20132014自考04183概率论与数理统计(经管类)小抄笔记自考速成笔记.doc

概率论与数理统计（经管类） 柳金甫、王义东 主编， 武汉大学出版社 2006年版第一章 随机事件与概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 多维随机变量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第九章 回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。第一章随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。本章内容1.1 随机事件 1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。结论：随机现象是不确定现象之一。2.随机试验和样本空间随机试验举例：e1：抛一枚硬币，观察正面h、反面t出现的情况。e2：掷一枚骰子，观察出现的点数。e3：记录110报警台一天接到的报警次数。e4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。e5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。e6：在区间0，1上任取一点，记录它的坐标。随机试验的特点：试验的可重复性；全部结果的可知性；一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。举例：掷骰子：1，2，3，4，5，6,1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用a,b,c,表示。只包含一个样本点的单点子集称为基本事件。必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等包含：设a，b为二事件，若a发生必然导致b发生，则称事件b包含事件a，或事a包含于事件b，记作，或。性质：例：掷骰子，a：“出现3点”，b：“出现奇数点”，则。注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件a与事件b相等，记作ab。（2）和事件概念：称事件“a与b至少有一个发生”为事件a与事件b的和事件，或称为事件a与事件b的并，记作或ab。解释：包括三种情况a发生，但b不发生，a不发生，但b发生，a与b都发生。性质：，；若；则。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和举例：a：“掷骰子出现的点数小于3”与b：“掷骰子点数大于4”则ab1，2，5，6（3）积事件概念：称“事件a与事件b同时发生”为事件a与事件b的积事件，或称为事件a与b的交，记作ab或ab。如需精美完整排版，请qq: 1273114568解释：ab只表示一种情况，即a与b同时发生。性质：，； 若，则aba。推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。举例：a：“掷骰子出现的点数小于5”与b：“掷骰子点数大于2”则ab3, 4 （4）差事件概念：称“事件a发生而事件b不发生”为事件a与事件b的差事件，记作ab. 性质： a； 若，则ab。举例：a：“掷骰子出现的点数小于5”与b：“掷骰子点数大于2”则ab1，2（5）互不相容事件概念：若事件a与事件b不能同时发生，即ab，则称事件a与事件b互不相容。推广：n个事件a1，a2，an两两互不相容，即aiaj，ij，i，j1，2，n。举例：a：“掷骰子出现的点数小于3”与b：“掷骰子点数大于5”则a与b互不相容。（6）对立事件：概念：称事件“a不发生”为事件a的对立事件，记做.解释：事件a与b互为对立事件，满足：ab；ab举例：a：“掷骰子出现的点数小于3”与b：“掷骰子点数大于2”则a与b相互对立性质：；，；abaab；如需精美完整排版，请qq: 1273114568 注意：教材第5页的第三条性质有误。a与b相互对立a与b互不相容.小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；运算：和，积，差，对立.（7）事件的运算性质（和、积）交换律abba，abba；（和、积）结合律（ab）ca（bc），（ab）ca（bc）；（和、积）分配律a（bc）（ab）（ac）；a（bc）（ab）（ac）对偶律；.例1习题1.1，5（1）（2）设a，b为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：证明：证明：例2.习题1.1，6请用语言描述下列事件的对立事件：（1）a表示“抛两枚硬币，都出现正面”；答案：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。（2）b表示“生产4个零件，至少有1个合格”。答案：“生产4个零件，没有1个是合格的”。1.2概率 1.频率与概率（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件a发生na次，则称na为事件a发生的频数；而比值na/n称为事件a发生的频率，记作fn（a）.（2）fn（a）的试验特性：随n的增大，fn（a）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作p（a）.（3）由频率的性质推出概率的性质推出，推出p（）0，p（）1a，b互不相容，推出p（ab）=p（a）p（b），可推广到有限多个和无限可列多个. 如需精美完整排版，请qq: 1273114568 2.古典概型概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；每个基本事件发生的可能性相同。计算公式：例3.p9例18。抛一枚均匀硬币3次，设事件a为“恰有1次出现正面”，b表示“3次均出现正面”，c表示“至少一次出现正面”，试求p（a），p（b），p（c）。解法1设出现正面用h表示，出现反面用t表示，则样本空间=hhh，thh，hth，hht，tth，tht，htt，ttt，样本点总数n=8，又因为a=tth，tht，htt，b=hhh，c=hhh，thh，hth，hht，tth，tht，htt，所以a，b，c中样本点数分别为ra=3，rb=1，rc=7，则解法2抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件a包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i1，2，3，而且ra=3。显然b就是一个基本事件，它包含的基本事件数rb=1它包含的基本事件数rc=n-rb=23-1=7，故例4.p10例112。一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。