（应用数学专业论文）齐型空间上某些算子的有界性.pdf

信息工程大学硕士学位论文 摘要 齐型空间( 彤，d ，p ) 是指集合j r 上赋予一个拟度量d 和一个非负，正则b o r e l 测度p 并且p 满足双倍性条件，即存在常数e 1 使得对任意的。彤和r o ， p ( b 仕，2 r ) ) c p ( b 扛，r ) ) o 。 其中b ( z ，r ) = 他彤：d ( z ，v ) r ) 是以为中心、r 为半径的球。 本文主要围绕齐型空间上奇异积分算子和分数次积分算子的有界性展开，考虑了极大 奇异积分算子的加权有界性，给出了带非光滑核的奇异积分算子及分数次积分算子的双权、 弱型估计，还建立了与b m o 型函数空间( b m o ( 彤) ) 相关的内插定理。具体工作如下： 第二章的主要工作是，当奇异积分算子的核函数关于一个变元满足h 6 l d e r 光滑性条件， 而关于另一个变元满足h 曲m a n d e r 光滑性条件时，利用与踟e 衄a n - s t e m 的s h p 极大 算子有关的加权不等式和c 0 t l a r 不等式，在齐型空间上建立相应的极大奇异积分算子关于 任意权的加权不等式。应该指出，这部分的结果所需的核条件比标准c a l d e r 6 n - z y g m l l n d 核 的条件要弱，且即使在e u c l i d e a n 空间，也是新的。 第三章致力于在齐型空间上建立分数次o r l i c z 极大算子的双权、强型估计，并给出两 个应用。这两个应用是分别给出了带非光滑核的奇异积分算子和分数次积分算子的双权、弱 型不等式，即对于1 psq 0 弘( b 忙，2 r ) ) c 肛( b ，r ) ) o o ， w h e r e b ( z ，r ) = b 彤：d ( z ，可) r i s t h eb a l lc e n t e r e da t 锄d h a v i n gr a d i u sr t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h eb o 吼d e d n 髑so fs i n g l l l a ri n t e f a lo p e r a t o r sa n dt h e 奇a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ro ns p a 储h o m o g e n e o i i st y p e ，a n do b t a i nw e i g h t e dn o r mi n - e q u a l i t i e sf o rt h em a 撕m a ls i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r 8a n dt w o w e i g h t ，w e a kt y p en o r m i n e q u a l i t i e sf o rs i n g l l l a r m t e g r a lo p e r a t o r 8w i t hn o n _ s m o o t hk e m e la i l dt h e 矗a c t i o n a li n t e - g r a lo p e r a t o r i ti sa l s | o 百v e nn e wi n t e r p o i a t i o nt h e o r e m s0 fo p e r a t o r sr e l a t e dt ot h ef l l n c t i o n s p a c eo fb m ot y p e ( b m o a ( r ) ) t h em a j n w o r ki s 蹈f o u o w 8 t h e p u r p o s eo fc h a p t e r2i st o 铭t 8 b l i s hw e i g h t e dn o r mi i l e q u a l i t i e sw i t hg e n e r a lw e i g h t s f o rt h em a 血m a is i n g u l a ri n t e 鲜a lo p e r a t o r so ns p a c 岛0 fh o m o g e n e o i l st y p e ，w h e nt h ea 8 - s o d a t e dk e r n e ls a t i s 6 e sah a r m a n d e rr e g 叫盯i t yc o n d i t i o no no n ev a r i a b l ea n dah 6 l d e r r e g i i l 撕t yc o n d i t i o n0 nt h e0 t h e r 、，a r i a b l e a p p l y i n gaw e i g h t e dn o 册i n e q u a l i t yi n v o l v i n g t h ef 宅珏e r m a n - s t e i ns h a r pm 幽缸叩e r a t o ra n dac o t l 孙咖ei i l e q u a l i t y i ti 8p r o v e dt h a t t h eb o u n d e d n e 昭i sc o n t r o u e db yt h en e r a t i o no ft h eh a r d y _ l i t t l e w o o dm a 越m 出o p e r a t o r i nt h i sw o r k ，t h er e g l l l a r i t yc o n d i t i o no nt h ek e r n e li sw e m rt h a nt h a to nt l l es t 髫n d a r d c a l d e r 6 n - z y 鲫l u l dk e r n e l ，a n de v e nf o rt h es e t t i n go fe u c h d e a ns p a c e ，t h er e 8 u i t si n t h i s c h a p t e ra 鹏n e w c h a p t e r3d e a l s 丽t hat w o _ w e i g h t 鼯t i m a t ef 缸f r a c t i o n a lo r u c zm a 撕m a lo p e r a t o ro n s p a o 豁o fh o m o g e n e o l l st y p e ，a n d 舀v e st w o 印p l i c a t i o n so ft h i se s t i m a t e t w o - w e i g h t ，w e a l 【 t y p en o r mi n e q u a l i t i 器a r ee s t a b l 曲e df o rs i n g i l l a ri n t e g r a l 叩e r a t o r 8w i t hn o n - s m o o t h 妇n e l a n d t h e f r a c t i o n a l i n t e g r a l0 p e r a t ，8 印a r a t e l y ，t h 8 t i s ，f o r l p g o o ，t h e o p e r a t o r s i n q u 器t i o na r eb o u n d e d f r o mp ( 彩，u ) t o 伊，( ，p r o v i d e dt h a tt h ep a j ro fw e i g h t 8 ( “， ) v e d 丘鹤a n 如t y p ec o n d i t i o nw i t ha i l “o r l i c z _ b 啪p ，0 nt h ew e i g h tt i nt h i sc h a p t e r ，姐 e n d p o i n te s t i r r 魄t ew i t hg e n e r a lw e i g h t si s0 b t a i n e df o rt h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r t h e r 鹤u l ta b o u tt h ef r a c t i o n a li n t e 口a lo p e r a t o rn o to i l l yi m p r d 、髑ar e s u l td u et om 越e u ，b u t a l s oi 8n e we v e nf o rt h es e t t i n gd fe u c u d e 肌s p a c e c h a p t e r4i sc o n c 锄e dw i t hi n t e r p o l t i o nt h e o r e i n so fo p e r a t o r 8r e l a t e dt ob m ( h ( j 旷) i n t r o d u c e db yd u o n ga n dy a n ，w l l i c hi 8b e t w e e n 日1 ( 彩) a n db m o ( 彤) ，p ( 彤) p ( 1 ，o 。) ) a n db m o ( 影) 灿a na p p l i c a t i o n ，w e8 h o wt h a ti ff o rs o m eq ( 1 ，o 。) ，s i n g l l l 盯 第1 页 信息工程大学硕士学位论文 i n t e g r a lo p e r a t o rw i t hn o n - s m 0 0 t hk e r n e li 8k 皿d e d 如mp ( ) t o 口印( ) ，t h e i lp ( 彤) 一 b o u n d e d n e 鹤p ( 吼o o ) ) 0 f t h i so p e r a t o rf o l l o 孵扫o mo l l rr e