（通信与信息系统专业论文）非等周期zcz序列偶信号设计.pdf

摘要 摘要 在准同步c d m a 通信系统中，对所采用扩频地址码的要求是在同步误 差范围内( 零时延附近) 具有理想的相关特性，零相关区域( z c z ) 序列就是 能够满足这样要求的序列。本文在总结和比较了目前已有的z c z 序列的设 计方法后，本着扩展最佳信号的存在空间的目的，把非等周期的概念引入， 应用序列偶理论，结合零相关区( z c z ) 序列的特性，定义了一种新的自相 关序列偶非等周期z c z 序列偶，在此基础上对非等周期z c z 序列偶集 合进行了一系列的理论研究。主要工作如下： ( 1 ) 给出了序列偶的基本概念、序列偶自相关函数的变换性质，重点介 绍了z c z 序列偶的相关理论，讨论了序列偶在实际中的应用，为非等周期 z c z 序列偶的研究提供了理论依据。 ( 2 ) 给出了非等周期z c z 序列偶的定义，给出并验证了非等周期z c z 的性质，讨论了非等周期z c z 序列偶存在的必要条件，并分析了非等周期 z c z 序列偶的谱特性。 ( 3 ) 定义了非等周期z c z 序列偶集合的概念，给出并证明了非等周期 z c z 序列偶集合的几种变换性质。 ( 4 ) 提出了非等周期z c z 互补序列偶的概念，并给出了一种基于互补序 列偶概念的非等周期z c z 序列偶的构造方法。 结果表明，非等周期z c z 序列偶是一种更广的零相关区序列，它的性 能优良，适于作准同步c d i v i a 系统的扩频序列。 关键词准同步c d m a 系统；序列偶；非等周期z c z 序列偶；序列偶集合； 互补序列偶 燕山大学工学硕士学位论文 a b s 仃a c t i nt h eq u a s i - s y n c h r o n o u sc d m a s y s t e m , t h er e q u e s tt oa d o p tt h es p r e a d i n g s e q n e m m ei st h a tt h es e q u e n c es h o u l dh a v ep e r f e c tc o r r e l a t i o np r o p e r t i e si nt h e s y n c l + o n o l l se r r o r ( n e a rt h ez e r ot i m ed e l a y ) ，t h ez e l o c o r r e l a t i o nz o n e ( z c z ) s e q u e n c ei sj u s tf i tf o rt h en e e d a f t e rs u m m a r i z i n ga n dc o m p a r i n gt h ek n o w n d e s i g nm e t h o d so fz c z q n e n c e ，t oe x t e n dt h ee x i s t e n c es p a c ef o rt h eb e s t s i g n a l s , b a s e do i lt h es e q n e n c ep a i rt h e o r y , a p p l y i n gt h ec o n c e p to fu n e q u a l p e r i o da n dc o m b i n i n gt h ep r o p e r t i e so fz c zs e q u e n c e ，t h ep a p e rd e f i n e sap e w s e l f - c o r r e l a t i o ns e q u e n c ep a i r ( u n e q u a lp e r i o dz c zs e q u e n c ep a i r ) b a s e do n t h e s ei i 瞄t t e r s t h ep a p e rm a k e sas e r i e so ft h e o r ys t u d yf o rt h ez c z s e q u e n c e p a i rs e t t h em a i nw o r ki sj u s ta sf o l l o w i n g ： ( 1 ) t h eb a s i cc o n c e p t so fs e q u e n c ep a i r , e s p e c i a l l yt h ez c zs e q u e n c ep