试分别针对上述两种情况，求事件a“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。解：（1）（2）3.概率的定义与性质（1）定义：设是随机试验e的样本空间，对于e的每一个事件a赋予一个实数，记为p（a），称p（a）为事件a的概率，如果它满足下列条件：p（a）0；p（）1；设，是一列互不相容的事件，则有.（2）性质 ，；对于任意事件a，b有；.如需精美完整排版，请qq: 1273114568设p（a）=0.7，p（b）=0.6，p（ab）0.3，求解：（1）p（ab）p（a）p（ab）p（ab）p（a）p（ab）0.70.30.4例6.习题1.213设a，b，c为三个随机事件，且p（a）p（b）p（c），p（ab）p（bc），p（ac）0。求：（1）a，b，c中至少有一个发生的概率；（2）a，b，c全不发生的概率。解：（1）“a，b，c至少有一个发生”表示为abc，则所求概率为p（abc）p（a）+p（b）+p（c）-p（ab）p（ac）p（bc）+p（abc）1.3条件概率 1.条件概率与乘法公式条件概率定义：设a，b为两个事件，在已知事件b发生的条件下，事件a发生的概率，称为事件b发生条件下事件a发生的条件概率，记做p（a|b）.例7p13例117.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问：（1）该职工技术优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？解：设a表示“选出的职工技术优秀”，b表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：（1）（2）计算公式：设ab为两个事件，且p（b）0，则。乘法公式：当p（a）0时，有p（ab）p（a）p（b|a）；当p（b）0时，有p（ab）p（b）p（a|b）.推广：设p（ab）0，则p（abc）p（a）p（b|a）p（c|ab）设，则例8p15例122.盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。解：设ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为2.全概率公式与贝叶斯公式（1）划分：设事件，满足如下两个条件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一个发生，则称，为样本空间的一个划分。当，为样本空间的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。（2）全概公式：设随机试验的样本空间为，为样本空间的一个划分，b为如需精美完整排版，请qq: 1273114568证明：注意：当0p（a）0，则，i1，2，n.注意：在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算p（b）；理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.例题11p17例128【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。解：由贝叶斯公式，例题12p17例129【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？解：设a表示“某人患这种病”，b表示“化验呈阳性反应”，则p（a）=0.01，p（b|a）=0.9，由全概率公式得=0.010.9+0.990.55=0.0585再由贝叶斯公式得 1.4 事件的独立性 1.事件的独立性（1）概念：若p（ab）p（a）p（b），则称事件a与事件b相互独立，简称a，b独立。解释：事件a，b相互独立的含义是：尽管a，b同时发生，事件a发生的概率对事件b发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。（2）性质： 设p（a）0，则a与b相互独立的充分必要条件是。证明： 若a与b相互独立，则a与，与b，与都相互独立。证明： 只证，b相互独立则只需证=p（b）-p（ab）=p（b）-p（a）p（b）=p（b）1-p（a）从而得证。例题1.p19【例130】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。解 设a表示“甲射中目标”，b表示“乙射中目标”，c表示“目标被击中”，则c=ab。p（c）=p（ab）如需精美完整排版，请qq: 1273114568由题意，a，b相互独立p（ab）=p（a）p（b）=1-0.10.2=0.98注：a，b相互独立时，概率加法公式可以简化为。例题2.p19【例131】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。 解：设a表示“第一次取球取到白球”，b表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，a与b是相互独立的。所求概率为p（ab）=p（a）p（b）=点评：有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。（3）推广： 3个事件相互独立：设a，b，c为3个事件，若满足p（ab）p（a）p（b）， p（ac）p（a）p（c）， p（bc）p（b）p（c），p（abc）p（a）p（b）p（c）则称a，b，c相互独立，简称a，b，c独立。 3个事件两两相互独立：设a，b，c为3个事件，若满足 p（ab）p（a）p（b）， p（ac）p（a）p（c）， p（bc）p（b）p（c），则称a，b，c两两相互独立。显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。 n个事件相互独立：设a1，a2，an为n个事件，若对于任意整数k（1kn）和任意k个整数1i1 i2ikn满足则称a1，a2，an相互独立，简称a1，a2，an独立。例题3.p21【例134】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。解：设ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，b表示“敌机恰中一弹”。 其中，互不相容，且a1，a2，a3相互独立，则=0.10.80.7+0.90.20.7+0.90.80.3=0.3982.n重贝努利试验 （1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件a发生或不发生，且p（a）p（0p0，p（b）0，则下列各式中错误的是（）a.p（a）1p（）b.p（ab）p（a）p（b）c.p（）1d.p（ab）1答案：b 2.（402）设a，b为两个随机事件，且p（a）0，则（）a.p（ab）b.p（a）c.p（b）d.1答案：d 3.（701