（基础数学专业论文）z连续domain的若干运算.pdfVIP

摘要 摘要 本文研究z d o m a i n 币d z - 连续d o m a i n 关于z s c o t t 拓扑的子空 间，z 一连续d o m a i n 的和运算，及z 一连续d o m a i n 的积运算，主要内 容如下： 第一章引入z 一子d o m a i n ，z d o m a i n 的子空间，z 一连 续d o m a i n 子空间的概念，得到z s c o t t 开集和z s c o t t 闭集 是z d o m a i n 的子空间，举例说明上集，下集不一定是z d o m a i n 的 子空间，并给出上集，下集可以作为z 一连续d o m a i n 子空间的充要条 件。证明z 一连续d o m a i n 范畴是广义z 一连续d o m a i n 范畴的余反射子 范畴。 ： 第二章引入z d o m a i n 的和，z s c o t t 连续映射的和的概念， 说明了在某些和的作用下z 一连续d o m a i n 的可加性。证明z 一连 续d o m a i n 范畴的余积是d i s j o i n t s u m ，并讨论其它形式的范畴和。从 拉回的角度说明同构强于双态射，并举例说明z 一连续d o m a i n 范畴不是 平稳范畴。 第三章研究z 一连续d o m a i n 关于z s c o t t 拓扑的c a r t e s i a n 积。对 任意一族有最小元的z d o m a i n p iii z ) ，证明了若每个仃z ( 只) 是 连续格则n 只上的z s c 优亡拓扑恰好是z s c 甜芒拓扑口z ( 最) 的积拓 扑。证明z d o m a i n 范畴积存在。 关键词：z d o m a i n ，z 一连续d o m a i n ，子空间，极限，余极限。 a b s t r a c t a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w e i n v e s t i g a t e t h es u b s p a c ef o r z s c o t t t o p o i - o g y ，t h es u ma n dt h ep r o d u c to f z - d o m a i n sa n dz c o n t i n u o u s d o m a i n s t h ec o n t e n to ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w i n g s ： i nc h a p t e r l ，w ed e f i n et h ec o n c e p to fz - s u b d o m a i n ，t h es u b - s p a c e so fz - d o m a i n s ，t h es u b s p a c e so fz - c o n t i n u o u sd o m a i n w e s h o wt h a tt h ez - s c o t to p e ns e t sa n dc l o s e ds e t sa r es u b s p a c e so f z d o m a i n s a nc o u n t e r e x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h a tn o ta l lo p e ns e t s a n dc l o s e ds e t sa r es u b s p a c e so fz - d o m a i n s w eg i v es o m ec o n d i t i o n u n d e rw h i c ho p e ns e t sa n dc l o s e ds e t sa r es u b s p a c eo fz c o n t i n u o u s d o m a i n w es h o wt h a tt h ec a t e g o r yo fz - c o n t i n u o u sd o m a i n si sa c o r e f i e c t i v es u b c a t e g o r yo ft h ec a t e g o r yo fg e n e r e l i z e dz - c o n t i n u o u s d o m a i n s i nc h a p t e r 2 ，w ed e f i n ef i v ek i n d so fd i s jo i n ts u m so fz o d o m a i n s ，z s c o t tc o n t i n u o u sm a p p i n g s w es h o wt