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2011 年 wmtc 儿童组 page | 1 2011 年年世界数学团体锦标赛世界数学团体锦标赛 儿童组儿童组 团团 体体 赛赛 1有四个不同的数,它们的平均数是 12,这个平均数比四个数中最小的数大 9,比第二大的数小 5,它与 第二小的数的和等于最大的数将这四个数从小到大依次写出 2“希望杯”数学邀请赛创办于 1990 年,今年是 2011 年,将分数 2011 1990 写成以下的连分数形式: 1 1 1 1 a b c d e . (1)整数a,b,c,d,e中最大的数是多少? (2)求abcde . 3如图,有四个边长为 1 的正六边形纸片,将它们随意平放于桌面上,不能重叠,可以拼接,拼接的两个 正六边形必须有一边完全重合对每一个摆放好的图形,用 l 表示它的外部轮廓的周长,求 l 图 1 4如图 2,有一个 6cm 6cm 6cm 的无盖的铁皮盒子,要将它改制成体积缩小了 1 6 的无盖的长方体盒子, 棱长必须都是整数. (1)底面积的最大值是多少平方厘米? (2)当底面积最大时,若要求所用的铁皮最少,则长方体盒子的长,宽,高的和是多少厘米? 图 2 2011 年 wmtc 儿童组 page | 2 5如图 3,一个矩形被分成 9 个小矩形小矩形内的数字表示小矩形的面积,小矩形外面的数字表示那个 小矩形那一边的长求大矩形的面积 图 3 6如图 4,是一个正八边形abcdefgh已知等腰梯形abcd的面积是 12求这个正八边形的面积 图 4 7如图 5,将厚 0.02cm,长 87.92m,宽 0.12m 的纸全部紧密地卷在长 0.12 米,直径是 10cm 的圆筒上, 求卷后纸筒的厚度是多少厘米?(取 3.14) 图 5 8有一个走时准确的钟,上午 11 点的时候,时针与分针的夹角是30,当时针与分针再次夹这样大的角 时,求这个时钟指示的时刻是几点几分? 9求能够使得293p恰是两个连续自然数的乘积的最小的质数p 10在一张长方形的纸上画两个同样的三角形,画的时候,不使三角形的某一个顶点或某一条边同纸的边 缘接触则这两个三角形可将这张纸划分成n个部分,求n 11如果非零自然数a,b,c,d都不超过 4,且其中有两个相同, 900abbccdda, 求abcd 2011 年 wmtc 儿童组 page | 3 12已知某四位数的数字的和是 4,若将它倒序写出,仍然是四位数,并且这个四位数与某个两位数的平 方(数a的平方等于a乘以a)最接近,求这个四位数 13 将边长是 13 的正方形纸片剪开后, 可以拼成三个边长是不同整数的正方形, 求这三个正方形周长的和 14如图 6,矩形abcd中6ab ,10ad 点e在对角线ac上,2aeec,aef的面积是矩 形abcd的面积的 1 7 ,求:af fd 图 6 15能使得35121xy成立的自然数x和y有几对? 16某公司以 150 元/件售出某种商品库存量的 30%,结果亏本 5%现在,某客户以x元/件买走该商品的 余下库存,使该公司在这种商品上总获利 5%求x与该商品成本的比 17n是不为 0 的任意自然数,m是111n,n,nn n ,这四个自然数的乘积那么, (1)m是不是 6 的倍数? (2)m是不是 5 的倍数? 18求 201120112011 836除以 10 后所得余数. 19如图 7,在正方形场地abcd的四周有 32 个洞(每边 9 个洞) ,一个工人扛着 32 面旗子,从 a 洞开 始插旗,按顺时针方向,每隔 5 个洞就插一面旗,当他绕着正方形场地走完若干圈后,发现有n个洞不能插旗, 求n. 图 7 20. 设一个平面被 2011 条直线分割后所形成的区域数最大是n求n的各位数字之和 2011 年 wmtc 儿童组 page | 4 接接 力力 赛赛 第一轮第一轮 a 题:题: 矩形的边长是质数,周长是 60,求矩形的最大面积 b 题:题: 设前面队友传来的答案是 t. 如图,点 d 在线段 cg 上,正方形 abcd 和正方形 cefg 的面积之和是 t.若这两个正方形的边长相差 1, 求四边形 aefg 的面积. 第二轮第二轮 a 题:题: a,b,c,d都是自然数,其中a的数值恰好是正方形p的面积,又abc,2bc,3cd,500d , 那么p的周长可以是 268、272、276、280 中的哪一个? b 题:题: 设前面队友传来的答案是 t. 若三个连续自然数的平方的和等于 t - 23,求这三个连续自然数的和 第三轮第三轮 a 题:题: 有一支 5000 多名运动员的队伍, 正好可以排成若干个 12 12 的方阵, 也可以排成若干个 18 18 的方阵 问: 共有多少名运动员? b 题:题: 设前面队友传来的答案是 t. 