数学文化在数学高考题中的渗透研究.pdf

m a s t e r 饿 s t h 丈e 娜 硕士学位论文 数学文化在数学高考题中的渗透研究 论文作者：王绚 指导教师：梅全雄副教授 学科专业：基础数学 研究方向：中学数学课程设计 华中师范大学数学与统计学院 2 0 1 4 年5 月 i i i l l li l l l li i im ii l liilllii ii y 2 5 5 6 3 8 2 t h e s t u d y o nt h ep e n e t r a t i o no ft h e m a t h e m a t i c a lc u l t u r ei nt h e m a t h e m a t i c sp a r to f c o l l e g ee n t r a n c e e x a m i n a t i qm palexamtnattona o e r s at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t f o rt h em a s t e r sd e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y w a n g x u a n p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c so f c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：m e iq u a nx i o n g a c a d e m i ct i t l e ：a s s o c i a t ep r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a y 2 0 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：王李司日期：劬年夕月弓。日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：王搁 日期：歹i 妒年步月3 。日 导师签名： 日期沙( 忻，月；0 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回意i 金文握交后进卮；旦圭生；旦二生；旦三生发查! 作者签名：三询 日期：2 0 t t p - f f - 占月弓d 日 孙搬肌 日期：山i 忏j 月；乜日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 新一轮课程改革后有些地区的数学高考试题中加入了一定的数学文化内容，这 成为高考题中的一大亮点。然而有关数学文化在高考题中的渗透研究非常少，目前 仅以个别题目或者是某省某年试卷来研究。 本文通过文献法和案例分析法，在正文第一部分搜集和研究了数学文化现存的 文献资料，从中总结出数学文化的研究趋势，在结合了已有学者对数学文化概念的 定义之下，将数学文化重新定义。 第二部分以2 0 0 9 ，2 0 1 3 年湖北省数学高考试卷为研究对象，首先选出典型的有 数学文化背景的高考试题，然后创造性地将选出来的这些渗透数学文化的高考题， 按背景材料分为渗透数学史的考查，渗透数学美的考查，渗透数学应用的考查和渗 透“数学语言”的考查，在此分类下分析了各类试题的数学文化背景以及它是如何反 映的数学文化，最后也探索了这其中还可加强渗透的方面。 第三部分首先以表格的形式研究了数学文化在高考题中的题型分布特点，然后 借鉴其他学者的研究，创造性地将高考题中渗透数学文化的方式分为附加式、复制 式、顺应式、内隐式和最高层次的运用方式，最后对如何更好的渗透数学文化的考 查提出了自己的一些建议。 最后分析了渗透数学文化考查的高考题对一线数学教师教学的启示和导向。 关键词：数学文化；数学高考题；数学史；数学美；数学应用；数学语言； 题型分布；渗透方式 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s a b s t r a c t a f t e ran e wr o u n do fc u r r i c u l u mr e f o r m ，ac e r t a i nm a t h e m a t i c a lc u l t u r a lc o n t e n ti s a d d e dt ot h em a t h e m a t i c sp a r to ft h ec o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r si ns o m ea r e a s ， w h i c hb e c a m et h eh i g h l i g h to ft h ec o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r s h o w e v e r , f e w s t u d i e sa r ec o n d u c t e