h a ts o m es u mo fz - c o n t i n u o u s d o m a i n si ss t i l lz - c o n t i n u o u sd o m a i n i nv i e wo fc a t e g o r y ，w es h o w t h a tt h ec o p r o d u c to ft h ec a t e g o r yo fz c o n t i n u o u sd o m a i ni sd i s j o i n t s u m o t h e rk i n d so fc a t e g o r i a ls u mo fz c o n di ss t u d i e d a tt h ep o i n t o fp u l l b a c k ，w es h o wt h a th o m e o m o r p h i s mh a sb e t t e rp r o p e r t i e s t h a nb i m o r p h i s m ac o u n t e r e x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h a tz c o n d i sn o tb a l a n c e dc a t e g o r y i nc h a p t e r 3 ，w e i n v e s t i g a t et h ec a r t e s i a np r o d u c to f z - s c o t t t o p o l o g y o nz - c o n t i n u o u sd o m a i n s f o ra f a m i l y o fz d o m a i n s 只li z ) ，e a c h p ih a st h es m a l l e s te l e m e n t s ，w es h o wt h a ti f e a c h 仃z ( 只) i sc o n t i n u o u sl a t t i c et h e nt h ez s c o t tt o p o l o g yo n1 - 1 只 j u s ti sc a r t e s i a np r o d u c to fz s c o t tt o p o l o g yo n 只f i n a l l yw es h o w t h a tc a t e g o r i a lp r o d u c to fz - d o m a i nc a t e g o r yi se x i s t a b s t r a c t k e y w o r d s ：z d o m a i n ；z c o n t i n u o u sd o m a i n ；s u b s p a c e ；l i m i t ；c o l i m i t v 第一章子空问与反射子范畴 1 1 预备知识 d o m a j n 理论为计算机程序设计语言的指称语义学奠定了数学基础，处于 拓扑学，格论，范畴论等多学科的交汇处，有着重要的研究价值。近2 0 年 来，d o m a i n 的推广理论受到极大关注。d o m a i n 理论的提出来源于两个不同 背景，一个是理论计算机科学中函数式语言的研究，另一个是纯数学的研 究。著名逻辑学家d s s c o t t 在1 9 7 2 年引入了连续格的概念。在纯数学的研究 方面，二十世纪7 0 年代初期，j d l a w s o n 和r e h o f f m a n n n 等人在关于紧半格 的结构理论研究中发现了连续格和代数格的结构。从两种不同背景出发导致 对同一概念的发现刺激了这一领域的研究。1 9 8 0 年，d s s c o t t 等六位作者共 同撰写了关于连续格理论的专著f 1 1 ，对这一领域的前期研究进行了系统的总 结。1 9 7 9 年，g m a r k o w s k y 首次引入连续d c p o 的概念，l a w s o n 给出连续d c p o 的 谱理论，将连续格和完全分配格的研究有机结合起来。在连续偏序集的推 广方面，1 9 7 8 年，w r i g h t ，w a g n e r ，t h a t c h e r 定义了z 子集系统的概念，随 后b a r a n g a 在 1 0 1 ，【1 1 】中定义y z 一拓扑， 文【9 1 2 都讨论t z 一连续偏序集的性质， 将连续偏序集推广n z 连续偏序集。 将w a y b e l o w 关系推广n z 连续偏序集 上得n z d o m a i n 。1 9 9 6 年b a r a n g a 将d o m a i n 推广n z d o m a i n ，并在【1 2 】中描述 了z d o m a i n 的一系列性质。本章在此基础上继续研究z d o m a i n 的性质。 