（基础数学专业论文）hopf+π代数与hopf+π理想.pdf

扬州大学硕士学位论文 2 摘要 h o p f 代数是当前代数学的研究热点之一，人们发现它与李代数、微分几 何、代数拓扑及物理学有着深刻的联系。过去几十年间，h o p f 代数被广泛 研究，在h o p f 代数的构造和分类方面取得了许多的重要结果。2 0 0 2 年 v g t u r a e v 在研究3 维流形及上链环上主万一丛的h e n n i n g s - l i k e 与 k u p e r b e r g l i k e 不变量的基础上引进了h o p f 万一余代数和h o p f 万一代数( 其 中f 为一乘法群) 。它们都是通常h o p f 代数的推广。v i r e l i z i e r 在文献 1 中已经研究了h o p f z 一余代数的一些性质。 本文分别在h o p f 万一代数上引进了b o p f 万一理想的概念，在h o p f7 r 一余代 数上引进了h o p f 万一子余代数的概念，并讨论两者之间的对偶关系。按如下 步骤： 首先，在第一部分，介绍了一些本文所涉及到的概念，为以后的论述做准 备这一部分给出了万一代数，万一余代数，h o p f万一代数，h o p f 万一余代数 等基本概念。 其次，在第二部分我们证明了局部有限维的h o p f万一代数 h = ( 也，a 口，) a 。，m ，”，s ) 的对偶日”= ( 或，一m 。，一u 口) ，五，一u ，s ) 是一个h o p f 万一 余代数。 在第三部分，我们给出了万一理想与万一子余代数的概念，接着指出了 h o p f 万一代数日的7 一理想与日”的万一子余代数之间的对偶关系。即 定理3 7 设= ( 吼) 口。，肌，“，s ) 是一个局部有限维的h o p f 万一代数， d = 坟i 见以) 口盯是日的一簇子空间，则d = 见i 见s 坟) 口。是日的一个 7 一理想，当且仅当d 上= d 口上 ，是h 。= ( ( 磁，m 口，“。) ，“，s ) 一个万一子余 、 一 ，6 t e 石 ， 代数。 最后，第四部分首先给出了h o p f 万一理想，h o p f2 l 一子余代数的概念， 李建龙h o p f 乃代数与h o p f 万一理想 然后讨论了它们的对偶关系，得到了本文的主要结论：h o p f 万一代数日的 h o p f7 r 一理想与h o p f 万一余代数日”的h o p f 万一子余代数之间的对偶关系， 即定理4 6 定理4 6 设日= ( 也) 。，聊，“，s ) 为局部有限维h o p f 万一代数， i 1 0 1 ，o 致) 。是一簇子空间，则，= ，0 1 i o 或) 。是h 的一个h o p f 万一理想当且仅当i 上= j 是h ”= 吃，m 口，u 口) ，u ，s ) 的h o p f7 一子余 口，口e ，r - 。 ， 代数。 关键词：h o p f 万一代数，h o p f 刀一余代数，h o p f7 * 一理想，h o p f 万一子 余代数，对偶空间 扬州大学硕士学位论文尘 a bs t r a c t w h e nh h o p fs t u d i e dt h eh o m o l o g yo fc o m p a c tl i eg r o u p ，t h ec o n c e p to f h o p fa l g e b r aw a si n t r o d u c e d n o ww ek n e wt h a ti ti se x t e n s i v e l yc o n n e c t e dw i t h l i ea l g e b r a ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，a l g e b r a i ct o p o l o g ya n ds t a t i s t i c a lp h y s i c s h o p f a l g e b r ai sa ni n t e r e s t i n gs u b je c tf o rp e o p l e ， a n dh a sb e e nw i d e l ys t u d i e do v e rt h e p a s ts e v e r a ld e c a d e s o n eg o tm a n yi m p o r t a n tr e s u l t sa b o u tc o n s t r u c t i n ga n d c l a s s i f y i n gh o p fa l g e b r a s t h en o t i o n so fh o p f 兀一a l g e b r aa n dh o p f 尢一c o a l g e b r a ， w