do nt h ep e n e t r a t i o no ft h em a t h e m a t i c a lc u l t u r ei nt h ec o l l e g e e n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r s c u r r e n ts t u d yi s o n l yb a s e do ni n d i v i d u a lt o p i c so rt h e p a p e ro fap r o v i n c ei nac e r t a i ny e a r t h r o u g hl i t e r a t u r ea n dc a s ea n a l y s i s ，t h i sa r t i c l eh a sc o l l e c t e da n ds t u d i e dt h ee x t a n t l i t e r a t u r ea b o u tm a t h e m a t i c a lc u l t u r ei nt h ef i r s tb o d yp a r ta n dt h e ns u m m e du pt h et r e n d s o fm a t h e m a t i c a lc u l t u r a ls t u d i e s 。c o m b i n e dw i t ht h em a t h e m a t i c a lc u l t u r a lc o n c e p t st h a t s o m es c h o l a r sh a v ed e f m e d ，t h i sa r t i c l eh a sr e d e f i n e dt h em a t h e m a t i c a lc u l t u r e i nt h es e c o n db o d yp a r t , t h i sa r t i c l eu s e dt h em a t h e m a t i c sp a r to fc o l l e g ee n t r a n c e e x a m i n a t i o np a p e r so fh u b e ip r o v i n c ei n2 0 0 9 - 2 0 13a st h er e s e a r c ho b j e c t ，f i r s ts e l e c t e d c o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r sw h i c ha r et y p i c a la n dr i c hi nm a t h e m a t i c a lc u l t u r a l b a c k g r o u n da n dc r e a t i v e l yd i v i d e dt h e s ei n t ot e s to np e n e t r a t i o no fm a t h e m a t i c a lh i s t o r y , p e n e t r a t i o no fm a t h e m a t i c a lb e a u t y , p e n e t r a t i o n o fm a t h e m a t i c a l a p p l i c a t i o n sa n d p e n e t r a t i o no fm a t h e m a t i c a ll a n g u a g ea c c o r d i n gt ob a c k g r o u n dm a t e r i a l s i nt h i sc a t e g o r y w ea n a l y z e dm a t h e m a t i c a lc u l t u r a lb a c k g r o u n d so fav a r i e t yo fp a p e r sa n dh o wi t r e f l e c t e dt h em a t h e m a t i c a lc u l t u r e a tl a s tt h ea r t i c l ea l s oe x p l o r e dt h ea s p e c t sw h i c hc a n a l s os t r e n g t h e nt h a tm a t h e m a t i c a lc u l t u r em a y p e n e t r a t e i nt h e 们h j r db o d yp a r t t h ea r t i c l ef i r s ts t u d i e dt h ed i s t r i b u t i o n so fq u e s t i o n si nt h e c o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r