定义1 1 1 f 1 2 】函子z ：p o s e t _ s e t 称为p o s e t 上的一个子集系统，简称z 是一个子 集系统若z 满足以下条件：i ) v p o b ( p o s e t ) ，z ( p ) 2 p ；2 ) v 尸，q o b ( p o s e t ) ，保 序映射，：p _ q ，a z ( p ) 净z ( 厂) ( a ) = s ( a ) z ( q ) ；3 ) | p o b ( p o s e t ) 使z ( p ) 含有p 的非单点的非空子集以下是三种常见的子集系 统： ( 1 ) p ，( v p o b ( p o s e t ) ，p ( p ) 为p 的子集全体) ( 2 ) e ，( v p o b ( p o s e t ) ，( ( p ) 为p 的定向子集全体) ( 3 ) 入，( v p o b ( p o s e t ) ，入( p ) 为尸的有限子集全体) 在以下讨论中z 总表示一个子集系统v p o b ( p o s e t ) ，称z ( p ) 为p 的一个子集系 第一章子空间与反射子范畴 _ 苎! ! ! 。! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 竺! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 统当z ( p ) 看作偏序集时，其上的偏序总是指集包含关系 注1 1 1 v p o b ( p o s e t ) ，有 ( i ) v p p , p z ( p ) ；( i i ) v q 只z ( q ) z ( p ) ；( i i i ) v x ，y 尸，z ( 、l znk ( p ) ) 是定向集且z = v y p ：y z ) ( z = v 【 znk ( 尸) ) ( 2 ) 连续的定向完备偏序集称为d d m o i n j 电2 4 1 1 5 【1 2 】p 称为是z d o m a i n ，若v s z ( p ) ，v s 存在 定义1 1 6 1 1 设p 是偏序集，scp a p 规定 下a = z p ：a z ) ，ts = u ta ：a s 】， 上n = z 尸：x o ) ，土s = u 【a ：a s ) ， 当s ：ts 时，称s 为上集；当s = j ，s 时，称s 为下集定向下集称为理想，记p 的所有理 想组成的集合为i d p 定义1 1 7 【1 2 】z d o m a i np 的子集，称为p 的z 一理想，若j s z ( 尸) 使 得，：上s 记j p 的所有z 一理想组成的集合为z ，( p ) z 一理想j 称为主理 想，若3 z p ，i = j ，z 定2 4 1 1 8 【2 0 】设p 为z d o m a i n ，令盯z ( p ) = u p ：u = t u ；v s 2 第一章子空间与反射子范畴 z 0 ) ，v s u 号s nu o ) 以盯z ( p ) 为开子基生成的拓扑称为p 上的z s c o t t 拓 扑，记为a z ( p ) 令q z = acp ：a = 【a ；v s z ( p ) ，sca 兮v s a ， 则a f l z 兮p a o z ( p ) ，称q z 为p 上的z s c o 毵拓扑的闭子基闭子基的交集 是z s c o t t 闭集 注1 1 2 ( i ) o z ( p ) 对集合并运算封闭，q z 对集合交运算封闭 ( i i ) x = txcp mc 尸，定3 ( i n t 口z ( p ) x = u u 盯z ( p ) ：ucx o z ( p ) ，c l 盯z ( p ) m = n a f l z ：mca q z ) 定义1 1 9 【6 】设p 为偏序集( 或z d o m a i n ) ，p i 的a l e x a n d r o v 拓扑是指由尸中的 所有上集形成的拓扑，记作r p 定义1 1 1 0 1 1 8 】设p 为z d o m a i n ，x p ，a ，bcp ( 1 ) 称az w a y b e l o wb ，记为a zb ，若v s z ( p ) ，v s tb 兮s nta 0 称z z 可，若v s z ( p ) ，v se ty = t rs ntz 仍如果x zz ，则称z 是z 一紧的规 定：u zz = 1 【p ：y zz ) ，介zz = 拶p ：z z 可) ，k z ( p ) = z p ：z z z ) ( 2 ) p 称为是弱z 一连续d o m a i n ，若v x 只z = v 坛z 进一步，若p 还满 足v x p 7u zz i z ( p ) = i8 ：8 z ( p ) 】，则称p 是z 一连续d o m a i n ( 3 ) p 称为是z 一代数d o m a i n ，若v x 只z = v j ，z n k z ( p ) ) 且p 是z 一连续d o m a i n 定义1 1 1 1 【1 8 】设p ，q 为z d o m a i n ，：p 叫q 称为z s c o t t 连续映 射，若v s z ( 尸) ，有f ( v s ) = v f ( s ) 定义说明了z s c o t t 连续映射是保序 映射 注1 1 3 设p ，q 为z d o m a i n ，厂：p _ q ，则以下三个条件等价： ( 1 ) ，为保z 一并映射；( 2 ) v u 盯z ( q ) ，i - 1 ( u ) 盯z ( p ) ；( 3 ) ，为z s c o 连续映射 类似于w a y b e l o w 关系的性质，z w a y b e l o w 关系满足以下性质： 性质1 1 1 2 【1 2 】在z d o m a i n 尸中，比，y ，z ，u p ： 3 第一章 子空间与反射子范畴 ( t ) 若z z 掣，贝u z 可； ( t t ) 若u z zy w ，则u 叫； ( 沈) 若p 有最小元上，仍譬z ( p ) 则比p ，上zz ； ( i v ) i 若x zw ，y zw i 贝o xvy zw 1 2 z 连续d o m a i n 的子空间 在本节中，引入z 一子d o m a i n ，z d o m a i n 的子空间，z 一连续d o m a i n 子空间 的概念主要说明z 一连续d o m a i n 中的z s c o t t 开集，z s c o t t 闭集是z 一连 续子空间举例说明此结论对a l e x a n d r o v 拓扑中的开集不成立，给出此结论 对a l e x a n d r o v 拓扑中的开集成立的充要条件 定义1 2 1 设d ，e 是z d o m a i n ，e ：d e ，p ：e _ d 是z s c o t t 连续 映射，即e ，p 保序且保z 一并如果poe i d d ，eop i d e ，则称( e ，p ) 为z 一连续嵌入投 射对，简记e p p a i r ，其中i 如，i d e 分别表示d 到d ，e 剑e 的恒等映射 定义1 2 2 设p 是一个z d o m a i n ，a 是p 的非空子集，若v s z ( 4 ) ，s 在尸中的上确 界v s 总在a 中，且存在i + ：p _ a 使得i ，z + 是e p p a i r ，则称a 是尸的z 一子d o m a i n 由z 一子d o m a i n 的定义可知，设p 1 ，岛是z d o m a i n ，p 1 是马的z 一子d o m a i n ， 马是尸1 的z 一子d o m a i n 贝i j b = p 2 只是b 的z 一子d o m a i n ，p 2 是r 的z 一子d o m a i n ，则 存在i ：p 2 _ p 1 ，i ；：p 3 一马使得掣1 i d p l ，i l i ；i d p 2 ，i ；i 2 i d p 2 ，i 2 i ；i d p 。，其 中i 1 ：p 1 _ p 2 ，i 2 ：p 2 一尸3 是包含映射，从而i 2oi l ：p l p 3 ，i ：o 嗟：p 3 _ 只 组成e p p a i r ，故p 1 是b 的z 一子d o m a i n ，这说明z 一子d o m a i n 具有传递性从 而z d o m a i n 的z 一子d o m a i n 关于包含序构成偏序集 定义1 2 3 如果a 作为p 的z 一子d o m a i n 是z 一连续的，则称a 为尸的z 一连续 子d o m a i n 类似的，如果a 作为p 的z 一子d o m a i n 是z 一代数的，则称a 为尸的z 一代数 子d o m a i n 命题1 2 4 设p 上是有最小元的z d o m a i n 争p 上的z 一子d o m a i n 有最小 4 第一章子空间与反射子范畴 元 证明：设岛是p 上的z 一子d o m a i n ，则包含映射i ：p o _ p 上和i + ：p 上_ r 组 r e p p a i r ，由ioi + t d p 上知toi ( o ) = + ( o ) o ，从而i + ( o ) = 0 p o 反 之，设p 0 有最小元0 ，则j s p 上使得i + ( s ) = o ，从而io + ( s ) = i ( o ) = 0 p 上 以上命题说n p j _ n z 一子d o m a i n 的最小元都相同且为p 上中最小元如果设p t 是有 最大元的z d o m a i n 则p t 的z 一子d o m a i n 不一定有最大元 命题1 2 5 设尸是一个z d o m a i n ，a z ( p ) ， ( 1 ) 若a = ta ，则a 是p 的z 一子d d m n z 几； ( 2 ) 若a = 土a ，则a 是p 的z 一子d o m n t n 兮a 邑z s 圳羽集 证明：( 1 ) 由a = ta ，p 是z d o m a i n 矢h v s z ( a ) = z ( ta ) 有v s a 设i ：a _ p 是包含映射，令i + ：p _ a ，s _ z + ( s ) = m a x i _ 1 ( i 则z + oi ( o ) = a ，ioi 。