h e r e 兀i sag r o u p ， g e n e r a l i z eh o p fa l g e b r a h o p f7 c - ( c o ) a l g e b r aw a si n t r o d u c e d a n du s e db yvgt u r a e vt oc o n s t r u c th e n n i n g s l i k ea n dk u p e r b e r g l i k ei n v a r i a n t s o fp r i n c i p a l 兀一b u n d l e so v e rl i n kc o m p l e m e n t sa n do v e r3 - m a n i f o l d s v i r e l i z i e r h a v es t u d i e ds o m ep r o p e r t i e so ft h eh o p f7 1 ；一c o a l g e b r a 1 】w a n gs h u a n h o n gh a v e s t u d i e dm o r i t ac o n t e x t sa n d7 c g a l o i se x t e n s i o n sf o rt h eh o p f 刀- c o a l g e b r a ，a n d d r i n f e l dc o d o u b l e sm o d u l e sf o rh o p f n a l g e b r a s 6 】、【7 】 i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fh o p fn i d e a li nh o p f n a l g e b r a s ， a n dh o p f 兀- s u b c o a l g e b r ai nh o p f 兀一c o a l g e b r a s 。w ew i l lw o r ko nt h ed u a l i t y b e t w e e nh o p f7 1 ；一i d e a la n dh o p f7 c s u b c o a l g e b r a i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h e c o n c e p t so f 万一a l g e b r a ，万一c o a l g e b r a ，h o p f 万一a l g e b r a ，h o p fy 一c o a l g e b r a t h o s ea r ep r e l i m i n a r i e sf o rn e x tc o n t e n t s i ns e c t i o n2 ，w eg e tt h a tt h ed u a l i t yo fal o c a lf i n i t eh o p f 万一a l g e b r ai sa h o p f 万一c o a l g e b r a i ns e c t i o n3 ，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so f 万一i d e a la n d 万一s u b c o a l g e b r a w ea l s og i v et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e m ( t h e o r e m3 7 ) t h e o r e m3 7l e t = ( 故 ，g ) b eal o c a lf i n i t eh o p f7 r - a l g e b r a ， t h e nd - - d o l g o 以li sa 万一i d e a l 。f 日i fa n d 。n l yi f d 上= d 上口l i s 李建龙h o p f7 r - 代数与h o p f 万一理想 a 冗一s u b c o a l g e b r a o fh “ i ns e c t i o n4 w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fh o p l7 一i d e a la n dh o p f 万一s u b c o a l g e b r a , a n dd i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e naf a m i l yo fc o i d e a l sa n da f a m i l yo fs u b a l g e b r a s ( l e m m a4 5 ) a tl a s tw es t u d yt h ed u a lr e l a t i o nb e t w e e n h o p f7 【一i d e a li nh o p f兀一a l g e b r aa n dh o p f 兀一s u b c o a l g e b r ai nh o p f兀- c o a l g e b r a ( t h e o r e m4 6 ) l e m m a4 5 l e t 日= ( 也) ，s ) b e al o c a lf i n i t eh o p f 万一a l g e b r a ， j = l l 屯以) 。