4 耦合模振幅方程的振幅系数 在无耦合，即瓦，= o 和瓦，= o 的情况下，( 6 9 ) 和( 7 0 ) 式变为 d b ， 苦+ 矾2 o ( 7 3 ) a a 二d z + 以吒2 0 ( 7 4 ) 将( 7 3 ) 式代入( 7 4 ) 式或者反过来代入可得 可d 2 a u + 或= 。 ( 7 5 ) 可d 2 b , + 霹6 ，：。 ( 7 6 ) ( 7 5 ) 式的解为 口，= 口= c 譬e x p ( 一j f l u z ) ( 7 7 ) = 口 = c 1e x p ( j f l u z ) ( 7 8 ) 可以看出耦合幅度口。，是行波，( 7 7 ) 式代表沿+ z 方向传输，( 7 8 ) 式代表沿z 方向 1 7 兰州大学研究生学位论文 传输。c 和c 是正向和反向行波系数n 将( 7 7 ) 和( 7 8 ) 式带入( 7 4 ) 式可得 6 7 ) - c e x p ( - j 色z ) = 口 ( 7 9 ) 6 f ) ：一c e x p ( j f l ) = 一日 这样，日。和6 。可以看成是由正、反方向传输的两波组合而成，即 = 盘? + 盯= c e x p ( 一垆p z ) + c e x p ( j , b , , z ) b 。26 ：”一6 j 2 。；e x p ( 一j f z ) 一c p t - 。e x p ( j p z ) 把上两式带入( 6 9 ) 和( 7 0 ) 式得到 譬+ 碑_ f 譬卅店， ：口l + ，) 譬+ 矾+ f 譬一矾 = z 砌站， 上两式相加和相减可得 譬= 一矾日 莓盼+ 丘洲一j 】 型d z = j 纠十莓鼢a 卜k 洲) 1 ( 8 0 ) ( 8 1 ) 已知无耦合时c 譬1 和c # 1 是常数，而有耦合时c ：j 和c p 是z 的函数。令( 7 7 ) 和( 7 8 ) 式中的c 譬= c ( z ) ，c ，( - = c 扩( z ) ，并带入耦合方程( 8 6 ) 和( 8 7 ) 式，则有 譬= 莓 磷+ q e x p u ( 鼠一p v ) z 】+ 鬈1 。c ：- ) e x p ，( 以+ 屈) 揶 ( 8 7 ) 笔 = 军 k 墨+ ) c ( + ) e x p 卜，( 凡+ a ) z 】+ k 墨- ) c e x p 卜j ( 色一声加】) 式中的足墨“，世墨一，世嚣“，芷墨一统一用足嚣刖表示为 k t = p k 。+ q k v 式中上脚标口g 表示+ ，在瓦，和瓦，前的p 和q 代表+ 1 和一l 。 ( 8 8 ) ( 8 9 ) 昭 船 阱 踮 踮 兰州大学研究生学位论文 3 3 5 耦合系数的计算 利用( 7 2 ) 式经积分运算，并根据麦克斯韦方程把五变成t ，可以得到 暴攻种2 一7 0 一) e 。：乜姗 ， 由于 1 v s n e f f l 一：垒一 3 8 2 ，因此，根据 确定v 的取值，即确定了相应的工作波长，从而决定了光纤中模式的多少。图中 所反映的模式传播特性和截止特性与单模光纤几乎一致，这也说明单模光纤和多 模光纤的结构类型并没有本质的区别，只是运用状态不同，应用范围不同而已， 兰州大学研究生学位论文 另外，研究中还发现一很大的不同在于多模光纤的变化曲线受到k e l 的影响较之 单模光纤并不是很大，这在后面的研究中也可以看到。 5 2 低阶模式h e 2 1 模的特性分析 给定光栅长度工、周期a 及芯径a ，当k e l 敢值为1 时，即在常规多模光 1 5 5 1 3，5 5 ，4 z ( n m ) 图5 2k c l = 1 时，h e 2 1 模反射率月随数值孔径n a 的变化曲线 ( n a 由左至右分别为1 ，0 1 ，0 0 5 ，0 0 2 ) = 1 4 6 ，a = 6 2 5 ，三= 1 0 6 c m ，a = 2 0 0 0 0 纤光栅下，应用( 4 4 ) 式求出传播常数，将其代入式( 9 6 ) ，( 9 8 ) 及( 9 9 ) ，令调制深 度v = l ，求出耦合系数霞。