a ) = m a x i 一1 ( 上a ) o ，故( i ，t + ) 是e p p a i r ( 2 ) 由z s c 甜闭集定义和( 1 ) 的证明可得 s ) 定义1 2 6 z 一连续d o m a i n p 的子集a 称为p 的一个子空间，如果满足： ( 1 ) a 是p 的z 一连续子d d m o 饥；( 2 ) 仃z ( p ) l a - - - - 盯z ( a ) ，即集合a 上的z s c 础t 拓扑 是p 上z s c o t t 拓扑在a 上的限制 一般地，总有( i ) 盯z ( 尸) i a co - z ( a ) ；( i i ) z ，y a ，z z ( p ) y 号z z ( a ) 成立类似 的可以定义z 一代数d o m a i n 的子空间 命题1 2 7 设尸是z d o m a i n ，u 是p 中z s c o t t 开集，则u 是p 的子空间 即u 是p 的z 一子d o m a i n r a z ( 尸) i 【，= 盯z ( u ) 证明：由= 下u 据命题1 2 5 知u 是p 的z 一子d o m a i n 设y 是p 中z s c o t t 开 集，则ynu 是上集且是p 中z s c o t t 开集，从而ynu 是u 中z s c o t t 开集反 之，设是u o e z s c o t t 开集则twc 1 u = u ，由w = 下w 知彤是p 中上 集订z ( p ) ，j l v t w 贝o v t u 由u 是p 中z s c o t t 开集知tnu 0 ，所以存 在d tnu ，因此tdnt 0 由t z ( p ) 知tdnt z ( u ) 且v t = v ( 1dnt ) 由是u 中z s c o t t 开集知td n t nw 0 因此t nw d ，故w 盯z ( p ) ，从 而盯z ( p ) l ，= ( 7 z ( u ) 5 第一章子空间与反射子范畴 命题1 2 8 设p 是z d o m a i n ，a 是j p 中z s c o t t 闭集，则a 是尸的子空间 即a 是p 的z 一子d o m a i n b z ( p ) i 肖= 盯z ( a ) 证明：由命题1 2 5 知a 是p 的z 一子d o m a i n 设f 是p 中z s c o t t 闭集且fn a 是a 中z s c o t t 闭集，从而f n a 是a 中z s c o t t 闭集反之，设f 是a 中z s c o t t 闭 集则f 是p 中下集且v s z ( p ) ，scfca 有s z ( a ) ，则v s f ，从 而f 是p 中z s c o t t 闭集，故a 中的z s c o t t 闭集是p 中z s c o t t 闭集在a 上 的限制下面证明仃z ( a ) c 仃z ( p ) l a 设u 严( a ) ，则f = a u q z ( a ) = f 2 z ( p ) i a ，令f = f 1na ，其中f 1 q z ( p ) ，则= a ( 日na ) = 4 f 1 = an ( 尸f 1 ) ，其中p f 1 口z ( p ) 又仃z ( i p ) l a co - z ( a ) ，故o r z ( a ) = 矿( p ) i a 命题1 2 9 设p 是z d o m a i n ，u 是尸中z s c o t t 开集，则比，可以z z f t l ) 秽z zy 证明：必要性：设z z ( 【，) 可即在u 中z z 可成立订z ( p ) ，s t vt t 可则丁nu z ( ，) ，v t u 由u 是p 中z s c o t t 开集知丁nu d 不妨 设t tnu ，由丁z ( p ) 知ttf ltcz ( u ) 且v t = v ( ttnt ) u ，从 而引下tnt s t z ，即tz nt o ，故z z 可在p 中成立 充分性：设z z 耖，v t z ( u ) ，使得v t ty ，则丁z ( p ) ，所p _ l t ntz d 即z z ( u ) 可 命题1 2 1 0 设p 是z 一连续d o m a i n ，u 盯z ( p ) ，则u 是尸的z 一连续子空间 证明：首先由命题1 2 5 知u 是p 的子空间，下面说明u 作为p 的子空间是z 一连续的 v z u zznu d ，v 可l ，耽u zznu ，由u zz 定向知j 仳p 使得u z z r y 1 ，驰) “因为是上集，所以u u ，即u zz nu 是定向集设vu zz nu = 口 贝0 n z 下证z o ，假设zgo 贝归可zz ，ygn 由z u 知3 y o u ：y o zz 由她z 的定向性知j m 使得 y ，y o m zz ，m n ，故m m u zz nu ，这 与。