af a m i l y o fs u b s p a c e so fh ，t h e n ，a r eaf a m i l yo f c 。i d e a i so fhi fa n do n l yi f ，上= ，上口) a r eaf a m i l yo fs u b a l g e b r a so f 日” t h e o r e m4 6 l e t h = ( 致 ，占) b e al o c a lf m i t e h o p f 万一a l g e b r a ，= l i l 玩) 口。a r eaf a m i l yo f s u b s p a c e so f 日，t h e n ，i s a h o p fz - i d e a lo f h i fa n do n l yi f j 上= ，上。) 。i s ah o p f z s u b c o a l g e b r ao f h “ k e yw o r d s ：h o p f 氕一a l g e b r a ；h o p f 冗一c o a l g e b r a ；h o p f 氕一i d e a l ； h o p f 万一c o i d e a l 扬州大学硕士学位论文 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得 的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体 已经发表的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者妣招舀 签字日期： 明年f 明e t i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查 阅和借阅。本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文 数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 、 学位论文作者签名：刁氟多屯 导师签名： 古 蝉 签字日期： p 气年l 调( 日 l 签字日期。7 年阳f ，日 扬州大学硕士学位论文 h o p f 万一代数与h o p f7 一理想 0 引言 h o p f 代数是当前代数学研究中最活跃的方向之一，近年来h o p f 代数的研 究获得了许多重要的进展，这主要是由于量子群理论的兴起和h o p f 代数作用 理论的发展。它在数学、量子力学和数学物理方面已获得许多重要结论和应用， 可参见文献 3 】、【4 和【8 - 1 6 。 作为h o p f 代数的推广，h o p f 万一余代数和h o p f 万一代数( 其中万为一乘法 群) 是v g t u r a e v 在研究3 维流形及上链环上主万一丛的h e n n i n g s 一1i k e 与 k u p e r b e r g - ii k e 不变量的基础上引进的一类代数结构，见文献 1 和 2 。在文 献 6 和 7 中，作者已经讨论了h o p f 万一余代数的m o r i t ac o n t e x t s 和万一g a l o i s 扩张，以及与h o p fy 一代数的有关d r i n f e l dc o d o u b l e s 本文中我们感兴趣的是：h o p f 万一代数上的h o p f 万一理想与对偶h o p f z 一余 代数上的h o p f 万一子余代数之间是否存在必然的联系，若存在，关系是如何的 呢? 本文主要就h o p f 万一代数上的h o p f 万一理想展开讨论。 分三个部分进行阐述和论证。 首先，在第一部分，我们介绍了一些本文所涉及到的概念，为以后的章节 奠定了一些理论基础这一部分给出了7 r 一余代数，7 一代数，h o p f 万一代数， h o p f 万一余代数等基本概念 其次，在第二部分我们证明了局部有限维的h o p fy 一代数 日= ( 玩，口，毛 口。，m ，“，s ) 的对偶h ”= ( 嘭，所口，“。) ，“，s ) 是一个h o p f 万一 余代数。 