，及参数盯和, 2 ，再由式( 1 0 6 ) 求出反射率r 随波长的变 化曲线。改变儿鲐q 值如图5 2 所示，可以看到当 阻从1 减d , 至w j0 0 2 时，反射 率变化曲线的形状和大小几乎不随n a 发生改变，而其位置却随着n a 的不同而 发生了平移，憎越小，平移的程度就越大，也就是说，反射率曲线在小的数值 孔径下移动较为明显，而在大数值孔径下，反射率的变化曲线几乎不发生改变。 由数值孔径他d 对于反射率曲线的影响，可以看出模式越多，模式的改变量对光 纤光栅的影响就越小。 图5 3 ( a ) ，( b ) ，( c ) 从另一个方面反映了k c l 对反射率随波长变化曲线的影响。 给定光栅长度三、周期a 及芯径a 等各个结构参数，分别取n a = o 0 2 ，0 0 5 和0 2 ， 画出反射率随波长变化的晦线。可以看到m 越小，k c l 对反射率曲线的影响就 兰州大学研究生学位论文 x ( n r n ) 线的影响 线的影响 1 5 5 121 5 5 131 5 5 141 5 5 15 九( n m ) 图5 3 ( c ) n a = 0 2 时，k c l 对h e 2 1 模反射波随波长变化曲线的影响 兰州大学研究生学位论文 越大，当m 取o 2 时，k c l 几乎对反射率曲线没有影响。也就是说，当光纤光 栅中存在的模式数量越少，k c l 对光纤光栅的影响就越是强烈，在大芯径大数值 孔径的多模光纤光栅下，反射率随波长变化曲线几乎不随k c l 的变化而变化。从 图5 3 ( a ) 中还可以看出，k c l 不同也会使反射率曲线相对于k c l = 1 ( 对应常规多模 光纤光栅) 的位置发生平移，k c l 时曲线右移，在n a 较小 的情况下，k c 1 时曲线移动程度对k c l 的变化更为敏感，而当n a 较大时，情 况却恰恰相反。说明k c l 的值基本不影响反射率曲线的形状，而仅仅改变布拉格 波长五。的大小，且k c 1 时对如影响的程度不同。 ，_ 、 吕 口 矗 图5 4h e 2 1 模参数k c l 和批4 对布拉格波长的影响 给定光栅结构参数a = 6 2 5 ，= 1 4 6 ，l = 1 0 6 c m 和a = 2 0 0 0 0 ，当分别改 变n a 和k c l 的取值，通过式( 4 4 ) ，( 9 6 ) ，( 9 8 ) ，( 9 9 ) 及其( 1 0 6 ) 式可以得到布拉格波长 随参数变化的三维曲线如图5 4 所示，布拉格波长随m 4 的增大而减小，随k c l 的 增大而增大。图5 5 ，图5 6 进一步反映了这一特性。如图5 5 所示，当n a 小于0 1 时，l 阻的微小变化都会引起布拉格波长的改变，而当m 4 大于o 1 时，布拉格波 长变化曲线趋于缓慢，在大数值孔径下，布拉格波长几乎不发生改变；也就是说， 光纤光栅中，模式数量越多，布拉格波长的变化越不明显。如图5 6 所示，布拉 兰州大学研究生学位论丈 1 5 5 13 8 1 5 5 13 7 0 4 图5 5h e 2 1 模布拉格波长随j 阴变化的曲线 1 5 5 13 6 6 1 5 5 13 6 4 1 5 5 13 6 2 1 5 5 13 6 0 1 5 5 13 5 8 1 5 5 13 5 6 1 5 5 13 5 4 2 f - - 15 5 13 5 2 c 1 5 5 13 5 0 、1 5 5 1 3 4 8 矗1 5 5 13 4 6 1 5 5 3 4 2 1 5 5 13 4 0 1 5 5 13 3 b 1 5 5 13 3 4 0002u4u5q8 1u1 2 14 1 182 口 k c