的定义矛盾! 故vu zz n u = z ，由命题1 2 7 知u zz c l u = 可u1 秒z ( 【，) z ) 另 一方面，忱ucp u z ( u ) z = u zznu 其中u z 。i z ( p ) = 【j ，s ：s z ( p ) ) ，从 而u zz nu ( 上s ) nu ：s z ( 尸) ) ，其中【sn u 为中的下集从而j s o z ( c r ) 使 得u z ( 【，) z = 上8 0 故u 是p 的z 一连续子空间 6 第一章子空问与反射子范畴 注1 2 1 在命题1 2 7 和命题1 2 1 0 中，条件z s c o t t 开集均不能替为a l e x a n d r o v 拓 扑中的开集或闭集，即若p 是z d o m a i n ，u 是尸中上集，a 是p 中下集，则不 一定有u ，a 是p 的子空间由命题1 2 5 知z d o m a i n 中的下集甚至不一定 是z 一子d o m a i n 类似地，若p 是z 一连续d o m a i n ，u 是p 中上集，u 不一定是p 的子空 间即使把p 加强为z 一代数d o m a i n ，u 是p 中上集，也未必有u 是p 的子空间，下面 给出反例： 侈l j l ：设p = nu 【1 ，其中n 表示自然数集，尸上偏序定义如下：对于中的 元取上的通常序，对于v n n ，规定礼1 ，则尸是z 一代数d o m a i n ，且i = t 1 ) ，而盯z 【1 ) o - z ( p ) i 1 1 是1 上的z s c o t t 开- 集，但1 不是p 上的z s c o t t 开 集，事实上，取s = n z ( p ) ，v s = 【1 ) 1 ) ，而sn 1 ) = 仍这就说明上集 1 ) 不 是p 中的子空间 命题1 2 1 1 设p 是z 一连续d o m a i n ，a 是p 的z s c o t t 闭集，则a 是p 的z 一连 续子空间 证明：比acp 有u z ( u ) xc u z ( p ) z ，另一方而，设a u z ( p ) x 贝, j v s z ( p ) ，v s t z 则s n 下a o v t z ( a ) ，x v a t = v p t 3 s o p ；a 8 0 ，由a = ta 失n s o a ，从而a z ( a ) z ，故v 此( a ) z = v l z ( 尸) z 又由a 是下集知上sna 仍是下 集，从而比a ，u z ( a ) z i z ( a ) ( p ) = s na ：s z ( p ) ) ，故a 是p 的z 一连续 子d o m a i n 又由命题1 2 8 知严( a ) = 盯z ( p ) i a ，故a 是p 的z 一连续子空间 注1 2 2 设尸是z 一连续d o m a i n ，u 是p 中上集，则未必有u 是p 的z 一连续 子d o m a i n ，即使把p 加强为z 一代数d o m a i n ，也必有u 是p 的z 一连续子d o m a i n 在上例中，p = no 1 ) ，1 不是p 中的紧元从而l vu z ( 【，) 1 ，即( 1 不是z 一连续 子d o m a i n 定理1 2 1 2 设d 是z d o m a i n ，则以下条件等价： ( 1 ) 拖( d ) = d ； ( 2 ) v z ，y d ，o zy 铮z 可； ( 3 ) f ：d d 是z s c o t t 连续映射，：d d 是保序的； 7 第一章子空间与反射子范畴 ( 4 ) d 上的z s c o t t 拓扑和d 上的e z o 他打o u 拓扑重合即盯z ( d ) = f d 证明：( 1 ) 兮( 2 ) v z ，y d ，z zy 净z 可反之，。可，由k z ( d ) = d 知z zz y z 可故z zy ； ( 2 ) 号( 3 ) 由z z兮z zz 知k z ( d )= d 若厂保z 一并贝, l j f 保 序：v x y d 由f ( xv ) = f ( x ) v ，( 可) = ，( 可) 知，( z ) ，( 可) 若，保 序，v s z ( d ) ，v f ( s ) f ( v s ) 由v s d = k z ( d ) 即v s zv s 失h 3 s s ，使 得f ( v s ) sv ( s ) ，故v f ( s ) = ，( v s ) ； ( 3 ) 号( 4 ) 由厂：d _ d 是z s c o t t 连续映射兮厂关于z s c o t t 拓扑连续， f ：d _ d 是保序映射兮，关于a l e x a n d r o v 