在第三部分给出了t 一理想与7 一子余代数的概念，接着指出了局部有限 维的h o p f 万一代数日的万一理想与日的对偶h ”的万一子余代数之间的对偶关 李建龙h o p f7 l 代数- b ：h o p f 万理想 系。 最后，在第四部分首先给出了h o p f 万一理想，h o p f 万一子余代数的概念， 然后讨论了它们之间的对偶关系得到了本文所要研究的主要结论：局部有限 维的h o p f 万一代数日的h o p f 万一理想与h o p f 万一余代数日”的h o p f 万一子代 数之间的对偶关系，即定理4 6 。 扬州大学硕士学位论文 1 、预备知识 本文中恒设k 为一个域，万是一个任意的乘法群，其单位元为1 。所有向 量空间都是指k 一向量空间，映射都是k 一线性映射，么p kb ，h o r n k ( 彳，b ) 分 别写成么o b ，h o m ( a ，b ) 。其它一些概念和记号参考文献 1 ， 2 或 9 。 下面我们给出万一代数和刀一余代数的定义，在此基础上再引入h o p f 万一 代数和h o p f 万一余代数的概念。 定义1 1 设 以 。，为一簇向量空间，并存在一簇k 一线性映射 朋= 聊郇：a a p 哼锄) 础盯( 乘积) 及弘线性映射“：k 专4 ( 单位) ，对任 意的口，p ，7 万，口以，满足 ，( ， 畋) = ，办( 吸。，) m a , l ( f 噍。“) ( 口。1 。) = 口= 碍，口( “。吼) ( 1 。 口) 则称彳= ( 幺 窿劬，朋，“) 为万一代数。 注：显然万一代数和通常意义下的代数不一样，取万= 1 ) 时，( 4 ，观p “) 就 是通常意义下的代数。 对偶地，我们有如下万一余代数的概念。 定义1 2 c = ( 巴) ，s ) 称为万一余代数，r e c o 。钉是一簇k 一向量 空间， i 赋g t 一簇k 一线性映射= 郇：一q q 础。( 余乘法) 及 李建屁h o p f 万代数与h o p f7 - 理想 k 一线性映射：c 1 专k ( 余单位) ，使得下列图交换： c 嘶j 迎jc ，圆c 印 吣。v d f 4 跳e 。 c 石矿q q q c ， c lo 巴 8 电l d c 。 z k0 c 口 个l 口 人 惋 e 即：对任意的口，y 万满足： q o c l 鼢 引个 巴 k ( a a , p 圆) 筇，= ( f 。 卢，a 口，办； ( 吃 g ) 刚= 1 4 _ = ( s f 叱) 。矿 e ( 1 ) ( 2 ) 注：( 1 ) 记色。卢( c ) 2 蔷( 印 c ( ：纠) 巴。q ，对任意c ，口，万。 ( 2 ) 若有三个元素口，厂万，c ，则上述定义1 1 中的( 1 ) 式 可写成为蔷吼筇) ( 1 ，口) o 龟印) ( ：纠 c ( 2 ，) 2 蔷龟口) 印所) ( 1 纠 龟酬：力可以推 广到以个分量的情形。 ( 3 ) 由此定义我们不难得出( c l ，a ，s ) 是通常意义下的余代数。 下面我们给出h o p f 万一代数及h o p f 万一余代数的概念，可参考文献 1 。 扬州大学硕士学位论文 定义1 3 设日= ( 见) 艇，川，“) 为万一代数，给定一簇弘线性映射 s = 足：以斗吃一。) 口。称日= ( 以) 口e 石，聊，“，s ) 为h o p f 万一代数，若满足： ( 1 ) 任意的口万， s - s = ，口，s 。) 是k 一余代数： ( 2 ) 对任意的口，万，k 一线性映射，“：k - - - ) e 和m 郇：s - s = o 一 都为余代数同态； ( 3 ) 反极元s 使得下列图交换： h ：山h “上 个m 一， 口口 s - s = 圆s - s = 簪布一h 一，p s - s ： h 1 纽h n 山个m 一 口口 心 也瓦商一s - s = o h 一- 即：对任意的口万，聊。，口( & 圆i d h 。a 口= 甜气= 聊啪。( i d z = 。& ) 口。 注：若取万= 1 ) ，此时h o p f 万一代数就是通常意义下的h o p f f 墩。 定义1 4 设疗= ( 反) 口。，s ) 为万一余代数， 给定一簇k 一线性映射 s = & i 也一吃一。) 。，称疗= ( 吃) 口酊，s ，s ) 为h 。p f 万一余代数， 若满足 以下三个条件： ( 1 ) 对任意的口万，( 吃，聊o t ，, u a t ) 是k 一代数； ( 2 ) 对任意的口，刀，k 一线性映射郇：如专也。岛和占：宣- - - - k 都 为代数同态； 釜壁垄旦婴f 刀代数与h o p f 刀理想 ( 3 ) 反极元s 使得下列图交换： h 、1 4h ， a a - i , a 山个 a r 、圆a ，1 孓丽i 啼a ：圆a n a 、山a 。 玎1 山个 自，圆a f l 1 瓦醪了_ a ，a ， 即：对任思- a p x ：的口万，( 蔓。