s u l t sd i r e c t l ym 0 r 踟，t h e s e i n t e r p o h t i o nt h e o r e m 8i m p r o v et h ef e s u l to fd u o n g 龃dy 抽 k e yw o r d s ：s p a c eo fh o m o g e n e o u st y p e ，s i n g u l a ri n t e g r a l ，m 嫡m a lo p e r a t o r ，w e i g h t e d n 0 r ml n e q u a h t y n o n s m o o t hk e r n e l ，n a c t l o n a li n t e f a lo p e r a t o r ，b m o a ，i n t e r p o l a t i o n 7 r h e o r e m 第页 原创性声明 本人声明所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写 过的研究成果，也不包含为获得信息工程大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 学位论文版权使用授权书 本人完全了解信息工程大学有关保留，使用学位论文的规定。本人授权信息工程大学 可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借 阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目： 聋型莹! ：司兰盎坚耸壶盥揭霉整 日 日 信息工程大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 分析理论中的许多重要问题最终都归结为算子在函数空间上的性质，因此。研究算子 在函数空间上的性质，一直是调和分析，偏微分方程、泛函分析、多复变函数等诸多领域共 同关注的问题。从二十世纪五十年代c a l d e r 6 n 和z y 鲫l l r i d 创立第一代c a l d e r 6 m z y g i i l u n d 奇异积分算子到今天，奇异积分算子理论已经成为一个非常广泛的研究领域。关于奇异积 分算子的研究已有很多著名结果，并产生了巨大影响。1 9 7 1 年，c o i f n l a n 和w e i s s l l 】提出 了一个比e u c l i d e a n 空间更具一般性的空间一齐型空间，也就是后来所谓的c o i f m a n w 幽8 意义下的齐型空间。此空间是在一个集合上装备了拟度量和双倍测度，是比e u c l i d e a n 空 间更广泛的空间，同时e u c l i d e a n 空间又是最典型、最常用的齐型空间。e u c h d e a i l 空问上 的l i p s c l l i t z 曲线与曲面、m e m a n n 流形及h e i s e n b e r g 群在赋于适当的测度与度量后都是 齐型空间。由于齐型空间上没有平移与展缩的群结构，所以其上的调和分析需要有不同于 e u c l i d e a n 空间的方法与技巧。 三十多年来。齐型空间上的奇异积分算子理论己取得许多成果。齐型空间上著名的 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 理论【l 】告诉我们：若c a l d e r 6 n - z y g f n u n d 奇异积分算子的核函数满 足h 6 r m a n d e r 光滑性条件，则对任意的p ( 1 ，o 。) ，此算子是口( 形) 上的有界算子且是 l 1 ( 彤) 到工1 t o o ( 形) 有界的。当c a i d e r 6 n z y 鲫u n d 奇异积分算子的核函数满足标准的尺 寸条件和h 6 i d e r 光滑性条件时。p r a d o l i n i 和s a l i n a s ( 2 i 建立此奇异积分算予关于任意权的 加权有界性( 被h a r d y l i t t i e w d o d 极大算子的迭代所控制) 。胡国恩等i 目研究了一类奇异 积分算子的极大算子的驴( 彤) ( p ( 1 ，o o ) ) 有界性，并证明如果这类奇异积分算子的核函 数满足一定的尺寸条件和h 研m 舢l d e r 光滑性条件，则此奇异积分算子的l 2 ( 形) 有界性蕴 涵着其极大算子的p ( 彤) 有界性和弱( 1 ，1 ) 型有界性。 齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子是一类非常有意义的算子，它和线性椭圆算子 的全纯泛函演算、流形上的瞰e s z 交换等有密切的联系。d u o n g 和m c i n t o s h | 4 】利用广义逼 近恒等算子在不规则域上引入了带非光滑核的奇异积分算子，并获得此算子的弱f l ，1 ) 型估 计和( 形) 0 ( 1 ，) ) 有界性。