sa b o u tm a t h e m a t i c a lc u l t u r et h r o u g ht h em e t h o do f t a b l e s ，t h e nc r e a t i v e l yd i v i d e dt h ep a t t e r n so fp e n e t r a t i o n st ot h em a t h e m a t i c a lc u l t u r ei n t h ec o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r si n t ot h ea d d i t i o n a l f o r m ，r e p l i c a t e df o r m ， c o m p l i a n tf o r m ，i m p l i c i tf o r ma n dt h em e t h o do ft h eh i g h e s tl e v e lr e f e r r e dt ot h es t u d i e s o fo t h e rs c h o l a r s a tl a s tt h ea r t i c l ea l s op r e s e n t e ds o m eo fo u ro w na d v i c e so nh o wt o b e t t e re x a m i n et h ep e n e t r a t i o no fm a t h e m a t i c a lc u l t u r e f i n a l l y ，w ea n a l y z e dt h et e a c h i n gi n s p i r a t i o n sa n do f f e rs o m ev a l u a b l eg u i d a n c et o t h ef i r s t - l i n em a t ht e a c h e r sa b o u tt h em a t h e m a t i c sc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o np a p e r s p e n e t r a t e di nt e s t so fm a t h e m a t i c a lc u l t u r e k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c a lc u l t u r e ；m a t h e m a t i c sp a r to fc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n p a p e r s ；m a t h e m a t i c a lh i s t o r y ；m a t h e m a t i c a lb e a u t y ；m a t h e m a t i c a l a p p l i c a t i o n s ； m a t h e m a t i c a ll a n g u a g e ；d i s t r i b u t i o n so f q u e s t i o n s ；p a t t e r n so fp e n e t r a t i o n s 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 中文摘要。i a b s t r a c t i i 1 弓l言1 1 1 研究背景一l 1 2 研究的问题及思路2 2 文献综述。3 2 1 数学文化概念界定3 2 2 数学文化研究现状一4 3 渗透数学文化的高考题的文化背景分类及评析7 3 1 渗透数学史的考查一7 3 1 1 渗透古代数学名著的考查7 3 1 2 渗透数学家( 学派) 故事的考查8 3 1 3 渗透数学名题的考查1 2 3 2 渗透数学美的考查1 4 3 2 1 黄金分割比之美1 4 3 2 2 图形之美15 3 3 渗透数学应用的考查1 6 3 3 1 含数学应用背景的试题及其分析16 3 3 2 含数学应用背景试题的统计分析2 2 3 4 渗透“数学语言”的考查2 4 3 5 可加强渗透的方面2 6 4 渗透数学文化的高考题的题型分布及方式特点2 8 4 1 渗透数学文化的高考题的题型分布2 8 4 2 渗透数学文化的高考题的方式特点3 0 5 渗透数学文化考查的高考题给一线教师的启示3 3 6 j 总结3 z l 参考文献3 5 在校期间发表的论文、科研成果3 7 致谢：；l j 页士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 引言 1 1研究背景 “数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和 发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的 推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程 应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高 中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对数学文化的学 习要求，设立数学史选讲等专题”。