a i r , a n dt h e i rc o r r e l a t i o np r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d t h ea p p l i c a t i o n so f t h es e q u e n c e p a i ri nt h es i g n a lp r o c e s sa n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e ma r ea l s oi n t r o d u c e d ( 2 ) t h ep a p e rp r e s e n t st h ed e f i n k i o na n ds o m ec h a r a c t e r so ft h eu n e q u a l p e r i o dz c zs e q u e n c ep a i ra r ed i s c u s s e d t h ep a p e ra l s od i s c u s s e st h en e c e s s a r y c o n d i t i o no ft h eb e i n go ft h eu n e q u a lp e r i o dz c zs e q u e n c ep a i r t h ef o u r i e r s p e c t r u mc h a r a c t e r so f t h i ss e q u e n c ep a i r sa r ea l s os t u d i e d ( 3 ) t h ep a p e rd e f i n e st h ec o n c e p to f t h eu n e q u a lp e r i o dz c zs e q u e n c es e t , p r e s e n t sa n dp r o v e st h es e v 盯a lt r a n s f o r mp r o p e r t i e so f t h eu n e q u a lp e r i o dz c z s e q u e n c es e t ( 4 ) t h ep a p e rp r e s e n t s t h ed e f i n i t i o no f u n e q u a lp e r i o dz c z c o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r s am e t h o db a s e do nu n e q u a lp e r i o dz c z c o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r sf o rc o n s t r u c t i n gu n e q u a lp e r i o dz c zs e q u e n c e p a i r ss e ti sp r e s e m e d t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tt h eu n e q u a l p e r i o dz c zs e q u e n c ep a i ri sa a b s t r a c t e x p a n s i v e7 b r oc o r r e l a t i o ns e q u e n c e a tt h es a m et i m e ，i t sp e r f o r m a n c 君i sp e r f e c t , i ti sb e f i t t i n gt ou s ea st h es p r e a ds p e c t r u ms e q u e n c ei nt h eq u a s i s y n c h r o n o u s c d m a s y s t e m k e y w o r d sq u a s i s y n c h r o n o u sc d m as y s t e m ；s e q u e n c ep a i r ；u n e q u a lp e r i o d z c zs e q u e n c ep a i r ；s e q u e n c ep a i rs e t ；c o m p l e m e n t a r ys e q u e n c e p a i r s i l l 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文 ( f + r ) = ：“乏厶：丁 ( 2 一 那么称0 ，f ) 是相关函数在零相关区t 内最佳的零相关区序列偶，简称z c z 序列偶。 