将 t 倒序写出的数记为t,若+1tt恰为某自然数的平方,则这个自然数是哪 5 个连续自然数的和? 2011 年 wmtc 儿童组 page | 5 个个 人人 赛赛 第一轮第一轮 1 某年的 1 月份恰好有 4 个星期三和 4 个星期日,则这一年的 2 月 14 日是星期几? 2飞机 a 和飞机 b,加满油都可以在空中飞行 6000 千米。若 a 和 b 加满油后同时从 c 机场起飞,飞机 内没有备用油箱。a 在空中某处给 b“空中加油” ,那么飞机 b 最远可以飞到离 c 机场多少千米的地方就要返 回,才能确保飞机 a 和 b 都能安全返回 c 机场? 3如图,线段ab上, 2 5 cdad, 2 1 5 dbab,12ab ,求cb 4如果三位数abc,可使40c ac,36a ab求abc 第二轮第二轮 5在 130 到 1300 的自然数中,有n个数是 17 或 71 的倍数,求n 6某公司原有大学生x人,占员工总数的 45%,现在又招聘了 120 名大学生,使得大学生占员工总数的 75%求招聘前的员工总人数 7如图 1,abc是由单位三角形 和单位长方形 组成,由上而下,它的第 1 层是两个单位三角 形, 第 2 层是两个单位三角形和两个单位长方形, , 每个单位三角形的面积是 1, 每个单位长方形的面积是 2 则 第几层的面积是 8042? 图 1 8如图 2,平行四边形 abcd 的底 ab 长 8 厘米,高为 4 厘米。三角形 bef 比三角形 cdf 的面积大 6 平 方厘米,那么,be 的长是多少厘米? 图 2 2011 年 wmtc 儿童组 page | 6 第三轮第三轮 9自然数 371250 有几个不超过 11 的因数?其中质数有几个? 10若a是小于 1000 的最大的质数,而ab是另外一个质数,求非零自然数b的最小值 11将 2011 个四位数 2011 连续地写成一行,得到一个 42011 位数。求这个数被 8 除所得的余数。 12 如图,边长为2a的正方形abcd内有一个最大的圆o,o 内有一个最大的正方形efgh.用 123 ,s s s依次表示eof的面积, 弓形emf的面积, 带弧边emf的曲边ebf的面积 求 123 s :s :s (圆 周率用表示) 第四轮第四轮 13一个人站在以a、b为两端的桥上他离a的距离是ab距离的 7 16 这时,有一列火车以 80km/h的 速度朝a开他有两个选择:如果他朝a跑,那么他将和火车在a相遇;如果他用同样的速度朝b跑,那么 他将与火车在b相遇求他跑的速度是每小时多少千米? 14 在一个 12 小时制的钟表上,在凌晨一点至两点之间,时针和分针成一条直线,问此时的时刻是几点 几分? 2011 年 wmtc 儿童组 page | 7 第五轮第五轮 15如图, 111 abc, 222 a b c, 333 a b c是等边三角形, 12 d ,d分别是左边较大三角形的边的三等分点, 又是右边较小三角形边的中点,三个三角形的底边在同一直线上若 111 abc的面积是 54 平方厘米,问:折线 11122331 b ad a d ac b所围图形的面积是多少平方厘米? 16买一个摄像头,一个 dvd 和一个硬盘共付款 100 美元假设个 dvd 比个摄像头贵,2 个硬盘比 7 个 dvd 贵,8 个摄像头比 1 个硬盘贵假设每个产品的单价都是整数(单位:美元) ,求摄像头,dvd,硬 盘的单价(美元) 。 2011 年 wmtc 儿童组 page | 8 答案答案 团体赛团体赛 接力赛接力赛 1 3, 8, 17, 20 round 1 1a. 221 1b. 121 2 1, 94, 1, 3, 5 round 2 2a. 268 2b. 27 3 24, 22, 20, 18, 16, 14 round 3 3a. 5184 3b. 18, 19, 20, 21, 22 4 (a) 90 cm2 (b) 21 cm 个人赛个人赛 5 77 1 saturday 6 48 2 4000 kilometers 7 4 3 7.08 or 2 7 25 or 177 25 8 11 hours and 6 5411minutes 4 604 or 395 9 3 5 85 10 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 6 10
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