这是中华人民共和国教育部2 0 0 3 年颁布 的普通高中数学课程标准( 实验) 以下都简称为课程标准中对基本理念之 一一体现数学的文化价值的要求。 新一轮课程改革无疑是对传统的数学教学的挑战，学习数学不仅仅是为了获取 数学知识，更要通过数学的学习去接受数学精神和数学思想的熏陶，并把这些尽可 能地迁移到学习、工作和生活中的各个领域中去。数学文化自此便成了一个热点话 题，并且受到数学教育家们和广大教师的高度重视。但由于数学文化不单独设课， 其贯彻与实施属于“软”性要求，具体考核标准难以界定。由此，我们在学校里的 数学文化内容的讲授更像是传播而非教育。鉴于现在学校的教育体制与升学制度， 更少有教师主动讲授课程标准中规定的相关内容，更多的是指导学生阅读有关 书刊。鉴于这种情况，教学考核特别是高考更应当渗透数学文化以便使学生和老师 更加注重数学文化 庆幸的是新一轮课程改革后，有些地区的数学高考试题中加入了一定的数学文 化的内容，数学文化在高考题中的渗透也有目共睹，这成为高考题中的一大亮点。 渗透数学文化的数学命题，随着新课改的春风潜入到高考中，滋润着高考试题，数 学文化因这些高考试题而渐入高中数学课堂，这些试题也因传播数学文化而成为经 典试题。不少一线的教师很快关注到了这些，与其他老师们推广探索具体某道高考 题不同的是，他们更关注具体某道题的背后的历史和文化韵味。但是，目前的研究 是比较零碎的，并没有形成系统的研究。正是因为高考题越来越多地关注数学文化， 数学教育专家们和一线的老师们也越来越关注数学文化，才会潜移默化地影响学生 们关注数学文化，一线老师们也更把数学文化与课堂教学紧密地结合起来，所以有 国中华人民共和国教育部：普通高中数学课程标准( 实验) ，人民教育 | ；版社2 0 0 3 年版，第2 页。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 必要系统一点研究下数学文化在高考题中的渗透。 1 2研究的问题及思路 本文的研究方法有文献法和案例分析法。首先搜集和分析研究数学文化的各种 现存的有关文献资料，从中了解相关数学文化的研究趋势。在结合了已有学者对数 学文化概念的定义之下，将数学文化重新定义。 本研究的正文部分以2 0 0 9 2 0 1 3 年湖北省的数学高考试卷为对象，选出了3 4 道典 型的有数学文化背景的高考试题，又将选出来的这些渗透数学文化的高考题按背景 材料分为渗透数学史的考查，渗透数学美的考查，渗透数学应用的考查和渗透“数 学语言”的考查，其中渗透数学史的考查又分为渗透古代数学名著的考查，渗透数 学家( 学派) 故事的考查，渗透数学名题的考查。在此分类下分析了各类试题的数 学文化背景以及它是如何反映的数学文化，除了分析了己考过的这四个方面的数学 文化渗透，也探索了其它可加强渗透的数学文化。然后以表格的形式研究了数学文 化在高考题中的题型分布特点，接着借鉴了其他学者的研究，将高考题中渗透数学 文化的方式分为附加式、复制式、顺应式、内隐式和最高层次的运用方式，最后以 表格的形式统计了3 4 道题目的渗透方式，对如何更好的渗透数学文化的考查提出 了自己的一些建议。最后也归纳了渗透数学文化考查的高考题对一线数学老师教学 的启示和导向。目的是希望所做的这些研究可作为一线教师在课堂上渗透数学文化 的参考，也可以作为渗透数学文化试题题库建设的参考。 需要说明的是，本文中对高考题中数学文化背景材料分类方式主要是从这些题 目的自身特点上来归纳分类的，如果有一些题目都是在一种方面的特色比较鲜明， 则就分为一类，这种分类并不是绝对的，也不一定就具有代表性，更不一定能囊括 所有的数学文化内容。对高考题中数学文化渗透方式的分类也不一定具备代表性， 也只是将选出来的这些高考题初步地进行了渗透方式的归纳，而且在高考题中渗透 数学文化的方式也不仅仅就只有这四种方式，在以后的研究中，还需要进一步深入 的思考来分类。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s is 2 文献综述 本文是以2 0 0 9 2 0 1 3 年湖北省的数学高考试卷为对象，来研究数学文化在数学 高考题中的渗透现状。所以文献综述的内容不仅要界定数学文化的概念，还要结合 高考题中的数学文化形态建设性地缩小数学文化的内涵范围，以便对高考题中数学 文化的背景内容进行分类。另外也要归纳总结目前数学文化的研究现状，用来说明 本论文研究的重要性和必要性。 2 1数学文化概念界定 “就我理解，数学文化，广义地讲，可以表述为以数学科学为核心，以数学的 思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定 功能的动态系统。”这是黄秦安学者对数学文化本质的讨论。