m a r t e uf 5 】考虑带非光滑核的奇异积分算子的加权估计， 得到对任意的p ( 1 ，。o ) 和权函数加a ，此算予在扩( 彤，锄) 上有界以及对任意的权 伽4 l ，此算子是三1 ( ，叫) 到l 1 ，”( 彤，叫) 有界的( 其中如扫21 ) 是m u c l 【e n h o u p t 权 函数类，其定义和性质可参阅文1 6 j ) 。值得注意的是，文【5 】还引入了与“逼近恒等”相关的 s h 盯p 极大算子( 在某种意义下，此算子比f 钮j 衄a m s t e j j l 的s h a r p 极大算子要小) 。借助于 此s h a r p 极大算子，d u o n g 和y 缸跚建立一个新的b m o 型函数空间，即b m o ( r ) ( 在 某种意义下，此空间比古典b m 0 ( j 旷) 要大) ；并建立一个p ( j r ) 与b m o ( ) 之间的内 插定理，即若次线性算子在p ( 彤) ( p ( 1 ，o o ) ) 上有界且是l 。( 彤) 到b m o a ( 彤) 有界 第1 页 信息工程大学硕士学位论文 的，则对任意口( “o o ) ，此算子是即( 髟) 上的有界算子最近，胡国恩和杨大春l 目推 广了m a r t e n 【5 】的与“逼近恒等”相关的s h a r p 极大算子，并分别给出了带非光滑核的奇异 积分算子、此算子与b m o ( r ) 函数生成的交换子以及此算子相应的极大算子加任意权的 妒( 彤) 如( 1 ，o 。) ) 估计和弱端点估计。 齐型空间上关于分数次积分算子l 的有界性已有一些重要的结果，例如文【9 1 证明了 对l p o ， p p ( z ，2 r ) ) c 0 ( b ( 。，r ) ) o ，有 郎( 洲c ( 1 + 掣) 舻( 叩” ( 5 ) 应该指出的是，由拟度量d 定义的所有球构成的集族满足彤中邻域系的完备性公理， 从而决定了的一个( 可分) 拓扑，但对任意的z 彤和r 0 ，球b ( z ，r ) 关于此拓扑 未必是开集。m a c i a s 和s e g o v i a 【1 q 的一个著名结果表明：存在与d 等价的连续拟度量z 和 8 ( o ，1 ) ，使得对任意的z ，z 7 ，f 万，有 j 反墨暑，) 一放，们j s c 承而一) 9 ( 承墨口) + 面z 7 ，y ) ) 1 一( 6 ) 其中d 与彳等价是指，存在正常数c 使得对所有的z ，有e 一1 d ( z ，f ) s 承髫，口) c d ( 茁，) 而且在由彳诱导的拓扑中，球关于彳总是开集。因此在本文中，始终假定拟度量 d 是连续的且彤中的球均为开集。 l 2 2o r l i c z 空间及l o r e n t z 空间 函数圣：【0 ，o 。) 一【o ，o o ) 被称作y o 叽g 函数，若西是连续、递增的凸函数，且满足 西( o ) = o ，垂( t ) 一o 。o 一。) 易知垂( t ) 肛是递增的。对有界可测集e 和适当的函数， 定义，在e 上的l u x e m b u r g 模为 忖怯胪t 赶 ：志上面( 掣) 撕) 圣( ) = t 1 0 9 ( e + t ) 时，其相应的l t l ) ( e n l b u r g 模记为f f 壮崦l 每一个y 0 t l n g 函数量均有 相应的补函数圣，满足对任意t 0 ， t 圣一1 ( t ) 丕一1 ( t ) 2 t 第3 页 信息工程大学硕士学位论文 成立如下的广义h 6 l d e r 不等式：对任意合适的函数， g 和有界可测集e ，有 高上忡) 9 ( 圳咖( z ) s 圳啦e 更进一步地，文f 1 4 】给出：设西，圣和9 均为y o u n g 函数且满足对任意f o ，皿- 1 ( ) e 一1 ( t ) 圣- 1 ( t ) ，则对任意合适的函数，g 和有界可测集e ，有 0 ，g l i ，esg l i ，0 m ，e5 1 9 0 e ，e ( 7 ) 给定y o u n g 函数垂和口f o ，1 ) ，定义分数次o r n c z 极大算子救。自为 螈，蛋，( 。) = s u p 必( b ) 】o i i ，| | 8 ， 其中上确界取遍所有包含z 的球。为简单起见，我们以a 靠表示争雪( ) = t 时，耽，口 即是经典的分数次极大算子 幺， 帆弛) 。磐赢以i 舡( y ) 对于一个给定的1 蛆g 函数垂，我们称它是双倍的，若存在正常数e 使得对所有的# 0 ， 有西( 2 t ) e 垂( t ) 设p ( 1 ，o o ) ，若存在正常数c 使得双倍y 0 1 l n g 函数西满足 f 警譬呈f ( 丢) ”1 譬 o ：叫( 。彩：l ，( z ) l s ) ) st ) 对a 口( o ，o 。) ，定义 盯她。时： 终篇4 舻黧 所有满足 f 川价t ( f ，。) o ) ， 存在一族有限交的球 岛 j ( 即，x 口，g ) 使得 ( i ) 对任意的j ，m 马( 1 邝c ) l ； ( i i ) jp ( 易) g a 一10 ，i l l ，( 彤) ； ( i i i ) ，= 9 + 6 ，其中b = ，如； ( i v ) 对几乎处处的写，b ( 功isc a ； ( v ) 对任意的j ，8 u p p c 岛，如。