拓扑连续，可知( 3 ) 即为：厂关 于z s c o t t 拓扑连续兮f 关于a l e x a n d r o v 拓扑连续取i d l ：( d ，t 7 z ( d ) ) _ ( d ，r d ) ，i d 2 ：( d ，f d ) _ ( d ，o z ( d ) ) ，由i d l 的连续性知r dc 口z ( d ) ，由i d 2 的连续 性知盯z ( d ) cf d , 故盯z ( d ) = f d ； ( 4 ) 兮( 1 ) 比d ，下面证明z k z ( d ) 且p x zz ，事实上，v s z ( d ) ，z v s 且p v s 下z ，由d 上的z s c o t t 拓扑和d 上的a l e x a n d r o v 拓扑重合知tz 是d 中 的z s c o t t 开集，故s n 下z 0 这说明z zz 由以上定理可知以下推论是显然的： 推论1 2 1 3 设尸是z d o m a i n ，如果k z ( p ) = 尸则j p 中的上集和下集均 为p 的z 一代数子空间 1 3z 一连续d o m a i n 范畴的反射子范畴 本节中，说明了z 一连续d o m a i n 范畴不是广义z 一连续d o m a i n 范畴的反射子范 畴，却是广义z 一连续d o m a i n 范畴的余反射子范畴 定义1 3 1 6 】设f ：a _ b ，g ：1 3 _ a 是一对函子，考虑下面两个双函 子： 4 0 p 召一s e t ：( a ，b ) - - , 1 3 ( f ( a ) ，b ) ， 4 。尸召一s e t ：( a ，b ) 一4 ( a ，g ( b ) ) ， 8 第一章子空间与反射子范畴 如果这两个双函子之间存在一个自然同构，则称f ，g 是一对伴随函子，f 是g 的左伴 随，g 是f 的右伴随，记作f 1g 定义1 3 2 【6 l 设范畴d 是c 的满子范畴，如果包含函子i ：口一c 存在左伴随 则称d 是c 的反射子范畴若( f ，7 7 ，e ) ：c _ d 则称函子f ：c _ d 是反射 函子对偶的，如果包含函子i ：口一c 存在右伴随则称d 是c 的余反射子范 畴若( ，g ，e ，r ) ：d _ c ，则称函子g ：c d 是余反射函子 下面给出判断范畴的反射子范畴和余反射子范畴的常用定理： 定理1 3 3 【6 】设范畴刃是c 的满子范畴，下面条件等价： ( 1 ) d 是c 的反射子范畴； ( 2 ) 对任意的c o h ( c ) ，存在d o h ( v ) 和态射7 ：c _ d 满足下面万有性质： 对任意的d 7 d 6 ( d ) 和态射，：c _ d ，存在唯一的态射厂7 ：d d 7 使 锵l = “ 对偶的可以得到余反射的情形 证明过程参见f 6 】 定义1 3 4 【17 】) f l x p ；是z d o m a i n ，称p 是广义z 一连续d o m a i n ，如果比p ，t x = n ta ：a zz 且a 是有限集) 下面举例说明存在不是z 一连续d o m a i n 的广义z 一连续d o m a i n ： 设n + = nu 1 ) ，这里是自然数集令p = ( n + x 1 ) ) u ( 1 ) xn + ) ，赋予以下序 关系：v m ，n n ， ( m ，1 ) ( n ，1 ) 兮m 佗； ( 1 ，m ) ( 1 ，n ) 营m n ； ( m ，1 ) 菇( 1 ，佗) ，( 1 ，n ) 甚( m ，1 ) ； 沏，1 ) ，( 1 ，n ) ( 1 ，1 ) 显然，p 是z d o m a i n 设s a = nx 1 ) ，岛= 1 ) xn ，则& ，z ( p ) ，且v 蜀= v 岛= ( 1 ，1 ) ，注意到，v m n + ，t ( 1 ，m ) ns 1 = d ，t ( m ，1 ) n & = d ，故u z ( 1 ，1 ) = d ，即( 1 ，1 ) v l z ( 1 ，1 ) ，从而p 不是z 一连续d o m a i n 另一方面，比p ，tz 包 9 第一章子空间与反射子范畴 含( 1 ，1 ) ，则下z = n ta ：a zz 且a 是有限集) 记以广义z 一连续d o m a i n 为对象，以z s c o t t 连续映射且保z w a y b e l o w 关 系的映射为态射的范畴为广义z 一连续d o m a i n 范畴，记为g z c o n d ，拟连续偏 序集是广义z 一连续d o m a i n ，从而拟连续偏序集范畴是g z c o n d 的满子范畴 如果4 是召的反射子范畴，4 1 是4 的子范畴，召1 是召的子范畴，则4 1 是8 1 的反射 子范畴换言之，如果4 1 是4 的子范畴，8 。