i d u 。) a 口一。= g = ( f 吒 & 一。a 口口一。 注：由定义不难看出( 丘，l , l , e , n h , 1 ，u 1 ) 是一个通常的h o p f 代数。因此可 见h o p f 万一余代数是通常h o p f 代数的一种推广。 一个h o p f 万一代数日= ( 也) 口研，聊，扰) 称为局部有限维的，如果每一个 k 一向量空间吃( v 口万) 都是有限维的。在本文的讨论中总是设h o p f 万一代 数日是局部有限维的。 扬州大学硕士学位论文 2 、h o p f 万一代数的对偶 在本节中我们将证明一个局部有限维的h o p f 万一代数日的对偶空间可 以构成一个h o p f 万一余代数。 设= ( 以，口，e a 口俐m ，“，s ) 是一个局部有限维的h o p f 万一代数记 吃= ( 所有k 一线性映射厂：以- k ) 为以的对偶空间。 由于线性映射 m = m a ，卢：坟 日p 专 和甜：k 专q 可以导出两个k 一线性映射 唬，：_ ( 巩固) 和甜：q 。k 。 此时令映射五= 五口：一磁。嘭) 是如堕q ( 玩os p ) 与 疋。磁的合成映射，；= 甜是研与k 与k 的合成映射。 同理， 我们可以定义线性映射鬲。是磁 嘭与( eo 磁) 垒或的合成，映 射乙。是k 与k 与也的合成。这样我们可以得到下面的定理。 定理2 1 设h = ( 也，a 口，气) 口吲m ，“，s ) 是一个局部有限维的h o p f 万一 代数则其对偶空间日”= ( 疋，鬲口，云口) ，五，；，s ) 关于如上所定义的乘法与余 乘法构成个h o p f 万一余代数。 证明：首先，证日厅= ( 砭) 。引五，；) 是一个万一余代数。 任取厂，口致，b 易，c h r ，则 = = 2 = = 2 所以( 如。圆f 以：) 印，2 ( i d n ；oa p 。，) 口厨。 另夕 ，任取g 艺，a 上乞，贝u 2 = 。 ， 所以( 搿h ： ；) 五刚= i d h ：同理：6 f d h ：) - g = i d ：，即有 ( i d h 。o s ) 口，1 - f 5 o f d ：) 札。 所以，h 4 是一个万一余代数。 其次，证明对于任意的a 万，( 日：，一m 口，云口) 是代数。 因为( 也，a 口，毛) 是一个余代数，由参考文献 2 可知( 疋，m 口，“a ) 是一个 代数。 再证，一a a , p ：专磁圆睇和；：研一k 都是代数同态。 任取口，万，因为致，都是域k 上有限维的余代数，据h o p f 万一代 数定义知，映射聊郇- h h p 一矛1 ：iu ：k h i 都是k 一余代数同态。由 可知( e ，一m a ，磊球) 是k 一代数，所以研和磁 磁均是k 一代数，而且 映射五口，- - = m o + t ，口矛t l t = u 。都是k 一代数同态。 最后，证h o p f 万一代数h 的反极元s = & ：h 口寸也一。) 口。的对偶映 射s = ( s ) 口_ 1 = s ：磁一。专h ：) 口钉， 对于任意的口刀，满足 扬少i 1 火学硕士学位论文 芴口( ( 观一。 f ) 五口一，口= 云。；= 一m a ( f 办：圆( 观一，) 五啊，。 f f 驭f 研，h 1 4 0 ，则有 2 = = = = 即磊a ( 哝：) 五口一，口= 云口；成立。 同理， 鬲口( 圆) 五口一。= 云口一e 成- ：c 。 综合上述可知，日”= ( 或，一m 口，一u 口) ，一a ，一u ，s ) 是一个h o p f 万一余代数。 李建龙h o p f 万一代数与h o p f 万一理想 3 、7 一理想 在这一节中，我们将引入7 一理想和万一子余代数的概念，并讨论h o p f 7 一代数日中的7 一理想与h o p f 万一余代数日”中的万一子余代数相对应关 系。 设日= 以) 口。为一簇足一向量空间，c = 巴i q 以) 口。是一簇子空间， 记：c 上= 硭) ，其中诺= 吃以i = o ，v 气e ) 为哎的子空间。 同理，若d = d old o 珥 口。是一簇子空间，记：d 上= 磁) 口研，其中 p 当= 吃g oi = o ，v 以珑) 为g o 的子空间。 定义3 1 设么= ( 以) 口。，聊，“) ，b = ( 吃) 口。石，m ，“) 为两个7 r 一代数， g = 岛i 岛：以专吃) 为一簇一线性映射，若对任意的巧，万都满足： m ：，夕( g 口 部) - g 叩m ：和g ，扰爿= “8 ，则称g = ) 口朗为万一代数同态 定义3 2 设c = ( q 口。厅，a ，占) ，h = ( h a ，s ) 为两个万一余代数， 厂= 厶i 厶：q 专以 为一簇k 一线性映射，若对任意的口，7 ，都满足： 易岛= ( 厶 厶) ：和占石= 占f ，则称厂= f o 口钎为7 一余代数同态。 