郑毓信等出版了专著 数学文化学，该书用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化 效应。他对数学文化的定义还有另外一种解释，“即一种由职业因素联系起来的特 殊群体，数学共同体所特有的行为、观念和态度等。 张乃达认为“数学文化是由 知识性成分( 数学知识) 和观念性成分( 数学观念系统) 组成的”。 也有学者认为，数学 文化是以数学家为主导的数学共同体所特有的行为、观念、态度和精神等。 顾沛给出的数学文化的定义为：“数学文化一词的内涵，简单说，是指数学 的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵外， 还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会 的联系、数学与各种文化的关系，等等。” 另外，李改杨也认为“数学文化是指数 学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展，以及其福射的相关文化领域 所组成的人类文化 。 代钦认为“数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动的应用以及与数学 有关的民俗习惯和信仰的总和” 。他将数学文化形态分为纯粹数学形态，学校数学 形态，应用数学形态和民族数学形态四种，这四种形态之间并不是截然分开的，它 黄秦安：论数学文化的本质、功能及其在人类文化变革中的角色，陕西师大学报1 9 9 3 年，第5 4 页。 圆郑毓信等数学文化学，四川教育m 版社2 0 0 0 年，第1 7 i 1 0 页。 张乃达：数学文化教育特征初探，中学数学2 0 0 2 年第7 期，第1 页。 顾沛：数学文化，高等教育： j 版社2 0 0 8 年，第6 4 0 页。 李改杨等：数学文化赏析，高等教育 i i 版社2 0 1 1 年，第2 - 3 页。 代钦：释数学文化，数学通报2 0 1 3 年第1 期第2 页。 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 们之间也存在不同程度的联系或交叉。普通高中数学课程标准( 实验) 解读中提到， “一般说来，数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的 对于人类发展具有重大影响的方面。” 综合以上各位学者对数学文化的阐述，本文对数学文化作出如下定义：数学文 化是指数学的思想、精神、方法和观点以及它们在形成和发展过程中的人文成分。 数学文化的核心是数学观念系统，而数学的精神、思想、方法和观点又是数学观念 系统的核心内容。数学史无疑属于数学文化，而数学公理、公式和定理中所表现的 和谐、统一的美，以及数学应用都应该是数学文化，另外准确简明的数学语言也可 以看成是数学文化的一部分。 郑强和郑庆全就课程形态的数学文化做了分类，他们认为课程形态的数学文化 包括数学史的知识；反映数学家在求知探索过程中的精神和故事；反映数学知识的 发生发展过程；可向数学应用扩展的重要数学概念、思想、方法；数学的思维方式； 数学对社会和经济发展的巨大作用等。另外，王小明认为课程形态的数学文化主要 包括：数学史，数学的应用，数学的思想方法，数学精神，数学美和数学语言。 由于本文研究的是高考试题中的数学文化的渗透现状，因此本文所研究的数学文 化是课程形态的数学文化的一部分，是与纯粹数学知识相对而言的，主要是题目里 面的背景文化，不涉及数学知识。本文研究的数学文化的着眼点是：数学史和数学家 的奋斗故事和创新精神、数学知识的发生发展过程、数学思想的产生、数学体验和 运用、数学的美、数学语言等。 2 2 数学文化研究现状 自上世纪8 0 年代末9 0 年代初以来有关数学文化的研究非常多，也越来越流行， 而且研究的角度也非常多。国内最早出版与数学文化有关的书籍是邓东皋教授的 数学与文化，这本书汇集了一些数学名家的有关论述，包括北大孙小礼教授的 “数学与人类文化”一文，记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍 后出版的有齐民友先生的数学与文化，他主要从非欧几何产生的历史，阐述数 学的化价值，特别指出了数学思维的文化意义。 而同时在期刊上发表有关数学文化的学者张祖贵，主要阐述了数学教育与数学 文化的兴起，及两者之间的关系，另外对数学文化的主要内容和数学与文化的关系 做了论述，接着还论述了数学发展的文化模式，并且强调了数学具有一般人类文化 的诸多特征，是人类一般文化的重要组成部分。紧接着郑毓信从各个不同的角度揭 数学课程标准研制组：普通高中数学课程标准( 实验) 解读，江苏教育 “版2 0 0 4 年，第1 5 3 0 页。 4 示了数学文化的特殊性质是：数学对象的逻辑建构性和数学共同体特有的数学传 统；数学传统的不断变革与数学知识连续性的辩证统一；也阐明了数学文化是整个 人类文化的一个子系统，并且是一个开放的系统。黄秦安首次论述了数学文化的本 质，还深刻地论述了数学文化的五个基本特征与四个基本层面及数学文化的三个基 本功能。 