是b 的子范畴，a 】不是侈1 的反射子范 畴，则4 是侈的反射子范畴由参考文献f 1 5 】知连续偏序集范畴不是拟连续偏序集范 畴的反射子范畴，故z c o n 不是g z c o n 的反射子范畴 下面说h 凋z c o n 是g z c o n 的余反射子范畴 首先在任意的广义z 一连续d o m a i n 中z c 理想的概念，设尸是广义z 一连 续d o m a i n j z i d ( p ) 称为z c 理想，若v a i ，3 b ，c ，使得asb zc , i g z c i ( p ) = 【， z i d ( p ) ：i 是z c 理想) 定理1 3 5 设p 是广义z 一连续d o m a i n ，贝, o z c i ( p ) 是z 一连续d o m a i n 证明：设i z c ，( p ) ，a ，令ua = z p 1 3 y ，z p ，使得z y zz n ) ，由z c 理想的定义容易验证ud 是z c 理想且ua ci 由wcz c i ( p ) ，ic u b ，刍以“，a 玩z c i ( p ) ，知 ac 以即ua z ，又由z c 理想定义 知，= u ua ：a ，) ，故z c ，( p ) 是z 一连续d o m a i n 定理1 3 6 z c o n 是c z c o n 的余反射子范畴，其中包含函子，的余反射 函子是z c i ：g z c o n _ z c o n 证明：首先验证z c i 是函子：设d ，e 是广义z 一连续d o m a i n ，：d _ e 是 保z w a y b e l o w 关系的z s c o t t 连续映射，定义z c s ( f ) ：z c i ( d ) _ z c i ( e ) ，v i z c i ( d ) ，z c i ( f ) ( i ) = z e ：3 a i ，z 厂( 口) ) ，贝0 v z z c i ( f ) ( i ) ，3 a i ，z 厂( o ) ，且i z c ，( d ) ，故3 b ，c i ，a b zc ，从 而f ( a ) f ( b ) z 厂( c ) ，这表明z c i ( f ) ( i ) z c i ( e ) 任取i cj z c i ( d ) ，贝0 z c ( ，) ( ，) = z e ：3 a i ，z ，( o ) ) c z e ：3 b 1 0 第一章子空问与反射子范畴 zz ，( 6 ) - = z c i ( f ) ( j ) ，这表n z c z ( f ) 是保序的，则u 。s z c z ( f ) ( z , ) c z c i ( f ) ( u 。s l ) ，v z z c i ( f ) ( u 。s l ) ，3 a u 。s i s ) ，z ，( o ) ，不妨 设8 0 s ，a 1 s o ，贝0 z z c i ( f ) ( z s o ) ，从而z c l ( f ) ( u 。s i s ) cu 。s z c i ( f ) ( 1 ) ，这 说明z e ，( 厂) 是z s c o t t 连续映射任取，zj z c i ( d ) ，即拟cz c i ( d ) ，jc t g , l ，j u “，icu 任取 g cz c z ( e ) ，且z c i ( f ) ( j ) cu g ，令z c i ( f ) ( j ) = e j ，贝w j z c i ( f ) 一1 ( e j ) = a j ：3 x e j ，z 厂( n ) ) ，m z c i ( f ) ( j ) cu v 知了= z c i ( f ) _ 1 ( 目) cu y v z c z ( f ) - 1 ( y ) ，故| v ，i c z c z ( f ) - 1 ( v o ) ，从 而z c i ( f ) ( j ) cv o ，且p z c l ( f ) ( i ) zz c z ( ) ( j ) ， p z c i ( f ) 保z w a y b e l o w 关 系设f ：d e ，夕：e _ f 是g z c o 上的态射，z c i ( f ) ：z c i ( d ) _ z c z ( e ) ，z c z ( g ) ：z c i ( e ) _ z c z ( f ) ，v i z c i ( e ) ，z c z ( g ) oz g z ( f ) ( 1 ) = z f ：3 a i ，z 夕，( n ) ) ，z c l ( g f ) ( i ) = x f ：3 a i ，z 夕l 厂( o ) ) ，耳p z c i 保 持复合运算同理容易验证z c i 保持单位态射 下面证明z c i 是j 的余反射函子：设p 是广义z 一连续d o m a i n ，d 是z 一连 续d o m a i n ，v g ：d _ p ，令c ：z c i ( p ) 一p ，_ v p i ，定义7 ：d _ z c i ( p ) ，其 中7 ( z ) = 抄z9 ( z ) ，贝0 vu zg ( z ) = v g o ) zz ) = 夕