定义3 3 若么= ( 以 口。，优，“) 为万一代数，= 厶ii o 互a o 口酊是彳的一 簇子空间，如果对任意的口，7 都满足： ( 1 ) m a , f i r ( lo4 ) ，则称，为彳的一个左万一理想； 扬州大学硕士学位论文 ( 2 ) m a , p ( 以。易) ，则称为彳的一个右万一理想； ( 3 ) ，声( 厶 厶) 白且朋郇( 以。) s ， 则称，为彳的一个万一理想。 定义3 4 设c = ( 巴) 口。，占) 为万一余代数，v = v oi 圪c 口) 驰疗是c 的 簇子空间，如果对任意的口，万都满足口，p ( ) 圪o ， 则称矿为c 的一个万一子余代数。 引理3 5 设d = 见i 见以) 口。；是h o p f 刀一代数日的一个万一理想。则 d 上= 以是h o p f 万一余代数日”的一个i t 一子余代数。 、 j 口e ，r 证明：要证d 上是日疗= ( 吃，鬲。，一1 1 口) ，五，云，s ) 的一个万一子余代数，即要对 任意的口，万，a a , z ( p 易) 磁。磁。 4 7 c l rx e 踢，则由五的定义有五郇( x ) = 欺抽) oz “p ) 玩。磁，不失一般 性，可以设( 反叩) ) 是线性无关的。现在假设a c t , f l ( z ) 诺磁。磁， 不妨令 欺l 口) 诺d 毒，那么就存在口见互也，使得 0 ，再选取7 ，使 得 = 磊，。 因为d 是的一个万一理想，所以对任意的口，万有聊郇 py ) ， 即 = 0 。另一方面，有： 李建龙h o p f7 - 代数与h o p f7 - 理想 = f 2 = = 所以i “= “。，即i = 艺 为万一代数同态。 一，口e 石 又由于 砖= 玩i = o ，v 吃巴磁) 另一方面， k e r i * 。= 致i = o ，v 以q 日：) 即有 砖= k e r i 。 再由于 从而 厶嘭( 尬，艺o ) = 聊0 ( 艺o ) ( k e r i * 。 ) = o m 哪h ( 尬，乏圆) k e r i 妒 同理可得 m 郇h ( 致 k e r i p ) k e r i 。p 所以，k e r i = k e r i ) 口。石是日的个万理想，从而c 上是日的一个万一理想。 定理3 7 设h 是一个局部有限维的h o p f7 一代数，则 d = 见i 眈致) 口朗是h 的一个万一理想，当且仅当d 上= 见上) 口e ，是日”一个 李建龙h o p fy - - 代数与h o p f7 - 理想 1 9 万一子余代数。 证明：由引理3 5 和引理3 6 得证。 扬州火学硕士学位论文 4 、h o p f 万一理想 在这一节中，我们分别在h o p f7 一代数中引入h o p f 万一理想的概念，在 h o p fl t 一余代数中引入h o p f7 一子余代数的概念，然后讨论它们的对偶关 系，得到本文的主要结果，即定理4 6 。 定义4 1 设日= ( 也) 。，聊，“) 为h o p f 万一代数，形： w 0 1 w o 吼) 口。 称为h 的一个h o p f 万一理想，若形- - w o l 形o 也) 口钮是日的万一理想，同时 w - w o j w o 以) 口。是日的一簇余理想( 即对于任意的口刀，是也的余理 想) ，且对于任意的口万，都有& ( 吸) 睨一。 定义 4 2 设曹= ( 或 口。，g ) 为h o p f 万一余代数， w = 睨l 吸互吃 是疗的万一子余代数，称形= 睨j 睨量玩 为疗的一 、，口e ，r、 ，口e 露 个h o p f 万一子余代数，若w = 睨l 睨也 是日的一簇子代数( 即对于任意 、 ，口e ，r 的口万，吸是以的子代数) ，且对于任意的口万， & ( 睨) s 睨一，。 引理4 3 设日= ( 以 。，脚，甜) 是一个h o p f 万一代数， 4 = 以i 以以) 口。是日的一簇余理想，则4 上= e ) 是日”的一簇子 代数。 证明：对任意的口7 ，因为 冬 = + = o 所以 聊。( ) 李建龙h o p f 万代数与h o p f7 1 - 理想 另外，因为彳是h 的一簇余理想，所以毛( 以) = 0 由于 = 一 = 0 所以，u ( 1 。) ，即么上= 砖) 口钮是日”的一簇子代数。 引理4 4 设h = ( 心) 口。，m ，甜) 是一个h o p f 万一代数，若 b - - 8 0 l8 0 磁) 。是h ”的一簇子代数，则b 上= 砖) 口劬是日的一簇余理 想。 证明： 任取口万，因为吃是吃= ( e ，芴口，一u 。) 的子代数，则有 一u a ( 1 。) 吃，又吃的对偶空间( 磷，口，气) 是余代数，所以 = o ， 即 = 0 ，即s 口( 砖) = 0 。 又因为 = - 0 所以口( 砖) ( b o 吃) 上= 砖 吃+ 以 砖，即b 上是的一簇余理想。 