在这几位学者的论述影响下，数学是一种文化己成为不争的事实。随着黄秦安 学者对数学文化本质的讨论，数学文化的内涵己成为一些研究者关注的焦点。1 9 9 9 年，郑毓信等出版了专著数学文化学，该书对数学文化的定义也做了解释。也 有数学课程教材研究开发中心编出版的数学文化对数学文化内涵做出的见解。 随后李改杨也都对数学文化做出了自己的见解。在学者们讨论数学文化内涵的同 时，张楚廷、郑强等一大批数学教育家和一线教师讨论了数学文化在数学教育教学 中的一些价值和作用，并且也越来越认可数学文化的教育价值和在教学中的积极作 用。 我国的教师和学生的数学文化观念及其应用意识也成为一些学者关心的话题。 有一些学者对学生的数学文化认同感做了调查研究，比如刘恋在做了调查了之后发 现初中生对数学思想和方法的渗透有一定的了解，但对数学史的了解非常少，学生 们大多承认数学的应用价值，并且还发现中学生很少是从欣赏数学的角度而是从实 用的角度来了解数学的美学价值，比较遗憾的是大多数学生畏惧数学，学生学习数 学的兴趣和信心不足。郭利在对高中生的调查中也得到了与刘恋相同的结论。金益 洪对高中数学教师进行了调查，发现他们的数学文化认同感高，也积极对待数学文 化的课堂教学，但同时也发现课程标准所建议的渗透数学文化的教学方式在实 际教学中难以实现；教师对数学文化缺乏深刻的认识，对数学文化得教学也没有足 够的信心；校内外对新课程所提倡的数学文化教学的支持度也不够。以上调查研究 表明我国中学师生的数学文化教育观念不容乐观。 也有些学者对数学教材中的数学文化渗透情况进行分析研究。比如学者杨芳提 出了高中数学教学中渗透数学文化的几个有效途径及其需要注意的原则。章勤琼等 对人民教育出版社2 0 0 4 年编写的普通高中课程标准实验教科书数学a 版的必 修1 到必修5 的教材做了统计研究：从章头图，背景性的介绍材料，例题，练习，复 习题，阅读与思考，信息技术应用，探究与发现，实习作业等几个板块进行：同时又 从科学、人文、应用和美学四个维度进行分类。并给出了必修1 到必修5 的数学文 化内容的分类统计。郭华光和王小燕以华东师大版的义务教育课程标准数学实验教 科书为研究对象，对基于义务教育数学课程标准的数学教材中的数学文化渗透情况 5 员士学位论文 m a s t e r st h e s i s 进行分析研究。汪晓勤等把对主要国家( 美、英、德、法、俄、日、澳、新加坡等) 高中数学教材中的数学史和数学文化内容的考察作为一个课题来研究。其中就有从 文化视角对中国、新加坡、美国、法国数学教材中的“简单几何体”进行比较发 现中国和美国教材更注重数学与生活中的数学文化内容，法国教材对数学与人文艺 术方面的关注更加全面和多元，新加坡和中国教材在数学与科技方面的内容较为薄 弱。 然而要想数学文化在中学被普通教师重视，并大量融入进课堂进行实践，还需要 有指挥棒的引领令人欣喜的是近几年高考题中，已开始有意识地向这方面进行引导 并引起了一些一线教师的注意。如江苏江阴第一中学的张志刚和唐永对2 0 0 9 年湖 北卷第1 0 题进行了比较深刻的讨论，并分析这道题蕴涵着两个数学文化知识，一 个是古希腊的毕达哥拉斯学派，另一个是“形数理论”。福建省的教师张夏强和邱 云也对该题做了讨论。并且他们另外还对2 0 0 9 湖北高考题的第1 5 题也做了类似地 讨论。福建中学的吴艺芳和洪妍妍基于数学文化的特征评析了2 0 1 3 年福建高数学 试卷的相关试题。福建省福州格致中学的宋建辉觉得2 0 1 1 年高考湖北卷理科数学 第1 5 题也是一道典型的具有“数学文化背景“的高考试题。另外湖北武汉的梅磊 对2 0 1 2 年高考试题背后的数学文化也进行了些分析。 从以上有关数学文化的研究综述中可以发现，数学文化的研究经历了从兴起到 认可，到数学文化的教育价值的讨论，再到数学文化进入新课标之后的教师和学生 认同感实证调查及数学教学上运用数学文化的研究，再到教材中数学文化渗透的研 究。数学文化从最开始在学者的文章中，到逐渐走进新课标，进入教材，走入课堂， 后又出现在高考题中，数学文化研究这一路走来越来越影响着中学的数学教育，也 越来越引起中学一线老师和学生的注意。然而有关数学文化在高考题中的渗透研究 比较零碎，并没有系统的研究分析及归纳数学文化在高考题中的渗透方式及特点， 仅以个别题目或者是某省某年试卷来研究。 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 渗透数学文化的高考题的文化背景分类及评析 为了便于研究分析，本文借鉴郑强和郑庆全、王小明的课程形态的数学文化外延 的分类，将从2 0 0 9 2 0 1 3 年湖北省的数学高考试卷中选出的3 0 多道有数学文化背景 的高考试题分为：渗透数学史的考查，渗透数学美的考查，渗透数学应用的考查和 渗透“数学语言”的考查。对所选的每一道高考题按此分类先进行文化背景分析，然 后再分析这些题是如何体现数学文化的。需要说明的是，这种分类方式主要是从这 些题目的自身特点上来归纳分类的，如果有一些题目都是在一种方面的特色比较鲜 明，则就分为一类，并不是绝对的分类，也不一定就具有代表性，更不一定能囊括 所有的数学文化内容。 