由定义2 8 可知，z c z 序列偶是一种多值自相关序列偶。当s = r 时， z c z 序列偶退化为一般的z c z 序列。 例2 1 ：如果用+ ”代表+ 1 ，“”代表i ，那么周期为6 的序列偶o ，) 表 示为g ，f ) = ( - 一+ 一一_ ，+ 一一+ + + ) ，其相关函数值如下 兰：兰生型堡董奎里笙 置( r ) = ( 6 ，2 ，2 222 ，) r f ( r ) = ( 6 ，2 ，- 2 ，- 2 ，2 ，2 ) 置，j ) = ( - 4 ，0 0 0o ，- 4 j 以上的相关函数值表明，序列偶0 ，f ) 是周期为6 ，零相关区长度r = 4 的z c z 序列偶。 需要注意的是，上述几个例子中组成z c z 序列偶的单个序列均不是 z c z 序列。实际上，我们是通过偶的形式使更多的非零相关区序列具备了 z c z 序列的特质，这种做法大大拓宽z c z 序列的存在空间，令更多的序列 满足所希望的条件。 2 4 2z c z 互补序列偶的定义 定义2 9 ：设如，y 。) 和x 2 ，y ：) 是两个周期为的序列偶，其周期自相 关函数分别记为置。，。) ( f ) 和r ( 以) ( ) ，如果有 置，。，( f ) + 置。以，( r ) = f io 。二i i ：z ( 2 - t 4 ) 成立，那么g 。，y 。) 和g 2 ，y ：) 是一个零相关区互补序列偶，简称z c z 互补 序列偶。当x iy 。，x ：，y ：是二元序列时，则称z c z 互补序列偶b 。，y 。) 和 g 2 ，j ，2 ) 为二元z c z 互补序列偶。 根据定义2 9 可知，最佳互补序列偶睁6 1 也是z c z 互补序列偶的特例， 周期为的最佳互补序列偶是零相关区长度t = 一1 的z c z 互补序列偶。 例2 4 ：有如下两个周期为6 的序列偶g 。，m ) = ( - + + 广一一+ + 一) 和 b ：，y ：) = ( - 一+ ，+ 一一+ + 一) 的相关函数值如下： 屯。) ( f ) = ( - 2 ，- 2 222 ，2 ) 亿。) ( f ) = ( _ 2 ，2 ，- 2 ，- 2 ，2 ，2 ) 叱。) ( f ) + ，。) ( f ) = ( - 4 000 , 4 ，4 ) 以上计算结果表明，g 。，儿) 和g ：，y ：) 是零相关区长度t = 3 ，周期为6 的 z c z 互补序列偶。 从以上例中序列偶的自相关函数值可以看到，组成互补序列偶的单个 燕山大学工学硕士学位论文 序列偶均不是z c z 序列偶，但是这两个序列偶相关函数的和却具备了在零 时延附近的一定区域内是脉冲函数的理想形式，互补的意义即在于此。从 实例当中还可以看到，z c z 互补序列偶的长度可以为奇数，这也是z c z 序 列偶所不具备的特性。 2 4 3z c z 序列偶的构造 z c z 序列偶可以通过计算机搜索的方法得到，不光可以实现不同长零 相关区的所有相同长z c z 序列偶的搜索，还可以实现固定长零相关区的不 同长z c z 序列偶的搜索。搜索的结果表明z c z 序列偶是大量存在的，这从 实践角度再一次证明了z c z 序列偶的存在拓宽了z c z 序列的存在空间。 目前，已经能够通过一些已知类型的序列偶得到z c z 序列偶，以下是 几点简单的总结： 第一，周期为的最佳二进序列偶可以看作是t = n 一1 的z c z 序列 偶。比如，8 长的最佳二进序列偶( s ，f ) = ( + + + + + ，一+ 一+ + 一+ + ) 是一 个r = 7 的z c z 序列偶。 第二，几乎最佳二进序列偶可以看作是t = a 一1 的z c z 序列偶( 其中口 为异相自相关函数不等于0 的点) 。比如，周期为1 0 ，a = 9 的几乎最佳自相 关序列偶( s , t ) = ( 一一+ + 一+ + ，+ 一+ 一一+ _ ) 同时也是一个t = 8 的 z c z 序列偶。 第三，用最佳二进序列偶以顺序连接的方式可以形成z c z 序列偶。比 如，用x y 来表示将序列x 和序列y 顺序连接。0 ，f ) 是周期为n 1 的最佳序列 偶，同相自相关函数值( 时延f = 0 时的自相关函数值) 为e ，那么，玎) 是 2 n t 长的r = l - 1 的z c z 序列偶。