b ( 旬咖( z ) = o ，且l l 如肚t ( ) c p ( 马) ， 与e u c h d e a n 空间上的c 出d e r 6 m z y g i n l l n d 分解相比较，此分解引理所获得的球族 马b 是有限交的，满足m 岛( i ，d 以，但不满足m 马( i 朋g a 这在研究奇异积分 算子的端点估计时是不够的。a i n l 【1 目建立的另一种c a l d e r 6 m z y 鲫d 分解弥补了上述 不足。 引理1 3 设( 彤，d ，芦) 是一个齐型空间，是非负可积函数。则对任意的a m z ( ，) ( p ( ) = o o 时，a 2o ) ，存在互不相交的球族 岛b 和常数c 2 l ，使得 k 岛( 厂) a 0 ，v 彩j 月s d 0 ，p ) 2 r 我们称核函数k 满足标准的h 6 l d e r 光滑性条件，即存在正常数e 和町( o ，l j ，使得 i k ( z ，f ) 一( z ，! ，) i c 五t 舌i ；j j ： ：赫，当d ( z ，”) 22 d ( ”，) 时( 1 5 ) 和 i k ( ，茹) 一耳( ，。) lse 五i 蚕i ；_ i ! i 赫，当d ( 。，掣) 2 d ( ，p ) 时( 1 6 ) 我们称核函数k 满足h 研m a n d e r 光滑性条件，假若 s u p l k ( z ，) 一( z ，暑，) i 每肛( 。) 曼c( 1 7 ) 弘，旦j d ( z ，可) 2 d ( 可，f ) 和 s u p i k ( 掣，z ) 一k ( 矿，z ) i d p ( z ) se( 1 8 ) “p 彤j d 知，掣) 2 d ( 玑0 ) 成立。显然，h 6 r m a i l d e r 光滑性条件要弱于h 6 1 d e r 光滑性条件。 当核函数k 满足标准的尺寸条件和上述h 6 1 d e r 光滑性条件时，我们称k 是标准的 c a l d e r 6 m z y g m u n d 核。 l 2 。5 s h a r p 极大算子和b m o 么( ) 空间 对局部可积函数，定义f e 脆r m a n - s t e i n 的s h a r p 极大函数m o ，为 ，( 。) 2 翟云南上i ，( ) 一m s ( ，) | 咄( n 其中上确界取遍所有包含z 的球。对固定的口( o ，1 ) ，定义s h a r p 极大函数删，为 卅，( z ) = ( ( 1 ) ( z ) ) v 4 在文【4 】中，为获得某些r i e s z 变换的弱( 1 ，1 ) 型估计，和线性椭圆算子在不规则域上 的全纯泛函演算的上，( 。彤) 0 ( 1 ，o o ) ) 有界性，d u o n g 和m c i n t o s h 利用下述广义逼近恒等 算子在不规则域上引入了带非光滑核的奇异积分算子。 定义1 1 称算子族 a f o 为“逼近恒等”，如果对任意的 o ，任意的，妒( ) 扫1 ) 和几乎处处的z 影，成立 a t ，( z ) = 口t ( z ，彭) ，( 可) d p ( ) 第7 页 信息工程大学硕士学位论文 其中口t ( 。，掣) 是z 上的可测函数，满足对所有的霸! ，彤和t 0 ， i 。t ( z ，可) i ( z ，) 。石i 翻8 ( d ( 茁，y ) “。一1 ) ，p i 廿婶，“jj 上式中n 是正常数，s 是正值、有界且单减的函数，并对某个 ( 见( 5 ) 式) ，有 l i mr d + 5 s ( r 竹) = 0 为建立带非光滑核的奇异积分算子在口( 舅r ) 中的加4 权模不等式，m a r t e u 【5 j 引入 下述s h a r p 极大算子峨 定义1 2 设p f 1 ，o 。) ，妒( 万) 定义与“逼近恒等” a ) c ) o 相关的s h 印极大算 子为 ， 峨m ) 2 磐志上i 舳) 一a 细m ) i 缸( ) ， 其中上确界取遍包含z 的所有球且幻= 喵，”b 表示球口的半径 借助于s h a r p 极大算子珥，d u o n g 和y m 吲建立一个新的b m o 型函数空间，即 b m o a ( 万) 定义1 3 设p 1 ，o o ) ，峨是与“逼近恒等” a ) t o 相关的s h a r p 极大算子。定义 b m o ( 彤) = ，：，f ( 彤) ， 殁， 0 ，权加和，l 1 ( 彤，m 3 叫) ，成立 ， 加( p 影：r ，( z ) 耐) s 等l ，( z ) l m 3 ”( $ ) 咖( z ) ( 2 0 ) j 注记2 1 众所周知，极大算子p 比算子t 更具有奇异性。因此，( 1 9 ) 式右边h a r d p l i t t l e w o o d 极大算子的迭代次数要大于( 1 8 ) 式右边它的迭代次数。尽管如此，我们仍不知 道估计式( 1 9 ) 和( 2 0 ) 中h a r d y l i t t l e 、o o d 极大算子的迭代次数是不是最优的( s h a r p ) 。 