3 1渗透数学史的考查 数学史作为数学文化的主要载体，主要包括数学家生平故事，数学史事件，数 学名著，数学名题，数学发展的历史等。在2 0 0 9 2 0 1 3 年的湖北省高考数学试题中， 出现的以数学史为背景的题目可以分为渗透古代数学名著的考查，渗透数学家( 学 派) 故事的考查和渗透数学名题的考查。 3 1 1渗透古代数学名著的考查 中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家， 以及九章算术等经典的数学传世之作，这些中国古代数学名著是我们的丰富宝 库。继新课程改革以来，高考题中出现了一些古代的的数学名著，可以明显地看到 湖北省的高考题从2 0 1 1 年开始，连续三年每年都出现了一题，涉及的数学名著有 九章算术和数书九章。下面即是其真题原型及评析： 真题1 九章算术“竹九节问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的 容积成等差数列，上面4 节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积 为升( 2 0 11 年高考湖北卷理科第1 3 题) 本题借用九章算术“竹九节 问题来考查等差数列的通项公式和数列的前n 项和公式，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5 节的容积解 题时需要注意灵活运用公式 真题2 我国古代数学名著九章算术中“开立圆术日：置积尺数，以十六 乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径“开立圆术”相当于给出了己知球的 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 体积y ，求其直径d 的一个近似公式d 0 7 ；y 人们还用过一些类似的近似公式 9 根据7 = 3 1 4 1 5 9 判断，下列近似公式中最精确的一个是( 2 0 1 2 年高考湖北卷理科 第1 0 题) 删莎删痧c 小擂yd d 挣 本题借用我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”来考查球的相关知识， 利用球的体积公式变换得出7 的表达式，然后比较选出最精确的。 真题3 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用 一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸， 盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸( 注：平地降雨 量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) ( 2 0 1 3 年高考湖北卷文科第 1 6 题) 本题借用我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题来考查圆台体 积公式的相关应用，需要先根据圆台体积公式算出天池盆接的雨水体积，然后算出 落雨的面积即盆口的面积，那么降雨量即是雨水体积除以落雨面积。 在早期的农业社会，人们更多关心的是农业产品的收获、分配和储存。因此， 当时的许多数学问题都是从这些方面取材的。这些问题都很真实自然，尽管从现代 数学的角度来看并没有太大的难度，但是不管是在数学课堂上来解决这样的问题， 还是在高考题中出现类似这样的题目，都会让学生们普遍感到耳目一新，并且深刻 体会到数学在实际生活中的应用价值，使学生自觉培养自己在日常生活中发现问 题，解决问题的能力。这类试题既以数学名著为背景，又考查了数学知识的应用， 既彰显了数学文化，又联系了生活实际，不仅切合高中数学教学实际，又充满着数 学的应用价值和人文价值，在潜移默化中使学生们的爱国主义情感和民族自豪感得 到提升。 3 1 2渗透数学家( 学派) 故事的考查 继新课程改革以来，高考题中不仅出现了一些古代的的数学名著，也出现了一 些数学家( 学派) 的故事，最典型的莫过于湖北省的高考题中古希腊毕达哥拉斯学 派的“形数”问题。最早把正整数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥 拉斯，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，又按小石子所排列的形状，把正整数 与三角形、正方形、五边形等联系起来，将数分为三角形数、正方形数、五 边形数，后期毕达哥拉斯学派的数学家将多边形数推广到立体数( 包括立方数、 8 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 棱锥数等) 毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系在当时 没有纸质的情况下，用小石子研究数的性质即方便又直观这些数被看做是某些几何 图形中点的数目，它们成了几何学与算术之间的纽带近五年内有三年都分别出现了 一道涉及多边形数的高考题，且考查的侧重点各不相同又各具特色。 