引理4 5 设口= ( 坟) 。，m ，“) 是一个h o p f 万一代数， 么= 以j 以以) 口。是日的一簇子空间，则彳- - a o la o 以) 口。，是日的一簇 余理想当且仅当彳上是日”的一簇子代数。 证明：由上述引理4 4 ，4 5 可得。 定理4 6 设日= ( 也) 口。，m ，“) 是一个h o p f 7 1 一代数， = i o lz 以) 口。，是日的一簇子空间。则，是日的一个h o p f 万一理想当且 仅当j 上是h ”的一个h o p f 万一子余代数。 证明：由定理3 7 知，是日的万一理想当且仅当，上是h ”的一个 万一子余代数。 扬州大学硕+ 学位论文 由上面引理4 5 司知，是日的一簇余理想当且仅当，上是日4 的一簇予代 数。 再证，对于任意的口万，& ( 乞) 乞一。当且仅当( ，) 口( l 上) 互砖。， 这里 规定( ，) 口= - 1 日口专哎- 。 任取厂l a - 1 ae 乞叫因为( 1 s r + ) 口( 厂) ( 口) = 一( 门( 口) = f ( s 一，( 口) ) = o ，y i n 为，砖，。( 口) l ，所以( s ) 。( 砖) 譬。 反之，任取g l ，口1 2 _ 。，因为口( & ( g ) ) = ( 口( g ) ) = ( s ) 口，( 口) ( g ) = 0 ， 所以& ( l ) 曼1 - - o 综匕所述，定理得证。 李建龙h o p f7 - 代数与h o p f 万一理想 2 3 参考文献 【1 】v i r e l i z i e ra ，h o p fg r o u p c o a l g e b r a s 【j ，j o u r n a lo f p u r ea n da p p l i e d a l g e b r a ，2 0 0 2 ( 1 7 1 ) ：7 5 1 2 2 【2 】s w e e d l e rm e ，h o p fa l g e b r a m 】n e wy o r k ：b e n j i a m i n ，19 6 9 3 】z u n i n om ，d o u b l ec o n s t r u c t i o nf o rc r o s s e dh o p fc o a l g e b r a s 【j 】，j a l g e b r a ， 2 7 8 ：4 3 - 5 7 ，2 0 0 4 【4 】v i r e l i z i e ra ，i n v o l u t o r yh o p fg r o u p c o a l g e b r a sa n df i a tb l u n d l e so v e r3 m a n i f o l d s ，a r x i v ：m a t h g t 0 2 0 6 2 5 4 ，2 4 ，2 0 0 2 5 】t r u a e vvg ，h o m o t o p y f i e l d t h e o r y i nd i m e n s i o n3a n dc r o s s e d g r o u p - c a t e g o r i e s ，p r e p r i n t ，g t 0 0 0 5 2 9 1 【6 】w a n gs h u a n - h o n g ，c o q u a s i t r i a n g u l a rh o p fg r o u pa l g e b r a sa n dd r i n f e l d c o d o u b l e s ，c o m m u n i c a t i o n si na l g e b r a ，3 5 ：1 - 2 5 ，2 0 0 7 7 】w a n gs h u a n h o n g ，m o r i t ac o n t e x t s ，万一g a l o i s e x t e n s i o n sf o r h o p f t t - c o a l g e b r a s ，c o m m u n i c a t i o n si n a l g e b r a ，3 4 ：5 2 1 5 4 6 ，2 0 0 6 8 k a s s e lc ，q u a n t u mg r o u p s m ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，19 9 5 【9 s u nj i a n h u a ，z h a n gp u ，o nt h es t r u c t u r eo fg r a d e d 兄一h o p fa l g e b r a s ， a c t a m a t h e m a t i c as i n i c a ，2 5 ( 1 ) ：9 5 1 0 8 ，2 0 0 9 1 0 s u n