同理，( s s s ，t t t ) 是3 n , 长的r = n i - 1 的 z c z 序列偶；而( s t ，t s ) 是2 n , 长的t = 1 5 , - 1 的z c z 序列偶，6 招，t s t ) 是a n , 长 的t = 只一1 的z c z 序列偶。依此类推可以由一个最佳二进序列偶得到一系 列的z c z 序列偶。 可以看到，z c z 序列偶是具有零相关区的多值自相关序列偶，而最佳 自相关和几乎最佳自相关序列偶都是z c z 序列偶的特例，z c z 序列偶是对 两者的推广。对于一个序列偶来说，只要是自相关函数在零时延的附近存 1 8 第2 章序列偶基本理论 在一个零相关区，那么它就是z c z 序列偶。相对于最佳和几乎最佳自相关 序列偶，显然z c z 序列偶对自相关函数的要求放宽了许多，这决定了z c z 序列偶能够大量存在，它的生成方法也很多，由于本章的研究只是为第四 章z c z 序列偶集合的研究作准备，所以有关z c z 序列偶的其它构造法这里 不再介绍。 2 4 4 z c z 序列偶存在的必要条件 定理2 1 ：z c z 序列偶( j ，f ) 的序列长度是偶数。 定理2 2 ：z c z 序列偶o ，f ) 的非零自相关函数值均为偶数，即当k z 且 k 0 ，0 f 栉一l 时，有 r 【f ) = t 一- k ，) = 2 t 一行( 2 - 1 5 ) 定理2 3 ：设( s ，f ) 是周期为万的零相关区长度为r 的z c z 序列偶，序列 s 中+ l ”的个数是n 。，序列t 中+ l ”的个数是押，只是将序列t 循环左移i 位 时序列s 和序列t 对应项中同时取+ 1 ”的个数，谚z 且谚0 ，则当1 i t 时，有下式成立： n ，+ b t = ( 叫2 ) + 2 只 ( 2 一1 6 ) 定理2 4 ：在定理2 3 的条件下，若形2 是奇数，则疗。+ 啊是奇数：若2 是偶数，则”，+ 刀，是偶数。 2 4 5z c z 序列偶的峰值特性 定理2 5 ：任意z c z 序列偶自相关函数的主峰值f 一定满足：i 卅= 4 k ， 式中墨为任意正整数。 定理2 6 ：任意的z c z 互补序列偶的自相关函数的主峰值f 一定满足 l f l = 4 k ，式中k 为任意正整数。 定理2 7 ：周期为 r 的z c z 互补序列偶的自相关函数的主峰值一定满 足i f l 4 【2 】，式中【2 】表示取n 2 的整数部分。 把这些峰值特性和z c z 序列偶的概念以及下面将要谈到的z c z 序列偶 的性质应用到计算机搜索最佳信号中去，将会大大缩减搜索范围，提高搜 索效率。 1 9 燕山大学工学硕士学位论文 2 4 6z c z 序列偶的变换性质 性质2 7 ：z c z 序列偶g ，y ，) 经过互易变换所得到的( y ，t ) 仍然是z c z 序列偶。 r “。) ( f ) 2 弘( 弦。u + o = ( j f ) y ，( j - t ) = e ( x l , y d ( 一f ) ( 2 1 7 ) 性质2 g ：z c z 序列偶g 。，以) 经过取补变换所得到的g ，两) 仍然是z c z 序列偶。 r “历) ( f ) 2 葺( _ ，) 只( ，+ f ) = 一t ( _ ，) 只u + f ) = - r c x j , y d ( f ) ( 2 - i s ) 性质2 9 ：z c z 序列偶g ，y ，) 经过间隔取补变换，变为以= g 。( o ) ，t ( 1 i 置( 2 lt ( 3 ) ，i o 一2 ) x ，o 1 ) ) 和= ( 只( o ) ，y 。( 1 ) ，只( 2 ) ，儿( 3 ) ，只0 2 ) ， 只( n - 1 ) ) 后，所得到的b ，) 仍为z c z 序列偶。 恕蕊磐端 【& ) ( 2 ，l + 1 ) = 一r “，* ) 怛厅+ 1 ) 1 。7 由z c z 序列偶的定义可知，间隔取补变换后o ，t ) 仍是z c z 序列偶。证毕。 性质2 1 0 ：z c z 序列偶g 。，只) 经过逆序变换后所得到的( r ( x ，) ，r ( y 。) ) 仍 是z c z 序列偶。 r i r ( 坍( n d ( f ) = 瓦m ) 伽一_ f ) = 扎。m ) ( - f ) ( 2 2 0 ) 由z c z 序列偶的定义可知，逆序变换后得到的( r ( t ) ，r ( 乃) ) 仍是z c z 序列 偶。证毕。 性质2 1 1 ：z c z 序列偶如，y ，) 向左循环移七位所得到的似g ，) ，r j ) ) 仍 是z c z 序列偶。 