注记2 2 利用9 0 0 d - a 不等式，不难验证对任意的权u a 。( p ) ，当p ( 影) = o o 时有 s u p u ( p 万：肘，( z ) a ) ) e s u p 妒“( 万：m 4 ，( z ) ) u o 而当“彤) a ”c s u p a 9 “( 缸彤：m o ，( 茁) q ) 0 0 + c u ( ) p ( ) 一9 2 t ( ) ， 第9 页 信息工程大学硕士学位论文 其中a 。) = u p 1 4 ( p ) ，4 ( p ) ( p21 ) 是m u d 出n h o u p t 权函数类，具体内容可参阅文 【6 】。再结合t + 的8 h a r p 函数估计( 见本章的引理2 4 ) ，可以得到在定理2 1 的假设条件下， 对任意的权 a 1 ( p ) ，p 是1 ( 彤， ) 到l 1 ，* ( 彤，口) 有界的。然而，我们仍不知道在定理 2 1 的假设条件下，对任意的权函数，估计式( 2 0 ) 是否成立。 注记2 3 注意到p 不是线性算子，文【2 】和【2 0 1 中使用的对偶方法不适用于丁+ 我 们将利用一个与f e r m a i 卜s t e i n 的s h a r p 极大算子有关的加权不等式来证明定理2 1 ，并 运用一个c o t l a r 不等式来证明定理2 2 。应该指出，本文的结果即使在e u c l i d e a n 空间，也 是新的。 2 。2 与s h a r p 极大算子相关的不等式 本节致力于建立联系函数，和其f 骶r m a n s t e i n 的s h a r p 极大函数m 4 ，的加权不等 式。此不等式在定理2 1 的证明中起着重要作用，而且本身也是很有意义的。首先介绍齐型 空间上由c h r i s tp 1 】引入的二进集，这些二进集具有与e u c l i d e a n 空间上的二进方体类似的 性质。 引理2 1 设( ，正p ) 是一个齐型空间。给定6 a 0 和o 6 1 对任意整数j ， 存在点集 ) e _ c u ) 和开集族岛= f q t ：0 ) ，其中芄u ) 是某个指标集，满足下述 性质： ( a 1 ) 对任意j z 和瓦0 ) ，b ( ，n 护) cq ：cb ( 魂，6 ) ； ( a 2 ) 对任意j z ，肛( 彤u ( j ) q ) = o ，且对f 均属于，q i nq ；= o ； ( a 3 ) 对l a ) = u o 芦q ， 注记2 4 记p = 刍我们断言：对任意的a m g ( ，) 和q ，有 a 0 ，芦( 缸彤： ，( 。) ) 扩 - = u 钟 和对任意的戳， m 钟( 埘) s ，扩 对任意的m ，令 6 t ( 小= 0 ( z ) 一m 嘭( 埘) ) 砀( $ ) 和 础m 州加 荔l ：霎矗 观察到q 蜜= 0 及6 m ( ) = o 从而对任意整数f f j ：，( ) 蔓 c j 矿盯i l ，i l l 的( 彤) p ( z 霓：，( z ) e ) ) + e | i l l l ，( 彰) 信息工程大学硕士学位论文 这隐含着当z 一一o 。时，厶，( z ) 研( z ) d p ( z ) 一o 令z 一一并利用不等式( 2 1 ) ，可得 厶m 川酢) 。蔓扩厶嘶川z ) 纠。曼lk 撕m c 3 八州对扒 c 厂f彬m ) 毗( 删入 = g 厶m 4 ，( z ) m w ( z ) 中( 巩 再考虑p ( 旷) c i 矿并满足存在z 使得盯钿= m g 如) 与p ( 形) = o 。的情形一样，s 七 + s u p i k ( v ，z ) ，2 ( z ) i 舡( z ) f oj d 妇，z ) f ，d c 加，：) 垒 冬l ( g ，z ) 一k ( 乩z ) i i ，( z ) im ( z ) j 、c 4 b + 2 s u p l k ( z o ，z ) ，2 ( z ) i 咖( z ) oj d ( f ，：) e ，d ( 珈，习 6 = d 】十d 2 以r 暑表示球b 的半径。利用条件( 1 6 ) ，有 d l i k ( ，z ) 一k o ，z ) i i ，( z ) i 舡( z ) j d ( v ， 4 一b 如苫l 帆 0j e d ( 4 0 ，。) ( k + l 2 ) f 综合d 1 和d 2 的估计，可得对任意的筝b ， i t + 应( 目) 一r ，2 ( z o ) l g f ，( z ) 从而结合估计式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 就得到要证的结论( 2 2 ) 。 第1 5 页 ( 2 4 ) 口 堡曼三i 兰：壁璧主兰垡堡塞 定理2 1 的证明可以假定时聊+ 2 t t ，几乎处处有限，反之，此定理显然成立。对每个固定的 p ( 1 ，o o ) ，选取口( o ，1 ) 使得阱q 】= 嘲记1 = p 口由对偶性即可得到 ( 乞旷，肋缸( z ) ) u 峨胪h 嚣一叫二( 丁瑚呱z ) 咖( 谚 若p ( j r ) = o o ，