真题4 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1 ，3 ，6 ，1o ，第聍个三角形数为堕等坐：亏1 聆2 + 吾刀，记第刀个j i 边形数为 n ( n ，七) ( 七3 ) ，以下列出了部分k 边形数中第玎个数的表达式： 三角形数( ，3 ) = 去门2 + 寺甩， 正方形数n ( n ，4 1 = n 2 ， 五边形数( 行，5 ) = 昙行2 一去甩， 六边形数n ( n ，6 1 = 2 n 2 一，? ， 可以推测n ( n ，k ) 的表达式，由此计算( 1 0 ，2 4 ) = ( 2 0 1 3 年高考湖北 卷文科第1 4 题) 此题对考生的归纳抽象能力就要求比较高，需要考生在短时间内找出规律，大 胆猜测并归纳出一般结论。但如果老师在平时的教学过程中注重数学文化的渗透， 系统的为学生讲解过形数的来龙去脉，则考生做起来将会容易很多 真题5 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示 数他们研究过如图1 所示的三角形数 图1 ：三角形数图 将三角形数l ，3 ，6 ，1 0 ，记为数 ，将可被5 整除的三角形数按从小到大的顺 序组成一个新数列b k 可以推测： ( i ) b 2 0 1 2 是数列 ) 中的第项； ( i i ) b 2 = ( 用k 表示) ( 2 0 1 2 年高考湖北卷文科第1 7 题) 前一道题是考查多边形数的k 边形数中第刀个数的表达式，即考查多边形数内 在的普遍规律，而后一道题则考查三角形数被五整除后的数列与原数列之间的关 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 系，这引起了我的思考：三角形数被其他数( 尤其是质数) 整除后的数列与原来数 列的关系是不是也有一定的规律，其他多边形数形数被这些数( 尤其是质数) 整除 后的数列与原来数列的关系是不是也有一定的规律，能不能找出更普遍的规律呢? 本人将这些整理出来并得以发表。 其实这两道题的大背景都是古希腊毕达哥拉斯学派的“形数 问题，就是考察 的侧重点不一样，而在湖北省的高考题中还出现了一道这样类似的题 真题6 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如他们研究过 图2 中的1 ，3 ，6 ，1 0 ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称 图3 中的l ，4 ，9 ，1 6 ，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的 是( 2 0 0 9 年高考湖北卷理科第10 题) 氏：- ： l，1 1 1 图2 ：三角形数图 图3 ：正方形数图 a 2 8 9b 1 0 2 4 c 1 2 2 5d 1 3 7 8 这道高考题以古希腊毕达哥拉斯学派研究过的多边形数这方面的数学文化为 背景，后面既是三角形数又是正方形数的问题，对于2 0 0 9 年的湖北考生来说，他 们还没有运用新课标教材，老师在平时传授知识的时候可能也很少有意渗透这方面 的数学史及数学文化因此此题需要考生把数与形的结合起来，对考生的数学逻辑推 理与直观形象提出了较高的要求，要求具备一些数列的相关知识来求出三角形数与 正方形数，接着所涉及的二元二次不定方程又超出了学生的可解范围，因此考生需 要能够灵活运用排除法、代入验证法解题 其实关于这个既是三角形数又是正方形数的问题，最早可以追溯到古希腊的阿 基米德的群牛问题据说公元前3 世纪时，古希腊的阿波罗尼奥斯找到了一个比阿基 米德的结果还要准确的圆周率的近似值，他写了一篇讨论大数目字乘积的文章，并 且在文中批评阿基米德的工作，阿基米德很生气，就设计了一个需要运算极大数字才 能找答案的群牛问题来报复。问题以一首诗的形式叙述，整首诗由2 2 组对偶句、 4 4 行诗句组成，原文无解答。问题简单叙述为：太阳神的牛群在西西里岛上吃草， 既有公牛也有母牛，两种牛都有白、黑、花、棕4 种毛色的，各种牛之间的数量关系 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 如下： 白公牛= 黄公牛+ ( 1 2 + 1 3 ) 黑公牛 黑公牛= 黄公牛+ ( 1 4 + 1 5 ) 花斑 花斑公牛= 黄公牛+ ( 1 6 + 1 7 ) 白公牛 白公牛= ( 1 3 + 1 4 1 黑牛 黑公牛= ( 1 4 + 1 5 1 花斑公牛 花斑公牛= ( 1 5 + l 6 ) 黄牛 黄公牛= ( 1 6 + 1 7 1 白牛 白公牛+ 黑公牛= 一个平方数 花斑公牛+ 黄公牛= 一个三角数 如果不考虑排成正方形阵和三角形阵的要求，各种牛的最少头数为：白公牛：1 0 3 664 8 2 ，白母牛：72 0 63 6 0 ；黑公牛：74 6 05 1 4 ，黑母牛：48 9 32 4 6 ；花公牛：73 5 80 6 0 ，花 母牛：35 1 58 2 0 ；棕公牛：4