l r ( 。扩“b ( ) = 乏t ( ，+ 七) ”( ，+ k + r ) = z x , ( l v , o + f ) = 叱巾g ) j 州j o f ( 2 - 2 1 ) 证明过程略。 综上述，可知z c z 序列偶经过互易变幻、取补变换、等间隔取补变换、 移位变换均可以得到z c z 序列偶。 第2 章序列偶基本理论 2 5 本章小结 本章介绍了序列偶的定义及序列偶相关函数的基本概念。对于循环序 列，给出了序列的几种变换形式以及与此对应的序列偶循环自相关函数的 变换性质。重点介绍了z c z 序列偶，及它的峰值特性、存在的必要条件和 几种变换性质。相对于最佳自相关序列偶和几乎最佳自相关序列偶来说， z c z 序列偶对自相关函数的要求放宽了许多，这就决定了z c z 序列偶是大 量存在的，本章也简单介绍了几种z c z 序列偶的构造方法。以上内容的介 绍与总结为第三章研究非等周期z c z 序列偶奠定了理论基础。 2 l 燕山大学工学硕士学位论文 第3 章非等周期z c z 序列偶的理论研究 3 1 引言 在雷达、声纳、码分多址等系统中，如果发送的序列与接收机中所用 的本地序列不同，当这两个序列( 称为序列偶) 满足一定条件时，也可达到工 程上对信号的区分要求【”】。近几年来，序列偶理论已经被扩充到许多阵列 或序列中，它实际上是用两个序列或阵列来形成最佳信号，这种做法使得 在相同序列周期下最佳信号的可取种类变多了。为了进一步拓展信号的存 在空间，文献【7 0 】提出了一个几乎最佳自相关序列偶的新概念，它的异相循 环自相关函数f 4 s 】值仅在一点处不为0 ，而在其余处全为0 。 在a s c d m a ( a p p r o x i m a t e l ys y n c h r o n i z e dc d m a ) 系统中，系统的同步 可允许控制在一个或几个码片周期范围内。针对这个特性，不再要求扩频 序列在整个周期内都具有理想相关特性，而只要在同步误差范围内具有理 想相关特性就能保证系统的性能良好。零相关区域( z c z ) 序列偶正是因 此而产生的，它在零时延附近的一定区域内具有理想的相关特性。但是， 由于z c z 序列偶的设计受到诸多条件( 如相关性，理论限) 的约束，目前 找到的同周期z c z 序列偶还不很多。鉴于z c z 序列偶理论的诸多优点及实 用性，本文将两个非等周期序列引入到z c z 序列偶中，提出了一类新形式 的序列偶非等周期z c z 序列偶，它具有与普通z c z 序列偶相同的相关 性，但是其存在空间要比普通z c z 序列偶大得多。这里我们讨论的非等周 期是指一个序列的周期是另一个序列周期的m 倍，珊为正整数，为了便于 讨论，我们只取研= 2 。 3 2 非等周期z c z 序列偶的定义 定义3 1 ：设s = ( s ( o ) ，s ( 1 ) ，s ( 2 n 1 ) ) 和t = ( ，( o ) ，f ( 1 ) ，t ( n 1 ) ) 分别为 是周期为2 n 和的序列，j 、r 组成一个非等周期序列偶，记为( j ，f ) ，称 2 2 第3 章非等周期z c z 序列偶的理论研究 2 n - i ) ( f ) = s ( 醐+ f ) = j f f i o s o ) t o + f ) + + ，( 一1 ) r ( 一1 + f ) + j ( ) ，( o + f ) + +( 3 - 1 ) s ( 2 n - 2 ) t ( n 一2 十f ) + s ( 2 n - 1 ) t ( n - 1 + f ) 非等周期序列偶( j ，r ) 的循环自相关函数。式中i + z ；( i + z ) m o d n ，称 r ( ( o ) = j ( 咖( f ) 为循环自相关函数的主峰，称& ( f ) 为循环自相关函 数的副峰( f o m o d 2 ) 。 定义3 2 ：如果非等周期序列偶( j ，f ) 的循环自相关函数曩川( f ) 满足如 下条件： 2 一n - i l f 0 ，f = 0 & ，) ( f ) = t = 0s ( f y ( f + r ) 2 ；，1 面r ( 3 - 2 ) i ” io l - ：1 那么称o ，t ) 为参数为( m ，n ，t ) 非等周期零相关区域序列偶，简称为非等周 期z c z 序列偶，式中l h t 。 例3 1 ：设j = ( + 一+ 一) 和t = ( + 一) ，其中+ 代表+ 1 ，- 代表 1 ，则j 、t 组成一个m = 2 ，n = 4 的非等周期z c z 序列偶，因为( s ，f ) 的 自相关函数 一2。n-1 1 4 0 ，f = 0 & ，( f ) = i = 0 s ( 7 ) f ( f + f ) 2 o - ；马。峰2 所以，序列偶( j ，f ) 组成了以上定义的非等周期z c z 序列偶，此时t = 2 。 例3 2 ：设s = ( 一+ + + + 一+ + + 一_ + ) 和t = ( 一一一+ - + ) ，贝j 、f 组成一 个m = 2 ，n = 6 的非等周期z c z 序列偶，因为( s ，f ) 的自相关函数 一 ，2 n n - ii 一4 0 ，f = 0 ) ( f ) 2 驴册f ) 2 仃1 ；唯4 ，列 i ”， 1 ol o 所以，序列偶( j ，f ) 组成了以上定义的非等周期z c z 序列偶，此时t = 4 。 例3 3 ：设j = ( + + + 一一一+ + 一+ 一+ + + + 一) 和t = ( + + - - - - - - + + + ) ，贝s 、 f 组成一个m = 2 ，n = 8 的非等周期z c z 序列偶，因为( s ，f ) 的自相关函数 啦!1 4 0 ，f = 0 r o , o ( f ) - 驴y ( f + f 卜饼j 驯6 鳌坐查兰三堂堡圭兰垡笙奎 所以，序列偶( j ，) 组成了以上定义的非等周期z c z 序列偶，此时t = 6 。 定义3 3 ：非等周期序列偶( s ，f ) 的非循环自相关函数限1 4 ( ( r ) 定义为 2 一l o 4 州( r ) = j ( ，y ( f + f ) ( 3 3 ) t - - o 2 一l 称4 ( o ) = s ( f ) r ( f ) 为非循环自相关函数的主峰，称4 ( f ) 为非循环自 i - 0 相关函数的副峰“0 m o d 2 n ) 。 设d ( s ，r ) 为序列j 和t 的汉明距离，从定义3 1 和定义3 3 我们可以看出 r ( ( o ) = 4 ) ( o ) = 2 n 一2 d ( s , t ) ( 3 - 4 ) & ，) ( f ) = 4 ) ( r ) + 爿( ，) ( 2 n f ) ( 3 - 5 ) 3 3非等周期z c z 序列偶的性质 性质3 1 ：非等周期z c z 序列偶( s ，f ) 经过互易变换，所得的以s ) 仍是 非等周期z c z 序列偶。 证明：根据非等周期自相关序列偶的循环自相关函数的定义3 1 知 2 一l2 n - i r o a ) ( f ) = r ( 咖( f + r ) = t ( i - t ) s ( i ) = r o , o ) ( 3 - 5 ) t = ot - - o 由定义3 2 知，o ，s ) 是非等周期z c z 序列偶。证毕。 性质3 2 ：非等周期z c z 序列偶( s ，f ) 经过取补变换，所得的( j ，f ) 仍是 非等周期z c z 序列偶。 证明：根据定义3 1 可知 2 一1 2 - 1 r ( ，扣) = s ( 咖+ f ) = 一s ( 啦( “f ) = 咄( f ) ( 3 - 6 ) f 神1 = 0 由定义3 2 知，o ，f ) 是非等周期z c z 序列偶。证毕。 性质3 3 ：非等周期z c z 序列偶( j ，r ) 经间隔取补变换，所得的( “，叻是 非等周期z c z 序列偶。这里： 甜= ( s ( o ) ，s ( 1 ) ，s ( 2 n - 2 ) ，s ( 2 n - 1 ) )( 3 - 7 ) v = ( f ( o ) ，f ( 1 ) ，t ( n - 2 ) ，t ( n - 1 ) )( 3 8 ) 证明：因为 2 4 第3 章非等周期z c z 序列偶的理论研究 & ( f ) = “( 咖( f + f ) ， ，卸 一l 足= 【甜( 2 咖( 2 f + f ) + 云( 2 f + 1 ) - ( 2 f + l + f ) 】_ i - - 0 n - i 甜( 2 f ) v ( 2 f + f ) + 甜( 2 f + 1 ) v ( 2 f + 1 + f ) 】= 2 一1 “( d v ( f + r ) = t f f i o 置。( f ) ( 3 9 ) 由定义3 2 知，( “，v ) 是非等周期z c z 序列偶。证毕。 性质3 4 ：非等周期z c z 序列偶( s ，f ) 经过间隔取补变换有，所得的 ( ，v ) 是非等周期z c z 序列偶。这里： 甜= ( s ( 0 ) ，j ( 1 ) ，s ( 2 一2 ) ，s ( 2 n - 1 ) )( 3 - 1 0 ) v = ( f ( o ) ，r ( 1 ) ，f ( 一2 ) ，f ( 一1 ) )( 3 1 1 ) 证明：本证明与性质3 3 的证明类似，故略。 性质3 5 ：非等周期z c z 序列偶( s ，r ) 经过向左移k 位变换，所得的序列 偶0 ) r ( f ) ) 仍是非等周期z c z 序列偶。 证明：根据定义3 1 可知 s 俨。址即( t ) ) ( f ) = j o + | | 弘( f + 七+ f ) = e s ( i ) t ( i + z ) ( 3 1 2 ) 因为( f + j i ) ( i + k ) m o d n ，& 一( 。胪( 1 ) ) 0 ) = & ( f ) ，由定义3 2 知， ( 吐( 功是非等周期z c z 序列偶。证毕。 性质3 6 ：非等周期z c z 序列偶( j ，f ) 经过逆序变换，所得的( 胄( j ) r ( f ) ) 仍是非等周期z c z 序列偶。 证明：根据定义3 1 可知 2 - 1 & 即瑚h ( f ) = s ( 2 n - i ) t ( n - i + r ) = i = o s ( 2 n 1 ) t ( 2 n 一1 + f ) + s ( 2 n 一2 ) t ( 2 n - 2 + f ) + + s ( y ( o + f ) + s ( n 一1 ) t ( n l + f ) + + s ( o ) t ( o + f ) = 2 4 j ( f ) ，o + 2 + f ) = 置，) ( 2 + r ) ( 3 1 3 ) i = 0 2 5 燕山大学工学硕士学位论文 由定义3 2 知，( r ( s ) ，r ( f ) ) 是非等周期z c z 序列偶。证毕。 注意：若存在一个非等周期z c z 序列偶，则由性质3 1 3 6 ，可构造出 几种同长度的非等周期z c z 序列偶。 3 4 非等周期z c z 序列偶存在的必要条件 定理3 1 ：设( s ，f ) 是周期分别为2 n 和的非等周期z c z 序列偶，序列 s 的一个周期中“+ 1 ”的个数是一。，序列t 的两个周期中“+ l ”的个数是珥， n l o l ( t ) 是将序列，循环左移f 位时，序列j 一个周期中和t 的两个周期中对应 项同时取“+ 1 ”的个数，”( f ) z 且m o ，那么体+ 珥2 n + 2 m 成立 证明：由非等周期z c z 序列偶定义知，当1 茎i t 时，有 5 ( o ) f ( 0 一f ) + + 5 ( 一1 ) f ( 一l f ) + 3 ( ) f ( 0 一f ) + + ( 3 - 1 4 ) s ( 2 n 一2 ) f ( 一2 - i ) + s ( 2 n l y ( 一1 一d = 0 因为) ( n 是序列r 移位后，序列j 一个周期和序列t 的两个周期中对应项同 时取“+ 1 ”的个数，把序列j 和t 中各项的顺序重新排列如下，s 和t 中各 项的对应关系不变。 f ( 1 )? i s 一o ( 1 ) 午= = f 、辱= 耳i 仁= j 仁= 高 d 2 曲c = = = od 二出c = = 3 ，f )珥一啊 可以清楚地看出，因为s 、，中对应项相乘再相加所得和为0 ，所以序列j 、 t 中各对应项中两项取值不同的个数的和是，因此有 吃一，( ，) + 吩一”( 0 2 ( 3 - 1 5 ) 整理得 吃+ 珥寻 7 砣嘞m ( 3 1 6 ) 证毕。 引理3 1 ：在定理3 1 的条件下，若是奇数，则一。+ 珥是奇数；若 是偶数，则? i s + ? i t 是偶数。 证明：由定理3 1 ，一十珥州n ( o ，式中是奇数，因为2 n z , ( o 为 偶数，所以怫+ 珥是奇数；同理，是偶数，则吩+ 珥是偶数。证毕。 定理3 2 ：任意非等周期z c z 序列偶自相关函数的主峰值f 一定满足1 月 2 6 第3 章非等周期z c z 序列偶的理论研究 = 4 k ，式中足为任意正整数。 证明：设0 ，砂是周期分别为2 n 和的非等周期z c z 序列偶，序列j 的一个周期中“+ l ”的个数是以，序列t 的两个周期中“+ l ”的个数是惕， 是序列s 一个周期和序列t 的两个周期中对应项同时取“+ 1 ”的个数， e z 目n o o ，根据非等周期z c z 序列偶的定义有 纂裟一2 ) t 卜( n ：+ 2 棠s 驴( 2 n - 小1 ) t ( n 力+ - 1 黑0 。0 卅+ ( 3 1 7 ) j ( 2 一一一d +一f ) = 、。 将序列s 和t 中各项的顺序重新排列如下，j 和r 中各项的对应关系不变。 一一 午砷珲= 砰l ，= = a 仁